Supraleitung - TIL BIRNSTIEL

Betreuer: Prof. Dr. Edwin Batke
Supraleitung
Tilman Birnstiel und Sebastian Lange
Universität Würzburg
Physikalisches Institut
(Datum: 24. März 2006)
Dieser Versuch dient der Untersuchung des supraleitenden Zustands einer Zinnprobe. Hierbei
wird die kritische Temperatur sowie das kritische Magnetfeld im Bereich der kritischen Temperatur
untersucht. Hierbei wurde die kritische Temperatur von (3.765 ± 0.015) K und ein kritisches Magnetfeld bei T = 0 K von (34.35 ± 0.034) mV bestimmt. Desweiteren konnte festgestellt werden,
dass die Berechnung des Magnetfelds der verwendeten Spule nach [1] fehlerhaft ist. Originaldaten
und numerische Berechnung des Magnetfeldes kann unter [2] eingesehen werden.
Versuchsdatum: 14. März 2006
Protokollabgabe: 21. März 2006
I.
EINLEITUNG
Bc(T)
1.4
II.
THEORIE
Die BCS-Theorie, die die Eigenschaften der Tieftemperatursupraleiter gut beschreiben kann, beruht auf den
so genannten Cooper-Paaren. Hierbei handelt es sich
um Elektronenpaare, die durch den Austausch virtueller
Phononen aneinander gebunden werden. Da ein CooperPaar aus zwei Fermionen zusammengesetzt ist, stellt es
selbst ein Boson dar und ist somit nicht durch das Pauliprinzip bezüglich der Besetzung der Energieniveaus eingeschränkt (vgl. [1]). Es ist somit möglich, dass sich alle
Cooper-Paare im Grundzustand befinden und somit (vergleichbar mit einem Bose-Einstein-Kondensat) eine makroskopische Materiewelle bilden. Eine solche Welle ist unter spezifischen Randbedingungen - stabil und somit
ist ein konstanter Suprastromfluss möglich.
Bewirken jedoch äußere Parameter eine Energieänderung, die größer ist, als die durch die virtuellen Phononen
entstehende Bindungsenergie der Cooper-Paare ∆E, so
1.2
1
Bc(T) / Bc(0)
Seit ihrer Entdeckung im Jahre 1911 durch Heike Kamerlingh Onnes stand die Superleitung im Mittelpunkt
vieler Experimente und theoretischer Überlegungen. Die
Theorie der Supraleitung (insbesondere der Hochtemperatursupraleitung) ist bis heute nicht vollständig verstanden, auch wenn die BCS-Theorie (siehe [1, 3]) einige
grundlegende Effekte durch sog. Cooper-Paare erklären
kann. In diesem Praktikumsversuch wurde untersucht,
unter welchen Bedingungen eine Zinnprobe - als Beispiel
eines klassischen Tieftemperatur-Supraleiters erster Art supraleitend wird. Hierbei wurde das Verhalten des kritischen Magnetfeldes im Bereich der kritischen Temperatur
und anschließend die kritische Temperatur ohne äußeres
Magnetfeld untersucht. Hierbei wurde die kritische Temperatur von (3.765 ± 0.015) K und ein kritisches Magnetfeld bei T = 0 K von (34.35 ± 0.034) mV bestimmt. Ein
weiteres Ziel stellte hierbei das Erlernen des Umgangs
mit flüssigem Stickstoff und dem Kryostaten dar.
normalleitend
0.8
0.6
supraleitend
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
T/Tc
1
1.2
1.4
Abb. 1: Abhängigkeit des kritischen Magnetfeldes von der
Temperatur. Oberhalb von Tc kann keine Supraleitung existieren, das kritische Magnetfeld zeigt bei Tc einen Phasenübergang.
werden die Paare wieder in einzelne Elektronen getrennt,
die Supraleitung bricht somit zusammen. Die äußeren
Parameter sind vielfältig (Druck, Luftfeuchte), am wichtigsten sind jedoch die Temperatur sowie die Strom- und
Magnetfeldstärke.
Steigt die Temperatur über einen kritischen Wert Tc =
∆E/(x · kB ), genannt kritische Temperatur, so bricht die
Supraleitung zusammen. Hierbei ist x ein materialspezifischer Faktor. Ebenso existiert ein kritisches Magnetfeld,
oberhalb dessen keine Supraleitung in der Probe existieren kann. Das kritische Magnetfeld hängt nach [1] vom
Verhältnis der Temperatur zur kritischen Temperatur der
Probe ab:
2 !
T
(1)
Bc (T ) = B0 · 1 −
Tc
Das B-Feld zeigt also einen parabolisch abfallenden Verlauf, bis zu einem Phasenübergang bei Tc (siehe Abb. 1).
Hierbei kann das Magnetfeld entweder ein äußeres sein
2
oder durch den supraleitenden Kreisstrom selbst induziert werden. Diesen Grenzwert des möglichen Stromes,
bei dem die Supraleitung abbricht nennt man die kritische Stromstärke Ic . Bei einem langen, zylindrischen
Draht vom Radius r gilt für den kritischen Strom nach
[1]:
Ic = 2 π r Hc
(2)
Im Gegensatz zu einem klassischen idealen Leiter fällt
im Supraleiter das B-Feld exponentiell ab. Ein Supraleiter verdrängt somit die Feldlinien eines äußeren Magnetfeldes aus seinem Inneren. Im Jahre 1933 konnte
dieses, als Meissner-Ochsenfeld-Effekt bezeichnete Verhalten erstmals nachgewiesen werden. Beschrieben wird
dieses Verhalten durch die beiden Londonschen Gleichungen (vgl. [3]):
1
d~js
~
=
·E
dt
µ0 · λ2
~ × ~js (~r) = − 1 · B,
~
∇
µ0 · λ2
(3)
(4)
wobei
λ=
r
m
µ0 · n · e2
Bombe
Flansch
00
11
001111111
11
1111111
0000000
00000000
11111111
00
11
000000000
11
0000000
1111111
00000000
11111111
0000000
0000000 1111111
1111111
000000011111111
1111111
00000000
0000000
1111111
0000000
1111111
00000000
10 11111111
0000000
1111111
00000000
11111111
0
1
0000000
1111111
00000000
11111111
Spieß 1
0
0000000
1111111
00000000
111
000
10 11111111
0000000 000
1111111
00000000
111
10 11111111
1010 111111111
000000000
111111111
000000000
000000000 10 111111111
111111111
000000000
000000000 10 111111111
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
000000000 1010 111111111
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
0
1
000000000 10 111111111
111111111
000000000
111111111
000000000 10 111111
111111111
000000000
111111111
000000
Spule
000000
111111
11
000000
111111
Vakuum 00
10 111111
000000
00
11
00
11
00000000
11111111
00
11
00000000
11111111
00000000
Probe 11111111
00
11
00
11
4
3
2
1
Vakuum
Abb. 2: Schematischer Aufbau des Kryostaten. Der Kryostat
besteht aus vier Kammern: 1 Vakuum, 2 Stickstoff, 3 Vakuum,
4 Helium. Die Probe befindet sich in der Phase des flüssigen
Heliums und ist von der Magnetspule umgeben.
(5)
die Londonsche Eindringtiefe ist, mit n als Anzahldichte
und m als Masse der Elektronen.
wobei 2l die Länge der Spule, n die Anzahl der Windungen, ra Außen- und ri der Innendurchmesser ist. Nach
Einsetzen der bekannten Daten erhält man
B = 48.15 mT · I
III.
(7)
EXPERIMENTELLER AUFBAU
Herzstück der Messung am supraleitenden Zinn ist der
Kryostat, der benötigt wird, um die Probe unter die kritische Temperatur Tc zu kühlen. Eine schematische Abb.
des Kryostaten ist in Abb. 2 dargestellt. Die erste und
dritte Kammer ist aus Isolationsgründen evakuiert, in
der zweiten Kammer befindet der flüssige Stickstoff. Da
dieser im Versuchsverlauf stetig verdunstete, musste er
immer wieder nachgefüllt werden.
Nachdem der Stickstoff aufgefüllt wurde, konnte das
flüssige Helium in die innerste Kammer überhebert werden. In dieser Kammer befand sich auch die Probe, welche am Spieß befestigt ist und somit vom Kryostatenkopf
gehalten wird. Die Zinnspule ist auf einem Trovidurzylinder (Hart-PVC) aufgewickelt. Die Probenspule selbst
befindet sich wiederum in einem Spulenkörper, der zur
Erzeugung des äußeren Magnetfeldes genutzt wird. Die
Daten der Spule wurden [4] entnommen.
Der Versuchsaufbau ist in Abb. 3 abgebildet. Die Spannungen an den Widerständen und der Probenspule werden mit HP-Multimetern gemessen (Genauigkeit im µVBereich).
Das Magnetfeld in der Mitte der verwendeten Spule
berechnet sich nach [1] zu
!
p
ra + ra2 + l2
2πnI
p
B = µ0
ln
,
(6)
10(ra − ri )
ri + ra2 + l2
Das Magnetfeld wurde hierbei mit einer Dreiecksspannung mit Maximalspannung von etwa 670 mV und einer
Periode von rund 6 Minuten verwendet. Der zeitliche Verlauf der Spulenspannung ist im unteren Teil von Abb. 6
dargestellt. Die verwendete Spannung wurde an einem
1-Ω-Widerstand abgegriffen. Aus der gemessenen Spannung erhält man den Strom und somit nach Gl. 6 das
Magnetfeld.
Gl. 6 wurde mit mathematica numerisch überprüft.
Hierzu wurden die Daten der Spule (Innen- und Außendurchmesser, Drahtdicke und Länge) aus [1, 4] entnommen. Aus diesen Daten lässt sich (unter Annahme dichtester Packung der Wicklungen) berechnen, aus wievielen
Windungen die Spule besteht. Anschließend wurde jede
Wicklung als Kreisstrom genhähert, welcher nach dem
Biot-Savart-Gesetz ein Magnetfeld erzeugt [5]. Das Gesamtmagnetfeld auf der Spulenachse erhält man anschließend, indem man numerisch alle, duch die einzelnen Winungen erzeugten Felder, überlagert. Das Ergebnis der
numerischen Rechnung ist in Abb. 4 dargestellt. Für das
B-Feld in der Spulenmitte berechneten wir somit
B = 49.16 mT · I
(8)
Die Abweichung der beiden Methoden liegt unter 2.2%
sofern der Abstand von der Spulenmitte unter 4.7 cm
liegt. Gl. 7 scheint somit zur Auswertung der Messung
ausreichend genau.
3
I−Rampengenerator
Mess−
widerstand
A
Magnetfeldspule
Konstant−
strom−
quelle
100 mA
V
Kohle
wider
stand
Zinn
probe
Konstant−
strom−
quelle
10 µA
V
Kryostat
ausschließlich parallel zum Magnetfeld der Spule angeordnet sind. Durch die zylinderförmige Geometrie der
Probe hat sie einen sehr geringen Entmagnetisierungsfaktor, somit sollte der Übergang vom normalleitenden
in den supraleitenden Zustand nahezu instantan geschehen. Die Länge der Magnetfeldspule beträgt nach [4] 15.6
cm, die Länge der Probenspule nur 5 cm. Die Probe liegt
somit nach [1] im homogenen Bereich des Magnetfeldes,
was durch obige Rechnung bestätigt werden kann.
Ein weiteres Problem bei so tiefen Temperaturen stellt
die Temperaturmessung selbst dar. Die Messung über
den Druck allein ist hierbei zu ungenau, daher wurde ein
Kohlewiderstand verwendet, über dessen Widerstand die
Temperatur ermittelt werden kann. Hierzu musste dieser
zunächst geeicht werden. Während des ersten Abkühlens
wird hierzu der Druck und die zugehörige Spannung am
Widerstand protokolliert. Der Kohlewiderstand zeigt ein
ähnliches Verhalten wie ein Halbleiter, also bei konstantem Strom
b
R(T ) ∝ U (T ) ∝ a · e T .
Abb. 3: Skizze des Versuchsaufbaus. Die an den Widerständen
und der Probe abfallenden Spannungen werden mit HPMultimetern gemessen, und mit einer DAQ-Karte an den
Computer übertragen. Zur Datenaufnahme wird LabView
verwendet.
0.06
numerische Rechnung
Wert nach Betz
0.055
0.05
B [T]
0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
x [m]
Abb. 4: Vergleich des numerisch berechneten Feldes mit dem
nach 7 berechneten. Die x-Koordinate entspricht hierbei der
Position längs der Spulenachse, wobei der Ursprung an den
Rand der Spule gelegt wurde.
Während der numerischen Überprüfung stellten wir jedoch fest, dass sich die Windungszahl unter Annahme der
dichtesten Packung und unter Verwendung der Daten aus
[1] zu 6240 berechnet und damit deutlich von der Windungsanzahl von 4865 aus [1] abweicht. Da Gl. 7 aber
nur geringe Abweichungen aufweist, bleibt zu vermuten,
dass die Windungszahl von 4865 an das tatsächliche Feld
angepasst wurde.
Als Probenstrom wurden konstante 100 mA gewählt.
Die Probenspule ist so gewickelt, dass die Zinndrähte fast
(9)
Mit der Dampfdrucktabelle des 4 He aus [4] kann man
somit die Eichung durchführen. Eine weitere Möglichkeit
stellt die Eichung über den Siedepunkt Ts und den λPunkt dar.
Die Kühlung erfolgte durch die an den Kryostatenkopf
angeschlossene Vakuumpumpe, welche den Dampfdruck
in der innersten Kammer des Kryostaten verringert. Hierdurch können Temperaturen unter 4.2 K erzeugt werden.
Nach dem Abkühlen erfolgt die Messung mit Magnetfeld (also mit angeschalteter Dreiecksspannung an der
Magnetspule). Die Pumpe wurde hierzu ausgeschaltet,
durch den gedrosselten Rücklauf steigt somit die Temperatur langsam an. Es wird somit das Verhalten der
Supraleitung bei steigender Temperatur in Abhängigkeit
vom Magnetfeld beobachtet.
Da anschließend der Stickstofftank neu befüllt werden musste, verdampfte das Helium ebenfalls und musste
durch den Betreuer erneut überhebert werden. Anschließend wurde durch Einschalten der Pumpe das System
erneut abgekühlt und die Messung - diesmal ohne Magnetfeld - wiederholt. Hierbei wurde erneut die kritische
Temperatur gemessen. Die Sprungstelle in den supraleitenden Zustand wurde sowohl beim Abkühlen, als auch
beim Aufwärmen aufgezeichnet.
IV.
AUSWERTUNG
Zur Eichung des Kohlewiderstands stehen zwei Methoden zur Auswahl: zum einen kann das Widerstandsverhalten wie oben beschrieben (vgl. Gl. 9) angenommen
werden und an Siedetemperatur Tc und λ-Punkt Tλ gefittet werden. Die zweite Möglichkeit stellt die Eichung
Mittels der Dampfdrucktabelle dar. Aufgrund des sprudelnden Stickstoffes konnte der λ-Punkt jedoch nicht sehr
genau beobachtet werden, im Bereich um etwa 36.5 Torr
4
14
Messwerte
Fit
0.1
λ-Punkt
12
0.08
U [mV]
0.06
U [mV]
10
8
0.04
0.02
900
450
0
-450
-900
12
8
4
6
4
2
2.5
3
3.5
4
4.5
500
1000
T [K]
Abb. 5: Eichung des Kohlewiderstandes. Als Fit-Funktion
diente Gl. 9. Als Best-Fit-Parameter wurden a = 0.9619 K
und b = 5.4784 mV bestimmt. Hierbei wurde die Spannung
und nicht der Widerstand gegen die Temperatur aufgetragen,
da zur Auswertung gemessene Spannungen in Temperaturen
umgerechnet werden.
1500
t [s]
2000
Abb. 6: Messdaten zum Experiment mit eingeschaltetem Magnetfeld. Im unteren Bereich ist der Verlauf der Temperatur
dargestellt, im mittleren die Spannung, mit der das Magnetfeld variiert wird. Der oberste Bereich stellt die Spannung dar,
die an der Probe abgegriffen wird.
35
Tλ = (2.164 ± 0.007) K .
Aus der anschließenden Messung mit eingeschaltetem
Magnetfeld wurden die Sprungstellen im Widerstandsverlauf abgelesen. Zu diesen Stellen wurde die Temperatur und das Magnetfeld ermittelt. Man erhält somit
Werte für das kritische Magnetfeld in Abhängigkeit der
Temperatur. Der theoretisch erwartete Verlauf wurde bereits oben besprochen (siehe Gl. 1 und Abb. 1). Die experimentellen Ergebnisse sind in Abb. 7 dargestellt. Aus
einem Fit nach Gl. 1 erhält man die kritische Temperatur
von Tc = (3.765 ± 0.015) K und B0 = (34.35 ± 0.34) mT.
Bei der zweiten Messung ohne Magnetfeld wurden erneut die Temperaturen an den Sprungstellen ermittelt .
Hierbei erhalten wir jeweils für das Abkühlen und für
Fit
Messwerte
30
25
B [mT]
war jedoch zu erkennen, dass sich die Obefläche des flüssigen Heliums deutlich beruhigte und auch das Sieden nicht
mehr zu erkennen war. Der Dampfdrucktabelle aus [4]
kann man entnehmen, dass dies einer Temperatur von
etwa 2.15 bis 2.16 K entspricht.
Aufgrund der Unsicherheit des Druckmesswertes bei
Tλ und der Tatsache, dass nur zwei Werte zum fitten genutzt werden können, wählten wir zur Eichung des Kohlewiderstandes die zweite Methode. Bei einem gemesseneen Spannungswert kann somit per Interpolation aus
der Eichkurve direkt die zugehörige Temperatur abgelesen werden. Die Eichkurve ist in Abb. 5 dargestellt. Zum
Vergleich ist auch die Eichkurve eingezeichnet, die man
mittels der ersten Methode erhält.
Aus dem charakteristischen Knick in der gemessenen
Temperaturkurve der zweiten Messung lässt sich erneut
die Lage des λ-Punktes abschätzen. Aus dem abgelesenen
Spannungswert (12.00 ± 0.10) mV errechnet sich der λPunkt zu
2500
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
T [K]
2.5
3
3.5
4
Abb. 7: Experimentell bestimmte kritische Magnetfelder in
Abhängigkeit der Temperatur. Als Fitfunktion wurde Gl. 1
verwendet, als Best-Fit-Parameter wurden B0 = (34.35 ±
0.34) mT und Tc = (3.765 ± 0.015) K ermittelt.
das Aufwärmen einen Wert. Der Mittelwert dieser Daten
lautet
Tc = (3.79 ± 0.04) K
V.
DISKUSSION
Die Temperatur beim λ-Punkt wurde mit 2.16 K gemessen und weicht vom Literaturwert (2.17 K) um 0.01 K
ab. Die Fehler liegen dabei stark in der Subjektivität des
genauen Erkennens des λ-Punktes, was zusätzlich durch
das Sprudeln des Stickstoffes erschwert wurde. Des Weiteren ist ein zeitgleiches Ablesen des Druckwertes sehr
schwierig. Folglich ist eine Abweichung vom Literaturwert mit 0.46% durchaus in dem Rahmen der Messgüte.
5
Die Eichung des Kohlewiderstands wird sehr gut durch
den Expontentialfit beschrieben. Dazu wurde im auswertenden Teil der λ - Punkt anhand der Temperaturkurve
erneut bestimmt. Dieser Wert weicht nur 0.28 % vom
theoretischen ab und erfasst diesen mit den Fehlergrenzen. Es ist also anzunehmen, dass die verwendete Eichmethode die Messung besser beschreibt als die Fixpunkt
”
- Eichung“ es machen würde. Die Fehler bei der Umrech”
nung“ von Torr in K anhand der Dampfdrucktabelle des
Heliums liegen bei ± 0.01 K.
Bei der Bestimmung des kritischen Magnetfelds (34.35
mT) liegt die Abweichung bei 12% vom erwarteten Wert
(30.6 mT). Diese starke Abweichung liegt daran, dass
beim Ermitteln des Wertes mehrere Fehler durch Ablesungs und Eichungenauigkeit gemacht wurden. Es wurde zur Berechnung des B-Feldes Formel 6 benutzt, welche nach numerischer Überprüfung bereits eine Fehlerbehaftung von 2% mit sich bringt. Des Weiteren wird
die Temperatur durch Interpolation aus den Spannungswerten bestimmt. Bei dieser Regression werden wieder
Fehler durch die Interpolation und die Umeichung mittels der Eichtabelle in das Ergebnis eingebracht. Ebenso
sieht man bei der kritischen Temperatur (3.765 K) eine
Abweichung von 1.1% zum Literaturwert (3.722K). Dies
liegt eventuell daran, dass die Entmagnetisierung nicht
genau Null ist.
Die Windungen der Probenspule sind zwar großteils
parallel zum Magnetfeld angeordnet, Teile der Spule jedoch verlaufen auch senkrecht dazu. Folglich ist der Entmagnetisierungsfaktor nicht null und somit ist der Übergang in den supraleitenden Zustand nicht instantan. Da
das Magnetfeld mit der Temperatur korreliert ist, wirkt
sich dieses Problem auch auf das B-Feld aus. Es ist also
sehr schwierig einen korrekten Fehler anzugeben, jedoch
ist eine Abweichung von 12% unter diesen Umständen
durchaus denkbar zumal die tatsächliche Anzahl der
Windungen der Magnetfeldspule nicht überprüft werden
konnte und damit die Umrechnung von Stromstärke zu
Magnetfeld fraglich ist.
Der im letzten Versuchsteil ermittelte Wert der kritischen Temperatur weicht mit 1.8% stärker ab als der
vorherige Wert. Dies könnte man damit begründen, dass
das Helium erneut aufgefüllt werden musste und somit
erneut ein Kühlvorgang gestartet wurde. Dabei müsste
nach [1] der Kohlewiderstand wiederholt geeicht werden,
was jedoch versäumt wurde.
[1] Betz, Hermann: Zulassungsarbeit. 1973
[2] Lange, Sebastian ; Birnstiel, Tilman: Messergebnisse Supraleitung. http://cip.physik.uni-wuerzburg.de/
∼tbirnstiel/supra
[3] Buckel, W.: Supraleitung. 5. überarbeitete und ergänzte
Auflage. VCH, 1994
[4] Batke, E. ; Reinert, F.: Fortgeschrittenenpraktikum SS
2006. 2006
[5] Tipler, Paul A.: Physik. Spektrum Verlag, 2000