Einführung in Derivate und deren Bewertung mit dem Black
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Einführung in Derivate und deren Bewertung mit dem Black-Scholes-Merton Modell Bernadette Figel Seminar: Warum wir falsch liegen und trotzdem weiter machen! Betreuer: Rupert Hughes-Brandl 21.05.2010, München Institut für Statistik, Ludwig Maximilians Universität Sommersemester 2010 2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Derivate 3 3 Unbedingte Termingeschäfte 3.1 Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bestimmung von Forward- und Futures-Preise . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 7 4 Swaps 10 4.1 Zinsswaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Bewertung von Zinsswaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Währungsswaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Bedingte Termingeschäfte 5.1 Option - Grundgeschäftsarten . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Aktienoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Preis beeinflussende Faktoren bei Aktienoptionen 5.2.2 Bewertung von Aktienoptionen . . . . . . . . . . 5.3 Black-Scholes-Merton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 14 15 18 19 19 20 21 6 Zusammenfassung 23 7 Literaturverzeichnis 25 8 Abbildungsverzeichnis 26 9 Tabellenverzeichnis 26 1 EINLEITUNG 1 3 Einleitung Im 17. Jahrhundert weckten Tulpenzwiebeln die Gier holländischer Investoren. Es wurden für eine Tulpenzwiebel ganze Häuser angeboten. Ab dem Jahr 1635 wurden mit Tulpen-Derivaten gedealt (Friedmann 2009): Der Händler, der z.B. eine Preisexplosion fürchtete, will im Herbst hundert Zwiebeln zu je zwei Mark kaufen. Der Bauer, der fürchtete, die Zwiebel sei dann nur noch 1,80 Mark wert, war mit dem Geschäft einverstanden. Der Handel mit Tulpen-Derivaten entwickelte sich sehr gut. Doch mit dem Verfall der Tulpenpreise verloren viele Spekulanten ihr ganzes Vermögen. Seitdem gelten Optionen als dubios (Häring 2010). Daran hat sich bis heute nicht viel geändert. Es wird über kaum ein anderes Thema an den internationalen Finanzmärkten so intensiv diskutiert, wie über Derivate (Häring 2010). Im Folgenden werden zuerst Derivate allgemein vorgestellt. Derivate lassen sich in die drei Kategorien unbedingte Termingeschäfte, Swaps und bedingte Termingeschäfte einteilen, auf die jeweils einzeln eingegangen wird. 2 Derivate Derivate haben in der Finanzwelt in den letzten 30 Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen(Hull 2003). Das Wort Derivat ist lateinischer Herkunft und stammt von „derivare“=“ableiten“. Derivate sind Finanzinstrumente, deren Preisbildung von einem Basiswert (Underlying) abhängt. Dabei können die Basiswerte marktbezogene Referenzgrößen (Zinssätze und Indizes), Vermögensgegenstände (z.B Aktien und Anleihen) oder Handelsgeschäfte (z.B Rohstoff- und Devisengeschäfte) sein. Die Finanzinstrumente werden heute intensiv an vielen Börsen der Welt gehandelt. Darüber hinaus werden sie auch außerhalb der Börse auf den Over-the-Counter-Markt gehandelt (Gauer 2009). Bei Derivaten handelt es sich um Termingeschäfte deren Handelsgegenstände keine physische Ware oder Wertpapiere, sondern Verträge über zukünftig zu erfüllende Geschäfte sind. Solche Verträge werden an Terminmärkten abgeschlossen. Am Kassamarkt hingegen werden Direktgeschäfte durchgeführt, bei denen eine unmittelbare Bezahlung und Lieferung des Basiswertes erfolgt (Hull 2009). 2 DERIVATE 4 Derivate werden im Normalfall zur Absicherung gegen zukünftige Preisschwankungen, zur Erzielung von Spekulationsgewinnen oder zur Nutzung von Aribtagemöglichkeiten abgeschlossen (Hull 2009). Hedger Mit Hilfe von Termingeschäften kann sich der Käufer gegen zukünftige Preisschwankungen auf dem Kassamarkt absichern. Auf der anderen Seite schützt sich der Verkäufer vor einem Preisrückgang (Hull 2009). Spekulant Termingeschäfte werden nicht nur aus Sicherheitsgründen abgeschlossen, sondern auch auf Grund der hohen Gewinnchancen. Dies bedeutet jedoch auch gleichzeitig ein hohes Verlustrisiko. Der Reiz bei Termingeschäft ist, dass der Liquiditäts- und Kapitaleinsatz bei den Spekulationsgeschäften geringer ist als bei den Kassageschäften. Es besteht ein wechselseitiges Interesse zwischen Hedger und Spekulant, welche auf die zukünftige Preisentwicklung der entsprechenden Basiswerte spekulieren, ohne die Basiswerte selbst dabei zu kaufen oder zu verkaufen (Hull 2009). Arbitrageur Der Arbitrageur möchte eine risikoarme Gewinnerzielung mittels Derivaten erzielen, indem er Preisungleichheiten auf den Märkten ausnützt. Er nimmt dafür die ausgleichende Position in zwei oder mehreren Papieren an um Gewinne erzielen zu können (Hull 2009). Des Weiteren lassen sich Derivate in die drei Kategorien, unbedingte Termingeschäfte, Swaps und bedingte Termingeschäfte einteilen. Unbedingte Termingeschäfte sind in der Gegenwart vereinbarte Konditionen im Kaufvertrag über zukünftige Geschäfte mit unbedingter Ausübung (Gauer 2009). Swaps sind Tauschverträge von Zahlungsverpflichtungen in der Zukunft mit unbedingter Ausübung zu mehreren Austauschterminen (Gauer 2009). Bedingte Termingeschäfte sind in der Gegenwart vereinbarte Konditionen mit Kaufvertrag über zukünftige Geschäfte mit bedingter Ausübung (Gauer 2009). Es werden folgende klassische Annahmen bei der Bewertung (Pricing) von Derivaten 3 UNBEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 5 festgelegt: 1. Es gibt keine Transaktionskosten 2. Alle Handelsgewinne (abzüglich Handelsverluste) unterliegen dem gleichen Steuersatz 3. Die Kreditvergabe und Kreditaufnahme erfolgt zum risikofreien Zins (Hull 2009) 3 Unbedingte Termingeschäfte Ein Forward/Futures-Kontrakt ist eine Vereinbarung eine bestimmte Menge eines bestimmten Vertragsgegenstands bei Fälligkeit des Kontraktes zu einem im Voraus vereinbarten Preis zu kaufen und abzunehmen bzw. zu verkaufen und zu liefern (Uszczapowski 2008). Es werden bei den Kontrakten zwei Grundtypen unterschieden. Die Long-Position (Kaufposition) verpflichtet sich den Basiswert bei Fälligkeit des Kontraktes zu dem festgelegten Preis zu kaufen. Die andere Partei nimmt die Short-Position (Verkaufsposition) ein, welche die Pflicht zur Lieferung des zugrunde liegenden Objektes inne hat (Uszczapowski 2008). Der Unterschied zwischen Forward und Futures besteht darin, dass Forwards außerbörslich (over the counter) und Futures an einer Börse gehandelt werden (Hull 2003). 3.1 Forward Anhand des folgenden Beispiels soll die Funktionsweise eines Forwards erläutert werden. 3 UNBEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 6 Abbildung 1: Forward (Quelle: Vanini P., Haefeli M., Jüttner M. o.J.) In diesem Beispiel benötigt Petrol AG in 1 Mio. Barrel Rohöl in 6 Monaten. Auf der anderen Seite möchte Cheap-Oil in 6 Monaten 1 Mio. Barrel Rohöl verkaufen. Da beide Parteien Planungssicherheit wünschen, schließen Petrol AG und CheapOil einen Forward-Kontrakt ab. Petrol AG und Cheap-Oil vereinbaren heute in 6 Monaten, dass Cheap-Oil 1 Mio. Barral Rohöl an Petrol AG zu einem festgelegten Preis liefert. Cheap-Oil besitzt in diesem Fall die Short-Position während Petrol AG die Long-Position besitzt ( Vanini & Haefeli & Jüttner o.J.) 3.2 Futures Bei Futures hingegen gibt es keinen direkten Kontakt zwischen kaufender und verkaufender Partei. Die Gegenpartei stellt die Börse die sogenannte Clearing-Stelle dar (Hull 2003). Wenn man dies auf das Beispiel in Abb. 1 überträgt ergibt sich folgende Grafik: Abbildung 2: Futures (Quelle: Vanini P., Haefeli M., Jüttner M. o.J.) Des Weiteren werden Futures in standardisierter Kontraktform an der Börse abgeschlossen und besitzen eine genormte Handelsmenge (Kontraktgröße). Um das Handelsrisiko an der Börse zu minimieren wird als Sicherheitsleistung (Margin) ein Betrag von beiden Vertragspartnern bei Vertragsabschluss einbezahlt. Darüber hinaus wird der Preis des gehandelten Gutes börsentäglich abgeglichen. Die dadurch entstehenden Gewinne bzw. Verluste werden auf das Konto des Kontraktnehmers gutgeschrieben 3 UNBEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 7 bzw. belastet. Dies wird als mark to market bezeichnet (Hull 2003). Auf Grund der Glattstellungsgeschäfte kommt es bei der Mehrheit der Futures zu keiner Lieferung. Unter einem Glattstellungsgeschäft versteht man die Transaktion, bei der die ursprüngliche Position durch die Einnahme der entgegengesetzten Position glattgestellt wird. Dadurch sind Preis-Spekulationen ohne physischen Erwerb des Vertragsgegenstandes erst möglich (Uszcapowski 2008). 3.3 Bestimmung von Forward- und Futures-Preise Bei der Bestimmung des Preises von Forward und Futures wird eine Unterscheidung zwischen Konsumgut und Investionsgut getroffen. Unter einem Konsumgut versteht man ein Gut, das hauptsächlich zu Konsumzwecken erworben wird. Während ein Investionsgut von einer großen Anzahl von Anlegern zu Investionszwecken erworben wird. Es können für die Bestimmung von Forward- und Futures-Preise eines Investionsguts Arbitrageargumente genutzt werden. Dies ist bei Konsumgütern nicht möglich (Hull 2003). Des Weiteren wird die theoretische Annahme getroffen, dass der Forwardpreis dem Futurespreis entspricht. Jedoch trifft dies in der Realität nicht zu, da auf Grund des mark to market beim Futures gleich profitiert wird, während beim Forward erst später Profit erzielt werden kann. Darüber hinaus besteht beim Futures kein Kreditrisiko (= Ausfallrisiko). In Folgenden wird nur noch auf den Forward Preis eingegangen auf Grund der theoretischen Annahme, dass der Forwardpreis gleich dem Futurespreis ist (Hull 2003). Für die Bestimmung des Forward- und Futures-Preis wird folgende Notation eingeführt: • ST : Kassapreis zum Zeitpunkt T (spotprice) • F0 : Terminpreis • T: Laufzeit des Kontrakts • r: Risikoloser Zinssatz für die Laufzeit T • K: Lieferpreis eines Forward-Kontrakts (deliviery price) 3 UNBEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 8 Bewertung von Forward-Kontrakten ohne Ertrag Am einfachsten ist ein Forward-Kontrakt auf ein Vermögenswert mit Kurs S0 , der dem Kontraktinhaber keine zusätzlichen Erträge liefern, zu bewerten. Dividendenlose Aktien und Anleihen ohne Kupons sind Beispiele für solche Investmentvermögenswerte. Der Terminkurs (F0 ) zu dem das Gut gekauft bzw. verkauft wird, wird bei Vertragsabschluss des Forward-Kontrakts vereinbart. Erst am Tag der Fälligkeit wird das Geschäft zu dem vereinbarten Terminpreis vollzogen. Es besteht zwischen dem Terminpreis (F0 ) und dem Kurs des Basiswertes am Tag des Vertragsabschlusses (S0 ) folgende Beziehung: F0 = S0 erT (Hull 2003) Die Long-Position erzielt einen Gewinn, wenn der Preis des Basiswertes über F0 liegt und einen Verlust, wenn der Preis des Basiswertes unter F0 liegt. Für die ShortPosition verhält es sich genau umgekehrt. Formal ergibt sich: Long-Position: ST − K Short-Position: K − ST Der Wert (f) eines Forward-Kontraktes zum jetzigen Zeitpunkt in der Long-Position ergibt sich durch: f = (F0 − K)e−rT Es findet eine Abzinsung mit exp(−rt) statt, da der Wert zum jetzigen Zeitpunkt berechnet wird. Der Wert (f) eines Forward-Kontraktes zum jetzigen Zeitpunkt in der Short-Position ergibt sich durch: f = (K − F0 )e−rT (Hull 2003) Bewertung von Forward-Kontrakten mit Ertrag Im Folgenden werden Forward-Kontrakte bewertet, die einen sicher vorhersagbaren Ertrag bieten. In diesem Fall bekommt der Inhaber der Short-Position diesen Ertrag. Für den Inhaber der Long-Position bedeutet dies einen geringeren Wert des Forwards. Deshalb wird die Formel für den Terminpreis dieser Situation angepasst. Wenn alle, während der Laufzeit entstanden Erträge zu einem Barwert (I) zusammengefasst werden, lässt sich der Terminpreis folgendermaßen bestimmen: 3 UNBEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 9 F0 = (S0 − I)erT Wenn jedoch durch das Gut während der Laufzeit des Forwards eine bekannte Rendite q erzielt wird, wird für den Terminpreis folgende Berechnungsformel angewendet: F0 = S0 e(r−q)T (Hull 2009) Analog ergibt sich der Wert (f) eines Forward-Kontraktes mit bekanntem Barwert (I) zum jetzigen Zeitpunkt in der Long-Position: f = S0 − I − Ke−rT bzw. mit bekannter Rendite: f = S0 e−qT − Ke−rT (Hull 2009) In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten Formeln für die Bestimmung des ForwardKontraktes zusammengefasst. Basiswert Terminkurs Forward Wert der Long-Position eines Forward-Kontrakts mit Abrechnung K ohne Erträge S0 erT S0 − Ke−rT mit bekanntem Ertrag (S0 − I)erT S0 − I − Ke−rT Barwert (I) mit bekannter Rendite q S0 e(r−q)T S0 e−qT − Ke−rT Tabelle 1: Bewertung des Forward-Kontrakts (Quelle: Hull 2009) Terminpreis von Forward-Kontrakten für ausgewählte Güter Fremdwährung wird bei der Bestimmung von Forward-Kontrakten als ein Investionsgut mit bekannter Rendite gesehen. Die Rendite entspricht dem risikolosen Zinssatz in der Fremdwährung. Der Terminpreis eines Forward-Kontraktes auf Währungen ist bestimmt durch: F0 = S0 e(r−rf )T Hierbei entspricht rf = q (Hull (2003). Negative Erträge eines Forwards auf Rohstoffe sind u.a. Lagerhaltungskosten. Um den Wert des Forward Kontraktes bestimmen zu können, wird der Barwert (U) aller Lagerhaltungskosten während der Laufzeit mit in die Formel einbezogen. 10 4 SWAPS F0 = (S0 + U )erT Es ist nicht möglich den Futures-Kurs bei Konsumgütern als Funktion des Aktienkurses auszudrücken. Der Convenience Yield (y) spielt deshalb eine wichtige Rolle. Dieser Parameter bezeichnet den Nutzen aus der Lagerhaltung der Ware und gibt somit die Markterwartung über die zukünftige Verfügbarkeit der Ware an. Der Terminpreis kann jetzt folgendermaßen bestimmt werden: F0 = S0 e(r+u−y)T Bei Investionsgütern ist der Convenience Yield = 0, da es sonst keine Arbitragemöglichkeiten gibt. Jedoch existiert dafür q bzw. rf . Die Zusammenfassung der Beziehung zwischen Forward- und Kassapreis wird als Cost of Carry (c) bezeichnet und beinhaltet die Lagerhaltungskosten und die Zinsen zur Finanzierung des Assets abzüglich der auf das Asset erzielten Erträge. Es gilt: c=r−q+u (Hull 2003) 4 Swaps Zu Beginn des 1980er Jahre wurden die ersten Swap-Kontrakte abgeschlossen. Inzwischen haben Swaps eine zentrale Rolle auf den Over-the-Counter-Markt eingenommen. Ein Swap ist eine Vereinbarung zwischen zwei Unternehmen, in der Zukunft Cash Flows auszutauschen. Die Vereinbarung legt die Termine fest, zu denen die Zahlungen zu leisten sind, sowie die Art und Weise, wie diese berechnet werden. Die Motivation für Swaps besteht in komparativen Vorteilen, die darin bestehen die relativen Kostenvorteile des anderen Kontraktpartners und damit verbundenen Kostenreduzierung zu nutzen. Ein Beispiel hierfür wäre, dass für einige Unternehmen auf Märkten für festverzinsliche Wertpapiere Vorteile bei der Kreditaufnahme bestehen, während andere einen Vorteil auf Märkten für variabel verzinsliche Geschäfte haben. Wenn ein Unternehmen nun einen Kredit auf einem Markt aufnehmen möchte auf dem man keine Vorteile hat, kann man die Kostenvorteile eines anderen Kontraktpartners nutzen (Hull 2009). 4 SWAPS 4.1 11 Zinsswaps Der Plain Vanilla-Zinsswap ist der bekannteste Swap und gehört zu den Zinsswaps. Ein Unternehmen verpflichtet sich bei einem Zinsswap, Kapitalflüsse in Höhe des Zinses zu einem vorher festgelegten Zinssatz auf einen fiktiven Nominalbetrag für eine bestimmte Anzahl von Jahren zu leisten. Im Gegenzug erhält es Kapitalflüsse zu einem variablen Satz auf das gleiche fiktive Nominalkapital für den gleichen Zeitraum. Es wird jedoch immer nur die Differenz der beiden zu leistenden Zahlungen an den Partner überwiesen. Es findet kein Austausch des Nominalkapitals selber statt (Hull 2003). Der LIBOR ist der variable Zinssatz der bei vielen Zinsswap-Kontrakten, zu dem eine Bank bei einer anderen eine Einlage tätigt, verwendet. Der Zinssatz LIBOR wird von Banken für Einlagen von anderen Banken am Eurogeldmarkt in 1-Monats-, 3-Monats-, 6-Monats- und 12-Monats-LIBOR-Sätzen angeboten (Hull 2003) Im Folgenden wird ein Beispiel für einen Zinsswap zwischen Intel und Microsoft dargestellt: Abbildung 3: Zinsswaps zwischen Intel und Microsoft (Quelle: Hull 2003) Intel hat in diesem Beispiel den variablen Satz inne, während Microsoft den festen Zinssatz von 5% zu dem Nominalbetrag von 100$ Mill. Der Zinsswap-Kontrakt wird am 5.März 2007 geschlossen und der erste Zahlungsaustausch erfolgt am 5.September 2007. • Microsoft: 2,5 Mill.$ • Intel: 0, 5 ∗ 0, 042 ∗ 100Mill.$= 2, 1Mill.$ (6-Monats-LIBOR-Satz am 5.März 2007: 4,2%) Microsoft überweist nun die Differenz der zwei Zahlungsströme 0,4 Mill.$ (= 2, 5 Mill.$−2, 1 Mill.$) an Intel 4 SWAPS 12 Der zweite Zahlungsaustausch erfolgt am 5. März 2008. • Microsoft: 2,5 Mill.$ • Intel: 0, 5 ∗ 0, 048 ∗ 100 Mill.$= 2, 4Mill.$ (6-Monats-LIBOR-Satz am 5.März 2007: 4,8%) Microsoft überweist nun wieder die Differenz der zwei Zahlungsströme 0,1 Mill.$ (= 2, 5Mill.$−2, 4Mill.$) an Intel. Je nach dem wie viele Zahlungsaustausche vereinbart worden sind wird der Prozess analog weitergeführt (Hull 2003). Swaps Verträge zwischen Unternehmen beinhalten ein Kreditrisiko, welches sich für den Differenzempfänger lediglich auf diese Differenz beschränkt, während kein Kreditrisiko beim Differenzzahler besteht. In diesem Beispiel besitzt Microsoft die Long-Position in einer variablen verzinslichen Anleihe und die Short-Position in einer festverzinslichen Anleihe. Während Intel die Long-Position in einer festverzinslichen Anleihe und Short-Position einer variablen verzinslichen Anleihe hat. Da es in der Realität unwahrscheinlich ist, dass gleichzeitig zwei Unternehmen in Kontakt mit einem Finanzinstitut treten um entgegengesetzte Positionen einzunehmen, agieren viele große Finanzinstitute als Market Maker für Swaps (Hull 2003). 4.2 Bewertung von Zinsswaps Für die Beziehung zwischen Swapwert und Anleihekurs wird folgende Notation eingeführt: • VSW AP : Wert des Swaps • Bf l : Wert der variablen verzinslichen Anleihe (bond) • Bf ix : Wert der festverzinslichen Anleihe Ein Zinsswap besitzt den Wert Null bei Abschluss des Kontraktes. Der Swap ist in der Long-Position in einer variablen verzinslichen Anleihe und in der Short-Position in einer festverzinslichen Anleihe. Wenn dies zutrifft ist der Wert des Swaps folgendermaßen bestimmt: 13 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE VSW AP = Bf ix − Bf l Wenn jedoch die Long-Position in einer festverzinslichen Anleihe und die ShortPosition in einer variablen verzinslichen Anleihe sind, gilt: VSW AP = Bf l − Bf ix (Hull 2003). Für die Bewertung von Zinsswaps wird weiter folgende Notation eingeführt: • L: fiktiver Nominalbetrag • t∗ : Zeitpunkt des nächsten Zahlungsaustauschs • k ∗ : variable Zahlung zum Zeitpunkt t∗ Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe nach einer Zinszahlung entspricht ihrem Nominalbetrag, da die Anleihe zu diesem Zeitpunkt ein „faires Geschäft“ ist. Bf l = L Der Wert der variabel verzinslichen Anleihe zum Zeitpunkt des nächsten Zahlungsaustausch entspricht: Bf l = (L + k ∗ )er ∗ t∗ (Hull 2003) 4.3 Währungsswaps Eine weiterer Swap neben dem Zinsswap ist der Währungsswap. Bei diesem findet ein Austausch von Zinszahlungen in einer Währung gegen Zinszahlungen in einer anderen Währung statt. Es werden die Nominalbeträge in der jeweiligen Währung zu Beginn und am Ende der Laufzeit des Swaps ausgetauscht. Da der Zinssatz für beide Währungen fest ist, spricht man von einem Fixed-for-Fixed-Währungsswap (Hull 2009). 5 Bedingte Termingeschäfte Optionen unterscheiden sich grundlegend von den Forward-, Futures- und SwapsKontrakten. Der Optionsinhaber hat das Recht aber nicht die Pflicht die Option 14 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE auszuüben. Im Gegensatz besteht bei Forward-, Futures- und Swaps-Kontrakten kein Ausübungswahlrecht (Hull 2009). Optionen bezeichnet das Recht einen bestimmten Basiswert zu einem späteren Zeitpunkt zu einem vereinbarten Preis (Ausübungspreis) zu kaufen oder zu verkaufen. Dieses Recht wird durch Zahlung einer Optionsprämie erworben. Wenn die Option zu einem festgelegten zukünftigen Zeitpunkt ausgeübt wird, spricht man von einer europäischen Option. Es handelt sich um eine amerikanische Option, wenn sie innerhalb der kompletten Laufzeit ausgeübt werden kann (Uszczapowski 2008). Der Optionsrechtinhaber hat das Recht, aber nicht die Verpflichtung die Option auszuüben. Das bedeutet die Option kann, muss aber nicht ausgeübt werden. Der Options-Stillhalter, der Verkäufer der Option, ist verpflichtet dem Ausübungswunsch des Optionsrechtinhabers Folge zu leisten. Dadurch entsteht ein asymmetrisches Risiko. Deshalb wird es auch als bedingtes Termingeschäft bezeichnet (Uszczapowski 2008). 5.1 Option - Grundgeschäftsarten Es können zwei grundlegende Typen von Optionen unterschieden werden. Die Kaufoption (Call) beinhaltet das Recht den Basiswert zu kaufen während die Verkaufsoption (Put) das Recht beinhaltet einen Basiswert zu verkaufen. Käufer der Option Call Put Recht zu kaufen Recht zu verkaufen Verkäufer der Option Pflicht zu kaufen Tabelle 2: Grundschäftsarten: Call und Put Pflicht zu verkaufen Damit eine Option gekauft werden kann, muss jemand diese verkaufen. Wenn eine Option gekauft wird entsteht eine Long-Position bzw. wenn eine Option verkauft wird entsteht eine Short-Position. Daraus ergeben sich die vier Grundgeschäftsarten des Optionshandels. Der Käufer einer Kaufoption ist in der so genannten Long-Call-Position, während der Verkäufer in der Short-Call-Postion ist. Auf der anderen Seite ist der Käufer der Verkaufsop- 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 15 tion in der Long-Put-Position, während der Verkäufer in der Short-Put-Position ist (Uszczapowski 2008). Es wird folgende Notation eingeführt: • ST : Preis des Basiswertes in Zeitpunkt T • T: Laufzeit der Option • K: Ausübungspreis der Option 5.1.1 Call Long-Call Die Abb. 4 stellt ein Bespielt für den Profit eines Long-Calls am Ausübungstag dar. In diesem Beispiel legen wir fest, dass die Optionsprämie den Wert 4 e und der Ausübungspreis 100 e beträgt. Abbildung 4: Long-Call (Quelle: Uszczapowski 2008) Die Option wird nur ausgeübt, wenn der Basiswert über dem Ausübungspreis liegt, d.h. die Option ist in-the-money. Der Basiswert kann dann für 100 erworben werden 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 16 und zu einem höheren Kurs am Kassamarkt verkauf werden. Als Zone der verminderten Kosten bezeichnet man den Bereich, in dem die Kosten für die Optionsprämie herabgesetzt werden, jedoch noch keine Nettogewinne erzielt wurde. Der Break-EvenPoint wird erreicht, wenn durch einen bestimmten Basiswertpreis die Kosten der Optionsprämie vom Gewinn gedeckt werden. In der Abb. 4 liegt der Breakt-Even-Point bei 104 e, da der Ausübungspreis bei 100 e und die Optionsprämie bei 4 e liegt. Ein Anstieg des Basiswertpreises über den Break-Even-Point hinaus bringt dem Optionsinhaber einen unbegrenzten Gewinn ein (Uszczapowski 2008). Der Inhaber der Option kann durch die Long-Call-Position einerseits Gewinne erzielen, auf der anderen Seite besteht nur ein beschränktes Verlustpotential. Der maximale Verlust beschränkt sich auf den Betrag der Optionsprämie. Ein Verlust einsteht wenn der Ausübungspreis und der Preis des Basiswertes gleich sind (at-the-money) oder über dem Preis des Basiswertes liegt (out-of-the-money). Das bedeutet das eine Option wertlos ist, wenn sie out-of-the-money oder at-the-the-money ist und hat einen Wert von Null. Der innere Wert eines Calls, der in-the-money ist entspricht: St − K Der Payoff der Long-Call-Position kann somit auch durch folgender mathematischen Schreibweise ausdrücken werden: max(ST − K; 0) (Uszczapowski 2008) Short-Call Die Long-Call-Position ist nur möglich, wenn jemand die andere Seite des Handels, die Short-Call-Position, übernimmt. Wenn eine Kaufoption gekauft wird, muss jedoch auch Kaufoption verkaufen werden. 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 17 Deshalb wird die in Abb. 4 dargestellte Long-Call-Position durch eine Short-CallPosition in Abb. 5 erweitert. Abbildung 5: Long-Call und Short-Call (Quelle: Uszczapowski 2008) Die Short-Call-Position wird in Abb. 5 durch die grüne Linie dargestellt. Wenn der Preis des Basiswerts in diesem Beispiel über den Ausübungspreis von 100 e steigt, ist der Short-Call in der Zone des verminderten Gewinns. Ist der Preis des Basiswerts am Ausübungstag beispielsweise bei 102 e, muss die Short-Call-Position bei Ausübung den Basiswert zu 100 e verkaufen. Der Nettogewinn (Optionsprämie) der Short-Call-Position verringert sich von 4 e auf 2 e, da der Basiswert für 102 e am Kassamarkt verkauft werden kann, obwohl er für 100 e erworben wurde (Uszczapowski 2008). Wenn der Verlust der vollen Optionsprämie entspricht, ist der Break-Even-Point bei der Short-Call-Option erreicht. Wachsende Nettoverluste werden in der Short-CallPosition erzielt, wenn der Preis des Basiswertes über den Break-Even-Point ansteigt. Da die Short-Call-Position der Gegenposition der Long-Call-Position entspricht, ist der Payoff der Short-Call-Position: −max(ST − K; 0) = min(K − ST ; 0) 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 18 (Uszczapowski 2008) 5.1.2 Put Das Gegenstück zu einem Call ist der Put. In Abb. 6 wird ein Bespielt für den Profit eines Long-Puts und Short-Puts am Ausübungstag dargestellt. Abbildung 6: Long-Put und Short-Put(Quelle: Uszczapowski 2008) Long-Put Der Käufer eines Puts profitiert von Preisrückgängen des Basiswertes. Dieser kann bei Ausübung der Option den Basiswert zu einem über dem Marktpreis liegenden Ausübungspreis verkaufen. In Abb. 6 ist zu erkennen, dass die Long-Put-Position durch die Zahlung der Optionsprämie von 4 e erlangt wurde. Somit hat die LongPut-Position das Recht den zugrunde liegenden Basiswert für 100 e durch Ausübung des Puts zu verkaufen. Wenn der Preis des Basiswertes um den Betrag der Optionsprämie sinkt, ist der Break-Even-Point erreicht und es kann weder ein Verlust noch ein Gewinn erzielt werden. Fällt der Preis des Basiswertes jedoch unter den BreakEven-Point, macht die Long-Put-Position einen Gewinn. Der Preis des Basiswertes fällt z.B auf 93 e. Die Long-Put-Position kauf den Basiswert für 93 e am Kassamarkt ein und verkauft diesen wieder durch Ausübung des Puts zu 100 e. Wenn der 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 19 Basiswert wertlos ist, wird ein maximaler Gewinn erzielt. Ist der Preis des Basiswertes gleich dem Ausübungspreis (at-the-money) oder über dem Ausübungspreis (out-of-the-moeny) wird die Option nicht ausgeübt und damit verfällt der LongPut. Der Verlust begrenzt sich bei dem Long-Put auf die Höhe der Optionsprämie (Uszczapowski 2008). Der innere Wert eines Puts, der in-the-money ist entspricht: K − St Der Payoff der Long-Put-Position kann somit folgender Maßen ausdrücken werden: max(K − ST ; 0) (Uszczapowski 2008) Short-Put Der Verkäufer eines Puts verpflichtet sich mit dem Erhalt der Optionsprämie den zugrunde liegenden Basiswert auf Wunsch des Optionsrechtinhaber zum Ausübungspreis zu kaufen. Ist die Option at-the-money oder out-of-the-money wird diese nicht ausgeübt und der Options-Stillhalter erhält den begrenzten Gewinn in Höhe der Optionsprämie. Einen maximalen Verlust erleidet der Short-Put bei Wertlosigkeit des Basiswertes (Uszczapowski 2008). Da die Short-Put-Position der Gegenposition der Long-Put-Position entspricht, ist der Payoff der Short-Call-Position: −max(K − ST ; 0) = min(ST − K; 0) 5.2 Aktienoptionen Optionen können sowohl an der Börse als auch außerbörslich an Over-the-Counter Markten gehandelt werden. Wer an der Optionsbörse handelt muss sich nicht um die Bonität seines Kontrahenten sorgen, da diese immer eine bestens abgesicherte Institution, die Clearing-Stelle ist (Hull 2003). 5.2.1 Preis beeinflussende Faktoren bei Aktienoptionen Preis beeinflussende Faktoren bei Aktienoptionen sind: • aktueller Preis der Aktie (S0 ) • Ausübungspreis (K) • Restlaufzeit (T) • implizierte Volatilität (σ) • risikofreier Zinssatz (r) 20 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE • Dividenden Die Wahrscheinlichkeit ist umso höher, dass sich der innere Wert der Option ändert, je mehr Zeit bis zum Ausübungsdatum vorhanden ist. Der Wert einer Option ist umso höher je mehr Zeit bis zur Ausübung vorhanden ist (Hull 2003). Ein weiterer Preis beeinflussender Faktor ist der risikofreie Zinssatz. Wenn in der Wirtschaft der risikofreie Zinssatz steigt, kommt es zu einem tendenziellen Anstieg der erwarteten Wachstumsrate des Aktienkurses und zu einem Absinken des Basiswerts aller künftiger Cashflows, die der Optionsinhaber bekommt. Diese zwei Effekte bedeuten nun einen Anstieg des Callpreises, wenn der risikofreie Zins steigt, bzw. ein Absinken des Putpreises (Hull 2003). Die Volatilität ist ein Maß für Kursschwankungen. Wenn die Volatilität steigt, steigt damit auch die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Basiswert besonders gut oder besonders schlecht entwickelt. Daraus folgt, dass der Inhaber eines Calls bei Kursanstieg einen Profit erzielt und einen begrenzten Verlust bei Kursverfalls hat, weil er höchstens den Preis der Option verlieren kann. Für den Inhaber eines Puts bedeutet dies, dass er einen begrenzten Verlust hat und erzielt Profit bei Kursrückgängen. Der Wert eines Calls und Puts steigt somit mit steigender Volatilität. Zwischen der Höhe der erwarteten zukünftigen Dividende und des Werts eines Calls besteht eine negative Abhängigkeit bzw. eine positive Abhängigkeit des Wertes eines Puts (Hull 2003). Basiswert Restlaufzeit Zinsen Volatilität Dividenden Faktorveränderung ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ Einfluss auf den Preis eines Calls ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ Einfluss auf den Preis eines Puts ↓ ↑ ↓ Tabelle 3: Preisbeeinflussende Faktoren (Quelle: Gauer 2009) 5.2.2 Bewertung von Aktienoptionen Für die Bewertung von Optionen wird eine weitere Notation eingeführt: • ST : Aktienkurs in Zeitpunkt T 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE 21 • C: Wert eines amerikanischen Calls • P: Wert eines amerikanischen Puts • c: Wert eines europäischen Calls • p: Wert eines europäischen Puts Eine Call-Option kann nie mehr wert sein, als der Basiswert. Denn wenn das Recht, den Basiswert zu beziehen teurer ist als der sofortige Kauf der Aktie, ist die Direktinvestition vorteilhafter. Die Obergrenze eines amerikanischen oder europäischen Calls liegt somit bei: c ≤ S und C ≤ S Wenn diese Beziehung nicht zutrifft, kann ein risikoloser Gewinn, indem ein Arbitragent den Basiswert kauft und den Call verkauft, hervorgerufen werden. Ein amerikanischer Put hingegen kann nie mehr wert sein als der Ausübungspreis. P ≤K Obergrenze eines europäischen Puts ist: p ≤ Ke−rT Wenn diese Beziehungen nicht zutreffen kann, ein risikoloser Gewinn erzielt werden, indem ein Arbitragent die Option verkauft (Hull 2003). 5.3 Black-Scholes-Merton-Modell Das Ziel ist es mit dem Black-Scholes-Merton-Modell den Preis eines europäischen Calls und Puts auf dem Basiswert S mit einem Ausübungspreis K und einer Restlaufzeit von t zu bestimmten. Es wird die Annahme gemacht, dass der Aktienkurs einem Zufallsweg folgt. Dies bedeutet, dass die proportionale Veränderung des Aktienkurses in einem kurzen Zeitraum normal verteilt ist (Hull 2001). Zu Beginn wird folgende Notation eingeführt: • µ: erwartete Rendite der Aktie 22 5 BEDINGTE TERMINGESCHÄFTE • σ: Volatilität der Rendite • µ∆t: arithmetischer Mittelwert der proportionale Änderung im Zeitraum ∆t √ • σ ∆t: Standardabweichung der proportionalen Änderung im Zeitraum ∆t • ∆S Änderung von S im Zeitraum ∆t Die Annahme die dem Black-Scholes-Morten-Modell zugrunde liegt, lautet: ∆S S ∼ N [µ∆t; σ 2 ∆t] Die Annahme eines Zufallsweges beinhaltet darüber hinaus, dass der Aktienkurs zu jedem künftigen Zeitpunkt log-normalverteilt ist. Eine Variable, die log-normalverteilt ist, besitzt die Eigenschaft, dass ihr natürliche Logarithmus normalverteilt ist. Der Aktienkurs ln St zu einem künftigen Zeitpunkt t ist auf Grund der Annahmen im Black-Scholes-Morton-Modell normalverteilt (Hull 2001). Das arithmetische Mittel und die Standardabweichung von ln St sind folgendermaßen definiert: 2 ln S0 + (µ − σ2 )∆t und √ σ ∆t Dieses Ergebnis lässt sich umformen in: ln St ∼ N [ln S0 + (µ − σ2 ); σ 2 √ ∆t] Das Black-Scholes-Merton-Modell basiert auf der Annahme, dass der natürliche Logarithmus des Aktienkurses einer Option einem sogenannten Wiener-Prozess folgt, so dass sich die Aktienpreise analog einer geometrischen brownschen Bewegung verhalten: dSt = µSt dt + σSt dW (1) Für die Bestimmung der Option wird für diese eine Duplikation der Option durch ein geeignetes Portfolio durchgeführt. Dieses Portfolio besteht aus dem Aktienkurs und einer Anlage oder einem Kredit mit dem Zinssatz r unter der Annahme der konstanten Zins- und Volatilitätsentwicklung. Somit entspricht der Wert der Option dem Duplikationsportfolie. Die Option kann mit der Bewertungsformeln nach Black-Scholes und der BlackScholes-Merton-Differentialgleichung bestimmt werden (Hull 2001). 23 6 ZUSAMMENFASSUNG Bewertungsformeln nach Black-Scholes Der Preis der Option kann als Erwartungswert der zukünftigen Kapitalauszahlung gesehen werden. Die Höhe der zukünftigen Kapitalauszahlung zum Zeitpunkt t ist z.B bei einem Long-Call max(St − K, 0). Um den Wert einer Option zu berechnen, wird der Erwartungswert über die in der Höhe unsicheren zukünftigen Kapitalauszahlung gebildet und auf heute abgezinst mit exp(−rt). Damit die Arbitragefreiheit garantiert werden kann, muss der Erwartungswert bzgl. des risikolosen Maßes Q gebildet werden. Dies bedeutet in der Praxis nur, dass die erwartete Rendite der Aktie (µ) in (1) durch r ersetzt wird um zu einem „fairen“ Preis zu kommen (Hull 2003). Es ergibt sich folgende Gleichung: dSt = rSt dt + σSt dW Somit gilt z.B für den Preis einer (europäische) Call-Option: c = e−rt EQ [(ST − K)+ ] Mit Hilfe von Umformungen erhält man nun die Bewertungsformeln nach BlackScholes: c = S0 φ(d1 ) − Ke−rT φ(d2 ) und p = Ke−rT φ(−d2 ) − S0 φ(d−1 ) d1 = ln 2 S0 +(r+ σ2 T ) K µ √ und d2 = d1 − σ T (Hull 2003) Die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung Eine weitere Möglichkeit für die Bewertung von Optionen bietet die Black-ScholesMerton-Differentialgleichung. Der faire Preis von Optionen wird hierbei durch die Anwendung des Lemmas von Ito und der Annahme der Arbitragefreiheit dargestellt. ∂f ∂t 2 ∂f + rS ∂S + 12 σ 2 S 2 ∂ 2 f = rf (Hull 2001) 6 Zusammenfassung Derivate sind Finanzinstrumente, deren Preisbildung von einem Basiswert abhängen. Sie lassen sich in die drei Kategorien, unbedingte Termingeschäfte, Swaps und bedingte Termingeschäfte, einteilen. Unter einem Termingeschäft versteht man einen Vertrag über zukünftig zu erfüllende Geschäfte. Bei Forward und Futures besteht kein 6 ZUSAMMENFASSUNG 24 Ausübungswahlrecht, deshalb spricht man hier von unbedingten Termingeschäften. Bedingte Termingeschäfte wie Optionen beinhalten ein Ausübungswahlrecht. Swaps sind Tauschverträge von Zahlungsverpflichtungen in der Zukunft. Für die Berechnung des Optionspreises kann zum einen die Bewertungsformel nach Black-Scholes oder die Black-Scholes-Merton-Differentialgleichung angewendet werden. 7 LITERATURVERZEICHNIS 7 25 Literaturverzeichnis 1. Gauer Kolja: Theoretische Grundlagen des Kapitalmarktes. In e-fellows.net: Perspektive Investment Banking & Asset Managment; Das Expertenbuch zum Einstieg; 2009. Friedmann Jan: Tulpen-Wahn in Holland, Wie die große Gartenhure Investoren verückt machte; Spiegel Online Wissenschaft; 01.08.2009. 2. Häring Christian: Was sit eigentlich...ein Finanzderivat? Optionen, Futures, Swaps - wir gewöhnen uns ja an vieles, obwohl wir es nicht wirklich verstehen. Machen wir einen Anfang...; Brandeins 06/01. 3. Hull John C.: Einführung in Futures- und Optionsmärkte; 3 Auflage, Oldenbourg, 2001. 4. Hull John C.: Optionen, Futures und andere Derivate; Prentice Hall; 7. Auflage 2009. 5. Hull John C.: Options, Futures and other Derivatives; Prentice Hall International Editions; 5. Auflage, 2003. 6. Uszcapowski Igor: Optionen und Futures verstehen; Beck-Wirschaftsberater im dtv; 6, Auflage, 2008. 7. P. Vanini M. Haefeli M. Jüttner: Entwicklung von Bankprodukten; Kapitel 4-Forwards&Futures. 8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 8 Abbildungsverzeichnis • Abbildung 1: Forward (Quelle: Vanini P., Haefeli M., Jüttner M.) • Abbildung 2: Futures (Quelle: Vanini P., Haefeli M., Jüttner M.) • Abbildung 3: Zinsswaps zwischen Intel und Microsoft (Quelle: Hull 2003) • Abbildung 4: Long-Call (Quelle: Uszczapowski 2008) • Abbildung 5: Long-Call und Short-Call (Quelle: Uszczapowski 2008) • Abbildung 6: Long-Put und Short-Put(Quelle: Uszczapowski 2008) 9 Tabellenverzeichnis • Tabelle 1: Bewertung des Forward-Kontrakts (Quelle: Hull 2003) • Tabelle 2: Grundschäftsarten: Call und Put • Tabelle 3: Preisbeeinflussende Faktoren (Quelle: e-fellows.net 2009) 26