SS09 Nachklausur mit Lösung (Behrndt)

Klausur - Analysis I
Lösungsskizzen
Aufgabe 1.:
5 Punkte
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Kennzeichnen Sie wahre Aussagen mit W und falsche Aussagen mit F. Es sind keine Begründungen nötig. Für jede richtige
Antwort gibt es einen halben Punkt, für jede falsche wird ein halber Punkt abgezogen, nicht
beantwortete Teilaufgaben werden nicht bewertet. Die minimale Gesamtpunktzahl ist Null.
W Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt einen Häufungspunkt.
F
F
Es sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊂ X. Ist A nicht abgeschlossen, so ist A
offen.
P∞
Es sei ρ der Konvergenzradius der Potenzreihe n=0 an xn . Dann konvergiert diese
Potenzreihe für alle x ∈ R mit −ρ ≤ x ≤ ρ.
F
Es sei f : R → R stetig und (an )n∈N eine divergente Folge reeller Zahlen. Dann
divergiert auch die Folge (f (an ))n∈N .
F
Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, so daß die Teilfolgen (a2n )n∈N und
(a2n−1 )n∈N konvergieren. Dann konvergiert auch (an )n∈N .
W Die Funktion f : R\{0, 1} → R, f (x) =
x3
|x|(x−1)
ist stetig.
so daß die Reihe
W Es sei (an )n∈N eine Folge nichtnegativer reellerPZahlen,
∞
2
konvergiert. Dann konvergiert auch die Reihe
n=1 an .
P∞
n=1
an
W Die Funktion f : R → R, f (x) = x|x|, ist im Punkt 0 differenzierbar.
ad (i) Dies ist die Aussage des Satzes von Bolzano-Weierstraß.
ad (ii) Betrachte z.B. die Menge [0, 1) in R, welche weder offen noch abgeschlossen ist.
ad (iii) An den Randpunkten des Konvergenzkreises (bzw. -intervalles) muß die Potenzreihe
nicht konvergieren, siehe z.B. Aufgabe 5.
ad (iv) Betrachte z.B. die stetige Funktion f : R → R, f (x) := 0 für alle x ∈ R und
die divergierende Folge xn := n, n ∈ N. Dann konvergier die Folge der Bildpunkte
f (xn ) = 0, n ∈ N gegen Null.
ad (v) Betrachte z.B. die Folge (−1)n . Dann konvergiert (−1)2n gegen 1 und (−1)2n−1 gegen
−1, aber (−1)n selbst konvergiert nicht.
ad (vi) Dies ist wahr, da f auf dem Definitionsbereich als Komposition stetiger Funktionen
stetig ist (es wird nicht durch Null geteilt!).
P∞
ad (vii) Da n=1 an konvergiert,
eine Nullfolge undPsomit durch eine Konstante
P∞ so ist (an ) P
∞
∞
K beschränkt. Da mit
a
auch
n=1 n
n=1 Kan = K
n=1 an konvergiert und da
|a2n | ≤ Kan gilt, folgt die Behauptung nach dem Majorantenkriterium.
ad (viii) Es gilt mit der Definition derDifferenzierbarkeit:
f (x) − f (0)
x|x| − 0
= lim
= lim |x| = 0.
x→0,x6=0
x→0,x6=0
x→0,x6=0
x−0
x
lim
Somit ist f in 0 differenzierbar und f ′ (0) = 0.
Aufgabe 2.:
Es sei X eine nichtleere Menge und k · k eine Norm auf X.
5 Punkte
(i) Zeigen Sie, daß
f : X → [0, ∞),
f (x) := kxk,
x ∈ X,
eine stetige Funktion ist.
(ii) Es sei
A := {x ∈ X | kxk = 2}.
Zeigen Sie, daß A eine abgeschlossene Menge ist.
(i) Sei x0 ∈ X beliebig und ǫ > 0 beliebig. Wir setzen δ := ǫ. Dann gilt mit der umgekehrten
Dreiecksungleichung für alle x ∈ X mit kx − x0 k < δ:
¯
¯
|f (x) − f (x0 )| = ¯kxk − kx0 k¯ ≤ kx − x0 k < δ = ǫ.
(ii) Da das Urbild abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen abgeschlossen ist, und
da {2} ⊂ [0, ∞) eine abgeschlossene Menge ist, so folgt, daß
A = {x ∈ X | kxk = 2} = f −1 ({2})
abgeschlossen in X ist.
Aufgabe 3.:
3 Punkte
Es sei (X, k · k) ein normierter Raum und (an )n∈N ⊂ X eine konvergente Folge in X. Zeigen
Sie, daß (an )n∈N beschränkt ist.
Sei limn→∞ an =: a ∈ X. Wir wählen z.B. ǫ = 1. Dann gibt es nach der Definition der
Konvergenz ein N > 0, so daß kan − ak < ǫ = 1 für alle n > N , also kan k ≤ kak + 1. Mit
K := max{ka1 k, . . . , kaN k, kak + 1}
folgt somit
kan k ≤ K
für alle n ∈ N.
Aufgabe 4.:
4 Punkte
(i) Bestimmen Sie den punktweisen Grenzwert der Funktionenfolge (fn )n∈N mit
fn : [0, 1] → R,
fn (x) := xn sin(πx)
und entscheiden Sie, ob (fn )n∈N gleichmäßig konvergiert (Begrnden Sie Ihre Antwort!).
(ii) Geben Sie ein Beispiel einer punktweise konvergenten Funktionfolge (fn )n∈N auf dem
Intervall [0, 1] an, so daß für jedes n ∈ N die Funktion fn stetig ist, die Grenzfunktion
f jedoch nicht.
(i) Für x = 1 ist fn (1) = 1 sin(π) = 0 für alle n ∈ N und somit fn (1) → 0 für n → ∞.
Für 0 ≤ x < 1 gilt |fn (x)| = |xn sin(πx)| ≤ xn → 0 für n → ∞. Somit konvergiert
fn (x) → 0 für alle x ∈ [0, 1].
Die Konvergenz ist nach dem Satz von Dini gleichmäßig, denn [0, 1] ist kompakt, sowohl
alle fn als auch die Nullfunktion sind stetig und fn (x) konvergiert für jedes x ∈ [0, 1]
monoton (fallend) gegen 0.
(ii) Wir können hier das aus der Vorlesung bekannte Beispiel fn : [0, 1] → R, fn (x) := xn
wählen. Diese Folge stetiger Funktionen konvergiert punktweise gegen die nicht stetige
Grenzfunktion
(
0,
falls 0 ≤ x < 1
f : [0, 1] → R, f (x) :=
1
falls x = 1.
Aufgabe 5.:
Bestimmen Sie alle x ∈ R, für die die Potenzreihe
4 Punkte
∞
X
(x − 2)n
√
n
n=1
konvergiert.
Wir bestimmen zunächst den Konvergenzradius:
√
p
n+1
|an |
= lim
1 + 1/n = 1.
= lim √
ρ = lim
n→∞
n→∞
n→∞ |an+1 |
n
Da der Entwicklungspunkt der Potenzreihe x0 = 2 ist, konvergiert die Postenzreihe jedenfalls
auf dem Intervall (1, 3).
Wir betrachten nun die Randpunkte:
P∞
x = 1 : Hier ist die Konvergenz der Reihe n=1 (−1)n √1n zu untersuchen, welche nach dem
√
Leibnizkriterium konvergiert, da (1/ n) eine monoton
P∞ 1 fallende Nullfolge ist.
√
x = 3 : Hier ist die Konvergenz der Reihe
n=1 n zu untersuchen, welche nach dem
√
Minorantenkriterium divergiert, denn es ist für alle n ∈ N: 1/ n ≥ 1/n und die Reihe
P
∞
1
n=1 n konvergiert bekanntermaßen nicht (harmonische Reihe).
Somit konvergiert die Potenzreihe genau auf dem Intervall [1, 3).
Aufgabe 6.:
Es sei
4 Punkte
f : R → R,
(
x2 cos(1/x)
f (x) :=
0
falls x 6= 0
falls x = 0.
(i) Zeigen Sie, daß f auf ganz R differenzierbar ist.
(ii) Entscheiden Sie, ob f auf ganz R stetig ist (mit Begründung).
(i) Für x 6= 0 ist f als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar. Für x = 0
betrachten wir die Definition der Differenzierbarkeit:
f (x) − f (0)
x2 cos(1/x))
= lim
= lim x cos(1/x) = 0,
x→0,x6=0
x→0,x6=0
x→0,x6=0
x−0
x
lim
denn |x cos(1/x)| ≤ |x| → 0 für x → 0. Somit ist f auf ganz R differenzierbar.
(ii) Jede differenzierbarre Funktion ist auch stetig. Somit ist nach dem ersten Aufgabenteil
f auch stetig.
Aufgabe 7.:
Es sei
4 Punkte
f : [1, 2] → R,
f (x) :=
2
− x + 1.
x4
(i) Zeigen Sie, daß f mindestens eine Nullstelle besitzt.
(ii) Zeigen Sie, daß f höchstens eine Nullstelle besitzt.
(i) Es ist f eine stetige Funktion auf [1, 2] und f (1) = 2 > 0, f (2) = 1/8−2+1 = −7/8 < 0.
Somit hat f nach dem Zwischenwertsatz zumindest eine Nullstelle.
(ii) Angenommen, f besitze zwei verschiedene Nullstellen x1 6= x2 . Da f differenzierbar auf
(1, 2) und stetig auf [1, 2] ist, existiert nach dem Mittelwertsatz ein ξ zwischen x1 und
x2 mit
f (x1 ) − f (x2 )
f ′ (ξ) =
= 0.
x1 − x2
Es ist aber
8
−1<0
x5
für alle x ∈ (1, 2), also insbesondere auch f ′ (ξ) < 0, Widerspruch!
f ′ (x) = −