Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 23. 12. 2005
Aufgabe 15. Die Erzeuger der Translationen (5 Punkte)
In dieser Aufgabe wird gezeigt, dass Translationen T̂τ in der Zeit vom Hamilton-Operator und
Translationen T̂a im Ortsraum vom Impulsoperator erzeugt werden. Diese Translationen sind
durch [T̂τ ψ](x, t) ≡ ψ(x, t + τ ) bzw. [T̂a ψ](x, t) ≡ ψ(x + a, t) definiert.
(a)
Zeigen Sie, dass die Translationen {T̂τ | τ ∈ R} und {T̂a | a ∈ R3 } abelsche Gruppen bilden.
(b) Zeigen Sie für eine Lösung ψ der Schrödinger-Gleichung i~∂t ψ = Ĥψ mit einem HamiltonOperator Ĥ, der nicht explizit von der Zeitvariablen abhängt: T̂τ = e−iĤτ /~.
(c)
Zeigen Sie für beliebige Funktionen ψ : R3 × R → C, die genügend glatt (analytisch) vom
Ortsvektor x ∈ R3 abhängen: T̂a = eia·p̂/~. Hinweis: Betrachten Sie die Fourier-Entwicklung
von ψ(x + a, t) bezüglich a.
(d) Zeigen Sie für Hamilton-Operatoren Ĥ(x, p̂, t) mit der Eigenschaft Ĥ(x + a, p̂, t) =
Ĥ(x, p̂, t), dass [Ĥ, T̂a ] = 0 gilt. Zeigen Sie: [Ĥ, p̂] = 0, falls Ĥ(x + a, p̂, t) = Ĥ(x, p̂, t)
für alle a ∈ R3 gilt.
Messungen“ an mehreren Observablen (5 Punkte)
”
Wir betrachten ein physikalisches System, dessen Dynamik sich in einem dreidimensionalen
Funktionenraum“ abspielt. Im Funktionenraum sei eine orthonormale Basis vorgegeben. In
”
dieser Basis haben der Hamilton-Operator H und die Observable A die folgende Matrixform:




6 0 0
3 1 0
,
A = 0 3 i 
H = 1 3 0
0 0 3
0 −i 3
.
Aufgabe 16.
(a)
Wir messen zuerst die Energie des Systems. Welche Messwerte sind prinzipiell möglich? Nun
nehmen wir an, dass das System sich im Zustand ψ = √15 (2, 0, 1) befindet. Bestimmen Sie
hHi, hH 2 i und ∆H im Zustand ψ.
(b) Nehmen wir an, man hat bei der Energiemessung den niedrigst möglichen Messwert erhalten. Wir messen“ nun die Observable A. Welche Messwerte sind prinzipiell möglich? Was
”
sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass man diese Messwerte erhält? Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einer Energiemessung nach der Messung von A wiederum
den niedrigst möglichen Messwert erhält?
Aufgabe 17. Beschränkte Operatoren (7 Punkte)
Ein Operator A heißt beschränkt, wenn seine Operatornorm kAk endlich ist:
kAk ≡
(a)
Zeigen Sie:
kABk ≤ kAk · kBk
kAψk
<∞.
ψ∈H\{0} kψk
sup
und
kAk = 0 ⇔ A = 0.
Betrachten Sie zwei Operatoren A, B mit
[A, B] = c 11
(c 6= 0, c ∈ C).
(1)
(b) Folgern Sie aus (1), dass B n 6= 0 für ∀n ∈ N gilt.
Hinweis: Betrachten Sie hierzu den Operator [A, B n ] und seine Norm.
(c)
Zeigen Sie, dass die Annahme, A und B seien beschränkt, mit (1) in Widerspruch steht.
Fazit: Man kann die kanonischen Vertauschungsrelationen der Quantenmechanik nicht mit beschränkten Operatoren erfüllen.
(d) Wie verträgt sich dieses Fazit mit der Vertauschungsrelation von Orts- und Impulsoperator
für ein Teilchen im Kastenpotential (V (x) = 0 für x ∈ D = [0, L]d , V (x) = ∞ sonst).
Aufgabe 18. Verallgemeinerung der Schwarz’schen Ungleichung (3 Punkte)
Zeigen Sie die Verallgemeinerung der Schwarz’schen Ungleichung
|(ψ1 , Aψ2 )|2 ≤ (ψ1 , Aψ1 )(ψ2 , Aψ2 )
für den Fall, dass der Operator A eine positiv definite Observable ist. Unter welchen Bedingungen
kann man das (≤)-Zeichen durch ein Gleichzeichen ersetzen?