1. Probeklausur Analysis 1 WS 2004 / 2005

1. Probeklausur Analysis 1
WS 2004 / 2005
Es gibt 13 Aufgaben auf 2 Blättern. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand.
Die Maximalpunktzahl ist 50.
Die Bearbeitungszeit beträgt 40 Minuten.
Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche
Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit
weniger als 0 Punkten bewertet.
Tragen Sie unten auch Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und den Namen
Ihres Tutors.
Und nun: Viel Erfolg . . .
Matrikelnummer:
Name:
I Aufgabe 1
/3/
Formulieren Sie eine Aussage A.m; n/ über natürliche Zahlen m und n – in der m und
n tatsächlich vorkommen – , so dass
8m 2 N 9n 2 N W A.m; n/
gilt, nicht aber 9m 2 N 8n 2 N W A.m; n/ .
I Aufgabe 2
/4/
Sei E D fz 2 C W jzj D 1g .
a. Die komplexe Multiplikation ist eine Operation auf E .
b. Für z 2 E ist z
1
D
c. Für z 2 E ist z
1
D zN .
4
z.
d. Die Gleichung z D 1 hat in E eine eindeutige Lösung.
, wahr
, wahr
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
Ana-1
Analysis
1
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Prof
PK-1
Pöschel
Probeklausur
1
8.12.04
I Aufgabe 3
/7/
Eine Ordnungsrelation ist unter anderem
a. reflexiv,
, wahr
, wahr
b. symmetrisch,
c. antisymmetrisch,
d. assoziativ,
e. transitiv,
f. kommutativ.
g. Und konkret: f.a; a/; .a; b/; .a; c/; .b; c/; .c; c/g
ist eine Ordnungsrelation auf fa; b; c g .
, wahr
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
, wahr
, falsch
, wahr
, falsch
I Aufgabe 4
Beschränkte reelle Folgen
a. sind immer konvergent.
b. haben mindestens einen Häufungspunkt.
c. haben höchstens einen Häufungspunkt.
d. können nicht-monoton sein.
/4/
, wahr
, wahr
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
I Aufgabe 5
/4/
Seien A und B beliebige Mengen. Beschreiben Sie sämtliche Fasern der folgenden
Abbildungen.
a. 1 W A B ! A , die Projektion auf den ersten Faktor von A B .
b. idA , die Identitätsabbildung auf A .
c. 0 W A ! R; a 7! 0 , die Nullabbildung auf A .
I Aufgabe 6
Schreiben Sie die Menge Q als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen.
/2/
I Aufgabe 7
/3/
Entscheiden Sie, ob die Komposition zweier surjektiver Abbildungen wieder eine
surjektive Abbildung ist. Wenn ja, geben Sie einen Beweis. Wenn nein, geben Sie ein
Gegenbeispiel.
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Blatt PK-1 vom 8.12.04
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Ana-1
Analysis
1
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PK-1
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Probeklausur
1
8.12.04
I Aufgabe 8
/8/
Mit Zahlenfolge ist immer eine reelle Zahlenfolge gemeint, mit Häufungspunkt immer
ein eigentlicher Häufungspunkt. Was ist wahr?
, wahr
a. Eine konvergente Zahlenfolge hat keinen Häufungspunkt.
b. Eine nicht konvergente Zahlenfolge hat keinen Häufungspunkt.
, wahr
c. Eine monotone Zahlenfolge
hat mindestens einen Häufungspunkt.
d. Eine Zahlenfolge mit zwei Häufungspunkten ist monoton.
e. Eine Zahlenfolge mit genau einem Häufungspunkt
ist konvergent.
f. Eine unbeschränkte Zahlenfolge hat keinen Häufungspunkt.
g. Eine monotone Zahlenfolge ist entweder konvergent
oder unbeschränkt.
h. Eine streng monotone Zahlenfolge
hat mindestens einen Häufungspunkt.
, falsch
, falsch
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, wahr
, falsch
, wahr
, falsch
I Aufgabe 9
/2/
Unter welchen Annahmen an die komplexen Zahlen und z gilt Im.z/ D Im z ?
Mit Begründung, bitte.
I Aufgabe 10
/2/
Für welche Intervalle I ist R r I wieder ein Intervall?
I Aufgabe 11
/3/
Gibt es eine divergente komplexe Folge .zn / derart, dass sowohl .jzn j/ wie auch
.Re zn / konvergieren? Begründen Sie Ihre Antwort!
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Ana-1
Analysis
1
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Probeklausur
1
8.12.04
I Aufgabe 12
/4/
Zeigen Sie: Ist .an /n>1 eine monoton steigende Folge in Œ1; 1/ mit
an > ";
n > 1;
a2n > 1 C "n;
n > 0:
a2n
so gilt
I Aufgabe 13
/4/
a. Definieren Sie eine Addition und eine Multiplikation auf dem Raum s D Abb.N; R/
aller reellen Folgen, so dass das Distributivgesetz gilt und es eine ›Null‹ und eine
›Eins‹ gibt. Geben Sie diese Elemente auch an.
b. Warum ist s damit kein Körper?
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Weihnachtsblatt Analysis 1
WS 2004 / 2005
Die Aufgaben 1–9 sind als »Probeklausur zu Hause« gedacht.
Bearbeitungszeit der »Probeklausur« ist 120 Minuten.
Die weiteren Aufgaben sind freiwillige Hausaufgaben für den Zeitvertreib.
Und noch Schöne Feiertage und Guten Rutsch!
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Analysis
1
04/05
Prof
WB
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Weihnachtsblatt
24.12.04
I Aufgabe 1
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a. Jede Reihe kann als Folge aufgefasst werden.
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, wahr
, falsch
, wahr
wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist.
e. Eine Reihe ist konvergent, wenn ihre Glieder eine Nullfolge bilden.
, wahr
, falsch
b. Jede Folge kann als Reihe aufgefasst werden.
c. Eine Reihe konvergiert genau dann,
wenn die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist.
d. Eine Reihe konvergiert genau dann,
f. Eine Reihe ist divergent, wenn ihre Glieder keine Nullfolge bilden.
, wahr
, falsch
, falsch
I Aufgabe 2
Welche der folgenden Aussagen zum Quotientenkriterium sind korrekt? Dazu sei
ˇ
ˇ
ˇ anC1 ˇ
ˇ:
qn D ˇˇ
an ˇ
a. Hat .qn / keinen Grenzwert, so ist die Reihe divergent.
b. Ist qn < 1 für fast alle n , so ist die Reihe konvergent.
, wahr
, wahr
c. Ist qn 6 1=2 für fast alle n , ist die Reihe absolut konvergent. , wahr
, wahr
d. Ist qn > 1 für fast alle n , so ist die Reihe divergent.
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
I Aufgabe 3
Ergänzen Sie die folgenden Satzänfange zu vollständigen Definitionen.
a. Ein Punkt a heißt Häufungspunkt der Menge B C , wenn . . .
b. Die reelle Folge .xn / bildet eine Cauchy-Folge, wenn . . .
c. Eine Menge M heißt abzählbar, wenn . . .
d. Eine Funktion f W R ! R ist in 0 unstetig, wenn . . .
e. Eine reelle Zahl s heißt Supremum der der Menge M R , wenn . . .
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Weihnachtsblatt
24.12.04
I Aufgabe 4
P
Die Reihe n>1 an sei konvergent. Welche der folgenden Reihen konvergiert?
Xp
X
XnC1
n
an
b.
n an
c.
.1 C 1=n/n an
a.
n
n>1
n>1
n>1
I Aufgabe 5
Zeigen Sie mit Hilfe von »zu jedem " > 0 gibt es ein N . . . « dass
lim
n!1
n2
1
D 0:
nC1
I Aufgabe 6
Untersuchen Sie, ob die Funktion g B f in a D 0 einen Grenzwert besitzt, wenn
f; g W R ! R gegeben sind durch
8
8
< 0;
< 1; x D 0
x2Q
f .x/ D
;
g.x/ D
: x2; x … Q
: x; x ¤ 0:
I Aufgabe 7
Untersuchen Sie die Folgen .an /n>1 auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenfalls
deren Grenzwert.
p
p
a. an D n
n
1
n C . 1/n
b. an D
n . 1/n
n! 2n
. 1/n
c. an D
C
nn
2n C 1
I Aufgabe 8
a. Beweisen Sie die Ungleichung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen
Mittel zweier nichtnegativer Zahlen a; b :
p
ab 6
aCb
:
2
b. Wie lautet die entsprechende Ungleichung für drei nichtnegative Zahlen a; b; c ?
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Weihnachtsblatt
24.12.04
I Aufgabe 9
Beweisen Sie: Ist .an / eine reelle Nullfolge und .bn / eine beschränkte reelle Folge, so
ist .an bn / eine Nullfolge.
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1
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24.12.04
I Aufgabe 10
a. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für positive Zahlen x1 ; : : : ; xn gilt:
n
X
iD1
n
X
1
xi > n2 :
xi
iD1
b. Liegen die reellen Zahlen x1 ; : : : ; xn sämtlich in Œ0; 1/ oder in Œ 1; 0 , so gilt die
verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung
.1 C x1 /.1 C x2 / : : : .1 C xn / > 1 C x1 C x2 C C xn :
I Aufgabe 11
Beweisen Sie das Dirichlet Kriterium:
Ist .an / eine monoton fallende Nullfolge, und sind die Partialsummen der reellen Reihe
P
P
n>1 bn beschränkt, so ist
n>1 an bn konvergent.
I Aufgabe 12
P
Zeigen Sie: Ist .an / monoton fallend und n>1 an D A endlich, so gilt
an 6
A
;
n
n > 1:
I Aufgabe 13
Zeigen Sie: Ist pn =qn eine Folge rationaler Zahlen mit qn > 0 und irrationalem
Grenzwert, so gilt
jpn j ! 1;
Ana-1
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qn ! 1:
Blatt WB vom 24.12.04
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5
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Probeklausur
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30.01.05
2. Probeklausur Analysis 1
WS 2004 / 2005
Es gibt 12 Aufgaben auf 3 Blättern. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand.
Die Maximalpunktzahl ist 50 .
Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche
Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit
weniger als 0 Punkten bewertet.
Und nun: Viel Erfolg . . .
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04/05
Blatt PK-2 vom 30.01.05
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Analysis
1
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Probeklausur
2
30.01.05
I Aufgabe 1
/5/
Gegeben sind zwei Funktionen f; g W R ! R . Entscheiden Sie, welche der folgenden
Aussagen wahr sind.
a. f ist beschränkt ) f nimmt sein Maximum an.
b. f ist beschränkt ) f ist Lipschitz.
c. f ist Lipschitz ) f ist gleichmäßig stetig.
d. f B g ist stetig ) f ist stetig.
e. f und g stetig ) limx!1 f .x/=.1 C jg.x/j/ existiert.
, wahr
, wahr
, wahr
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
I Aufgabe 2
/5/
Sei f W Œa; b ! R stetig und auf .a; b/ differenzierbar.
a. f ist monoton steigend ) f 0 > 0 auf .a; b/ .
b. f besitzt in a ein absolutes Minimum ) f 0 .a/ D 0 .
c. f ist umkehrbar ) f besitzt keinen kritischen Punkt.
d. f .a/ > f .b/ ) f 0 ./ 6 0 für ein 2 .a; b/ .
e. f 0 > 0 auf .a; b/ ) f besitzt eine Nullstelle.
, wahr
, wahr
, wahr
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
I Aufgabe 3
/4/
Sei A eine beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen. Begründen Sie die folgenden
Aussagen.
a. Es existiert sup A 2 R .
b. Für alle a 2 A gilt a 6 sup A .
c. Zu jedem s < sup A existiert ein a 2 A mit a > s .
I Aufgabe 4
/5/
Sei .xn / eine Cauchy-Folge in R .
a. Geben Sie die Definition einer Cauchy-Folge.
b. Zeigen Sie, dass eine solche Cauchy-Folge beschränkt ist.
c. Ist die Folge .xn / konvergent?
I Aufgabe 5
Formulieren Sie den Satz von Bolzano-Weierstraß für Folgen in R .
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/3/
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Probeklausur
2
30.01.05
I Aufgabe 6
/4/
Bestimmen Sie die Konvergenzradien der Reihen
u.z/ D
X
n>0
xn
;
n2 C 1
v.z/ D
X
n>0
z 2nC1
. 1/
.2n C 1/!
n
I Aufgabe 7
/5/
Sei .X; d / ein metrischer Raum, A X .
a. Definieren Sie, wann x 2 X ein Häufungspunkt von A ist.
b. Definieren Sie den Abschluss A von A .
c. Zeigen Sie für Teilmengen A und B von X :
.A \ B/ A \ B :
I Aufgabe 8
/4/
Zeigen Sie: Ist f W R ! R im Punkt x0 stetig mit f .x0 / > 0 , so existieren ein > 0
und ein ı > 0 , so dass
f .x/ > > 0;
x 2 .x0
ı; x0 C ı/:
I Aufgabe 9
/4/
a. Geben Sie die Definition einer kompakten Teilmenge eines metrischen Raumes.
b. Geben Sie einen Satz aus der Vorlesung an, in dem die Kompaktheit einer Menge
eine notwendige Voraussetzung darstellt.
I Aufgabe 10
/3/
Untersuchen Sie, für welche z 2 C die Folge .an / mit
an D
zn
nn=2
für n ! 1 konvergiert, und geben Sie den Grenzwert an.
Ana-1
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Ana-1
Analysis
1
04/05
Prof
PK-2
Pöschel
Probeklausur
2
30.01.05
I Aufgabe 11
/4/
Bestimmen und skizzieren Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung in C :
Im z 6 jz
2ij:
I Aufgabe 12
Zeigen Sie mit Hilfe von " und ı , dass die Funktion
p
Œ0; 1/ ! Œ0; 1/; x 7! x
/4/
in x D 1 stetig ist.
Ana-1
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Blatt PK-2 vom 30.01.05
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4
Scheinklausur Analysis 1
WS 2004 / 2005
Es gibt 9 Aufgaben auf 3 Seiten. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand.
Die Maximalpunktzahl ist 50.
Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Es sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen.
Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche
Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit
weniger als 0 Punkten bewertet.
Tragen Sie unten Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und auch den Namen
Ihres Tutors.
Und nun: Viel Erfolg . . .
Name:
Matrikelnummer:
Tutor:
I Aufgabe 1
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
a. Ist f 2 C 1 .R/ umkehrbar, so ist auch f
/5/
1
differenzierbar.
b. Ist f W .a; b/ ! R stetig, so ist f auch beschränkt.
, wahr
, wahr
c. Ist f W R ! R monoton und beschränkt, so existiert lim f .x/ .
x!1
, wahr
p
d. Die Wurzelfunktion W Œ0; 1/ ! Œ0; 1/ ist
, wahr
gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz.
, wahr
e. Jede kompakte Menge im Rn ist beschränkt.
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
Ana-1
Analysis
1
04/05
SK
Prof
Pöschel
Scheinklausur
18.02.05
I Aufgabe 2
/6/
Entscheiden Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie
gegebenfalls.
1 C . 1/n
a. lim
p
n
n!1
4n
b.
lim
n!1
1
2
n
nC4
c.
lim
n!1
n
X
e
k
.
kD0
I Aufgabe 3
/4/
a. Geben Sie die Definition einer injektiven Abbildung h W A ! C .
b. Seien f W A ! B und g W B ! C zwei injektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass
deren Komposition
hDgBf W A!C
wiederum injektiv ist.
I Aufgabe 4
/4/
Sei .xn /n>0 eine Folge in einem metrischen Raum .X; d / . Zeigen Sie:
a. Die Folge .xn / konvergiert gegen x 2 X genau dann, wenn lim d.xn ; x / D 0 .
b. Ist die Folge .xn / konvergent, so ist ihr Grenzwert eindeutig.
n!1
I Aufgabe 5
/8/
a. Formulieren Sie den Mittelwertsatz der Differenzialrechnung für Funktionen
f W Œa; b ! R .
b. Geben Sie ein Beispiel einer Funktion f W Œa; b ! R , die auf Œa; b stetig, aber nicht
überall auf .a; b/ differenzierbar ist, für die der Mittelwertsatz nicht gilt.
c. Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
jsin x
sin yj 6 jx
yj;
x; y 2 R:
d. Zeigen Sie ebenso, dass
log x < x
Ana-1
04/05
1;
x > 1:
Blatt SK vom 18.02.05
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2
Ana-1
Analysis
1
04/05
SK
Prof
Pöschel
Scheinklausur
18.02.05
I Aufgabe 6
/8/
Die Funktion f W .a; b/ ! R sei unendlich oft differenzierbar, und es sei x0 2 .a; b/ .
a. Was versteht man unter dem n-ten Taylorpolynom von f im Punkt x0 , und was
unter dem zugehörigen Restglied?
b. Geben Sie die Formel von Lagrange für dieses Restglied an.
c. Geben sie zur Funktion arctan W R ! R das Taylorpolynom dritter Ordnung im
Punkt x0 D 0 an.
d. Schätzen Sie das zugehörige Restglied für x 2 Œ 1; 1 ab.
I Aufgabe 7
/5/
a. Geben Sie die Eulersche Formel für e
ix
an.
b. Schreiben Sie eix als Quadrat von eix=2 , und stellen Sie damit sin x und cos x
durch die Funktionen des halben Winkels, sin x=2 und cos x=2 , dar.
c. Bestimmen Sie damit sin =4 und cos =4 .
I Aufgabe 8
/5/
a. Geben Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion arcsin an. Skizzieren Sie
diese Funktion und ihre Umkehrfunktion.
b. Geben Sie die Ableitung der Funktion arcsin an, und skizzieren Sie auch diese.
c. In welchen Punkten ist die Funktion
f W Œ 1; 1 ! R;
f .x/ D arcsin
p
1
x2
differenzierbar? Wie lautet die Ableitung?
I Aufgabe 9
Sei
/5/
sinh W R ! R;
sinh x D
ex
e
2
x
:
a. Zeigen Sie, dass die Gleichung
sinh x D 1
eine Lösung im Intervall .0; 1/ besitzt. Zur Erinnerung: e D 2; 718 : : : .
b. Zeigen Sie, dass dies auch die einzige Lösung dieser Gleichung in ganz R ist.
Ana-1
04/05
Blatt SK vom 18.02.05
Seite 3 von 4
3
Ana-1
Analysis
Ana-1
1
04/05
04/05
Prof
SK
Pöschel
Scheinklausur
Blatt SK vom 18.02.05
18.02.05
Seite 4 von 4
4
Scheinklausur-Wiederholung Analysis 1
WS 2004 / 2005
Es gibt 10 Aufgaben auf 4 Seiten. Die jeweilige Punktzahl steht am rechten Rand.
Die Maximalpunktzahl ist 50.
Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
Es sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen.
Bei Wahr / Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 1 Punkt, jede falsche
Antwort jedoch 1 Punkt! Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit
weniger als 0 Punkten bewertet.
Tragen Sie unten Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein, und auch den Namen
Ihres Tutors.
Und nun: Viel Erfolg . . .
Name:
Matrikelnummer:
Tutor:
I Aufgabe 1
/5/
Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Mit ›Folge‹ ist dabei immer eine reelle
Zahlenfolge gemeint.
, wahr
a. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
b. Eine Folge mit zwei Häufunspunkten kann nicht monoton sein.
, wahr
, wahr
c. Eine Folge mit genau einem Häufungspunkt ist konvergent.
d. Eine monotone und beschränkte Folge ist immer konvergent. , wahr
, falsch
zwei Häufungspunkte.
, falsch
e. Ist eine Folge nicht konvergent, so hat sie mindestens
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
Ana-1
Analysis
1
04/05
Prof
SK-W
Pöschel
Wiederholungsklausur
29.04.05
I Aufgabe 2
/5/
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
a. Ist f W Œ0; 1 ! R stetig, so ist f auch beschränkt.
, wahr
b. Ist f W R ! R monoton fallend, so besitzt f eine Nullstelle. , wahr
c. Die Exponentialfunktion exp W R ! R ist stetig,
, wahr
aber nicht gleichmäßig stetig.
3
, wahr
d. Jede abgeschlossene Teilmenge des R ist kompakt.
e. Eine beschränkte Funktion f W Œ0; 1 ! R nimmt ihr Supremum an.
, wahr
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
, falsch
I Aufgabe 3
/4/
a. Geben Sie die Definition einer surjektiven Abbildung f W X ! Z .
b. Seien h W X ! Y und g W Y ! Z zwei surjektive Abbildungen. Zeigen Sie, dass
deren Komposition
f D g B hW X ! Z
wiederum surjektiv ist.
I Aufgabe 4
Entscheiden Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und bestimmen Sie sie
/6/
gegebenfalls.
a.
lim
p
n!1
2n
p
n
b.
p
2n
lim
n!1
4n C n4
2n
X
2
n!1
l
c.
lim
lD1
I Aufgabe 5
/5/
a. Skizzieren Sie die Funktion arctan W R ! R . Geben Sie ihren Bildbereich an, also
die Menge aller von arctan angenommenen Werte.
b. Ist die Funktion arctan umkehrbar? Wenn ja, geben Sie diese Funktion an, und
skizzieren Sie auch diese.
c. Bestimmen Sie für die Funktion
f W . 1; 1/ ! R;
f .t / D arctan
1
1
t2
:
die Grenzwerte lim f .t/ und lim f 0 .t/ .
t 11
Ana-1
04/05
t 11
Blatt SK-W vom 29.04.05
Seite 2 von 4
2
Ana-1
Analysis
1
04/05
SK-W
Prof
Pöschel
Wiederholungsklausur
29.04.05
I Aufgabe 6
/5/
Sei .xn /n>0 eine reelle Zahlenfolge.
a. Geben Sie die Definition dafür, dass diese Folge beschränkt ist.
b. Geben Sie die Definition dafür, dass diese Folge gegen die reelle Zahl x
konvergiert.
c. Zeigen Sie: Ist die Folge .xn /n>0 unbeschränkt, so ist sie nicht konvergent.
I Aufgabe 7
Gegeben ist die Funktion
W R ! C;
/5/
.t/ D eit :
a. Bestimmen Sie Re .t/ , Im .t / , sowie 0 .t/ und 00 .t/ .
b. Beschreiben Sie geometrisch die Bildmenge
.R/ D f.t/ W t 2 Rg C:
c. Wie groß kann b maximal gewählt werden, so dass eingeschränkt auf das
Intervall Œ0; b/ injektiv ist?
d. Gilt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Funktion eingeschränkt
auf das Intervall Œ0; 2 ? Begründen Sie Ihre Antwort.
I Aufgabe 8
/5/
Gegeben ist die Funktion
cosh W R ! R;
et C e t
:
cosh t D
2
a. Zeigen Sie, dass die Gleichung cosh t D 0 keine Lösung in R besitzt.
b. Bestimmen Sie cosh0 und zeigen Sie, dass cosh auf Œ0; 1/ streng monoton steigend
ist. Bestimmen Sie lim t !1 cosh t .
c. Zeigen Sie, dass für jedes > 1 die Gleichung
cosh t D genau eine Lösung in Œ0; 1/ besitzt.
Ana-1
04/05
Blatt SK-W vom 29.04.05
Seite 3 von 4
3
Ana-1
Analysis
1
04/05
SK-W
Prof
Pöschel
Wiederholungsklausur
29.04.05
I Aufgabe 9
/5/
a. Formulieren Sie den Satz von Rolle für Funktionen f W Œa; b ! R .
b. Ist der Satz von Rolle auf die Funktion
p
f W Œ 1; 1; f .x/ D 1 x 2
anwendbar? Wenn ja, was ist die Folgerung? Und wenn nein, warum nicht?
I Aufgabe 10
/5/
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:
Ist 0 < xk < 1 für 1 6 k 6 n , so gilt
n
Y
.1
kD1
Ana-1
04/05
xk / > 1
n
X
xk :
kD1
Blatt SK-W vom 29.04.05
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