3.2 Produktionsfunktion Beispiel: 2

3.2 Produktionsfunktion
Beispiel: 2-Perioden, Kapital wird nach einem
Jahr vollständig entwertet (δ = 100%).
Projekt Benötigtes
Produktion
Kapital in t=1 in t=2
Grenzprodukt
des Kapitals
Rendite
A
200
210
210/200 = 1,05
210/200 – 1 = 5%
B
250
290
290/250 = 1,16
290/250 – 1 = 16%
C
100
125
125/100 = 1,25
125/100 – 1 = 25%
D
300
330
330/300 = 1,10
330/300 – 1 = 10%
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3.2 Produktionsfunktion
Ordne Projekte nach Rendite [Grenzprodukt]
C–B–D–A
Output in t=2
955
745
415
125
100
C
350
B
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650
D
850
A
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Investition
in t=1
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3.2 Produktionsfunktion
Ein Projekt ist rentabel, wenn seine
Rendite über dem Marktzins liegt.
Grenzprodukt
Die rentabelsten Projekte werden zuerst
durchgeführt
=> Grenzprodukt des Kapitals sinkt mit
zunehmendem Kapitaleinsatz
1,25
1,16
1,10
GPK = 1,08 <=> r = 8%
1,05
C
B
100
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D
350
I = 650
A
850
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Investition
in t=1
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Kapitalquote und Zinssatz im Solow-Modell
„ Ein Unternehmer verfügt über 100 Gütereinheiten (=Maschinen). Er hat
die Wahl, die Maschinen an einen Produzenten zu verleihen, selbst zu
nutzen oder sie zu verkaufen und den Erlös auf dem Finanzmarkt zu
investieren.
„ Wenn er auf dem Finanzmarkt investiert, dann erhält er nach einem
Jahr Geld im Wert von (1+r) 100 Gütereinheiten zurück. Dabei
bezeichnet r den Realzins.
„ Wenn er die Maschinen vermietet (oder selbst einsetzt), werden damit
zusätzliche Güter in Höhe der Grenzproduktivität des Kapitals
(multipliziert mit 100) produziert. Die zusätzliche Bruttowertschöpfung
beträgt 100 dF(K,N) / dK.
„ Nach einem Jahr erhält der Unternehmer diese Bruttowertschöpfung
als Mietpreis für die Maschinen. Außerdem bekommt er seine alten
Maschinen zurück.
Der Mietpreis des Kapitals entspricht seiner Grenzproduktivität.
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Kapitalquote und Zinssatz im Solow-Modell
„
Von den alten Maschinen ist aber ein Anteil δ
kaputtgegangen (Abschreibung). Der Unternehmer verfügt
nun über 100 dF(K,N) / dK + (1 – δ) 100 Gütereinheiten.
„
Im Gleichgewicht muss der Ertrag auf dem Kapitalmarkt
genauso hoch sein, wie bei Vermietung der Maschinen,
also:
(1+r) 100 = 100 dF(K,N) / dK + (1 – δ) 100
<=>
„
r = dF(K,N) / dK – δ
Der Realzins entspricht der Grenzproduktivität des Kapitals
minus Abschreibungsrate.
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Kapitalquote und Zinssatz im Solow-Modell
Zahlenbeispiel:
„ Angenommen das Grenzprodukt des Kapitals beträgt 0,25,
die Abschreibungsrate 20%.
„ Investiert der Unternehmer 100 Gütereinheiten im eigenen
Unternehmen, so produziert er damit zusätzlich 25 Gütereinheiten.
Außerdem sind noch 80% der eingesetzten Maschinen funktionsfähig.
Er verfügt also jetzt über 105 Gütereinheiten. Sein Gewinn beträgt 5
Gütereinheiten.
„ Investiert der Unternehmer auf dem Kapitalmarkt, so erhält er nach
einem Jahr (1+r) 100 Gütereinheiten zurück. Im Gleichgewicht muss
also gelten
„ r = dF(K,N) / dK – δ = 0,25 – 0,20 = 5%
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Lohnquote, Kapitalquote, und Zinssatz im Solow-Modell
Produktionsfunktion
Y =F(K,N)
Beispiel
Y=Kα N1-α
Verteilung der Bruttowertschöpfung (BIP)
nach Grenzprodukt
Lohn = GP der Arbeit:
Lohnquote
w = ∂F / ∂N
wN / Y
w = (1 − α ) K α N −α
(1 − α )
Mietpreis des Kapitals = GP des Kapitals
Kapitalquote
Zinssatz (Realzins)
Prof. Dr. Frank Heinemann
ξ = ∂F / ∂K
ξ K /Y
ξ = α K α −1 N 1−α
α
r = ξ −δ
r = α K α −1 N 1−α − δ
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