09.Knoten und Maschen.fm

Veranstaltung:
Mathematik I
Studiengang:
Technische Redaktion und E-Learning
Verantwortlicher: Prof. Dr. A. Kilian
11. Übung: Knoten und Maschen
Lernziele: Wiederholung Vektorrechnung, Lineare Gleichungssysteme aufstellen und lösen.
1.
Ein Student im Praktikum hat 6 Widerstände so zusammengelötet, daß sie die Kanten eines
Tetraeders bilden. Erzeuge die abgebildete 3D-Graphik.
Hilfsfunktion 1:
Hilfsfunktion 2:
bauelement[p1_,p2_]:=
Module[
{p1a,p2a,r=0.05},
p1a=p1+(p2-p1)/3;
p2a=p1+(p2-p1)2/3;
Graphics3D[
{Thickness[0.005],
Darker@Gray,
Line[{p1,p1a}],
Line[{p2,p2a}],
RGBColor[0.4,0.1,0],
Cylinder[{p1a,p2a},r]}
]
]
verbindungspunkt[p_]:=
Graphics3D[
{Darker@Gray,
Sphere[p,0.02]}
]
Tipp: Lege 4 Punkte p1 ... p4 fest, so daß jeder von jedem anderen den Abstand 1 hat (in
Mathematica lautet diese Bedingung Norm[pi-pj]=1), erzeuge die Grafikobjekte mit den
Hilfsfunktionen und zeige alle zusammen mit Show[{objekt1, objekt2,...}].
2.
An einen der sechs Widerstände, nennen wir ihn R1, wird eine Spannung U angelegt und den
Strom gemessen. Zeichne für diese Schaltung ein kreuzungsfreies Schaltbild. Benenne auch die
anderen Widerstände mit R2 ... R6, und zeichne über allen Widerständen Spannungspfeile ein,
die die Vorzeichen der anliegenden Spannungen definieren und gleichzeitig die Stromrichtung
festlegen. Gebraucht wird auch ein Strompfeil für den Gesamtstrom i0, der durch die
Spannungsquelle fließt. Achtung: für diejenigen die es partout nicht schaffen, ist die Lösung
bereits fertig in der Mathematica-Vorlage. Sinnvoller ist es, die Aufgabe zu lösen ohne vorher
nachzusehen.
3.
Stelle mit den Kirchhoff’schen Regeln die Knoten- und Maschengleichungen auf. Löse sie nach
den Strömen auf.
Tipp: mache Listen für die Ströme und Gleichungen, um den Code übersichtlich zu gestalten,
etwa ströme={i0,i1,i2,i3,i4,i5,i6}.
4.
Berechne den effektiven Widerstand aus der Sicht der Spannungsquelle (also U/i0) für den Fall
a) daß alle 6 Widerstände denselben Wert R haben.
b) daß drei Widerstände, die ein Dreieck bilden, 1khaben und die drei restlichen 2k, und daß
die Spannung an einem der 1k Widerstände anliegt.
Tipp: Wende auf den Ausdruck RGesamt=U/i0 zunächst die Ersetzungsvorschrift der
allgemeinen Lösung von Aufgabe 3. an, und danach die entsprechenden Ersetzungen dieser
Aufgabe, z.B. {R1->R, R2->R, ...}
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A. Kilian