6.2 Schwarzer Strahler , Plancksche Strahlungsformel L(E,T)dE

6.2 Schwarzer Strahler , Plancksche Strahlungsformel
Sehr knappe Herleitung der Planckschen Strahlungsformel
Ziel:
Berechnung der Energieverteilung der Strahlung im
thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T.
500
L(E,T)dE
Energieverteilungsfunktion L(E,T)
Energieverteilung L(E,T)
400
Energie der Strahlung
im Intervall E, E+dE.
E E+dE
300
Diese Energieverteilung
L(E,T) war gegen Ende des
19. Jahrhunderts
experimentell sorgfältig
bestimmt worden.
200
100
0
0
20
40
60
80
Energie E (willk. Einh.)
21/05/2004
Teilchen & Wellen SS2004
100
energieverteilung.opj
Denninger
Schwarzkörperstrahlung.
Strahlung des schwarzen Körpers
Grundideen:
1)
Berechnung der Zahl der Schwingungsmöglichkeiten (Moden) von
elektromagnetischen Wellen in einem Hohlraum, Volumen V = L·L·L, mit perfekt
elektrisch leitfähigen Wänden.
2)
Multiplikation dieser Modenverteilung mit der Wahrscheinlichkeit, daß diese
Schwingungsmode der Energie E = h·ν bei der Temperatur T besetzt ist.
Die Herleitung benutzt in 1) das Wellenbild zur Berechnung der Modendichte.
In 2) wird dann die Lichtquantenvorstellung E = h·ν entscheidend eingesetzt.
Ex , Ey
1.5
1.0
Licht:
0.5
Transversale elektromagnetische Welle
0.0
E ⊥ Ausbreitungsrichtung
Randbedingung für Schwingungen (stehende
Wellen) entlang x:
-0.5
-1.0
Ey , Ez ≡ 0 für x = 0 und x = L
-1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
moden01.opj
x/L
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Teilchen & Wellen SS2004
Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
Die Maxwell-Gleichungen lassen als Lösungen harmonische Schwingungen zu:
Ey ( x, t ) = Ay⋅ sin(k x⋅ x ) ⋅ sin(ω t + ϕ)
Ey(x,t): elektrische Feldstärke
kx: k-Vektor der Welle
Beliebige Anfangsphase ϕ
ω = 2πν Kreisfrequenz
Eine analoge Lösung ergibt sich auch für Ez(x,t)
Durch die Wahl sin(kx·x) ist automatisch Ey(0,t) = 0
Ey(L,t) wird dann 0, wenn sin(kx·L) = 0 wird.
kx·L = nx·π , nx = 1,2,3, etc.
D.h. die durch die elektrisch leitfähigen Wände bei x = 0 und x = L aufgezwungenen
Randbedingungen führen zu ganz bestimmten erlaubten Werten des Wellenvektors kx:
kx = n x ⋅ π
L
n x ∈ N n x = 1,2,3, etc
Da k = 2π/λ ist , kann man die Beziehung für
die Wellenlänge λ formulieren:
2π L 1
λ x = π ⋅ n = 2nL
x
x
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Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
Für die zweite Polarisationsrichtung Ez(x,t) gelten die gleichen Randbedingungen.
Für die Schwingungen entlang der y-Richtung und entlang der z-Richtung macht man die
gleichen Überlegungen und erkennt, daß für den k-Vektor k nur folgende Lösungen in
Frage kommen (nur diese erfüllen die Randbedingungen auf den Begrenzungsebenen):
k
kz
⎛ kx ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ky ⎟
⎜ kz ⎟
⎝ ⎠
=
⎛ nx⎞
⎜ ⎟ ⎛π⎞
⎜ n y⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎜ n z⎟ ⎝ L ⎠
⎝ ⎠
nx , ny , nz = 1,2,3,...
Im k-Raum spannen die möglichen Lösungen ein
einfaches kubisches Punktgitter auf.
Ein Punkt im k-Raum nimmt das –Raum
Volumen
ky
Vk
kx
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Denninger
⎛π⎞
= ⎜ ⎟
⎝L⎠
3
ein.
Strahlung des schwarzen Körpers
Der Zusammenhang zwischen k und der Frequenz ν ist eine direkte Proportionalität:
2π
k =
= 2π ⋅ ν
c
λ
ν = c ⋅k
2π
Zur Berechnung der Zahl der Schwingungsmoden mit Frequenzen ν im Bereich ν , ν +d ν
geht man von einer Summation zu einer Integration im k-Raum über, weil die Moden im
k-Raum sehr dicht liegen. Man kann L sehr groß machen, dann ist das Volumen Vk sehr
klein. Formal kann man L → ∞ gehen lassen, denn L ist beliebig.
Man integriert über eine Kugelschale 4πk2dk im k-Raum.
kz
Im Bereich k, k+dk liegen N(k)dk Zustände:
dk
N (k )dk = 1 ⋅ 2 ⋅ 4π k dk
8
Vk
2
Nur positive Werte von
nx,ny,nz
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k
ky
2 Polarisationsrichtungen
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Denninger
kx
Strahlung des schwarzen Körpers
8π k dkL
N (k )dk = 1 ⋅
8
π3
2
3
2
k dk L3
=
π2
Das Volumen im Ortsraum ist V = L3. Berechnet man jetzt die Ortsraumdichte der Moden,
so muß man durch das Volumen V dividieren, und wird von L unabhängig!
N (k )
N (k ) k 2 dk
n( k ) =
=
=
3
V
L
π2
Für die Umrechnung auf Frequenzen ν benutzt man k = (2π)/c·ν und dk = (2π)/c·dν
n(ν)dν = 8π3 ⋅ ν 2dν
c
n(ν)dν ist die Zahl der Schwingungsmoden/Volumeneinheit im Bereich ν, ν + dν
n(ν) ist also die Modendichte:
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n(ν) =
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Schwingungsmoden
Volumen·Frequenzeinheit
Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
n(ν)dν = 8π3 ⋅ ν 2dν
c
n(ν)
Das quadratische Anwachsen der
Modenzustandsdichte ist
charakteristisch für die Zustandsdichte
von Photonen (ganz allgemein von
Teilchen der Ruhemasse 0).
Frequenz ν
Werte als Beispiele:
1)
Im Bereich ν = f = 100 MHz (UKW-Sender): n(100 MHz) = 9.3 ⋅10
2)
Im Bereich des sichtbaren Lichtes,
λ = 500 nm, ν = 6·1014Hz
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n(6 ⋅10 Hz) = 3.35⋅ 10
14
Denninger
5
−9
Moden 1
⋅
m 3 Hz
Moden 1
⋅
3
Hz
m
Strahlung des schwarzen Körpers
Zur Energiedichte der Hohlraumstrahlung gelangt man durch die Quantenhypothese,
Max Planck (1900). In moderner Ausdrucksweise postuliert man:
1)
Die Energie einer Mode ist mit der Frequenz einer Mode über
E = h·ν verknüpft. Diese Energie h·ν eines Photons kann nur insgesamt absorbiert
oder emittiert werden.
2)
Im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T ist eine Schwingungsmode der
Energie E = h·ν mit folgender Wahrscheinlichkeit besetzt:
1
f ( E, T ) =
BE
e
E
kT
1
f (ν , T ) =
−1
BE
e
hν
kT
−1
Diese fundamentale Besetzungswahrscheinlichkeit fBE(E,T) ist die
Bose-Einstein Statistik.
Sie gilt nicht nur für Photonen, sondern für alle Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin).
Es gibt in der Physik nur zwei fundamentale Verteilungsfunktion:
Bose-Einstein Statistik für Bosonen
21/05/2004
und
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Fermi-Dirac Statistik für Fermionen
Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
10
Bose-Einstein Verteilung
fBE(E,T)
8
1
f ( E, T ) =
6
BE
e
E
kT
−1
4
2
0
0
1
2
3
4
5
BoseEinstein01.opj
E/kT
Die Bose-Einstein Verteilungsfunktion beschreibt die Besetzungswahrscheinlichkeit für
Bosonen-Zustände der Energie E im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T
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Teilchen & Wellen SS2004
Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
Näherungen: kleine Energien E<<kT : exp(E/kT) ≈ 1 +E/kT
fBE(E,T) ≈ kT/E
fBE(E,T) ≈ exp(-E/kT)
große Energien E >>kT: exp(E/kT) >>1
10
Näherungslösungen:
fBE(E,T)
8
E << kT : kT/E
E >> kT : exp(-E/kT)
6
x10
4
x10
2
0
0
1
2
3
4
5
BoseEinstein02.opj
E/kT
21/05/2004
Teilchen & Wellen SS2004
Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
Die Energiedichte u(ν,T) der Strahlung des schwarzen Körpers ist dann:
u (ν, T ) = ( h ⋅ν ) ⋅ n(ν) ⋅ fBE (ν, T )
Energie pro Mode
Verteilungsfunktion
Modendichte
8π h 3
1
u (ν, T ) = 3 ⋅ ν ⋅
hν
c
exp( kT
) −1
Dies ist die Plancksche Strahlungsformel, welche die Energieverteilung der
Hohlraumstrahlung (Schwarzkörperstrahlung) vollständig quantitativ beschreibt.
Zur Energieverteilung L(E,T) kommt man durch:
E = h·ν und L(E,T) = Volumen*u(E/h,T)
u(ν,T) ist im wesentlichen die Energiedichte (Energie pro Volumeneinheit)
21/05/2004
Teilchen & Wellen SS2004
Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers
0.12
T = 5000 K
Energieverteilung
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
T = 2500 K
0.00
0
2
4
6
8
10
Planck01.opj
Energie (eV)
21/05/2004
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Denninger
Strahlung des schwarzen Körpers