Kapitel 4: Quasioptische Komponenten (zweiter Teil)

4 Quasioptische Komponenten
axis Spiegel. Dabei ist zu beachten, dass die Strahl Taillen nicht mit den Brennpunkten überein stimmen, was man intuitiv annehmen würde. Ein weiteres Beispiel fordere
R1 = R2 = R. Ferner seien die beiden Strahl Taillen w0in und w0out gegeben und damit
die Vergrösserung M und N = 1 − M12 . Wegen der Forderung ist fe = R2 . Der totale
Umlenkwinkel sei 2ϑi . Es folgt dann
a=R
(4.40)
b = R cos ϑi .
(4.41)
und
Ferner sei din gegeben d.h.
R = din +
2
zcin
.
din
(4.42)
Jetzt ist es aber nicht mehr möglich R2 d.h. R so zu haben, dass der Krümmungsradius
von w0out ausgehend auch gleich R ist. Für dout gilt wie oben
!
!
"
"
din
2
dout = M
− 1 + 1 fe .
(4.43)
fe
Beispiele von off axis elliptischen Spiegeln sind in Figuren 4.7 und 4.8 gegeben. Ein
Abbildung 4.7: Off axis elliptischer Spiegel für 45° Reflexion
Beispiel eines off axis Parabolspiegels zeigt Figur 4.9. Solche Spiegel werden auf numerischen Drehbänken hergestellt. Falls die Anwendung es verlangt, kann zusätzlich eine
Gewichtsverminderung des Spiegels nötig sein, etwa bei schnell drehbaren Spiegeln, was
durch eine spezielle Bearbeitung der Rückseite erzielt werden kann.
57
4 Quasioptische Komponenten
Abbildung 4.8: Off axis elliptischer Spiegel für 90° Reflexion
Abbildung 4.9: Parabolspiegel
58
4 Quasioptische Komponenten
Verluste wegen der off axis Position
Off axis Spiegel weisen das Problem auf, dass sie einerseits zu Aberration führen und andererseits Anteile in der Kreuzpolarisation generieren. Das hat zur Folge, dass ein in der
Grundmode einfallender Gauss Strahl nach der Reflexion nicht mehr rein Gaussförmig
ist, was man auch als Verlust bezeichnen kann. Sowohl für den einfallenden wie für den
reflektierten Strahl ist z nicht konstant über die Spiegelfläche und damit auch nicht
R(z) und w(z). Es entsteht also eine Fehlanpassung zwischen Amplitude und Phase des
einfallenden und reflektierten Strahls. Anders ausgedrückt lässt sich auch sagen, dass es
sich dabei um einen Projektionseffekt handelt, der zu einer Fehlanpassung zwischen den
Feldern des einfallenden und des ausfallenden Strahles führt. Eine theoretische Analyse
des Problems wurde von Murphy7 formuliert. Das Problem eines off axis Spiegels lässt
sich in einer Graphik darstellen, wo der reflektierte Strahl als ein transmittierter Strahl
dargestellt wird, wie das Abbildung 4.10 zeigt.
Man sieht, dass der Strahlradius nur im Reflexionspunkt der optischen Achsen auf dem
Spiegel übereinstimmt, wo der Wert wm sei. Für den reflektierten Strahl gilt näherungsweise
#
$
! ! "3 ! ! " ! ! "2 %&
x!
x
x
y
Eref l = CEideal 1 − U
−
−
(4.44)
wm
wm
wm
wm
wobei x! und y ! die Achsen quer zur Ausbreitungsrichtung sind. Mit C wird dafür
gesorgt, dass die Leistung richtig normiert wird. Für einen Spiegel der Brennweite
f = R1 R2 /(R1 + R2 ) und einen Reflexionswinkel ϑi bezeichnen wir einen Verzerrparameter U
wm tan θi
√
U=
.
(4.45)
2 2f
Betrachtet man (4.44) und vergleicht den Ausdruck mit Gauss Hermite Polynomen, so
sieht man, dass offensichtlich Beiträge von E30 mit linearen und kubischen Beiträgen in
x! auftauchen sowie von E12 mit Beiträgen in x! und x! y !2 . Es gilt dann für das Feld des
realen reflektierten Strahles Er bezüglich des idealen reflektierten Feldes Eideal
'
)*
U (√
!
!
!
!
Er = C 1 −
3ε30 (x , y ) + ε12 (x , y ) Eideal .
(4.46)
2
Dabei bezeichnen wir mit
εmn =
| Emn |
.
| E00 |
(4.47)
Für den Bruchteil des reflektierten Gauss Strahles, der noch in der Grundmode ist, gilt
dann
w 2 tan2 θi
Kf = 1 − U 2 = 1 − m 2
(4.48)
8f
7
Murphy, J. and S.Withington, Perturbation analysis of Gaussian-beam-mode scattering at off-axis
ellipsoidal mirrors, Infrared Phys. and Tech., Vol.(37), p.205-219, 1996.
59
4 Quasioptische Komponenten
x
w0in
A
w0out
din
dout
θi
B
0
z=0
Abbildung 4.10: Reflektierter Strahl in Transmission dargestellt.
Diese Formel gilt übrigens auch für einen off axis Parabolspiegel, wobei dort dann
natürlich die entsprechende aequivalente Brennweite eingesetzt werden muss. Das bedeutet, dass bei einem relativ kleinen Reflexionswinkel und bei einem relativ grossen f /DVerhältnis der Kopplungskoeffizient gross wird. Die Forderung für ein Kf ≥ 0.99 zusammen mit der Bedingung, dass der Spiegel Durchmesser D ≈ 4wm ist, liefert f /D ≥ 1.0
für ϑi ≤ 45° und f /D ≥ 0.5 für ϑi ≤ 30°.
Zusätzlich zu den oben erwähnten Effekten wird ein Teil des Signals in der Kreuzpolarisation reflektiert. Eine ähnliche Rechnung ergibt für diesen Fall, dass der Anteil
des ursprünglichen Strahles, der in die Kreuzpolarisation geht, doppelt so gross ist, wie
derjenige in den höheren Moden, und dass der Kopplungsfaktor Kco in diesem Fall wird:
Kco = 1 − 2U 2 = 1 −
2
wm
tan2 θi
.
4f 2
(4.49)
Es bleibt anzufügen, dass durch geschickte Wahl von off axis Spiegelpaaren es möglich
ist, die diskutierten Effekte zu minimieren, weil der eine Spiegel eine Verzerrung, die
durch den anderen produziert wird, aus kompensieren kann.
Ohmsche Verluste in Spiegeln
Die Verluste in Spiegeln infolge nicht unendlicher Leitfähigkeit sind zwar sehr gering,
können aber trotzdem eine Rolle spielen. Der Oberflächenwiderstand (Widerstand pro
60
4 Quasioptische Komponenten
Einheitsfläche) ist
Rs =
+ πνµ ,1/2
0
σ
= (πνµρ)1/2 ,
(4.50)
wobei ν die Frequenz, σ die elektrische Leitfähigkeit und ρ = 1/σ ist. Die Eindringtiefe
oder ’skin depth’ ist
!
"1/2
ρ
δ=
.
(4.51)
πνµ0
Diese Eindringtiefe ist sehr gering und in der Grösse von Bruchteilen von Mikrometern.
Für den Reflexionsfaktor für die Leistung gilt bei senkrechtem Einfall:
r 2 = 1 − 4(πε0 νρ)0.5 .
(4.52)
Die Schlüsselgrösse ist selbstverständlich der Oberflächenwiderstand. Es zeigt sich allerdings, dass gemessene Werte etwa einen Faktor 2 grösser sind als theoretische Werte.
4.1.3 Linsen
Im submillmeter- und THz-Bereich werden vorwiegend dielektrische Linsen eingesetzt.
Vorausgesetzt, dass die verwendete Linse genügend weit von der Strahltaille zu liegen
kommt, können wir beim Entwurf von quasioptischen Linsen vorgehen wie in der geometrischen Optik. Wegen der doch relativ grossen Wellenlänge, gegenüber der herkömmlichen
Optik, ist es möglich, Linsenoberflächen direkt mit numerisch gesteuerten Fräsmaschinen
herzustellen. Wir werden weiter unten noch auf die verschiedenen Materialien zu sprechen kommen.
Das Grundprinzip der Bestimmung einer Linsenfläche beruht darauf, dass eine einfallende Welle, von einer Punktquelle ausgehend, in eine ebene Welle transformiert werden
soll, die dann allenfalls mittels einer zweiten Linsenfläche wieder zu einem Punkt fokussiert werden soll. Dabei bedient man sich des Prinzips von Fermat, das besagt, dass die
optische Weglänge8 entlang jedes Pfades gleich sein muss. In Abbildung 4.11 bedeutet
das, dass der optische Weg von F zu einem beliebigen Punkt P identisch sein muss zu
demjenigen entlang der Ausbreitungsachse, d.h.
F P = F Q + nQQ! .
(4.53)
Wir bezeichnen die Strecke F Q als Brennweite f und erhalten in Polarkoordinaten für
den Radius der Linsenkontur
(n − 1)f
r=
.
(4.54)
n cos α − 1
Für ein Material mit n > 1 wird dadurch eine hyperbolische Oberfläche beschrieben. Für
die maschinelle Fertigung ist ein zylindrisches Koordinatensystem besser geeignet, wobei
8
Als optische Weglänge eines Pfades bezeichnet
man die Summe aus dem Produkt von Brechungsindex
n und individueller Weglänge l, d.h.
ni l i
61
4 Quasioptische Komponenten
ρ
p
r
F
α
z
Q
f
Q´
Abbildung 4.11: Optische Weglängen bei einer einseitigen Linse mit Brechungsindex n
die z-Achse der Symmetrieachse entspricht und wir mit ρ den Abstand von der Achse
bezeichnen. Der Ursprung des Koordinatensystems liege in der Scheitel der Kurve. Es
gilt dann:
ρ2 = 2f z(n − 1) + z 2 (n2 − 1).
(4.55)
Als Näherung von Gleichung (4.55) wird oft eine sphärische Kontur gewählt, die sich
dann im gleichen Koordinatensystem ausdrücken lässt als
ρ2 = 2f z(n − 1) − z 2 .
(4.56)
Ein Beispiel einer plano-konvex Linse für eine Frequenz von 200 GHz aus Teflon zeigt
Abbildung 4.12.
Verluste in Linsen
Eine dielektrische Linse wird wegen des Linsenmaterials selbst gewisse Verluste aufweisen. Die Absorption in der Linse wird natürlich primär vom verwendeten Material
abhängen, aber dann auch von der Dicke der Linse, des Linsenprofils und der Beleuchtung der Linse. Relativ einfach lassen sich die Verluste im Zentrum der Linse abschätzen.
Es zeigt sich, dass die Dicke einer Linse mit Durchmesser D und Brennweite f gefertigt
aus einem Material mit Brechungsindex n gegeben ist durch:
tc ∼
=
D2
.
8f (n − 1)
62
(4.57)
4 Quasioptische Komponenten
Abbildung 4.12: Beispiel einer Teflonlinse
Wir definieren den Verlust pro Weglänge mit α, so dass die Leistung am Ausgang Pout
zur Leistung am Eingang Pin geschrieben werden kann mit
Pout = Pin exp(−αt),
(4.58)
wobei wir mit α den Absorptionskoeffizienten bezeichnen
α=
2πn tan δ
.
λ0
(4.59)
Dabei ist λ0 die Wellenlänge im Vakuum und mit tan δ bezeichnen wir denn sog. Verlustwinkel
ε!!
tan δ = ! .
(4.60)
ε
Dabei sind ε! und ε!! Realteil und Imaginärteil der komplexen relativen Dielektrizitätskonstanten
ε = ε! − jε!! .
(4.61)
Der Brechungsindex ist dann definiert als
n=
√
ε,
(4.62)
was für Materialien mit geringen Verlusten zu
√
n = ε!
(4.63)
führt. Mit Gleichung (4.57) und (4.59) erhalten wir
αtc =
πD 2 n tan δ
πD 2
=
L0 ,
4f (n − 1)
4f λ0
63
(4.64)
4 Quasioptische Komponenten
wobei L0 als relativer Verlustparameter bezeichnet wird und die Abhängigkeit vom Material beschreibt:
n
L0 =
tan δ.
(4.65)
n−1
Als Beispiel betrachten wir Rexolite bei 250 GHz, das einen Brechungsindex von 1.59
hat und einen Verlustwinkel von 2.2 · 10−3 aufweist. Somit erhalten wir L0 = 5.9 · 10−3.
Für Quartz würden wir einen rund 20 mal kleineren Wert erhalten. Eine Teflon Linse der
Dicke 5cm weist bei 600 GHz einen Verlust von rund 15% auf. Eine entsprechende Rexolite Linse sogar 60%. Eine kleine Übersicht über die Werte einiger gängiger Materialien
ist in unten stehender Tabelle gegeben. Dabei ist zu beachten, dass der Verlustwinkel für
die meisten Materialien von der Frequenz abhängt. Die entsprechenden Werte zeigen,
dass im submillimeter Bereich die Verluste signifikant sein können und dass aus diesem
Grunde optische Systeme eher mit reflektiven Elementen aufgebaut werden, im Gegensatz zum herkömmlichen optischen Bereich, wo vor allem refraktive Elemente eingesetzt
werden.
Dielektrikum
Acryl
Mylar
Polyethylen
Rexolite
Styropor
Teflon
TPX
n
tg δ
[·10−4]
Frequenz
[GHz]
1.61
81-135
1.75
360-680
1.52
3.6-4.4
1.59
15-40
1.03 0.53-0.81
1.43
2.5-17
1.46
5.6-13
60-300
120-1000
90-270
120-550
200-260
120-1110
300-1200
Vergütung von Linsen
Zusätzlich zu den Verlusten durch Absorption kommen bei Linsen noch Verluste durch
Reflexion am Übergang vom Medium Luft auf das dielektrische Medium der Linse und
umgekehrt. Der Unterschied im Brechungsindex n, resp. der Dielektrizitätskonstanten
ε führt zu Reflexionen am Interface und insgesamt zu Mehrfachreflexionen. Dabei ist
nicht nur störend, dass nicht die gesamte Leistung in Ausbreitungsrichtung propagiert
wird, sondern vor allem der Effekt, dass reflektierte Leistung in ungewünschte Richtungen geht. Dies ist speziell in hochempfindlichen Radiometern störend, wo der Effekt
als baseline effect bezeichnet wird und sich beispielsweise als überlagerte Stehwelle im
Nutzsignal bemerkbar macht. Diese Stehwellen können so stark sein, dass eine Messung
des gewünschten Signals unmöglich wird. Man wird also versuchen, solche Reflexionen
unbedingt zu verhindern. Wenn es nicht möglich ist eine reflektive Optik zu verwenden,
so müssen die dielektrischen Komponenten mit einer Reflexions-Verminderungsschicht
versehen werden. Dies ist aus der klassischen Optik bekannt, indem etwa Linsen mit
λ/4-Schichten beschichtet werden.
Wir wollen im Folgenden kurz die Theorie der Reflexionen an einem ebenen Interface
betrachten. Ein Strahl trete von einem Medium mit Brechungsindex n1 in ein Medium
64
4 Quasioptische Komponenten
mit Index n2 unter einem Einfallswinkel ϑi ein. Dann gilt für den Winkel des gebrochenen
transmittierten Strahls ϑt gemäss dem Snellschen Gesetz
.! "
/
n1
θt = arcsin
sin θi .
(4.66)
n2
Die Reflexionskoeffizienten des elektrischen Feldes hängen von der Polarisation des einfallenden Feldes ab. Dabei bezeichnet man eine einfallende Welle, deren E-Feldvektor
parallel zur Einfallsebene liegt als parallel polarisiert. Die Einfallsebene wird durch den
einfallenden Strahl und die Flächennormale aufgespannt. Analoge Definitionen gelten für
den senkrechten oder orthogonalen Fall. Die Reflexionskoeffizienten sind im allgemeinen
komplex und werden durch die Fresnel-Formeln beschrieben:
tan(θi − θt )
tan(θi + θt )
(4.67)
− sin(θi − ϑt )
.
sin(θi + θt )
(4.68)
r# =
r⊥ =
Für die Transmissionskoeffizienten des Feldes gilt
t# =
n1
(1 + r# )
n2
t⊥ = 1 + r⊥ .
(4.69)
(4.70)
Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten9 der Leistung, R resp. T erhält man
dann mit
R =| r |2
(4.71)
und
T = 1 − R.
(4.72)
Figur 4.13 gibt als Beispiel die Reflexionskoeffizienten für parallel und orthogonal polarisierte einfallende Strahlung unter verschiedenen Einfallswinkeln samt zugehörigen
Phasenänderungen beim Übergang von Luft in ein Dielektrikum. Bei paralleler Polarisation tritt ein Winkel auf, bei dem die Reflexion verschwindet. Dieser Winkel heisst
Brewster-Winkel ϑB und berechnet sich mit
ϑB = arctan
n2
.
n1
(4.73)
Es sollte unbedingt darauf geachtet werden, dass dielektrische Medien, die z.B. als Fenster in einem quasioptischen Aufbau verwendet werden, unter dem Brewster Winkel angeordnet sind. Das bedingt aber auch, dass die einfallende Strahlung entsprechend parallel
polarisiert ist.
9
Vorsicht: Der Transmissionskoeffizient der Leistung ist NICHT gleich dem Quadrat des Betrags des
Transmissionskoeffizienten für das Feld
65
4 Quasioptische Komponenten
Figur 4.14 zeigt den analogen Sachverhalt allerdings beim Übergang vom dichten
Medium in Luft. Beim Überschreiten des kritischen Winkels ϑc tritt innere Totalreflexion
auf. Dieser von der Polarisation unabhängige Winkel berechnet sich durch
ϑc = arcsin
n2
n1
(4.74)
Für einen Übergang von Luft in ein Dielektrikum mit einer Dielektrizitätskonstanten
1
0.8
0.8
Phase [π]
1
r⊥
0.6
Quartz
0.4
0.6
0.4
Teflon
0.2
0
0.2
0
20
40
60
0
80
0
20
Einfallswinkel
1
0.8
0.8
Phase [π]
1
r
0.6
Quartz
0.4
40
60
80
Einfallswinkel
0.2
Quartz
0.6
Teflon
0.4
0.2
Teflon
0
0
20
40
60
0
80
0
20
40
60
80
Einfallswinkel
Einfallswinkel
Abbildung 4.13: Reflexionskoeffizienten und zugehörige
Übergang von Luft in Teflon resp. Quartz
Phasenänderungen
beim
√
ε, resp. einem Brechungsindex n = ε, unter dem Einfallswinkel ϑi lassen sich die
Reflexionskoeffizienten auch schreiben mit
− cos ϑi + (ε − sin2 ϑi )1/2
r⊥ =
cos ϑi + (ε − sin2 ϑi )1/2
ε cos ϑi − (ε − sin2 ϑi )1/2
r# =
.
ε cos ϑi + (ε − sin2 ϑi )1/2
(4.75)
(4.76)
Bei senkrechtem Einfall (normal incidence ) gilt10
|rn.i. | =
10
n−1
.
n+1
(4.77)
Reflexion tritt z.B. auch auf beim Übergang von Luft auf flüssigen Stickstoff, wie er häufig zu Kalibrationszwecken verwendet wird. Der Brechungsindex für flüssigen Stickstoff beträgt im Mikrowellenund submillimeter Wellen-Bereich 1.196. Der Wert ist minim von der Temperatur d.h. vom Dampfdruck abhängig.
66
4 Quasioptische Komponenten
1
1
Quatz
0.8
Phase [π]
0.8
r
⊥
0.6
0.4
Teflon
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
Quartz
Teflon
0
20
40
60
80
0
20
Einfallswinkel
1
1
0.8
0.8
Quartz
r

Phase [π]
Teflon
0.6
0.4
0.2
0
40
60
80
Einfallswinkel
Quartz
0.6
0.4
Teflon
0.2
0
20
40
60
0
80
Einfallswinkel
0
20
40
60
80
Einfallswinkel
Abbildung 4.14: Reflexionskoeffizienten und zugehörige
Übergang von Teflon resp. Quartz in Luft
Phasenänderungen
beim
Dieser Wert ist nur für Materialien mit sehr kleinem Brechungsindex kleiner als 0.2 was
für den Reflexionsfaktor der Leistung 4% ausmacht. Eine Teflon Linse wird also rund 3%
pro Fläche reflektieren. Zusätzlich müssen Mehrfachreflexionen und die entsprechenden
Phasenlagen berücksichtigt werden, so dass der tatsächliche Reflexionsfaktor wesentlich
höher sein kann, was bei einer Teflon Linse bis 12% gehen kann. Eine Vergütung der
Oberflächen ist also absolut zwingend, will man nicht Stehwellen generieren.
Reflexionen können vermieden werden, wenn auf das Dielektrikum eine zusätzliche
Schicht aufgebracht wird, die eine Dielektrizitätskonstante aufweist, welche zwischen
derjenigen des Mediums und Luft liegt und eine Dicke aufweist, so dass sich die beiden
reflektierten Wellen weginterferieren. Analoge Probleme löst man in der Leitungstheorie
durch Einbringen eines Stückes Leitung mit einer Impedanz von Zm der Länge λ/4
zwischen nicht angepasste Leitungen mit Impedanzen Z0 und Zl , wobei gilt
0
Zm = Z0 Zl .
(4.78)
Die Impedanz Z ist mit dem Brechungsindex n verknüpft durch
Z = µ0 c/n.
(4.79)
Im optischen Fall gilt, unter Berücksichtigung der Polarisation der einfallenden Welle,
für die geforderte Dielektrizitätskonstanten der Anpass-Schicht, εm , beim Übergang von
Luft auf das Medium, charakterisiert mit ε:
εm# =
ε{1 + [1 − 4 sin2 θi cos θi (ε − sin2 θi )0.5 /ε]0.5}
2 cos θi (ε − sin2 θi )0.5
67
(4.80)
4 Quasioptische Komponenten
εm⊥ = sin2 θi + cos θi (ε − sin2 θi )0.5
(4.81)
Bei senkrechtem Einfall vereinfacht sich dies auf den simplen Ausdruck
εmn.i. =
√
ε.
(4.82)
Die Dicke der geforderten Schicht findet man durch Betrachtung der optischen Pfa-
ε=1
εm
d
cos θ
t
θi
θt
θi
d
d´
Abbildung 4.15: Geometrie der Strahlen in einer dielektrischen Vergütungsschicht mit
einer Dielektrizitätskonstsnten εm
de im Dielektrikum in Figur 4.15. Die Phasenverzögerung des Strahls, der durch das
Dielektrikum geht und zurück reflektiert wird, beträgt
! √
"
π 2d εm
!
φ=
−d ,
(4.83)
λ0
cos θt
was sich noch Umformen lässt zu
.
/
2πd
φ=
(εm − sin2 θi )0.5
λ0
(4.84)
wobei λ0 die Wellenlänge im Vakuum ist. Die Dicke einer λ-viertel-Platte berechnet sich
somit zu
λ0 /4
dm =
.
(4.85)
(εm − sin2 θi )0.5
68
4 Quasioptische Komponenten
Für senkrechten Einfall reduziert sich dieser Ausdruck auf
λ0
dmn.i. = √ ,
4 εm
(4.86)
λ0
,
4ε0.25
(4.87)
λ0
dmn.i. = √ .
4 n
(4.88)
d.h.
dmn.i. =
resp.
Man sieht in den Figuren 4.16 und 4.17, dass für eine ideale Anpassung die Dicke und die
2.8
2.6
2.4
2
ε
match
2.2
1.8
ε

1.6
1.4
ε
⊥
1.2
0
10
20
30
40
50
60
Einfallswinkel
Abbildung 4.16: Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstanten einer λ-Viertel-Schicht vom
Einfallswinkel für parallele und senkrechte Polarisation für Teflon.
Dielektrizitätskonstante der Schicht von der Polarisation der einfallenden Welle und dem
Einfallswinkel abhängen. Das bedeutet, dass eine homogene Schicht nicht ideale Bedingungen schafft und dass eigentlich die Schichtdicke variiert werden müsste. Dies könnte
beispielsweise durch eine numersiche Fräsmaschine erfolgen. Doch stellt sich ein ganz
anderes Problem bei der Vergütung von Linsen oder Fenstern im Mikrowellenbereich.
Typische Linsen werden aus Teflon gefertigt, das einen Brechungsindex von n = 1.44
hat. Damit müsste eine Linsenvergütung einen Brechungsindex von rund 1.2 haben. Ein
solches Material existiert aber nicht und es müssen andere Lösungen gefunden werden.
Eine Variante der Anpassung besteht darin, dass eine λ-Viertel-Schicht simuliert oder
emuliert wird. Das kann man dadurch erreichen, dass aus dem zu vergütenden Objekt
(Linse, Fenster etc.) Material abgetragen wird, so dass eine Schicht dünner aussieht
69
4 Quasioptische Komponenten
0.34
Dicke normiert auf Wellenlänge im Vakuum
0.32
0.3
0.28
0.26
ε
⊥
0.24
ε

0.22
0.2
0.18
0
10
20
30
40
50
60
Einfallswinkel
Abbildung 4.17: Abhängigkeit der Dicke einer λ-Viertel-Schicht vom Einfallswinkel für
parallele und senkrechte Polarisation für Teflon. Die Dicke ist normiert
auf die Wellenlänge im Vakuum.
E⊥
E||
ε=1
1
d
Rillen
2dg
Substrat
ε
2lg
Abbildung 4.18: Geometrische Anordnung von Rillen in einem Dielektrikum mit einer
Dielektrizitätskonstanten ε.
70
4 Quasioptische Komponenten
2 dg
d
d
εm
2 lg
^
n
θi
ε
ε
Abbildung 4.19: Geometrische Anordnung von Rillen in einer dielektrischen Linse mit
einer Dielektrizitätskonstanten ε.
als das darunterliegende Medium. Dies wird häufig durch Anbringen von Rillen (engl.
grooves) realisiert, die entweder parallel verlaufen oder aber aus Symmetriegründen konzentrisch aus dem Material herausgefräst werden. Die geometrische Anordnung solcher
Rillen zeigt Figur 4.18 und Figur 4.19. Wir bezeichnen das Verhältnis von Rillen zu
Nicht-Rillen mit
dg
f= .
(4.89)
lg
Für das einfallende Feld wirken die Kanäle wie Kondensatoren, die parallel oder seriell
geschaltet sind, je nach der Polarisation der einfallenden Strahlung. Vorausgesetzt wird,
dass das Verhältnis aus Rillenabstand, D = 2lg , zu Wellenlänge ≤ 1 ist. Das lässt sich
auch ausdrücken durch
λ
D<√
.
(4.90)
ε + sin ϑi
Die Literatur liefert für die simulierten Dielektrizitätskonstanten für die verschiedenen
Polarisationen:
εm# = 1 + (ε − 1)f
(4.91)
und
εm⊥ =
1
1−
ε−1
f
ε
.
(4.92)
Für die Anpassung geht man also wie folgt vor: Nach der Wahl eines genügend kleinen Rillen-Abstandes D = 2lg bestimmt man das Verhältnis f aus Gleichung (4.91)
71
4 Quasioptische Komponenten
oder (4.92), wobei für εm der entsprechende Wert aus Gleichung (4.80) resp. (4.81) eingesetzt werden muss. Die zugehörige Dicke erhält man dann aus Gleichung (4.85). Für
senkrechten Einfall vereinfachen sich die Ausdrücke für f :
f# =
und
√
ε−1
ε−1
√ √
ε( ε − 1)
f⊥ =
.
ε−1
(4.93)
(4.94)
Man sieht, dass eine Vergütung mit Rillen anisotrop ist, und dass eine Vergütung für
Abbildung 4.20: Ein mit Rillen vergütetes Fenster
beide Polarisationsrichtungen nicht möglich ist. In der Praxis wählt man meistens einen
Mittelwert. Ein Beispiel eines vergüteten Fensters zeigt Figur 4.20.
Eng verwandt mit der Anwendung von Dielektrika als Linsen oder Fenster ist die
Anwendung als quasioptischer Koppler oder als quasioptisches Hybrid. Dabei wird eine
dünne Platte verwendet oder auch einfach eine Folie11 . Wir betrachten ein Dielektrikum
der Dicke d < λ, mit einer Dielektrizitätskonstante ε auf welches unter dem Winkel
ϑi Strahlung einfalle (Figur 4.21). Die Platte sei so dünn, dass wir ebene Wellen annehmen können. Wir wollen die reflektierten und transmittierten Anteile der Leistung
bestimmen und die Phasenlage infolge Mehrfachreflexion innerhalb des Dielektrikums
mit berücksichtigen.
Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten für die verschiedenen Übergänge werden durch die Fresnel-Formeln beschrieben. (Vgl. Gleichungen (4.67), (4.68), (4.69),
11
Das kann durchaus eine Haushaltfolie sein.
72
4 Quasioptische Komponenten
d´´ θ
i
2l
θt
l
θt
2l S θ
t
d
d´´
S
θt
θi
d
θi
Abbildung 4.21: Ausbreitung optischer Strahlen in einer dünnen Platte. Linkes Teilbild
zeigt den Verlauf für Reflexion und das rechte Teilbild für Transmission.
(4.70)). Für die Phasenschiebung des reflektierten Strahles erhält man
∆Φ =
4πd
(ε − sin2 ϑi )1/2 .
λ0
(4.95)
Man kann zeigen, dass die reflektierte und die transmittierte Welle 90° ausser Phase sind
und zwar unabhängig von der Wellenlänge oder der Dicke d. Der Reflexionskoeffizient
für die Leistung R und der Transmissionskoeffizient T ergeben sich zu
R=
F sin2 (∆Φ/2)
1 + F sin2 (∆Φ/2)
(4.96)
T =
1
1 + F sin2 (∆Φ/2)
(4.97)
und
wobei
4|r|2
.
(4.98)
(1 − |r|2)2
F wird via den Reflexionskoeffizienten für die Amplitude r von der Polarisation, dem
Einfallswinkel und der Dielektrizitätskonstanten des Materials abhängen. Falls ein Koppler gebildet werden soll, ein quasioptisches Hybrid, so dass die halbe Leistung reflektiert
und die andere Hälfte transmittiert wird, so muss F möglichst eins sein und die Phasenschiebung π. Dies bedingt eine Dicke d von
F =
d=
λ0
.
4(ε − sin2 ϑi )1/2
73
(4.99)
4 Quasioptische Komponenten
Es ist also möglich auf diese Art einen 3dB-Leistungskoppler zu erhalten. Für viele
Anwendungen ist allerdings nicht ein 3dB- Koppler gefragt, sondern eine viel geringere
Kopplung, wie etwa beim Einkoppeln der LO-Leistung für einen SIS-Empfänger. Die
Reflexion soll sehr klein sein, d.h.
R ≈ F · sin2 (∆Φ/2)
!
"2
∆Φ2
2πd
≈ F·
=F
(ε − sin2 ϑi ).
4
λ0
(4.100)
(4.101)
Für senkrechte Polarisation führt dies auf
F⊥ =
(ε − 1)2
4 cos2 ϑi (ε − sin2 ϑi )
und damit
|R⊥ | ∼
=
!
(ε − 1)πd
λ0 cos ϑi
"2
.
(4.102)
(4.103)
Mit ε ≈ 2.5 und ϑi ' 45° reicht so eine Folie mit d = λ0 /70 um einen 20dB- Koppler zu
erhalten.
4.2 Polarisationsgitter
4.2.1 Einleitung
Eine wesentliche Komponente in einem quasioptischen Aufbau ist ein Polarisationsgitter. Wie der Name sagt, spielt bei dieser Komponente die Polarisation der Strahlung
eine Rolle. Gitter aus parallel angeordneten Drähten können für eine Vielzahl von Anwendungen verwendet werden, wie z.B. das Aufteilen und Zusammenfügen von Gauss
Strahlen, oder das Drehen der Polarisationsrichtung, als Abschwächer, aber auch als
frequenzabhängige Filter. Ein Beispiel eines Polarisationsgitters zeigt Figur 4.22. Solche
Gitter können ansehnliche Grösse haben, wobei einige zehn cm nicht unmöglich sind.
Als Gitterdrähte werden Wolframdrähte12 verwendet, die meist noch vergoldet sind. Die
Dicke der Drähte beträgt ca. 5 - 30µm.
Es existiert viel Literatur über die Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen
an einem Gitter, resp. der Streuung von Wellen an einer periodischen leitenden Struktur.
Sie ist im allgemeinen sehr komplex trotz der Einfachheit des Problems. Wir wollen in
den folgenden Abschnitten zuerst Fälle betrachten wo die Wellenlänge der Strahlung
gross ist im Vergleich zum Drahtdurchmesser und zum Drahtabstand. Unter diesen Voraussetzungen ist das Verhalten eines Gitters frequenzunabhängig. Ist dies nicht mehr
der Fall, d.h. entspricht der Drahtabstand etwa der halben Wellenlänge, so wird das
Verhalten frequenzabhängig.
Ein Gitter (siehe Figur 4.23) bestehe aus einer grossen Zahl paralleler Drähte im Abstand g ( λ/2 und mit einem Draht-Durchmesser 2a < g. Eine einfallende Welle, deren
12
Wolframdrähte werden z.B. von Herstellern von Glühlampen angeboten
74
4 Quasioptische Komponenten
Abbildung 4.22: Bild eines Gitters mit einem Durchmesser von 17cm.
Polarisationsrichtung parallel zu den Gitterdrähten ist, wird reflektiert, wogegen die orthogonale Komponente transmittiert wird. Gute freistehende Polarisationsgitter werden
erzielt mit Drahtabständen ≤ λ/4 und Drahtdurchmessern von ≤ λ/10. Eine Problemzone bildet allenfalls der Ohm’sche Verlust in den Gitterdrähten. Die mathematische
Behandlung eines solchen Gitters wird häufig mittels eines elektrischen Ersatzschaltbildes durchgeführt, wobei die Gitterdrähte als Impedanzen dargestellt werden. Dies führt
auf Formeln für die Reflektivität als Funktion der Gitterimpendanz, welche schwierig
in Bezug zu den Gitterparametern zu bringen ist. Allerdings lässt sich sagen, dass die
Reflektivität nahezu 1 ist, und die Phase der reflektierten Welle ∼ π ist, wie man dies
für eine elektrisch leitende Platte, d.h einen Spiegel, erwarten würde.
Das Gitter stehe senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und die Drähte bilden einen
Winkel ϑ mit einer einfallenden linear polarisierten Welle. Damit wird die parallel zu den
Drähten liegende Komponente reflektiert, die orthogonal dazu stehende transmittiert:
und für die Leistung gilt
t=
|Et |
= sin ϑ,
|Einc |
(4.104)
r=
|Er |
= cos ϑ
|Einc |
(4.105)
T = t2 ,
2
R=r .
(4.106)
(4.107)
Die transmittierte Welle ist um den Winkel π2 − ϑ gegenüber der einfallenden Welle
gedreht. Was passiert, wenn nun ein zweites Gitter in den Strahl plaziert wird, dessen
75
4 Quasioptische Komponenten
g
2a
Ei
Et
θi
θi
^
n
Er
Abbildung 4.23: Schematische Darstellung eines Polarisationsgitters aus runden
Drähten. Die Komponente des einfallenden Feldes, die parallel zu den
Drähten ist, wird reflektiert, wogegen die orthogonale Komponente
transmittiert wird.
Drähte senkrecht auf der ursprünglichen Polarisationsrichtung stehen? Es wäre ein Trugschluss, anzunehmen, dass die transmittierte Amplitude total sin2 ϑ wäre! Dies ist nicht
der Fall, da ein Teil am zweiten Gitter zurück zum ersten Gitter reflektiert wird und
im Prinzip ein Interferometer entsteht. Das zeigt auch deutlich eine Problemzone eines
Polaristaionsgitters auf, dass nämlich die parallele Komponente reflektiert wird und sich
störend bemerkbar machen kann.
Mehrfachreflexionen können vermieden werden, wenn die Gitter gegenüber der Einfallsrichtung gedreht werden. Dabei ist aber wichtig, dass für den Reflexions- resp. den
Transmissionskoeffizient der Winkel der Drähte massgebend ist, wie ihn eine einfallende Welle sieht, d.h. die Projektion der Drähte auf eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Dies wird in Abbildung 4.24 dargestellt. Ein Gitter sei um den Winkel
ϕ gegenüber einem senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehendem Gitter gedreht. Die
Gitterdrähte seien um den Winkel ϑ gedreht. Eine einfallende Welle sieht aber die Drähte
unter einem anderen Winkel ϑ! gedreht, nämlich unter der Projektion zur Ausbreitungsrichtung:
ϑ! = tan−1 (tan ϑ cos ϕ).
76
(4.108)
4 Quasioptische Komponenten
θ
Senkrecht zu Strahl
θ´
gekipptes Gitter
Gitter
Ebene
ϕ
Einc
Gitter projiziert auf
Strahlrichtung
Abbildung 4.24: Gitter, das um den Winkel φ zur Ausbreitungsrichtung gedreht ist und
dessen Drähte um den Winkel ϑ gekippt sind.
Um ein Gitter unter einem Winkel ϑ! zu erhalten, müssen die Drähte bei der Herstellung
unter dem Winkel ϑ fabriziert werden, wobei
−1
ϑ = tan
!
tan ϑ!
cos ϕ
"
.
(4.109)
4.2.2 Gitter als Diplexer
Wie die Figur 4.23 zeigt, kann mit einem Gitter nicht nur ein Strahl in zwei zu einander
orthogonale Komponenten zerlegt werden, sondern es gibt auch die Möglichkeit zwei
Signale, die orthogonal zueinander polarisiert sind, zusammenzufügen. Diese Anordnung
bezeichnet man als Diplexer. Bei diesem Vorgang müssen nicht beide Signale die gleiche
Frequenz haben.
4.2.3 Gitter als Abschwächer
Mittels eines um ϕ = 45° gedrehten Gitters kann ein Abschwächer/Leistungsteiler realisiert werden. Durch eine spezielle Anordnung von Gittern kann ein Abschwächer resp.
Leistungsteiler gebildet werden, der frei von Reflexionen zum Eingangstor ist. Solch eine Anordnung zeigt Figur 4.25. Das erste Gitter ist nicht grundsätzlich notwendig, hilft
aber klar die Polarisation der einfallenden Strahlung zu definieren und macht gleichzeitig
77
4 Quasioptische Komponenten
die Anordnung symmetrisch. Für die Transmission der Amplitude gilt:
tab = sin2 ϑ!
tac = sin ϑ! cos ϑ!
tad = cos ϑ!
(4.110)
und für die Leistung entsprechend
Tab = sin4 ϑ!
Tac = sin2 ϑ! cos2 ϑ!
Tad = cos2 ϑ! .
(4.111)
Dieser Sachverhalt wird in Figur 4.26 dargestellt. Man sieht, dass beim Tor b und d jeder
Bruchteil zwischen 0 und 1 der einfallenden Strahlung beim Tor a erhalten werden kann,
je nachdem um welchen Winkel ϑ! das Gitter gedreht ist. Beim Tor c kann maximal 1/4
der Leistung erhalten werden.
c´
Horizontales
Gitter
d´
Horizontales
Gitter
Gitter
θ´
a
b
d
c
Abbildung 4.25: Abschwächer/Leistungsteiler mit Gittern, der keine Reflexion zum Eingangstor aufweist. Alle Gitter sind um den Winkel ϕ = 45° gedreht.
Das erste und dritte Gitter weisen horizontale Gitterdrähte auf, wogegen das mittlere Gitter Drähte unter dem Winkel ϑ! aufweist. Leistung
vom Eingangstor a kann zu b, c und d gelangen. Leistung, die bei b
eintritt, kann zu a, c! und d! gekoppelt werden.
78
4 Quasioptische Komponenten
1
0.9
Tad
0.8
Transmittierte Leistung
0.7
0.6
T
ab
0.5
0.4
0.3
0.2
Tac
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Projizierter Gitterwinkel bez. Richtung des einfallenden Feldes
Abbildung 4.26: Transmittierte Leistung bei einem Gitter-Abschwächer gemäss Figur
4.25.
4.2.4 Drehung der Polarisation
Drehung von linear zu linear
Oft ist es von Interesse die Polarisationsrichtung in einem System aufrecht zu erhalten.
Diese Anforderung kann dazu führen, dass es nötig ist die Polarisationsrichtung zu drehen, weil gewisse Komponenten im System die ursprüngliche Richtung verändert haben.
Eine einfache Art die Polarisationsrichtung zu drehen, geschieht mittels eines sog. Hausdachspiegels wie er in Figur 4.27 schematisch dargestellt ist. Solch ein Spiegel besteht
aus zwei senkrecht zueinander montierten Spiegeln, wobei der Dachfirst senkrecht auf
der Ausbreitungsrichtung steht. Meistens wird diese Anordnung ohne zusätzlichen Offsetwinkel verwendet. Wenn das elektrische Feld anfänglich den Winkel α zum Dachfirst
aufweist, so ist es nach der Reflexion um den Winkel 2α gegenüber der ursprünglichen
Richtung gedreht.
Eine andere Art die Polarisationsrichtung zu drehen, besteht darin, mehrere Gitter
hintereinander zu stellen, die alle um einen bestimmten Winkel gedreht sind. Die Polarisationsrichtung kann durch Projektion des einfallenden Feldes auf die Richtung, welche
durch die Gitterdrähte definiert wird, geändert werden. Ein einzelnes Gitter, dessen
Transmissionsrichtung (d.h. die Richtung senkrecht zu den Drähten) einen Winkel β
mit dem einfallenden linear polarisierten Feld macht, wird den Anteil cos β durchlassen
und damit cos2 β der Leistung transmittieren. Das ist in den meisten Fällen aber nicht
was man will, da die Leistung signifikant reduziert wird. Wenn aber n Gitter verwendet werden, die alle um den Winkel β/n gegeneinander gedreht sind, so wird die totale
79
4 Quasioptische Komponenten
^z
α
θ
Offset (Winkel θ)
θ
^z
α
Abbildung 4.27: Hausdachspiegel, der unter einem Offsetwinkel θ verwendet wird. Die
Polarisationsrichtung wird um den Winkel 2α gedreht.
transmittierte Leistung Tn nach n Gittern
! "
β
Tn = cos
n
2n
(4.112)
betragen, und die ursprüngliche Polarisationsrichtung wird um den Winkel β gedreht
sein. Schon für relativ wenige Gitter erreicht man Transmissionswerte von mehr als
0.9. Problematisch ist allerdings, dass bei jedem Gitter ein Teil reflektiert wird, der
beim voraus gehenden Gitter wieder reflektiert wird und dadurch ein Interferometer
gebildet werden kann. Da dies unerwünscht ist, müssen die einzelnen Gitter gegenüber
der Ausbreitungsrichtung gedreht sein, idealerweise um 45°. Der Interferometereffekt
kann aber auch genutzt werden. Durch geschickte Wahl des Rotationswinkels und des
Abstandes bei parallelen Gittern können sogar noch höhere Transmissionswerte erzielt
werden, allerdings auf Kosten einer Frequenzabhängigkeit.
Drehung von linear zu zirkular, λ/4-Platte
In einer sog. ’Waveplate’ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit für unterschiedliche Polarisationsrichtungen verschieden. Das hat zur Folge, dass nach Durchlaufen einer Waveplate
ein Phasenunterschied zwischen den beiden Polarisationsrichtungen vorliegt. Beträgt der
Phasenunterschied π/2, so spricht man von einer λ/4-Platte. Ein schematischer Aufbau
einer solchen Wellenplatte zeigt Figur 4.28.
Mittels einer λ/4-Platte kann linear polarisiertes Licht in zirkular polarisiertes Licht
verwandelt werden. Eine λ/4-Platte lässt sich realisieren, indem ein Drahtgitter vor
einem Spiegel montiert wird und zwar in einem Abstand d, so dass der entsprechende
80
4 Quasioptische Komponenten
1
2
l
θi
d
L1
L2
Abbildung 4.28: Wellenplatte bestehend aus einem Gitter im Abstand d eines Spiegels.
Phasenunterschied für die an Gitter und die am Spiegel reflektierte Komponente gerade
einen Phasenunterschied von π/2 haben. Für die Anordnung in Figur 4.28 erhält man
einen Phasenunterschied13 von
∆ϕ =
2π(L1 + L2 )
4πd cos ϑi
=
λ0
λ0
(4.113)
und für eine λ/4-Platte muss daher der Abstand
dλ/4 =
(2K + 1)λ0
8 cos ϑi
(4.114)
sein. Dabei ist K = 0, 1, 2, 3, .... Es ist ferner zu beachten, dass zwischen den beiden
reflektierten Strahlen ein lateraler Versatz entsteht, der
l = 2d cos ϑi
(4.115)
beträgt. Dieser Versatz spielt primär bei stark fokussierten Gauss Strahlen eine Rolle.
Aber genau diese erlauben es, kleine λ/4-Platten zu realisieren. Es ist zudem offensichtlich, dass solche Wellenplatten eine eingeschränkte Bandbreite aufweisen. Eine wichtige
Anwendung einer λ/4-Platte ist diejenige als Isolator. Es wurde bereits mehrmals darauf
aufmerksam gemacht, dass reflektierte Strahlung zu Problemen in einem quasioptischen
Aufbau führen kann (baseline-Effekt in Radiometern). Durch das Einbringen eines Isolators kann dieser Effekt weitgehend vermieden werden. Linear polarisierte Strahlung
ist nach Durchlaufen einer λ/4-Platte zirkular polarisiert. Wird nun diese Strahlung irgendwo reflektiert, so wird sie weiterhin zirkular polarisiert sein, aber mit umgekehrten
Drehsinn. Wird sie nun wieder durch eine λ/4-Platte geleitet, so wird wieder linear polarisierte Strahlung entstehen, aber nun orthogonal zur ursprünglichen. Dadurch kann
sie aber weniger Probleme bereiten. Ein Beispiel für das Isolationsverhalten eines quasioptischen Isolators bei 183 GHz zeigt Figur 4.29.
13
L1 =
d
cos ϑi
und L2 = L1 cos 2ϑi
81