Hilfsmittel: 6 Seiten selbst verfertigte Formelsammlung

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Prof. U. Stephan
VFH-Online-Studiengang Medieninformatik
Lösungen der Übungsaufgaben (Teil B) zur Klausurvorbereitung
1)
Ermitteln Sie durch Umformungen die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
a)
2x + 3
> 3
x− 4
Fallunterscheidung:
I:
x-4 > 0

x>4
II:
x-4 < 0

x<4
LI = { x   | x > 4 ∧ x < 15 }
LII = { x   | x < 4 ∧ x > 15 } = 
L = LI  LII = { x   | 4 < x < 15 }
2)
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke für die komplexe Zahl z und bringen Sie sie
in kartesische sowie in Exponentialform:
 3+ j 
z = 

 2− j
a)
4
1. Schritt: Bruch mit dem konjugiert komplexen Wert des Nenners erweitern, ergibt 1 + j
2. Schritt:
1+ j =
2 ⋅ e j⋅ 45°
3. Schritt: 4. Potenz berechnen ergibt
b)
z = 4 ⋅ e j ⋅ 180° = − 4
5 2 + 2⋅ 2 j − 4 2 + 3 2 j
3+ 2j
z=
1. Schritt: Zähler vereinfachen ergibt
2. Schritt: Bruch wie üblich auflösen ergibt
2 + 5⋅ 2 j
3+ 2j
z=
2+
3. Schritt: Betrag berechnen ergibt r = 2 ; grobe Skizze ergibt:
3)
2j
2 ⋅ e j ⋅ 45°
Bestimmen Sie sämtliche (komplexen) Lösungen der folgenden Gleichungen in
kartesischer sowie in Exponentialform und zeichnen Sie diese Lösungen in die
Gaußsche Zahlenebene ein:
a)
z² = 9j
1. Schritt:
9 j = 9 ⋅ e j ⋅ 90°
2. Schritt:
z 2 = r 2 ⋅ e j ⋅ 2ϕ
und Ansatz
z = r ⋅ e j ⋅ϕ
ausrechnen
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3. Schritt: Beträge und Winkel vergleichen ergibt r² = 9 und 2 = 90° (oder 90°+360°)
4. Schritt: Mit r > 0 folgt: r = 3. Aus der Mehrdeutigkeit der Winkel folgt
z1 = 3 ⋅ e j ⋅ 45° = 3 ⋅ (
1
1
3
3
2+
2 j) =
2+
2j
2
2
2
2
z 2 = 3 ⋅ e j⋅ 225° = 3 ⋅ (−
1
1
3
3
2−
2 j) = −
2−
2j
2
2
2
2
(Hinweis: hier muss man die sin/cos-Werte für spezielle Winkel kennen und mit einer Formel für
sin(180°+) benötigte Werte berechnen.)
z1
1
z2
b)
z³ = 27j
Analog folgt mit r = 3 und 1 = 30°, 2 = 150°, 3 = 270°
z1 = 3 ⋅ e j ⋅ 30° =
3
3
3+ j
2
2
z 2 = 3 ⋅ e j ⋅ 150° = −
3
3
3 + j,
2
2
z3 = 3 ⋅ e j ⋅ 270° = − 3 j
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4)
Die Vektoren
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

a und b spannen eine Ebene auf.
Ebene liegt. Bestimmen Sie fernerhin die Komponente z von Vektor
dieser Ebene liegt.
 − 2

 
a=  4 
 1 



Lösung:
„c

c in dieser


d so, dass d in
Prüfen Sie, ob der Vektor
 − 12 
 0
  

 
c =  16 
d =  8
 17 
 z


 



liegt in der von a und b aufgespannten Ebene“ bedeutet: „ c ist





Linearkombination von a und b “ oder „ c lässt sich aus a und b mit Hilfe von S 3 
 

b =  − 2
 4 


Multiplikation und Vektoraddition konstruieren“.
Ansatz:
 

x⋅ a + y⋅ b = c
folgt:
(1)
-2x + 3y = -12
(2)
4x – 2y = 16
(3)
x + 4y = 17
; gesucht: x und y, die diese Vektorgleichung erfüllen
Möglicher Lösungsweg: 2*(1) + (2) bilden, ergibt
4y = -8, also y = -2.
Einsetzen von y in (1) oder in (2) ergibt
x=3
Einsetzen beider Werte in (3) ergibt
3 - 8 = 17
(!)
Schlussfolgerung: Es gibt keine Lösung der Vektorgleichung,
und

b aufgespannten Ebene
Analog ergibt der Ansatz
(1)
-2x + 3y = 0
(2)
4x – 2y = 8
(3)
x + 4y = z
 

x⋅ a + y⋅ b = d


c liegt also nicht in der von a
das Gleichungssystem
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Aus (1) und (2) folgt
x=3
Da
erfüllen, damit ergibt sich
5)
y=2

d in der Ebene liegen soll, müssen diese Werte für x und y auch die Gleichung (3)
z = 11
Gegeben sei die Ebene aus Aufgabe 4 (also die von


a und b aufgespannte Ebene).
Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren, die auf dieser Ebene senkrecht stehen.
Lösung: Die Forderung, dass die gesuchten Einheitsvektoren auf der Ebene senkrecht


stehen sollen, bedeutet insbesondere, dass sie sowohl auf a als auch auf b senkrecht


stehen. Da a und b Vektoren aus dem ³ sind, kann man das Kreuzprodukt
verwenden. Man geht in zwei Schritten vor:
•
•
•
 18 
 

  
Als erstes bestimmt man f = a × b zu f =  11  . Dieser Vektor steht senkrecht auf
 − 8





und auf b , also senkrecht auf der von a und b aufgespannten Ebene.

Dann bestimmt man die zu f kollinearen Einheitsvektoren, indem man die Länge von

zu f = f = 509 bestimmt.
Lösung sind dann

f0 =
 18 

1 
 11 
509 

 − 8
6) Bestimmen Sie alle Vektoren
  x
w =  
 y
und

a

f

− f0 .
, die folgende Gleichung erfüllen:
  2
  1  − 2

w •   = ( w −   ) • 
 5
 2  1 

Einsetzen von w in die Gleichung und Ausrechnen der Skalarprodukte ergibt
2x + 5y = -2x + y
Daraus folgt x = -y oder y = -x.
Lösung sind also alle Vektoren
  x 

w = 
−
x


mit x .
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7)
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Gegeben seien die Matrizen
Gibt es Werte
a
und
 1 4

A = 
2
3


 a b

B = 
3
4


und
b , so dass A ⋅ B = B ⋅ A
gilt?
Gibt es mehrere Lösungen?
Aus dem Vergleich von
 a + 12 b + 16 

A ⋅ B = 
 2a + 9 2b + 12 
mit
 a + 2b 4a + 3b 

B ⋅ A = 
24 
 11
folgt ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen für 2 Unbekannte:
(1)
a + 12 = a + 2b
(2)
b + 16 = 4a + 3b
(3)
2a + 9 = 11
(4)
2b + 12 = 24
Aus (3) und (4) folgt als einzige mögliche Lösung a = 1 und b = 6, es gibt also höchstens
eine Lösung.
Diese Werte erfüllen die Gleichungen (1) und (2), also sind diese Werte die einzige Lösung
der Aufgabe.
8) Für welchen Wert des Parameters  hat das folgende lineare Gleichungssystem
möglicherweise mehr als eine Lösung?
 2 4 α 


1
1
3


−1 3 α 




⋅


x   d1 
  
y  =  d2 
z   d3 
Sei A obige (3,3)-Matrix. Das Gleichungssystem hat genau dann eine (nicht mehr – nicht
weniger) Lösung, wenn det(A) ≠ 0.
Hier wird nach mehr als einer Lösung gefragt. Das ist der Fall, wenn det(A) = 0 gilt. Also
berechnet man
2 4 α
det( A)= 1 1 3 = 4α − 3 ⋅ 10 + (− 2)α = 2α − 30
−1 3 α
Für  = 15 gibt es also möglicherweise mehrere Lösungen (das „möglicherweise“ bezieht
sich darauf, dass die di nicht bekannt sind).
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9)
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Gegeben sei die Matrizen
A⋅ X = X ⋅ A
gilt:
 3 1

A = 
4
3


. Bestimmen Sie alle (2,2)-Matrizen X, für die
Welche dieser Matrizen besitzen zusätzlich die Eigenschaft, singulär zu sein, d.h. keine
inverse Matrix zu besitzen?
 a b

X = 
 c d
Ansatz:
Zahlen)
Berechnung von
(also eine unbekannte Matrix oder 4 unbekannte
 3a + c 3b + d 
 3a + 4b a + 3b 
 und X ⋅ A = 

A ⋅ X = 
 4a + 3c 4b + 3d 
 3c + 4d c + 3d 
und Vergleich der Koeffizienten ergibt 4 Gleichungen:
(1)
3a +c = 3a + 4b
ergibt
c = 4b
(2)
3b + d = a + 3b
ergibt
a=d
(3)
4a + 3c = 3c + 4d
ergibt
a=d
(4)
4b + 3d = c + 3d
ergibt
4b = c
Aus den vereinfachten Formen (rechts nach dem „ergibt“) sieht man, dass die vier
Gleichungen äquivalent sind zu folgenden zwei Gleichungen:
(5)
a=d
(6)
c = 4b
Aus (5) und (6) lassen sich keine weiteren Bedingungen für die Unbekannten a, b, c und d
herleiten. Also wählt man a und b beliebig (und behält diese Platzhalter bei) und stellt c und
d durch diese beiden Platzhalter dar. Es folgt:
 a b

X = 
4
b
a


mit
a, b ∈
R.
Eine Matrix ist singulär (also ohne inverse Matrix) genau dann, wenn ihre Determinante
gleich Null ist. Es folgt:
X ist singulär, wenn det(X) = 0, also wenn a² - 4b² = 0
10)
Bestimmen Sie alle Vektoren
  x
w =  
 y
, die folgende Gleichung erfüllen:
   3
   1
w • ( w +   ) = w • ( w +   )
 4
 2
Hier ist es günstig (spart Rechnung und Zeit), auf die Gleichung erst einmal das
Distributivgesetz anzuwenden und die Klammern aufzulösen. Dann folgt
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    3     1
w • w + w •   = w • w + w •  
 4
 2
 
Auf beiden Seiten entfällt w • w . Ausrechnen der übrigen Skalarprodukte ergibt y = -x.
Lösung sind also alle Vektoren
11)
  x 

w = 
−
x


mit x .
Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren des ³, die mit den Basisvektoren
 1
 0
  
  
e x =  0  und e y =  1 
 0
 0
 
 
Hinweis:
einen Winkel von jeweils 72,54..° bilden.
cos 72,54...° = 0,3
Ansatz für den unbekannten Vektor
 x
  
w =  y
 z
 

w = w= 1
,
Anwendung der Definition des Skalarprodukts ergibt
(1)
(2)
Aus

w•

w•

e x = 1 ⋅ 1 ⋅ 0,3

e y = 1 ⋅ 1 ⋅ 0,3

w = w= 1
x = 0,3
folgt:
y = 0,3
folgt die Bedingung
Also sind die Lösungen
12)
folgt:
x² + y² + z² = 1 oder z² = 0,82
 0,3 

 
w1 =  0,3 
 0,82 


und
 0,3 



w2 =  0,3 
 − 0,82 


Gegeben sei die Ebene aus Aufgabe 4). Bestimmen Sie alle Vektoren dieser Ebene,
die auf
 0
  
f =  1
 2
 
senkrecht stehen.



w = x ⋅ a + y ⋅ b mit unbekannten

 
f ...“ bedeutet: w • f = 0 , also
Lösung: „Alle Vektoren dieser Ebene ..“ führt zum Ansatz
Zahlen x und y. Die Bedingung „...senkrecht zu
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 − 2x + 3 y 


4
x
−
2
y


 x + 4y 


Daraus folgt y = -x
 0
 
•  1 = 0
 2
 
Also sind alle Lösungen der Form
 − 5





 
w = x ⋅ a − x ⋅ b = x ⋅ (a − b ) = x ⋅  6 
 − 3


mit x
8
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