Probabilistische Argumente

von Henrik Meinardus
1
Probabilistische Argumente
nach dem Text „Probability makes counting (sometimes) easy“
aus dem Werk „Proofs from the BOOK“ (Kapitel 30)
von Martin Aigner und Günther M. Ziegler
(Zusammenfassung)
von Henrik Meinardus
2
Der hier behandelte Text „Probability makes counting (sometimes) easy“ beschäftigt sich
hauptsächlich mit der Beweistechnik der probabilistischen Methode, die erstmals von Paul Erdős
und Alfred Renyi beschrieben wurde. Dabei stehen vier Theoreme aus der Graphentheorie im
Vordergrund, die jeweils anschließend mit Hilfe jener Methode bewiesen werden. Im Rahmen
dieses Referats werde ich drei davon näher betrachten.
Die einfachste Formulierung der probabilistischen Methode ist in dem Text bereits gegeben und
lautet übersetzt:
Wenn in einer gegebenen Menge von Objekten die Wahrscheinlichkeit, dass ein Objekt nicht
eine bestimmte Eigenschaft P hat, kleiner als 1 ist, dann muss ein Objekt mit dieser
Eigenschaft existieren.
Das erste Beispiel, das nun folgt, ist noch sehr einfach und beschäftigt sich mit der 2-Färbbarkeit
einer Familie von Mengen. Eine Familie ist 2-färbbar, wenn es für die Basismenge eine Einfärbung
mit zwei Farben gibt, sodass bei dieser Färbung in jeder Menge aus der Familie beide Farben
vorkommen.
Da offenbar nicht jede Familie entsprechend eingefärbt werden kann, aber gleichzeitig jede
Unterfamilie einer 2-färbbaren Familie selbst 2-färbbar ist, interessiert die kleinste Zahl m d  ,
die uns garantiert, dass jede Familie mit weniger als m d  d-Mengen 2-färbbar ist. Eine d-Menge
sei hier eine Menge mit d Elementen, wobei d 2 . Das führt zu
Theorem 1. Jede Familie von höchstens 2d-1 d-Mengen ist 2-färbbar, also m d 2d −1 .
●
Beweis. Sei F eine Familie von d-Mengen mit höchstens 2 d −1 Mengen. Färbe X
zufällig mit zwei Farben, alle Einfärbungen seien gleich wahrscheinlich. Für jede Menge
A∈F sei E A das Ereignis, dass alle Elemente von A gleich gefärbt sind. Wegen
∣A∣=d und da es genau zwei solcher Einfärbungen gibt, haben wir
d
d −1
1
1
,
Prob  E A =2
=
2
2
und mit m=∣F∣2d −1 (Ereignisse E A nicht disjunkt)
d −1
1
Prob U E A  ∑ Prob  E A =m⋅
1 .
2
A∈F
A∈F
Es gibt also eine 2-Färbung von X ohne eine einfach gefärbte Menge, und dies ist gerade
unsere Bedingung von 2-Färbbarkeit.
 



Als nächstes Beispiel werden die Ramsey-Zahlen angeführt. Nach dem Satz von Ramsey enthält
jeder hinreichend große, vollständige Graph über N Knoten mit gefärbten Kanten einen
vollständigen roten (m-) oder einen vollständigen blauen (n-) Teilgraphen. Die kleinstmögliche
Zahl, die hierbei für N gewählt werden kann, ist die Ramsey-Zahl R m , n . Insbesondere
interessiert eine untere Grenze für
R k , k  . Das führt uns zu
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Theorem 2. Für alle k 2 ist die folgende untere Grenze für Ramsey-Zahlen gültig:
R k , k 2
●
k
2
Beweis. Es ist recht offensichtlich, dass R 2,2=2 gilt. Eine Einfärbung der Kanten des
vollständigen Graphen K 5 zeigt uns außerdem R3,3=6 1. Sei also k 4 .
k
Angenommen N 2 2 und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kante rot bzw. blau gefärbt
1
wird, sei
. Also sind alle Einfärbungen gleich wahrscheinlich mit der
2
Wahrscheinlichkeit 2− 2  . Sei A eine Menge von Knoten und habe die Größe k. Die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A R , dass alle Kanten in A rot gefärbt sind ist
N
dann 2− 2 . Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit p R für irgendeine k-Menge,
vollständig rot gefärbt zu werden, begrenzt ist durch
k
−

p R=Prob U AR  ∑ Prob  AR = N 2 2 .
∣A∣=k
k
∣A∣=k

Mit N 2
k
2
und k 4 , sowie
2

N
k
 N
2 
− k
2
Also p R
k
2 k−1
 2
2 
− k
2
k
2
 


− k
2
k
k
N  N
für k 2 erhalten wir
k
2 k−1

k2
− − k1
− 1
⋅2
2 2
1
=2
=2 2  .
k−1
2
2
k
k
1
1
und durch Symmetrie p B für die Wahrscheinlichkeit der Existenz einer
2
2
Menge von k Knoten, sodass alle Kanten zwischen ihnen blau gefärbt sind. Wir schließen
k
daraus, dass p R p B1 für N 2 2 , also muss es eine Einfärbung ohne roten oder
blauen K k
geben, was bedeutet, dass K N nicht die Eigenschaft (k,k) hat.
Das letzte Theorem behandelt die geometrische Graphentheorie. Genauer die Einbettung eines
einfachen2 Graphen G=(V,E) in eine Ebene. Die Kreuzungszahl cr(G) ist dann die kleinste Anzahl
von Kreuzungen, die für eine Einbettung von G möglich ist. Also cr(G) = 0 nur dann, wenn G
planar3 ist. In einer minimalen Einbettung kann keine Kante sich selbst kreuzen, Kanten mit
gemeinsamen Endknoten können sich nicht kreuzen und keine zwei Kanten können sich zweimal
kreuzen. Dafür lässt sich mit etwas Wissen über planare Graphen sofort eine untere Grenze für die
1 siehe auch die entsprechende Abbildung in der Präsentation
2 ein einfacher Graph ist ungerichtet und hat weder Mehrfachkanten noch Schlingen
3 ein planarer Graph kann so in der Ebene dargestellt werden, dass sich die Kanten nicht schneiden
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Kreuzungszahl in Abhängigkeit von der Anzahl der Knoten m und Kanten n herleiten, solange m
linear zu n ist:
Definiere den Graphen H=(V',E') wie folgt: Die Knoten von H seien die von G zuzüglich
aller Kreuzungspunkte und die Kanten von H alle Teile der Kanten von G. H ist also einfach
und planar und es gilt für die Anzahl der Knoten ncr G und für die Anzahl der
Kanten m2 crG . Ein einfacher planarer Graph mit n Knoten kann höchstens 3 n−6
Kanten haben, das bedeutet im Falle von H
m2 cr G3  ncr G −6 ,
umgeformt cr G m−3 n6 .
Diese Grenze ist jedoch nicht mehr gut genug, wenn m im Verhältnis zu n größer wird. Eine
elegante Lösung ist das Kreuzungslemma
Theorem 3. Sei G ein einfacher Graph mit n Knoten und m Kanten, wobei m4 n . Dann
cr G
●
1 m3
64 n2
Beweis. Betrachte eine minimale Einbettung von G und sei p eine Zahl zwischen 0 und 1.
Wähle unabhängig jeden Knoten mit Wahrscheinlichkeit p und bezeichne mit G p den
Graphen, der durch die Knoten induziert wird, die aus G gewählt werden.
Seien n p , m p , X p die zufälligen Variablen, welche die Knoten, die Kanten und die
Kreuzungen in G p zählen. Da cr G−m3 n0 für jeden Graphen stimmt (ergibt sich
durch Umformung von cr G m−3 n6 ), gilt für den Erwartungswert
E  X p−m p3 n p0 .
Nun werden die einzelnen Erwartungswerte E  n p  , E  m p  und E  X p  berechnet.
Klar ist, dass E  n p = p n sowie E  m p = p 2 m , da eine Kante in G p nur auftaucht,
wenn beide beteiligten Knoten vorhanden sind. Genauso gilt E  X p = p 4 cr G  , da eine
Kreuzung nur mitgenommen wird, wenn alle vier Knoten, die mitwirken, da sind.
Durch die Linearität der Erwartungswerte erhalten wir so
4
2
0E  X p −E m p3 E  n p= p cr G− p m3 p n ,
umgeformt cr G
Setze p=
p 2 m−3 p m 3 n
= 2− 3 .
p4
p
p
4n
(höchstens 1, da m4 n ) und wir erhalten
m
cr G
[
]
3
1
4m
3n
1 m
−
=
,
2
3
64  n/m n /m
64 n2
und sind damit fertig.