2 - TUM - Zentrum Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Diskrete Optimierung: Grundlagen (MA 2501)
Prof. Dr. R. Hemmecke, Dr. R. Brandenberg, M.Sc.-Math. B. Wilhelm
Übungsblatt 2
Aufgabe 2.1
Sei G = (V, E) ein Graph.
a) Zeigen Sie: der in der Vorlesung vorgestellte DFS Algorithmus besitzt Laufzeit
O(|V | + |E|) = O(max(|V |, |E|)).
b) Formulieren Sie analog zum DFS Algorithmus der Vorlesung den sogenannten BreadthFirst-Search (BFS) Algorithmus. Dieser erfüllt die gleichen Ziele wie der DFS Algorithmus, jedoch werden im BFS Baum nach Möglichkeit zunächst alle Kanten zu den
Knoten der Nachbarschaft eines gerade markierten Knotens gesammelt.
c) Sei G zusammenhängend, aber nicht kreisfrei. Zeigen Sie: Die durch den BFS bzw.
DFS Algorithmus konstruierten Spannbäume TBreit und TT ief von G sind verschieden,
wenn beide Algorithmen mit dem selben Knoten starten.
Aufgabe 2.2
Sei G = (V, E) ein Graph mit |V | = n, |E| = m und v, w ∈ V . Ferner sei dist (v, w) die
Anzahl der Kanten eines kantenminimalen v, w-Weges. Welche der folgenden Aussagen
sind richtig?
(i) Man kann dist (v, w) unter Verwendung von DFS/BFS in O(n + m) bestimmen.
(ii) Man kann die Liste der Abstände zwischen allen Knotenpaaren unter Verwendung
von DFS/BFS in O(n + m) bestimmen.
(iii) Man kann die Liste der Abstände zwischen allen Knotenpaaren unter Verwendung
von DFS/BFS in O(nm) bestimmen.
(iv) Man kann unter Verwendung von DFS/BFS in O(n + m) bestimmen, ob G bipartit
ist.
(v) Man kann in O(m) bestimmen, ob G bipartit ist.
Aufgabe 2.3
Es sei G = (V, E, c) ein gewichteter Graph, c(e) ≥ 0 für alle e ∈ E und v, w ∈ V . Zeigen
Sie:
a) Jeder v, w-Weg enthält einen v, w-Pfad.
b) Ein kürzester v, w-Weg ist ein v, w-Pfad.
Bitte wenden!
Aufgabe 2.4
Gesucht ist ein Verfahren, das einen Baum T mit n Knoten als Eingabe erhält und
zunächst Zeit für ein O(n) Preprocessing hat. Anschließend erhält es zwei Knoten v, w
als Eingabe und soll in O(dist (v, w)) den Pfad von v nach w ausgeben.
Abgabe bis eine Woche nach der Übung, in der das Blatt bearbeitet wurde.
Bitte notieren Sie auf Ihrer Abgabe:
• Name(n), Vorname(n) und
• Rückgabeübungsgruppe (Nummer laut Homepage, Wochentag, Uhrzeit
und Übungsleiter).
Bitte geben Sie in Zweier- oder Dreiergruppen ab.