Numerische Methoden der Strömungsmechanik

6.5 Nichtlineare Effekte: Die Burgers-Gleichung
(a) J = 30, ∆x = 0.2, s = 0.2, ReG = 2, ν = 0.1,
t=6
(b) Legende
Anfangsprofil
FTCS
Lax-Wendroff
fin. Diff., 4-P.-Upw., q = 0.5
Crank-Nicolson, fin. Diff.
Crank-N., Mass.-Op., δ = 0.25
Crank-N., 4-P.-Up., q = 0.5
exakte Lösung
1
2
0.5
u 0.5
0.01
0.1
0
2
x
0
4
Abbildung 6.20: Vergleich verschiedenen Verfahren für die Burgers-Gleichung mit ν =
0.1 und t = 6. Die Gitter-Reynoldszahl ist ReG = 2 (u = 1). Die blau gestrichelten
Kurven zeigen die zeitliche Entwicklung der exakten Lösung. Die Zeiten sind als Zahlen
angegeben.
(a) J = 40, ∆x = 0.1, s = 0.02, C = 1, ReG = 50,
ν = 0.002, νa = 0.25, t = 2
Crank-Nicolson, fin. Diff.
Crank-N., Mass.-Op., δ = 0.25
Crank-N., 4-P.-Up., q = 0.5
1
0.8
u
(b) Legende
Crank-N., fin. Diff., sa = 0.25
0.6
CN, MO, δ = 0.12, sa = 0.25
0.4
CN, 4-PU, q = 0.5, sa = 0.25
exakte Lösung
0.2
0
−0.2
−0.5
0
0.5
x
1
1.5
2
Abbildung 6.21: Einfuß der künstlichen Diffusion auf die verschiedenen Varianten des
Crank-Nicolson-Verfahrens für die Burgers-Gleichung bei kleiner Viskosität, entsprechend
einer hohen Gitter-Reynoldszahl von ReG = 50. Die Ergebnisse ohne künstliche Diffusion
sind durch offene Symbole gekennzeichnet.
Oszillationen zu vermeiden, wird manchmal eine zusätzliche künstliche Diffusion
eingeführt. Die künstliche Diffusion soll die Oszillationen dämpfen, die durch das
numerische Verfahren enstehen. Fletcher (1991a) schlägt vor, den künstlichen Diffusionsterm
¡
¢ F =u2 /2 νa
¡
¢
νa
∆tLxx Fjn + Fjn+1
=
∆tLxx un+1
unj
j
2
2
/
Numerische Methoden der Strömungsmechanik
H. C. Kuhlmann, WS 07 08
(6.136)
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