Belasteter Stahlbetonbalken ( Versuch Nr.4 )

Belasteter Stahlbetonbalken ( Versuch Nr.4 )
1. Grundlagen
Ein Stahlbetonbalken mit Rechteckquerschnitt der Abmessungen B = 220 mm und H = 400 mm wird mittels
eines Prüfzylinders, dessen Einzelkraft F durch eine I-Träger-Traverse in zwei gleichgroße Lasten F/2 verteilt
wird, auf Biegung beansprucht ( Abb.1 ). Die Zugzone sei auf der Unterseite des Balkens.
Abb. 1
Mit Hilfe eines Kraftaufnehmers mit DMS-Messsystem kann die Kraft gemessen werden.
Angaben zur Bewehrung:
Hauptbewehrung:
BSt 420/500
4 ∅ 14
Zusatzbewehrung:
BSt 220/340
2 ∅ 6,5
Bügel ( zweischnittig ) : BSt 220/340
∅ 6 ; s = 10 cm
Die Zusatzbewehrung wurde nicht über die gesamte Länge der Betondruckzone eingebaut, um die „Arbeit“ des
Betons nicht zu stören. Folgende Messgrößen werden erfasst:
Messgröße
Sensor
Kanal- Nr. im Messfile
Gesamtkraft in kN
Betondehnung an Balkenoberseite
Betondehnung:
2,5 cm von Balkenoberseite
5,0 cm von Balkenoberseite
7,5 cm von Balkenoberseite
10,0 cm von Balkenoberseite
Stahldehnung
Kraftmessdose
DMS
DMS
2
3,4
5
6
7
8
9, 10
DMS
1
Trägt man die bei der entsprechenden Laststufe ermittelten Dehnungswerte über der Höhe ab, so lassen sich
diese experimentell ermittelten Werte sehr gut durch eine Gerade darstellen (Trendlinie). Die Höhe dieser
theoretischen Funktion, bezogen auf die Nulllinie, stellt die Druckzonenhöhe x dar (Abb. 2).
25 25 25 25
ε bd1
εbd2
εbd3
εbd4
εbd5
X
X
X
X
x
X
Nulllinie
εs
ε
X
Abb. 2
Der Spannungs - Dehnungsverlauf beim Stahl ist linear, d.h. es gilt das Hookesche Gesetz. Die Stahlzugkraft Ns der Hauptbewehrung lässt sich mit A s = 4·πd s 2 /4 wie folgt berechnen:
Ns = ε s ⋅ E s ⋅ A s .
(1)
Würde beim Experiment die Hypothese von Bernoulli vom Ebenbleiben der Querschnitte gelten, so könnte
man die experimentell bestimmte Stahldehnung mit der Betondehnung auf der Balkenoberseite geradlinig
verbinden und die Trendlinie müsste ebenfalls auf dieser Geraden liegen. Die Spannungs-Dehnungs-Linie
des Betons (z.B. CEM I 32,5) zeigt Abb. 3. Die Größe βR ist der Rechenwert der Betondruckfestigkeit und
wird aus der Nennfestigkeit βWN einer Würfelserie ermittelt, indem βWN mit dem Faktor 0,6 multipliziert
wird. Die in Abb.3 dargestellte Kurve σbd = f(ε) hat bis zur Betonstauchung εbd = -2 0 /00 einen parabolischen
Verlauf. Es gilt:
σ =
1
β R (4 − ε )ε ;
4
ε in 10 − 3.
(2)
Sowohl in der Beziehung (2) als auch in den weiteren Berechnungen werden die Dehnungen ε positiv
angenommen.
σbd
[N/mm2 ]
40
β WN
30
βR
Spannung
20
10
0
0
1
2
3
- ε bd
Dehnung
Abb. 3
2
3,5
Nach Abb.2 ist die Dehnung linear von der Höhe abhängig, der Spannungsverlauf dagegen eine Parabel. Um
die Gesamtdruckkraft berechnen zu können, muss man demzufolge eine Integration über die gesamte
Druckzone ausführen.
Es gilt für die Betondruckkraft Nb :
A
N b = σ bd (x ′) da ;
∫
da = B⋅dx´, A=B·x ,
(3)
0
x
N b = B ⋅ σ bd (x ′) dx ′.
∫
(4 )
0
Für die lineare Abhängigkeit ε (x) gilt:
ε=
ε bd1
⋅ x′.
x
(5 )
Setzt man Gleichung ( 5 ) in ( 2 ) ein, so lässt sich das Integral ( 4 ) lösen.
Eine hinreichende Näherung erhält man auch durch Anwendung der numerischen Integration (z.B.
Simpsonsche Regel (6)), wobei mindestens vier Stützstellen y 1 ...y 4 benutzt werden sollen (Abb.4)
b
∫ f (x )dx ≈
a
b−a
( y a + 4 y 1 + 2 y 2 + 4 y 3 + 2 y 4 + ... + 2 y n − 2 + 4 y n −1 + y b ). .
3n
∆
1
σ bd1
∆
2
σ bd2
∆
x
3
4
(6)
σbd3
∆
σbd4
0
Abb. 4
Für die Betondruckkraft folgt demzufolge mit
Gleichung
Nb =
b-a = 4·∆ und einer Stützstellenanzahl n=4 aus (6) die
B⋅∆
(σ bd1 + 4σ bd2 + 2σ bd3 + 4σ bd 4 ).
3
(7)
Um das innere Moment M s berechnen zu können, benötigt man zusätzlich zur Betondruckkraft Nb auch deren
effektiven Angriffspunkt xs . Man berechnet xS nach:
xS =
1
Nb
3
x
∫ Bx ′σ
0
bd
( x′ ) dx ′ .
(8 )
Die bereits gefundene Funktion σbd (x´) muss nur noch mit x´ multipliziert und integriert werden. Eine
alternative näherungsweise Berechnung des Integrals (8) kann wie folgt durchgeführt werden. An den Stellen
x1 = ∆/4 und x5 = 15∆/4 (Abb.5) werden zusätzlich die Dehnungen εbd1´ = 15 /16·εbd1 und εbd4´ = 1/16·εbd1
ermittelt. Setzt man diese Werte mit dem Betrag in (2) ein, so erhält man die dazugehörenden
Betondruckspannungen σbd1´ und σbd4´. Das Integral ( 8 ) lässt sich dann in der Form
x
∫ Bx′σ (x ′) dx ′ ≈ ∑
bd
5
i=1
x i ∆Nbi
(9)
0
auswerten. Dabei ist
∆
,
2
= σ bd 2 , 3, 4 B∆ .
∆ N b1,5 = σ bd1′, 4′ B
∆ N b 2 , 3, 4
0
x1
x2
x3
x4
x5
x
( 10 )
σ bd1
σ bd1 ´
∆/2
∆
σ bd2
∆
σ bd3
∆
σ bd4
σbd4´
∆/2
Abb. 5
Das innere Moment MS bezogen auf die Stahlachse lässt sich mit xs aus (8) nach der Beziehung (11) wie
folgt berechnen (Abb.6)
M S = N b (h S − x S ).
Nb
362
x
∆ Nb3
∆ N b4
S
hS - x
400 - x
∆ N b5
38
xS
∆ Nb1
∆ Nb2
( 11 )
NS
Abb. 6
4
2. Aufgaben
2.1. Stellen Sie die experimentell gefundenen Größen εbd1..5 und εS grafisch über der Höhe dar.
2.2. Ermitteln Sie die Druckzonenhöhe x aus den Dehnungswerten der Betondruckzone.
2.3. Überprüfen Sie mit den Dehnungswerten inwieweit die Hypothese von Bernoulli vom Ebenbleiben der
Querschnitte gilt.
2.4. Berechnen Sie nach (1) die Stahlzugkraft NS mit E = 210000 N/mm2 .
2.5. Berechnen Sie die Betondruckkraft Nb nach (4) und überprüfen Sie, ob NS = Nb ist.
2.6. Berechnen Sie das äußere Moment M U .
2.7. Berechnen Sie den Angriffspunkt xS der Betondruckkraft Nb unter Verwendung von (8) oder (9) und (10).
2.8. Berechnen Sie das innere Moment M S nach (11) und überprüfen Sie, ob M U = M S ist.
2.9. Die Risse sind anhand eines Rasternetzes aufzunehmen. Einer der Risse ist mit Hilfe der Risslupe an
verschiedenen Stellen zu vermessen.
5