Zufall tritt an vielen Stellen auf: in der Natur (etwa bei

1
Zufall tritt an vielen Stellen auf:
in der Natur (etwa bei Zerfallsprozessen von Atomen, Wetterentwicklungen),
in der Gesellschaft (etwa bei Spielen),
in der Industrie (z.B. bei Zuverlässigkeit von Produkten wie Glühlampen).
Zufall kann mathematisch betrachtet werden, dies ist Gegenstand der
Stochastik.
Stochastik D Wahrscheinlichkeitsrechnung
D Wahrscheinlichkeitstheorie (kurz WT)
Geschichte:
Begründer der axiomatischen WT:
A. N. Kolmogoroff, 1903–1987.
2
Bestandteile der Stochastik:
Reales stochastisches
Problem
Lösung reales
stochastisches Problem
.1/
!
.3/
Stochastisches
Modell
# (2)
Lösung
stochastisches
Problem
Dabei:
Schritt (1): Modellbildung, inkl. Festlegung von Ergebnisraum  und
Wahrscheinlichkeitsverteilung P .
Unter Umständen Vereinfachungen.
Schritt (2): Stochastische Theorie auf Basis des Modells.
Schritt (3): Interpretation der Theorie.
3
Themen der VL:
Endliche + unendliche Wahrscheinlichkeitsräume
(allgemeine Theorie)
Spezielle diskrete Verteilungen
(Laplace-Verteilung, Binomialverteilung, geometrische Verteilung, : : :)
Kombinatorik D Anzahlbestimmung möglicher Kombinationen eines
Experiments
Zufallsvariable, Erwartungswert, Varianz
4
Beispiel (Drei-Würfel-Problem). Betrachte gleichzeitigen Wurf von drei
ungezinkten und nichtunterscheidbaren Würfeln.
Chevalier de Méré (1607–1684) vermutete: Augensumme 11 so wahrscheinlich wie Summe 12.
Seine Begründung: für beide Augensummen gibt es sechs verschiedene
Möglichkeiten. Diese sind im Folgenden aufgelistet. Die Ergebnisse sind
dabei der Größe angeordnet.
Summe 11
6 4 1
6 3 2
5 5 1
5 4 2
5 3 3
4 4 3
Summe 12
6 5 1
6 4 2
6 3 3
5 5 2
5 4 3
4 4 4
Beobachtung von de Méré: in der Praxis Augensumme 11 häufiger als
Augensumme 12.
5
Blaise Pascal (1623–1662) löste Problem. Dazu wird nun anders als zuvor
angenommen, dass die Würfel unterscheidbar sind.
Realisierung z. B. der Konstellation 6 3 2 oben durch sechs geordnete
Tripel (Eintrag j bezieht sich auf Würfel Nr. j (j D 1; 2; 3):
.6; 3; 2/; .6; 2; 3/; .3; 6; 2/; .3; 2; 6/; .2; 6; 3/; .2; 3; 6/
Konstellation 5 5 1 z. B. hingegen wird durch drei geordnete Tripel
realisiert: .5; 5; 1/; .5; 1; 5/; .1; 5; 5/.
Konstellation 4
4 4 wird sogar nur durch ein Tripel realisiert: .4; 4; 4/.
Nachzählen: 27 verschiedene Tripel für Summe 11, hingegen nur 25 Tripel für Summe 12.
M
Mathematisches Modell für Drei-Würfel-Problem?
6
Beispiel (Drei-Würfel-Problem, Fortsetzung). Gesamtzahl aller möglichen Ausgänge:
Kombiniere 6 Möglichkeiten für Würfel Nr. 1 mit 6 Möglichkeiten für
Würfel Nr. 2, insgesamt 6 6 D 36 Möglichkeiten.
Weitere 6 Möglichkeiten für Würfel Nr. 3, also insgesamt 6 36 D 63 D
216 Spielausgänge.
216 Tripel bilden Ergebnismenge :
 D ¹.1; 1; 1/; .1; 1; 2/; .1; 1; 3/; : : : ; .6; 6; 6/º:
Ereignis Summe 11: wird beschrieben durch Menge A von 27 Tripeln,
deren Einträge jeweils Summe 11 haben:
°
±
A D .6; 3; 2/; .6; 2; 3/; .3; 6; 2/; .3; 2; 6/; .2; 6; 3/; .2; 3; 6/; : : : :
Ereignis Summe 12: wird beschrieben durch Menge B von 25 Tripeln,
deren Einträge jeweils Summe 12 haben:
°
±
B D .6; 5; 1/; .6; 4; 2/; .6; 3; 3/; .5; 5; 2/; .5; 4; 3/; .4; 4; 4/; .6; 1; 5/; : : : :
7
Idealer Spielwürfel Ý für alle 216 Spielausgänge gleiche Wahrscheinlichkeit. Dann:
P .Ereignis A/ WD Wk für Ereignis A D
Anzahl günstige Fälle für A
Anzahl mögliche Fälle
:
Diese Wahrscheinlichkeit heißt klassische Wahrscheinlichkeit.
Analog wird P .Ereignis B/ berechnet. Man erhält:
P .Augensumme 11/ D
P .Augensumme 12/ D
27
216
25
216
D 0;125;
0;116:
Behandelte Aspekte:
Anzahlbestimmungen (Aspekt der Kombinatorik)
Datenerhebung (hier via Spiele/Beobachten der Ergebnisse) (Aspekt der
beschreibenden Statistik)
Zuordnung rationaler Zahlen zu den Ereignissen als deren Wahrscheinlichkeit – klassische Wahrscheinlichkeit als ein Aspekt der WT.
8
9
Stochastik-Geschichte
Blaise Pascal (1623–1662)
Französischer Mathematiker, Physiker
Einheit für den Luftdruck nach ihm benannt
Christiaan Huygens (1629–1695)
Verfasste Traktat über Glücksspiele;
Terminologie: Wert der Hoffnung.
Jakob Bernoulli (1654–1705)
Gehörte zu Mathematikerfamilie.
Verfasste „Ars conjectandi“=Kunst des Vermutens.
10
Abraham de Moivre (1667–1754)
Spricht erstmals von „Probability“
Betrachtet noch vor Laplace
Anzahl günstige Fälle für A
Anzahl mögliche Fälle
./
als Maß für Wk von Ereignis A.
Pierre Simon Laplace (1749–1827)
Französischer Mathematiker, Physiker
Begründer von ./ als Maß für klassische Wk. Daher Begriffe
wie Laplace-Wk, Laplace-Würfel, Laplace-Münze.
Vorwurf des Kreisschlusses: Wk-Begriff enthält zu erklärenden
Begriff.
Anwendung der Laplace-Wk begrenzt
(siehe Reißzwecke).
11
Richard Edler von Mises (1883–1953)
Hat Wk für Ereignis A als Grenzwert (d. h., für
n ! 1) relativer Häufigkeiten hn.A/ eingeführt, wobei
hn.A/ D
Anzahl der Versuche mit EreignisA
Gesamtzahl Versuche n
Hat sich nicht durchgesetzt.
I
hn.A/ hat aber in Statistik und zur Schätzung
von P .A/ Bedeutung.
Alexander N. Kolmogoroff (1903–1987)
Begründer der modernen, axiomatischen WT.
Axiomatische WT wurde 1900 in Rede von David Hilbert gefordert.
12
Betrachte Glücksrad
mit Ziffern 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9;
qqqqqqqqqq
♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣qqqq♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣.♣♣♣♣♣♣♣♣
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3
2
1
4
0
5
9
6
8
7
Drehen des Zeigers, bis erstmalig 9 auftritt.
13
Zufallsexperiment (Ze) ist realer Vorgang; exakte Bedingungen;
mögliche Ausgänge des Ze’s klar, Ausgang selbst nicht;
Annahme: Ze unter gleichen Bedingungen beliebig wiederholbar.
Ergebnismenge
Mögliche Ausgänge des Ze werden zu Ergebnismenge zusammengefasst; wird auch Grundraum genannt, mit  bezeichnet.
Element von  wird mit ! bezeichnet und Ergebnis oder Elementarereignis
genannt.
Gilt jj D n (d. h., Anzahl Elemente von  D n), so kann man Elemente
indizieren:  D ¹!1; !2; : : : ; !n º.
Es gilt  ¤ ¿: Es ist jj D 1 zulässig.
Definition. Sei  ¤ ¿ Ergebnismenge.
(1)
(2)
(3)
(4)
Jede Teilmenge A  heißt Ereignis.
Jedes ! 2  ist Elementarereignis. Auch ¹! º wird so genannt.
Es heißt  sicheres Ereignis.
Es heißt ¿ unmögliches Ereignis.
14
Definition. Seien A und B Mengen.
A Teilmenge von B , in Zeichen A B , wenn aus x 2 A folgt x 2 B .
die Schnittmenge bzw. der Durchschnitt A \ B ist
A \ B D ¹x j x 2 A und x 2 B º.
Die Vereinigungsmenge bzw. die Vereinigung A [ B ist
A [ B D ¹x j x 2 A oder x 2 B º.
Die Differenzmenge bzw. die Differenz AnB , sprich A ohne B , ist
AnB D ¹x j x 2 A und x 62 B º.
Falls noch B A, so heißt AnB auch Komplementärmenge von B bzgl.
A. Notation: B , Sprechweise „B quer“.
A und B heißen disjunkt, falls A \ B D ¿.
Die Menge aller Teilmengen einer Menge  heißt Potenzmenge P ./:
P ./ D ¹A j A º:
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Venn-Diagramme:
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B
A
Situation B A
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B
A
A [ B , punktiert
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A \ B , punktiert
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B
A
AnB , punktiert
B , punktiert
B
17
Theorem Seien A; B; C Mengen. Dann:
Kommutativgesetze :
A [ B D B [ A; A \ B D B \ A,
A [ .B [ C / D .A [ B/ [ C ,
A \ .B \ C / D .A \ B/ \ C ,
Distributivgesetze :
A [ .B \ C / D .A [ B/ \ .A [ C /,
A \ .B [ C / D .A \ B/ [ .A \ C /,
Gesetze von de Morgan : A \ B D A [ B ,
A[B DA\B
Weiter :
A [ ¿ D A;
A \ ¿ D ¿,
.B A/.
B [ B D A; B \ B D ¿
Assoziativgesetze :
18
Definition. Sei  endliche Ergebnismenge. Es heißt
P W P ./ ! R
Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz: W-Maß) oder Wahrscheinlichkeitsverteilung
(kurz Wverteilung), falls:
(1) P .A/ 0
8 A  (Nichtnegativität)
(2) P ./ D 1 (Normierung)
(3) P .A[B/ D P .A/CP .B/
8 A; B  mit A\B D ¿ (Additivität).
.; P /: W-Raum.
Beispiel. Sei  endliche Ergebnismenge.
Klassische Wk P W P ./ ! R definiert durch
Anzahl günstige Fälle für A
P .A/ D
Anzahl mögliche Fälle
jAj
D
;
jj
A :
Betrachte n Versuche, alle mit Ausgang 2 . Statistische Wk:
Anzahl Versuche mit Ausgang A
Hn.A/
hn.A/ D
Gesamtzahl Versuche
D
n
;
A :
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1
1/6
1/6
2
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3
1/6
1/6
1/6
4
5
6
Allgemeine Vorgehensweise für einstufige Experimente:
Jedes mögliche Ergebnis schreibe in einen Knoten;
Verbinde einen festen Ursprung mit jedem Knoten durch einen Weg
(genannt Kante);
Wken zu Ergebnissen schreibe an Kanten.
Wken von beliebigen Ereignissen A erhält man durch Summation der
Wken an Kanten zu denjenigen Ergebnissen, die zusammen A bilden.
20
Teilversuch 1
Teilversuch 2
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Z
1/2
1/2
1/2
W

Z
(Z,Z), 1=4
W
(Z,W), 1=4
Z
(W,Z), 1=4
W
(W,W), 1=4
1/2
Vorgehen für Baumdiagramme bei mehrstufigen Experimenten,
Betrachte zuerst die Ergebnisse von Teilversuch 1.
Jedes Ergebnis von Teilversuch 1 schreibe in Knoten;
alle diese Knoten gehören auf eine gedachte Linie (vertikal bei horizontalem Baum bzw. horizontal bei vertikalen Baum);
verbinde einen Ursprung mit jedem Ergebnis von Teilversuch Nr. 1
durch Weg (genannt Kante).
Wken zu Ergebnissen schreibe an Kanten.
21
Teilversuch 1
Teilversuch 2
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W

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(Z,Z), 1=4
W
(Z,W), 1=4
Z
(W,Z), 1=4
W
(W,W), 1=4
1/2
Betrachte nun beliebiges Ergebnis von Teilversuch 1.
Lege für mögliche Ausgänge von Teilversuch Nr. 2 Knoten an.
Verbinde Ergebnis von Teilversuch 1 mit Knoten von Teilversuch 2.
(Lokale) Wken zu Ergebnissen schreibe an Kanten.
Alle Knoten zu Teilversuch Nr. 2 gehören auf gedachte Linie (vertikal
bzw. horizontal); analog für weitere Teilversuche.
Schließlich: Zu jedem Knoten auf letzter Ebene gehört ein Ergebnis des
Gesamtversuchs (Rückverfolgung der Kanten).
Wk dieses Ergebnisses des Gesamtexperiments erhält man durch Multiplikation der Wken entlang der Kante.
M
22
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1/3
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1/3
P
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Definition. Sei  endliche Ergebnismenge. Es heißt
P W P ./ ! R
Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz: W-Maß) oder Wahrscheinlichkeitsverteilung
(kurz Wverteilung), falls:
(1) P .A/ 0
8 A  (Nichtnegativität),
(2) P ./ D 1 (Normierung)
(3) P .A[B/ D P .A/CP .B/
8 A; B  mit A\B D ¿. (Additivität).
.; P /: endlicher W-Raum.
Eigenschaften (jeweils A; B ):
P .A/ D 1 P .A/, 0 P .A/ 1, P .¿/ D 0,
für n paarweise unvereinbare Ereignisse A1 ; A2 ; : : : ; An , d. h.,
Ai \ Ak D ¿
für i; k D 1; 2; : : : ; n
mit i ¤ k;
gilt
P .A1 [ [ An/ D P .A1/ C C P .An/;
P .A [ B/ D P .A/ C P .B/ P .A \ B/,
für A B gilt P .A/ P .B/.
24
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B
5
A
3
1
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6
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4
2
Venn-Diagramm zur Additivität
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B
A
Venn-Diagramm A [ B
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BnA
A\B
AnB
Disjunkte Zerlegung
von A [ B
25
Satz. Sei  D ¹!1; !2; : : : ; !n º endliche Ergebnismenge. Abbildung
P W P ./ ! R
ist gdw. W-Maß, wenn:
(A) P .¹!i º/ 0
(B)
n
X
für i D 1; 2; : : : ; n,
P .¹!i º/ D 1,
i D1
(C) P .A/ D
X
P .¹!i º/ für A ; A ¤ ¿,
!i 2A
(D) P .¿/ D 0.
Definition. Sei  endlich, m D jj. Die durch
1
1
P .¹!º/ D
D
für ! 2 
jj
m
definierte Wverteilung heißt Laplace-Verteilung oder Gleichverteilung. Es
heißt .; P / Laplace-W-Raum.
26
Beispiel. Sei  endliche Ereignismenge.
Klassische Wk P W P ./ ! R definiert durch
Anzahl günstige Fälle für A
P .A/ D
Anzahl mögliche Fälle
D
jAj
;
jj
A :
Betrachte n Versuche, alle mit Ausgang 2 . Statistische Wk:
Anzahl Versuche mit Ausgang A
hn.A/ D
Gesamtzahl Versuche
;
A :
27
Beispiel (Glücksrad).
Wie groß Wk, dass Zeiger in ausgewähltem
Sektor stehen bleibt? Im Beispiel nebenan:
roter Sektor.
q.q..q.q..q..q..q.q..q.q..q.q..q.q..q.q..q.q.q..q...................................................
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....♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣....♣.♣.r
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♣
♣
♣
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♣
♣
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..... ...
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...
....... ..
...
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..q..q.q.q
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...q..q.q.q ...
... .............
..q..q.q..q.q...
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L.rot/
rot gelb
˛
weiß
grün
Modell 1. Ereignisraum
 D ¹ gelb, weiß, grün, rot º:
Wken werden über Öffnungswinkel des jeweiligen Kreissektors beschrieben.
Rotes Kreissegment: ˛ D 160ı , also
160
4
Öffnungswinkel roter Sektor
D
D :
P .¹rotº/ D
Öffnungswinkel gesamter Kreis
360
9
28
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A
Beispiel Betrachte quadratische Zielscheibe
Q mit Seitenlänge a Wk dafür, dass Schuss
Dreieck A nebenan trifft?
r
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Beispiel Bestimme nun Wk für Treffer in
Kreis A nebenan dargestellt. Wegen Fläche
A D a2=4 folgt
a
a =4
P .A/ D
:
D
2
a
4
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A
................................................................................
a
a
...
...
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...
...
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...
...
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r
2
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a
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29
Ziehen von k
Kugeln aus Urne mit n Kugeln
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
ohne
Berücksichtigung der Reihenfolge
ohne Zurücklegen
mit Zurücklegen
Geordnete
Stichprobe ohne Zurücklegen
vom Umfang k aus n
Elementen, k n:
Geordnete
Stichprobe
mit Zurücklegen vom
Umfang k aus n Elementen:
nŠ
Möglichkeiten
.n k/Š
nk Möglichkeiten
Ungeordnete Stichprobe
ohne Zürucklegen vom
Umfang k aus n Elementen, k n:
Ungeordnete
Stichprobe
mit
Zürucklegen
vom Umfang k aus n
Elementen:
n
k
Möglichkeiten
n
1Ck
k
Möglichkeiten
30
Beispiel
Kurzer rechteckiger Gehweg ist mit
Platten ausgelegt
Platten sind in sechs Reihen angeordnet, vier Platten in jeder Reihe
Gesamtzahl Platten:
4 6 Platten = 24 Platten
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4 Spalten
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...
...
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...
...
...
...
...
...
...
...
..
6 Reihen
...
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...
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...
...
...
...
...
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Beispiel
Betrachte nebenstehende Dreiecke
pro Reihe 8 Dreiecke, 3 Reihen
Gesamtzahl der Dreiecke:
3 8 Dreiecke = 24 Dreiecke
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31
Speisekarte
Vorspeisen
Tomatensuppe (T)
Fischsuppe (F)
Hauptgerichte
Hähnchen auf Reis (H)
Bratwurst + Pommes (B)
Schnitzel + Kartoffeln (S)
Nachspeisen
Eis (E)
Pudding (P)
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E
H
P
E
B
T
S
H
F
B
P
E
P
E
P
E
P
S
E
P
32
Variante 1: Bilde n-gliedrige Sequenzen c1 c2 : : : cn, wobei
k1 Möglichkeiten für Wahl von c1 auf Position 1,
qqqqqq
qqqqqq
c2
2,
k2
♣♣
♣
♣♣
♣
kn
♣♣
♣
qqqqqq
cn
♣♣
♣
♣♣
♣
qqqqqq
n.
Hier insgesamt
k1 k2 : : : kn
verschiedene n-gliedrige Sequenzen c1 c2 : : : cn.
Beispiele: Zahlenschloss, Menüzusammenstellung, Turmbau.
33
Beispiel
Turmbau:
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r
w
s
s
w
s
r
r
s
r
w
w
r
w
s
Zahlenschloss A: Vier Ringe mit
je Zahlen 1; 2; : : : ; 6.
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qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
2 1 3 5 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
Zahlenschloss B: Drei Ringe mit
je Zahlen 1; 2; : : : ; 8.
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qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
4 8 3 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
34
Variante 2: Betrachte Experiment mit n Teilversuchen. Es gebe
k1 mögliche Ausgänge für Teilversuch 1,
qqqqqq
2,
k2
♣♣
♣
kn
♣♣
♣
qqqqqq
♣♣
♣
n.
Dann insgesamt
k1 k2 : : : kn
verschiedene Ergebnisse für Experiment.
Beispiel: n Würfeln, Ziehen von Kugeln (mit/ohne Zurücklegen).
35
36
Definition. Anordnungen c1 c2 : : : cn mit Zeichen (oder Objekten) cj für
1 j n heißen n-gliedrige Sequenz. Gleichwertige Notationen: c1; c2;
: : : ; cn oder als n-Tupel .c1; c2; : : : ; cn/.
Im Allg. kommt es auf Reihenfolge an! Man spricht auch von geordneter
n-gliedriger Sequenz. Ist Reihenfolge unerheblich, so spricht man von
ungeordneter n-gliedriger Sequenz.
M
Geordnete n-gliedrige Sequenzen ohne Wiederholung, ausgewählt aus
n-elementiger Menge .
Beispiel. Für das vorgestellte Turmbau-Beispiel sind
r w s;
r s w;
w s r;
w r s;
s r w;
s w r;
die möglichen 3-gliedrigen Sequenzen, wobei jeweils der k -te Eintrag zur
k -ten Stufe des Turms von unten gehört (k D 1; 2; 3).
M
Beispiel. Wie viele Anordnungen dreier unterscheidbarer Zeichen a1; a2; a3
gibt es? In jeder Anordnung soll jedes Zeichen (genau) einmal vorkommen. Antwort ist sechs:
a1 a2 a3;
a1 a3 a2;
a2 a1 a3;
a2 a3 a1;
a3 a1 a2;
a3 a2 a1:
M
37
Definition.
Jede n-gliedrige Sequenz, die jedes von n gegebenen unterscheidbaren
Zeichen genau einmal enthält, heißt n-gliedrige Sequenz ohne Wiederholung
oder n-Permutation ohne Wiederholung.
Sprechweise für Urnenmodelle: geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
vom Umfang n aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln.
Definition. Gegeben seien n unterscheidbare Zeichen und 1 k n.
Jede k -gliedrige Sequenz, in der jedes der n gegebenen Zeichen höchstens einmal auftritt, heißt k -gliedrige Sequenz ohne Wiederholung.
Sprechweise für Urnenmodelle: geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen
vom Umfang k aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln.
38
Geordnete Sequenzen ohne Wiederholung. Betrachte n unterscheidbare
Zeichen a1; a2; : : : ; an.
Fall 1. Geordnete n-gliedrige Sequenz ohne Wiederholung
Satz. Aus n unterscheidbaren Zeichen a1; a2; : : : ; an lassen sich
n .n
1/ .n
2/ : : : 2 1 D nŠ
verschiedene geordnete n-gliedrige Sequenzen ohne Wiederholung auswählen.
Fall 2. Geordnete k -gliedrige Sequenz ohne Wiederholung. Diesmal ist
nach Anzahl der Anordnungen gefragt, die k der n gegebenen Zeichen
genau einmal enthalten, mit 1 k n fest gewählt.
Satz. Aus n unterscheidbaren Zeichen a1; a2; : : : ; an lassen sich
n .n
1/ .n
2/ : : : .n
.k
nŠ
1// D
.n k/Š
verschiedene geordnete k -gliedrige Sequenzen ohne Wiederholung auswählen.
39
Definition (Sequenzen mit Wiederholung). Gegeben seien n unterscheidbare Zeichen, und sei 1 k n.
Jede k -gliedrige Sequenz, bei der an jeder Stelle eines der n gegebenen
Zeichen steht, heißt k -gliedrige Sequenz mit Wiederholung.
Sprechweise für Urnenmodelle: geordnete Stichprobe mit Zurücklegen
vom Umfang k aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln.
In dieser Situation gilt in der Urnenterminologie:
Satz (Geordnete Probe mit Zurücklegen). Für eine Urne mit n unterscheidbaren Kugeln und jedes k 1 gibt es
nk
verschiedene geordnete Proben vom Umfang k mit Zurücklegen.
40
Definition.
(a) Gegeben seien n unterscheidbare Zeichen a1; a2; : : : ; an und 1 k n. Jede k -gliedrige Sequenz,
in der jedes aj höchsten auftreten darf,
und wobei Reihenfolge ohne Bedeutung ist,
heißt ungeordnete k -gliedrige Sequenz ohne Wiederholung oder Kombination
ohne Wiederholung.
(b) Sprechweise für Urnenmodelle: ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln.
M
Satz (Ungeordnete Probe ohne Zurücklegen). Für eine Urne mit n unterscheidbaren Kugeln gibt es für jedes 1 k n insgesamt
n
k
verschiedene ungeordnete Proben vom Umfang k ohne Zurücklegen.
41
Beispiel. Wähle aus 5 Personen zufällig 3 aus. Anzahl Möglichkeiten?
Bezeichne Personen mit a1; : : : ; a5. Mögliche Kombinationen (D 10):
a1 a2 a3;
a1 a4 a5;
a1 a2 a4;
a2 a3 a4;
a1 a2 a5;
a2 a3 a5;
a1 a3 a4;
a2 a4 a5;
a1 a3 a5;
a3 a4 a5:
Es wird nun Weg via Kombinatorik vorgestellt.
(a) Anzahl geordneter 3-gliedriger Sequenzen ohne Wiederholung:
5Š
D 5 4 3 D 60:
.5 3/Š
( )
(b) In a) werden aber z. B. die 3-gliedrigen Sequenzen
a1 a2 a3;
a1 a3 a2;
a2 a1 a3;
a2 a3 a1;
a3 a1 a2;
a3 a2 a1
mitgezählt, obwohl diese alle gleich. Dabei ergeben diese sich durch Permutation von a1; a2; a3, also 3Š D 6 Anordnungen.
(c) Überlegung in b) gilt für jede ungeordnete 3-gliedrige Sequenz. In ./
wird also jede ungeordnete Sequenz 6 zu oft gezählt.
(d) Richtige Zahl erhält man durch Division von ./ durch 3Š D 6:
5Š
D 10:
.5 3/Š3Š
42
Ungeordnete k -gliedrige Sequenz mit Wiederholung.
Beispiel Hotelzimmerbelegung
In einem Hotel sind fünf Zimmer frei, alle sind Dreibettzimmer;
es sollen drei Gäste A, B, C untergebracht werden;
Für jedes Zimmer sind Ein-, Zwei- und Dreifachbelegungen zugelassen;
von Interesse ist nur die Zahl der Belegungen pro Zimmer.
Wie viele Möglichkeiten gibt es? Vier Beispiele:
Beispiel
Zimmer Nr.
Nr.
1 2
3
4 5
1
1
1
1
2
1
11
3
1 11
4
111
Lösungsweg: Schreibe Tabelle mit Nullen als Spaltentrennern.
Beispiel
Beispiel
Beispiel
Beispiel
1:
2:
3:
4:
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
43
Damit lässt sich jede Zimmerbelegung beschreiben. Frage ist nun:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Nullen auf 7 Positionen zu verteilen?
Andere Betrachtungsweise: Bestimme aus möglichen Positionen 1; 2;
: : : ; 7 vier Positionen – ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung
der Bestimmungsreihenfolge.
Die Antwort ist
7
4
7Š
D
4Š3Š
D
7
3
D 35:
Beachte:
Man kann alternativ die Zahl der Möglichkeiten bestimmen, 3 Einsen
auf 7 Positionen zu verteilen.
Beachte: es werden bei modifiziertem Modell nicht Nullen (oder alternativ Einsen) gezogen, sondern Positionen für Nullen oder alternativ
Positionen für Einsen.
Für den berechneten Binomialkoeffizienten gilt
7
4
wobei n
1D5
D
kCn 1
n 1
;
1 D 4 (Zahl der Nullen) und k D 3 (Zahl der Einsen).
44
Definition.
(a) Gegeben seien n unterscheidbare Zeichen a1; a2; : : : ; an und k 1.
Jede k -gliedrige Sequenz,
in der jedes aj mehrfach auftreten darf,
und wobei Reihenfolge ohne Bedeutung ist,
heißt ungeordnete k -gliedrige Sequenz mit Wiederholung oder Kombination
mit Wiederholung.
(b) Sprechweise für Urnenmodelle: ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen vom Umfang k aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln.
M
Satz (Ungeordnete Probe mit Zurücklegen). Für eine Urne mit n unterscheidbaren Kugeln gibt es für jedes k 1 insgesamt
kCn
k
1
verschiedene ungeordnete Proben vom Umfang k mit Zurücklegen.
45
Wk für genau r Richtige beim Lotto 6 aus 49:
6
P .r Richtige/ D
r
43
6 r
49
6
r Richtige Anzahl Möglichkeiten 100 P (r Richtige)
6
1
7,15 10-6
5
4
3
2
1
0
258
13 545
246 820
1 851 150
5 775 588
6 096 454
0,002
0,10
1,77
13,24
41,30
43,60
46
nŠ D 1 2 : : : n; n 1; 0Š D 1;
Binomialkoeffizienten:
nŠ
:
.n k/ŠkŠ
Rechenregeln (n; k 2 N mit 0 k n):
n
n
D
.Symmetrie/;
n k
k
n
n
n
n
D
1
;
D
n;
D
n;
n D 1;
0
1
n 1
n
n
nC1
D
C
.k 1/:
k 1
k
k
n
k
Illustration von ./ via
pascalsches Dreieck:
In jeder Zeile:
n
k
WD
nD0
1
1 1
nD1
1 2 1
nD2
nD3
1 3 3 1
1 4 6 4 1
nD4
nD5
1 5 10 10 5 1
nD6
1 6 15 20 15 6 1
n D 7 1 7 21 35 35 21 7 1
; k D 0; 1; : : : ; n (n fest).
( )
47
Definition.
(a) Gegeben seien n unterscheidbare Objekte a1; a2; : : : ; an, und sei 1 k n. Jede k -gliedrige Sequenz,
die jedes aj höchstens einmal enthält,
und wobei Reihenfolge ohne Bedeutung ist,
heißt ungeordnete k -gliedrige Sequenz ohne Wiederholung oder ungeordnete
k -Permutation ohne Wiederholung.
(b) Sprechweise für Urnenmodelle: ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen vom Umfang k aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln.
M
Zwei k -gliedrige Sequenzen sind also gleich, falls sie die gleichen Zeichen
in verschiedener Anordnung enthalten.
Satz (Ungeordnete Probe ohne Zurücklegen). Für eine Urne mit n unterscheidbaren Kugeln gibt es für jedes 1 k n insgesamt
nŠ
n
D k
.n k/ŠkŠ
verschiedene ungeordnete Proben vom Umfang k ohne Zurücklegen.
48
Ziehen von k Kugeln aus Urne mit n Kugeln:
ohne Zurücklegen
Reihenfolge berücksicht
nŠ
.n k/Š
Reihenfolge
nicht
berücksichtigt
n
k
mit Zurücklegen
nk Möglichkeiten
Möglichkeiten
Möglichkeiten
nCk
k
1
Möglichkeiten
49
Beispiel. Wie viele 4-gliedrige Sequenzen gibt es, in denen 7 dreimal und
8 einmal auftritt?
Lösungsweg 0. Direktes Kombinieren: 7778, 7787, 7877, 8777.
Lösungsweg 1. Betrachte Menge mit vier Elementen: drei unterscheidbare
7 und eine 8. Unterscheidung durch Indexierung:
71; 72; 73; 81:
Insgesamt: 4Š D 24 Anordnungen der vier Zeichen.
Mache nun Unterscheidung rückgängig. Dann: 3Š1Š D 6 Sequenzen fallen zusammen. Beispiel:
71727381; 71737281; 72717381;
72737181; 73717281; 73727181:
Anzahl Möglichkeiten damit
4Š
3Š1Š
D 4:
50
Definition. Gegeben seien n unterscheidbare Zeichen a1; a2; : : : ; an . Eine
Sequenz heißt k -gliedrige Sequenz mit Wiederholung bei vorgegebenen
Vielfachheiten, falls:
die Sequenz ist eine k -gliedrige Sequenz,
das Zeichen ai tritt in der Sequenz genau ki -mal auf (i D 1; 2; : : : ; n),
die natürlichen Zahlen ki 1 .i D 1; 2; : : : ; n/ sind vorgegeben und
erfüllen k1 C k2 C C kn D k .
Satz. Aus einer Menge von n unterscheidbaren Zeichen (Elementen) kann
man
kŠ
k1 Š k2 Š : : : kn Š
k -gliedrige Sequenzen mit vorgegebenen Vielfachheiten bilden.
51
Permutationen mit Fixpunkten – Rencontre-Problem
Beispiel (Treizespiel).
Gegeben 13 gemischte Karten, nummeriert von 1 bis 13;
Spieler zieht nacheinander alle Karten ohne Zurücklegen;
Stimmt keine Kartenzahl mit Nr. der jeweiligen Ziehung überein, so
gewinnt Spieler, andernfalls Bank.
Liegt bei einer Ziehung Übereinstimmung vor (dann gewinnt Bank), so
M
spricht man von Rencontre. Ist Spiel fair?
Beispiel (Wichteln). n Personen – n Geschenke:
Es bringen n Personen Geschenk mit;
Geschenke werden zufällig unter den n Personen aufgeteilt;
Wie groß Wk dafür, dass jemand sein eigenes Geschenk erhält?
M
52
Bezeichne
D.n/ DZahl Permutationen, bei denen keines der
n Zeichen an ursprünglicher Stelle.
Damit D.13/ Zahl der günstigen Fälle für den Spieler.
Gesuchte Wahrscheinlichkeit für n 2 N ist bei Gleichverteilung
P D
D.n/
:
nŠ
53
Beispiel. Alle Permutationen für n D 1; 2; 3; 4
1
1
1 2
1 2
2 1
1
1
1
2
2
3
3
2
2
3
1
3
1
2
3
3
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
4
4
1
1
3
3
4
4
3
3
4
2
4
2
2
3
4
1
4
1
3
4
4
3
4
2
3
3
4
3
4
1
3
1
1
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
2
1
1
2
2
4
4
1
1
2
2
3
3
3
2
4
1
4
1
2
2
3
1
3
1
2
4
4
2
4
1
2
1
3
2
3
1
2
1
M