Zahlbereiche Grundrechenarten, Bezeichnungen Name Symbol

Formelsammlung als „Erste Hilfe“ (Dr. Andreas M. Seifert, [email protected], www.dr-seifert-online.de)
Zahlbereiche
Name
„Zahlenvorrat“
Symbol
natürliche Zahlen
N
1, 2, 3, 4, 5, 6, ….
natürliche Zahlen mit „0“
N0
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
ganze Zahlen
Z
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
rationale Zahlen
Q
alle Zahlen, die als Bruch darstellbar sind
irrationale Zahlen
I
alle Zahlen, die nicht als Bruch darstellbar sind
reelle Zahlen
R
Gesamtheit der rationalen und irrationalen Zahlen
Die Mengensymbole N, …, R sind leider nicht ganz richtig notiert, die Großbuchstaben enthalten eigentlich einen Doppelstrich, aber ich habe leider keinen
Zeichensatz zur Verfügung, der diese Zeichen enthält.
Grundrechenarten, Bezeichnungen
Name
Symbol
Bezeichnungen
Addieren
a  b
Summand + Summand = Summe
Subtrahieren
a–b
Minuend – Subtrahend = Differenz
Multiplizieren
Dividieren
a  b = ab
a:b oder
Potenzieren
„Radizieren“
a
, b0
b
Dividend : Divisor = Quotient
Zähler / Nenner = Quotient (Bruch)
a: Basis, n: Exponent
an
n
Multiplikand  Multiplikator = Produkt
Faktor  Faktor = Produkt (häufiger gebraucht)
a: Radikand, n: Wurzelexponent ( x  n a ist Lösung von x n  a )
a
Wichtig:
1.
2.
„Punktrechnung“ vor „Strichrechnung“!
Inhalt von Klammern zuerst ausrechnen!
Rechengesetze für die Grundrechenarten
Name
Gleichung
Kommutativgesetz
(= Vertauschungsgesetz)
… für die Addition: a  b  b  a
… für die Multiplikation: a  b  b  a
Assoziativgesetz
(= Verbindungsgesetz)
… für die Addition: (a  b)  c  a  (b  c)
… für die Multiplikation: (a  b)  c  a  (b  c)
Distributivgesetz
(= Verteilungsgesetz)
… für die Multiplikation: a  (b  c)  a  b  a  c
… für die Division: (b  c) : a  b : a  c : a oder
bc b c
 
a
a a
Wichtig:
Das Distributivgesetz für die Division gilt nur in der oben angegebenen Reihenfolge:
a
a a
Es ist: a : (b  c)  a : b  a : c oder in Bruchschreibweise
  . Das ist ein häufiger Fehler!!!
bc b c
Das Symbol  bedeutet „ungleich“!
Auflösen „negativer Klammern“
a  b  (c  d  e  f )  a  b  c  d  e  f
Produkte von Summen
(a  b)  (c  d)  a  c  a  d  b  c  b  d
oder
(a  b)  (c  d)  a  c  a  d  b  c  b  d
Rechengesetze für Potenzen
Name
Gleichung
Spezialfälle
a0  1 ,
Potenzen mit gleicher
Basis
Produkte: a m  a n  a m n
Potenzen mit gleichem
Exponent
Produkte: a n  b n  (a  b) n
a2  a  a
a1  a ,
Quotienten: a : a  a
m
n
mn
am
oder
 a mn
n
a
Quotienten: a n : b n  (a : b) n oder
Potenz einer Potenz
(a m ) n  a mn  (a n ) m
Negative Exponenten
a n 
an  a 
 
bn  b 
n
1
an
Binomische Formeln
Name
Gleichung
Erste binomische Formel
(a  b) 2  a 2  2ab  b2
Zweite binomische Formel
(a  b) 2  a 2  2ab  b2
Dritte binomische Formel
(a  b)(a  b)  a 2  b2
Rechengesetze für Wurzeln
Name
Gleichung
Spezialfälle
Wurzel von Produkten
Wurzel von Quotienten
a 2 a,
n
0  0,
n
ab  n a n b
n
a:b n a :n b
n
oder
1 1,
n
n
a n  a , (n a )n  a
a na

b nb
Wichtig: Die Wurzeln negativer Zahlen sind nur dann definiert, wenn der Wurzelexponent n gerade ist!
Rechengesetze für Brüche
Name
Gleichung
Spezialfälle
a
a
0
a
a,
 1,
 0,
 nicht definiert
1
a
a
0
Erweitern, Kürzen
a a e
,

b be
Addition, Subtraktion
gleichnamig:
a a:k

b b:k
a b ab
, sonst erst auf Hauptnenner bringen
 
c c
c
Multiplikation
a c a c
 
b d bd
Division, Doppelbruch
a c a d a d
:   
b d b c bc
oder
a
b
c
d

a c a d a d
:   
b d b c bc