Aufgaben Flächenberechnung

Aufgaben Flächenberechnung
1.0 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Kathetenlängen AB  10 cm und
AC  2 cm. Verlängert man [AC] über C hinaus um x cm und verkürzt gleichzeitig [AB] von
B aus um x cm, so entstehen neue rechtwinklige Dreiecke ABnCn.
1.1 Zeichne ABC und die neuen Dreiecke AB2C2 und AB3C3 für x=2cm und x=3cm.
Berechne die Flächeninhalte der Dreiecke.
1.2 Gib für x eine sinnvolle Grundmenge an.
1.3 Stelle den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke ABnCn in Abhängigkeit von x dar.
[Ergebnis: A(x)=  0,5x 2  4 x  10 cm2]
1.4 Für welchen Wert von x nimmt der Flächeninhalt seinen maximalen Wert an?


2.0 Ein gleichschenkliges Dreieck ABC hat die Basis 4 cm und die Höhe hc=10 cm. Neue
gleichschenklige Dreiecke erhält man, indem man die Basis auf beiden Seiten um x cm
verlängert und gleichzeitig die Höhe von C aus um x cm verkürzt.
2.1 Zeichne das Dreieck ABC und das Schardreieck A1B1C1 für x = 1,5 cm. Berechne die
Flächeninhalte beider Dreiecke.
2.2 Welche Werte sind für x zulässig?
2.3 Stelle den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke AnBnCn in Abhängigkeit von x dar!
[Ergebnis: A(x)=  x 2  8x  20 cm2]
2.4 Für welchen Wert von x erhält man den größtmöglichen Flächeninhalt?


3.0 Einem Rechteck PQRS mit PQ =12 cm und PS = 6 cm werden Parallelogramme
AnBnCnDn. einbeschrieben mit An [PQ] , Bn [QR], Cn [RS], Dn [SP].
QBn  SDn  x cm PAn  RC n  2 x cm
3.1 Zeichne das Rechteck PQRS und für x=2,5 cm das Parallelogramm A1B1C1D1. Berechne
den Flächeninhalt dieses Parallelogramms.
3.2 Welchen Wert darf x annehmen?
3.3 Stelle den Flächeninhalt A(x) der Parallelogramme in Abhängigkeit von x dar.
[Ergebnis: A(x)= 4 x 2  24 x  72 cm2]
3.4 Berechne den Flächeninhalt für x=5,5 cm.
3.5 Für welchen Wert von x erhält man das Parallelogramm mit dem kleinsten Flächeninhalt?


4.0 Durch die Punkte A(-2|-3), B(3|-0,5) und Cn(x|-0,5x+3) ist eine Schar von Dreiecken
festgelegt.
4.1 Zeichne die Dreiecke ABC1 für x = -1 und ABC2 für x=2 und berechne ihre
Flächeninhalte!
4.2 Stelle den Flächeninhalt A(x) der Schardreiecke in Abhängigkeit von x mittels einer
geeigneten Determinante dar.
[Ergebnis: A(x)=  2,5x  12,5 FE]
4.3 Für welchen Wert von x ergibt sich ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 2,5 FE
4.4 Für welchen Wert von x ergibt sich rechnerisch kein Dreieck.
5.0 Gegeben sind die Punkte B(3|1), C(-1|3) und A(x|0,25x-2)
5.1 Zeichne die Dreiecke A0BC für x = 0 und A2BC für x=2 und berechne ihre Flächeninhalte!
5.2 Stelle den Flächeninhalt A(x) der Schardreiecke in Abhängigkeit von x mittels einer
geeigneten Determinante dar.
[Ergebnis: A(x)=  1,5x  9 FE]
5.3 Für welchen Wert von x ergibt sich ein Dreieck mit dem Flächeninhalt 10,5 FE
5.4 Für welchen Wert von x ergibt sich rechnerisch kein Dreieck.
Lösung:
Aufgabe 1:
1.1
y 5
C3
C2 4
3
2
C
1
x
A
-1
1
2
3
4
5
6
7B 3 8 B 2 9
10B 11
-1
1
10  2  2  2   16cm2
2
1.2
0<x<10
A2 
A3 
1
10  3 2  3  17,5cm2
2
1.3
1
10  x  2  x 
2
1
A( x)   20  10 x  2 x  x 2 
2
A( x)  0,5x2  4 x  10 cm2
A( x) 
1.4
A( x)  0,5  x 2  8 x   10
A( x)  0,5  x  4   16   10


2
A( x)  0,5  x  4   8  10
2
A( x)  0,5  x  4   18
Für x = 4 ergibt sich der maximale Flächeninhalt von 18 cm2
2
Aufgabe 2
2.1
y 10
1
4 10  20 cm2
2
1
A1   4  2 1,510  1,5
2
A1  29,75 cm2
A
C
9
C1
8
7
2.2
0<x<10
6
2.3
5
1
 4  2 x 10  x 
2
1
A( x)   40  4 x  20 x  2 x 2 
2
A( x)   x 2  8x  20 cm2
A( x) 
4
3
2
2.4
A( x)   x 2  8x  20
1
-4
A-3
1
-2A -1
1
-1
2B
3
x
B41
A( x)   x 2  8 x  20
A( x)    x 2  8 x   20
2
A( x)    x  4   16   20


A( x)    x  4   16  20
2
A( x)    x  4   36
Der maximale Flächeninhalt beträgt 36 cm2 für x = 4
2
Aufgabe 3:
3.1
y
x
2x
12-2x
6
S
C
R
5
6-x
4
D
3
6-x
B
2
x
1
P
-1
1
2
x
12-2x
2x
3
4
5A
6
7
8
9
10
11
12Q
-1
1
1

AABCD  12  6  2   2  2,5  6  2,5    2,5 12  2  2,5   (Jedes Dreieck 2x)
2
2

AABCD  72    2  2,5 6  2,5   2,512  2  2,5 
(1/2 in die Klammer multipliziert)
AABCD  72   5  3,5  2,5  7 
AABCD  72   5  3,5  2,5  7 
AABCD  37 cm2
3.2
0<x<6
3.3
A( x)  72   2 x   6  x   x  12  2 x  
A( x)  72  12 x  2 x 2  12 x  2 x 2 
A( x)  4 x 2  24 x  72 cm2
3.4
A(5,5)  4  5,52  24  5,5  72  61 cm2
3.5
A( x)  4 x 2  24 x  72
A( x)  4  x 2  6 x   72
2
A( x)  4  x  3  9  72


A( x)  4  x  3  36  72
2
A( x)  4  x  3  36
2
Der Flächeninhalt wird minimal 36 cm2 für x = 3
Aufgabe 4
C1
C2
C3
C4
B
A
4.1
 3   2    5 
AB  


 0,5   3   2,5 
C1(-1|-0,5∙(-1)+3)  C1(-1|3,5)
C2(2|-0,5∙2+3)  C2(2|2)
 2   2    4 
AC2  
 
2


3



 5
 1   2    1 
AC1  


3,5


3



  6,5 
1
1 5
1
A1 
  5  6,5  2,5  15 cm2
2 2,5 6,5 2
1 5 4 1
A2 
  5  5  2,5  4   7,5 cm2
2 2,5 5 2
4.2
x   2 

  x2 
ACn  


 0,5 x  3   3   0,5 x  6 
AABCn = ½ 5
2,5
x+2
-0,5x + 6
FE
= ½ [(5 (-0,5x + 6) - 2,5(x + 2)] FE
AABCn
= ( -2,5x + 12,5) FE
4.3 AABC3 = 2,5 FE
2,5 = -2,5x + 12,5
=> x = 4  y = 1  C3 (4|1)
C4 als Schnittpunkt der Gerade gAB und der Gerade gC.
gAB: y = 0,5x - 2
gAB  gC = {C4}  -0,5x + 3 = 0,5x - 2

-x = -5

x=5
 y = 0,5
 C4(5|0,5)
Aufgabe 5
5.1
y
C
3
2
1
B
x
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-1
A2
-2
A0
-3
A0(0|-2)
A2(2|0,25∙2-2)  A2(2|-1,5)
 3   1   4 
 0  (1)   1 
CB  
CA0  
 
 
 2  3   5 
 1  3   2 
1 1 4 1
A0 
  2   5  4   9 cm2
2 5 2 2
4 1
1 3
A2 
  3   2    4,5  4   6 cm2
2 4,5 2 2
5.2
 x   1   x  1 
CAn  


 0, 25 x  2  3   0, 25 x  5 
4 1
1 x 1
A( x) 
  2  x  1  4  0, 25 x  5  
2 0, 25 x  5 2 2
1
A( x)   2 x  2  x  20 
2
A( x)  1,5x  9
5.3
10,5 = -1,5x + 9
1,5 = -1,5x
x = -1
5.4
0 = -1,5x + 9
-9 = -1,5x
x=6
|-9
 2  (1)   3 
CA2  


 1,5  3   4,5 