vorlesungen zur relativit ¨atstheorie allgemeine relativit

VORLESUNGEN
ZUR
R ELATIVIT ÄTSTHEORIE
Hans-Jürgen Matschull
Institut für Physik, Universität Mainz
27.10.2002
T EIL III
A LLGEMEINE R ELATIVIT ÄTSTHEORIE
13 Gravitation und Relativitätstheorie
In diesem Kapitel wollen wir die wesentlichen Ideen der allgemeinen Relativit ätstheorie beschreiben. Dabei wollen versuchen, in groben Zügen die Gedankengänge Albert Einsteins nachzuvollziehen, natürlich
in eine moderne mathematische Sprache übersetzt, so wie wir dies auch in Kapitel 2 getan haben, als wir
die grundlegenden Aussagen der speziellen Relativitätstheorie aus einigen wenigen Annahmen über die
Struktur der Raumzeit abgeleitet haben.
Einstein selbst hat einmal gesagt, zwischen der ersten Idee zur speziellen Relativitätstheorie und der
Fertigstellung seiner berühmten Arbeit “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” im Jahre 1905 seien nicht
mehr als fünf Wochen vergangen. Die Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie hat dagegen etwa
zehn Jahre in Anspruch genommen, von 1905 bis 1915, als Einstein schließlich seine berühmte Formel
veröffentlichte, die im nächsten Kapitel als Gleichung (14.82) auftauchen wird.
Die allgemeine Relativitätstheorie leitet sich aus dem Versuch her, eine Theorie der Gravitation zu
formulieren, die sowohl mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich ist, also auch mit der Quantentheorie. Der zweite Aspekt wird hin und wieder übersehen, denn bis heute gibt es Schwierigkeiten, die
allgemeine Relativitätstheorie mit der Quantentheorie in Einklang zu bringen. Diese Probleme sind aber
ganz anderer Art als die, mit denen die theoretische Physik am Anfang des 20. Jahrhunderts konfrontiert
war.
Zu dieser Zeit existierte die Quantentheorie zwar schon in Bruchstücken, aber sie war noch weit von
ihren großen Erfolgen entfernt. Es waren aber gerade diese Bruchstücke, und insbesondere Einsteins eigener Beitrag zur Quantentheorie, die Erklärung des photoelektrischen Effekts durch die Teilcheneigenschaft
des Lichtes, die sich einerseits sehr elegant in die spezielle Relativitätstheorie fügten. Andererseits schien es jedoch unmöglich, die Newtonsche Theorie der Gravitation konsistent in dieses Theoriengebilde
einzubeziehen.
Dass sich die Quantentheorie des Lichtes sehr gut mit der speziellen Relativitätstheorie verträgt, haben
wir im Zusammenhang mit dem Doppler-Effekt auf der einen Seite, und der Beschreibung von Photonen
als masselose Teilchen auf der anderen Seite bereits in Teil I gesehen. Der wesentliche Punkt ist, dass sich
in der Relativitätstheorie Energie und Impuls eines Teilchens beim Übergang von einem Bezugsystem
zum anderen genau so transformieren wie Frequenz und Wellenvektor einer Welle. Darauf beruht die
Konsistenz von Relativitätstheorie und Quantenphysik.
Wie wir jetzt aber zeigen wollen, ergibt sich ein Problem, sobald wir die Gravitation als Wechselwirkung zwischen Massen mit in die Theorie einbeziehen wollen. Zunächst werden wir feststellen, dass die
Newtonsche Theorie der Gravitation, im Gegensatz zur Maxwellschen Elektrodynamik, nicht dem Relativitätsprinzip genügt. Und selbst wenn wir sie so modifizieren, dass sie analog zur Elektrodynamik eine
kovariante Formulierung zulässt, ergeben sich noch immer Widersprüche zur Quantenphysik.
Eine andere Beobachtung legt außerdem nahe, dass die Gravitation eine ganz besondere Wechselwirkung ist. Sie hat nämlich die merkwürdige Eigenschaft, dass alle Körper in einem Gravitationsfeld gleich
schnell fallen, oder allgemeiner, dass alle Körper bei gleichen Anfangsbedingungen den gleichen Bahnen
folgen. In der Newtonschen Theorie ist dies eher ein Zufall. Einsteins Idee war es, hinter dieser fundamentalen Beobachtung eine tiefere Einsicht in die Natur der Gravitation zu vermuten.
Es war sicher sein größter Geniestreich, für diese einfache Beobachtung eine ebenso einfache Erklärung
zu liefern, die zudem noch alle anderen gerade beschriebenen Probleme ebenfalls löste. Die Lösung bestand darin, die Vorstellung eines flachen Minkowski-Raumes aufzugeben, und statt dessen anzunehmen,
dass die Raumzeit eine gekrümmte Mannigfaltigkeit ist, und dass die Krümmung der Raumzeit etwas mit
dem Gravitationsfeld zu tun hat.
Aus heutiger Sicht erscheint diese Schlussfolgerung fast zwingend, wie wir gleich sehen werden. Man
sollte jedoch bedenken, dass es zur damaligen Zeit keine beobachteten Phänomene gab, die gegen die
Annahme sprachen, dass die Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum ist. Die Schlussfolgerungen Ein223
steins und schließlich die Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie basierten einzig auf der Forderung, eine mathematisch konsistente Beschreibung der Gravitation zu liefern, die dem Relativitätsprinzip
genügte, und die mit den damaligen Vorstellungen von der Quantenphysik in Einklang stand.
Ziel dieses Kapitels ist es, wie gesagt, diese Schlussfolgerungen nachzuvollziehen, und dabei eine gewisse Intuition dafür zu entwickeln, was es bedeutet, dass die Raumzeit gekrümmt ist, und wie die Physik
in einer gekrümmten Raumzeit zu beschrieben ist. Die mathematische Vorarbeit dazu haben wir schon in
Teil II erledigt, das heißt wir wissen was eine metrische Mannigfaltigkeit ist, was Krümmung bedeutet,
was Geodäten sind und ähnliches mehr. Aber wir wissen noch nicht, was das alles mit Physik zu tun hat.
Deshalb beginnen wir noch einmal ganz am Anfang, bei Newton und Galilei.
Die Newtonsche Gravitationstheorie
Die Newtonsche Theorie besagt, dass die anziehende Kraft
, die ein Körper der Masse am Ort
auf einen Körper der Masse am Ort ausübt, proportional zu den Massen der beiden Körper
und umgekehrt proportional zum Quadrat ihres Abstandes ist. Als Proportionalitätskonstante tritt eine
Naturkonstante auf, die als Newtonsche Gravitationskonstante bezeichnet wird,
"!$#%#
m
kg sec&
(13.1)
Aus diesem Kraftgesetz lassen sich die Bewegungsgleichungen für ein System von endlich vielen Körpern
ableiten, die sich jeweils gegenseitig anziehen,
(' & *
+ . - 0 ,
') &
/
(13.2)
Es gilt immer dann hinreichend genau, wenn die Körper als punktförmig angenommen werden können.
Das heißt, ihre Ausdehnungen müssen klein sein im Vergleich zu ihren Abständen. Das ist zum Beispiel
für die Planeten im Sonnensystem der Fall, oder für die einzelnen Sterne in einer Galaxie.
Wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir zu einer allgemeineren Formulierung übergehen. Wir führen
dazu ein Gravitationspotential 132 ) 465 als Funktion von Ort und Zeit ein, sowie eine Massendichte 782 ) 495 ,
die die Verteilung der Materie im Raum beschreibt. Das Gravitationspotential zu einem Zeitpunkt ) wird
durch die Massenverteilung zur selben Zeit bestimmt, und zwar so, dass die folgende Quellengleichung
:
gilt,
<;=
(13.3)
132 ) 465
782 ) 465
:
>? >
Hier ist
der räumliche Laplace-Operator. Setzen wir zum Beispiel für ein System von
punktförmigen Teilchen mit Bahnkurven 2 ) 5 die entsprechende Massendichte ein, so ergibt sich
A @ 782 ) 465 + 2 4 2 ) 55
B
ED
*
6
4
5
132 ) C+ 4 5 2)
(13.4)
also das bekannte ‘ ’-Potential für jeden einzelnen Körper. Wir können jetzt aber auch ausgedehnte
Körper wie Planeten, Sterne, Staub- oder Gaswolken durch eine geeignet gewählte, kontinuierliche Massendichte 7 beschreiben. Darauf werden wir im nächsten Kapitel noch genauer eingehen.
Es genügt an dieser Stelle festzustellen, dass das Gravitationspotential 1 zu einem eigenständigen physikalischen Objekt wird. Seine Quelle ist die Massendichte 7 . Bis auf ein Vorzeichen ist die Quellengleichung (13.3) identisch mit der entsprechenden Quellengleichung in der Elektrostatik. Dort ist die Ladungsdichte die Quelle des elektrischen Potentials, und es tritt statt der Gravitationskonstante je nach Wahl
der Einheiten entweder die elektrische Feldkonstante FHG , oder einfach der Faktor auf.
224
Auf einen Testkörper der Masse , der sich zur Zeit ) am Ort befindet, wirkt nun eine Gravitationskraft
, die proportional zur Masse des Körpers und zum Gradienten des Gravitationspotentials ist,
I
>
132 ) H5
(13.5)
Auch dieses Kraftgesetz ist völlig analog zur entsprechenden Gleichung in der Elektrostatik. Wir müssen
dazu nur die Masse durch die Ladung J des Testkörpers ersetzen, und das Gravitationspotential durch
das elektrische Potential. Das umgekehrte Vorzeichen in der Quellengleichung (13.3) hat nun eine einfache
Erklärung. Während sich in der Elektrostatik zwei positive Ladungen abstoßen, ist die Gravitationskraft
zwischen zwei positiven Massen anziehend.
Es stellt sich nun die Frage, ob es möglich ist, die Newtonsche Theorie relativistisch zu formulieren.
Offenbar ist sie in der hier dargestellten Form nicht mit der Relativitätsprinzip verträglich. Betrachten wir
nämlich das Kraftgesetz (13.1), so beschreibt dieses eine instantane Fernwirkung. Die Kraft, die auf einem
Körper am Ort wirkt, hängt von den Orten aller anderen Körper zur selben Zeit ab.
In der Relativitätstheorie ist es aber nicht möglich, Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit
zu übertragen. Deshalb kann ein Körper an einem bestimmten Ort, bildlich gesprochen, nicht wissen, wo
sich alle anderen Körper zu dieser Zeit befinden. Das Newtonsche Gravitationsgesetz widerspricht dem
Kausalitätsprinzip der speziellen Relativitätstheorie. Wenn es in dieser Form tatsächlich gelten würde,
könnten wir die gravitative Wechselwirkung von Massen benutzen, um Informationen schneller als mit
Lichtgeschwindigkeit zu übertragen.
Die Einführung des Gravitationspotentials als eigenständiges Objekt ändert daran nichts. Zwar sind
sowohl die Quellengleichung (13.3) als auch die Kraftgleichung (13.5) lokal in Raum und Zeit definiert.
Es liegt also, zumindest formal, keine Fernwirkung mehr vor. Aber der räumliche Laplace-Operator in der
Quellengleichung ist natürlich nicht invariant unter Lorentz-Transformationen, das heißt die Newtonsche
Theorie genügt nicht dem Relativitätsprinzip.
Aufgabe 13.1 Man zeige durch eine geeignete Regularisierung der Deltafunktion, dass das allgemeine
Kraftgesetz (13.5) für ein System von Punktteilchen wieder die spezielle Form (13.2) annimmt.
Aufgabe 13.2 Wenn die Newtonschen Theorie tatsächlich exakt wäre, wie könnte man eine Kommunikation mit Überlichtgeschwindigkeit zwischen zwei räumlich getrennten Stationen konkret verwirklichen?
Eine Newton-Maxwell-Theorie?
Um eine relativistische Gravitationstheorie zu formulieren, müssen wir die Newtonsche Theorie in geeigneter Weise modifizieren. Die Ähnlichkeit mit der Elektrostatik legt folgenden Schluss nahe. Die Elektrostatik ist eine Näherung der Elektrodynamik. Sie gilt, wenn sich die beteiligten Ladungen relativ zu einem
ausgezeichneten Inertialsystem nur sehr langsam bewegen. In diesem Grenzfall können wir die magnetischen Kräfte vernachlässigen. Es genügt, nur die elektrischen Wechselwirkungen zu betrachten, und auch
die Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen kann vernachlässigt werden.
Ist die Newtonsche Theorie vielleicht ganz analog eine Näherung einer relativistischen Gravitationstheorie, die immer dann gilt, wenn sich die beteiligten Massen nur sehr langsam bewegen? Tatsächlich bewegen sich sowohl die Planeten im Sonnensystem, als auch die typischen Testkörper in irdischen Labors,
mit denen die Newtonsche Theorie getestet wurde, sehr langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.
Die Annahme, dass es eine relativistische Gravitationstheorie analog zur Maxwellschen Elektrodynamik
gibt, steht also zunächst nicht im Widerspruch zu irgendwelchen Beobachtungen.
Wie würde eine solche Theorie aussehen? Betrachten wir zuerst die Quellen des Gravitationsfeldes. In
der relativistischen Elektrodynamik ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes die elektrische Ladung,
und ihre Verteilung in Raum und Zeit wird durch die 4-Stromdichte K"L dargestellt. Sie setzt sich aus der
Ladungsdichte KM
7 und der gewöhnlichen räumlichen Stromdichte K"N 7PON zusammen, wobei O"N die
225
Geschwindigkeit ist, mit der sich die Ladung bewegt. Hier ist Q wieder wie üblich ein Raumzeit-Index,
und R ein Index, der in einem ausgewählten Inertialsystem nur über die drei räumlichen Koordinaten läuft.
Wir hatten dies in Kapitel 6 ausführlich diskutiert. So war zum Beispiel die Ladungs- und Stromdichte
für eine gleichförmig bewegte Punktladung durch (6.31) gegeben. In der Gravitationstheorie müssen wir
die Ladung als Quelle des Feldes durch die Masse ersetzen. Analog zur elektrischen 4-Stromdichte wird
ihre Verteilung in Raum und Zeit durch eine 4-Massenstromdichte KSL beschreiben. Sie setzt sich aus der
bereits eingeführten Massendichte K"M
7 als Zeitkomponente, und einer räumlichen Stromdichte K"N 7PON
zusammensetzt.
T 5
Für eine entlang einer Bahn 4
2 ) bewegte Punktmasse würde zum Beispiel gelten
@ T 5 5
K M 2 ) 465 2 4
2) T
N @ 4 T 55 '
U
4
5
K N2) 2
2)
'S)
(13.6)
Analog zu (6.36) können wir dies auch als Tensorgleichung schreiben,
T
YX
@ ,^ _5 5
'[Z ?\ L 2 Z 5 ]2 V
K L 2WV 5
2Z (13.7)
^
wobei 2 Z 5 irgendeine Parametrisierung der Weltlinie ist und der Punkt die Ableitung nach Z bezeichnet.
T
Z , und es erWählen wir für Z die Zeitkoordinate ) eines ausgewählten Inertialsystems, dann ist M 2 Z 5
geben sich die Komponenten (13.6). Der Ausdruck (13.7) ist jedoch invariant unter Reparametrisierungen
der Kurve, das heißt wir können den Kurvenparameter Z beliebig wählen. Daraus folgt unter anderem, dass
KHL ein Tensorfeld erster Stufe auf der Raumzeit ist, und dass die Zerlegung (13.6) in jedem Inertialsystem
gilt.
Wie in der Elektrodynamik ergibt sich die Stromdichte für mehrere Teilchen durch Addition der entsprechenden Terme. Für ein Vielteilchensystem, zum Beispiel ein Gas oder eine Flüssigkeit, können wir die
Kontinuumsnäherung durchführen, so dass KSL2]V 5 zu einem glatten Vektorfeld auf der Raumzeit wird. Wir
werden im nächsten Kapitel noch etwas näher auf die allgemeine Definition von Dichten und Stromdichten
eingehen, insbesondere auf die Kontinuumsnäherung.
Das Gravitationsfeld selbst müssen wir entsprechend durch einen antisymmetrischen Feldstärketensor
La` beschreiben. Um die richtige Kopplung des Feldes an die Massenströme zu bekommen, müssen wir die
Maxwell-Gleichungen (6.38) nur leicht modifizieren. Damit sich im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten
die Newtonsche Theorie ergibt, müssen wir das Vorzeichen der inhomogenen Gleichung umkehren, und
dort außerdem einen Faktor einführen,
bc
b
f
L Lg`
f;=
hK `
(13.8)
L ` d%e
b
b
Die Lösungen der homogenen
Gleichung werden auch hier wieder durch ein Vektorpotential i parameb
L
trisiert, das heißt es gilt
. Ferner haben wir die Freiheit,
das Vektorpotential zu eichen.
i
i
b
Lg`
L `
` L
Wir können i durch i
ersetzen, ohne das sich der Feldstärketensor ändert. Das können wir beL
Lkj LHl
n
nutzen, um zum Beispiel die Lorentz-Eichung zu wählen, so dass imL
gilt. Wenn wir dies dann in
L
die inhomogene Maxwell-Gleichung einsetzen,
b b ergibt sich die Quellengleichung
<;o=
hK `
(13.9)
L Li `
Wenn wir jetzt noch annehmen, dass sich die Massen nur sehr langsam bezüglich eines ausgezeichneten
Inertialsystems bewegen, dann können wir die räumlichen Komponenten KSN vernachlässigen, und demnach
auch die räumlichen Komponenten iN des Vektorpotentials. Was bleibt ist die Zeitkomponente iM . Wenn
wir diese mit dem Potential 1 identifizieren, und auch von ihm annehmen, dass es sich zeitlich nur sehr
langsam ändert, geht die Quellengleichung (13.9) wieder in die Newtonsche Gleichung (13.3) über.
226
Das alles ist völlig analog zur Elektrostatik als Näherung der Elektrodynamik im Grenzfall langsam
bewegter Ladungen. Schließlich müssen wir nur noch ein Kraftgesetz analog zur Lorentz-Kraft (6.5) postulieren. Auf ein Teilchen der Masse würde in einem Gravitationsfeld eine 4-Kraft
p L Lg`Uq `
(13.10)
wirken, wobei q L die 4-Geschwindigkeit des Teilchens ist. Auch hier haben wir einfach die Ladung J durch
die Masse des Teilchens ersetzt. Um zu zeigen, dass sich für kleine Geschwindigkeiten die Newtonsche
Formel ergibt, setzen wir wieder i Msr 1 und i Ntr
. Außerdem nehmen wir an, dass sich auch das
Teilchen nur langsam bewegt, so dass q M r
. Für die räumlichen
Komponenten
der 4-Kraft gilt dann
b
b
p
N
NuM q M j Nwv q v r Ni M
x
N1
(13.11)
Das ist aber genau das Kraftgesetz (13.5), in Komponenten geschrieben, denn für langsam bewegte Teilp
chen sind die räumlichen Komponenten der 4-Kraft L die der gewöhnlichen 3-Kraft .
Offenbar erhalten wir auf diese Weise eine relativistische Beschreibung der Gravitation, die im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten in die Newtonsche Theorie übergeht. Jetzt müssen wir sie nur noch experimentell testen, das heißt wir müssen herausfinden, welche Abweichungen sich von der Newtonschen
Theorie ergeben, wenn die Geschwindigkeiten der beteiligten Körper größer werden, und wir müssen uns
überlegen, wie wir diese Abweichungen beobachten können.
Welche grundsätzlich neuen Voraussagen macht unsere hypothetische Theorie? Offenbar muss es sowohl eine gravi-elektrische als auch eine gravi-magnetische Kraft geben. Die gravi-elektrische Kraft ist
ED
für die Anziehung der Massen nach dem ‘ & ’-Gesetz verantwortlich. In einem gravi-magnetischen Feld
müsste eine Testmasse dagegen eine Kraft erfahren, die proportional zum Betrag ihrer Geschwindigkeit
und senkrecht dazu ist. Umgekehrt müssten bewegte Massen ein solches Feld erzeugen.
Eine weitere Voraussage ist, dass es Gravitationswellen geben muss, die sich völlig analog zu elektromagnetischen Wellen verhalten. Sie werden von beschleunigten Massen emittiert und breiten sich mit
Lichtgeschwindigkeit im Raum aus. Alle diese Phänomene sind jedoch ungleich schwieriger zu beobachten als die entsprechenden elektromagnetischen Phänomene, einfach weil sich Ladungen sehr viel leichter
bewegen und beschleunigen lassen als Massen. Es liegt daher kein offensichtlicher Widerspruch einer
solchen Theorie der Gravitation mit der Beobachtung vor.
Was geht schief?
Trotzdem ist die vorgeschlagene Theorie inkonsistent, und bei näherem Hinsehen ergeben sich auch Widersprüche zur Beobachtung. Wir wollen hier zwei solche Widersprüche aufzeigen, die auf ganz unterschiedlichen Eigenschaften der Theorie beruhen.
Als erstes betrachten wir folgendes, in Abbildung 13.1 dargestelltes Gedankenexperiment 1 . Es soll zeigen, dass die vorgeschlagene Newton-Maxwell-Theorie mit der Quantenphysik unvereinbar ist. In einem
Labor auf der Erde erzeugt ein Sender auf dem Boden ein Photon der Energie y und sendet es zu einem
Empfänger, der sich in der Höhe z darüber befindet. Da Photonen masselos sind, spüren sie das Gravitationsfeld nicht. Für sie ist die Massenstromdichte (13.7) gleich Null, das heißt sie Koppeln nicht an das
Gravitationsfeld, so wie neutrale Teilchen nicht an das elektromagnetische Feld koppeln.
Da auch sonst keine Kräfte auf das Photon einwirken, kommt es beim Empfänger mit derselben Energie
y an. Dort gelingt es, dieses Photon vollständig in ein oder mehrere massive Teilchen zu verwandeln,
zum Beispiel in ein Elektron und ein Positron. Nehmen wir jedoch der Einfachheit halber an, dass es
sich um ein einziges, neutrales Teilchen der Masse handelt. Ferner sei die Energie y so gewählt, dass
1
Übernommen aus: Bernard F. Schutz: A first course in general relativity.
227
y
y
}
z
Milchstraße
andere Galaxie
y
}
y|{
y|{
}
Abbildung 13.1: Die Newton-Maxwell-Theorie steht im Widerspruch zur Quantenphysik. Ein Photon
~ verliert beim Aufstieg in einem Gravitationsfeld keine Energie. Wandelt man es oben jedoch in ein
Teilchen der Masse  um und lässt dieses fallen, so wird Energie gewonnen. Wandelt man das massive
Teilchen anschließend unten wieder in ein Photon um, so hat dieses eine höhere Energie € {8 € als das
erste Photon.
das erzeugte Teilchen in Ruhe ist. Das ist genau dann der Fall, wenn y
ist, denn die Energie eines
ruhenden Teilchens ist gleich seiner Masse.
Nun lassen wir das Teilchen fallen. Da es dabei nur eine kleine Geschwindigkeit erreicht, können wir
klassisch rechnen. Es gewinnt beim Fall die kinetische Energie f‚0z , hat also, wenn es unten mit der
Geschwindigkeit ƒ „3‚(z ankommt, die Energie y…{
j †‚z
‡2 j ‚0z 5 . Durch einen ähnlichen
Prozess wird dieses Teilchen nun wieder restlos zerstört und seine Energie in ein Photon verwandelt. Dann
hat dieses Photon die Energie
y { 2
‚0z 5 y (13.12)
j
wobei y die Energie des ersten Photons war, mit dem wir das Experiment begonnen haben. Das kann
natürlich nicht sein, denn hier wurde offenbar Energie aus dem Nichts erzeugt. Man könnte den Prozess
beliebig fortsetzen, und dabei würde sich die Energie des Photons jeweils um den Faktor
j ‚(z erhöhen.
Irgendetwas kann deshalb an der Newton-Maxwell-Theorie nicht stimmen. Tatsächlich sind es die hier
beschriebenen quantenphysikalischen Prozesse, die im Widerspruch zur Theorie stehen. Wir erinnern uns,
dass die Maxwell-Gleichungen nur dann konsistent sind, wenn die Quelle, also die Stromdichte KL , die
Kontinuitätsgleichung (6.39) erfüllt,b
LKL
ˆ
' 7 >‡ ‰ ') j
(13.13)
Mit anderen Worten, es folgt unmittelbar aus den Newton-Maxwell-Gleichungen für das Gravitationsfeld,
dass Masse eine Erhaltungsgröße ist. Das ist sie aber nicht, denn in typischen quantenphysikalischen Prozessen kann Masse beliebig erzeugt und vernichtet werden. Folglich kann Masse auch nicht die Quelle des
Gravitationsfeldes sein, jedenfalls nicht im Rahmen einer Maxwell-artigen Theorie.
228
J
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
Abbildung 13.2: Eine Ladung (a) bewegt sich auf einer Kreisbahn und emittiert eine elektromagnetische
Welle. Das elektrische Feld am Ort der Ladung ist dabei stets so ausgerichtet, dass die Ladung gebremst
wird. Wird eine Masse (b) auf derselben Kreisbahn bewegt, so emittiert sie eine entsprechende Gravitationswelle. Wegen des umgekehrten Vorzeichens der inhomogenen Maxwell-Gleichung wird diese Masse
jedoch durch das gravi-elektrische Feld beschleunigt.
Ein zweiter Widerspruch ergibt sich in Zusammenhang mit Gravitationswellen, die von der NewtonMaxwell-Theorie in Analogie zu elektromagnetischen Wellen vorhergesagt werden. Es stellt sich nämlich
heraus, dass die Umkehrung des Vorzeichens in der inhomogenen Maxwell-Gleichung gar nicht so harmlos ist wie es auf den ersten Blick erscheint. Auch hier wollen wir wieder ein Gedankenexperiment
durchführen. Es ist in Abbildung 13.2 dargestellt.
Zuerst betrachten wir eine elektrische Ladung J , die sich gleichmäßig auf einer Kreisbahn bewegt.
Aufgrund der Beschleunigung, die sie dabei erfährt, wird eine elektromagnetische Welle abgestrahlt. Die
Details dieses Vorgangs sind nicht wichtig. Wir müssen nur wissen, dass das von der bewegten Ladung
erzeugte elektromagnetische Feld eindeutig durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt ist, wenn wir geeignete Randbedingungen im Unendlichen stellen.
Woher kommt die Energie, die mit der elektromagnetischen Welle abgestrahlt wird? Sie wird offenbar dem Teilchen entzogen. Die einzig mögliche Erklärung dafür ist, dass das erzeugte Feld am Ort des
Teilchens eine elektrische Komponente hat, die der Bewegungsrichtung des Teilchens entgegengesetzt ist.
Diese Kraft müssen wir ausgleichen. Wir müssen dem Teilchen auf irgendeine Weise kinetische Energie
zuführen, wenn wir die Bewegung aufrecht erhalten wollen.
Nun stellen wir uns vor, wir bewegen statt der Ladung J eine Masse auf derselben Kreisbahn. Dadurch
wird, gemäß unserer Theorie, eine Gravitationswelle abgestrahlt. Der Feldstärketensor dieser Welle ist mit
dem elektromagnetischen Feldstärketensor im vorherigen Experiment fast identisch. Wir müssen nur die
Ladung J durch durch das Produkt Š ersetzen, und wir müssen das Vorzeichen des Feldes ändern,
wegen des umgekehrten Vorzeichens in der inhomogenen Maxwell-Gleichung (13.8). Die Welle hat also
die gleiche Struktur wie vorher, nur dass alle Felder in die umgekehrte Richtung zeigen.
Das umgekehrte Vorzeichen hat nun aber sehr drastische Auswirkungen. Die resultierende Kraft, die
jetzt auf das Teilchen einwirkt, zeigt in die umgekehrte Richtung, denn das Kraftgesetz (13.10) ändert
229
sein Vorzeichen nicht. Das heißt, das Teilchen wird durch die abgestrahlte Gravitationswelle nicht gebremst, sondern sogar noch beschleunigt. Wir könnten dem Teilchen beliebig viel Energie entziehen, und
gleichzeitig würde auch noch eine Welle abgestrahlt. Die einzige Erklärung dafür ist, dass die erzeugte
Gravitationswelle eine negative Energie davonträgt. Das ist natürlich unmöglich, denn auf diese Weise
könnten wir ein perpetuum mobile bauen.
Die Newton-Maxwell-Theorie scheitert also aus zwei ganz verschieden Gründen. Zum einen, weil ihre
Quelle, die Masse, keine Erhaltungsgröße ist, und zum anderen, weil sich gleichnamige Ladungen gravitativ anziehen und nicht abstoßen. Wegen der damit verbundenen negativen Energie von Gravitationswellen
wären gravitativ gebundene System nicht stabil. Sie könnten durch die Abstrahlung von Gravitationswellen beliebig viel kinetische Energie gewinnen. Wir müssen die Theorie deshalb verwerfen und nach einem
anderen Ausweg suchen.
Schwere und träge Masse
Nachdem unser erster Ansatz für eine relativistische Theorie der Gravitation gescheitert ist, sollten wir
vielleicht eher die Unterschiede zwischen der Newtonschen Gravitationstheorie und der Maxwellschen
Elektrodynamik herausarbeiten, statt deren Gemeinsamkeiten zu suchen.
Betrachten wir dazu noch einmal die Bewegungsgleichung für einen Testkörper der Masse in einem
Gravitationspotential 1 im Rahmen der klassischen Mechanik. Wir nehmen dabei an, dass die Testmasse sehr klein ist im Vergleich zu den Massen, die das Gravitationsfeld erzeugen. Das gilt für einen genügend
leichten Körper im Gravitationsfeld der Erde, und in relativ guter Näherung auch für die Planeten im
Gravitationsfeld der Sonne. Bei unserem Gedankenexperiment in Abbildung 13.1 hatten wir das natürlich
auch schon vorausgesetzt.
In dieser Näherung können wir das Gravitationspotential 1 als gegeben annehmen, und aus (13.5) die
Bewegungsgleichung für die Bahn 2 ) 5 des Testkörper ableiten. Wenn auf ihn keine weiteren Kräfte wirken, dann gilt
> ' & *
1
'S)‹&
(13.14)
Das bemerkenswerte an dieser Gleichung ist, dass auf beiden Seiten die gleiche Größe auftritt, nämlich
die Masse des Testkörpers. Wir können die Gleichung durch dividieren und erhalten
' & *
> 1
'S)‹&
(13.15)
Daraus folgt, dass alle Testkörper bei gleichen Anfangsbedingungen in einem Gravitationsfeld den gleichen Bahnen folgen. Insbesondere fallen alle Körper im Schwerefeld der Erde gleich schnell, unabhängig
von ihrer Masse, solange diese klein ist im Vergleich zur Masse der Erde.
Diese Eigenschaft der Gravitation hat keine Analogie in der Elektrodynamik. Betrachten wir die entsprechenden Bewegungsgleichungen für ein geladenes Teilchen in einem elektrischen Potential, so steht
auf der rechten Seite der Gleichung (13.14) statt der Masse die Ladung J , während auf der linken Seite
natürlich immer noch die Masse steht. Die Bahn eines Teilchens im elektrischen Feld ist deshalb vom
D
Verhältnis J abhängig.
Wir wollen diese Beobachtung zu einem allgemeinen Prinzip erklären, das wir, aus Gründen, die später
klar werden, das schwache Äquivalenzprinzip nennen.
Schwaches Äquivalenzprinzip: In einem Gravitationsfeld beschreiben alle Testkörper bei gleichen Anfangsbedingungen die gleichen Bahnen.
230
Vorausgesetzt natürlich, dass keine anderen Kräfte auf die Testkörper einwirken. Galilei 2 war der erste,
der diese Beobachtung formuliert und systematisch untersucht hat. Auch den Keplerschen Gesetzen der
Planetenbahnen liegt dieses Prinzip zu Grunde. Die Bahnen der Planeten sind unabhängig von deren jeweiligen Eigenschaften. Würde sich der Merkur an der Stelle des Jupiters befinden, so würde er dort derselben
Bahn folgen.
Es liegt deshalb nahe, dem schwachen Äquivalenzprinzip bei der Suche nach einer neuen Theorie der
Gravitation einen ähnlich hohen Stellenwert einzuräumen wie der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit bei
der Herleitung der speziellen Relativitätstheorie. Wir erinnern uns, dass auch dies zunächst eine experimentelle Beobachtung war, für die wir im Rahmen der klassischen Theorien keine Erklärung hatten. So
ähnlich ist es hier. Die Newtonsche Gravitationstheorie beschreibt das Phänomen zwar korrekt. Aber sie
erklärt es nicht wirklich.
Die Newtonsche Theorie lässt sich nämlich leicht verallgemeinern, und zwar so, dass das schwache
Äquivalenzprinzip nicht mehr gilt, sie aber trotzdem noch konsistent ist. In der Bewegungsgleichung
(13.14) tritt auf beiden Seiten die Masse des Testkörpers auf. Offenbar ist es so, dass zwei zunächst
völlig verschiedene Eigenschaften eines Körpers durch ein und dieselbe ihm zugeordnete Größe beschrieben werden.
Auf der linken Seite definiert die Trägheit des Körpers, also das Verhältnis von Kraft zu Beschleunigung, oder Impuls zu Geschwindigkeit. Auf der rechten Seite dagegen definiert das Gewicht des
Körpers. Die Masse übernimmt hier die Rolle einer Ladung. Sie bestimmt die Kopplung des Körpers an
das Gravitationsfeld, so wie die elektrische Ladung J die Kopplung an das elektrische Feld bestimmt.
Es ist keineswegs zwingend erforderlich, dass zwischen Gewicht und Trägheit eines Körpers ein solcher
Zusammenhang besteht. Die Newtonsche Theorie ist, im Rahmen der klassischen Mechanik, auch dann
noch konsistent, wenn wir Trägheit und Gewicht eines Körpers als unabhängige Größen einführen. Überlegen wir uns kurz, wie eine verallgemeinerte Theorie der Gravitation aussehen würde, in der Trägheit und
Gewicht zwei voneinander unabhängige Eigenschaften eines Körpers sind.
Wir müssen dann jedem Körper eine träge Masse, die wir weiterhin mit bezeichnen, und eine schwere Masse zuordnen, die wir mit Œ bezeichnen. Die träge Masse übernimmt die übliche Rolle der
Masse in der klassischen Mechanik, das heißt sie definiert das Verhältnis von Impuls zu Geschwindigkeit. Wir können sie durch geeignet normierte Stoßexperimente ermitteln. Die schwere Masse Œ ist die
Gravitations-Ladung des Körpers, die wir mit Hilfe einer gewöhnlichen Waage ermitteln können.
In einer solchen verallgemeinerten Theorie würde sich die folgende Bewegungsgleichung für einen
Testkörper in einem Gravitationspotential ergeben,
' & *
> Œ
1
'S)‹&
(13.16)
Die Bahn eines Körpers würde nun vom Verhältnis aus schwerer und träger Masse abhängen, so wie die
Bahn einer Testladung in einem elektrischen Feld vom Verhältnis aus Ladung und Masse abhängt,
' & x
*Π> 1
')‹&
(13.17)
Natürlich könnten wir auch mit einer solchen Theorie die Dynamik unseres Sonnensystems, oder den
freien Fall von Körpern im Schwerefeld der Erde richtig beschreiben. Wir würden dann jedoch eines
Tages die folgende, wahrscheinlich verblüffende Beobachtung machen. Für alle uns bekannten Körper
würde sich das gleiche Verhältnis aus schwerer und träger Masse ergeben, ganz egal, ob es sich dabei um
Sterne, Planeten, Steine oder Atome handelt.
2
Es ist heute strittig, ob Galilei die oft zitierten Fallexperimente am schiefen Turm von Pisa tatsächlich selbst ausgeführt
hat. Trotzdem war er wohl der erste, die dieses Phänomen richtig erkannt hat.
231
D
Œ wäre eine universelle Naturkonstante, genau wie die Lichtgeschwindigkeit
Das Verhältnis 
Ž . Durch eine geschickte Wahl der physikalischen Einheiten könnten wir   setzen, so wie wir in der

speziellen Relativitätstheorie Ž
gesetzt haben. Wir müssen dazu nur beide Größen in der gleichen
Einheit messen, so wie wir in der speziellen Relativitätstheorie Längen und Zeiten in derselben Einheit
gemessen haben. Tatsächlich tun wir dies ja auch. Wir messen schwere und träge Masse beide in der
Einheit Kilogramm.
Wir könnten uns dann fragen, wie genau die Naturkonstante  eigentlich gemessen werden kann, bzw.
ob es sich wirklich um eine Konstante handelt. Auf diese Weise können wir etwas über die Genauigkeit
aussagen, mit der das schwache Äquivalenzprinzip experimentell bestätigt ist. Durch das Fallenlassen
von Steinen und Kanonenkugeln vom Schiefen Turm von Pisa würde man etwa eine Genauigkeit von
(‘’uS

erreichen. Das heißt, zu Zeiten Galileis konnte man durch einfache Fallexperimente zeigen,
E“
dass schwere und träge Masse verschiedener Körper um weniger als
voneinander abweichen. Mit Hilfe
”E“
von Pendeln konnte Newton die Genauigkeit auf etwa
erhöhen.
Heute gehören die Messungen des Verhältnisses aus schwerer und träger Masse zu den genauesten
Messungen überhaupt. Sie sind weit genauer als zum Beispiel die Messungen der Lichtgeschwindigkeit
ED
oder die Bestätigung des ‘ & ’-Gesetzes für die Anziehungskraft zwischen zwei ruhenden Massen. Mit
•‘I !$#
Hilfe von Torsionswaagen erreicht man eine Genauigkeit von etwa 
*–‘ !$.#]— In einem noch in der
3
Planung befindlichen Weltraumexperiment soll eine Genauigkeit von 
erreicht werden.
Das Experiment ist denkbar einfach. In einem Satelliten, der nur der Abschirmung von Gas- und Staubteilchen dient, befinden sich zwei konzentrische Zylinder aus verschiedenen Materialien im freien Fall in
einer Erdumlaufbahn. Wenn das schwache Äquivalenzprinzip gilt, so müssen beide genau der gleichen
Bahn folgen, das heißt sie dürfen sich relativ zueinander nicht bewegen. Durch genügend lange Beobachtungszeiten lassen sich dadurch extrem hohe Messgenauigkeiten erreichen.
!$#]—
Aufgabe 13.3 Nehmen wir an, die  -Werte der beiden Körper unterscheiden sich um
, und beide
Körper befinden sich ein Jahr lang im freien Fall in einer erdnahen Umlaufbahn. Zu Beginn des Experiments sind ihre Schwerpunkte relativ zueinander in Ruhe. Welche Geschwindigkeit haben sie nach einem
Jahr relativ zueinander erreicht? Um welche Strecke haben sie sich relativ zueinander bewegt?
Gravitation und Trägheitskräfte
Das unbefriedigende an Newtons Theorie ist, wie schon gesagt, dass sie keinerlei Erklärung dafür liefert,
warum das Verhältnis aus schwerer und träger Masse eine universelle Naturkonstante ist. Wir müssen ein
fach akzeptieren, dass für alle Körper Œ
gilt. Wir wollen uns deshalb überlegen, wie eine alternative
Theorie beschaffen sein muss, die das schwache Äquivalenzprinzip in irgendeinem Sinne erklären kann.
Mit anderen Worten, gibt es vielleicht eine ganz einfache Erklärung dafür, dass in einem Gravitationsfeld
jeder Körper eine Kraft erfährt, die zu seiner (trägen) Masse proportional ist?
Vielleicht hilft uns die folgende Beobachtung weiter. Es gibt noch eine ganz andere Art von Kräften, die
genau diese Eigenschaft haben. Und in diesem Fall haben wir dafür eine einfache Erklärung. Wenn wir
uns in ein beschleunigtes Bezugsystem begeben, so beobachten wir, dass auf jeden Körper eine Scheinkraft wirkt, die stets proportional zu seiner Masse ist. In einem gleichmäßig beschleunigten Bezugsystem beobachten wir eine konstante Rückstoßkraft, in einem rotieren Bezugsystem die Zentrifugal- und
Coriolis-Kräfte.
Alle diese Kräfte sind jeweils proportional zur Masse des betreffenden Körpers. Das ist nicht weiter verwunderlich, denn bei diesen scheinbaren Kräften handelt es sich letztlich nur ein mathematisches
Hilfsmittel, das dazu dient, die Bewegungsgleichungen für bestimmte Systeme zu vereinfachen. Betrachten wir zum Beispiel die Bewegungsgleichung eines Teilchens, auf das in einem Inertialsystem irgendeine
3
Satellite Test of the Equivalence Principle (STEP), http://einstein.stanford.edu/STEP.
232
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
Abbildung 13.3: Das Äquivalenzprinzip besagt, dass ein Astronaut in einer abgeschlossenen Rakete nicht
zwischen den Situationen (a) und (b) unterscheiden kann. Er kann nicht feststellen, ob er im Gravitationsfeld eines Planeten ruht oder im freien Weltraum eine gleichmäßige Beschleunigung erfährt.
Kraft
wirkt,
'& s
')‹&
(13.18)
Jetzt transformieren wir diese Gleichung in ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugsystem, das heißt wir
D
)
ersetzen |™˜ ‚
„ . Dann lautet die Bewegungsgleichung in diesem Bezugsystem, das natürlich kein
&
j
Inertialsystem mehr ist,
'& <
‚
'S) &
(13.19)
Es tritt ein zusätzlicher Term auf, den wir als eine zusätzliche Kraft interpretieren können. Ganz allgemein
tritt eine solche Schein- oder Trägheitskraft bei jeder Koordinatentransformation auf, sobald das neue
Koordinatensystem kein Inertialsystem mehr ist.
Im allgemeinen ist die Trägheitskraft von der Zeit, dem Ort sowie der Geschwindigkeit des Teilchens
abhängig. Aber stets ist sie proportional zur seiner Masse. Die Erklärung dafür ist sehr einfach, denn immer resultiert der zusätzliche Term auf der rechten Seite der transformierten Bewegungsgleichung aus der
Transformation der linken Seite der ursprünglichen Bewegungsgleichung (13.18), und diese ist proportional zur Masse des Testkörpers
Mit Gravitation hat das alles nichts zu tun. Oder doch? Wenn die Gleichheit von träger und schwerer
Masse etwas ganz fundamentales ist, dann gibt es vielleicht eine ebenso fundamentale Beziehung zwischen
Gravitations- und Trägheitskräften. Um uns klar zu machen, dass beide Phänomene wirklich sehr ähnlich
sind, und dass sie sich in gewissen Situationen gar nicht unterscheiden lassen, führen wir wieder ein
Gedankenexperiment durch.
In Abbildung 13.3(a) befindet sich eine Rakete knapp über der Oberfläche der Erde. Die Triebwerke
erzeugen einen konstanten Schub, der die Rakete im Gleichgewicht hält, so dass sie relativ zur Erde ruht.
In der Rakete können wir durch verschiedene physikalische Experimente das Gravitationsfeld des Erde
ausmessen. Zum Beispiel können wir die Frequenz eines Pendels messen oder die Beschleunigung, die ein
233
frei fallender Körper erfährt. Wir stellen fest, dass das Gravitationsfeld innerhalb der Rakete im Rahmen
unserer Messgenauigkeit homogen ist.
In der Newtonschen Gravitationstheorie können wir dies wie folgt beschreiben. Wir führen in der Rakete ein Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 ein, das relativ zur Rakete ruht und so ausgerichtet ist, dass die
› -Achse nach oben, also zur Spitze der Rakete
zeigt. Dann können wir das Gravitationsfeld im Innern der
Rakete durch ein Gravitationspotential 1
‚ › beschreiben, wobei ‚ die übliche Erdbeschleunigung ist.
Betrachten wir dann einen Testkörper, der Teil eines Versuchsaufbaus ist, so gilt für diesen Körper die
Bewegungsgleichung
A ž
> f
' & 1
f‚ ') &
(13.20)
wobei die Summe aller durch den jeweiligen Versuchaufbau bedingten Kräfte ist.
Als nächstes betrachten wir die Situation in Abbildung 13.3(b). Dieselbe Rakete befindet sich jetzt
weit entfernt von irgendwelchen Massen im freien Weltraum. Es wirken also keine Gravitationskräfte.
Die Triebwerke erzeugen aber noch immer einen gleichmäßigen Schub, und zwar genau den gleichen
Ÿž
‚ nach oben. Das Koordinatensystem
wie zuvor. Dadurch erfährt die Rakete eine Beschleunigung ‚
2 ) 4 š8œ› 5 , das auch weiterhin relativ zur Rakete ruhen soll, ist jetzt ein beschleunigtes Bezugsystem.
Auf den gleichen Testkörper in der gleichen Versuchsanordnung wirkt jetzt zwar keine Gravitationskraft, aber dafür gemäß (13.19) eine Trägheitskraft, so dass die Bewegungsgleichung nun wie folgt lautet,
Až
'& ‚
†‚
') &
(13.21)
Až ' & > 1 ‚
†‚
') &
(13.22)
Wichtig ist dabei, dass auch hier den Ortsvektor des Teilchens relativ zu einem mitbewegten Bezugspunkt
in der Rakete bezeichnet. Es tritt also die gleiche zusätzliche Kraft auf, die vorher durch das Gravitationsfeld des Planeten verursacht wurde. Jedes mechanische System innerhalb der Rakete wird sich deshalb in
der Situation (b) genau so verhalten wie in der Situation (a). Es ist für einen Astronauten in der Rakete, der
keinen Kontakt zur Außenwelt hat, nicht möglich, durch mechanische Experimente zwischen den beiden
Situationen zu unterscheiden.
Wir können sogar noch einen Schritt weiter gehen und die Gravitationskräfte stetig in Trägheitskräfte
verwandeln, ohne dass der Astronaut in der Rakete etwas davon merkt. Dazu geben wir der Rakete in Abbildung 13.3(a) einen kleinen zusätzlichen Impuls nach oben, aber nur so wenig, dass der Astronaut dies
nicht bemerkt. Die Rakete wird dann ganz langsam abheben, sich von der Erde entfernen, und schließlich
in den freien Weltraum fliegen, das heißt zum Schluss haben wir die Situation in Abbildung 13.3(b) vorliegen. Während der ganzen Reise wird der Astronaut aber stets dieselben Phänomene in seinem Labor
beobachten.
Wir können dabei sogar ein beliebiges Gravitationspotential 1 annehmen. Die einzige Voraussetzung ist,
dass die Triebwerke einen konstanten Schub
Ež erzeugen. Wenn die Masse der Rakete ist, dann müssen
erzeugen, und zwar sowohl in der Situation (a) als auch in
die Triebwerke offenbar eine Kraft ¡‚
der Situation (b). Während der gerade beschriebenen Reise wirkt also zu jedem Zeitpunkt eine Kraft
Až >
¢‚
1 auf die Rakete, die sich aus der Triebkraft und der Gravitationskraft an der aktuellen
Position der Rakete zusammensetzt.
ož >
Folglich erfährt die Rakete relativ zu einem Inertialsystem eine Beschleunigung ‚
‚
1 . Auf
einen Testkörper in der Rakete wirkt somit neben der Kraft , die durch den Versuchaufbau bedingt ist, ei >
ne Gravitationskraft 1 sowie eine Trägheitskraft ‚ . Daraus ergibt sich die Bewegungsgleichung
Das ist aber wieder das gleiche wie (13.20) oder (13.21). Der Astronaut kann nicht feststellen, dass sich
die zusätzliche Kraft, die auf jeden Körper in seinem Labor wirkt, aus zwei Teilen zusammensetzt, einer
234
Gravitationskraft und einer Trägheitskraft, und er merkt deshalb auch nicht, dass sich diese Anteile mit
der Zeit ändern. Wir schließen daraus, dass sich in einem räumlich begrenzten Labor Gravitations- und
Trägheitskräfte nicht voneinander unterscheiden lassen, jedenfalls nicht mit mechanischen Experimenten.
Umgekehrt können wir Gravitationskräfte auch stets durch Trägheitskräfte kompensieren, indem wir
die Rakete in geeigneter Weise beschleunigen. Stellen wir uns vor, wir würden im freien Weltraum die
Triebwerke der Rakete abschalten. Dann bewegt sich die Rakete gleichförmig, und wir beobachten keine
Trägheitskräfte mehr. Das mitbewegte Koordinatensystem ist jetzt ein Inertialsystem. Wenn wir dasselbe im Gravitationsfeld der Erde tun, so wird die Rakete frei fallen, also eine gleichmäßig beschleunigte
Bewegung nach unten ausführen. In der Rakete machen wir jedoch genau die gleichen Beobachtungen.
Wenn die Triebwerke abgeschaltet sind, herrscht in der Rakete Schwerelosigkeit. Alle Körper verhalten sich so wie in einem Inertialsystem. Die Gravitationskräfte werden durch die Trägheitskräfte gerade
ausgeglichen. Auch das gilt ganz allgemein für jedes Gravitationspotential 1 . Wenn die Triebwerke abge
schaltet sind, entspricht das dem Fall ‚
in (13.22). Offenbar wirken dann keine zusätzlichen Kräfte auf
einen Testkörper, und zwar unabhängig davon, ob sich die Rakete im freien Fall in einem Gravitationsfeld
befindet oder sich gleichförmig durch einen feldfreien Raum bewegt.
Was hindert uns nun eigentlich daran, ein frei fallendes Bezugsystem im Gravitationsfeld der Erde
als Inertialsystem zu betrachten, wo doch die Physik in einem frei fallenden Labor die gleiche ist wie
die in einem Inertialsystem, wenn dort keine Gravitationskräfte wirken? Ein relativ zur Erde ruhendes
Bezugsystem wäre dann kein Inertialsystem mehr, denn es wäre gegenüber dem frei fallenden System
beschleunigt. Deshalb würde in einem solchen Bezugsystem eine Trägheitskraft auftreten. Wir hätten also
eine sehr einfach Erklärung dafür, dass alle Körper nach unten fallen. Wir befinden uns in einem nach
oben beschleunigten Bezugsystem. Das, was wie bisher Gravitation nannten, ist in Wirklichkeit nur eine
Trägheitskraft.
Das erklärt die Bezeichnung Äquivalenzprinzip. Es beruht auf der Annahme, dass Gravitations- und
Trägheitskräfte äquivalent sind. Es sind zwei Erscheinungen, die letztlich auf dieselbe Ursache zurückgeführt werden können. Gravitations- bzw. Trägheitskräfte treten in Bezugsystemen auf, die keine Inertialsysteme sind, und sie sind beide jeweils proportional zur Masse des Körpers, auf den sie wirken.
Die Tatsache, dass sich frei fallende Körper stets auf denselben Bahnen bewegen, folgt daraus zwanglos.
In einem ebenfalls frei fallenden Bezugsystem, also in einem Inertialsystem, bewegen sich diese Körper
kräftefrei, das heißt ihre Weltlinien sind Geraden.
Bislang bezieht sich dies alles nur auf die Gesetze der klassischen Mechanik. Es ist nicht unmittelbar
klar, ob der Astronaut nicht vielleicht durch geeignete optische Experimente zwischen Gravitationsfeldern
und beschleunigten Bezugsystemen unterscheiden kann. Da wir aber vermuten, dass sich hinter der Äquivalenz von Gravitations- und Trägheitskräften eine tiefere Erkenntnis verbirgt, wollen wir dies zu einem
allgemeinen Prinzip erklären, das über das schwache Äquivalenzprinzip hinaus geht.
Starkes Äquivalenzprinzip: Die Physik in einem hinreichend kleinen, frei fallenden Labor
gleicht der in einem Inertialsystem.
Wir wollen also annehmen, dass es grundsätzlich unmöglich ist, zwischen Gravitations- und Trägheitskräften zu unterscheiden. Dabei müssen wir uns allerdings auf die lokale Physik in einem begrenzten
Raumbereich beschränken. Wenn der Astronaut Kontakt mit der Außenwelt aufnimmt, kann er natürlich
sehr wohl feststellen, ob er sich in einem Gravitationsfeld eines Planeten befindet oder im freien Weltraum.
Er könnte zum Beispiel mit einer Astronautin in einer anderen Rakete kommunizieren und feststellen,
dass sich diese auch im freien Fall befindet, er sich aber relativ zu ihr nicht gleichförmig bewegt. Das ist
nur dann möglich, wenn tatsächlich ein Gravitationsfeld vorliegt. Gravitations- und Trägheitskräfte sind
also nur lokal äquivalent. Ein Labor ist dann im Sinne des Äquivalenzprinzips hinreichend klein, wenn das
Gravitationsfeld darin im Rahmen der Messgenauigkeit homogen ist. Nur dann lassen sich die Gravitationskräfte durch den Übergang zu einem frei fallenden Bezugsystem gewissermaßen “wegtransformieren”.
235
4
4
š
š
Milchstraße
andere Galaxie
)
)G
)0£¤) G
(b)
(a)
Abbildung 13.4: Wenn ein frei fallendes Koordinatensystem ein lokales Inertialsystem ist, dann kann
es im Gravitationsfeld eines Planeten kein globales Inertialsystem geben. Wählt man nämlich zu einem
Zeitpunkt (a) ein kartesisches räumliches Koordinatensystem so, dass es relativ zum Planeten ruht, und
lässt dieses dann frei fallen, so ist es zu einem späteren Zeitpunkt (b) nicht mehr kartesisch.
Gravitation und die Krümmung der Raumzeit
So erstaunlich einfach die Erklärung von Gravitation als ein durch Trägheitskräfte hervorgerufenes Phänomen ist, so wirft sie jedoch ein paar Fragen auf. Wenn wir frei fallende Bezugsysteme als Inertialsysteme
betrachten wollen, so müssen wir offenbar die Vorstellung aufgeben, dass diese sich relativ zueinander
stets gleichförmig bewegen. Aber wodurch ist dann ein Inertialsystem ausgezeichnet? Mit anderen Worten, warum ist gerade ein Koordinatensystem, welches relativ zur Erdoberfläche eine Beschleunigung von
¥ u¦ D
m sec& nach unten erfährt, ein Inertialsystem?
Zudem ergibt sich ein weiteres Problem, wenn wir versuchen, ein frei fallendes Koordinatensystem
2 ) 4 š8œ› 5 auch außerhalb der Rakete zu definieren. Betrachten wir zum Beispiel ein kartesisches räumli) G relativ zur Erde ruht, und dessen
ches Koordinatensystem 2 4 š8œ› 5 , dass zu irgendeinem Zeitpunkt )
Ursprung im Mittelpunkt der zu diesem Zeitpunkt ebenfalls ruhenden Rakete liegt. Die Koordinatenlinien
eines solchen Systems sind in Abbildung 13.4(a) dargestellt.
Nun lassen wir dieses Koordinatensystem frei fallen, und zwar so, dass jede Kurve mit konstanten
räumlichen Koordinaten 2 4 š8œ› 5 die Weltlinie eines Testkörpers beschreibt, den wir zum Zeitpunkt ) G
fallen lassen. Da ein Körper nahe der Erdoberfläche eine größere Beschleunigung erfährt als ein Körper
weiter draußen, werden sich die Koordinatenlinien mit der Zeit verformen. Zu einem späteren Zeitpunkt
)£?) G ergibt sich das in Abbildung 13.4(b) dargestellte räumliche Koordinatensystem. Der Ursprung
liegt noch immer im Mittelpunkt der frei fallenden Rakete, aber es handelt sich jetzt nicht mehr um ein
kartesisches Koordinatensystem.
Offenbar ist es nicht möglich, ein globales kartesisches Koordinatensystem auf der Raumzeit so zu definieren, dass die Gravitationskräfte überall durch Trägheitskräfte kompensiert werden. Trotzdem müssen
wir Vorstellung, dass Gravitationskräfte im Prinzip Trägheitskräfte sind, und dass frei fallende Koordinatensysteme Inertialsysteme sind, nicht gleich wieder aufgeben. Wir müssen nur den ursprünglichen Begriff
236
eines Inertialsystems ein wenig einschränken.
In einem Gravitationsfeld können wir Inertialsysteme nur noch lokal einführen. Deshalb ist es auch
ganz wesentlich, dass diese Einschränkung im Äquivalenzprinzips auftaucht. Nur solange wir uns auf den
Bereich unseres Labors innerhalb der Rakete beschränken, können wir ein frei fallende Koordinatensystem
als ein Inertialsystem betrachten. Es ist nicht möglich, die ganze Raumzeit durch ein einziges, frei fallendes
Inertialsystem abzudecken. Denn in einem Gravitationsfeld erfahren Testkörper an verschiedene Orten
verschiedene Beschleunigungen, während sich kräftefreie Körper in einem globalen Inertialsystem stets
gleichförmig zueinander bewegen würden.
Wenn aber ein solches globales kartesisches Koordinatensystem nicht existiert, dann lässt das eigentlich
nur einen Schluss zu. Die Raumzeit ist offenbar gekrümmt. Die Annahme, dass Gravitationskräfte eigentlich Trägheitskräfte sind, führt uns unmittelbar zu der Schlussfolgerung, dass die Raumzeit vielleicht gar
kein flacher, affiner Raum ist, sondern eine gekrümmte Mannigfaltigkeit.
Eine ganz andere Überlegung, ausgehend vom schwachen Äquivalenzprinzip, führt letztlich auf dieselbe
Vorstellung der Raumzeit als gekrümmte Mannigfaltigkeit. Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass
sich alle Testkörper in einem Gravitationsfeld auf denselben Bahnen bewegen. Das legt natürlich den
Verdacht nahe, dass diese Bahnen irgendwelche besonderen Kurven in der Raumzeit selbst sind, die mit
den Testkörpern als solchen gar nichts zu tun haben. Die Testkörper messen diese Kurven nur.
Aber welche besonders ausgezeichneten Kurven können das sein? Wenn kein Gravitationsfeld vorhanden ist, bewegen sich kräftefreie, also frei fallende Körper auf Geraden durch die Raumzeit. Wenn ein Gravitationsfeld vorhanden ist, sind die Weltlinien von frei fallenden Körpern aber ganz sicher keine Geraden
in einer flachen Raumzeit. Zwei Geraden in einem affinen Raum können sich nicht mehrmals schneiden,
während die Weltlinien von frei fallenden Körpern das durchaus tun können. Man denke zum Beispiel an
zwei Satelliten, die die Erde in entgegengesetzten Richtungen umkreisen, und sich zweimal pro Umlauf
treffen.
Es könnte sich bei den Weltlinien von frei fallenden Körpern aber um die verallgemeinerten Geraden,
also die Geodäten auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit handeln. Das würde eine einfache Erklärung
dafür liefern, warum diese Weltlinien lokal, also aus der Sicht eines ebenfalls frei fallenden Beobachters
in der Nähe, stets wie Geraden aussehen, sich global aber ganz anders verhalten können als Geraden in
einer flachen Raumzeit.
Auf jeden Fall würde eine solche Theorie der Gravitation zwanglos erklären, warum Gravitations- und
Trägheitskräfte nicht unterscheidbar sind. Ein Testkörper spürt nämlich, bildlich gesprochen, immer nur
die Summe von beiden. Ein Astronaut spürt eine Trägheitskraft, oder äquivalent ein Gravitationsfeld in
seiner Rakete immer dann, wenn die Triebwerke eingeschaltet sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die
Weltlinien seiner Rakete keine Geodäte ist. Umgekehrt, wenn die Triebwerke abgeschaltet sind, dann ist
die Weltlinie der Rakete eine Geodäte. Es herrscht im Innern Schwerelosigkeit, so als würde die Rakete
eine gleichförmige Bewegung in einer flachen Raumzeit ausführen.
Ausgehend von der Äquivalenz von Gravitations- und Trägheitskräften kommen wir also zu einer ganz
neuen Interpretation davon, was Gravitation eigentlich ist.
Gravitation äußert sich nicht dadurch, das sie auf Körper Kräfte ausübt, sondern dadurch, dass
sie bestimmt, auf welchen Bahnen sich kräftefreie Körper bewegen.
Physik im gekrümmten Raum
Bisher sind dies natürlich rein qualitative Überlegungen. Wir haben bis jetzt noch keine Vorstellung davon,
wie denn nun konkret ein bestimmtes Gravitationsfeld, zum Beispiel das der Sonne, durch eine gekrümmte
Raumzeit beschrieben werden kann. Außerdem haben wir das eigentliche Ziel ein wenig aus den Augen
verloren, nämlich die Suche nach einer relativistischen Theorie der Gravitation, also einer Beschreibung,
die mit der speziellen Relativitätstheorie in Einklang steht.
237
Das Ziel ist es also jetzt, die Vorstellung einer gekrümmten Raumzeit mit der Relativitätstheorie zusammen zu bringen, und zwar so, dass das Äquivalenzprinzip gilt. Mit anderen Worten, in einem hinreichend
kleinen, frei fallenden Labor sollen die gleichen Gesetze gelten wie in einem Inertialsystem der speziellen
Relativitätstheorie. Aber für die Raumzeit als ganzes muss es kein globales Inertialsystem mehr geben.
Tatsächlich lassen sich diese Konzepte auf sehr elegante Weise vereinigen. Die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie ist der vierdimensionale Minkowski-Raum, also ein metrischer affiner Raum der
Signatur 2 5 . Die naheliegende Vermutung ist daher, dass eine gekrümmte Raumzeit eine metrische
Mannigfaltigkeit mit genau dieser Signatur ist, also eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit.
Lokal, das heißt in der Umgebung eines bestimmten Ereignisses, sieht eine solche Mannigfaltigkeit genau
so aus wie der Minkowski-Raum.
Mit anderen Worten, die Raumzeit ist eine vierdimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit § , auf
der eine Metrik ‚
der Signatur 2 5 definiert ist. Diese übernimmt die Rolle der Lorentz-Metrik ¨
Lg`
La`
in der speziellen Relativitätstheorie. Sie definiert, zumindest lokal, Längen und Zeiten, und sie bestimmt,
welche Kurven Geodäten sind. Die Metrik ist also, in einem gewissen Sinne, gleichzeitig das Gravitationsfeld.
^
Was heißt das konkret? Betrachten wir zum Beispiel eine zeitartige Kurve 2 Z 50© § , und nehmen wir
an, dies sei die Weltlinie einer Uhr in der Raumzeit. In der speziellen Relativitätstheorie zeigt eine Uhr
die Eigenzeit ª«2 Z 5 ihrer Weltlinie an, definiert durch (5.5). Das heißt, die misst quasi die (zeitliche) Länge
ihrer Weltlinie. Das gleiche soll nun auch in einer gekrümmten Raumzeit gelten. Die Eigenzeit ª¬2 Z 5 , die
ein Uhr anzeigt, soll also folgende Differentialgleichung erfüllen,
T
T
^
^
^ 5 ' L ' ` ' ª ®­ ' ' C­ ‚ La` 2
'[Z
$' Z [' Z
[' Z [' Z
(13.23)
^–D
'[Z der WeltDer einzige Unterschied zur speziellen Relativitätstheorie ist, dass der Tangentenvektor '
linie jetzt ein Vektor im Tangentenraum ¯(°²±´³¶µ·§ ist. Um seine Länge zu bestimmen, müssen wir deshalb
^ 5
wir die Metrik ‚
Lg` an der Stelle 2 Z benutzen.
Auf diese Wiese können wir fast alle aus der speziellen Relativitätstheorie bekannten physikalischen
Gesetze vom Minkowski-Raum auf eine gekrümmte Raumzeit übertragen. Die Idee ist dabei sehr einfach.
Wie wir gesehen haben, lassen sich alle Beziehungen zwischen physikalischen Größen, die dem Relativitätsprinzip genügen, also alle relativistischen Naturgesetze, als Tensorgleichungen formulieren. Die
Definition der Eigenzeit einer Weltlinie, die den Gang von Uhren beschreibt, ist ein typisches Beispiel für
eine solche Tensorgleichung.
Andererseits können wir das Tensorkalkül auch auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit einführen. Dabei gibt es nur eine Einschränkung. Tensoren sind auf einer Mannigfaltigkeit stets lokal definiert, nämlich
in den Tangentenräumen ¯(¸§ , während sie auf einem flachen affinen Raum in einem globalen, zugeordneten Vektorraum ¹ definiert sind. Auf einer gekrümmten Raumzeit können Beziehungen deshalb nur
zwischen solchen Tensoren hergestellt werden, die am gleichen Ereignis, also am gleichen Ort und zur
gleichen Zeit definiert sind.
Wenn wir es also schaffen, im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie alle Beziehungen zwischen
Tensoren lokal in Raum und Zeit zu definieren, dann können wir diese Beziehungen auf eine beliebige
gekrümmte Raumzeit übertragen, indem wir einfach die entsprechenden Tensorgleichungen übernehmen.
Die obige Beziehung zwischen der Eigenzeit und dem Tangentenvektor einer Weltlinie erfüllt diese Lokalitätsbedingung offensichtlich. Auf beiden Seiten der Gleichung steht ein Skalar, und unter der Wurzel auf
der rechten Seite werden drei Tensoren kontrahiert, die alle im Tangentenraum ¯ °±º³Wµ § definiert sind.
Allgemein erhalten wir auf diese Weise eine Art Übersetzungsvorschrift, mit deren Hilfe wir jede auf
dem Minkowski-Raum formulierte, relativistische und in diesem Sinne lokale Theorie auf eine gekrümmte Lorentzsche Mannigfaltigkeit als Raumzeit übertragen können. Diese Übersetzungsvorschrift soll im
folgenden die Grundlage einer relativistischen Gravitationstheorie sein.
238
Die Raumzeit ist eine vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Alle physikalischen
Gesetze, die im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie als lokale Tensorgleichungen formuliert werden können, gelten entsprechend als Tensorgleichungen auf der gekrümmten Raumzeit.
Das ist, in groben Zügen, die Idee der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Bezeichnung rührt daher, dass
das Relativitätsprinzip, welches die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie bildet, verallgemeinert
wird. In der speziellen Relativitätstheorie war es so, dass die Naturgesetze in allen Inertialsystemen, also in allen kartesischen Koordinatensystemen auf der Raumzeit, die gleiche Form annehmen. Sie sind
daher invariant unter einer speziellen Klasse von Koordinatentransformationen, nämlich den LorentzTransformationen.
Unsere Übersetzungsvorschrift besagt nun, dass die Raumzeit in Anwesenheit von Gravitationsfeldern
eine gekrümmte Mannigfaltigkeit ist, und dass sich die Naturgesetze als Tensorgleichungen auf dieser
Mannigfaltigkeit formulieren lassen. Nun haben Tensorgleichungen auf Mannigfaltigkeiten, wie wir aus
Teil II wissen, die Eigenschaft, dass sie in allen Koordinatensystemen die gleiche Form annehmen. Sie
sind invariant unter beliebigen Koordinatentransformationen. Es gilt also die folgende Verallgemeinerung
des speziellen Relativitätsprinzips.
Allgemeines Relativitätsprinzip: Die fundamentalen Naturgesetze nehmen in jedem Koordinatensystem die gleiche Form an.
Ein Beispiel für ein solches Naturgesetz, auch wenn es vielleicht nicht besonders fundamental ist, wäre die
^
Aussage, dass eine Uhr, die sich entlang einer Weltlinie 2 Z 5 durch die Raumzeit bewegt, die Eigenzeit
^
ª«2 Z 5 anzeigt. Tatsächlich lautet die Formel (13.23), die den Zusammenhang zwischen 2 Z 5 und ª¬2 Z 5 bestimmt, in allen Koordinatensystemen gleich. Wir müssen nur die Darstellung der Weltlinie und die Metrik
entsprechend transformieren.
Das allgemeine Relativitätsprinzip ergibt sich ganz zwangsläufig aus der Tatsache, dass die Metrik auf
der Raumzeit nun das Gravitationsfeld beschreiben soll. In der speziellen Relativitätstheorie war die Metrik des Minkowski-Raumes eine a priori gegebene Struktur der Raumzeit, das heißt sie war von Anfang
an fixiert. Deshalb waren auch Inertialsysteme von Anfang an ausgezeichnete Koordinatensystem, nämlich
solche in denen die Metrik die Darstellung ‚
Lg` ¨ Lg` hatte.
Jetzt dagegen wird die Metrik ‚
La` zu einer Variablen. Sie unterliegt selbst irgendwelchen Bewegungsgleichungen, die wir noch herleiten müssen. Die einzige Struktur der Raumzeit, die jetzt noch a priori
gegeben ist, ist die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Alle physikalischen Objekte, einschließlich der Metrik selbst, werden darauf als Tensorfelder definiert, die jeweils ihren Feldgleichungen
unterliegen und eine eigene Dynamik besitzen.
Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es aber keine irgendwie ausgezeichneten Koordinatensysteme. Alle Koordinatensysteme sind gleichwertig. Und deshalb müssen wir von den Naturgesetzen
verlangen, dass sie in allen Koordinatensystemen die gleiche Form annehmen. Sonst wäre das Konzept der
gekrümmten Raumzeit als Beschreibung der Gravitation nicht haltbar. Das allgemeine Relativitätsprinzip
ist also ein Kriterium, das jedes auf einer gekrümmten Raumzeit definierte Naturgesetz erfüllen muss.
Die Dynamik von Punktteilchen
Ein Beispiel für die Anwendung unserer Übersetzungsvorschrift haben wir bereits gegeben, nämlich die
Beziehung (13.23) zwischen einer Weltlinie und ihrer Eigenzeit. Allgemein wollen wir jetzt die Dynamik
eines Punktteilchens betrachten, wie wir sie in Kapitel 5 im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie
diskutiert haben.
Wir beginnen mit den Bewegungsgleichungen für ein Teilchen der Masse im flachen Minkowskip
^
Raum, auf das eine 4-Kraft L wirkt. Sie lauten, wenn wir die Weltlinie 2Ȼ 5 als Funktion der Eigenzeit
239
ª
darstellen,
T
' L *
¼ L
' ª
'¼ L <p L
' ª
¨ Lg` ¼ L ¼ `
&
(13.24)
Die erste Gleichung war im wesentlichen die Definition des 4-Impulses ¼ L , die zweite Gleichung war
die Verallgemeinerung der klassischen Beziehung, wonach die Kraft die Änderung des Impulses ist. Die
Nebenbedingung ergab sich aus der Tatsache, dass ª die Eigenzeit entlang der Weltlinie ist. Bilden wir
nämlich die Norm der ersten Gleichung, so folgt
T
T
' L ' ` ¨ ¼ L ¼ `
¨ aL `
' ª ' ª
½& Lg`
(13.25)
…
und auf Grund der Definition der Eigenzeit ist die linke Seite gleich
. Damit die Nebenbedingung
p
erhalten bleibt, muss außerdem die 4-Kraft L zum 4-Impuls ¼ L senkrecht stehen,
'
p <S
2·¨ Lg` ¼ L ¼ ` 5 ¾
„ ¨ gL ` ¼ L `
' ª
(13.26)
Soweit ist das eine kurze Wiederholung der relativistischen Dynamik von Punktteilchen aus Kapitel 5.
Jetzt wollen wir darauf die Übersetzungsvorschrift anwenden und die Dynamik eines Punktteilchens auf
einer gekrümmten Raumzeit beschreiben.
Zuerst müssen wir uns über die einzelnen Objekte Gedanken machen, und wie sie auf einer gekrümm^C¿ÁÀ ™
ten Mannigfaltigkeit darzustellen sind. Natürlich ist die Weltlinie wieder eine Abbildung
§ ,
T
5
die lokal durch einen Satz von Koordinatenfunktionen L$2»ª dargestellt wird. Ferner ist die Masse weiterhin ein konstanter Skalar. Aber wie sieht es mit dem Impuls ¼ L2·ª 5 aus? Auf der linken Seite der
T D
ersten Bewegungsgleichung (13.24) steht der Tangentenvektor der Weltlinie ' L ' ª , also ein Vektor im
Tangentenraum ¯P°²±Âõ·§ , Folglich muss auch ¼ L2·ª 5 ein Vektor im Tangentenraum ¯(°²±Âõ·§ sein.
Die erste Gleichung können wir dann unverändert als Tensorgleichung auf einer gekrümmten Raumzeit
übernehmen,
T
' L x
¼L ' ª
(13.27)
Sie besagt, wie bisher, dass sich das Teilchen in Richtung des Impulses bewegt. Das einzig neue ist, dass
wir diese Richtung jetzt lokal dort definieren müssen, wo das Teilchen gerade ist, nämlich als Vektor im
Tangentenraum ¯ °²±Âõ § .
Die Nebenbedingung macht auch keine Schwierigkeiten. Da ¼ L2·ª 5 ein Vektor im Tangentenraum
¯ °±uÂõ § ist, müssen wir, um seine Länge zu bestimmen, die Metrik in diesem Tangentenraum benutzen.
Die übersetzte Nebenbedingung lautet also
^
*
‚ Lg` 2 5 ¼ L ¼ `
½&
(13.28)
Auch auf einer gekrümmten Raumzeit ist der Impuls eines Teilchens ein zeitartiger Vektor der Länge .
T D
' L ' ª wieder ein zeitartiger Einheitsvektor ist, den wir als
Unter anderem ergibt sich daraus, dass q L
4-Geschwindigkeit bezeichnen. Das muss natürlich so sein, wenn ª die Eigenzeit ist.
Ein wenig problematischer ist die zweite Bewegungsgleichung. Dort steht auf der linken Seite die Ableitung des Vektors ¼$L 2»ª 5 nach ª . Nun ist dieser Vektor aber für verschiedene ª in verschiedenen Tangentenräumen ¯P°²±Âõ·§ definiert. Die normale Ableitung macht also gar keinen Sinn. Wir müssen sie, wenn
auf der linken Seite der Gleichung ein Tensor stehen soll, durch die kovariante Ableitung ersetzen. Das
heißt, wir müssen die folgende
Ersetzung vornehmen,
b
'¼ L
¼ L
' ª
˜™
>
T
'¼ L
^ 5 ' d
L 2 ¼ `
 ¼ L
' ª j’Ä ` d
' ª
240
(13.29)
wobei L das aus der Metrik ‚
Ä `d
T D die Ableitung in
La` abgeleitete Christoffel-Symbol ist. Man beachte, dass
Richtung der Weltlinie erfolgt, und deshalb als Richtungsvektor der Tangentenvektor ' d ' ª der Weltlinie
auftritt, der mit dem letzten Index des Christoffel-Symbols kontrahiert wird. Die beiden ersten Indizes
wirken dagegen als Matrixindizes auf den Vektor ¼8L .
Dass wir sämtliche Ableitungen von Tensoren durch die entsprechenden kovarianten Ableitungen ersetzen müssen, ergibt sich implizit aus der Übersetzungsvorschrift. Am besten können wir uns das klar
machen, wenn wir den umgekehrten Weg gehen, das heißt die Bewegungsgleichungen zurück übersetzen.
gegeben, die eine Beziehung zwischen
Es sei also eine Tensorgleichung auf einer Mannigfaltigkeit §
einigen Tensoren und ihren Ableitungen herstellt. Die Ableitungen müssen dann natürlich kovariante Ableitungen sein, denn sonst ist es keine Tensorgleichung.
Um eine solche Tensorgleichung zurück zu übersetzten, wählen wir für die Mannigfaltigkeit § einfach
den Minkowski-Raum, und als Koordinatensystem ein Inertialsystem, also ein kartesisches Koordinatensystem. Dann werden aus allen kovarianten Ableitungen gewöhnliche Ableitungen, aber ansonsten bleibt
die Tensorgleichung dieselbe. Umgekehrt müssen wir also alle normalen Ableitungen durch kovariante
Ableitungen ersetzen, wenn wir von einer
b b flachen zu einer gekrümmten Raumzeit übergehen.
Ein Problem tritt dabei jedoch auf. Nehmen wir an, in einer Tensorgleichung tritt die zweite Ableitung
> >
d
eines Tensors auf, etwa in der Form
. Wie sollen wir dies dann übersetzen? Als
L `aÅ
L `ÆÅ d oder
> >
beiden Ausdrücken ein Unterschied,
` LŸÅ d ? Auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit besteht zwischen
É
der zum Krümmungstensor proportional ist, nämlich ÇÈd´É
Lg`AÅ . Die Übersetzungsvorschrift ist also nicht
ganz eindeutig, denn dieser Term verschwindet natürlich, wenn wir uns wieder auf eine flache Raumzeit
zurück ziehen.
Im Prinzip könnten wir an jeder Stelle beliebig viele Terme proportional zum Krümmungstensor hinzufügen. Beim Zurückübersetzen in den flachen Minkowski-Raum fallen alle diese Terme weg. Die Übersetzungsvorschrift ist also keineswegs eine mathematisch eindeutige Abbildung, sondern eher eine Art
grobe Anleitung, wie wir Bewegungsgleichungen und ähnliches auf einer gekrümmten Raumzeit formulieren sollen. Trotzdem ist sie in einfachen Fällen wie hier eindeutig, wenn wir zusätzlich verlangen, dass
in den Gleichungen der Krümmungstensor nicht explizit auftreten soll. Und wie wir später sehen werden,
ist das Ergebnis in diesem Fall auch vernünftig.
Kommen wir also wieder auf die zweite Bewegungsgleichung zurück. Wenn wir die erste Bewegungsgleichung verwenden, um den Tangentenvektor in (13.29) durch den Impuls zu ersetzen, und das Ergebnis
ein wenig umschreiben, dann ergibt sich
^ 5
'¼ L fp L L
`
d
¼
¼
2
(13.30)
' ª
Ä `d
p
Natürlich müssen wir jetzt auch die 4-Kraft L als Tensor auf der gekrümmten Raumzeit definieren, und
p
zwar ebenfalls im Tangentenraum ¯ °²±Âõ § . Üblicherweise werden wir L entweder als Funktion von Ort
und Impuls vorgeben, oder explizit als Funktion von ª . Damit die Nebenbedingung erhalten bleibt, muss
p
auch hier wieder gelten, dass L zu ¼L senkrecht steht, also
^ p
<
‚ Lg` 2 5 L ¼ `
(13.31)
Betrachten wir nun das System von Bewegungsgleichungen (13.27) und (13.30), so ergeben sich folgende Gemeinsamkeiten mit den Bewegungsgleichungen auf einer flachen Raumzeit. Auch hier haben wir
ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung vorliegen, das heißt wir können als Anfangsbe^ dingungen ein Ereignis 2 5 und einen Impuls ¼ L2 5 vorgeben, der die Nebenbedingung (13.28) erfüllen
muss.
Auch auf einer gekrümmten Raumzeit ist die Weltlinie daher eindeutig durch die Anfangsbedingungen
p
festgelegt. Wie die Weltlinie des Teilchens konkret aussieht, hängt jetzt aber nicht nur von der Kraft L
241
ab, sondern auch von der jeweiligen Metrik der Raumzeit, und damit vom Gravitationsfeld. Die Kopplung
des Teilchens an das Gravitationsfeld erfolgt offenbar durch das Christoffel-Symbol in (13.30).
Wir können die Bewegungsgleichung auch als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung schreiben,
indem wir den Impuls eliminieren,
T
T
T
' & L p ^ 5 ' ` ' d L Ä L `d 2
' ª ' ª
' ª&
(13.32)
Das bemerkenswerte an dieser Gleichung ist die Ähnlichkeit mit der klassischen Bewegungsgleichung
(13.22) für ein Teilchen in einem beschleunigten Bezugsystem, das sich gleichzeitig in einem Gravitati
onsfeld befindet, und auf das noch zusätzlich noch eine Kraft wirkt.
Offenbar können wir den Term, der das Christoffel-Symbol enthält und proportional zur Masse des
p
Teilchens ist, als eine Art Scheinkraft interpretieren, die zusätzlich zur 4-Kraft L wirkt. Wenn wir so
tun, als sei das verwendete Koordinatensystem ein Inertialsystem auf einer flachen Raumzeit, dann steht
auf der linken Seite der übliche Ausdruck Masse mal Beschleunigung, und auf der rechten Seite steht
folglich die gesamte auf das Teilchen wirkende 4-Kraft. Die zusätzliche Kraft können wir dann wahlweise
Trägheits- oder Gravitationskraft nennen.
Es gibt jedoch einen ganz wesentlichen Unterschied zur klassischen Bewegungsgleichung (13.22). Dort
Ÿž
>
konnten wir die zusätzliche Kraft †‚
zu jedem Zeitpunkt eindeutig in eine Gravitationskraft 1
und eine Trägheitskraft ‚ zerlegen, weil es so etwas wie ein globales, ruhendes Bezugsystem gab. In
diesem Bezugsystem ist die Gravitation eine gewöhnliche Kraft wie jede andere auch, während Trägheitskräfte gar nicht vorhanden sind. Wir konnten daher eindeutig sagen, welcher Term durch die Gravitation
verursacht ist, und welcher durch die Beschleunigung des Bezugsystems, auch wenn nur die Summe von
beiden letztlich zum Tragen kommt.
Hier ist die Situation anders. Wir können das Christoffel-Symbol auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit nicht in zwei Anteile zerlegen, wobei der eine die Krummlinigkeit des Koordinatensystems misst,
also die Abweichung von einem Inertialsystem und somit die Beschleunigung, während der andere das eigentliche Gravitationsfeld darstellt, was immer das genau ist. Es ist daher prinzipiell nicht mehr möglich,
zwischen Gravitations- und Trägheitskräften zu unterscheiden. Sie sind untrennbar vereint und werden
beide von einem einzigen Objekt beschrieben, dem Christoffel-Symbol.
Anders ausgedrückt, es sind beides Scheinkräfte, die nur durch die jeweilige Wahl des Koordinatensystems eine konkrete Form annehmen. Deshalb können wir den Begriff “Gravitationskraft” genau genommen gar nicht unabhängig vom Koordinatensystem definieren. Es gibt keinen Tensor, die ein solches Objekt namens “Gravitationskraft” repräsentiert. Die Beschreibung entspricht genau unserer oben geäußerten
Vermutung, dass Gravitation gar nicht als Kraft wirkt. Frei fallende Körper sind kräftefrei, und sie erfahren
demnach auch keine Beschleunigung.
Das hört sich etwas ungewöhnlich an, steht aber in Einklang mit der Tatsache, dass ein Astronaut in einer
frei fallenden Rakete keine Beschleunigung wahrnimmt. Um zu zeigen, dass sich das auch aus unserer
Übersetzungsvorschrift ergibt, erinnern wir uns an den Begriff aus der speziellen Relativitätstheorie. Die
4-Beschleunigung einer zeitartigen Weltlinie ist die Ableitung der 4-Geschwindigkeit nach der Eigenzeit,
Ê L ' q L D ' ª ' & T L D ' ª & . Auch hier müssen wir die Ableitung durch eine kovariante Ableitung ersetzen,
damit das Ergebnis wieder ein Vektor im Tangentenraum ¯0°²±Âõ·§ ist,
T
T
T
' d ' d ^
Ê L ' & L
5
L 2
' ª ' ª
' ª& jËÄ `_d
(13.33)
Welche Bedeutung hat dieser Vektor? Er hat natürlich die gleiche Bedeutung, die der entsprechende Vektor
in der speziellen Relativitätstheorie hat. Es ist ein raumartiger Vektor, und sein Betrag ist die Beschleunigung, die ein mitbewegter Beobachter als eine auf ihn wirkende Rückstoßkraft spürt.
242
Wichtig ist, dass die einzelnen Terme auf der rechten Seite in (13.33) für sich genommen keine vom
Koordinatensystem unabhängige Bedeutung haben. Es ist deshalb sinnlos zu fragen, ob das, was der mitbewegte Beobachter spürt, von einem Gravitationsfeld oder von einer “echten” Beschleunigung herrührt,
oder ob es eine Kombination von beiden ist. Was er wahrnimmt, ist Richtung und Betrag des Vektors Ê L .
p
Und diese Beschleunigung ist nur dann von Null verschieden, wenn eine “echte” 4-Kraft L wirkt,
zum Beispiel die von den Triebwerken einer Rakete erzeugte Kraft. Die Bewegungsgleichung lautet jetzt
nämlich ganz einfach
p L
ÊL
(13.34)
Und was sind nun die Bahnen, auf denen sich kräftefreie Körper bewegen? Offenbar ist die Beschleunigung (13.33) genau die linke Seite der Geodätengleichung (9.35). Die Weltlinien, auf denen sich kräftefreie
Teilchen bewegen, sind, wie wir früher schon vermutet haben, die zeitartigen Geodäten auf der Raumzeit.
Es sind diejenigen Weltlinien, die ihren eigenen Tangentenvektor parallel transportieren. Das ist natürlich
vernünftig, denn es heißt letztlich nichts anderes als dass der Impuls des Teilchens konstant ist. Genauer
gesagt, kovariant konstant, aber das ist der einzige Begriff von “konstant”, der an dieser Stelle Sinn macht.
Im Prinzip ist es also gar nicht schwer, die Physik in einer gekrümmten Raumzeit zu verstehen. Sie
wird durch dieselben Gesetze beschrieben wie in einer flachen Raumzeit, nur dass diese jetzt als Tensorgleichungen lokal definiert sind. Umgekehrt bekommen wir die Bewegungsgleichungen der speziellen
Relativitätstheorie zurück, wenn wir als Mannigfaltigkeit § einen flachen Minkowski-Raum wählen, und
ein kartesisches Koordinatensystem wählen, das heißt für die Metrik ‚
die Lorentz-Metrik ¨
einsetzen.
La`
Lg`
Aufgabe 13.4 Man zeige, dass für jede zeitartige Weltlinie auf einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit die
4-Beschleunigung Ê L ein raumartiger Vektor ist, der zur 4-Geschwindigkeit q L senkrecht steht.
Aufgabe 13.5 Man zeige, dass die Nebenbedingung (13.28) genau dann mit den Bewegungsgleichungen
(13.27) und (13.30) kompatibel ist, wenn die Orthogonalit ätsbedingung (13.31) erfüllt ist.
Aufgabe 13.6 Man zeige, dass sich die Bewegungsgleichungen f ür ein kräftefreies Teilchen auch in der
Form
T
Ìt
'¼ L xÍÌ L ^ 5 ` d
' L Ì L
' ª
¼ 2 ¼ ¼ mit
(13.35)
'[Z
'[Z
Ä `d
'[Z
schreiben lassen, wobei Z ein frei wählbarer Kurvenparameter ist. Warum gelten sie in dieser Form auch
für masselose Teilchen?
Aufgabe 13.7 Die Übersetzungsvorschrift besagt, dass das elektromagnetische Feld auf einer gekr ümm
ten Raumzeit durch ein antisymmetrisches Tensorfeld
Lg` dargestellt wird. Wie lautet die Bewegungsgleichung (13.32) für ein Teilchen der Ladung J in einem elektromagnetischen Feld auf einer gekr ümmten
Raumzeit? Wo überall geht die Metrik und damit das Gravitationsfeld ein? Gibt es auf einer gekr ümmten
Raumzeit so etwas wie ein homogenes elektrisches Feld? Oder ein homogenes magnetisches Feld?
Aufgabe 13.8 Wie lauten die Maxwell-Gleichungen (6.38) für den Feldstärketensor
Lg` auf einer gekrümmten Raumzeit? In welche Gleichung geht die Metrik ein, in welche nicht? Wie ist die elektrische
^
4-Stromdichte KL für eine Punktladung J zu definieren, die sich entlang einer Weltlinie 2 Z 5 bewegt?
Das Gravitationsfeld und die Metrik
Jetzt haben wir eine ungefähre Vorstellung davon, wie sich die Physik in einer gekrümmten Raumzeit
abspielt und wie die Gravitation in die Bewegungsgleichungen von Punktteilchen eingreift. Was wir allerdings immer noch nicht wissen, ist, wie denn nun ein konkretes Gravitationsfeld durch eine bestimmte
gekrümmte Raumzeit, also ein bestimmte Metrik dargestellt wird. Um diese Frage zu beantworten, werden
wir noch einmal vom Äquivalenzprinzip Gebrauch machen, um daraus zumindest einen Ansatz abzuleiten.
243
ie
fre
Î
l
Fal
all
rF
er
frei
)Œ
)
M
Î ž
Î
›
ED
‚
M Î ž
ÏÃÐ
const
Milchstraße
›Œ
andere Galaxie
Ñ´Ò
const
(b)
(a)
Abbildung 13.5: Die Raumzeit-Diagramme für die jeweiligen Situationen in Abbildung 13.3. In (a) befindet sich die Rakete in Ruhe im Gravitationsfeld eines Planeten, in (b) wird sie im freien Weltraum
gleichmäßig beschleunigt. Der Bereich des Labors in der Rakete ist jeweils hell unterlegt. Die gestrichelten Koordinatenlinien sind die eines relativ zur Rakete ruhenden Bezugsystems ÓÕÔÖ%×8Ö%Ø֋ÙoÚ , wobei nur die
Ô -Ù -Ebene dargestellt ist. In (b) sind zusätzlich die Achsen eines globalen Inertialsystem ÓÆÔoÛ Ö ×8Û Ö ØÛ Ö ÙoÛ Ú dargestellt. Ein frei fallender Körper beschriebt eine Geodäte, also ein Gerade im Minkowski-Raum. In (a)
erscheint dieselbe Geodäte als “Wurfparabel”.
Das Äquivalenzprinzip besagt, dass sich in beiden Raketen in Abbildung 13.3 die gleiche Physik abspielt. Insbesondere folgt daraus, dass beide Astronauten in ihrem Labor die gleiche Metrik messen. In
eine mathematische Sprache übersetzt heißt das, die jeweiligen Ausschnitte der Raumzeit, die das Labor
repräsentieren, sind isometrisch. Wir können also etwas über die Metrik in einem Gravitationsfeld lernen,
indem wir uns zunächst die Metrik in einem beschleunigten Bezugsystem anschauen.
In Abbildung 13.5 sind die entsprechenden Situationen (a) und (b) in einem Raumzeit-Diagramm dargestellt. In der Abbildung 13.5(a) befindet sich die Rakete in Ruhe über einem Planeten. Der Planet ist
durch den dunkel unterlegten Bereich links dargestellt, das Labor in der Rakete durch den hell unterlegten
Bereich in der Mitte. Die Koordinatenlinien sind die eines relativ zur Rakete, und damit auch relativ zum
Planeten ruhenden Koordinatensystem 2 ) 4 š6œ› 5 . Die › -Achse ist nach oben hin ausgerichtet, und die
Zeit ) wird von einer Uhr gemessen, die sich am räumlichen Koordinatenursprung in der Mitte des Labors
befindet.
In Abbildung 13.5(b) befindet sich dieselbe Rakete im freien Weltraum und erfährt eine gleichmäßige
Beschleunigung. Die Raumzeit ist hier ein flacher Minkowski-Raum, in dem wir zunächst ein kartesisches
Ü
Koordinatensystem Œ , also ein Inertialsystem mit Koordinaten 2 ) Œ 4 Œ š[Œ › Œ 5 einführen. In diesem Koordina
¨6L Ý ` Ý , und folglich verschwinden auch die Christoffel-Symbole Ä LÝ ` Ý d Ý . Aber das
tensystem gilt dann ‚9Ý Ý
L`
ist natürlich nicht das Bezugsystem eines beschleunigten Beobachters.
Um ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugsystem zu definieren, erinnern wir uns an Kapitel 5.5, in der
wir die Weltlinie eines gleichmäßig beschleunigten Beobachters im Minkowski-Raum bestimmt haben.
Die Lösung sah wie folgt aus. Wenn wir die Eigenzeit auf der Weltlinie des Beobachters mit ) bezeichnen,
und er eine Beschleunigung von Betrag ‚ in › -Richtung erfährt, so wird seine Weltlinie im Inertialsystem
244
܌
wie folgt beschrieben,
)Œ
CÞßáàâ ·2 ‚ ) 5
‚
4 Œ < šŒ
<
›Œ
ãaäHÞ_â ·2 ‚ ) 5 ‚
(13.36)
‘|å
je einem LichtEr bewegt sich auf einer Hyperbel in der ) Œ - › Œ -Ebene, die sich asymptotisch für ) ™
strahl nähert. Dies ist also die Weltlinie der Rakete, oder genauer die des räumlichen Mittelpunktes des
Labors. Sie ist in Abbildung 13.5(b) als durchgezogenen Linie dargestellt. Es ist diejenige Hyperbel in der
D
) Œ -› Œ -Ebene, die vom Schnittpunkt der beiden asymptotischen Lichtstrahlen den Abstand ‚ hat.
Um für den mitbewegten Beobachter ein Koordinatensystem einzuführen, in dem er ruht, gehen wir wie
folgt vor. Wir definieren zuerst einen zeitartigen Vektor Î als Tangentenvektor an seine Weltlinie,
M
Î aã äHÞ_â 2·‚ ) 5 Î Ý Þßáàâ 2»‚ ) 5 Î ž Ý M
M j
Ü
(13.37)
Hier sind Î Ý die üblichen orthogonalen Einheitsvektoren im Inertialsystem Œ . Offenbar ist Î ein zeitartiger
L
M
Einheitsvektor, so dass ) tatsächlich die Eigenzeit des Beobachters ist. Dann definieren wir zusätzlich drei
ž
raumartige Einheitsvektoren Îæ , ÎSç und Î , die zueinander und zu Î orthogonal sind,
ÎSæ Î æ Ý M
Î ž Þßáàâ 2·‚ ) 5 Î Ý ãgäHÞâ 2»‚ ) 5 Î ž Ý M j
ÎSç Î ç Ý (13.38)
Diese Vektoren spannen für jedes ) eine raumartige Hyperfläche auf. Für den beschleunigten Beobachter ist
dies der Raum zur Zeit ) . Auf dieser Hyperfläche führen wir ein räumliches Koordinatensystem 2 4 š8œ› 5
ž
so ein, dass sich der Beobachter am Ursprung befindet, und die Vektoren Î8æ , ÎSç und Î die zu diesem
Koordinatensystem gehörende lokale Basis bilden.
Ü
Auf diese Weise erhalten wir ein krummliniges Koordinatensystem mit Koordinaten 2 ) 4 š8œ› 5 auf
dem Minkowski-Raum. Die entsprechenden Koordinatenlinien in der ) - › -Ebene sind in Abbildung 13.5(b)
Ü
Ü
dargestellt. Zwischen dem krummlinigen Koordinatensystem und dem Inertialsystem Πbesteht dann der
Zusammenhang
)Œ
j ‚ › Þ ßÕàâ 2·‚ ) 5
‚
4Œ 4 è|ED
šŒ
š8
›Œ
j ‚ › ãgäHÞâ 2»‚ ) 5 ‚
(13.39)
Offenbar wird diese Transformation für ›
‚ singulär. Außerdem sehen wir in Abbildung 13.5(a),
Ü
dass das krummlinige Koordinatensystem nur einen Teil des Minkowksi-Raumes abdeckt, nämlich das
é‘
› Œ . Aber das ist im folgenden nicht weiter von
Viertel rechts der beiden lichtartigen Hyperflächen ) Œ
Belang, denn uns interessiert nur die unmittelbare Umgebung des Beobachters, also der Bereich kleiner
räumlicher Koordinaten 2 4 š8œ› 5 .
Tatsächlich gilt im Bereich des Labors, der in Abbildung 13.5(b) wieder hell unterlegt ist, auf jeden Fall
4 š6œ›ëê D ‚ . Wäre dem nicht so, dann würde ein von der Decke des Labors fallen gelassener Körper
am Boden eine Geschwindigkeit erreichen, die von der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit ist. Das
wäre natürlich unrealistisch. Wir werden deshalb im folgenden stets annehmen, dass die Abmessungen
ED
des Labors klein sind im Vergleich zu ‚ .
ED
D
Dass ‚ eine Länge ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine Beschleunigung die Einheit Zeit oder
D
Länge hat, wenn die Lichtgeschwindigkeit gleich Eins gesetzt ist. Um die Größenordnungen deutlich
D
ED
”
D
ì6 —
zu machen, wählen wir als Beispiel ‚ r
m sec & , also ‚ r
sec & m. Nun ist sec r
m,
ED
#]í
also ‚ r
m. Selbst eine mehrere Kilometer große Raumstation, die eine der Erdbeschleunigung
D
vergleichbare Beschleunigung erfährt, ist also noch um mehr als zehn Größenordnungen kleiner als ‚ .
Was uns jetzt natürlich interessiert ist die Raumzeit-Metrik im Bereich des Labors, ausgedrückt in den
Koordinaten 2 ) 4 š8œ› 5 , also in dem relativ zur Rakete ruhenden Bezugsystem. Die können wir sehr leicht
Ü
ausrechnen. Wir müssen dazu nur von der Lorentz-Metrik im Inertialsystem Œ ausgehen,
'"î &
*
' ) Œ & j ' 4 Œ & j ' Œš & j ' › Œ & 245
(13.40)
und diese gemäß (13.39) ins krummlinige Koordinatensystem
'Sî &
Ü
transformieren. Das Ergebnis ist
x 2 j ‚ › 5 & ') & j ' 4 & j ' š & j ' › &
(13.41)
Das ist also die Metrik, die ein beschleunigter Astronaut in seiner Rakete “sieht”. Da wir im Bereich des
Labors ‚ ›’ê
annehmen können, werden wir von nun an alle Terme der Ordnung 2·‚ › 5 & und höher
vernachlässigen. Für die Metrik (13.41) ergibt das
'Sî«&
* 2 j „3‚ › 5 ' )‹& j ' 4 & j ' š & j ' › & (13.42)
oder in Komponenten,
<
<@
‚ ´N M
‚ Nwv
Nwv wobei die Indizes R K über die drei räumlichen Koordinaten 2 4 š8œ› 5 laufen.
‚ MºM
x 2 j „3‚ › 5 ‚ Mïv
<
(13.43)
Aus dem Äquivalenzprinzip können wir jetzt folgende Aussage über die Metrik in einem Gravitationsfeld ableiten. In einem beschränkten Bereich der Raumzeit, in dem das Gravitationsfeld als homogen
betrachtet werden kann, zum Beispiel im Labor der Rakete in Abbildung 13.3(a), gilt ebenfalls die Metrik (13.43). Das ist genau die weiter oben gemachte Aussage, wonach die hell unterlegten Bereiche der
Raumzeit in Abbildung 13.5(a) und (b) isometrisch sind.
Wie würden wir dieselbe Situation in der Newtonschen Theorie beschreiben? Dort würden wir ein
‚ › gegeben. InteressanGravitationspotential 1 einführen, und im Bereich des Labors wäre es durch 1
terweise tritt genau dieser Term in der ‚ -Komponente der Metrik auf. Offenbar besteht eine Beziehung
MºM
zwischen der ‚ -Komponente der Metrik in einem irgendwie bevorzugten Bezugsystem auf der einen
MºM
Seite, und dem Newtonschen Gravitationspotential 1 auf der anderen Seite.
Um diesem Zusammenhang nachzugehen, machen wir folgenden Ansatz. Wir betrachten eine
Raumzeit-Mannigfaltigkeit, auf der ein Koordinatensystem 2 ) 4 š6› 5 gegeben ist, und in diesem Koordinatensystem soll die Metrik die folgende Form annehmen,
'Sî«&
2 j „ð1 5 ')‹& j ' 4 & j ' š & j ' › &
(13.44)
Dabei ist 1 eine zunächst beliebige Funktion der Koordinaten. Allerdings wollen wir 1 ê
annehmen,
das heißt die Metrik soll nur sehr wenig von der flachen Minkowski-Metrik abweichen. Für ein typisches
Gravitationsfeld, wir wir es kennen, ist ganz sicher der Fall, denn die Metrik der Raumzeit, die wir zum
Beispiel innerhalb unseres Sonnensystems messen, ist in sehr guter Näherung flach.
Die Metrik der Raumzeit sei also durch (13.44) gegeben. Wir wollen zeigen, dass sich Testkörper dann
tatsächlich genau so bewegen, wie frei fallende Körper in der Newtonschen Theorie. Dazu schreiben wir
zunächst die Metrik in Komponenten auf,
‚ MºM
2 j „ð1 5 ‚ Mïv
‚ NuM
f
‚ Nwv
f@
Nwv (13.45)
und bestimmen die inverse Metrik,
‚ MºM
* m
2
„ð1 5 ‚ Mïv
‚ N´M
‚ Nwv
<@ Nwv
(13.46)
Hier haben wir von unserer Näherung 1 ê
Gebrauch gemacht, das heißt wir haben Terme der Ordnung
1 & und höher vernachlässigt. Ferner benötigen wir das Christoffel-Symbol, das wir leicht mit Hilfe der
b Die einzigen nicht verschwindenden
b
Formel (10.60) berechnen können.
Komponentenb sind
Ä M MºM
2
ñ
„ð1 5 M 1 Ä M NuM
Ä M MºN
246
2
ñ
„ð1 5 N 1 Ä N MºM
@
Nwv v 1
(13.47)
Das müssen wir jetzt in die Bewegungsgleichungen einsetzen, um die Bahn eines Testkörpers zu ermitteln. Da wir uns nur für einen frei fallenden Testkörper interessieren, können wir natürlich einfach die
Geodätengleichung verwenden,
T
T
T
' & L
^ 5 ' ` ' d <
L
(13.48)
2
' ª ' ª
' ª& jËÄ `d
Die räumlichen Komponenten dieser Gleichung lauten
b
T
T
T
T
T T
M ' M ^ 5 ' ` ' d ' & N @
' & N
'
N
w
N
v
2
1
(13.49)
v ' ª ' ª
' ª ' ª
' ª& j’Ä `d
' ª& j
denn N ist die einzige nicht verschwindende Komponente des Christoffel-Symbols, die in der Summation
Ä MºM
auftritt.
Wenn wir jetzt annehmen, dass sich das Teilchen nur sehr langsam bewegt, dann können wir die EigenT D
,
zeit ª auf der Weltlinie näherungsweise mit der Koordinatenzeit ) identifizieren. Es gilt dann ' M ' ª r
und wir können statt der Ableitung nach ª in der Bewegungsgleichung auch die Ableitung nach ) schreiben. Es ergibt sich dann näherungsweise die Bewegungsgleichung
b
T
S
'& N @ Nwv
r
1
v
')‹& j
(13.50)
Das ist aber genau die Bewegungsgleichung (13.15) für einen Testkörper im Gravitationspotential 1 . Die
zeitartigen Geodäten der Metrik (13.44) stimmen also mit den Bahnen von frei fallenden Körpern in der
Newtonschen Theorie überein, sofern sich die Körper nur langsam relativ zu dem ausgewählten Koordinatensystem bewegen. Mehr können wir nicht verlangen, denn für schnell bewegte Testkörper kann die
Newtonschen Theorie ohnehin nicht richtig sein, denn sie beruht auf der klassischen Mechanik und kennt
zum Beispiel nicht die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit.
Wir wissen also jetzt zumindest, wie wir schwache Gravitationsfelder durch eine gekrümmte Raumzeit
beschreiben können. Die Raumzeit ist näherungsweise flach, das heißt die Metrik weicht nur wenig von der
Lorentz-Metrik ab, und es gibt ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, in dem die Zeit-Zeit-Komponente
* der Metrik im wesentlichen durch das Gravitationspotential gegeben ist. Und zwar gilt ‚
2 j „1 5 .
MºM
Im Unterschied zu der vorher betrachteten Metrik in einem beschleunigten Bezugsystem, ist das nun
eine Aussage über die Raumzeit als ganzes. Wir müssen uns jetzt nicht mehr auf einen kleinen Ausschnitt
der Raumzeit beschränken. Solange das Gravitationsfeld schwach ist, also überall 1 ê
gilt, beschreibt
die Metrik (13.44) die ganze Raumzeit. Umgekehrt können wir in einem hinreichend kleinen Ausschnitt
der Raumzeit stets ein räumliches Koordinatensystem 2 4 š8œ› 5 so wählen, dass dort 1 r ‚ › gilt. In diesem Ausschnitt gilt dann wieder dieselbe Metrik wie in einem beschleunigten Bezugsystem im flachen
Minkowski-Raum.
Aufgabe 13.9 Genau genommen ist das nicht ganz richtig. Wenn wir in der Umgebung eines Ereignisses
ò © § ein Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 so wählen wollen, dass der Ursprung in diesem Ereignis liegt
ist. In der Newtonschen
und 1 r ‚ › gilt, dann müssen wir zuerst das Potential so einrichten, dass 12 ò 5
Theorie ist das möglich, denn wir können eine beliebige Konstante zu 1 addieren. Können wir auch hier
einfach eine Konstante zu 1 addieren?
Aufgabe 13.10 Man führe die entsprechende Rechnung für ein rotierendes Koordinatensystem durch, das
heißt an Stelle der Transformation (13.39) verwende man
)Œ
)
4 Œ 4 ãgäHÞ 2.ó ) 5 š ÞßÕà 2»ó ) 5 Œš
4
ÞßÕà 2»ó ) 5 j š ãgäHÞ 2.ó ) 5 Ü
›Œ
›
(13.51)
Man berechne die Metrik im rotierenden Koordinatensystem , und f ühre eine Näherung durch für
4 š6œ›ôê ED ó . Warum ist diese Näherung für ein realistisches rotierendes Labor sinnvoll? Man berechne dann die Christoffel-Symbole, stelle die Bewegungsgleichungen auf, und zeige, dass sich im Grenzfall
langsam bewegter Teilchen die klassischen Ausdrücke für die Zentrifugal- und Coriolis-Kraft ergeben.
247
Aufgabe 13.11 Wir werden später feststellen, dass der sogenannte Newtonschen Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie nicht auf die Metrik (13.44) führt, sondern dass auch die räumlichen Komponenten
der Metrik eine kleine Korrektur erfahren. Die richtige Ausdruck ist
'Sî &
m
2 j „–1 5 ') & j 2
„–1 5 2 ' 4 & j ' š & j ' › & 5
Man zeige, dass auch diese Metrik für langsam bewegte Testkörper, und natürlich für
Bewegungsgleichung (13.50) führt.
(13.52)
1 ê
, auf die
Aufgabe 13.12 Wenn (13.52) der richtige Ausdruck für die Metrik in einem schwachen Gravitationsfeld
ist, dann müsste nach dem Äquivalenzprinzip auch ein beschleunigter Beobachter in seinem Labor diese
Metrik sehen, und zwar mit 1
‚ ›,
'Sî &
m
2 j „3‚ › 5 ' ) & j 2
„¾‚ › 5 2 ' 4 & j ' š & j ' › & 5
(13.53)
Wir hatten aber die Metrik (13.42) gefunden. Wie ist das zu erklären?
Aufgabe 13.13 Nehmen wir an, die Metrik der Raumzeit sei durch (13.52) gegeben, und ein Beobachter
befindet sich an einem Ort 2 4 š8œ› 5 in Ruhe relativ zu diesem Koordinatensystem. Man berechne f ür diesen
Ê Ê
Beobachter die 4-Beschleunigung Ê L und deren Betrag ‚
ƒ L in der Näherung 1 ê .
L
Gravitation und Zeitdilatation
Um dieses Kapitel abzuschließen, wollen wir ein paar physikalische Effekte beschreiben, die man in einem
Gravitationsfeld beobachten sollte, wenn das Äquivalenzprinzip und das, was wir bis jetzt daraus abgeleitet
haben, tatschlich richtig ist. Der Einfachheit halber ziehen wir uns wieder auf das kleine Labor in der
Rakete zurück, so dass alles, was wir im folgenden sagen, sowohl für beschleunigte Beobachter, als auch
für ruhende Beobachter in einem Gravitationsfeld gilt.
Aber eigentlich wissen wir ja bereits, dass das beides dasselbe ist. Alles, was wir im folgenden wissen
müssen, ist, dass die Raumzeit-Metrik im Bereich des Labors durch (13.42) gegeben ist, das heißt für
4 š6œ›|ê ED ‚ gilt
* 'Sî &
(13.54)
2
„3‚ › 5 ') & ' 4 & ' š & ' › &
j
j
j
j
Das erste Phänomen, dass wir beschreiben wollen, ist eine Art Zeitdilatation im Gravitationsfeld. Der
Astronaut in seinem Labor stellt nämlich fest, dass eine Uhr, die er weiter oben in der Rakete montiert hat,
schneller geht als eine Uhr weiter unten. Außerdem beobachtet er eine Art Doppler-Effekt bei Strahlungsquellen, die sich ober- bzw. unterhalb von ihm befinden.
f
und beobWie kommt das? Nehmen wir an, der Astronaut befindet sich in der Mitte der Rakete bei ›
achtet von dort aus eine Uhr, die an der Spitze der Rakete bei ›
Eigenzeit-Abständen
õ
õ z in regelmäßigen
›
Zwischen
dem
Eigenzeit-Intervall
bei
und
dem entsprechenden
ª ein Lichtsignal aussendet.
ª
z
õ
Koordinatenzeit-Intervall ) besteht der Zusammenhang
õ
õ
õ ñ
õ ) 2
(13.55)
2 j „3‚z 5 ‹) & B
‚z 5 ª
Auch hier haben wir wieder Terme der Ordnung 2»‚0z 5 & und höher vernachlässigt, da sich alles innerhalb
der Rakete abspielen soll.
õ Á
õ
) 2 ‚0z 5 ª
Die Uhr bei ›
z sendet also regelmäßige Zeitsignale in einem Koordinatenabstand
õ
aus, behauptet aber, dass zwischen zwei solchen Signalen die physikalische Zeit ª vergangen ist. Jedes
è
Signal läuft nun entlang einer lichtartigen Geodäte zum Beobachter bei ›
. Wie diese Kurve in der
5
Koordinaten 2 ) œ› genau aussieht,
õ ist unerheblich. Wichtig ist nur, dass die Zeitsignale beim Beobachter
im selben Koordinatenabstand ) ankommen.
ª &
x
‚ MºM
õ
)‹&
248
Warum ist das so? Weil die Metrik und damit die Geodätengleichung nicht explizit von ) abhängt. Wenn
#
)
)
z
eine lichtartige Geodäte in der ) - › -Ebene bei )
und ›
los läuft und bei )
und ›
ankommt,
õ
&# õ
™
˜
) j ) verschobene Geodäte, die bei ) ) j ) und › z los
dann gibt es eine entsprechende,
um )
õ
Y
) & j ) und ›
läuft und bei )
ankommt. Die Signale kommen beim Beobachter also genau in dem
Koordinatenzeit-Abstand an, in dem die von der Uhr ausgesandt
õ werden.
õ
Der Beobachter sieht die Signale also im Abstand )
2 腂 z 5 ª ankommen. Für ihn ist aber die

Koordinatenzeit ) auch die Eigenzeit, denn für ›
ist ‚
. Er hat daher den Eindruck, dass die
MºM Uhr weiter oben bei ›
z £ um einen Faktor j ‚0z £ zu schnell
geht. Entsprechend sieht er eine
Uhr, die weiter unten bei ›
z÷ö montiert ist, um einen Faktor j ‚0zøö zu langsam gehen. In einem
Gravitationsfeld, oder auch in einem beschleunigten Bezugsystem, gibt es eine Zeitdilatation auch dann,
wenn zwei Uhren relativ zueinander ruhen.
Im Falle eines beschleunigten Bezugsystems gibt es noch eine andere Erklärung für dieses Phänomen.
Es handelt sich um eine Art Doppler-Effekt. Wenn der Beobachter in der Mitte der Rakete die Uhr im
Abstand z weiter oben anschaut, so sieht er sie nicht, wie sie jetzt ist, sondern wie sie vor einer Zeit war,
die das Licht benötigte, um zu ihm zu gelangen. Die Zeit, die das Licht für diese Strecke braucht, ist z . In
dieser Zeit wurde die Rakete aber beschleunigt, und zwar erhöhte sich ihre Geschwindigkeit um ‚z . Der
Beobachter sieht also das Bild einer Uhr, die mit der Geschwindigkeit ‚z auf ihn zu kommt.
Setzen wir das in die Formel (4.89) für den Doppler-Effekt ein, so ergibt sich zwischen der Frequenz
ó eines von der Uhr ausgesandten Signals und der vom Beobachter gemessenen Frequenz ó{ der Zusammenhang
ó { 2
‚0z 5 ó
(13.56)
ù j
‚0z setzten müssen, da ein positives O dort bedeutet,
Man beachte, dass wir in der Formel (4.89) O
dass sich der Beobachter von der Quelle entfernt. Und auch hierõ haben wir natürlich
=¬D
=¬D õ wieder ‚0z ê
) ein, so ergibt sich
„
ª und ó({ „
angenommen. Setzen wir für die jeweiligen Frequenzen
õ
õ ó
wieder der gleiche Zusammenhang zwischen ) und ª .
Die Zeitdilatation in einem beschleunigten Bezugsystem wird also durch eine Art Doppler-Effekt verursacht. Er bewirkt, dass Uhren, die sich weiter oben in der Rakete befinden, scheinbar schneller gehen als
solche, die sich weiter unten befinden, obwohl sie sich relativ zueinander nicht wirklich bewegen. In einem Gravitationsfeld hört sich eine solche Erklärung wieder etwas merkwürdig an. Aber wir erinnern uns,
dass wir uns auch in diesem Fall in einem, gegenüber einem frei fallenden Inertialsystem, beschleunigten
Bezugsystem befinden.
Es gibt also auch einen Doppler-Effekt im Gravitationsfeld. Befindet sich ein Sender in der Höhe ›
z
<
und sendet dort eine Lichtwelle der Frequenz ó aus, so kommt bei ›
eine Lichtwelle der Frequenz ó{
an, wobei zwischen ó und óP{ der Zusammenhang (13.56) besteht. Eine weiter unten im Gravitationsfeld
ruhende Lichtquelle erscheint von oben betrachtet rotverschoben, und eine weiter oben ruhende Lichtquelle erscheint von unten betrachtet blauverschoben.
Dieses Phänomen, die Rot- bzw. Blauverschiebung von elektromagnetischen Wellen im Gravitationsfeld, ist sehr gut geeignet, das Äquivalenzprinzip zu testen. Frequenzen lassen sich zum Beispiel mit Hilfe
des Mößbauer-Effekts4 sehr genau messen. Genau genug, um den durch die Gravitation der Erde hervorgerufenen Effekt wahrzunehmen. Tatsächlich war der Nachweis dieses Phänomens im Jahre 1960 der erste
im Labor durchgeführte Test5 der allgemeinen Relativitätstheorie. Allerdings geschah dies lange nachdem
astronomische Beobachtungen die neue Theorie der Gravitation bereits eindrucksvoll bestätigt hatten.
Auf die Einzelheiten des Versuchs wollen wir hier nicht näher eingehen. Was das Phänomen als solches
betrifft, besteht jedoch eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Gedankenexperiment in Abbildung 13.1. Auch
dort ging es um Photonen, die sich in einem Gravitationsfeld bewegen. Wir hatten daraus einen Widerspruch zwischen einer Maxwell-artigen Gravitationstheorie und der Quantenphysik abgeleitet. Wir wollen
4
5
Siehe Theo Mayer-Kuckuk: Kernphysik, oder jedes andere Lehrbuch der Kernphysik.
Für eine ausführlichere Beschreibung siehe zum Beispiel Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation, Kapitel 38.
249
y
ó
z
z
Milchstraße
andere Galaxie
y {
óð{
(b)
(a)
Abbildung 13.6: Ein Photon verliert beim Aufsteigen im Gravitationsfeld Energie. Das kann entweder
im Wellenbild (a) als Rotverschiebung gedeutet werden, oder im Teilchenbild (b) als eine auf das Photon
einwirkende Scheinkraft.
nun zeigen, dass die Rot- bzw. Blauverschiebung im Gravitationsfeld diesen Widerspruch auf eine sehr
elegante Weise auflöst. Eine auf dem Äquivalenzprinzip beruhende Gravitationstheorie ist daher mit der
Quantenphysik verträglich.
Tatsächlich ist die Auflösung dieses Widerspruchs sehr verblüffend, denn sie beruht gleichzeitig auf der
Welle-Teilchen-Dualität der Quantenphysik. Diese besagt, dass wir ein Photon wahlweise als ein masseloses Teilchen, oder als eine elektromagnetische Welle beschreiben können, wobei die Energie des Teilchens
xú
über y
ó mit der Frequenz der Welle zusammenhängt. Betrachten wir also noch einmal die Bewegung
eines Photons in einem Gravitationsfeld, benutzen nun aber die Wellen-Beschreibung.
Wie in Abbildung 13.6(a) dargestellt, verlässt das Photon einen Sender, der sich auf dem Boden des
Labors befindet, mit der Frequenz óP{ . Dann läuft es eine Strecke z nach oben, wo es von einem Empfänger
absorbiert wird. Es erfährt dabei eine Rotverschiebung, das heißt die Frequenz ó des absorbierten Photons
ist kleiner als ó–{ . Zwischen ó und ó–{ besteht der Zusammenhang (13.56).
Nun können wir den gleichen Vorgang aber auch im Teilchenbild deuten. Dies ist in Abbildung 13.6(b)
xú
dargestellt. Das Photon verlässt den Sender mit einer Energie y {
ó { , erreicht den Empfänger aber mit
Iú
einer Energie y
ó , wobei zwischen beiden der folgende Zusammenhang besteht,
y { 2 j ‚0z 5 y
(13.57)
Das Photon verliert also beim Aufsteigen Energie. Es spürt das Gravitationsfeld sehr wohl, im Gegensatz
zu unserer ursprünglichen Annahme, dass nur massive Teilchen die Gravitation spüren.
Damit löst sich auch der Widerspruch des in Abbildung 13.1 dargestellten Gedankenexperiments auf.
Wenn das Photon beim Aufsteigen Energie verliert, müssen wir das Experiment mit einem Photon der
Energie y|{ statt y im ersten Bild beginnen. Dann kommt das Photon mit der Energie y oben an, wird in
ein massives Teilchen der Masse y verwandelt, dieses fällt herunter, und wird schließlich wieder in
250
ein Photon der Energie y…{ verwandelt. Der Zusammenhang (13.57) zwischen y und yû{ ist derselbe wie
(13.12). Die Energie ist, wie es sein sollte, erhalten.
Dass auch masselose Teilchen das Gravitationsfeld spüren, ergibt sich auch unmittelbar aus der Vorstellung einer gekrümmten Raumzeit. Analog zu unserer Überlegung für massive Teilchen weiter oben
bewegen sich masselose Teilchen auf lichtartigen Geodäten, und ihr 4-Impuls, dessen Zeitkomponente
die Energie ist, wird dabei parallel transportiert. Auch das erklärt, warum ein aufsteigendes Photon Energie verliert, denn genau wie auf ein massives Teilchen wirkt auch auf ein masseloses Teilchen eine Art
Scheinkraft.
Und schließlich gibt es auch eine schlüssige Erklärung dieses Phänomens in Rahmen der Newtonschen
Theorie, wenn wir dort eine
Änderung vornehmen. Offenbar ist die Energie, die das Photon auf dem
õ kleine
yü‚z , wobei wir für y auch yû{ oder irgendeinen Wert dazwischen einsetWeg nach oben verliert, y
zen können, solange wir Terme der Ordnung 2·‚0z 5 & vernachlässigen. Umgekehrt gewinnt ein langsames,
õ
f‚0z .
massives Teilchen beim Fallen die Energie y
Die Ähnlichkeit der beiden Formeln legt nun folgenden Schluss nahe. Es ist gar nicht die Masse des
Teilchens, sondern seine Energie, die für das Gewicht, und damit für die im Gravitationsfeld frei werdende
Energie verantwortlich ist. Für das massive Teilchen ergibt das keinen Widerspruch, denn solange es sich
nur langsam bewegt gilt y
in der üblichen klassischen Näherung.
Auch diese Erkenntnis ist letztlich nicht weiter verwunderlich, wenn wir uns nochmal an eine wichtige
Aussage der speziellen Relativitätstheorie erinnern. In Kapitel 5 hatten wir festgestellt, dass die Trägheit
eines Körpers gar nicht auf seine Masse, sondern auf seine Energie zurückzuführen ist. Wenn nun aber
das Äquivalenzprinzip sagt, Trägheit und Gewicht seien zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens,
dann muss notwendigerweise auch das Gewicht eines Körpers eine Eigenschaft seiner Energie sein, und
nicht seiner Masse.
In einer relativistischen Gravitationstheorie ist Gewicht eine Eigenschaft der Energie, nicht der
Masse.
Dieser Sachverhalt erklärt, warum auch Photonen das Gravitationsfeld spüren, und er wird im nächsten
Kapitel noch eine zentrale Rolle spielen, wenn wir nach der Quellen des Gravitationsfeldes suchen.
Alle Details, die am Anfang widersprüchlich erschienen, fügen sich jetzt in ein einheitliches Bild. Zumindest innerhalb eines räumlich begrenzten Labors ergeben sich keine Widersprüche mehr zwischen
Relativitätstheorie und Quantenphysik auf der einen Seite, und der Gravitationstheorie auf der anderen
Seite. Das beruht natürlich unmittelbar auf dem Äquivalenzprinzip, denn die Physik in einem solchen Labor soll ja letztlich dieselbe sein wie im Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie, dargestellt in
einem beschleunigten Bezugsystem.
Aufgabe 13.14 Man leite die Beziehung (13.57) aus der Bewegungsgleichung (13.6) f ür ein masseloses
Teilchen her. Wie hängt die von einem ruhenden Beobachter gemessenen Energie y mit der Zeitkomponente des 4-Impulses ¼ L zusammen?
Aufgabe 13.15 Es sei ein statisches Gravitationsfeld gegeben, dass heißt eine Raumzeit mit der Metrik
(13.52), wobei 1 nicht von ) abhängt. Welche Beziehung besteht dann zwischen der Frequenz ó eines
Senders und der von einem Empfänger gemessenen Frequenz ó { , wenn sich beide in Ruhe befinden?
Aufgabe 13.16 Welche vergleichbaren Phänomene beobachtet ein Physiker in einem rotierenden Labor,
wie es in Aufgabe 13.10 definiert wurde? Man zeige unter anderem, dass es eine Rot- bzw. Blauverschiebung gibt, wenn sich Sender und Empfänger verschieden weit von der Drehachse entfernt befinden. Ist
es möglich, durch Versuche innerhalb des Labors festzustellen, in welche Richtung es sich dreht? Ist es
möglich, dass zwei Personen A und B in einem rotierenden Labor eine Wand zwischen sich aufstellen, und
zwar so, dass A B sehen kann, B A aber nicht sehen kann?
251
14 Die Einstein-Gleichung
In der allgemeinen Relativitätstheorie sagt der Raum der Materie, wie sie sich zu bewegen hat. Wie das
funktioniert, haben wir in groben Zügen im letzten Kapitel beschrieben. Umgekehrt sagt die Materie dem
Raum, wie es sich zu verbiegen hat. Wie das gemeint ist, wollen wir in diesem Kapitel diskutieren.
Was wir noch immer suchen, ist die Quellengleichung der Gravitation, die ein Beziehung zwischen der
Verteilung der Materie in der Raumzeit auf der einen Seite, und der Metrik auf der anderen Seite herstellt.
Um eine solche Gleichung zu finden, müssen wir zunächst einmal herausfinden, was denn eigentlich genau
die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir haben bereits gesehen, dass es wohl nicht, wie in der Newtonschen Theorie, die Masse ist. Denn Masse ist erstens keine Erhaltungsgröße, und zweitens spüren auch
masselose Teilchen das Gravitationsfeld. Folglich müssten sie auch selbst eines erzeugen.
Vielmehr liegt die Vermutung nahe, dass die Energie die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Da Energie aber kein Skalar ist, müssen wir uns zuerst überlegen, wie wir dann überhaupt deren Verteilung in
der Raumzeit kovariant, also unabhängig vom Bezugsystem beschreiben können. Wenn wir das aber geschafft haben, ist es nicht mehr schwierig, einen Ansatz für eine Feldgleichung zu machen, die genau die
gewünschte Beziehung zwischen der Metrik und der Materie herstellt.
Dichte und Strom
Um zu verstehen, wie in der allgemeinen Relativitätstheorie die Verteilung der Materie im Raum beschrieben wird, ist es ganz nützlich, noch einmal die Definition von Dichte und Strom in der speziellen
Relativitätstheorie zu wiederholen.
Als Beispiel betrachten wir ein System von Punktteilchen, die sich auf Bahnen ý 2 ) 5 durch den Raum
bewegen. Der Index þ nummeriert die Teilchen, und ) sei die Zeitkoordinate in einem ausgewählten Inertialsystem. Die räumlichen Koordinaten bezeichnen wir mit 2 4 š6œ› 5 und fassen sie zu einem Ortsvektor aA
AA
zusammen. Wie üblich verwenden wir R K für räumliche Indizes und Q ÃÿS
für Raumzeit-Indizes.
Für ein solches System können wir eine Teilchendichte 02 ) 5 und einen Teilchenstrom N%2 ) 5
einführen,
@ Eý 55
N 2 ) 5 + O ý N 2 ) 5 @ 2 Ÿý 2 ) 5_5 (14.1)
(2 ) o5 +
2
2) D
ý
ý
' gý N ') die Geschwindigkeiten der Teilchen. Die Teilchendichte ist also ein skalares
Hier sind O ý N 2 ) 5
Feld, und der Teilchenstrom ein Vektorfeld auf dem dreidimensionalen Raum, und beide hängen zusätzlich
von von der Zeit ab.
Die Teilchendichte (2 ) o5 gibt an, wieviele Teilchen sich zu einem Zeitpunkt ) am Ort aufhalten. Wenn
wir die Teilchendichte zu einem Zeitpunkt ) G über ein Volumen integrieren, erhalten wir die Gesamtzahl
2 ) G 5 der darin enthaltenen Teilchen,
<X 4
X 4
@ ' ' š ' › 02 ) G o5 + ý
' ' š ' › 2 E ý 2 ) G 5_5
2 ) G 5
(14.2)
Das Integral ist genau dann gleich Eins, wenn sich das Teilchen þ zur Zeit ) G im Volumen aufhält.
Der Teilchenstrom
N‹2 ) o5 gibt an, wieviele Teilchen sich zur Zeit ) am Ort gerade in Richtung des

Basisvektors bewegen, oder genauer durch eine dazu senkrechte Fläche. Betrachten wir zum Beispiel

Až
žN
4
eine Fläche ç , die sich in der Ebene 4
G befindet und von den Einheitsvektoren ç und aufgespannt
wird. Dann können wir fragen, wieviele Teilchen in einem Zeitintervall durch diese Fläche hindurchÅ
strömen.
 æ Dabei zählen wir ein Teilchen positiv, wenn es die Fläche in Richtung des Normalenvektors
þ
passiert, und negativ, wenn es in die Gegenrichtung passiert.
252
ž
Die Gesamtzahl 2  ç 5 der im Zeitintervall durch die Fläche
Å
Å
als ein Integral über die æ -Komponente des Teilchenstromes gegeben,
ž YX
X
') ' š ' ›
2Å ç 5
æ
çž
strömenden Teilchen ist dann
2 ) 5 æ / æ (14.3)
Wir wollen kurz zeigen, dass dies tatsächlich aus (14.1) folgt. Eingesetzt ergibt sich
' 4$ý @ Ÿ ý _5 5
ž X
X
') ' š ' ›
2
2 ) æ / æ 2Å ç 5 + ý
' )
(14.4)
wobei 4$ý 2 ) 5 die 4 -Koordinate der Bahnkurve Ÿý 2 ) 5 bezeichnet. Um das Integral auszurechnen, führen wir
4
zusätzlich eine Integration über 4 ein und setzen mit einer Deltafunktion 4
G,
çž5 X
X 4 X
' 4$ý @ 4 4 5 @ E ý 55 +ý
') '
' š ' ›
2
G 2
2)
2Å ' )
(14.5)
Die zweite, dreidimensionale Deltafunktion ist nur dann von Null verscheiden, wenn unter anderem 4
4$ý 2 ) 5 ist. Also können wir im Argument der ersten Deltafunktion 4 46ý 2 ) 5 setzen, und diese dann aus
dem Integral über 4 heraus ziehen,
@ çž5 X
' $4 ý @ $4 ý 5 4 5 X 4 X
'
' š ' › 2 E ý 2 ) 55
+ý
'S)
2 2)
G
2Å ')
(14.6)
Das Integral über ) liefert genau an den Stellen innerhalb des Zeitintervalls einen Beitrag, an denen
4$ý 2 ) 5 4 G ist, das heißt immer dann, wenn das Teilchen þ die Ebene 4 4 Å G passiert. Nehmen wir an,
) , mit ©6ý , wobei 9ý irgendeine Indexmenge ist, die auch leer sein kann, wenn
dass geschehe für )
das Teilchen die Koordinatenebene im Zeitintervall gar nicht passiert. Dann ist
ž 2Å ç 5 + ý
+
X
Å
X
@ ' 4 ' š ' › 2 ý 2 ) 5_5
(14.7)
•‘ Das Vorzeichen die
æ
des jeweiligen Beitrags hängt davon ab, in welche Richtung das Teilchen
Ebene passiert. Es ist j , wenn das Teilchen þ zum Zeitpunkt ) die Ebene
…
 æ in Richtung passiert,
und , wenn das Teilchen þ zum Zeitpunkt ) die Ebene in Richtung
passiert.
ý
5
Das verbleibende Integral in (14.7) ist offenbar genau dann gleich Eins, wenn der Punkt
4
ç ž 2 ) , also der
4
G , innerhalb
Schnittpunkt der Bahn des Teilchens þ mit der Ebene
der Fläche
liegt. Also zählt
ž
çž
2 Å ç 5 die Teilchen, die im Zeitintervall Å durch
die
Fläche
strömen.
žæ
š š G von den Vektoren
Až Dasselbe
 æ gilt natürlich auch für eine Fläche , die in der
Koordinatenebene
ç
und
aufgespannt wird und einen Normalenvektor þ
besitzt. Die Anzahl der Teilchen, die

žæ
die Fläche
in einem Zeitintervall passieren, ist als Integral über die ç -Komponente des Stromes
Å
gegeben,
ž
2Å ž æ 5 YX
X
') ' › ' 4
ç
2 ) o5 ç / ç (14.8)
Und die -Komponente des Stromes gibt schließlich an, wieviele TeilchenŸžin einem Zeitintervall durch
Å
› G strömen, deren Normalenvektor þ
eine Fläche æœç in der Ebene ›
ist,
YX
X
') ' 4 ' š
2 Å æœç 5
253
ž
2 ) 5 ž / ž (14.9)
Aufgabe 14.1 Das können wir offenbar verallgemeinern, denn wir müssen uns nicht auf Flächen be
schränken, die in den Koordinatenebenen liegen. Es sei
irgendeine, nicht notwendigerweise ebene
Fläche im Raum. Auf der Fläche führen wir Koordinaten 2 q O 5 ein, das heißt sie wird durch eine Abbildung 2 q O 5 ˜™ dargestellt, die jedem Paar 2 q O 5 b einen
b Punkt im Raum zuordnet.
Man zeige zunächst, dass durch
b b v
H
5
' ó N2
F wN v q
O
' q ' O
(14.10)
ein “Flächenelement”, also ein Integrationsmaß auf definiert wird, mit dem man Vektorfelder
über die Fläche integrieren kann. Mit anderen Worten, das Integral
X
' ó N 2 5 N 2 o5
(14.11)
ist von der Wahl der Koordinaten 2 q O 5 auf der Fläche unabhängig.
Anschließend zeige man, dass sich die Anzahl der Teilchen, die in einem Zeitintervall
passieren, aus dem folgenden Integral ergibt,
Das heißt, '
element ' ó
¾N‹2 5
YX
X
'S) ' ó N 2 5 N 2 ) 5
2Å 5
ó N 2 o5 N%2 ) o5 ist die Anzahl der Teilchen pro Zeit, die sich zum Zeitpunkt )
o5
N 2 bewegen.
Å
die Fl äche
(14.12)
durch das Fl ächen-
Fluss
Bis jetzt bezieht sich das alles auf ein festgelegtes Inertialsystem, denn nur so können wir von einem Volumen oder einer Fläche im Raum sprechen. Teilchendichte und Teilchenstrom sind vom Bezugsystem
abhängig. Stellen wir uns einen gleichmäßig mit Teilchen gefüllten Raum vor, die sich alle in Ruhe befinden. Dann befinden sich in einem Volumen eine bestimmte Menge Teilchen, und sie verbleiben für
alle Zeit in diesem Volumen. Die Teilchendichte ist in Raum und Zeit konstant, und der Teilchenstrom
verschwindet.
Jetzt betrachten wir dieselben Teilchen aus der Sicht eines relativ dazu bewegten Beobachters. Für ihn
erscheinen die Abstände zwischen den Teilchen in Bewegungsrichtung verkürzt, das heißt für ihn nehmen
die gleichen Teilchen ein kleines Volumen ein. Außerdem misst er natürlich einen Teilchenstrom, den der
erste Beobachter nicht sieht. Wir schließen daraus, dass sich Teilchendichte und Teilchenstrom irgendwie
ineinander transformieren, wenn wir von einem Bezugsystem zum anderen übergehen.
Wir wissen natürlich auch schon aus früheren Überlegungen, wie sie das tun. Sie bilden gemeinsam ein
die Teilchendichte, und dessen räum4-Vektorfeld L auf der Raumzeit, dessen Zeitkomponente N
licher Anteil N der Teilchenstrom ist. Auch das können wir leicht zeigen. Wir beschreiben die Teilchen
jetzt durch ihre Weltlinien ý 2 Z 5 , wobei Z irgendein Kurvenparameter ist. Dann setzen wir
@ L 2! 5 + ý X '$Z a \ ý L 2 Z 5 !2
ý 2 Z 55 (14.13)
Der Punkt bezeichnet jetzt die Ableitung nach dem Kurvenparameter Z . Um zu zeigen, dass dies dasselbe
ist wie (14.1), zerlegen wir die Weltlinien ý 2 Z 5h˜™
2 ) ý 2 Z 5 2 Z 55 , und schreiben die vierdimensionale
Deltafunktion als Produkt einer eindimensionalen und einer dreidimensionalen Deltafunktion,
L 2 ) 5 + ý X '[Z a \ ý L 2 Z 5 @ 2 ) ) ý 2 Z 5_5 @ 2 E ý 2 Z 5_5 254
(14.14)
)
)
M
"
4
æ
æœç ž
"
ç ž Milchstraße
M
andere
Galaxie
4
(a)
(b)
æœç ž
Abbildung 14.1: Die raumartige Hyperfläche #
in (a) repräsentiert ein Volumen $ im Raum zu einem
die Hyperfläche schneiZeitpunkt Ô G . Die darin enthaltenen ž Teilchen sind genau die, deren Weltlinien
ç in (b) repräsentiert eine Fläche % ç ž und ein Zeitintervall & . Die in
den. Die zeitartige Hyperfläche #
M
diesem Zeitintervall durch die Fläche strömenden Teilchen sind wieder genau die, deren Weltlinien die
Hyperfläche schneiden.
Außerdem machen wir von der Freiheit Gebrauch, den Kurvenparameter Z zu wählen. Wir wählen ihn so,
Z ist, das heißt wir wählen als Parameter die Zeitkoordinate im ausgewählten Inertialsystem.
dass ) ý 2 Z 5
Dann ist
@ @ @ L 2 ) 5 + X '[Z g\ ý L 2 Z 5 2 ) Z 5 2 ý 2 Z 55 + g\ ý L 2 ) 5 2 Eý 2 ) 55
(14.15)
ý
ý
Setzen wir Q ™ ) bzw. Q ™ R , so ergeben sich daraus die Ausdrücke (14.1) für die Teilchendichte und den
Teilchenstrom.
Aus (14.13) entnehmen wir außerdem, dass L$2' 5 ein 4-Vektor ist, das heißt wir müssen das Transformationsverhalten gar nicht weiter untersuchen. Dichte und Strom transformieren sich beim Übergang von
einem Inertialsystem zum anderen genau wie die Raum- und Zeitkomponenten jedes anderen 4-Vektors.
Um die Bezeichnungen im folgenden ein wenig zu vereinheitlichen, nennen wir das Vektorfeld L auf
der Raumzeit den Teilchenfluss. Ein Fluss ist stets ein Vektorfeld auf der Raumzeit, dessen Zeitkomponente
eine Dichte, und dessen räumliche Komponenten einen Strom im jeweiligen Bezugsystem definieren. Der
Fluss als solches existiert aber unabhängig vom Bezugsystem.
Damit wir eine anschauliche Vorstellung davon bekommen, wie der Teilchenfluss die Verteilung und
die Bewegung der Teilchen in der Raumzeit unabhängig vom Bezugsystem beschreibt, betrachten wir die
Raumzeit-Diagramme in Abbildung 14.1. Dort ist jeweils die Raumzeit dreidimensional dargestellt, das
heißt die nach hinten weisende Achse repräsentiert sowohl die š - als auch die › -Richtung des Raumes.
Nun erinnern wir uns an die Definition der Teilchendichte. Die Frage lautete, wieviele Teilchen befinden
sich zu einer bestimmten Zeit ) G in einem Volumen ? In der Raumzeit wird ein Volumen zu einer Zeit
) G durch eine raumartige Hyperfläche in der Hyperebene
)
) G dargestellt. Eine solche Hyperfläche istž
" æœç ž
in Abbildung 14.1(a) eingezeichnet. Wir nennen sie
, weil sie von den Basisvektoren Îæ , Îç und Î
255
aufgespannt wird.
Um die Anzahl der Teilchen zu bestimmen, die sich zur Zeit ) G in dem Volumen befinden, müssen
ž
"
wir offenbar die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche æœç zählen. Wennž wir der Hyperfläche
æ ç ¢
einen Normalenvektor þ zuordnen, mit den Komponenten þ
,þ
, dann können
þ
þ
ž L
M
"
wir die Anzahl 2 æœç 5 der Teilchen, deren Weltlinien die Hyperfläche schneiden, offenbar wie folgt
schrieben
ž YX 4
"
YX 4
*
' ' š ' › þ L 2! 5
' ' š ' › M 2 ) o5 / (14.16)
2 æœç 5
2 ) G 5
()
L
M M
Da M die Teilchendichte ist, ist das natürlich dasselbe wie (14.2).
Für den Teilchenstrom gilt etwas ganz ähnliches. Hier lautete die Frage, wieviele Teilchen strömen
çž
in einem Zeitintervall durch eine Fläche . Betrachten wir zunächst wieder eine Fläche
in der
ž
Å
4 G . In der Raumzeit werden ein Zeitintervall und eine Fläche ç gemeinsam
Koordinatenebene 4
ž
ž
Å
"
durch eine zeitartige Hyperfläche ç dargestellt, die von den Basisvektoren Î , ÎSç und Î aufgespannt
M 4
M
G befindet. Eine solche Hyperfläche ist in Abbildung 14.1(b)
wird, und die sich in der Hyperebene 4
dargestellt.
ž
Um die Zahl der Teilchen zu bestimmen, die im Zeitintervall durch die Fläche ž ç strömen, müssen
Å
"
wir offenbar auch hier wieder die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche ç zählen. Allerdings
M
müssen wir jetzt wieder auf das Vorzeichen der Zählung achten. Ein Teilchen zählt genau dann positiv,
è
wenn seine Weltlinie
die Hyperfläche in Richtung des Normalenvektors þ passiert, wobei jetzt þ æ
L
ç ž ?
und þ
ist. Bei der Definition der Dichte war das unerheblich, denn eine raumartige
þ
þ
M
Hyperfläche wird von allen Weltlinien stets in die gleiche Richtung durchstoßen, nämlich in Richtung
Zukunft.
Wir können die Zählung wieder durch dasselbe Integral über den Fluss ausführen, nämlich
ž X
"
X
X
')S' š ' › þ L L 2! 5
') ' š ' ›
2 Mç 5
()+,
æ
*
ž 2 ) 5 æ / æ
2Å ç 5
(14.17)
ž
Das ist wieder dasselbe wie (14.3), das heißt das Integral über die Hyperfläche ç in der Raumzeit liefert
M
ž
tatsächlich die Anzahl der Teilchen, die die räumliche Fläche ç im Zeitintervall passieren.
Å
Das erklärt anschaulich, warum Dichte und Strom in der speziellen Relativitätstheorie die Komponenten
eines 4-Vektors bilden, den wir Fluss nennen.
"
Eine Dichte ist ein Fluss durch eine raumartige Hyperfläche, ein Strom ist eine Fluss durch
eine zeitartige Hyperfläche in der Raumzeit.
"
Stellen wir uns ganz allgemein eine Hyperfläche
in der Raumzeit vor, die zunächst der Einfachheit
halber eben sein soll. Wir können ihr dann einen konstanten Normalenvektor - zuordnen. Nehmen wir
an, dieser Normalenvektor sei zeitartig. Dann gibt es ein Inertialsystem, in dem er proportional Î ist, das
M
heißt er zeigt in Richtung der Zeitachse.
"
In diesem Inertialsystem repräsentiert die Hyperfläche
ein Volumen im Raum zu einer bestimmten
Zeit. Der Fluss, integriert über die Hyperfläche, ist demnach die Anzahl der Teilchen, die sich in dem
Volumen befinden. Die Komponente þ
L L des Flusses in Richtung eines zeitartigen Normalenvektors
repräsentiert demnach eine Dichte in einem räumlichen Volumen.
Wenn - dagegen ein raumartiger Vektor ist, dann gibt es ein Inertialsystem, in dem er in die Richtung
der 4 -Achse zeigt. In diesem Fall repräsentiert die Hyperfläche eine Fläche im Raum, die sich in einer
4 G befindet, sowie ein Zeitintervall. Der Fluss, integriert über die Hyperfläche, ergibt die
Ebene 4
Anzahl der Teilchen, die die Fläche in dem Zeitintervall passieren. Die Komponente þ
L L des Flusses in
Richtung eines raumartigen Normalenvektors repräsentiert also den Strom durch eine Fläche.
256
Auch das können wir noch verallgemeinern, um schließlich eine völlig vom Bezugsystem unabhängi"
ge Vorstellung von einem Fluss in der Raumzeit zu bekommen. Es sei
irgendeine glatte, aber nicht
notwendigerweise ebene Hyperfläche in der der Raumzeit. Wir beschrieben sie durch eine Abbildung
, das heißt wir ordnen jedem Punkt auf der Hyperfläche drei Koordinaten 2 q O /. 5 zu.
2 q O /. 5 ˜™
b b b
Ferner definieren wir ein Integrationsmaß analog zu (14.10),
b b bÉ
` d
5
' ó L '2
' q ' O '
F aL `d É
q O .
.
(14.18)
Auch hier kann man leicht zeigen, dass das Integrationsmaß unabhängig von der Wahl der Koordinaten
2 q O /. 5 ist, solange deren Orientierung erhalten bleibt. Wir können dann den Fluss L über die Hyperfläche integrieren. Das Ergebnis,
"
YX
' ó L 2! 5 L 2! 5 2 5
(
(14.19)
ist die Anzahl der Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche.
Aufgabe 14.2 Der Beweis kann völlig analog zu dem in Aufgabe 14.1 geführt werden, nur dass der Raum
jetzt gewissermaßen eine Dimension mehr hat, und statt der Integration über die Zeit ) tritt eine zusätzliche
Integration über den Kurvenparameter Z auf.
Die Zählung der Schnittpunkte erfolgt so, dass ein Teilchen
b b b
Schnittpunkt der Weltlinie ý 2 Z 5 mit der Hyperfläche
þ
genau dann positiv beiträgt, wenn am
b b b
' a ý L ` d É
£
F gL `d É
q O .
'$Z
(14.20)
ist. Die Hyperfläche bekommt also durch die Reihenfolge der Koordinaten 2 q O 0. 5 eine Orientierung,
und diese bestimmt, in welche Richtung wir den Fluss messen.
Über die Hyperfläche selbst müssen wir an dieser Stelle gar keine Annahmen mehr machen, außer
dass sie hinreichend glatt ist. Sie muss noch nicht einmal überall raumartig oder überall zeitartig sein.
Allerdings hat das Integral (14.19) nur dann, wenn einer dieser beiden Spezialfälle vorliegt, die übliche
Bedeutung einer Teilchenzahl in einem Volumen bzw. eines Stromes durch eine Fläche.
Aufgabe 14.3 Welche besondere Situation liegt vor, wenn der Ausdruck (14.20) Null ist? Ist das Integral
(14.19) dann noch wohldefiniert?
Aufgabež 14.4 Wie müssen wir die Koordinaten 2 q O /. 5 wählen, damit sich für die Hyperflächen
"
bzw. ç in Abbildung 14.1 die Integrale (14.16) bzw. (14.17) ergeben?
"
æœç ž
M
Energie und Impuls
Jetzt wollen wir uns der Frage zuwenden, was denn nun die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir vermuten, dass es sich um einen Fluss handelt, der in irgendeiner Weise die Verteilung der Materie im Raum
und ihre Bewegung durch die Raumzeit beschriebt. So ist es jedenfalls in der Elektrodynamik, wo auf der
rechten Seite der Quellengleichung, also der inhomogenen Maxwell-Gleichung, der elektrische Fluss K L
steht.
Bisher haben wir nur den Teilchenfluss eingeführt, aber wir können alles, was wir bisher über Dichten,
Ströme und Flüsse gesagt haben, sehr leicht verallgemeinern. Um den elektrischen Fluss für ein System
von Punktteilchen zu definieren, müssen wir in der Summe (14.13) einfach nur alle Teilchen mit ihrer
jeweiligen elektrischen Ladung J ý gewichten, also
X
@ '[Z a \ ý L 2 Z 5 J ý !2
K L 2' 5 + ý
257
ý 2 Z 55 (14.21)
"
Wenn wir diesen Fluss über eine Hyperfläche in der Raumzeit integrieren, so ergibt sich die Gesamtla"
dung 1 2 5 , die durch diese Hyperfläche hindurchfließt,
1
"
<X
' ó L 2! 5 K L 2' 5
2 5
(
(14.22)
"
Wenn eine ebene, raumartige Hyperfläche ist, so repräsentiert sie in einem geeignet gewählten Inertial"
5
1 2 ) G ist die Ladungsmenge, die sich darin
system ein Volumen zu einem Zeitpunkt ) G , und 1 2 5
befindet. Die Zeitkomponente
@ K M 2 ) H5 + J ý 2 Eý 2 ) 55
(14.23)
ý
"
hat deshalb die Bedeutung einer Ladungsdichte im Raum. Umgekehrt, wenn
eine ebene, zeitartige
Hyperfläche ist, dann repräsentiert sie eine Fläche und ein Zeitintervall in einem geeignet gewählten
Å
"
5
1 2
Inertialsystem, und 1 2 5
Å ist die im Zeitintervall Å insgesamt durch die Fläche strömende
Ladung. Die räumlichen Komponenten
@ K N 2 ) o5 + ý J ý O ý N 2 ) 5 2 E ý 2 ) 55
(14.24)
bilden daher die Komponenten des elektrischen Stromes im Raum. Soweit ist das natürlich nichts neues.
Wir können auch andere Dichten und Ströme definieren, so zum Beispiel den Massenstrom, indem wir
einfach die Ladung J ý der Teilchen durch deren Massen ý ersetzen. Ganz allgemein können wir jede
Art von Ladung für J ý einsetzen, und erhalten so eine zugeordnete Dichte, die die Verteilung der Ladung
im Raum beschreibt, sowie einen zugeordneten Strom, der deren Bewegung beschriebt. Beide können wir
dann zu einem Fluss in der Raumzeit zusammenfassen.
Es stellt sich also die Frage, welche verallgemeinerte Ladung wir einsetzen müssen, um die Quelle
des Gravitationsfeldes zu bekommen. Im letzten Kapitel haben wir bereits gesehen, dass es wohl nicht die
Masse ist, denn auch masselose Teilchen spüren das Gravitationsfeld. Wir sind statt dessen zu dem Schluss
gekommen, dass es wahrscheinlich die Energie ist, deren Anwesenheit ein Gravitationsfeld entstehen lässt.
Also sollten wir für die Ladung J ý die Energie y ý des Teilchens einsetzen. Dass die Energie eines
Teilchens im allgemeinen von der Zeit abhängt, also keine konstante Ladung ist, ist zunächst kein Problem.
Analog zu (14.23) können wir die Energiedichte wie folgt definieren,
2
@ 2 ) 5 + ý y ý 2 ) 5 2 E ý 2 ) _5 5 (14.25)
wobei wir für y ý 2 ) 5 einfach die Energie des Teilchens þ zur Zeit ) einsetzen. Wenn wir diese Energiedichte
über ein Volumen zu einer Zeit ) G integrieren, erhalten wir die gesamte darin enthaltene Energie,
X 4
' ' š ' › 2 2 ) G o5
y 2 ) G 5
(14.26)
Entsprechend können wir den Energiestrom definieren,
@ N 2 ) o 5 + ý y ý 2 ) 5 O ý N 2 ) 5 2 E ý 2 ) 55
Er gibt an, wieviel Energie in einem Zeitintervall durch eine Fläche im Raum strömt,
Å
X
X
'S) ' ó N 2 5 N 2 ) 5
y 2Å 5
258
(14.27)
(14.28)
Dass dies tatsächlich die im Zeitintervall durch die Fläche strömende Energie ist, zeigt man genau
Å
wie in Aufgabe 14.1. Der einzige Unterschied ist, dass die Teilchen bei der Zählung jetzt jeweils mit ihrer
Energie gewichtet werden, und zwar mit der Energie zu dem Zeitpunkt, in dem sie die Fläche passieren.
Nun liegt die Vermutung nahe, dass wir die Energiedichte und den Energiestrom wieder zu einem Energiefluss zusammenfassen können, und dass dies vielleicht die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Dabei
geht jedoch etwas schief. Energie ist nämlich kein Skalar, sondern die Zeitkomponente eines Vektors, des
4-Impulses.
Würden wir einfach 2 2 ) H5 und ¬N‹2 ) H5 zu einem Objekt ¬L2! 5 zusammenfassen, und das Resultat wieder in der üblichen Form aufschreiben,
X
@ L 2! 5 + ý
'[Z a \ ý L 2 Z 5 y ý 2 Z 5 !2
ý 2 Z _5 5 (14.29)
so wäre dies kein Vektorfeld auf der Raumzeit. Denn welchen Wert wir für die Energie y ý 2 Z 5 des Teilchens
einzusetzen haben, hängt noch immer vom Bezugsystem ab. Das Objekt (14.29) transformiert sich deshalb
nicht wie ein Raumzeit-Vektor beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen. Also kann es auch
nicht die Quelle des Gravitationsfeldes sein, wenn die Quellengleichung eine Tensorgleichung sein soll.
Wir stehen also vor folgendem Dilemma. Einerseits sind wir bei der Suche nach einer relativistischen
Gravitationstheorie zu dem Schluss gelangt, dass die Energie die Quelle des Gravitationsfeldes ist. Nur so
konnten wir erklären, warum auch masselose Teilchen an dieser Wechselwirkung teilnehmen. Andererseits
ist Energie kein Skalar. Sie kann in einer Tensorgleichung nur gemeinsam mit dem Impuls auftreten.
Was schließen wir daraus? Wenn es eine Gravitationstheorie gibt, die dem Relativitätsprinzip genügt,
und wenn die Anwesenheit von Energie ein Gravitationsfeld entstehen lässt, dann muss es wohl so sein,
dass auch die Anwesenheit von Impuls ein Gravitationsfeld entstehen lässt. Energie und Impuls bilden
gemeinsam die Quelle des Gravitationsfeldes.
Die Quelle des Gravitationsfeldes ist der 4-Impuls.
Wir müssen also, um die Quelle des Gravitationsfeldes relativistisch zu beschreiben, neben der Energie=
dichte 2 2 ) 5 erst noch eine Impulsdichte N‹2 ) H5 einführen. Sie gibt an, wieviel Impuls sich in einem
räumlichen Volumen befindet. Dazu gewichten wir die Teilchen einfach mit ihrem jeweiligen Impuls
=
@ N 2 ) 5 + ý ¼ ý N 2 ) 5 2 E ý 2 ) 55
(14.30)
Dies ist ein räumliches Vektorfeld, aber der Vektorindex hat jetzt nicht die Bedeutung des Vektorindex
eines Stromes. Es handelt sich gewissermaßen um drei unabhängige Dichten, nämlich die der drei Impulskomponenten. Wenn wir sie über ein Volumen integrieren,
3
YX 4
=
N 2 ) G 5
' ' š ' › N 2 ) G 5 (14.31)
dann ergibt sich der in zur Zeit ) G in insgesamt enthaltene Impuls. Wenn zum Beispiel einen Körper
3
umfasst, der aus vielen Teilchen besteht, dann ist N 2 ) G 5 einfach der übliche Gesamtimpuls dieses
Körpers zur Zeit ) G .
Der Vektorindex des Energiestromes ÁN hat also eine völlig andere Bedeutung als der Vektorindex der
=
Impulsdichte N . Im ersten Fall markiert er gewissermaßen die Lage einer Fläche im Raum, das heißt
er gibt an, in welche Richtung die Energie als verallgemeinerte Ladung strömt. Im zweiten Falle ist die
verallgemeinerte Ladung, nämlich der Impuls, selbst ein Vektor, und deshalb ist eben auch seine Dichte
ein Vektor.
259
Trotzdem besteht ein bemerkenswerter Zusammenhang zwischen Impulsdichte und Energiestrom. Es
gilt nämlich für relativistische Teilchen der Zusammenhang (5.77), das heißt zwischen der Geschwindigkeit, der Energie und dem Impuls besteht die Beziehung
¼ ýN y ý O ýN
(14.32)
Daraus hatten wir unter anderem den Schluss gezogen, dass Trägheit eine Eigenschaft der Energie ist und
nicht der Masse, und dass demzufolge auch das Gewicht eine Eigenschaft der Energie ist. Und wenn wir
jetzt die Definition (14.27) und (14.30) betrachten, dann stellen wir fest, dass Energiestrom und Impulsdichte gleich sind,
o5 †= N 2 ) o5 N 2 ) (14.33)
Wir können auch sagen, dass Impuls dasselbe ist wie strömende Energie. Allerdings gilt das nur, wenn wir
für y ý tatsächlich die relativistische Energie eines Teilchens einsetzen, das heißt dem Energiestrom muss
genau diese Definition der Energie zu Grunde liegen.
Aufgabe 14.5 Man zeige, dass in der klassischen Mechanik die Impulsdichte gleich dem Massenstrom ist.
Nun haben wir also die Impulsdichte eingeführt, weil wir offenbar nur so einen Raumzeit-Tensor bilden
können, der die Energiedichte als eine Komponente enthält. Aber andererseits können wir aus einer Dichte keinen Raumzeit-Tensor bilden, wenn wir nicht auch den zugeordneten Strom mit einbeziehen. Wir
müssen also auch noch einen Impulsstrom einführen.
Dazu gehen wir wieder von (14.27) aus, und ersetzen die Energien y ý durch die Impulse ¼ ý N der Teilchen. Nun steht aber unter der Summe bereits ein Vektorindex, denn ein Strom ist ja immer ein Vektorfeld
im Raum. Der Impulsstrom ist deshalb kein Vektorfeld im Raum, sondern ein Tensor zweiter Stufe,
@ N v 2 ) 5 + ý O ý N 2 ) 5 ¼ ý v 2 ) 5 2 Ÿ ý 2 ) 5_5
(14.34)
Der erste Index dieses Tensors ist der übliche Strom-Index, der zweite Index gibt an, welche Komponente
des Impulses wir betrachten. Auch hier können wir wieder eine Fläche und ein Zeitintervall vorgeben
Å
und den Strom über das Zeitintervall und die Fläche integrieren. Das Ergebnis,
3
v 2 Å 5 X ') X ' ó N 2 5 wN v 2 ) 5 (14.35)
ist der Impuls, der insgesamt im Zeitintervall durch die Fläche strömt. Das ist natürlich wieder ein
Å
räumlicher Vektor, und deshalb trägt der Impulsstrom Nwv zwei Indizes.
Trotz der Tatsache, dass die beiden Indizes ganz unterschiedliche Bedeutungen haben, gibt es wieder
eine Beziehung zwischen ihnen. Der Tensor Nwv ist nämlich symmetrisch, weil Impuls und Geschwindigkeit
zueinander proportional sind,
Nwv v N
(14.36)
O ý 5N 4 ¼ ý N B
O ýN ¼ ýv O ýv ¼ ýN B



Es strömt also  genau so viel -Impuls durch eine Fläche in -Richtung, wie gleichzeitig -Impuls durch
N
v
v
eine Fläche in -Richtung strömt. Das folgt aus der Tatsache, dass die Richtung des Impulsvektors gleichN
zeitig die Richtung ist, in der dieser Impuls strömt.
Der Impulsstrom Nwv trägt auch den Namen Spannungstensor und ist als solcher aus einem ganz anderen
Bereich der Physik bekannt, nämlich aus der Hydrodynamik. In einer Flüssigkeit beschreibt er die Druckund Scherkräfte. Wir werden später noch etwas genauer auf diesen Zusammenhang eingehen. An dieser
Stelle wollen wir nur kurz aufzeigen, warum dieser Tensor etwas mit Kräften zu tun hat, die zwischen den
Teilchen wirken.
260
)
)
Å M
Å MºM
"
æœç ž
"
4
æ
Milchstraße
andere Galaxie
æœç ž
4
(a)
(b)
æœç ž
Abbildung 14.2: Eine raumartige Hyperfläche #
repräsentiert ein Volumen im Raum zu einer bestimm-æ
ten Zeit. Die Energiedichte & MºM gibt an, wieviel Energie sich darin befindet (a), und die × -Impulsdichte & M
bestimmt, wieviel × -Impuls darin befindet (b). Die jeweiligen Komponenten der 4-Impulse der Teilchen,
über die summiert wird, sind durch Pfeile in Ô - bzw. × -Richtung dargestellt.
Stellen wir uns vor, die Fläche trennt zwei räumliche Gebiete voneinander. Was bedeutet es dann,
dass Impuls durch die Fläche von einem Gebiet ins anderen strömt? Dann nimmt der Gesamtimpuls auf
der einen Seite zu, auf der anderen ab. Jedenfalls solange, wie nicht noch von woanders Impuls hin oder
her strömt. Das ist aber nur eine etwas ungewöhnliche Formulierung dafür, dass die Teilchen auf der einen
Seite der Fläche auf die auf der anderen Seite eine Kraft ausüben. Ein strömender Impuls ist demnach eine
Kraft.
Der Energie-Impuls-Tensor
Jetzt stellt sich die Frage, wie wir die vier Objekte, nämlich Energiedichte, Energiestrom, Impulsdichte
und Impulsstrom, zu einem gemeinsamen Objekt zusammenfassen können. Das ist nicht schwer, denn wie
wir wissen, bilden jeweils Dichte und Strom auf der einen Seite, und Energie und Impuls auf der anderen
Seite einen 4-Vektor.
Es liegt deshalb nahe, dass die vier Objekte gemeinsam ein Tensorfeld zweiter Stufe Lg` auf der RaumÅ
zeit bilden, und zwar so, dass in einem ausgewählten Inertialsystem gilt
Å MºM 2 )
Å N´M 2 )
o5
o5
2
†=
2 ) H 5 N 2 ) H5 o5
Å Mïv 2 ) o 5 Å Nwv 2 ) v 2 ) 5 N v 2 ) H5
(14.37)
Dass dem tatsächlich so ist, können wir leicht verifizieren, indem wir wieder den üblichen Ausdruck
(14.21) für einen Fluss verwenden, und als verallgemeinerte Ladung jetzt den 4-Impuls ¼ ý L der Teilchen
einsetzen. Dann gilt nämlich
5 + X '[Z a ý L 2 Z 5 ¼ ý ` 2 Z 5 @ !2 g
L
`
'
2
\
Å
ý
ý 2 Z 55 (14.38)
Zuerst stellen wir wieder fest, dass auch dieses Integral unabhängig von der Parametrisierung der Weltlinie
ist, obwohl ¼ ý L$2 Z 5 jetzt eine Funktion von Z ist. Aber der Impuls eines Teilchens an einer bestimmten Stelle
261
6
6
?A@
9
6
?B@C@
?B@
8:9<;>=
7
Milchstraße
andere Galaxie
;
8:9<;0=
7
(a)
8:9<;0=
7
(b)
(c)
çž
Abbildung 14.3: Eine zeitartige
Hyperfläche #
æ
M repräsentiert eine Fläche im Raum und ein Zeitintervall.
Der × -Energiestrom & M gibt an, wieviel Energie
æœæ insgesamt in dem Zeitintervall durch die Fläche strömt
(a). Entsprechende gibt æœder
-Impulsstrom
an, wieviel × -Impuls durch die Fläche strömt (b), und
×
×
&
ç
bestimmt, wieviel Ø -Impuls hindurchströmt (c). Auch hier sind die jeweiligen
der × -Ø -Impulsstrom &
Komponenten der 4-Impulse der Teilchen, über die summiert wird, wieder durch entsprechende Pfeile
dargestellt.
der Weltlinie hängt natürlich nicht von der Parametrisierung ab, und deshalb ist auch das Integral noch
immer von der Parametrisierung unabhängig.
Aus der Tatsache, dass sowohl A\ ý L$2 Z 5 als auch ¼ ý `H2 Z 5 4-Vektoren sind, folgt dann unmittelbar, dass
5
Å Lg`2' ein Tensor zweiter Stufe ist. Dann müssen wir nur noch zeigen, dass seine Komponenten in einem
ausgewählten Inertialsystem durch (14.37) gegeben sind. Dazu wählen wir den Kurvenparameter wieder
Z ist, und führen analog zu (14.15) eine Zerlegung der Deltafunktion durch
so, dass ) ý 2 Z 5
H5 + X [' Z aý L 2 Z 5 ¼ ý ` 2 Z 5 @ 2 ) ) ý 2 Z 5_5 @ 2 E ý 2 Z 55
\
Å Lg` 2 ) ý
@ + ý g\ ý L 2 ) 5 ¼ ý ` 2 ) 5 2 Eý 2 ) 55
(14.39)
Daraus ergeben sich unmittelbar die Definitionen (14.25), (14.27), (14.30) und (14.34), wenn wir 2]Q Ãÿ 5 ™
2 ) ) 5 , 2 ) K 5 , 2]R ) 5 bzw. 2·R K 5 einsetzen.
Den Tensor Lg` 2' 5 nennen wir den Energie-Impuls-Spannung-Tensor oder, weil das ziemlich lang ist,
Å
den Energie-Impuls-Tensor. Er beschreibt den Fluss von Energie und Impuls in der Raumzeit und zerfällt
in einem Inertialsystem in die folgenden Zeit- und Raumkomponenten,
D
Energie-ImpulsTensor
E
D
Energiedichte Impulsdichte
Energiestrom Impulsstrom E
(14.40)
Aus der Gleichheit von Energiestrom und Impulsdichte sowie der Symmetrie des Impulsstromes folgt,
dass dieser Tensor ebenfalls symmetrisch ist,
5 `_L 2' 5 g
L
`
'
2
Å
Å
262
(14.41)
Und schließlich, wenn wir ihn als einen Fluss interpretieren und über eine Hyperfläche
ergibt sich der durch diese Hyperfläche hindurchfließende 4-Impuls
` 2 " 5 X ' ó L 2! 5 Å La` 2! 5 (
3
"
integrieren,
(14.42)
Dies ist ein unabhängig von irgendeinem Bezugsystem definierter 4-Vektor. Das Integral zählt die Schnittpunkte der Weltlinien mit der Hyperfläche, und gewichtet sie mit dem jeweiligen 4-Impuls der Teilchen.
Die Bedeutung der einzelnen Komponenten von Lg` ist noch einmal in den Abbildungen 14.2 und 14.3
Å
veranschaulicht.
Aufgabe 14.6 Alle Teilchen bewegen sich relativ zu einem ausgew ählten Inertialsystem langsam im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit. Man zeige, dass dann für die Größenordnungen der einzelnen KompoMºN5F
Nwv .
nenten des Energie-Impuls-Tensors gilt MºMGF
Å
Å
Å
Aufgabe 14.7 Man zeige, dass sich der Energie-Impuls-Tensor f ür ein einzelnes massives Teilchen auch
wie folgt schreiben lässt,
5 X ' ªñ q L 2·ª 5 q ` 2·ª 5 @ !2 2·ª 5 5 Å La` 2!
wobei die Masse, 2·ª 5 eine Eigenzeit-Darstellung der Weltlinie, und q L2·ª 5
(14.43)
die 4-Geschwindigkeit des
Teilchens ist.
Erhaltungssätze
Eine wichtige Eigenschaft von Ladungen ist, dass sie erhalten sind. Jedenfalls gilt das typischerweise für
solche Ladungen, die als Quellen von Feldern auftreten, etwa für die elektrische Ladung. Oder eben für
Energie und Impuls, von denen vermuten, dass sie die Quelle des Gravitationsfeldes sind.
Es sollte bekannt sein, dass die zu einer erhaltenen Ladung gehörenden Dichten und Ströme eine Kontinuitätsgleichung erfüllen. Wir wollen die Herleitung derselben hier kurz wiederholen. Am einfachsten ist
es, dabei gleich auf den Fluss in der Raumzeit zurück zu greifen. Es sei also J ý irgendeine Ladung, die wir
den einzelnen Teilchen zuordnen können, und diese sei erhalten. Ferner sei KL der zugehörige Fluss.
Dann können wir folgende Überlegung anstellen. Wir betrachten einen Hyperwürfel in der Raumzeit,
also einen vierdimensionalen Würfel
JI
H
2 ) 4 š6› 5
)# ö ) ö )&
4 # ö 4 ö 4 &
š # ö š ö š&
› # ö › ö › &LK
(14.44)
der von insgesamt acht Hyperflächen begrenzt wird. Ein solcher Hyperwürfel ist in Abbildung 14.4 dargestellt, wobei wir wieder eine räumliche Dimension unterdrückt haben.
Wenn die Ladung erhalten ist, dann fließt in den Hyperwürfel gleich viel Ladung hinein wie hinaus.
Wenn wir die Ladungen, die durch die acht Seitenhyperflächen fließen, mit den richtigen Vorzeichen addieren, dann sollte sich Null ergeben.
#
) " undž )
) & , also der unteren und
Beginnen wir mit den beiden raumartigen Hyperflächen bei )
der oberen Seitenfläche in Abbildung 14.4. Sie sind jeweils von Typ æœç , und wir können die gesamte
durchfließende Ladung mit Hilfe der Formel (14.22) berechnen, wobei wir die Koordinaten 2 4 š6› 5 auf
der Hyperfläche verwenden. Was uns interessiert ist die Differenz zwischen der oben hinaus fließenden
und der unten hinein fließenden Ladung. Für die bekommen wir
1
ž
"
2 œæ ç ) & 5
1
ž
"
X 4
X 4
' ' š ' › K M 2! 5 /
' ' š ' › K M 2! 5 /
2 œæ ç ) # 5
M OM N
M QM P
(M
(M
263
(14.45)
)
)
Milchstraße
andere Galaxie
4
4
(a)
(b)
Abbildung 14.4: Wenn eine Ladung erhalten ist, dann fließt in einen Hyperwürfel in der Raumzeit gleich
viel Ladung hinein wie hinaus. Das gilt unabhängig davon, ob die Ladung ein Skalar (a) oder ein Vektor
(b) ist. In jedem Fall addieren sich alle Flüsse durch die Seitenhyperflächen des Würfels zu Null.
Für einen Beobachter in unserem ausgewählten Inertialsystem ist das die Differenz zwischen den Ladungen in einem Volumen zu den Zeitpunkten ) und ) # . Offenbar können wir dafür auch schreiben
&
1
ž
"
2 œæ ç ) & 5
1
b
N
M
ž
"
X
X
') ' 4 ' š ' › M K M 2! 5
2 œæ ç ) # 5
(M
QM P
(14.46)
Das ist ein Integral über den ganzen Hyperwürfel, mit dem gewöhnlichen Integrationsmaß im Minkowskib
Raum,
1
ž
"
2 œæ ç ) & 5
1
ž
"
YX
' óÍ2' 5 M K M 2' 5
2 œæ ç ) # 5
R
(14.47)
Die gleiche Rechnung führen wir jetzt für die drei anderen Paare von gegenüberliegenden Hyperflächen
ž
"
4 #
4
durch. Betrachten wir zum Beispiel die vom Typ ç bei 4
und 4
M
& . Die Differenz zwischen der
nach rechts hinaus fließenden und der von links in den Hyperwürfel bhinein fließenden Ladung ist
ž
"
2 Mç 4 & 5
1
æ ž
"
X
' óÍ2! 5 æ K 2' 5
2 Mç 4 # 5
R
1
(14.48)
Dazu müssen wir einfach nochmal dieselbe Rechnung durchführen, nur dass die Koordinate ) durch 4 zuž
"
ersetzen ist und umgekehrt. Schließlich fließt auch noch Ladung durch die Hyperflächen des Typs æ
M
#
"
š und š š & , sowie durch die des Typs M æœç bei › › # und › › & . Die Differenz zwischen den
bei š
jeweiligen hinaus und hinein fließenden Ladungen ist
b
1
ž
"
2 M æ š & 5
1
ç ž
"
X
' óÍ2! 5 ç K 2! 5
2 M æ š # 5
R
264
(14.49)
und
1
2 M æœç œ › & 5
b
"
1
ž ž
X
œ
æ
ç
5
5
' óÍ2'
2 M œ› #
K 2' 5
"
(14.50)
R
Wenn wir das alles addieren, so haben wir gerade argumentiert, muss sich Null ergeben, wenn die Ladung
b
erhalten ist. Es muss also gelten
X
R
Und da das für jeden Hyperwürfel
KHL ,
H
f
' óÍ2! 5 L K L 2' 5
(14.51)
gelten muss,
folgt daraus die Kontinuit ätsgleichung für den Fluss
b
LKL
<S
(14.52)
Soweit ist das natürlich nichts neues. Wir hatten die Kontinuitätsgleichung für den elektrischen Fluss schon
früher verwendet.
Da Energie und Impuls ebenfalls Erhaltungsgrößen sind, sollte eine entsprechende Kontinuitätsgleichung auch für zugeordneten Fluss, also den Energie-Impuls-Tensor La` gelten. Nun erinnern wir uns,
Å
dass die beiden Indizes folgende Bedeutung hatten. Der erste Index ist der Fluss-Index, das heißt er hat
dieselbe Bedeutung wie der Vektorindex des elektrischen Flusses KSL . Der zweite Index nummeriert die
Ladungen durch, also die vier Komponenten des Impulses.
Da alle diese verallgemeinerten Ladungen unabhängig voneinander erhalten sind, sollte auch die Konb haben. Wir vermuten deshalb, dass sie so aussieht,
tinuitätsgleichung vier unabhängige Komponenten
LoÅ Lg`
<
(14.53)
Tatsächlich können wir diese Gleichung genau so herleiten wie eben die Kontinuitätsgleichung für die
elektrische Ladung. Den Index ÿ schleppen wir einfach mit. Es ist ganz egal, ob wir eine skalare oder
eine vektorwertige Ladung betrachten, die durch die Seitenflächen des Würfels in Abbildung 14.4 fließt.
Wichtig ist allein, dass alle Impulse, die in den Würfel hinein fließen, auch wieder hinaus fließen.
Aufgabe 14.8 Man wiederhole die Herleitung der Kontinuitätsgleichung (14.52) wie oben, ersetze jedoch die elektrische Ladung durch den 4-Impuls, und zeige so, dass sich f ür den Energie-Impuls-Tensor
tatsächlich die Kontinuitätsgleichung (14.53) ergibt.
Vielteilchensysteme
Der nächste Schritt besteht darin, von der Vorstellung eines Systems aus einzelnen, lokalisierten Teilchen
zu abstrahieren, und zu einer Beschreibung der Materie als Kontinuum überzugehen. Wenn ein System
aus sehr vielen Teilchen besteht, ist es sinnvoll, die Dichten und Ströme, die in einem solchen System
auftreten, in einer geeigneten Weise zu mitteln.
Eine andere Motivation besteht darin, dass Teilchen in Wirklichkeit ja gar nicht lokalisiert sind, sondern
gemäß der Quantenphysik über einen kleinen Raumbereich verschmiert sind. Solange wir nur makroskopische Phänomene beschreiben wollen, spielt es aber keine Rolle, ob wir unter einer Mittelung im folgenden
den quantenmechanischen, einen statistischen, oder einfach das Bilden eines räumlichen Mittelwerts über
eine gewisse Skala verstehen.
Geeignet mitteln heißt, dass die gemittelten Dichten und Ströme glatte Funktionen von Ort und Zeit
sind, die die Verteilung und die Bewegung der Materie auf einer makroskopischen Skala in sehr guter
Näherung beschreiben. Wie diese Mittelung durchzuführen ist, hängt von der Art der betrachteten Materie
ab. Typische Beispiele für Vielteilchensystem, in denen eine solche Näherung sinnvoll ist, sind Flüssigkeiten oder Festkörper, aus denen Sterne oder Planeten bestehen, oder auch Gas- und Staubwolken, also ganz
allgemein die Objekte, die in der Astrophysik von Interesse sind.
265
)
)
Milchstraße
andere Galaxie
4
4
(a)
(b)
Abbildung 14.5: Wenn alle Teilchen einer Flüssigkeit einem Strömungsfeld S L folgen (a), so herrscht in
der Flüssigkeit kein Druck. Im lokalen Ruhesystem eines Flüssigkeitselementes sind alle Geschwindigkeiten Null, und folglich verschwinden die räumlichen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors. Die
Flüssigkeit ist dann eher ein sehr dünnes Gas oder eine Staubwolke. Führen die Teilchen zusätzlich eine
zufällige Bewegung aus, während das Flüssigkeitselement als ganzes dem Strömungsfeld S L folgt (b),
so herrscht ein nicht verschwindender Druck. Das hier dargestellte Flüssigkeitselement wird beschleunigt und gleichzeitig komprimiert. Die Hyperflächen repräsentieren jeweils das räumliches Volumen des
Flüssigkeitselementes im lokale Ruhesystem.
Der Einfachheit halber sprechen wir im folgenden ganz allgemein von Flüssigkeiten. Ein Festkörper ist
in diesem Sinne eine sehr zähe Flüssigkeit, ein Gas ist eine sehr dünne Flüssigkeit, und eine Staubwolke ist, wie wir gleich sehen werden, ein Gas, dessen Druck gleich Null ist. Alle diese Systemen haben
eine gemeinsame Eigenschaft. Man kann ihnen ein Strömungsfeld T L auf der Raumzeit zuordnen. Das
Strömungsfeld T L 2' 5 ist eine 4-Geschwindigkeit, die angibt, in welche Richtung sich die Flüssigkeit an
einem bestimmten Ereignis gerade bewegt.
Anschaulich können wir uns das Strömungsfeld T L wie folgt vorstellen. Wir betrachten ein Flüssigkeitselement, das aus sehr vielen Teilchen besteht, die ein gewisses Volumen im Raum annähernd homogen
ausfüllen. In der Raumzeit bilden die Weltlinien dieser Teilchen eine Art Schlauch, dargestellt in Abbildung 14.5. Der Schlauch beschreibt die Bewegung des Flüssigkeitselementes als ganzes, und wir können
ihm eine 4-Geschwindigkeit TkL zuordnen. Diese wird im allgemeinen sowohl entlang des Schlauches variieren, als auch von einem Flüssigkeitselement zum nächsten, so dass auf diese Weise ein Vektorfeld auf
der Raumzeit definiert wird.
Das Strömungsfeld T L hängt wie folgt mit der Teilchenfluss L zusammen. Wir definieren zunächst
zu jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem. Das ist dasjenige Inertialsystem, in dem TÈM_2' 5
und
‡
5
TmN 2'
2 ) o5 , dann heißt das, dass die Flüssigkeit in diesem Inertialsyist. Schreiben wir wieder
stem zur Zeit ) am Ort ruht. Ruhen bedeutet, dass die mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen in einem
Flüssigkeitselement zur Zeit ) am Ort Null ist.
Anders ausgedrückt, wenn wir eine beliebig orientierte Fläche an dieser Stelle im Raum aufstellen, dann
266
strömen in beide Richtungen gleich viele Teilchen hindurch. Das ist genau das, was wir uns anschaulich
unter einer ruhenden Flüssigkeit vorstellen. Wenn wir die Fläche, zum Beispiel in Form eine Folie, in die
Flüssigkeit einbringen, dann merkt die Flüssigkeit davon nichts und die Folie bleibt an Ort und Stelle. Es
macht nämlich keinen Unterschied, ob die Teilchen tatsächlich die Folie passieren, oder ob sie nur ihre
Energie und ihren Impuls an die Teilchen auf der anderen Seite durch Stöße an der Folie abgeben. Energie
und Impuls werden also weiterhin durch die Folie transportiert, Teilchen aber nicht.
Das lokale Ruhesystem einer Flüssigkeit an einem Ereignis ist also dadurch definiert, dass der gemit
telte Teilchenstrom U N%2' 5WV an diesem Ereignis verschwindet. Gemittelt soll im folgenden stets heißen,
dass wir über ein geeignet zu wählendes Volumen integrieren und dann durch die Größe des Volumens
teilen. Es gilt also im lokalen Ruhesystem
U
N 2! 5WV
X
' 4 { ' š { ' › { N 2) {5
X
+ý
@ ' 4 { ' š { ' › { O ý N 2 ) 5 2 { E ý 2 ) 55
ý+
<
O ýN
(14.54)
Hier bedeutet þ © , dass wir über alle Teilchen summieren, die sich in einem Volumen in der Umge
2 ) 5 aufhalten. Ein verschwindender mittlerer Teilchenstrom ist also tatsächlich
bung des Ereignisses
gleichbedeutend mit einer verschwindenden mittleren Geschwindigkeit der Teilchen.
Wie genau wir das Volumen wählen, ist unwesentlich, solange die oben gestellten Bedingungen für
ein Flüssigkeitselement erfüllt sind. Es sollen sich im Volumen einerseits sehr viele Teilchen aufhalten,
andererseits sollen die Teilchen das Volumen annähernd homogen ausfüllen. Es ist dann nicht von Belang,
ob wir die wenigen Teilchen am Rand noch mitzählen oder nicht, das heißt die genau Form des Volumens
spielt keine Rolle.
Das lokale Ruhesystem können wir verwenden, um der Flüssigkeit bestimmte gemittelte Größen zuzuordnen, die sich genau auf dieses Bezugsystem beziehen und folglich Skalare sind. Ein Beispiel für einen
solchen Skalar ist die mittlere Teilchendichte im Ruhesystem þ¾2! 5 . Für jedes Ereignis ist þ¾2! 5 als die gemittelte Teilchendichte definiert, die ein lokal mitbewegter Beobachter an diesem Ereignis sieht. Schreiben
wir wieder
2 ) o5 , so gilt im lokalen Ruhesystem
þ 2 ) H5
U
M 2 ) 5WV X
' 4 { ' š { ' › { M 2) {5
2 ) 5 (14.55)
Die mittlere Teilchendichte im Ruhesystem ist also einfach die Anzahl der Teilchen in einem Volumen
geteilt durch die Größe des Volumens. Auch hier ist die Größe und die genau Form des Volumens wieder
unwesentlich, solange es viele Teilchen enthält und diese homogen verteilt sind.
Wie man nun leicht sieht, lassen sich die Beziehungen (14.54) und (14.55), sowie die Definition des
Strömungsfeldes T L wie folgt zusammenfassen. Im lokalen Ruhesystem gilt
U
L 2 ) H5WV
' 4 { ' š { ' › { L 2 ) { 5 þ 2 ) 5
X
T
L 2 ) H5
(14.56)
Nun ist dies aber eine Tensorgleichung, denn þ¾2! 5 ist ein Skalar und TL$2' 5 ist ein 4-Vektor. Also ist auch
der gemittelte Teilchenfluss U LS2! 5WV ein 4-Vektor. Es gilt daher in jedem Bezugsystem
U
L 2' 5WV þ 2' 5
T
L 2! 5 (14.57)
Der mittlere Teilchenfluss ist das Produkt aus der mittleren Teilchendichte im Ruhesystem und ihrer mittleren 4-Geschwindigkeit. Auch das ist natürlich sehr anschaulich. Umgekehrt können wir die mittlere
267
Teilchendichte als die Komponente des mittleren Teilchenflusses in Richtung des Strömungsfeldes ausdrücken,
*
(14.58)
þ 2! 5
T
2' 5 U L 2' 5WV L
5 TmL$2' 5 …
!2
L
denn es ist T
.
Solange wir nur die makroskopischen Eigenschaften einer Flüssigkeit beschreiben wollen, reicht der
mittlere Teilchenfluss völlig aus. Wenn wir zum Beispiel nach der Zahl der Teilchen fragen, die durch
"
eine bestimmte Hyperfläche in der Raumzeit fließen, und diese Hyperfläche sehr viel größer ist als das
typische Volumen , über das wir gemittelt haben, dann gilt auch weiterhin die Formel (14.19),
"
YX
X
' ó L 2! 5 L !2 5 r
' ó L 2! 5
2 5
(
(
U
L 2! 5WV
(14.59)
"
ist. Dann spielt es auch hier keine Rolle
Die Näherung ist umso besser, je größer die Hyperfläche
mehr, ob wir die wenigen Teilchen am Rand der Hyperfläche noch mitzählen oder nicht. Oder anders
ausgedrückt, die Fehler, die wir machen, weil die Teilchen nicht mehr genau lokalisiert sind, heben sich
im Mittel gegenseitig auf.
Aufgabe 14.9 Die Teilchenzahl sei eine Erhaltungsgröße, das heißt es sollen keine Prozesse stattfinden,
b
b zeige, dass dann
bei denen Teilchen erzeugt oder vernichtet werden.
Man
T
L Lþ j þ
L T L
(14.60)
gilt. Man mache sich die Bedeutung dieser Gleichung im lokalen Ruhesystem anschaulich klar.
Genau wie den Teilchenfluss können wir auch jeden anderen Fluss mitteln. Im allgemeinen besteht dann
aber kein Zusammenhang der Form (14.57) mehr zwischen dem gemittelten Fluss, der Dichte der entsprechenden Ladung im Ruhesystem der Flüssigkeit, und dem Strömungsfeld. Befinden sich zum Beispiel
geladene Teilchen in der Flüssigkeit, so ist der gemittelte elektrische Fluss
U
K L 2 ) 5WV
X
' 4 { ' š { ' › { K L 2) {5
(14.61)
Die Mittelung erfolgt also stets über ein Volumen im lokalen Ruhesystem. Aber das Ergebnis ist wieder in
Tensorfeld U KL V , das wir in jedem Bezugsystem darstellen können.
Aufgabe 14.10 Warum ist jedes auf diese Weise gemittelte Tensorfeld wieder ein Tensorfeld, obwohl die
Mittelung in einem bestimmten Inertialsystem durchgeführt wird, das zudem noch vom jeweiligen Ereignis
abhängt, an dem gemittelt wird?
Nun muss U KN‹2 ) o5WV aber keineswegs im Ruhesystem verschwinden. Das wäre nur dann der Fall, wenn
alle Teilchen die gleiche Ladung hätten, oder wenn alle Teilchen die gleiche Geschwindigkeit hätten. Der
gemittelte Teilchenfluss U K²L V ist also nicht notwendigerweise proportional zum Strömungsfeld T L . In
einer ruhenden Flüssigkeit kann durchaus ein Strom fließen.
Der Teilchenfluss ist insofern ausgezeichnet, als dass er es ist, der das Strömungsfeld und damit das lokale Ruhesystem der Flüssigkeit definiert. Ein Zusammenhang zwischen dem Strömungsfeld und anderen
Flüssen besteht nur dann, wenn die Flüssigkeit spezielle Eigenschaften hat. Das wollen wir als nächstes
näher untersuchen.
268
Die ideale Flüssigkeit
Wir interessieren uns natürlich für den Energie- und Impulsfluss in einer Flüssigkeit. Dazu müssen wir
den Energie-Impuls-Tensor Lg`2! 5 geeignet mitteln. Das können wir natürlich genau so tun wie zuvor,
Å
das heißt wir integrieren über ein Volumen im lokalen Ruhesystem am Ereignis
2 ) 5 ,
U
5WV L
a
`
)
2
Å
X
' 4 { ' š { ' › { Å Lg` 2 ) { 5
(14.62)
Welche Bedeutung haben nun die einzelnen Komponenten des gemittelten Energie-Impuls-Tensors im
lokalen Ruhesystem? Die Zeit-Zeit-Komponente U MºM 2 ) 5WV ist natürlich die gemittelte Energiedichte. Es
Å
ist einfach die Summe der Energien aller Teilchen in einem Volumen , geteilt durch die Größe des
Volumens
U
5WV º
M
M
)
2
Å
X
+ý
@ ' 4 { ' š { ' › { y ý 2 ) 5 2 { E ý 2 ) 5_5
ý+
y 2 5 y ý 2)5
(14.63)
Nun befindet sich die Flüssigkeit als ganzes zur Zeit ) am Ort aber gerade in Ruhe. Das heißt, die Energie
y 2 5 ist, wenn wir das Flüssigkeitselement im Volumen als einen Körper betrachten, dessen Energie
im Ruhezustand.
Wir nennen die Größe
MºM 2 ) 5WV 782 ) H5
U
(14.64)
Å
die mittlere Energiedichte im Ruhesystem. Genau wie die mittlere Teilchendichte þ¾2! 5 definiert 782! 5 ein
skalares Feld auf der Raumzeit. Es ist die mittlere Energiedichte, die ein Beobachter sieht, der sich am
Ereignis mit der Flüssigkeit mitbewegt. Da dies eine eindeutige Messvorschrift ist, hängt das Ergebnis
nicht von der willkürlichen Wahl irgendeines Koordinatensystems ab.
Wichtig ist dabei festzustellen, dass das Ruhesystem der Flüssigkeit nicht das Ruhesystem der Teilchen
ist. Diese können sich sehr wohl bewegen, sogar mit relativistischen Geschwindigkeiten. Zur Energiedichte
im Ruhesystem trägt also nicht nur die Masse der Teilchen, sondern auch deren kinetische Energie bei.
Für eine nichtrelativistische Flüssigkeit, also für eine Flüssigkeit, deren Teilchen sich relativ zueinander
nur langsam bewegen, ist jedoch 782 ) H5 ungefähr gleich der Massendichte im Ruhesystem, denn die kinetischen Energien der Teilchen sind im Vergleich zu ihrer Masse vernachlässigbar. Später wird deshalb 782 ) 5
diejenige Größe sein, die im sogenannten Newtonschen Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie die
Quelle des Gravitationsfeldes sein wird.
Betrachten wir als nächstes die räumlichen Komponenten des gemittelten Energie-Impuls-Tensors
U
NwvŸ2 ) 5WV im lokalen Ruhesystem. Für sie gilt, wenn wir die Darstellung (14.34) verwenden,
Å
U
o5WV Å wN v 2 ) +ý
X
@ ' 4 { ' š { ' › { O ý N 2 ) 5 ¼ ý v 2 ) 5 2 { Ÿ ý 2 ) 5_5
ý+
O ýN 2) 5 ¼ ýv 2) 5
(14.65)
Die Summe läuft auch hier wieder über alle Teilchen, die sich zur Zeit ) im Volumen aufhalten.
Weiter oben hatten wir bereits erwähnt, dass dieser räumliche Tensor als Spannungstensor Nwv aus der
Hydrodynamik bekannt ist. Er beschreibt, welche Kräfte auf eine in die Flüssigkeit eingebrachte Fläche
wirken. Stellen wir uns zwei benachbarte Flüssigkeitselemente am Ort vor, die von eine Grenzfläche der
Größe î & und mit einem Normalenvektor þ voneinander getrennt sind.
Welche Kraft wirkt nun an dieser Grenzfläche? Dazu müssen wir die Komponenten des Impulsstromes
in Richtung des Normalenvektors der Fläche bilden, und diesen über die Fläche integrieren. Nehmen wir
an, der gemittelte Impulsstrom sei näherungsweise konstant. Dann ist die Kraft v
þ N Nwv î & , denn das ist
der pro Zeiteinheit durch die Fläche strömende Impuls. Es ist dabei unerheblich, ob der Impuls durch Stöße
269
oder durch das Strömen von Teilchen von der einen auf die andere Seite übertragen wird. Im Ruhesystem
strömen stets gleich viele Teilchen in beide Richtungen, so dass es, wie schon gesagt, keinen Unterschied
macht, ob die Teilchen durch Stoßen ihre Impulse austauschen, oder ob die Teilchen selbst durch die
Fläche strömen.
Eine ideale Flüssigkeit zeichnet sich nun dadurch aus, dass in ihr Kräfte nur senkrecht auf eine Fläche
wirken können, weil die Flüssigkeit keine Viskosität besitzt, also keine innere Reibung auftritt. Die Kraft
, die auf eine Fläche wirkt, ist also stets proportional zum Normalenvektor þ . Das ist offenbar genau
@
¼ Nwv . Für die auf eine Fläche wirkende
dann der Fall, wenn der Spannungtensor diagonal ist, also Nwv
¼ þ6N î & , und folglich ist ¼ der in der Flüssigkeit herrschende Druck.
Kraft gilt dann N
Für die räumlichen Komponenten des gemittelten Energie-Impuls-Tensors einer idealen Flüssigkeit gilt
also im lokalen Ruhesystem
@
Nwv 2 ) o5WV ¼ 2 ) o5 Nwv U
(14.66)
Å
wobei ¼ 2 ) 5
der von einem in diesem System ruhenden Beobachter gemessene Druck ist. Das gilt an
jedem Ereignis, so dass ¼ 2! 5 dadurch ebenfalls zu einem skalaren Feld auf der Raumzeit wird.
Aufgabe 14.11 Man mache sich, ausgehend von der Darstellung (14.65), anhand der mikroskopischen
Vorgänge klar, welche Druck- und Scherkräfte auf eine Fläche wirken, die man in die ruhende Flüssigkeit
einbringt. Man stelle sich vor, dass die Teilchen ihren Impuls zuerst an die Fl äche abgeben, und diese den
Impuls dann an die Teilchen auf der anderen Seite weiter gibt.
Es bleiben dann noch die Raum-Zeit-Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, die, wie wir wissen, die
Impulsdichte oder den Energiestrom beschreiben. Es liegt nahe, zu vermuten, dass die Impulsdichte im
lokalen Ruhesystem der Flüssigkeit verschwindet. Dem ist aber nicht so, denn es ist nicht der mittlere
Impuls der Teilchen, sondern deren mittlere Geschwindigkeit, die verschwindet.
Es kann also durchaus einen Energiestrom in einer ruhenden Flüssigkeit geben. Dieses Phänomen kennen wir natürlich auch. Es handelt sich um ganz gewöhnlichen Wärmetransport. Eine ideale Flüssigkeit
soll nun zusätzlich die Eigenschaft haben, dass ihre Wärmeleitfähigkeit verschwindet. Das heißt, Wärme
kann nur durch Konvektion, also durch die Bewegung von Teilchen transportiert werden. Im Ruhesystem
den Teilchen gilt dann
MºN 2 ) H5WV U N´M 2 ) 5WV <
(14.67)
U
Å
Å
Wir können also die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors für eine ideale Flüssigkeit im lokalen Ruhesystem als Funktion von zwei Größen ausdrücken, nämlich dem Druck ¼ und der Energiedichte 7 . Beides
sind, wie wir gesehen haben, skalare Felder auf der Raumzeit. Es sollte daher möglich sein, unabhängig
vom Bezugsystem den Energie-Impuls-Tensor durch diese skalaren Felder und das Strömungsfeld auszudrücken.
Wir benutzen hierfür den gleichen Trick wie vorher für den Teilchenfluss. Wir stellen zunächst fest, dass
sich die Gleichungen (14.64), (14.66) und (14.67) im lokalen Ruhesystem so zusammenfassen lassen,
U
5WV 2 ¼ 2! 5 782' 5_5
a
L
`
!
2
Å
j
T
L 2' 5
T
` 2! 5 j ¼ 2' 5 ¨ Lg`
(14.68)
Das lässt sich ganz einfach Komponentenweise zeigen, das heißt man setzt nacheinander 2·Q Ãÿ 5<™
2 ) ) 5 2 ) K 5 2]R ) 5 2·R K 5 und verwendet, dass im lokalen Ruhesystem T M
und T N
ist.
Nun ist (14.68) aber wieder eine Tensorgleichung, das heißt sie gilt genau so in jedem Bezugsystem.
Eine ideale Flüssigkeit zeichnet sich also genau dadurch aus, dass sich ihr gemittelter Energie-ImpulsTensor in dieser Form als Funktion des Strömungsfeldes TL und zweier skalaren Felder ¼ und 7 darstellen
lässt. Ihnen kommt dann die Bedeutung des Druckes und der Energiedichte im Ruhesystem zu.
Aufgabe 14.12 Wir hatten eine nichtrelativistische Flüssigkeit als eine definiert, in der sich die Teilchen
relativ zueinander nur langsam bewegen. Man zeige, dass f ür eine solche Flüssigkeit ¼ ê 7 gilt, das heißt
270
der Druck ist klein im Vergleich zur Energiedichte, die in diesem Fall gleich der gew öhnlichen Dichte, also
der Massendichte im Ruhesystem ist. Man setze in die Relation ¼ ê 7 die Lichtgeschwindigkeit wieder ein
und verifiziere, dass Wasser unter alltäglichen Bedingungen eine nichtrelativistische Flüssigkeit ist.
Aufgabe 14.13 Man stelle für den gemittelten Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit die Kontinuitätsgleichung auf. Die Flüssigkeit sei nichtrelativistisch und sie ströme auch nur langsam. Das heißt, es
ist ¼ ê 7 , und in einen ausgezeichneten Inertialsystem gelte außerdem T M r
und T N ê
. Man zerlege
die Kontinuitätsgleichung in diesem Inertialsystem in Raum- und Zeitkomponenten und zeige, dass sich die
aus der klassischen Hydrodynamik bekannten Gleichungen der Massenerhaltung und der Impulserhaltung
ergeben.
Materie in der gekrümmten Raumzeit
Jetzt müssen wir nur noch einen Schritt tun, nämlich alles, was wir bisher über Dichten, Ströme und Flüsse
gesagt haben, gemäß unserer Übersetzungsvorschrift auf eine gekrümmte Raumzeit zu übertragen. Es ist
nicht schwer zu zeigen, dass alle hier eingeführten Größen auch auf einer gekrümmten Raumzeit definiert
werden können, und dass fast alle Beziehungen zwischen ihnen weiterhin gelten.
Den Teilchenfluss für ein System von Punktteilchen zum Beispiel können wir wie folgt definieren. Die
Weltlinien der Teilchen seien wieder ý 2 Z 5 . Dann müssen wir nur in der Formel (14.13) die Deltafunktion
auf dem Minkowski-Raum durch die Deltafunktion auf einer metrischen Mannigfaltigkeit ersetzen, die
wir in (10.39) eingeführt hatten. Es ist also
@
L 2' 5 + ý X '$Z \ ý L 2 Z 5 !2 ý 2 Z 55
(14.69)
Formal ist das einzig neue, dass wir nicht mehr eine Differenz von zwei Punkten auf der RaumzeitMannigfaltigkeit bilden können, und eine solche nicht mehr als Argument in die gewöhnliche Deltafunktion einsetzen können. Die Deltafunktion auf eine metrischen Mannigfaltigkeit hat deshalb zwei Argumente,
aber sonst genau die gleichen Eigenschaften.
Was ebenfalls weiterhin gilt, ist, dass wir die Teilchen, die durch eine Hyperfläche strömen, als ein
Integral (14.19) schreiben können, und dass das ebenso für jede andere Art von Ladung gilt, jedenfalls
solange die Ladung ein Skalar ist, wie Masse oder elektrische Ladung. Auch das Integrationsmaß ist das
gleiche wie vorher, allerdings müssen wir in (14.18) für den Levi-Civita-Tensor den entsprechenden Tensor
(10.48) einsetzen.
Nur an zwei Stellen müssen wir ein wenig aufpassen. Das eine Problem betrifft die Integration des
Energie-Impuls-Tensors (14.42) über eine Hyperfläche. In einer flachen Raumzeit ergab das einen Vektor
3
"
`2 5 . Er repräsentierte den durch die Hyperfläche fließenden 4-Impuls. Eine solche Integration können
wir in einer gekrümmten Raumzeit nicht mehr durchführen. Wir können Vektoren an verschieden Ereignissen nicht einfach addieren.
Es hat deshalb keinen Sinn, über den durch eine Hyperfläche fließenden 4-Impuls zu sprechen, oder speziell zum Beispiel über die in einem räumlichen Volumen enthaltene Energie. Der Energie-Impuls-Tensor
ist nur lokal definiert. In einem lokalen Inertialsystem bestimmten seine Komponenten die Energiedichte,
die Impulsdichte und so weiter, aber es ist sinnlos, diese über einen größeren Raumbereich zu integrieren.
Das hat die interessante Konsequenz, dass ein in der allgemeinen Relativitätstheorie nur noch unter
ganz bestimmten Umständen möglich sein wird, zum Beispiel über die Gesamtenergie oder den Gesamtimpuls eines ausgedehnten Systems zu sprechen. Auch Begriffe wie Impuls- oder Energieerhaltung haben
nur noch lokal eine Bedeutung. Nämlich die, dass der Energie-Impuls-Tensor die Kontinuitätsgleichung
erfüllt, die nun natürlich wie folgt lauten muss,
>
L Å Lg`
3
271
(14.70)
Aufgabe 14.14 Für den Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen, massiven Teilchens gilt auch auf einer
gekrümmten Raumzeit die Darstellung (14.43),
5 X ' ªñ q L 2·ª 5 q ` 2·ª 5 @ '2 32»ª _5 5 Å Lg` 2!
D
' L ' ª
wobei 2Ỡ5 eine Eigenzeit-Darstellung der Weltlinie und q L2Ȼ 5
(14.71)
die 4-Geschwindigkeit ist. Welche Bedingung muss diese Weltlinie erfüllen, damit der Energie-Impuls-Tensor die Kontinuitätsgleichung
(14.70) erfüllt.
Die zweite Stelle, an der wir ein wenig aufpassen müssen, ist die Definition von gemittelten, oder verschmierten Flüssen. Auch dort hatten wir Tensoren über einen gewissen Raumbereich integriert, und genau
genommen ist das in einer gekrümmten Raumzeit nicht möglich.
Wir müssen daher, wenn wir auch in der allgemeinen Relativitätstheorie mit gemittelten Flüssen arbeiten
wollen, entweder voraussetzen, dass wir nur jeweils über ein kleines Volumen mitteln, in dem wir die
Krümmung der Raumzeit vernachlässigen können, oder wir müssen annehmen, dass die kontinuierliche
Beschreibung der Materie durch glatte Flüsse in der Raumzeit bereits die richtige ist, zum Beispiel weil
die Materie ja in Wirklichkeit nicht aus lokalisierten Teilchen sondern aus verschmieren Quanten besteht.
Uns bleibt an dieser Stelle leider nichts anderes übrig als gar nicht erst nach einer Rechtfertigung für
diese Annahme zu suchen. Denn tatsächlich erreichen wir hier bereits die Grenzen den allgemeinen Relativitätstheorie, bevor wir ihre Details überhaupt kennen gelernt haben. Es ist bis heute nicht gelungen,
die allgemeine Relativitätstheorie an dieser Stelle auf eine Basis zu stellen, die mit der Quantentheorie in
Einklang steht.
Mit anderen Worten, wir müssen einfach postulieren, dass die Verteilung der Materie in der Raumzeit
durch einen glatten Energie-Impuls-Tensor beschrieben wird. Für alle praktischen Anwendungen ist das
eine gerechtfertigte Annahme, denn alle Objekte, für die die Gravitation als Wechselwirkung eine Rolle spielt, sind große Vielteilchensystem, die wir in sehr guter Näherung als klassische, kontinuierliche
Materieverteilungen beschreiben können.
Alles, was wir in Kapitel 13 über die Dynamik von Punktteilchen und die Verträglichkeit der allgemeinen Relativitätstheorie mit der Quantenphysik gesagt haben, müssen wir deshalb an dieser Stelle wieder
etwas relativieren. Die Argumente, die wir dort verwendet haben, gelten nur solange, wie wir von Testteilchen sprechen, also von Teilchen, die so klein sind, oder genauer, die so wenig Energie und Impuls
besitzen, dass sie das Gravitationsfeld nicht nennenswert beeinflussen.
In der Elektrodynamik existiert das Problem zwar auch, aber dort ist es weniger kritisch. Das liegt daran,
dass die Feldgleichungen der Elektrodynamik linear sind. Deshalb ist es durchaus möglich, punktförmige
Ladungen zu betrachten. Wir haben den Feldstärketensor für so eine Ladung in Kapitel 6 sogar ausgerechnet. Es ist eine der einfachsten Lösungen der Maxwell-Gleichung. Das einzige Problem ist, dass der
Feldstärketensor an der Stelle, an der die Ladungsdichte singulär ist, ebenfalls singulär wird, aber in einer
leicht kontrollierbaren Weise.
Wie wir gleich sehen werden, sind die Feldgleichungen der Gravitation jedoch nichtlinear. Deshalb ist
es nicht mehr so leicht möglich, die Singularitäten zu kontrollieren, die auftreten würden, wenn wir eine
körnige Quelle betrachten, also eine, die aus punktförmig lokalisierten Teilchen besteht. Aber wie gesagt,
für alle praktischen Anwendungen der allgemeinen Relativitätstheorie als Theorie der Gravitation ist es
ohnehin sinnvoll, von einer kontinuierlichen Materieverteilung auszugehen.
Die Quellengleichung
Doch nun genug der Vorrede, wir wollen uns jetzt ganz konkret überlegen, wie die Feldgleichungen der
Gravitation aussehen können. Nach allem, was wir uns bisher überlegt haben, sollte sie eine Beziehung
herstellen zwischen der Krümmung der Raumzeit auf der einen Seite, und der Verteilung von Energie
272
und Impuls auf der anderen Seite. Ferner sollten sie in einem gewissen Grenzwert in die Newtonsche
Quellengleichung übergehen.
Nehmen wir also einmal an, auf der rechten Seite der Gleichung steht für die Materie der EnergieImpuls-Tensor La` . Bei Newton steht auf der rechten Seite die Massendichte, und wir wissen bereits, dass
Å
für nichtrelativistische Materie die größte Komponente des Energie-Impuls-Tensors die MºM -Komponente
Å
ist, und dass diese im wesentlichen die Massendichte ist. Das passt also schon ganz gut zusammen.
Auf der linken Seite steht bei Newton die zweite räumliche Ableitung des Gravitationspotentials. Andererseits haben wir gesehen, dass das Gravitationspotential im Newtonschen Grenzfall im wesentlichen die
‚ MºM -Komponente der Metrik ist. Also sollte auf der linken Seite der Feldgleichung so etwas wie die zweite
Ableitung der Metrik stehen. Und es sollte natürlich ein Tensor sein.
Nun kennen wir bereits einen Tensor, der aus den zweiten Ableitungen der Metrik gebildet wird, nämlich
der Krümmungstensor ÇL É . Ihn hatten wir in (10.73) als Funktion der Christoffel-Symbole und deren
`d
Ableitungen dargestellt, und somit als Funktion der Metrik sowie ihrer ersten und zweiten Ableitungen.
Wir müssen daraus nur einen Tensor zweiter Stufe bilden, und ihn dann mit dem Energie-Impuls-Tensor
gleichsetzen.
Das ist kein Problem, wir nehmen einfach den Ricci-Tensor (10.84), und machen folgenden Ansatz für
unsere Feldgleichung,
YX
(14.72)
Ç
La`
X
Å8Lg`
wobei irgendeine Naturkonstante ist, die in irgendeiner Beziehung zur Newtonschen Konstante stehen
muss. Wir können sie später ermitteln, indem wir einen geeigneten Grenzfall diskutieren und feststellen,
ob die Theorie dann in die Newtonsche Theorie übergeht.
Aber nun gibt es ein Problem. Der Energie-Impuls-Tensor hat zwei Eigenschaften. Er ist erstens symmetrisch. Das ist der Ricci-Tensor auch. Aus dieser Eigenschaft ergibt sich also kein Problem. Zweitens
erfüllt er die Kontinuitätsgleichung (14.70). Das gilt für den Ricci-Tensor im allgemeinen nicht.
Zunächst ist das auch kein Problem. Dann folgt eben aus der Feldgleichung, dass es es tut. Aber das
führt zu einer zusätzlichen Konsistenzbedingung, die für eine Quellengleichung untypisch ist. Erinnern
b
wir uns noch einmal an die Maxwell-Gleichung
L
La`
xk;=
K `
(14.73)
Hier war es so, dass die Quellengleichung
für die Quelle quasi erzwungen hat,
b b die Kontinuitätsgleichung
b
denn es gilt die Identität
< B
Lg`
K `
(14.74)
` L
`
Aufgabe 14.15 Man zeige, dass diese Schlussfolgerung auch dann noch gilt, wenn man alle Ableitungen
durch kovariante Ableitungen ersetzt. Mit anderen Worten, auch auf einer gekr ümmten Raumzeit folgt die
elektrische Ladungserhaltung aus den Maxwell-Gleichungen.
Dasselbe sollte auch für die Quellengleichung der Gravitations gelten. Sie sollte die Kontinuitätsgleichung
für die Quelle erzwingen. Auf der linken Seite der Gleichung sollte also ein symmetrischer Tensor zweiter
Stufe stehen, den wir aus dem Krümmungstensor ableiten können, und für den die Gleichung (14.70) als
Identität gilt.
Nun haben wir einen solchen Tensor schon einmal gesehen, und zwar in Aufgabe 10.24. Es ist der
Einstein-Tensor
>
(14.75)
Ç
Çë‚ Lg`
La`
Lg`
„
Lg`
L
Wenn wir also den folgenden Ansatz für die Feldgleichung machen,
Lg`
YX
273
Å8La` (14.76)
dann erzwingt diese die Kontinuitätsgleichung für die Materie, genau so wie die Maxwell-Gleichung die
Kontinuitätsgleichung für die Ladung erzwingt,
>
L La`
>
B
LŸÅ La`
S
(14.77)
Jetzt sind wir so gut wie am Ziel, denn die Gleichung (14.76) ist die gesuchte Quellengleichung für die
X
Gravitation. Sie trägt den Namen Einstein-Gleichung. Wir müssen jetzt nur noch die Konstante bestimmen.
Dazu greifen wir noch einmal auf die Newtonsche Theorie zurück. Sie soll sich in einem bestimmten
Grenzfall ergeben, und zwar dann, wenn sich die Materie nur langsam bewegt, und die Gravitationsfelder
schwach sind. Wir werden den Grenzfall schwacher Gravitationsfelder später noch sehr viel genauer untersuchen, daher werden wir jetzt einfach einen sehr gut motivierten Ansatz machen, der nur dazu dient,
X
die Konstante zu bestimmen.
Wir betrachten eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit mit der Metrik
m
2 j „–1 5 ') & j 2
„–1 5 2 ' 4 & j ' š & j ' › & 5 (14.78)
ist. Das heißt, wir werden im folgenden alle Terme der Ordnung
wobei wir wieder annehmen, dass 1 ê
1 & und höher vernachlässigen. Ferner wollen wir annehmen, dass die Metrik statisch ist, das heißt das
Gravitationspotential 1 soll nur von der räumlichen Koordinaten 2 4 š6œ› 5 abhängen.
'Sî &
Wir kennen diese Metrik schon aus dem letzten Kapitel, wo wir sie in (13.52), ebenfalls ohne weitere Motivation, als Metrik der Raumzeit im Newtonschen Grenzfall der allgemeinen Relativitätstheorie
eingeführt haben.
Aufgabe 14.16 Man berechne den Einstein-Tensor für die Metrik (14.78) und zeige, dass bis auf Term der
:
Ordnung 1 & und höher
b MºM b „ 1 b (14.79)
:
wobei der gewöhnliche, aus den Ableitungen æ ,
Komponenten des Einstein-Tensors verschwinden.
ç
ž
und
gebildete Laplace-Operator ist. Alle anderen
Wir wollen nun zeigen, dass diese Metrik (14.78) die Quellengleichung (14.76) erfüllt, wenn auch die
Materie relativ zu dem Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 ruht. Was heißt das? Es bedeutet, dass nur eine
Komponente des Energie-Impuls-Tensors von Null verschieden ist, nämlich
Å MºM
7
(14.80)
Das ist die klassische Massendichte ist. Sie hängt natürlich auch nur vom Ort ab, wenn die Materie ruht.
Also ist die Quellengleichung genau dann erfüllt, wenn
MºM
ZX
ˆ
Å MºM
„
:
12 o5
YX
782 o5
X
(14.81)
¦o=
Damit das in die Newtonschen Quellengleichung (13.3) übergeht, muss offenbar
sein. Eingesetzt
in den Ansatz (14.76), mit dem Ricci-Tensor und dem Krümmungsskalar explizit ausgeschrieben, ergibt
sich die Einstein-Gleichung in der traditionellen Form
Ç Lg`
Çh‚ Lg`
„
¦o=
Å8Lg`
(14.82)
Wir haben also eine Gleichung gefunden, die eine Beziehung herstellt zwischen der Krümmung der Raumzeit auf der einen Seite, und der Verteilung der Materie auf der anderen Seite. Jetzt müssen wir diese Gleichung nur noch testen, das heißt wir müssen Lösungen finden und sie mit der Wirklichkeit vergleichen.
Das wird im wesentlichen das Thema der restlichen Vorlesung sein.
274
15 Die Schwarzschild-Metrik
Den einzigen Beleg für die Richtigkeit der Feldgleichung (14.82), den wir bis jetzt haben, ist, dass sie für
schwache Gravitationsfelder und langsam bewegte Materie in die Newtonsche Feldgleichung übergeht, so
wie die Elektrodynamik im Grenzfall langsam bewegter Ladungen in die Elektrostatik übergeht. Das ist
natürlich zwingend erforderlich, denn in diesem Grenzfall beschreibt die Newtonsche Theorie die Physik
sehr genau. Das gilt sowohl für die irdische Physik, als auch für die Dynamik des Sonnensystems, was ja
gerade der große historische Erfolg der Newtonschen Theorie war.
Doch was passiert, wenn die Gravitationsfelder stark werden, oder die Geschwindigkeiten groß? Dann
bricht die Newtonsche Theorie zusammen, und wir müssen die Einsteinschen Gleichungen exakt, oder zumindest in einer besseren Näherung lösen, um eine Voraussage zu machen. Wir wollen deshalb in diesem
Kapitel die einfachste, nicht triviale Lösung der Einsteinschen Gleichungen herleiten und diskutieren. Sie
wurde 1916 von Karl Schwarzschild gefunden, also bereits ein Jahr nachdem Einstein seine Feldgleichungen in ihrer endgültigen Form publiziert hatte.
Die sogenannte Schwarzschild-Metrik beschreibt das Gravitationsfeld eines nicht rotierenden, kugelED
symmetrischen Himmelskörpers, also das Analogon zum ‘ ’-Potential in der Newtonschen Theorie. Sie
ist die Voraussetzung dafür, alle im Sonnensystem relevanten Effekte zu diskutieren, für die die allgemeine
Relativitätstheorie vielleicht eine andere Aussage macht als die Newtonsche Theorie.
Statische, kugelsymmetrische Raumzeiten
Wir wollen also das Gravitationsfeld eines statischen, kugelsymmetrischen Himmelskörpers berechnen.
Das heißt, wir wollen die Einstein-Gleichung lösen für eine Materieverteilung, die gewisse Symmetrien besitzt. Wir gehen stillschweigend davon aus, dass dann auch das Gravitationsfeld diese Symmetrien
besitzt. Das ist eine vernünftige, aber wir wie später sehen werden durchaus nicht notwendige Bedingung.
Das wichtigste bei einer solchen Aufgabe ist es, die Raumzeit-Koordinaten möglichst geschickt zu
wählen. Beginnen wir mit dem Begriff statisch. Eine Raumzeit-Mannigfaltigkeit soll genau dann statisch
heißen, wenn es eine Koordinate ) und drei weitere Koordinaten 4 N gibt, mit den folgenden Eigenschaften.
Die Metrik hängt nicht von der Zeit ) ab, und der Raum ist zur Zeit orthogonal. Es gilt dann
'Sî &
‚ MºM ' ) & j ‚ Nwv ' 4 N ' 4 v (15.1)
wobei die Komponenten ‚ und ‚ der Metrik nur von den räumlichen Koordinaten 4 N , nicht aber von
MºM
Nwv
der Zeit ) abhängen. Ferner soll ‚ eine positive Metrik sein, und es muss ‚ ö
gelten. Sonst wäre die
Nwv
MºM
Bezeichnung Raum und Zeit nicht sinnvoll.
Mit anderen Worten, eine statische Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit, die sich ähnlich wie der flache
Minkowski-Raum bezüglich eines ausgewählten Inertialsystems in Raum und Zeit zerlegen lässt. Der
Raum darf jetzt aber gekrümmt sein, und die Zeitkomponente ‚ der Metrik darf vom Ort abhängen kann.
MºM
Letzteres bedeutet, dass es eine Zeitdilatation zwischen Uhren an verschiedenen Orten geben kann. Wir
hatten bereits festgestellt, dass dies in Gravitationsfeldern typischerweise der Fall ist.
Aufgabe 15.1 Man zeige, dass die Metrik (15.1) eine einparametrige Isometriegruppe besitzt und bestimme das zugehörige Killing-Vektorfeld.
Zusätzlich verlangen wir, dass der Raum kugelsymmetrisch ist. Anschaulich heißt das, dass wir uns den
Raum aus einzelnen Sphären bestehend vorstellen können, die wie Zwiebelschalen ineinander liegen. Jede
solche Sphäre ist durch ihren metrischen Abstand 7 vom Mittelpunkt des Sterns eindeutig festgelegt, und
auf jeder solchen Sphäre führen wir die üblichen sphärischen Koordinaten 2'[ C\ 5 ein. Und zwar so, dass
die auf der Sphäre induzierte Metrik von der Form
'Sî &
5
2]7 &2 ' [6& j Þ_ßÕà &0[ ' \ & 5
275
(15.2)
ist. Hier ist 2]7 5 der Oberflächenradius der Sphäre, der in einem gekrümmten Raum nicht mit dem metrischen Abstand 7 vom Zentrum identisch sein muss. Unsere drei räumlichen Koordinaten sind also
2·7 [ \ 5 .
Jetzt haben wir noch die Freiheit, die einzelnen Sphären gegeneinander zu verdrehen, das heißt wir
können auf jeder Sphäre die Koordinaten 2'[ \ 5 unabhängig voneinander festlegen. Wir tun dies so, dass
das Koordinatensystem orthogonal ist, das heißt der Basisvektor Î soll zu Î^] und Î^_ senkrecht stehen.
d
Anschaulich heißt das, dass wir die einzelnen Schalen so ineinander legen, dass Punkte mit den gleichen
sphärischen Koordinaten jeweils übereinander liegen.
Durch die spezielle Wahl der Koordinaten nimmt die Metrik einer statischen, kugelsymmetrischen
Raumzeit dann die folgende Form an,
x
'Sî &
(15.3)
z¬2·7 5 ') & j ' 7& j 2·7 5 &2 ' [6& j Þ_ßÕà &/[ ' \ & 5
ù
zÁ2·7 5 gesetzt, denn auch die Zeitkomponente der Metrik darf natürlich nur vom
Hier haben wir ‚
MºM
Radius abhängen, wenn die Raumzeit kugelsymmetrisch sein soll.
Jetzt machen wir noch eine zusätzliche Annahme, die zwar nicht zwingend begründet werden kann,
die sich aber im Nachhinein als richtig erweisen wird. Wir nehmen an, dass der Oberflächenradius der
Sphären eine monotone Funktion des Abstandes 7 vom Zentrum ist. Mit anderen Worten, je weiter wir
uns vom Mittelpunkt des Sterns entfernen, desto größer wird die Oberfläche der Sphäre, auf der wir uns
befinden. Das ist natürlich vernünftig.
Dann können wir statt der Koordinate 7 auch den Oberflächenradius als Koordinate verwenden. Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck für die Metrik zwar nicht, aber die Rechnung wird später etwas
einfacher. Die Metrik wird dann durch zwei unbekannte Funktionen `¾2 5 und zÁ2 H5 parametrisiert, und ist
von der Form
5
'SîU&
(15.4)
z¬2 ')‹& `¾2 H5 ' & & 2 ' [ & Þßáà & [ ' \ & 5
j
j
j
Das ist also der Ansatz für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit.
Aufgabe 15.2 Welche Beziehung besteht zwischen der Funktion
(15.3)?
¾2 H5
`
in (15.4) und der Funktion
2·7 5
in
Aufgabe 15.3 Man finde alle Killing-Vektoren der Metrik (15.4).
Der Einstein-Tensor
Jetzt kommen wir zu der schwierigsten Aufgabe. Wir müssen für die Metrik (15.4) den Einstein-Tensor
berechnen. An dieser Stelle zahlt sich zum ersten Mal das Programm aus Aufgabe 10.16 aus. Aber das
Problem lässt sich auch noch recht gut von Hand bewältigen. Wir geben hier die wesentlichen Zwischenschritte an. Zunächst schreiben wir noch einmal die Metrik ‚
in Komponenten auf,
‚ MºM
x
z¬2 5 ‚aa
5 `¾2
‚
Lg`
&
]]
‚cbdb
& ÞßÕà & [
(15.5)
Die Metrik ist diagonal, dass heißt unsere Koordinaten bilden ein orthogonales Koordinatensystem, und
wir können sofort die inverse Metrik ‚SLa` angeben,
‚ MºM
*
z¬2 5
‚
aa
5 `¾2
‚
]e]
& ‚
bdb
& _Þ ßÕà &
[
(15.6)
Ein wenig komplizierter ist dann schon die Bestimmung des Christoffel-Symbols, das wir mit Hilfe der
Formel (10.60) berechnen müssen,
b
b
b
Ä d La`
‚ dÉ 2 L‚`É j
„
276
`‚LÉ
ɟ‚ Lg` 5
(15.7)
Man sollte sich zunächst überlegen, welche Komponenten überhaupt von Null verschieden sind. Da das
Christoffel-Symbol im wesentlichen aus den ersten Ableitungen der Metrik besteht, muss mindestens ein
Index auftreten, weil die Komponenten der Metrik nur von abhängen. Bis auf eine Ausnahme, ‚^bfb
hängt nämlich von auch [ ab. Außerdem müssen die beiden anderen Indizes gleich sein, denn die Metrik
ist diagonal. Es kommen daher nur die Kombinationen -Q -Q , wobei Q irgendein anderer Index ist, oder
die spezielle Kombination [ - \ - \ in Frage. Im einzelnen ergibt sich
z { 2 5
Ä MºM
„`¾2 H5
a ]] Ä
„ `¾2 5
a
Þßáà & [ bdb
Ä
„ `¾2 5
]
ãgäHÞ [ Þßáà [ Ä bfb
M z { 2 5
M
a
Ä M
Ä aM
„ðzÁ2 H5
]
] ] ]
Ä a
Ä a
b b
Ä bLa Ä ab
b ] b ]
Ä b
Ä b ãaähg [
a
Ä
a
{ 2 H5
„`¾2 5
aa
`
(15.8)
Als nächstes müssen wir den Riemann-Tensor, dann den Ricci-Tensor berechnen. Das ist der komplizierteste Teil der Rechnung. Da wir den Riemann-Tensor niemals wieder brauchen werden, ist es am einfachsten,
wenn wir direkt den Ricci-Tensor aus dem Christoffel-Symbol ermitteln. Wir verwenden dazu die Formeln
b
b
(9.56) und (10.84),
Ç La`
Çji L i `
i
Ä Lg`
i
`oÄ L i Ë
j Ä
i
ik
k
Ä La`
i
Ä
ik
`Ä
k
i
L
(15.9)
Jetzt bleibt uns nichts anderes übrig als das Christoffel-Symbol einzusetzten. Es stellt sich heraus, dass nur
die Diagonalelemente von Null verschieden sind, und für diese ergeben sich die folgenden Ausdrücke,
D z { 2 H 5
Ç ºM M
H
5
`¾2
D m` { 2 5
Ç aa
l
5 j
`¾2
` { 2 5
]] Ç
j „`¾2 H5 &
z { 2 H 5 ` { 2 5
z { { 2 5
;
H5 E j „`¾2 H5 z¬2 5
`¾2
D
z { 2 5
z { 2 5 & èz { { 2 5
; 5 E j
z¬2
„ðÁz 2 H5 E
„ðz¬2 5
D
z { 2 5
ÞßÕà & [ Ç
jbdb
Ç
H
5
5
j
`¾2
„ðz¬2 E
;
]]
(15.10)
Als nächstes berechnen wir daraus den Krümmungsskalar (10.86),
Ç
‚ Lg` Ç Lg`
(15.11)
Wir müssen jetzt über die gerade berechneten die Diagonalelemente von Ç
ein etwas längerer Ausdruck,
Ç
„
&
D
ñ
H5
`¾2
E
„
D
j `¾2 H5
Lg`
z { 2 H5 & ð
„ z { 2 5 j z { { 2 5 „ ` { 2 5
`¾2 H5 z¬2 5 j `32 5 &
„ðz¬2 5 E
summieren. Das Ergebnis ist
D
z { 2 H5
;
j ¬z 2 5
E
(15.12)
Und schließlich können wir daraus den Einstein-Tensor berechnen,
La`
Ç La`
‚ Ç
„ La`
Es genügt, die folgenden Komponenten zu kennen,
•z¬2 H5 '
ºM M
& ' D
¾2 H5
`
E
277
naa
(15.13)
Ë
z { 2 H 5 o`¾2 5
z¬2 5
&
(15.14)
Aufgabe 15.4 Man prüfe alle hier durchgeführten Rechnungen nach.
Aufgabe 15.5 Zwischen der [ -[ -Komponente und der \ - \ -Komponente des Ricci-Tensors (15.10) besteht
derselbe Zusammenhang wie zwischen den entsprechenden Komponenten der Metrik. Außerdem ist Ç:bdb
die einzige Komponente, die von [ abhängt, sonst hängen alle Komponenten des Ricci-Tensors nur von
ab. Warum ist das so, und warum gilt das für jeden symmetrischen, aus der Metrik abgeleiteten Tensor
zweiter Stufe, zum Beispiel für den Einstein-Tensor?
>
®
Aufgabe 15.6 Wie wir wissen, gilt für den Einstein-Tensor die Identität ÈLg`
. Aus der vorherigen
L
]]
Þ
á
ß
à
Aufgabe folgt außerdem, dass pbfb
ist, und dass dies die einzige von [ abhängige Kompo& [ü
nente ist. Man benutze diese Eigenschaften des Einstein-Tensors, um ]e] und qbdb als Funktionen von MºM
und raa auszudrücken.
Die äußere Metrik
Jetzt können wir daran gehen, die Einstein-Gleichung zu lösen. Wir beginnen mit dem einfacheren Teil,
nämlich mit der Metrik außerhalb des Himmelskörpers. Dort befindet sich keine Materie, das heißt der
Energie-Impuls-Tensor
Å9Lg` verschwindet. Also muss auch der Einstein-Tensor verschwinden. Aus der
f
Gleichung ergibt sich eine einfache Differentialgleichung für die Funktion `32 5 ,
MºM
'
' D
5
`¾2
f
B
E
5
`32
Ž
(15.15)
wobei Ž eine Integrationskonstante ist. Die allgemeine Lösung ist also
H5 `¾2
Ž
(15.16)
Die Konstante Ž hat offenbar die Dimension einer Länge, das heißt sie setzt eine räumliche Skala. Die
Frage nach der Bedeutung dieser Skala wird uns noch eine Weile beschäftigen.
Doch zunächst lösen wir die anderen Komponenten der Einstein-Gleichung. Aus der Gleichung saa
ergibt sich eine Differentialgleichung für die Funktion zÁ2 H5 ,
Ë
Ž
z { 2 H 5 `¾2 5
Žg5
5
z¬2
2
(15.17)
Diese können wir leicht integrieren, zum Beispiel durch Separation der Variablen. Die allgemeine Lösung
ist
Zt Ž
5
(15.18)
z¬2
t
wobei eine weitere Integrationskonstante ist.
Damit haben wir die allgemeinste statische, kugelsymmetrische Metrik gefunden, die die EinsteinGleichung im Vakuum erfüllt. Sie ist durch das folgende Linienelement gegeben,
'Sî &
Yuñ Ž
u Ž $! # &2 ' [8& Þßáà &/[ ' \ & 5 '
)
'
&
&
jv
j
v
j
j
j
t
(15.19)
Die Integrationskonstante haben wir gleich Eins gesetzt. Wir können sie offenbar durch eine Reskalierung der Zeitkoordinate ) auffangen, das heißt sie hat keine physikalische Bedeutung.
Die Metrik besitzt also nur einen einzigen freien Parameter Ž . Welche Bedeutung hat dieser Parameter?
<
Zunächst stellen wir fest, dass sich für Ž
die Metrik des flachen Minkowski-Raumes ergibt, dargestellt
in Kugelkoordinaten,
*
'Sî &
') & ' & &2 ' [6& Þ_ßÕà &0[ ' \ & 5
(15.20)
j
j
j
278
Diese Metrik ist natürlich eine Lösung unseres Problems, denn der Minkowski-Raum erfüllt alle gestellten
Bedingungen. Er ist sicher kugelsymmetrisch und statisch, denn die Zeitverschiebungen und die räumlichen Rotationen sind in der Poincaré-Gruppe enthalten. Ferner ist jede flache Raumzeit eine Lösung der
Einstein-Gleichung, wenn keine Materie vorhanden ist.
n
Der Fall Ž
entspricht also der trivialen Lösung, bei der überhaupt kein Himmelskörper vorhanden
ist. Wir vermuten daher, dass Ž etwas mit der Masse des Himmelskörpers zu tun hat. Um das heraus zu
finden, betrachten wir die Metrik (15.19) für F Ž , also weit weg vom Zentrum des Gravitationsfeldes.
Dort ist die Metrik beinahe flach, das heißt sie weicht nur sehr wenig von der Minkowski-Metrik (15.20)
ab. Wir können sie auf die Form (14.78) der Newtonschen Näherung bringen, wenn wir die folgende
Koordinatentransformation durchführen,
Ž
4 wu „
D
Ž
ê
Dann gilt für
oder
u
v
ÞßÕà
[
\ ãgäHÞ P
š
wu Ž
„
ÞßÕà
v
\ Þ_ßÕà P
[
›
xu Ž
„
v
[
D
2 Ž 5 & vernachlässigen,
Ž
u ñ
5
' 4 & j ' š & j ' ›& r ' & j &
jv 2 ' [ & j Þßáà & [ ' \ & (15.21)
, wenn wir Terme der Ordnung
Ž $! # 5
yv ' & j &2 ' [8& j Þßáà &/[ ' \ & r
u
Ž
(15.22)
4
5
j jv 2 ' & j ' š & j ' › &
(15.23)
Ž „ (15.24)
Das heißt, weit weg vom Zentrum lautet das Linienelement
'Sî & r
ãgäHÞ
ñ
2 j „ð1 5 ') & j 2
„ð1 5 2 ' 4 & j ' š & j ' › & 5 mit
1
Das ist das Newtonsche Potential für einen kugelsymmetrischen Himmelskörper der Masse , wenn wir
Ž „ð setzen. Die Integrationskonstante Ž definiert demnach die Masse des Himmelskörpers, von
dem das Gravitationsfeld erzeugt wird.
Ausgedrückt durch diesen Parameter lauten somit die Komponenten der Metrik (15.4) außerhalb des
Himmelskörpers
D
!$#
z¬2 H5
ñx„ , ¾2 H5
`
ñx„ , E
(15.25)
Wir sollten jedoch im Auge behalten, dass diese Definition der Masse noch nichts mit dem Himmelskörper selbst zu tun hat. Den haben wir uns bis jetzt noch gar nicht angeschaut. Wir haben nur die
Einstein-Gleichung außen herum gelöst. Trotzdem hat der Parameter eine sehr anschauliche Bedeutung, und es ist sinnvoll, ihn Masse zu nennen. Weit entfernt vom Zentrum sieht das Gravitationsfeld so
aus wie das eines kugelförmigen Körpers der Masse in der Newtonschen Theorie. Auf jeden Fall ist deshalb als schwere Masse des Objektes einzusetzen, wenn wir zum Beispiel nach der Anziehungskraft
im klassischen Sinne fragen, die es auf einen weit entfernten Testkörper ausübt.
Der Schwarzschild-Radius
Aber was bedeutet in diesem Zusammenhang eigentlich weit weg? Wir hatten eine Näherung durchgeführt
„ , ist, das heißt unsere
und dabei angenommen, dass F Ž gilt. Nun haben wir gesehen, dass Ž
„ , . Offenbar definiert die Masse des Himmelskörpers eine Skala. Wir
Näherung gilt für F
bezeichnen sie mit Çnz und nennen sie den Schwarzschild-Radius des Himmelskörpers,
YSï; A ! — m ;²o ! í sec (15.26)
Çjz „ , „c{
&
„
kg
kg
Hier haben wir die Newtonsche Konstante in Einheiten angegeben, in denen die Lichtgeschwindigkeit
gleich Eins gesetzt ist.
279
Aufgabe 15.7 Wo tritt in der Beziehung Çrz
Eins gesetzt ist?
„ð die Lichtgeschwindigkeit auf, wenn sie nicht gleich
Um uns eine Vorstellung von den Größenordnungen zu machen, betrachten wir zwei bekannte Himmelskörper, die Sonne und die Erde, ein eher handliches Objekt, zum Beispiel eine Eisenkugel, sowie
einen großen Atomkern, also ein sehr dichtes aber kleines Objekt. Wir geben jeweils die Masse des
Objektes, seinen tatsächlichen Radius Ç G , sowie den Schwarzschild-Radius Çrz an,
G
„
A
È
&|
Sonne
Erde
Eisenkugel
!
Atomkern
Ç G
Í
HHH
kg
o;H
kg
{
kg
&}
kg
km
km
{
¥
Çyz
cm
fm
¥
¦ HA !
&}
;ÈH ! ~
km mm cm fm
(15.27)
Der Schwarzschild-Radius der Sonne ist um etwa fünf Größenordnungen kleiner als sie selbst. Wir können
daraus schließen, dass die Newtonsche Näherung in der Nähe der Sonne schon recht genau ist. Allerdings
wurde das Gravitationsfeld der Sonne durch die Beobachtung der Planetenbahnen über die Jahrhunderte
auch sehr genau vermessen. Es bestehen also durchaus Chancen, eine Abweichung von der Newtonschen
Theorie anhand der Planetenbahnen nachzuweisen.
Für die Erde liegt das Verhältnis aus dem tatsächlichem Radius und dem Schwarzschild-Radius schon
bei etwa neun Größenordnungen. Die Newtonsche Näherung gilt in der Umgebung der Erde demnach sehr
genau, und wir haben weniger Chancen, einen Effekt der allgemeinen Relativitätstheorie zu sehen, der in
der Newtonschen Näherung nicht erklärt werden kann. Noch extremer sieht es für eine Eisenkugel aus,
und jenseits von jeder Vorstellung liegt der Schwarzschild-Radius für einen Atomkern, obwohl dieser eine
sehr große Dichte hat, so dass seine Abmessungen klein im Vergleich zu seiner Masse sind.
Offenbar erreicht der Schwarzschild-Radius nur für sehr massive astronomische Objekte ein Größenordnung, die mit der des Objektes vergleichbar ist. Nur für solche Objekte wird die allgemeine Relativitätstheorie praktisch relevant. Das liegt daran, dass der Schwarzschild-Radius mit zunimmt, die
Abmessung des Objektes aber nur ungefähr mit der dritten Wurzel aus .
Aufgabe 15.8 Es gibt Himmelskörper, die die Dichte von Atomkernen haben. Sie bestehen einfach nur aus
Neutronen und heißen deshalb Neutronensterne. Sie können entstehen, wenn die Kernreaktion in einem
Stern erlischt und der Stern dann unter seinem eigenen Gewicht kollabiert. Der Druck wird dann so groß,
dass Atome ihn nicht mehr stabilisieren können. Welche Masse, ausgedrückt in Vielfachen der Sonnenmasse, muss ein Neutronenstern etwa haben, damit sein Schwarzschild-Radius gleich dem tats ächlichen
Radius ist?
Der Schwarzschild-Radius ist nicht nur im Rahmen der Newtonschen Näherung weit weg von dem Himmelskörper von Bedeutung. Er tritt auch ganz explizit in der exakten, sogenannten Schwarzschild-Metrik
(15.19) auf,
'Sî &
D
x
ñ*„ , E
D
') & j
ñ*„ , E
!$#
' & j & 2 ' [ & j Þßáà& [ ' \ & 5
(15.28)
An der Stelle „ , passiert mit dieser Metrik etwas ganz merkwürdiges. Sie ist dort genau genommen gar nicht mehr definiert. Dies ist aber nach unserer Herleitung, die einzige Metrik, die die am
Anfang gestellten Bedingungen erfüllt, also kugelsymmetrisch, statisch und eine Lösung der materiefreien Einstein-Gleichung ist.
280
Daraus können wir folgenden sehr interessanten Schluss ziehen. Wenn die Metrik weit weg von der
Quelle das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Objektes der Masse beschreibt, dann kann die
ses Objekt nicht kleiner sein als sein Schwarzschild-Radius Çz
„ , . Denn wenn die Metrik der
Raumzeit überall wohldefiniert sein soll, dann muss irgendwo bei £ „ , die Materie, sprich der
Himmelskörper anfangen.
Der Oberflächenradius ÇG eines statischen, kugelsymmetrischen Körpers der Masse
nicht kleiner sein als sein Schwarzschild-Radius Çrz
„ , .
kann
Das ist zwar eine sehr merkwürdige Schlussfolgerung, aber sie ergibt sich direkt aus unserer Herleitung.
Es würde sich sonst ein Widerspruch zu den Einstein-Gleichungen ergeben.
Aber wie sollen wir uns das praktisch vorstellen? Wer, abgesehen von einem sehr großen Druck, den wir
¦
zu überwinden hätten, hindert uns daran, die Erde auf eine Kugel vom Radius mm zusammen zu pressen?
Oder die Sonne auf eine Radius von km? Je größer das Objekt wird, desto weniger Druck müssen wir
dabei überwinden. Es ist also durchaus vorstellbar, dass ein sehr großes astronomisches Objekt gerade so
groß ist wie sein Schwarzschild-Radius. Als realistisches Beispiel haben wir schon den Neutronenstern
aus Aufgabe 15.8 kennen gelernt.
Aufgabe 15.9 Wieviele Sonnen müsste man dicht an dicht zu einem kugelförmigen Haufen zusammen
packen, damit für den so entstandenen Superstern der Schwarzschild-Radius Çqz gleich dem tatsächlichen
Radius ÇÍG ist?
Es ist also im Prinzip kein Problem, einen kugelsymmetrischen Himmelskörper herzustellen, der kleiner
ist als sein Schwarzschild-Radius. Aber welche physikalische Konsequenzen das hat, ist zunächst ein
wenig rätselhaft. Ein solcher Körper kann offenbar kein statisches Gravitationsfeld mehr besitzen. Also
kann er selbst offenbar auch nicht mehr statisch sein. Diese Vermutung liegt zumindest nahe. Es kann
für einen solchen Körper keinen Gleichgewichtszustand mehr geben, in dem sich Druck und Gravitation
ausgleichen.
Was das konkret bedeutet, damit werden wir uns in Kapitel 18 genauer auseinandersetzen. Hier wollen
wir zunächst eine etwas realistischere Physik betrieben, das heißt wir wollen annehmen, dass der Himmelskörper größer ist als sein eigener Schwarzschild-Radius. Die Metrik (15.28) gilt dann außerhalb des
Himmelskörpers, das heißt für £ ÇG £ „ , .
Die innere Metrik
Die Bestimmung der Metrik in Innern des Himmelskörpers ist ein wenig komplizierter, denn hier müssen
wir die Einstein-Gleichung unter Anwesenheit von Materie lösen. Die exakte Metrik hängt deshalb sehr
stark davon ab, aus welcher Art von Materie der Himmelskörper besteht und welche Reaktionen dort
ablaufen. Denn das bestimmt letztlich den Energie-Impuls-Tensor der Materie.
Wir wollen hier die einfachst mögliche Annahme machen. Der Himmelskörper soll aus einer idealen
Flüssigkeit bestehen. Und natürlich soll er, das war ja unsere Annahme ganz am Anfang, kugelsymmetrisch und statisch sein. Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass der Energie-Impuls-Tensor einer idealen
Flüssigkeit von der Form (14.68) ist,
2·7 j ¼ 5 T L T `–j ¼ ‚ Lg` (15.29)
wobei TkL das Strömungsfeld, ¼ der Druck und 7 die Dichte der Flüssigkeit ist, letzteres jeweils im lokalen
Å8La`
Ruhesystem der Flüssigkeit gemessen.
Für die Metrik machen wir natürlich wieder denselben statischen, kugelsymmetrischen Ansatz,
‚ MºM
x
z¬2 5 ‚aa
¾2 5 ‚
`
281
]]
&
‚cbdb
& ÞßÕà &C[
(15.30)
Was heißt es nun, dass der Körper ebenfalls statisch und kugelsymmetrisch sein soll? Statisch bedeutet, dass die Flüssigkeit nicht durch den Raum strömt, sondern in Ruhe ist, und dass Druck und Dichte
nicht von der Zeit ) abhängen. Kugelsymmetrisch heißt, dass Druck und Dichte auch nicht von [ und \
abhängen. Also sind ¼ und 7 reine Funktionen von , und die räumlichen Komponenten des Strömungsfeldes T L müssen überall verschwinden.
*|
Da TmL ein positiv zeitartiger Einheitsvektor ist, also ‚
und TkM £ , liegen seine KompoLg` TmL€Tk`
nenten damit eindeutig fest,
T
M
¬z 2 5

T
<
a
]
T
f
b
T
(15.31)
Setzen wir das in (15.29) ein, ergeben sich die folgenden Komponenten des Energie-Impuls-Tensors,
H5 H5
Å6MºM z¬2 87 2 5 ¼ 2 5 aa
`32
Å
²& ¼ 2 5 &8Þ_ßÕà& [ ¼ 2 5
Å
]e]
Å
bdb
(15.32)
Bevor wir daran gehen, die Einstein-Gleichungen zu lösen, wollen wir zunächst überprüfen, ob die Kontinuitätsgleichung für diesen Tensor erfüllt ist. Dazu ist es nützlich, den ersten Index des Energie-ImpulsTensors nach oben zu ziehen. Dann vereinfacht sich nämlich seine Darstellung zu
Å MM
782 H5 a
Å
a
]
¼ 2 5 Å
]
¼ 2 5 Å
b
b
¼ 2 5
(15.33)
Dann schreiben wir die Kontinuitätsgleichung
in der folgenden Form auf,
b
>
LŸÅ L `
LoÅ L `PjËÄ L d‹L3Å d `
Ä d `L3Å L d
<
(15.34)
Wenn wir jetzt den Tensor (15.33) und das Christoffel-Symbol (15.8) einsetzen, so finden wir, dass drei
Komponenten dieser Gleichung exakt erfüllt sind. Nur für ÿ ™ ergibt sich eine nicht triviale Bedingung,
nämlich
H5
z {2
¼ { 2 5 j
2·782 5 j ¼ 2 H5_5
5
„ z¬2
ð
(15.35)
Diese Gleichung hat eine anschauliche Bedeutung. Sie besagt, dass der Gradient des Druckes einen ganz
bestimmten Wert haben muss, damit der Stern im Gleichgewicht bleibt. In der Newtonschen Näherung ist
H5 , wobei 132 H5 ê ein kugelsymmetrisches Potential ist. Ferner gilt für nichtrelativistische
z¬2 H5
ð
„
3
1
2
j
Flüssigkeiten ¼ ê 7 , und 7 ist die klassische Massendichte. In diesem Fall reduziert sich die Gleichung
(15.35) zu
<
¼ { 2 5 782 H5 1 { 2 H5
(15.36)
j
Das ist genau die Stabilitätsbedingung in der Newtonschen Gravitationstheorie. Die Kraft, die der Gradient
des Druckes auf ein Flüssigkeitselement ausübt, wird gerade durch die Gravitationskraft ausgeglichen, die
proportional zum Gradient des Potentials und der Massendichte ist. Die Gleichung (15.35) gilt nun aber
exakt, und auch dann noch, wenn das Gravitationsfeld stark oder der Druck groß wird.
Als nächstes müssen wir die Einstein-Gleichungen aufstellen. Den Einstein-Tensor haben wir bereits in
(15.14) berechnet. Mit dem Energie-Impuls-Tensor aus (15.32) ergibt sich
MºM
naa
f¦o=
f¦o=
Å8MºM
B
Å
aa
B
D
¦o=
<
z¬2 5 ' zÁ2 H5 87 2 H5 H
5
& ' E
`¾2
’
¦o=
<
z { 2 H5 `32 5
‚`¾2 5 ¼ 2 5
z¬2 H5
&
282
(15.37)
Aufgabe 15.10 Warum genügt es, diese beiden Komponenten der Einstein-Gleichung zu l ösen?
Aus der ersten Gleichung fällt die Funktion z¬2
D
'
' ¾2 5
„ðü2 5 H5
`¾2
Wir ersetzen die unbekannte Funktion
dass
`
H5
heraus, und wir können sie wie folgt umschreiben,
H5
`¾2
¦o=
E
& 782 5
(15.38)
durch eine andere unbekannte Funktion
B
H5 `¾2
D
ñ „ Šü2 5
!$#
ü2 5 , und zwar so,
(15.39)
E
Dann vereinfacht sich die Gleichung (15.38) zu
{ 2 H5
<;o= &[782 5
Die Funktion ü2 H5 muss zwei Randbedingungen erfüllen, eine bei der Radius des Himmelskörpers ist.
(15.40)
Y
, und eine bei Ç|G , wobei ÇG
Aufgabe 15.11 Man zeige, dass die Metrik (15.4) bei genau dann ein differenzierbares Tensorfeld
auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit ist, wenn `¾2 5 auch bei differenzierbar ist und `¾2 5
.
Es muss also ü2
5 sein und folglich
a
<;o= X 5 2 H 5
ü
Œ & ' Œ 782Ì
G
(15.41)
Das ist genau die gleiche Formel, die auch in der Newtonschen Physik gilt, wenn wir ü2 5 als die Masse
interpretieren, die in einer Kugel vom Radius enthalten ist, und 782 5 als die Massendichte. Dieser Vergleich ist aber mit Vorsicht zu genießen, weil es sich zunächst um rein willkürlich definierte Funktionen
handelt. Außerdem ist das Integrationsmaß in (15.41) eigentlich das falsche. Der Raum ist schließlich ge;Do= ;o=
krümmt. Das Volumen einer Kugel mit dem Oberflächenradius ist nicht
, und deshalb ist & ' auch nicht das richtige Integrationsmaß auf dem Raum.
Die Tatsache, dass genau dieselbe Formel in der Newtonschen Theorie auftritt, ist daher eher ein Zufall.
Trotzdem können wir ü2 H5 als die schwere Masse interpretieren, die sich in einer Kugel mit Oberflächenradius aufhält, denn das stimmt mit unserer Interpretation des Parameters in der Metrik (15.28)
Ç|G in die entsprechende
außerhalb des Himmelskörpers überein. Damit die Funktion `¾2 5 innen für 5
sein. Das ist die zweite RandbedinFunktion für die Metrik außen übergeht, muss offenbar ü2WÇÈG
gung, die ü2 5 erfüllen muss.
Es bleibt dann noch die zweite Gleichung in (15.37), die sich nun wie folgt schreiben lässt,
;= 5
¼ 2 z { 2 5 2 H5 j
ü
5
„ðz¬2
2
„ Š
ü2 H5_5
Zusätzlich haben wir noch die Gleichung (15.35), aus der wir die Funktion z¬2
wir (15.42) einsetzen,
;= ¼ 2 5 2 5
ü
¼ { 2 5
2 ¼ 2 5 j 782 H5_5 j
2
„ Šü2 H5_5
(15.42)
5
eliminieren können, indem
(15.43)
Diese Differentialgleichung heißt Tollman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung. Sie bestimmt in einem relativistischen Modell für einen Stern den Gradient des Druckes. Wenn wir die Funktion 782 5 und damit
283
kennen, können wir diese Differentialgleichung für ¼ 2 5 lösen. Als Randbedingung gilt hier, dass
<
der Druck an der Oberfläche des Himmelskörpers gleich Null ist, also ¼ 2]Ç|G 5
.
Nun ist es im allgemeinen aber so, dass in einer idealen Flüssigkeit eine Zustandsgleichung gilt, das
heißt es gibt einen Zusammenhang zwischen Druck und Dichte. Das heißt, wir kennen die Funktion 782 5
gar nicht, bevor wir die Funktion ¼ 2 5 kennen. Dann müssen wir anders vorgehen.
Nehmen wir der Einfachheit halber an, die Dichte 7 sei eine eindeutige Funktion des Druckes ¼ . In
diesem Fall erhalten wir ein gekoppeltes System von Differentialgleichungen für die Funktionen ü2 H5
und ¼ 2 H5 , nämlich (15.40) und (15.43), indem wir 782 5 als Funktion von ¼ 2 5 ausdrücken.
<
¼ G vor, das heißt wir starten
Um diese zu lösen, geben wir als Anfangsbedingung ü2 5
und ¼ 2 5
mit irgendeinem Druck im Zentrum des Himmelskörpers. Dann integrieren wir die Differentialgleichungen nach außen. Der Druck nimmt dabei monoton ab, denn die linke Seite von (15.43) ist stets negativ.
Damit die Funktion `¾2 5 wohldefiniert ist, muss nämlich „ Šü2 H5 ö sein. Sonst wäre in einer Kugel
vom Radius wieder mehr Masse versammelt als erlaubt. Die Kugel wäre kleiner als der SchwarzschildRadius der darin enthaltenen Masse.
Die Funktion ¼ 2 5 nimmt also monoton mit ab. Das entspricht natürlich auch unserer physikalischen
Intuition. Sollte der Druck an irgendeiner Stelle Ç G Null werden, so haben wir die Oberfläche des Pla
neten erreicht. Wir setzen ü2]Ç G 5 , und setzen die Metrik für £ ÇG durch (15.28) fort. Zum Schluss
müssen wir nur noch die Differentialgleichung (15.35) für z¬2 H5 lösen. Hier gilt als Anfangsbedingung
ñ
D
z¬2]ÇÍG 5 2
„ot ÇÍG 5 , damit auch z¬2 5 bei ÇG stetig ist.
Sollte die Funktion ¼ 2 5 nie Null werden, dann haben wir keinen richtigen Himmelskörper vorliegen,
sondern einen vollständig mit Materie gefüllten Raum. Auch das ist natürlich möglich. In diesem Fall
å
…
können wir als Randbedingung an z¬2 5 stellen, dass im räumlich Unendlichen für ™
‚ MºM ™
gelten soll, so dass dort die Zeitkoordinaten ) wieder mit der physikalischen Zeit übereinstimmt. Aber
diesen Fall wollen wir nicht weiter untersuchen, da er nicht sehr realistisch ist.
ü2 H5
Aufgabe 15.12 Man leite im Rahmen der Newtonschen Gravitationstheorie die Gleichungen f ür die Dichte 782 H5 , den Druck ¼ 2 H5 , und das Potential 132 5 im Innern eines Sterns her, und vergleiche sie mit den hier
hergeleiteten relativistischen Gleichungen (15.40) und (15.43).
Exakte Lösungen
Um die Metrik im Innern eines Sterns zu bestimmen, müssen wir seine Zustandgleichung kennen, das
heißt wir müssen den Zusammenhang zwischen dem Druck und der Dichte kennen. Es liegt in der Natur
der Sache, insbesondere der Tollman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung (15.43), dass sich die Differentialgleichungen nur für sehr spezielle Zustandsgleichungen exakt lösen lassen. Wir wollen uns deshalb mit
dem einfachsten Fall begnügen, nämlich dem einer inkompressiblen Fl üssigkeit.
Eine inkompressible Flüssigkeit zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Dichte unabhängig vom Druck ist.
7G für
Wir können also annehmen, dass die Dichte im Innern des Himmelskörpers konstant ist, 782 5
önÇÍG , und Null außerhalb, 782 H5 für £ ÇG . Das ist zumindest eine gute Näherung für Planeten,
deren Dichte sich im Innern, bis auf eine dünne Oberflächenschicht, nur wenig ändert. Für Sterne sieht
es schon ein wenig anders aus, aber wir wollen uns hier damit begnügen, eine qualitative Vorstellung zu
bekommen.
Aufgabe 15.13 Warum kann es in der relativistischen Physik eigentlich keine inkompressible Fl üssigkeit
D
782 ¼ 5 überall ' 7 '¼ £ gelten? Die
geben? Warum muss insbesondere für jede Zustandsgleichung 7
Dichte eines Himmelskörpers kann also nur dann annähernd konstant sein, wenn der Druck im Zentrum
noch klein ist im Vergleich zur Dichte, das heißt die Flüssigkeit dort muss sich noch nichtrelativistisch
verhalten.
284
Betrachten wir also die zu lösenden Differentialgleichungen für einen Himmelskörper konstanter Dichte
782 H5 7G . Es ergibt sich dann unmittelbar aus (15.41), dass
ü2 5
;=
7G • ÇÍG
(15.44)
ü2WÇG 5 die Masse des Sterns ist. Das setzen wir in (15.43) ein, und erhalten
wobei ÇÍG der Radius und so eine Differentialgleichung mit Anfangswert für ¼ 2 5 ,
;= *
<
H
5
¼ {2
¼ 2]ÇÍG 5
o¦ =
2]7G j ¼ 2 55 2]7G j ¼ 2 55 (15.45)
7G &
t
Diese Gleichung lässt sich lösen, wenn wir eine Hilfsfunktion 2 5 einführen, die wie folgt definiert ist,
t
{ 2 5 t H5 *t
„¾7G ¼ { 2 H5
7G j ¼ 2 5 B
(15.46)
2
G
t
55
H
5
5
5
5
7G j ¼ 2
2
2]7G j ¼ 2 2·7G j ¼ 2
t
Über die Konstante G werden wir gleich noch verfügen. Die Differentialgleichung (15.45) mit Anfangsbedingung lautet dann
t
¦o=
t
{ 2 H5 x
7G ¦
o
=
2 5
7G &
t
*t 2]ÇÍG 5
G
(15.47)
Die Lösung ist
o¦ =
ñ „ , & 7G & Š
2 H5 ­ ñ
(15.48)
ÇÍG
t
t *
ist.
Die Konstante G haben wir so gewählt haben, dass 2 5
t 5
Jetzt können wir alle gesuchten Funktion durch 2 ausdrücken. Auflösen von (15.46) nach ¼ 2 5 ergibt
t H5 ‚
t
2
2]ÇÍG 5
H
5
B
¼ 2
¼ 2]ÇÍG 5
7G (15.49)
t
ƒ
t H5
5
2WÇÍG
2
Die gestellte Randbedingung ist also erfüllt. Der Druck auf der Oberfläche bei Ç|G verschwindet.
Für die Funktion `¾2 H5 , also die ‚haa -Komponente der Metrik, ergibt sich aus (15.39) und (15.44)
D
!$#
ñx„… 5
B
5
(15.50)
`32
`32WÇÍG
t 5
ÇÍG E
2 &
ÇÈG geht `32 5 stetig in die Funktion (15.25) außerhalb des
Auch hier stimmt die Randbedingung. Für t
Himmelskörpers über.
Was noch bleibt ist die Funktion zÁ2
men können. Es muss gelten
H5 , also die ‚
MºM -Komponente der Metrik, die wir aus (15.35) bestim-
{ 2 5
¼ { 2 H5 z { 2 5 t
ƒt H5
H
5
5
5
„–z¬2
7 G j ¼ 2
W2 ÇÍG
2
t
(15.51)
Auch diese Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir finden
t
‚t H 5_5
H
5
z¬2
2 &
; 2 W2 ÇÍG 5
B
ñ „… z¬2]ÇÍG 5
ÇÍG
(15.52)
Den Vorfaktor, der sich aus (15.51) nicht ergibt, haben wir so gewählt, dass auch hier die Anschlussbe
dingung bei ÇG erfüllt ist. Der Funktionswert z¬2WÇG 5 muss mit dem aus (15.25) übereinstimmen.
285
…‡†dˆ
…‡†fˆ
‰
„M…‡†fˆ

‰
Œ
Œ
Ž
Ž
‹
Ž

’‘
Milchstraße
Galaxie
„M…‡andere
†fˆ
‹ Ž
Š^

 ‘
’
Š …‡†fˆ
Ž
…‡†dˆ
ŠŽ
…‡†fˆ
‹
Š …‡†fˆ
‹
(b)
(a)
Abbildung 15.1: Die Zeitkomponente “8Ӈ”ŸÚ der Metrik, die radiale Komponente •«Ó‡”ŸÚ , der Druck –9Ӈ”ŸÚ und
die Dichte —Ó‡”ŸÚ für einen Sterns, der um ein mehrfaches größer ist als sein Schwarzschild-Radius (a),
sowie für einen Stern, dessen Größe mit dem Schwarzschild-Radius vergleichbar ist (b). Je kleiner das
Verhältnis ˜ G™ ˜ z , desto größer ist bei gleicher Dichte der Druck im Zentrum. Die Funktion “8Ӈ”ŸÚ gibt
die Zeitdilatation an, die eine ruhende Uhr im Gravitationsfeld des Sterns erfährt. Je näher die Uhr dem
Zentrum ist, umso langsamer geht sie im Vergleich zu einer Uhr weit draußen.
Damit sind wir fertig. Wir haben die Metrik sowie die Verteilung der Materie innerhalb und außerhalb des Himmelskörpers bestimmt. Fassen wir das Ergebnis noch einmal zusammen. Es treten zwei unabhängige Parameter auf, die Masse des Sterns sowie sein Oberflächenradius Ç|G . Die Metrik hat die
Form
5
'Sî &
z¬2 ') & `¾2 H5 ' & &Á2 ' [6& Þßáà &C[ ' \ & 5
(15.53)
Die Funktionen zÁ2 H5
j
:š
ÇG
sind für
und `¾2 5
t
›
ƒt 55
5
z¬2
2 &
; 2 ]2 ÇÍG 5
j
j
durch (15.50) und (15.52) gegeben,
H5 `¾2
t
2 H 5 &
mit
t
2 5
ñ „ , & ÇÍG
(15.54)
Für œ ÇÍG schließen sie sich stetig an die Funktionen (15.25) an. Die Dichte ist innerhalb des Sterns
konstant, und der Druck durch (15.49) gegeben,
782 H5 7G t H5 
t
2
2]ÇÍG 5
5
¼ 2
7G t
ƒ
t H5 2WÇÍG 5
2
mit
7²G
; = ÇkG
(15.55)
Damit die Funktion 2 5 für š žš ÇG definiert ist, muss auch hier wieder Ç G £ „ , sein. Es
folgt also auch aus der Lösung der Einstein-Gleichung im Innern, dass der Stern größer sein muss als sein
Schwarzschild-Radius.
Es gibt nun aber noch eine weitere, stärkere Einschränkung an die Parameter. Offenbar muss, damit die
Zeitkomponente der Metrik wohldefiniert ist, zusätzlich
t
t
2WÇÍG 5 £
t
2 H5
für
Ë
š
:š ÇÍG
(15.56)
gelten. Wäre diese Bedingung nicht erfüllt, würde außerdem der Druck an irgendeiner Stelle unendlich
286
werden. Da
t
2 H5
positiv ist, lautet die Bedingung
¦
ñ „ , &
,
£
ÇÍG
Ç G
Í
D & ˆ
¦
¦
, ÇÍGñö†„ , ÇÍG E
šË:š
Ç G erfüllt, wenn
Diese Bedingung ist genau dann für alle
¥
ÇÍG £ ; , ¥
t
2]ÇÍG 5 & £
t
2 H5 &
ˆ
¥ (15.57)
(15.58)
Offenbar ist das eine stärkere Einschränkung als die schon bekannte. Es gibt also, jedenfalls in Rahmen
unseres sehr einfachen Modells, keine Lösung der Einstein-Gleichung für einen Himmelskörper, dessen
Radius kleiner ist als „ „c{ , .
Ein stabiler, kugelförmiger Himmelskörper der Masse
á
„ „c{ , „h{ðÇyz .
hat einen Oberfl ächenradius
ÇG £
Tatsächlich gilt diese Aussage für alle realistischen, kugelförmigen Himmelskörper. Sie ist unter der Bezeichnung Buchdahls Theorem bekannt. Wir werden sie hier allerdings nicht beweisen. Man muss dazu
geschickte Abschätzungen in der Differentialgleichung (15.43) vornehmen, um so zu zeigen, dass der
Druck stets an irgendeiner Stelle unendlich wird, wenn der ÇÈGmö˄ „c{ , ist.
„ , gesetzt wird, ist ohnehin von
Die absolute Grenze, die durch den Schwarzschild-Radius Çz
größerer Bedeutung. Sie ist unabhängig von irgendwelchen Zustandsgleichungen für die Materie im Stern,
denn sie beruht einzig und allein auf der Lösung der Einstein-Gleichung außerhalb des Himmelskörpers.
Mit ihr, und wie wir sie in den Bereich ö˄ð dennoch fortsetzen können, werden wir uns ausführlich
in Kapitel 18 auseinandersetzen.
Aufgabe 15.14 Der Parameter Ç G ist der Oberflächenradius des Sterns, das heißt seine Oberfläche ist ei;=
ne Sphäre mit den Flächeninhalt ÇG & . Man berechne den Durchmesser Ÿ des Sterns, also die Länge einer Geodäte, die zwei gegenüberliegende Punkte auf der Oberfläche miteinander verbindet. Ist der Durchmesser größer oder kleiner als erwartet? Was bedeutet das anschaulich f ür die Geometrie des Raumes
innerhalb des Sterns? Wie groß ist das Volumen des Sterns? Ist es gr ößer oder kleiner als das Volumen
einer Kugel mir derselben Oberfläche im Euklidischen Raum?
Ç|G ein Knick zu
Aufgabe 15.15 In der Darstellung der Funktion `32 5 in Abbildung 15.1 ist bei sehen. Wodurch ist dieser Knick bedingt? An welcher Stelle muss man das Modell ein wenig realistischer
gestalten, um den Knick zu entfernen?
Aufgabe 15.16 Wie groß ist die “Erdbeschleunigung” ‚ , die ein ruhender Beobachter auf der Oberfl äche
des Himmelskörpers spürt, ausgedrückt durch und ÇG . Wie groß ist sie in der Newtonschen Theorie?
Wenn wir die Erdmasse mit Hilfe der Newtonschen Formel aus dem Radius Ç|G und der Erdbeschleunigung ‚ bestimmen, wie groß ist dann der Fehler?
Aufgabe 15.17 Ein sehr weit entfernter Beobachter misst das Spektrum eines leuchtenden Sterns, der
relativ zu ihm ruht. Er findet die typischen Absorptionslinien von Wasserstoff, der sich offenbar in der
T
Sternatmosphäre befindet. Eine Linie, die normalerweise die Wellenlänge G hat, wird jedoch bei einer
T
T
G gemessen. Man bezeichnet das Verhältnis
Wellenlänge £
T T
G
›
T
(15.59)
G
als den Rotverschiebungsfaktor. Man zeige, dass › ö „ ist. Wenn man im Universum Sterne mit › £ „
sieht, welchen Schluss muss man daraus ziehen?
287
16 Planetenbahnen und Lichtablenkung
Nachdem wir nun das Gravitationsfeld eines Sterns berechnet haben, wollen wir als nächstes die Bahnen
von anderen Körpern in diesem Feld bestimmen. Ein anderer Körper kann ein Planet sein, der den Stern
umkreist, oder ein Komet, der aus dem unendlichen kommt und auf den Stern zu fällt. Solange ein solcher
Körper klein im Vergleich zum Stern ist, können wir ihn als einen Testkörper betrachten. Seine Weltlinie
ist dann eine zeitartige Geodäte in der Schwarzschild-Metrik aus dem letzten Kapitel.
Bevor wir die diese Metrik einsetzen, werden noch ein paar allgemeine Überlegungen zur Geodätengleichung in einer gekrümmten Raumzeit durchführen. Insbesondere werden wir eine Verallgemeinerung des
Noether-Theorems aus der klassischen Mechanik beweisen. Anschließend können wir mit dessen Hilfe
auf einfache Weise die Bewegungsgleichungen für einen Testkörper in der Schwarzschild-Metrik aufstellen und deren Lösungen diskutieren. Wir werden dabei feststellen, dass die allgemeine Relativitätstheorie
an der einen oder anderen Stelle eine Abweichung von den Keplerschen Gesetzen für die Planetenbahnen
voraussagt.
Eine solche Abweichung, für die es keine Erklärung gab, wurde sogar schon lange vor der Veröffentlichung der allgemeinen Relativitätstheorie beobachtet. Wegen der Störungen durch die anderen Planeten
ist die Bahn eines Planeten normalerweise keine perfekte Ellipse. Statt dessen kommt es zu einer Perihelverschiebung, das heißt der sonnennächste Punkt einer Planetenbahn wandert bei jeder Umdrehung um ein
kleines Stück weiter. Durch eine Störungsrechnung lässt sich diese Perihelverschiebung für jeden Planeten
im Rahmen der klassischen Mechanik berechnen.
Für den Planeten Merkur fand man eine Abweichung zwischen der berechneten und der beobachteten
;H
Perihelverschiebung von etwa { { pro Jahrhundert, also eine sehr kleine, aber durchaus messbare Abweichung. Die einzige Erklärung, die man in der klassischen Mechanik hatte, war anzunehmen, dass es
noch einen weiteren, bisher unbekannten Planeten gibt. Umso erstaunlicher war es, dass die allgemeine
Relativitätstheorie genau diesen Wert ohne weitere Annahmen vorhersagte.
Eine weitere Voraussage der allgemeinen Relativitätstheorie ist, dass ein Lichtstrahl, wenn er die Sonne
nahe der Oberfläche passiert, um einen charakteristischen Winkel abgelenkt wird. Dieser Winkel weicht
um einen Faktor zwei von dem Winkel ab, den die Newtonsche Theorie des Lichts als Strom von klassiH´
{H{ { sehr klein, aber für ein gutes Teleskop lag er
schen Teilchen vorhersagt. Auch dieser Winkel ist mit
auch schon von hundert Jahren im Bereich des messbaren. Man benötigt aber eine Sonnenfinsternis, um
einen Lichtstrahl zu fotografieren, der gerade an der Sonnenoberfläche vorbei gelaufen ist.
Das erste Experiment, oder besser die erste Beobachtung, die zur Bestätigung oder Widerlegung der allgemeinen Relativitätstheorie durchgeführt wurde, war deshalb eine Expedition zu einer Sonnenfinsternis
vor der Westküste Afrikas im Jahre 1919, um dort die Ablenkung des Lichts von einem fernen Stern an
der Sonne nachzuweisen. Auch dieses Experiment bestätigte die allgemeine Relativitätstheorie in vollem
Umfang.
Isometrien und Erhaltungssätze
Doch wie gesagt, bevor wir zu diesen ersten Beobachtungen kommen, die die allgemeinen Relativitätstheorie bestätigten, wollen wir ein paar allgemeine Aussagen über Geodätengleichungen machen. Wenn
wir in der klassischen Mechanik Bewegungsgleichungen lösen, ist das Noether-Theorem oft sehr nützlich.
Es besagt, dass zu jeder Symmetrie eines dynamischen Systems eine Erhaltungsgröße gehört. Ein solches
Theorem gilt natürlich auch in der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir wollen es hier kurz darstellen und
beweisen.
Das mechanische System, dass wir untersuchen wollen, ist ein frei fallendes Testteilchen in einer gegebenen Raumzeit § . Die Metrik ‚
Lg` liegt also fest, und wir untersuchen die Geodäten dieser Metrik,
auf denen sich frei fallende Teilchen bewegen. Wie wir wissen, können wir die Weltlinien solcher Teil-
288
^
chen aus einem Wirkungsprinzip ableiten. Wir stellen die Weltlinie als eine Funktion 2 Z 5 dar, führen eine
Ì
Hilfsfunktion 2 Z 5 £
ein, die später die Parametrisierung der Weltlinie bestimmt, und definieren eine
Lagrange-Funktion
Ì
T T ½&
Ì ‚ La` \ L \ `
„
„
Ì ^ ^ 2 \5
(16.1)
Dies ist die Übersetzung der Lagrange-Funktion (5.45) für ein freies Teilchen in einer gekrümmten Raumzeit. Ein freies Teilchen ist demnach in der allgemeinen Relativitätstheorie ein Teilchen, dass nur das
Gravitationsfeld sieht, aber sonst keine Kräfte spürt.
Wir hatten in Kapitel 10 auch schon gezeigt, dass dieses Wirkungsprinzip auf einer gekrümmten ManÌ
nigfaltigkeit auf die Geodätengleichung führt, und dass die Hilfsfunktion 2 Z 5 , die wir Einbein genannt
haben, genau wie in der flachen Raumzeit angibt, wie schnell die Eigenzeit ª«2 Z 5 als Funktion des Kurvenparameters Z vergeht.
Es ist an dieser Stelle nützlich, die Bewegungsgleichungen in einer etwas anderen Form zu schreiben
als sonst. Wir definieren zuerst den Impuls ¼ desb Teilchens als die Ableitung der Lagrange-Funktion nach
T
L
der Geschwindigkeit \ L ,
b
¼ L
T
T Ì ‚ Lg` \ L
\L
(16.2)
Dabei wird ¼ offenbar als ein dualer Vektor definiert. Das wollen wir im folgenden auch so belassen, das
L
heißt wir werden den Index nicht nach oben bziehen.
Alsb Bewegungsgleichung finden wir dann
b
¼\L
T
L
„
T T ‚L d É \ d \ É
Ì
Nun benutzen wir, dass die Metrik kovariant b konstant ist, also
>
L‚dÉ
L‚dÉ
„ Ä `L ±d ‚ É µ`
(16.3)
f
(16.4)
Damit können wir die Ableitung der Metrik durch das Christoffel-Symbol auszudrücken. Das ergibt
¼\L
T T T Ì Ä ` Lgd ‚ ` É \ d \ É Ä ` Lgd ¼ ` \ d
(16.5)
Diese Gleichung können wir auch wie folgt schreiben,
¼\L
T >
T T >
<
\d d¼ `
Ä ` Lgd ¼ ` \ d
(16.6)
wobei \ d
d für die kovariante Richtungsableitung entlang der Weltlinie steht. In dieser Form besagt die
Bewegungsgleichung, dass der Impuls kovariant konstant ist.
Ì
Schließlich müssen wir die Lagrange-Funktion (16.1) noch nach 2 Z 5 ableiten. Das ergibt als zusätzliche
Bewegungsgleichung die Nebenbedingung
T T
f
Ì ‚ gL ` \ L \ ` j &
„
„ &
x
‚ Lg` ¼ L ¼ `
&
B
(16.7)
Insgesamt bekommen wir den folgenden Satz von Bewegungsgleichungen,
T
\L
fÌ
‚ gL ` ¼ ` T >
\ d d ¼\L
Ì
‚ aL ` ¼ L ¼ `
½&
(16.8)
Aus der ersten Gleichung entnehmen wir, dass das Einbein 2 Z 5 , das wir beliebig als Funktion des Kurvenparameters Z vorgeben können, die Parametrisierung der Weltlinie bestimmt. Es gibt an, wie schnell die
Kurve als Funktion von Z durchlaufen wird. Der Impulsvektor gibt an, in welche Richtung die Weltlinie
289
verläuft, und diese Richtung ist kovariant konstant. Also ist die Weltlinie ein Geodäte. Und schließlich
hängt es von der Masse ab, ob die Weltlinie lichtartig oder zeitartig ist. Soweit ist das natürlich nichts
neues.
Jetzt wollen wir annehmen, dass die Raumzeit eine Symmetrie besitzt, zum Beispiel eine Translationsoder Rotationssymmetrie. Dargestellt wird eine solche Symmetrie, wie wir aus Kapitel 12 wissen, durch
¿
eine Isometrie, also eine Abbildung ¡
§ ™ § , unter der die Metrik invariant ist. Die Gruppe aller
solchen Abbildungen ist die Isometriegruppe ¢¤£W¥|2]§ 5 . Sie ist eine Lie-Gruppe, und die zugehörige Lie B§
Algebra ist die Algebra der Killing-Vektorfelder.
Ein Killing-Vektorfeld ¦ auf §
war durch die Eigenschaft definiert, dass die Lie-Ableitung
der
Metrik verschwindet, ۤ
©¨ >
> ¨
> ¨
Y> ¨
> ¨ d d ‚ aL `Pj L d ‚ d_`–j ` d ‚ Lgd
(16.9)
L `–j ` L
ein Killing-Vektorfeld auf § , das zu irgendeiner einparametrigen Untergruppe der Isome‚ Lg`
Es sei also ¦
triegruppe gehört. Wir wollen zeigen, dass dann der Skalar
h
ª
¦
C« ž¨
L ¼ L
(16.10)
eine Erhaltungsgröße ist. Die Komponente des Impulses in Richtung des Killing-Vektors ist also entlang
der Weltlinie des Teilchens konstant.
ª
Der Beweis ist ganz einfach. Wir müssen nur die Ableitung von entlang der Weltlinie ausrechnen. Wir
schreiben die Ableitung nach Z wieder in der Form
ª
\
T > ª
\d d (16.11)
wobei die kovariante Ableitung jetzt einfach die gewöhnliche Ableitung ist, da sie auf einen Skalar wirkt.
ª
Setzen wir die Definition von ein, so ergibt sich
T T > ¨ S
h
T > ¨
T
> ¨ 5
\d ¼ L d L
Ì \d \L d L
\ \d d2 L ¼ L
ª
(16.12)
Hier haben wir zuerst die Bewegungsgleichungen verwendet, wonach ¼ kovariant konstant und proporT
L
tional zu \ L ist, anschließend die Eigenschaft der kovarianten Ableitung, dass wir darunter beliebig Indizes
¨
hoch und runter ziehen können, und schließlich die Eigenschaft von L , ein Killing-Vektor zu sein. Halten
wir also fest:
Zu jeder Symmetrie der Raumzeit gehört ein Killing-Vektorfeld ¦ , sowie eine Erhaltungsª ž¨
L ¼ .
größe
L
Das ist das Noether-Theorem für ein Testteilchen in einer gekrümmten Raumzeit.
Als Beispiel wollen wir eine Raumzeit betrachten, in der die Metrik in einem ausgewählten Koordinatensystem 2 ) 4 N 5 nicht von der Koordinate ) abhängt, wohl aber von drei anderen Koordinaten 4 N . Wenn
wir ferner annehmen, dass ‚ ö
ist, dann ist eine Kurve mit 4 N
const eine zeitartige Weltlinie, und wir
MºM
können ) als eine Zeitkoordinate interpretieren. Wir nennen eine solche Raumzeit dann station är.
Aufgabe 16.1 Man gebe ein Beispiel für eine stationäre Raumzeit, die aber nicht statisch ist, deren Metrik
also nicht von der Form (15.1) ist. Welche zusätzliche Bedingung muss eine stationäre Raumzeit erfüllen,
damit sie auch statisch ist?
Aufgabe 16.2 Die Begriffe “stationär” und “statisch” sind auch aus der Hydrodynamik bekannt. Wann
ist die Strömung einer idealen Flüssigkeit stationär, wann statisch? Was bedeutet das für die Komponenten
des Energie-Impuls-Tensor? Man vergleiche dies mit der entsprechenden Aussage über die Komponenten
der Metrik in einer stationären bzw. statischen Raumzeit.
290
Die Metrik einer stationären Raumzeit hängt also nicht von der Zeit ) ab. Folglich ist jede Abbildung
2 ) 4 N 5™˜ 2 ) j 4 N 5 der Raumzeit auf sich selbst eine Isometrie, wenn eine Konstante ist. Das ist eine
einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen. Das zugehörige Killing-Vektorfeld ist
Î
¦
M
¨
B
¨
M
¨
N
S
(16.13)
Daraus folgt unmittelbar, dass L ¼
L ¼ M eine Erhaltungsgröße ist. Die Zeitkomponente des Impulses ist
entlang der Weltlinie konstant ist.
Intuitiv würden wir sagen, dass dies wohl die Energie des Teilchens sein muss. Denn zu einer Zeitverschiebung als Symmetrie gehört die Energie als Erhaltungsgröße. Und war nicht die Energie die Zeitkomponente des Impulses? Es ist nicht ganz klar, was nun eigentlich die Energie ist, denn ¼ ist nicht dasselbe
M
wie ¼ M , und letztlich hängt die Energie eines Teilchens ja auch vom Bewegungszustand des Beobachters
ab.
Erinnern wir uns kurz daran, dass physikalische Größen, die durch eindeutige Messvorschriften definiert
sind, stets Skalare sind. Wir hatten dies im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie unter anderem bei der
Herleitung des Doppler-Effektes und der Aberation von Lichtstrahlen am Ende von Kapitel 4 verwendet.
So war zum Beispiel die Energie, die ein Beobachter, der sich mit einer 4-Geschwindigkeit ¬ durch die
«
C«
Raumzeit bewegt, bei einem Teilchen mit Impuls misst, durch den Skalar y
gegeben.
¬
Dasselbe gilt gemäß unserer Übersetzungsvorschrift auf einer gekrümmten Raumzeit. Allerdings
müssen sich Beobachter und Teilchen jetzt an derselben Stelle in der Raumzeit befinden. Sonst ist einerC« seits die Messung physikalisch nicht möglich, andererseits aber auch das Skalarprodukt ¬
‚ Lg` q L ¼ `
nicht definiert.
Also nehmen wir an, ein Beobachter ruhe relativ zu dem Koordinatensystem 2 ) 4 N 5 , und das Teilchen
kommt an dieser Stelle vorbei. Dann gilt für die 4-Geschwindigkeit ¬ des Beobachters, wie man sich leicht
überlegt,
¬
Denn dann ist ¬
ƒ
Î
‚ MºM M
B
q M ƒ
q N <
‚
MºM
4
der Tangentenvektor einer Weltlinie mit N
const und
*…H
¬
¬
‚ La` q L q `
(16.14)
(16.15)
Die Energie, die dieser Beobachter bei dem Teilchen misst, ist demnach
C« * q L
x ¼ M ¼ L
ƒ ‚ ºM M
weder ¼ noch ¼ M . Die Erhaltungsgröße ¼
M
M
y
¬
(16.16)
Die gemessene Energie ist
hat nur mittelbar etwas mit der
physikalischen Energie y zu tun, praktisch nichts dagegen mit der Komponente ¼ M
‚"MºL ¼ L , in die durch
das Hochheben des Index auch noch die räumlichen Komponenten des Impulses eingehen.
Wir kennen das auch schon von der Herleitung der Rot- und Blauverschiebung im Gravitationsfeld.
Wenn sich ein Photon durch eine statische, oder allgemeiner durch eine stationäre Raumzeit bewegt, dann
messen Beobachter an verschiedenen Orten verschiedene Frequenzen, also verschiedene Energien. Und
zwar verhalten sich diese Energien zueinander genau wie die Wurzeln aus der Komponente ‚ der Metrik
MºM
an den jeweiligen Orten. Auch das hatten wir schon früher gesehen. Und es passt offenbar mit der Tatsache
zusammen, dass die Komponente ¼ des Impulses die eigentliche Erhaltungsgröße ist.
M
Man muss also mit dem Begriff Energie etwas vorsichtig sein, wenn er in Zusammenhang mit Erhaltungsgrößen benutzt wird. Wir werden oft eine Größe einfach Energie nennen und mit y bezeichnen,
wenn es eine mit der Zeitverschiebung als Symmetrie assoziierte Erhaltungsgröße ist. Aber diese muss
nicht immer mit der gemessenen Energie übereinstimmen, die ein Beobachter sieht, der sozusagen vor Ort
ist. Und natürlich erst recht nicht mit der von einem bewegten Beobachter gemessenen Energie.
291
Aufgabe 16.3 Warum ist es in (16.13) wichtig, dass die Indizes oben stehen? Warum ist das Vektorfeld mit
¨
¨
den Komponenten
und
kein Killing-Vektorfeld, und folglich ¼ M keine Erhaltungsgröße?
M
N
Eine weitere wichtige Erhaltungsgröße ist der Drehimpuls in einer rotationssymmetrischen Raumzeit. Betrachten wir eine Raumzeit mit den Koordinaten 2 ) 4 š8œ› 5 , und nehmen wir an, dass
4 ÎSç ÎSæ
š
¦
B
¨
M
¨
æ x
¨
š8
ç 4
¨
ž <
(16.17)
ein Killing-Vektorfeld ist. Dann können wir sagen, dass die Raumzeit eine Rotationssymmetrie besitzt.
Die zugehörige einparametrige Gruppe von Isometrien, also der Fluss des Killing-Vektorfeldes ist
) ™˜ ) 4½˜™
ãaäÞ
4 Þßáà
š ˜™
š6
Þ_ßÕà
4
j ãaäÞ
š8
› ˜™
›
(16.18)
Was ist dann die zugehörige Erhaltungsgröße? Es ist offenbar
,
©¨
­
L ¼ L
4 ç š ¼ æ
¼
(16.19)
also das, was wir normalerweise als die › -Komponente des Drehimpulses bezeichnen würden. Auch hier
æ
ç
ist es wieder wichtig, dass die Indizes bei
æ ¼ und
ç ¼ in (16.19) unten stehen. Sonst ergibt sich keine
Erhaltungsgröße. Aus den Komponenten ¼ und ¼ des Impulses können wir keine Erhaltungsgröße bilden.
Wenn eine solche Rotationssymmetrie vorliegt, können wir stets eine Koordinatentransformation
durchführen,
4 ãaäHÞ \P
š Þ_ßÕà \P
(16.20)
so dass der Killing-Vektor und folglich auch der Drehimpuls in diesen Koordinaten eine einfache Darstellung hat,
Î
­,
B
¼ b
(16.21)
¦
b
Der Drehimpuls ist also einfach die Komponente ¼ b , so wie die erhaltene Energie in einer stationären
Raumzeit die Komponente ¼ des Impulses ist. Der Grund ist in beiden Fällen der gleiche. Eine rotatiM
onssymmetrische Metrik hängt nicht von \ ab, genau wie eine stationäre Metrik nicht von ) abhängt, und
folglich sind die entsprechenden Komponenten des Impulses mit Index unten erhalten.
Wir erinnern in diesem Zusammenhang an Aufgabe 12.2, wo wir ganz allgemein bereits auf den Zusammenhang zwischen Killing-Vektoren und Erhaltungsgrößen auf Geodäten eingegangen waren. Dort und in
den folgenden Aufgaben wurde auch gezeigt, dass es stets möglich ist, Koordinaten so zu wählen, dass ein
Î
gegebenes Killing-Vektorfeld von der Form ¦
b ist, wobei \ eine der Koordinaten ist. Die zugehörige
Erhaltungsgröße ist dann stets die entsprechende Komponente ¼ b des Impulses.
Was die Rotationssymmetrie betrifft, so können wir das natürlich verallgemeinern. Nehmen wir an,
unsere Raumzeit mit den Koordinaten 2 ) 4 š6› 5 habe drei Killing-Vektorfelder, und zwar
¦
# š Î ž › SÎ ç ¦
ž
› ÎSæ 4 Î &
4 ÎSç š ÎSæ ¦
(16.22)
Dann nennen wir die Raumzeit kugelsymmetrisch. In diesem Fall gibt es zu jedem der drei KillingVektoren eine entsprechende Erhaltungsgröße,
­
# š ¼ ž › ¼ ç
­
&
ž
› ¼ æ 4 ¼ ­
4 ¼ ç š ¼ æ (16.23)
In der klassischen Mechanik würden wir diese drei Größen zu einem Drehimpulsvektor zusammenfassen.
Die Bezeichung “Vektor” ist jedoch an dieser Stelle nicht ganz zutreffend.
­
­
­
Die Erhaltungsgrößen # ,
und bilden keinesfalls die Komponenten eines Raumzeit-Vektors. Der
&
hätte ja auch vier Komponenten. Es sind drei unabhängige skalare Größen, die entlang der Weltlinie konstant sind. Es ist sinnlos, sich den Drehimpuls als einen Vektor vorzustellen, der lokal an dem Ereignis
292
definiert ist, an dem sich das Teilchen gerade befindet, und dort in eine bestimmte Richtung im Raum
zeigt.
Wenn wir den Drehimpuls als Vektor verstehen wollen, müssen wir anders vorgegen. Wir müssen dazu
die Lie-Algebra ® betrachten, die von den Killing-Vektorfelder ¦ # , ¦ und ¦ aufgespannt wird. Als Lie&
&
Algebra ist ® natürlich ein dreidimensionaler Vektorraum. Jeder Vektor ¦ © ® repräsentiert ein Killing­
¯¨
Vektorfeld auf § , und somit gehört zu jedem Vektor ¦ © ® eine Erhaltungsgröße 2'¦ 5
L ¼ L , die
entlang einer Geodäte konstant ist.
­¤¿
™ À definiert. Zu jeder Geodäte
Dadurch wird offenbar für jede Geodäte eine lineare Abbildung
®
­
gehört also eindeutig ein Vektor © ®±° aus dem Dualraum von ® . Dieser Vektor ist der Drehimpulsvektor. Es handelt sich also nicht um einen Raumzeit-Vektor in irgendeinem Tangentenraum, sondern um
einen Vektor im Dualraum der Lie-Algebra, die von den Killing-Vektoren aufgespannt wird.
Im Sinne des Tensorkalküls sind alle Erhaltungsgrößen dieser Art Skalare, also Tensoren nullter Stufe.
Das heißt, sie ändern ihren Wert nicht unter Koordinatentransformationen. Wenn wir zu Kugelkoordinaten
übergehen,
4 Þ_ßÕà [ ãaäHÞ \P
š Þ_ßÕà [ ÞßÕà \P
› ãaäHÞ [ (16.24)
dann ändert sich zwar die Darstellung der Killing-Vektoren. Wir haben diese bereits früher ausgerechnet
und das Ergebnis in (12.32) angegeben,
¦
# ÞßÕà
Ώ] ãaähg
\
ãgäHÞ
[
Î b \
¦
&
ãaäHÞ
Ώ] ãaähg
\
Þßáà
[
Î b \
¦
Es ändert sich auch die entsprechende Darstellung der Erhaltungsgrößen,
­
# Þßáà
\
¼
]
ãgähg
[
ãaäHÞ
¼ b \
­
&
ãgäHÞ
\
¼
]
ãaähg
[
Þ_ßÕà
\
¼ b ­
Î b (16.25)
¼ b (16.26)
Aber dies ist eben nur eine andere Koordinatendarstellung für dieselben drei skalaren Größen
­
.
­
#,­
&
und
Aufgabe 16.4 Man zeige, dass die Vektorfelder (16.25) tatsächlich mit (16.22) identisch sind.
^
Aufgabe 16.5 Es sei 2 Z 5 eine Weltlinie eines frei fallenden Teilchens in einer kugelsymmetrischen Raumzeit. Man zeige, dass es stets möglich ist, Kugelkoordinaten 2 ) [ \ 5 so einzuführen, dass die ganze
†=ÁD
Weltlinie in der Äquatorebene liegt, also [32 Z 5
„ für alle Z gilt.
Genau wie in der klassischen Mechanik werden uns die Erhaltungsgrößen behilflich sein, wenn wir explizit die Geodätengleichung für eine symmetrische Raumzeit lösen wollen. Wenn wir zum Beispiel die
Planetenbahnen im Gravitationsfeld der Sonne berechnen wollen, und für dieses die Schwarzschild-Metrik
aus dem letzten Kapitel einsetzen, dann können wir sowohl die Drehimpuls- als auch die Energieerhaltung
verwenden.
Lichtartige Geodäten
Genau das wollen wir jetzt tun. Aber zuerst werden wir einen Fall diskutieren, der ein wenig einfacher
ist, nämlich den freien Fall eines masselosen Teilchens. Wir wollen also die Bahn eines Lichtstrahls zum
Beispiel im Gravitationsfeld der Sonne berechnen.
<
Ausgangspunkt ist die Lagrange-Funktion (16.1) für ,
Ì ^ ^ 2 \5
T T Ì ‚ Lg` \ L \ `
„
(16.27)
Setzen wir hier die Metrik (15.4) für eine statische, kugelsymmetrische Raumzeit ein, so ergibt sich
Ì ^ ^ 2 \5
„
Ì
u
z¬2 H5 ) \ & j `¾2 H5 \ & j &Á2 [8\ & j Þßáà &C[ \ \ & 5 v
293
(16.28)
^
Die Weltlinie 2 Z 5 wird jetzt durch die Koordinatenfunktionen ) 2 Z 5 , 2 Z 5 , [¾2 Z 5 und \ 2 Z 5 dargestellt. Aus
Aufgabe 16.5 wissen wir, dass es genügt, eine Weltlinie in der Äquatorebene zu betrachten. Wir setzen
x=ÁD
also [32 Z 5
„ . Dann hängt die Lagrange-Funktion nur noch von drei Koordinatenfunktionen und vom
Einbein ab,
Ì*² ¬z 2 5 ) \ & j `¾2 H5 \ & j & \ \ &C³
„
Ì ^ ^ 2 \5
(16.29)
Jetzt machen wir von den Erhaltungssätzen Gebrauch. Wegen der Zeitsymmetrie hängt die Lagrangeb ist die Energie eine Erhaltungsgröße,
Funktion nicht explizit von ) ab, und folglich
y
*
¼ M
b
)\
z¬2 5
Ì )\
B
Ì
)\
y
z¬2 5
(16.30)
Man beachte, dass wir die Größe y jetzt wegen ihre Eigenschaft als Erhaltungsgröße Energie nennen,
obwohl sie nicht mit der lokal gemessenen Energie des Photons übereinstimmt, dessen Weltlinie wir beschreiben wollen.
Ferner hängt die Lagrange-Funktion nicht
b explizit von \ ab, und folglich ist der Drehimpuls ebenfalls
eine Erhaltungsgröße
b
Ì
,
­
¼
b
&
Ì \\
1\
B
\
\
&
­
(16.31)
Als nächstes betrachten wir die Nebenbedingung, die sich aus der Ableitung der Lagrange-Funktion nach
Ì
ergibt. Sie besagt, dass die Weltlinie lichtartig ist, und lautet explizit
z¬2 5 )E\ &
¾2 5 \ & j & \ \ &
`
(16.32)
Diese Gleichungen genügen bereits, um die Bewegungsgleichungen zu lösen. Wenn wir die Erhaltungsgrößen verwenden, können wir die letzte Gleichung wie folgt umschreiben,
­
&
y|& `32 5 zÁ2 H5 & j z¬2 5
Ì
\
„
„ &
„ &
(16.33)
Wenn wir y und vorgeben, ist dies eine Differentialgleichung für die gesuchte Funktion 2 Z 5 . Die
Lösung können wir in (16.30) und (16.31) einsetzen und erhalten so auch die gesuchten Funktionen ) 2 Z 5
und \ 2 Z 5 .
Damit die zu lösenden Differentialgleichungen so einfach wie möglich werden, machen wie von der
Ì
Freiheit Gebrauch, das Einbein 2 Z 5 beliebig zu wählen, um so die Parametrisierung der Weltlinie festzu̅
5 z¬2 5 Dann lautet die von der Funktion 2 Z 5 zu erfüllende Differentialgleichung
`¾2
legen. Wir setzen
­
­
&
y & & j zÁ2 H5 \
„
„
„ &
(16.34)
und aus (16.30) und (16.31) wird
)\
32 5 y `
\
`¾2 5 ¬z 2 5 ­ \
&
(16.35)
Das Problem stellt sich jetzt genau so dar wie ein bekanntes Problem aus der klassischen Mechanik,
nämlich die Bewegung eines Teilchens der Masse Eins in einer Ebene, dargestellt in Polarkoordinaten
D
D
2 \ 5 . Die Erhaltungsgröße yB´>µ y & „ ist die klassische Energie des Teilchens, \ & „ ist die kinetische
Energie der Radialbewegung, und der zweite Term in (16.34) ist das effektive Potential
5 W¶¸·U2
­
& H5 ¬z 2
„ &
294
(16.36)
Aufgabe 16.6 Man zeige, dass sich die Bewegungsgleichung f ür
gestellt haben, tatsächlich wie folgt schreiben lässt,
¹ x
2 Z 5 , die wir bis jetzt nicht explizit auf-
{ 2 H 5
(16.37)
¶¸·
Die Radialbewegung des gesuchten Lichtstrahls gleicht also der eines klassischen Teilchens in einem Potential W¶¸·U2 5 .
Wie das effektive Potential genau aussieht, hängt davon ab, ob wir uns innerhalb oder außerhalb des Sterns
befinden. Außerhalb des Sterns, also für £ Ç G , müssen wir für z¬2 5 die Funktion (15.25) einsetzen. Es
gilt also
D
­
­
­
U2 5
W¶¸·
&
„ &
m „ , „ , & ,
&
„ &
E
£ ÇÍG für
(16.38)
Wir wollen zuerst den Fall F Çnz
betrachten, das heißt der Lichtstrahl soll weit vom Stern
ED
entfernt befinden. Dort können wir den zweiten Term, der mit abfällt, vernachlässigen. Ferner gilt
in (16.35) z¬2 5 r
und `¾2 H5 r
. Das Problem reduziert sich damit auf die Beschreibung eines freien
klassischen Teilchens in einer flachen Ebene, dargestellt in Polarkoordinaten. Die Lösungen der Bewegungsgleichungen sind
) 2Z 5 y Z j )G ­
2Z 5 &
y…& Z & y & j
|
\
2Z 5
\
D
y…& Z
G j»ºh¼ ãeg º à
­
E
(16.39)
wobei ) G und \ G zwei Integrationskonstanten sind. Wir können den Kurvenparameter Z eliminieren, um zu
zeigen, dass sich das Licht tatsächlich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt,
2 ) 5 ¾½ uG & 2 ) ) G 5 & j
\
2)5
\
D
G j»º¼ ãeg º à
)
G
)G
E
(16.40)
Z­–D
Das ist eine Gerade in einer Ebene, die zum Zeitpunkt ) G durch den Punkt mit den Koordinaten G
y
und \ G geht, und dort dem Ursprung am nächsten ist. Das ist auch die exakte Lösung der Bewegungsglei
n
chungen für , also wenn gar kein Stern vorhanden ist. So sollte es natürlich auch sein, denn dann
ist die Raumzeit ein flacher Minkowski-Raum.
Im allgemeinen erwarten wir ein Verhalten des Lichtstrahls, wie es in Abbildung 16.1 dargestellt ist.
Solange der Lichtstrahl weit von dem Stern entfernt ist, bewegt er sich näherungsweise auf einer Geraden
im flachen Raum. Wenn er in die Nähe des Sterns kommt, bewirkt die Krümmung der Raumzeit ein
Ablenkung. Wenn er sich dann wieder vom Stern entfernt, wird seine Weltlinie wieder näherungsweise
durch eine Gerade im flachen Raum beschrieben. Allerdings ist die Gerade, auf der der Lichtstrahl ausläuft,
nicht die Fortsetzung der Geraden, auf der der Lichtstrahl eingelaufen ist.
Für einen Beobachter, der sich in großer Entfernung befindet, stellt sich die Situation so dar, dass das
õ
Gravitationsfeld des Sterns eine Ablenkung des Lichtstrahl um einen Winkel 1 bewirkt hat. Diese Ablenkung wollen gleich auch explizit berechnen. Doch zuerst werden wir das Verhalten von Lichtstrahlen
anhand des effektiven Potentials im allgemeinen diskutieren. Es zeigt sich nämlich, dass dies nicht das
einzig möglich Verhalten eines Lichtstrahls im Gravitationsfeld eines Sterns ist.
­
Aufgabe 16.7 Man zeige, dass die Erhaltungsgrößen y und mit dem in Abbildung 16.1 definierten
t
Stoßparameter , sowie mit dem minimalen Abstand G wie folgt zusammenhängen,
t
G
­
G y
G „ , ­
295
(16.41)
scheinbare Position
ÀÁ
Ӈ” G Ö>¿ G Ú
Milchstraße
andere Galaxie
Ӈ”aÖ>¿9Ú
Â
Beobachter
wahre Position
ÀqÁ
Abbildung 16.1: Durch das Gravitationsfeld der Sonne wird ein Lichtstrahl um einen Winkel
abgelenkt. Ein Beobachter auf der Erde sieht einen Stern, der in Wirklichkeit natürlich sehr viel weiter von der
Sonne entfernt ist als die Erde, um genau diesen Winkel verschoben.
t
Der Stoßparameter ist der Abstand des Lichtstrahles von einem parallelen Lichtstrahl, der direkt ins
Zentrum des Himmelskörpers trifft, gemessen weit draußen, wo der Raum in ausreichender N äherung
flach ist, so dass die Begriffe “parallel” und “Abstand” wohldefiniert sind und ihre übliche Bedeutung
haben. Der minimale Abstand G ist einfach die radiale Koordinate des Umkehrpunktes 2 G \ G 5 , also nicht
wirklich der metrische Abstand vom Zentrum.
Um das Verhalten des Lichtstrahls im allgemeinen zu untersuchen, müssen wir uns das effektive Potential
ö¸· anschauen. Es ist für verschiedene Radien Ç G des Sterns bei fester Masse in Abbildung 16.2 darge­
stellt. Da der Ausdruck (16.38) nur von abhängt, und nur als Vorfaktor eingeht, sieht das Potential für
£ ÇÍG immer gleich aus. Für ö†ÇG müssen wir jedoch in (16.36) eine andere Funktion zÁ2 H5 einsetzen.
Das Potential im Innern des Sterns hängt deshalb von seiner Dichte ab.
Wie genau, das ist im folgenden nicht wichtig. Explizite Rechnungen werden wir ohnehin nur im Außenbereich durchführen. In Abbildung 16.2 ist jeweils das Potential dargestellt, das sich für einen Stern
konstanter Dichte ergibt, für den wir im letzten Kapitel einen expliziten Ausdruck für die Funktion zÁ2 H5
gefunden haben. Das qualitative Verhalten des effektiven Potentials ist jedoch immer dasselbe, und nur
darauf kommt es im folgenden an.
an, also die aus der klassischen
Die gestrichelte Linie gibt jeweils das effektive Potential für ­
D 5
Mechanik bekannte Drehimpulsbarriere & 2W„ & . Die Abweichung des tatsächlichen Potentials von dieser Kurve ist dafür verantwortlich, dass der Lichtstrahl eine Ablenkung erfährt. Die gepunktete Linie ist
die Fortsetzung der Funktion (16.38) für ö Ç . Sie endet beim Schwarzschild-Radius Çqz , denn die
Schwarzschild-Metrik nur für £ Çnz wohldefiniert. Das ist hier aber nicht weiter von Belang, denn der
H”
Stern selbst ist ja stets größer als
„c{Çnz „ „c{ , .
Wie wir in Abbildung 16.2 sehen, ist die Abweichung des Potentials von der Drehimpulsbarriere
klein, wenn der Stern groß ist im Verhältnis zu seinem Schwarzschild-Radius. Die Abweichung wird
umso größer, je kompakter der Stern ist, und bei einem kritischen Radius Ç|G
ÇlÄ passiert etwas ganz
merkwürdiges. Das Potential bildet dort einen Sattelpunkt, und für Ç|GÈö<ÇlÄ sogar eine Mulde mit einem
296
ÈÊÉ'Ë
ÈÊɸË
Ž›ÇÏ Œ ͒Î
ŽÇÌdÍBÎ


Ž
ŽÇ
(a)

’‘
Å‘
ÈÊÉ'Ë

Æ
(c)
ÈÊɸË
ŽÒǃÑd͒Î
Ž›ÇÏhФÑdÍBÎ


Ž
’‘

Ž
(b)

Å‘

€Æ
Milchstraße
andere Galaxie
(d)
Abbildung 16.2: Das effektive Potential für einen Lichtstrahl außerhalb und innerhalb eines Sterns mit
fester Masse Ó und verschiedenen Radien ˜ G . Für ˜ G:Ô ˜ z weicht das Potential nur wenig von der
Drehimpulsbarriere ab (a). Die Abweichung, und damit die Ablenkung eines Lichtstrahls, der den Stern
passiert, wird größer, wenn der Radius die Größenordnung des Schwarzschild-Radius erreicht (b). Bei
bildet das Potential einen Sattelpunkt, auf dem ein Lichtstrahl auf einer geschlossenen
˜ G›Õ ˜ ÄՂÖØ× Ó
Bahn um den Stern laufen kann (c). Für ˜ G’Ù ˜ Ä gibt es in dem schattierten Bereich gebundene Bahnen,
die zumindest teilweise im Innern des Sterns verlaufen, das heißt das Licht ist im Stern gefangen (d).
Minimum im Innern des Sterns.
Wir können diesen kritischen Radius leicht berechnen. Da wir uns dort noch außerhalb des Sterns befinden, gilt die Formel (16.38), und folglich ist
­
­
x &
,
& H
5
¶¸{ · 2
ÇlÄ
, für (16.42)
j
|
Ç Ä auf einer Kreisbahn umlaufen. Ein Beobachter, der sich dort
y
Offenbar kann ein Lichtstrahl bei befindet, kann seinen eigenen Hinterkopf betrachten, indem der einmal um der Stern herum, zwar nicht
um die Ecke, aber gewissermaßen um die Kurve schaut. Das klingt zunächst ein wenig merkwürdig. Aber
wir werden im nächsten Kapitel versuchen, uns eine anschauliche Vorstellung davon zu verschaffen, wie
so etwas möglich ist.
Aufgabe 16.8 Man zeige, dass für einen bei y
­
Ç Ä umlaufenden Lichtstrahl
y
ƒ gilt, und dass die Weltlinie
<
)2Z 5
y Z j )G
2Z 5 l
Ç Ä
297
\
2Z 5
\
ƒ y Z
G j
ÇlÄ
(16.43)
(16.44)
tatsächlich lichtartig ist und die Bewegungsgleichungen löst.
?
t
ƒ , auf einen Stern der
Aufgabe 16.9 Was tut ein Lichtstrahl, der mit dem Stoßparameter
Masse zu läuft, wenn der Radius des Sterns Ç G größer bzw. kleiner als der kritische Radius ÇjÄ ist?
t
Aufgabe 16.10 Es sei G der minimale Stoßparameter für einen Lichtstrahl, der die Oberfläche des Sterns
t
nicht trifft, sondern den Stern ungehindert passiert. Man berechne G als Funktion der Masse und des
t
Radius ÇG des Sterns. Welche anschauliche Bedeutung hat die Größe G für einen Beobachter, der den
(leuchtenden) Stern aus großer Entfernung betrachtet?
Da der bei ÇlÄ umlaufende Lichtstrahl auf einem Potentialmaximum sitzt, ist seine Bahn offenbar
instabil. Eine kleine Abweichung bewirkt, dass der Lichtstrahl entweder nach außen entkommt oder auf die
Sternoberfläche fällt. Nehmen wir einmal an, der Stern sei transparent, oder es handele sich gar nicht um
einen Lichtstrahl, sondern um ein anderes masseloses Teilchen, das den Stern ungehindert durchdringen
kann. Dann passiert mit einem solchen Teilchen etwas sehr unerwartetes, wenn es von der instabilen Bahn
nach innen fällt.
Es wird offenbar von dem Stern eingefangen. Es oszilliert in der Potentialmulde, läuft also auf einer
Bahn um, die teilweise innerhalb und teilweise außerhalb, oder ganz innerhalb des Sterns liegt. Wie die
Bahn konkret aussieht, hängt von der Materieverteilung im Stern ab. Aber in jedem Fall ist kann ein Teilchen, dessen Energie y unterhalb der Schwelle in Abbildung 16.2(d) liegt, dem Stern nicht entkommen.
Es gibt also lichtartige Geodäten, die für immer innerhalb des kritischen Radius ö’ÇrÄ bleiben.
Auch das werden wir uns im nächsten Kapitel anschaulich klar machen. Wir müssen dazu jedoch erst
noch eine spezielle Methode entwickeln, um eine gekrümmte Raumzeit anschaulich darzustellen. An dieser Stelle bleibt uns nichts anderes übrig als die Lösungen der Bewegungsgleichungen so, wie sie sind,
hinzunehmen.
Lichtablenkung an der Sonne
Wir wollen nun den Fall betrachten, dass der Stern groß ist im Vergleich zu seinem Schwarzschild-Radius,
und die Bahn eines Lichtstrahls berechnen, der den Stern nahe seiner Oberfläche passiert. Das ist genau
die in Abbildung 16.1 dargestellte Situation.
Wenn der Effekt groß genug ist, dann müsste er sich ganz einfach messen lassen. Ein Beobachter, zum
Beispiel auf der Erde, sieht einen Stern, der eigentlich hinter der Sonne steht, wegen der Lichtablenkung
neben ihr am Himmel stehen. Der Stern scheint am Himmel eine andere Position einzunehmen, die um
õ
einen Winkel 1 von der Position abweicht, an der er zu sehen ist, wenn die Sonne nicht zwischen ihm
und dem Beobachter steht.
õ
Wir müssen nun die Bewegungsgleichungen explizit lösen, um den Winkel 1 zu bestimmen. Es genügt
natürlich, nur die Funktionen 2 Z 5 und \ 2 Z 5 zu betrachten, da wir uns nur für die Bahnkurve interessieren.
Sie müssen die folgenden Differentialgleichungen erfüllen, die sich aus (16.34) und (16.35) ergeben. Wenn
wir die entsprechenden Funktionen z¬2 5 und `¾2 5 einsetzen, lauten sie
\
\
­
\
y &
­
&
&
D
ñ „ , E
(16.45)
Wenn wir diese beiden Gleichungen durcheinander teilen, bekommen wir eine Differentialgleichung für
eine Funktion \ 2 H5 , die die Bahnkurve beschreibt,
'
ÛÚ y…& Ë „ , &
­
'
j
&
!$#Ý
\
298
Ü
& (16.46)
–D
­
y ab. Dieses wiederum hängt über
Die Bahnkurve des Lichtstrahls hängt also nur vom Verhältnis
t
(16.41) mit dem Stoßparameter und dem minimalen Abstand G zusammen. Es ist an dieser Stelle
günstig, G als Parameter zu verwenden. Die zu lösende Differentialgleichung lautet dann
'
Wenn wir q
D
G
\
' & ’ñ „ , G
Gu&
Ú
D
& G
G&
!$#Ý
E
Ü
& (16.47)
& (16.48)
setzen, vereinfacht sie sich noch ein wenig,
q '
!$#Ý
q !$#
³
² q &
ÞÚ q Ë
ð
„ ³
² &
G
' q
\
Ü
Da wir diese Gleichung nicht exakt lösen können, machen wir folgende Näherung. Für einen Lichtstrahl,
der die Sonne passiert, ist sicher GsF , denn die Sonne ist sehr viel größer als ihr SchwarzschildRadius. Da ferner beide Terme in der eckigen Klammer proportional zu q & sind und q nur Werte zwischen
å
und
annimmt, ist der zweite Term stets sehr viel kleiner als der erste. Wir verwenden daher die
Entwicklung
2Ê
Das ergibt
t 5 $! #Ý
$! #Ý
& r Ê & j
„
Ê ! Ý&
t
für
Ê
F
t
(16.49)
!$#
! Ý& q & q ³ ²q & Ë
³
(16.50)
' q
Jetzt müssen wir nur noch einen guten Ansatz für die Funktion \ 2 q 5 machen. Wir kennen die Lösung
für , denn dann bewegt sich der Lichtstrahl auf einer Geraden. In diesem Fall ist die Lösung
ED q 5
5 \ G
\ 2 q
a
ã
g
ã
H
ä
Þ
. Wir machen daher den Ansatz
2
j»º¼
ED q 5
5 \ G
5
\ 2 q
g
ã
a
ã
H
ä
Þ
(16.51)
2
j ºh¼
ß
j P2 q wobei \ G die Winkelkoordinate des Umkehrpunktes in Abbildung 16.1 ist, und P2 q 5 die Abweichung der
'
q
\
²
$! #Ý & q & ’
³
j G
²
Bahn von einer Geraden im flachen Raum bestimmt. Es ist dann
q
'
\
' q
²
$! #Ý & q
q & Ë
³
j
{2q 5
(16.52)
Ein Vergleich mit (16.50) liefert die folgende Differentialgleichung mit Anfangsbedingung für P2
{ 2 q 5 , G
²
!
q q &
³
²
! Ý&
q & Ë
³
<
P2 5
q 5,
(16.53)
Mit ein bisschen Probieren lässt sie sich lösen. Die Lösung ist
q Ë $
!
#
­
5
P2 q
(16.54)
G ²„ j q ³
q j Damit kennen wir die Funktion \ 2 q 5 und können somit die Kurve in Abbildung 16.1 analytisch beschreiben, jedenfalls in der Näherung GjF , , also wenn der Umkehrpunkt des Lichtstrahls weit außerhalb
des Schwarzschild-Radius liegt.
Bevor wir Zahlen einsetzen, noch eine kleine Anmerkung zu den Wurzeln. Als wir die Gleichung (16.45)
für \ aufgestellt haben, haben wir die positive Wurzel gewählt. Das heißt, wir haben den Ast ausgewählt,
auf dem der Lichtstrahl von der Sonne weg läuft. Der andere Ast sieht natürlich genauso aus, wir müssen
nur bei allen Wurzeln die Vorzeichen umkehren.
299
Wenn wir das berücksichtigen, können wir aus (16.54) den Winkel
abgelenkt wird. Es ist
5 <
(2
å 5 „ , (2
G
B
õ
1
õ
õ
;
1
bestimmen, um den das Licht
G
(16.55)
Denn beide Äste tragen jeweils zur Hälfte zur Ablenkung bei. Dass 1 positiv ist, bedeutet, dass das Licht
tatsächlich zur Sonne hin abgelenkt wird. Wie man in Abbildung 16.1 sieht, legt der Lichtstrahl insgesamt
=
einen Winkel zurück, der größer als ist.
Aufgabe 16.11 Auch die Newtonsche Gravitationstheorie besagt, dass Licht von der Sonne abgelenkt
wird, wenn man annimmt, dass Licht aus klassischen, massiven Teilchen besteht, die sich mit Lichtgeschwindigkeit nach den Gesetzen der klassischen Mechanik bewegen. Man setze f ür W¶¸·U2 5 in (16.38) das
entsprechende effektive Potential ein und führe ansonsten genauõ die gleiche Rechnung durch. Man zeige,
dass sich dann nur die Hälfte von (16.55) für den Ablenkwinkel 1 ergibt.
Die Lichtablenkung an der Sonne ist somit, wenn sie denn eine messbare Größenordnung erreicht, ein sehr
guter Kandidat für einen Test der allgemeine Relativitätstheorie. Wir haben gewissermaßen drei Theorien zur Auswahl, die alle ein anderes Ergebnis liefern. Die reine Maxwellsche Wellentheorie im flachen
Raum sagt voraus, dass es gar keine Lichtablenkung durch Gravitation gibt. Die Newtonsche Theorie, wonach Licht aus Teilchen besteht, die sich gemäß der klassischen Mechanik verhalten, sagt zwar auch eine
gewisse Ablenkung voraus. Aber die Einsteinsche Theorie sagt die doppelte Ablenkung voraus.
Jetzt müssen wir nur noch feststellen, wie groß denn die Ablenkung konkret ist. Betrachten wir den
Fall, dass der Lichtstrahl die Sonne gerade eben passiert, also G
ÇkG der Radius der Sonne ist. Der
õ Hu
Zahlenwert, der sich daraus ergibt, ist 1
{ { { , also etwas weniger als zwei Winkelsekunden. Bei
einer Brennweite des Teleskops von einem Meter entspricht das einem Abstand von einem hundertstel
Millimeter in der Brennebene.
H
Zum Vergleich, der Durchmesser der Sonne oder des Mondes beträgt etwa { , das ist ungefähr das
tausendfache. Die erforderliche Auflösung ist die, die man auch benötigen würde, um auf dem Mond
Abstände von etwa einem Kilometer aufzulösen. Mit einem guten Teleskop und hochwertigen Photoplatten
war das am Anfang des letzten Jahrhunderts durchaus möglich.
Das Prinzip der Messung ist in Abbildung 16.3 dargestellt. Die Idee ist denkbar einfach. Man fotografiert
zweimal dasselbe Sternbild, einmal bei Nacht, und einmal, wenn die Sonne gerade davor steht. Da die
Lichtablenkung mit dem Abstand des Lichtstrahls zur Sonne abnimmt, kann man die weiter weg stehenden
Sterne als feste Bezugspunkte verwenden und so durch Vergleich der beiden Bilder die Verschiebung der
Sterne in Sonnennähe bestimmen.
Jetzt gab es nur noch ein Problem. Es ist gar nicht so einfach, tagsüber Sterne zu fotografieren, noch
dazu solche, die unmittelbar neben der Sonne stehen. Das geht nur bei einer totalen Sonnenfinsternis.
Der erste experimentelle Test der allgemeinen Relativitätstheorie bestand daher aus einer Expedition nach
Principe Island, einer Insel im Golf von Guinea, wo am 29. Mai 1919 eine Sonnenfinsternis vor einem
sternenreichen Hintergrund zu beobachten war.
S
“
der berechneten LichtaDas Ergebnis1 war eindeutig. Mit einer Messgenauigkeit von „{ { oder
blenkung an der Sonnenoberfläche, also genug, um die Newtonsche Theorie zu widerlegen, wurde die
allgemeine Relativitätstheorie bestätigt. Eine sehr viel größere Genauigkeit erreicht man auch heute nicht.
Für optische Teleskope bietet eine Sonnenfinsternis noch immer die einzige Gelegenheit, eine solche Messung durchzuführen. Aber die besten Teleskope sind fest installiert und stehen nicht zufällig da, wo gerade
eine Sonnenfinsternis stattfindet.
1
F.W. Dyson, A.S.E. Eddington, C.R. Davidson: A Determination of the Deflection of Light by the Sun’s Gravitational Field
from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919, Phil. Trans. Roy. Soc. A 220 (1920) 291.
300
ÀÁ
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
Abbildung 16.3: Die Lichtablenkung an der Sonne kann man messen, indem man zwei Bilder desselben
Sternbildes anfertigt, einmal bei Nacht (a) und einmal bei einer Sonnenfinsternis (b).
Genauere Messungen lassen sich mit Radioteleskopen durchführen. Tatsächlich hat man eine Quelle für
Radiowellen entdeckt, einen sogenannten Pulsar, der einmal jährlich von der Sonne verdeckt wird. Da die
Radiosignale nicht vom Sonnenlicht gestört werden, kann man die Peilung jedes Jahr einmal
õ durchführen.
E“
xH´
„{ { , also des Messwertes von 1
{{ { , und
Man erreicht hierbei eine Messgenauigkeit von etwa
auch diese Messungen bestätigen die allgemeine Relativitätstheorie.
Aufgabe 16.12 Haben wir nicht etwas vergessen? Wenn wir die Lichtablenkung w ährend einer Sonnenfinsternis beobachten, dann passiert der Lichtstrahl nicht nur die Sonne, sondern auch noch den Mond.
Man berechne die zusätzliche Ablenkung, die ein Lichtstrahl dadurch erfährt, dass er auch noch den Mond
passiert.
Aufgabe 16.13 War es das Sternbild in Abbildung 16.3, das auf den Fotoplatten von 1919 zu sehen war?
Zeitartige Geodäten
Als nächstes wollen wir die Bahnen von massiven Körpern berechnen, also die zeitartigen Geodäten der
Schwarzschild-Metrik. Wir werden uns jetzt ganz auf den Bereich außerhalb des Sterns beschränken, denn
es ist offenbar sinnlos, von frei fallenden, massiven Körpern im Innern eines Sterns zu sprechen.
Um die Bewegungsgleichungen zu bestimmen, gehen wir wieder von der Lagrange-Funktion (16.1) aus,
wobei jetzt aber Þà
ist,
Ì
Ì ^ ^ 2 \5
T T ̂ La` \ L \ `
½&
„
„
(16.56)
Wir machen wieder den gleichen Ansatz. Die Weltlinie soll sich in der Äquatorebene befinden. Sie wird
Ë=ÁD
also durch drei Funktionen ) 2 Z 5 , 2 Z 5 und \ 2 Z 5 beschrieben, während [¾2 Z 5
„ konstant ist. Es gilt dann
Ì ^ ^ 2 \5
„
Ì
²
Ì
H
5
5
zÁ2 E) \ & j `¾2 \ & j & \ \ & ³ j &
„
301
(16.57)
b sich nichts. Die Energie ist analog zu (16.30)
An der Definition der Erhaltungsgrößen ändert
y
*
b
¼ M
)\
z¬2 5
Ì )\
B
Ì
)\
b Und dasselbe gilt für den Drehimpuls (16.31),
,
­
¼
b
&
Ì \\
1\
b
B
Ì
\
\
&
Nur die Nebenbedingung (16.32), die sich aus der Ableitung von
verlangt jetzt, dass die Weltlinie zeitartig ist, und lautet explizit
T T <Ì
‚ Lg` \ L \ `
&$½&
ˆ
y
z¬2 5
(16.58)
­
(16.59)
Ì
nach
ergibt, sieht anders aus. Sie
Ì
¾2 H5 \ & j & \ \ & j $& ½&
(16.60)
Nun gehen wir genau so vor wie zuvor, setzen aber gleich die Funktionen z¬2 5 und `¾2 H5 für den Außenbereich des Sterns explizit ein. Außerdem wählen wir das Einbein so, dass sich eine Eigenzeitdarstellung
der Weltlinie ergibt, also Z
ª ist. Das ist, wie wir bereits wissen oder aus (16.60) ablesen können, für
Ìt
*ED
der Fall. Die Gleichungen (16.58) und (16.59) lauten dann
D
!$#
­
ñ „ , y
\ \
)\
(16.61)
E
&
z¬2 H5 ) \ &
`
Offenbar ist die zweite Gleichung formal mit der gewöhnlichen Beziehung zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit in der klassischen Mechanik identisch. Die erste Gleichung entspricht der Beziehung
D D
'S) ' ª y zwischen der Koordinatenzeit und der Eigenzeit in der speziellen Relativitätstheorie.
Wenn wir das in (16.60) einsetzen, ergibt sich die folgende Gleichung für die Funktion 2·ª 5 ,
D
!$#
m „ , E
D
y & …
½&
!$#
m „ð ­
E
H
&
&
\ j ½
j
& &
(16.62)
Das können wir noch ein wenig umschreiben und erhalten
y & |
&
„ \ j „
„¾½&
D
­
&
D
½& & j
E
mI„ð E
(16.63)
Auch das können wir wieder als die Energie eines hypothetischen klassischen Teilchens mit der Masse
Eins auffassen, welches sich in einem effektiven Potential bewegt. Das Teilchen hat die kinetische Energie
D
D
ist \ & „ , und seine klassische Gesamtenergie ist yl´µ
y & 2W„ & 5 .
Wir können die Masse des Testkörpers ganz aus den Bewegungsgleichungen eliminieren, indem wir
D
*­–D
y und einen spezifischen Drehimpuls î
einführen. Es ist dann
eine spezifische Energie 2
)\
und aus (16.63) wird
2
& D
!$#
m*„ , &
„
„ \ j „
Dass die Bewegungsgleichungen nicht von D
E
2
î&
& j
D
\
E
\
„ , î
& (16.64)
E
(16.65)
abhängen dürfen ist klar, denn die Weltlinie eines frei fallenden Testkörpers hängt ja auf Grund des schwachen Äquivalenzprinzips nicht von seiner Masse ab.
302
Aus der letzten Gleichung lesen wir jetzt das effektive Potential für die Radialbewegung ab,
5 W¶¸·U2
„
D
î&
D
& j
E
m „ð , „
E
î& î& j „ &
(16.66)
Der erste Term ist eine Konstante, die nicht weiter interessiert. Der zweite Term ist offenbar das bekannte
Newtonsche Potential für ein klassisches Teilchen der Masse Eins. Der dritte Term ist wieder die ebenfalls
aus der klassischen Mechanik bekannte Drehimpulsbarriere. Der letzte Term ist derselbe, der zuvor auch
schon für masselose Teilchen auftrat und für kleine relevant wird. Ohne den letzten Term würden sich
natürlich genau die Keplerschen Bahnen ergeben. Die Relativitätstheorie sagt also ein Abweichung von
den Kepler-Bahnen voraus, wenn der Abstand zwischen der Sonne und dem Planeten klein ist.
Auch hier wollen wir das Potential zunächst wieder qualitativ diskutieren. Wie man in leicht sieht,
D
hängen die wesentlichen Eigenschaften des Potentials nur von dem Verhältnis î ab, denn die folgende
Reskalierung der Parameter und der Koordinate lassen es invariant,
˜™
î ˜™
î
Ș™
(16.67)
Es genügt also, die Masse , und damit den Schwarzschild-Radius Çz festzuhalten, und nur î zu variieren.
Für verschiedene Werte von î , für die sich jeweils ein anderes typisches Verhalten ergibt, ist das Potential
in Aufgabe 16.4 als Funktion von dargestellt. Man beachte, dass nur der Bereich £ Çqz relevant ist,
denn nur dort ist die Schwarzschild-Metrik wohldefiniert. Es hat also an dieser Stelle keinen Sinn, das
Potential nach öËÇjz fortzusetzen, obwohl die Funktion (16.66) dort noch definiert ist.
¡
å
ED
Çrz stets W¶¸·U2 5
„ . EDie
Zunächst sehen wir, dass bei ist, und für Š™
gilt W¶'·U2 H5s™
ù
D
„.
potentielle Energie eines klassischen Teilchens, das in großer Entfernung ruht, ist demnach yj´>µ
D
y & 2¶„¾ & 5 mit der eigentlichen physikalische
Laut (16.63) hängt diese klassische Energie über yl´>µ
Energie y des Teilchens in der Raumzeit zusammen, dessen Bewegungsgleichungen wir betrachten. Das
für ein Teilchen, das weit draußen in Ruhe ist.
ergibt, wie erwartet, y
Planetenbahnen
Als erstes wollen wir uns fragen, ob und wo es kreisförmige Umlaufbahnen gibt. Ein Testkörper läuft
genau dann auf einer Kreisbahn um, wenn er auf einem Extremum des effektiven Potentials sitzt. Es muss
also gelten
H5 ,
¶¸{ · 2
&
gî &
j
, îg& |
Diese Funktion hat nur dann Nullstellen, wenn î
Lá
î&
‘
î
œ
½
|
²
, & î &2 5³
(16.68)
„ ƒ ,
ist. Sie befinden sich dann an den Stellen
Ë
î&
„ È&8 <& (16.69)
„ð Für î ö†„ ƒ , haben wir das in Abbildung 16.4(a) dargestellte Verhalten. Das Potential steigt monoton
f
ED
å
Çjz nach W¶¸·«2 H5 ™
„ für |™
von ö'·U2 H5
bei . Ein Testkörper, der sich mit einem spezifischen
Drehimpuls î ö˄ ƒ , dem Stern nähert, fällt auf jeden Fall auf den Stern, egal wie klein dieser ist. Es
gibt nur drei Typen von Bahnen. Ein Körper kann aus dem unendlichen kommen und auf den Stern fallen,
oder umgekehrt vom Stern aufsteigen und ins unendliche verschwinden. Oder der Körper steigt vom Stern
auf und fällt wieder zurück.
hâ
Für  „ ƒ ergibt sich das Bild in Abbildung 16.4(b), (c) oder (d). Das Potential hat bei ! ein Maximum. Für kleinere fällt es wieder auf ã¶'·U2 H5
ein Minimum, und bei bei Çjz
303
ÈÊɸË
ÈèɸË
é
ê
ä ÇçæÊÐ Œ ÍBÎ
ä ǃÏhÐ Œ ͒Î
é
ê
†î Ç
(a)
’‘
ÈèɸË
†íì
†
ë
ÈÊɸË
Milchstraße
andere Galaxie
ä ÇçæÊФÑdÍBÎ
ä ǃÌhФåd͒Î
ê
(c)
é
ê
†
ë
†íì
é
†dë
(b)
† Ž
†íì
(d)
Abbildung 16.4: Das effektive Potential eines massiven Teilchens in der Schwarzschild-Metrik. Für ï Ù
ðdñ
ðhñ
Öò× Ó
ÖØ× Ó
Ù ï Ùôó × Ó
(a) steigt das Potential monoton an. Für
(b) bildet sich eine Mulde,
in der das Teilchen oszillieren kann. Bei ï Õ ó ×öõ (c) erreicht das Maximum bei ” Õ ” ! den Wert des
Potentials im unendlichen. Für ï  ó × Ó (d) liegt das Maximum bei ” Õ ” ! oberhalb des Wertes im
unendlichen. Die gestrichelte Linie ist jeweils das effektive Potential in der Newtonschen Theorie, also
ohne den ÷ ™ ” -Term in (16.66).
fâ ein stabile, und bei ! ein instabile Kreisbahn. Wir
ab. In diesem Fall gibt es offenbar bei vermuten, dass die stabile Kreisbahn die Kepler-Bahn aus der klassischen Mechanik ist.
Doch zunächst stellen wir fest, dass es eine untere Grenze für den Radius der stabilen Kreisbahn gibt,
, . Das ist der Wert für dâ , der sich an der unteren Grenze î „ ƒ , ergibt. Wenn î
nämlich dâ £
genau diesen Wert hat, dann hat das Potential einen Sattelpunkt und folglich ist die Bahn auch instabil. Es
, . Eine solche Beschränkung gibt es in der klassischen
gibt also keine stabilen Kreisbahnen für fâøš
Mechanik nicht. Der minimale Radius ist gerade doppelt so groß wie der Radius der Kreisbahn, die ein
Lichtstrahl beschreiben kann.
Nehmen wir also an, wir befinden uns auf einer Kreisbahn mit â £
, . Wie lange dauert dann ein
Umlauf? Dazu müssen wir den Drehimpuls î â eines Körpers auf der Kreisbahn bei fâ kennen. Da der
dâ
Ausdruck (16.68) bei Null ist, finden wir
î
â
â
Lâ ,
(16.70)
Nun hängt der Drehimpuls über (16.64) mit der Winkelgeschwindigkeit zusammen, das heißt ein Teilchen
304
dâ
auf einer Kreisbahn bei bewegt sich dort mit der Winkelgeschwindigkeit
ó
Die Umlaufzeit ª
â
„
=ÁD
ó
îâ \ \
â
Lâ &
, â , , (16.71)
ist somit
ª
â
„
= â
,
& = â ­ â
, „
â
î
,
(16.72)
Die so berechnete Umlaufzeit ª â ist die von einer mitbewegten Uhr gemessene Zeit, denn wir hatten
Ì è D
für das Einbein
eingesetzt, so dass sich eine Eigenzeitdarstellung der Weltlinie ergab. Um die
Umlaufzeit ) â zu berechnen, die ein weit entfernter Beobachter misst, müssen wir wissen, wie schnell die
Koordinatenzeit ) als Funktion der Eigenzeit ª vergeht.
â
Aufgabe 16.14 Man bestimme die spezifische Energie 2
â und zeige, dass
2 â
­
â
â
eines Teilchens auf einer stabilen Kreisbahn bei
D
m „ð Lâ
(16.73)
E
ª
Daraus leite man den folgenden Zusammenhang zwischen der Eigenzeit
her,
und der Koordinatenzeit
Lâ
­
)\
â , ,
Warum ist der Zusammenhang zwischen der Eigenzeit ª und der Koordinatenzeit )
) 2Ȼ 5
(16.74)
â«5
MºM 2
hier nicht durch ‚
gegeben?
Wenn wir diese Formel verwenden und in (16.72) einsetzen, bekommen wir einen Zusammenhang zwischen dem Radius dâ der Kreisbahn und der Umlaufzeit ) â , gemessen von einem ruhenden Beobachter in
großer Entfernung,
; =
)â&
, & â (16.75)
Das ist natürlich genau das Keplersche Gesetz, wonach sich die dritten Potenzen der Bahnradien wie
die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten. Für kreisförmige Planetenbahnen gilt also in der allgemeinen
Relativitätstheorie auch das Keplersche Gesetz. Allerdings gibt es eine untere Grenze für den Radius der
Kreisbahn.
Stabile Kreisbahnen existieren für Radien dâ £
, . Die Quadrate der Umlaufzeiten
fâ
verhalten sich wie die dritten Potenzen der Radien .
)
â
Aufgabe 16.15 Die instabilen Kreisbahnen treten für , ö ! š auf. Man zeige, dass für
diese Bahnen die gleiche Beziehung zwischen Radius um Umlaufzeit besteht. Es ist gilt also
ª!&
; =
& ! ! &2
, 5 )!&
; =
, wobei ª ! die von einer mitbewegten Uhr gemessene Umlaufzeit ist, und
obachter in großer Entfernung gemessene. Was passiert im Grenzfall Eigenzeit ª â gegen Null, die Koordinatenzeit ) â aber nicht?
305
& !
(16.76)
) ! die von einem ruhenden Be! ™
? Warum geht die
Für îì£ „ ƒ , gibt es neben den stabilen Kreisbahnen offenbar auch elliptische Bahnen, oder jedenfalls gebunden Bahnen, auf denen der Radius zwischen zwei Umkehrpunkten oszilliert. Der Bereich, in
dem das Teilchen oszillieren kann, ist in Abbildung 16.4 jeweils hell unterlegt. Die Umkehrpunkte werden
in der Astronomie mit Perihel 7 ! für den sonnennächsten und Aphel 7 â für den sonnenfernsten Punkt
bezeichnet. Nehmen wir also an, das Teilchen oszilliert zwischen den Radien 7 ! und 7 â .
Welche Einschränkungen gelten dann für 7 ! und 7 â ? Das hängt davon ab, ob sich das Maximum des
!
ED
Potentials bei oberhalb oder unterhalb des Wertes „ befindet. Wie man leicht feststellt, liegt ge
f;
nau bei î
, der Fall in Abbildung 16.4(c) vor, das heißt die Potentialbarriere nach innen hat genau
die Höhe des Potentials im unendlichen. Wir müssen also nochmal zwischen zwei Fällen unterscheiden.
;
ö î ö , ist, dann liegt der Fall in Abbildung 16.4(b) vor. Das Teilchen kann
Wenn „ ƒ |§
irgendwo zwischen ! und einem äußersten Umkehrpunkt oszillieren, der uns hier nicht weiter interessiert.
Für das Perihel gilt also 7 ! £ ! . Für das Aphel gilt 7 ₜ
â , weil sich der äußere Umkehrpunkt immer
außerhalb oder, für die Kreisbahn selbst, auf der stabilen Kreisbahn befinden muss. Nun ist, wie wir wissen,
Lâ £ , , und wie man leicht aus (16.69) entnimmt, ist ! £ ; , falls î ö ; ist, was wir ja
hier annehmen. Also ist in jedem Fall
;
;
7 ! £ 7
â
£
, (16.77)
, , also die in Abbildung 16.4(c) und (d) dargestellten Situationen.
Jetzt betrachten wir den Fall î œ
Jetzt kann das Teilchen beliebig weit nach außen schwingen, aber der innere Umkehrpunkt ist durch den
D
Punkt G begrenzt, der sich aus der Gleichung ã¶'·U2 H5
„ ergibt. Die Lösung dieser Gleichung ist
;
Ë
î& j î ƒ î&
& & G n
;
(16.78)
!
ist dies auch der Radius der instabilen Kreisbahn, das heißt in diesem Fall ist G
;
;
, . Ansonsten, also für ît£ , , ist G £ , . Also gilt auch in diesem Fall die Einschränkung
(16.77) für die Umkehrpunkte eines stabilen Umlaufbahn.
Damit kommen wir zu folgendem Schluss. Es gibt keine stabilen Umlaufbahnen um einen Stern mit der
;
Masse , die irgendwo einen Abstand kleiner als , erreichen, oder ganz innerhalb eines Bereiches
von , liegen.
Für î
;
, Für das Perihel einer stabilen Umlaufbahn gilt
, .
;
7 ! £ , , und für das Aphel gilt
7
â
£
! und erfährt einen sehr
Aufgabe 16.16 Ein Körper befindet sich auf einer instabilen Kreisbahn bei kleinen Stoß nach außen, so dass er die instabile Kreisbahn verl ässt. Was tut er, wenn , ö ! ö
;
;
, ist? Uns was tut er im Fall , ö ! ö , ?
Aufgabe 16.17 Man diskutiere die Bahnen von Kometen, die aus dem unendlichen kommen. Man zeige,
dass jeder Komet, der irgendwann näher als , an den Stern heran kommt, unwiderruflich verloren ist
und auf den Stern fällt.
Aufgabe 16.18 Eine Raumstation befindet sich in großer Entfernung zu einem Stern (Masse , Radius
ÇkG ), und ruht relativ zu ihm. Sie möchte ihren Müll entsorgen, indem sie ihn auf den Stern wirft. Der Müll
verlässt die Raumstation mit einer Geschwindigkeit O in eine Richtung, die um einen Winkel von der
Verbindungslinie zum Zentrum des Sterns abweicht. Wie genau muss der Entsorger zielen, das heißt wie
groß darf höchstens sein, damit der Müll auch sicher auf dem Stern landet? Wenn der Radius ÇÈG des
Sterns unbekannt ist, wie genau muss dann gezielt werden, damit der M üll ganz sicher landet?
306
ª&
ÀÁ
Milchstraße
andere Galaxie
ª#
Abbildung 16.5: Anders als beim klassischen Kepler-Problem sind die Umlaufbahnen der Planeten keine
geschlossenen Ellipsen. Perihel und Aphel einer Umlaufbahn verschieben sich bei jedem Umlauf um
ÀÁ
einen Winkel
.
Perihelverschiebung
Bis auf die Berechnung der Umlaufzeiten waren das alles rein qualitative Betrachtungen. Es ist, anders
als beim klassischen Kepler-Problem, nicht möglich, die Bewegungsgleichungen analytisch zu lösen. Wir
wollen aber zum Abschluss noch eine explizite Rechnung durchführen, die mit der Eingangs erwähnten
Beobachtung zu tun hat, dass die Planetenbahnen keine geschlossenen Ellipsen sind, sondern dass sich das
Perihel bei jedem Umlauf ein wenig verschiebt.
Abbildung 16.5 zeigt eine schematische Darstellung dieses Vorgangs. Wir betrachten zwei aufeinander
folgende äußere Umkehrpunkte.
Im allgemeinen liegen sie nicht an derselben Stelle im Raum, sondern
õ
sind um einen Winkel 1 gegeneinander verschoben. Wenn wir die Koordinatenfunktionen 2Ỡ5 und \ 2Ȼ 5
betrachten, und ª # und ª die Eigenzeiten der beiden äußeren Umkehrpunkte sind, so gilt
&
»2 ª 5 »2 ª # 5 5 \ 2·ª # 5 „ = õ 1 \ 2»ª
(16.79)
j
j
&
&
Während die radiale Koordinate 2»ª 5 einmal in der Potentialmulde in Abbildung 16.4 hin und her
5
schwingt, macht
õ die Winkelkoordinate \ 2»ª mehr als eine Umdrehung.
Der Winkel 1 wird Perihelverschiebung oder Periheldrehung genannt. In Abbildung 16.5 ist eigentlich
eine õ Aphelverschiebung dargestellt, aber diese ist natürlich genau so groß wie die Perihelverschiebung.
Um 1 zu berechnen, müssten wir die Bewegungsgleichungen explizit lösen. Wir wollen hier nur einen
sehr einfachen Fall betrachten, für den wir mit einer Näherung zurecht kommen.
Wir wollen den Fall betrachten, dass die Umlaufbahn nur sehr wenig von einer stabilen Kreisbahn bei
Lâ abweicht. Wir können dann annehmen, dass die Radialkoordinate 2·ª 5 eine kleine harmonische
fâ
Schwingung um das Potentialminimum bei ausführt, während sich die Winkelkoordinate
õ so verhält
#
wie auf der Kreisbahn. Wir entnehmen dann aus (16.71), dass der gesamte in der Zeit ª
ª
ª
&
307
õ
zurückgelegte Winkel
\
wie folgt gegeben ist,
õ
\
„
=
õ
j
õ
õ
1
â
ª
, â ,
(16.80)
Für ª müssen wir nun die Periode einer harmonischen Schwingung um das Potentialminimum bei Lâ einsetzen. Da unser hypothetisches klassisches Teilchen, das dort schwingt, die Masse Eins hat, ist die
=ÁD õ
Schwingungsfrequenz „
ª einfach durch die zweite Ableitung des Potentials an dieser Stelle gegeben.
Es gilt also
D
õ
„
=
ª
& E
â«5 * „ , ¶¸{ · { 2
â
îâ& â
j
|
„ , î â & ,
â
â }
â â Hier haben wir wieder den Drehimpuls (16.70) für ein Teilchen auf einer stabilen Kreisbahn bei
eingesetzt. Daraus folgt
õ
ª
â ,
â , â
L
, =
„ â
(16.81)
câ
(16.82)
Eingesetzt in (16.80) ergibt sich
õ
1
„
=
D
­
â
â
, ’
(16.83)
E
Die Periheldrehung ist demnach positiv, so wie in Abbildung 16.5 gezeigt, und sie wird im Grenzfall
L⤙ , beliebig groß. Wir erinnern uns, dass dies die untere Schranke für stabile Kreisbahnen ist.
Ein Körper, der an einer Stelle dâ r
umläuft, umkreist den Sterns sehr oft, während er einmal
zwischen den Umkehrpunkten hin und her schwingt, weil das Potential in Abbildung 16.4(b) sehr flach
wird.
õ
Für große dâ F wird 1 sehr klein. Dort sind die Planetenbahnen näherungsweise geschlossenen
Ellipsenbahnen. Das sollte natürlich auch so sein, denn dort gilt die Newtonsche Näherung und damit
gelten auch die klassischen Keplerschen Gesetze. Schauen wir jedoch etwas genauer hin, so finden wir in
D
erster Ordnung in , â die folgende Abweichung,
õ
j „
=
1 D
ñ
!$#Ý
, â
&
E
r
j
, â
B
õ
1 r
¾=
, â
(16.84)
Für praktische Zwecke ist es nützlich, das in eine Kreisfrequenz óÒù umzurechnen, die angibt, wie schnell
sich das Perihel
õ aus der Sicht eines weit entfernten Beobachters um den Stern dreht. Wir müssen dazu nur
den Winkel 1 pro Umlauf durch die Umlaufzeit ) â teilen, die durch (16.75) gegeben ist,
óúù
õ
)â
1
r
Ý
2W 5 &
â } Ý &
!
(16.85)
Die Winkelgeschwindigkeit, mit der das Perihel rotiert, nimmt also mit h â } & nach außen hin sehr schnell
! Ý
ab. Das liegt daran, dass die Umlaufzeiten der Planeten bereits mit â
& abnehmen, und zusätzlich die
$
!
#
Perihelverschiebung pro Umlauf mit dâ
abfällt.
Wenn es eine Möglichkeit gibt, diesen Effekt zu messen, dann wohl eher bei einem Planeten in der Nähe
der Sonne als bei einem weiter entfernten. Setzen wir die Masse der Sonne und den Radius der Bahn des
;
Merkur ein, so ergibt sich für óûù ein Wert von { { pro Jahrhundert. Das ist nicht gerade viel. Aber da man
die Bahnen der Planeten bereits über einige Jahrhunderte hinweg sehr genau beobachtet hat, hatte man
diesen, und zwar genau diesen Wert bereits gemessen.
308
Ý
Wie Eingangs erwähnt, haben die Beobachtungen nämlich schon lange vor der allgemeinen Relati; ‘fE“
vitätstheorie gezeigt, dass die Bahn des Merkur eine unerklärliche Perihelverschiebung von { {
pro
Jahrhundert aufwies. Die einzige Erklärung, die die klassische Mechanik bot, war die Annahme, dass es
irgendwo noch einen unentdeckten Planeten gibt.
Dass die allgemeine Relativitätstheorie genau diesen Wert lieferte, trug natürlich nicht unerheblich zu
ihrer Anerkennung bei. Das erstaunliche an diesem Erfolg ist, dass neue Theorien sonst meist auch neue
Parameter enthalten, die erst angepasst werden müssen, um dann die Phänomene richtig zu erklären. Man
ED stelle sich zum Beispiel ein modifiziertes Newtonsches Gravitationsgesetz mit einem zusätzlichen Term im Potential vor. In einer solchen Theorie könnte die Periheldrehung auch erklärt werden.
Es würde sich sogar genau das gleiche effektive Potential (16.66) ergeben, und damit genau die gleiED
chen Planetenbahnen. Aber der Vorfaktor des & -Term müsste von Hand so eingestellt werden, dass die
richtige Periheldrehung des Merkur heraus kommt. Man würde sich dann vielleicht wundern, warum der
dort einzusetzende Zahlenwert gerade zufällig das Produkt aus der Gravitationskonstante, der Masse der
Sonne, und dem Drehimpuls des Merkur zum Quadrat ist. Aber man hätte dafür keine Erklärung.
Die allgemeine Relativitätstheorie enthält dagegen nur einen einzigen freien Parameter, nämlich , und
der lässt sich bereits aus den Umlaufzeiten der Planeten ermitteln, so wie in der klassischen Mechanik
auch. Dass sie trotzdem den richtigen Wert für die Periheldrehung des Merkur liefert, ist deshalb ein Beleg
dafür, dass sie der Wirklichkeit wahrscheinlich ein Stück näher kommt als eine modifizierte die klassische
Theorie. Denn sie hat weniger Parameter und damit braucht sie weniger Daten, um an die Wirklichkeit
angepasst zu werden.
Aufgabe 16.19 Haben wir nicht in den letzten Schritten etwas falsch gemacht? Als wir die Kreisfrequenz
óòù in (16.85) berechnet haben, haben wir für ) â die Umlaufzeit eingesetzt. Aber die Umlaufzeit
õ
= ist die
Zeit, die der Planet benötigt, um einmal um den Stern zu kreisen, also einen Winkel \
„ zurück
õ
õ
=
zu legen. Es ist nicht die Zeit, die der Planet benötigt, um den Winkel \
„ j 1 zwischen zwei
Periheldurchgängen zurück zu legen. Eigentlich hätten wir die dafür benötigte Zeit einsetzen müssen.
Warum dürfen wir an dieser Stelle trotzdem ) â einsetzen?
17 Kausale Struktur und die Geometrie des Raumes
Das Ziel dieses Kapitels ist es, uns eine anschauliche Vorstellung von einer gekrümmten Raumzeit zu
verschaffen. Nachdem wir im letzten Kapitel verschiedene quantitative Aussagen über das Verhalten von
Lichtstrahlen im Gravitationsfeld eines Sterns und über Planetenbahnen gemacht haben, die man auch
tatsächlich nachmessen kann, wollen wir jetzt versuchen, einige der qualitativen Aussagen besser zu verstehen.

Warum, zum Beispiel, gibt es gerade bei ÇnÄ
, einen Lichtstrahl, der den Stern umkreist,
wenn dieser nur klein genug ist? Und warum kann ein Testkörper, der von außen kommt und einmal diesen
kritischen Radius unterschreitet, nie mehr zurückkommen, sondern muss unweigerlich auf die Oberfläche
des Sterns fallen? Alle diese Phänomene haben kein Analogon in der Newtonschen Gravitationstheorie.
Wir wollen hier zeigen, dass sie mit der Krümmung des Raumes zu tun haben.
Zunächst werden wir dazu einige aus der speziellen Relativitätstheorie bekannten Konzepte verallgemeinern, die wir später noch sehr häufig benötigen. Das wichtigste solche Konzept ist die kausale Struktur
einer Raumzeit, die uns sagt, welche Ereignisse mit welchen anderen Ereignissen in einer kausalen Beziehung stehen. Wir werden diese Konzepte zum Teil erst im nächsten Kapitel benötigen, wenn wir uns
fragen, was eigentlich jenseits des Schwarzschild-Radius passiert, wenn der Stern über den letzten stabilen
Zustand hinaus weiter schrumpft.
Sie führen uns aber auf eine ganz natürliche Weise zu einer anschaulichen Erklärung der oben erwähnten
Phänomene, also insbesondere zu einer Erklärung des Verhaltens von Lichtstrahlen und Testkörpern in der
309
Nähe von sehr kompakten Himmelskörpern. Und sie geben Anlass zu einigen interessanten Spekulation
über die Bewohner eines solchen extremen Himmelskörpers, die die Welt ganz anders sehen würden als
wir von der Erde aus.
Zukunft, Vergangenheit und Gegenwart
Eine wesentliche Eigenschaft des Minkowski-Raumes in der speziellen Relativitätstheorie war seine kausale Struktur. Wenn wir zwei Ereignisse ü eý © § gegeben hatten, dann konnten wir fragen, ob es einen
kausalen Zusammenhang zwischen ihnen gibt oder nicht. Wir hatten gesagt, dass ý in der Zukunft von
ü liegt, wenn es eine positiv zeitartige Kurve von ü nach ý gibt. Die physikalische Aussage war, dass es
dann für einen Beobachter im Prinzip möglich ist,
â vom Ereignis ü zum Ereignis ý zu gelangen.
Jedem Ereignis ü wurde so eine Teilmenge þ 2ü 5Åÿ § der Raumzeit zugeordnet, die aus allen Ereig nissen bestand, zu denen man von ü aus auf einer zeitartigen Weltlinie gelangen kann. Diese Teilmenge
â
hatten wir die Zukunft von ü genannt. Den Rand dieser Teilmenge bildete der Vorw ärtslichtkegel
2! ü 5 ,
der aus allen von ü ausgehenden
Lichtstrahlen bestand. Entsprechend hatten wir die Vergangenheit þ
2ü 5
!
und den Rückwärtslichtkegel
2ü 5 definiert. Alles, was übrig blieb, war die Gegenwart ü2ü 5 . Die Bezeichnungen þ , , und standen für zeitartig, lichtartig, und raumartig.
Die gleichen Definitionen können wir auch auf eine gekrümmte Raumzeit anwenden. Auch eine gekrümmte Raumzeit hat eine kausale Struktur. Man kann nicht von jedem Ereignis auf zeitartigen Kurven
zu jedem anderen Ereignis gelangen. Allerdings wird diese Struktur im allgemeinen komplizierter sein als
die kausale Struktur des Minkowski-Raumes. Es ist nicht ohne weiteres möglich, ganz allgemein zu entscheiden, ob ein Ereignis in der Zukunft eines anderen liegt oder nicht. Im Falle der Schwarzschild-Metrik
ist es zum Beispiel nicht sofort offensichtlich, ob zwei Ereignisse in einem kausalen Zusammenhang stehen oder nicht, wenn wir nur deren Koordinaten kennen.
Betrachten wir deshalb die Definition der kausalen Struktur einer gekrümmten Raumzeit § etwas ge nauer. Der metrische Tensor ‚ 2]V 5 definiert in jedem Ereignis V © § eine Metrik der Signatur 2 5 auf
Lg`
dem Tangentenraum ¯P¸§ . Der Tangentenraum hat also genau die gleiche Struktur wie der MinkowskiRaumes der speziellen Relativitätstheorie. Wir können an jedem Ereignis V © § einen lokalen Lichtkegel
f
einführen. Er besteht aus allen lichtartigen Vektoren OSL in ¯–¸§ mit ‚
O
3
L
"
O
`
.
La`
Am besten stellen wir uns die lokalen Lichtkegel, wie in Abbildung 17.1(a) angedeutet, als kleine, an
den jeweiligen Ereignissen angeheftete Doppelkegel vor. Die Gesamtheit aller dieser lokalen Lichtkegel
bestimmt dann die kausale Struktur der Raumzeit. So ist zum Beispiel eine zeitartige Kurve eine, die
an jedem Ereignis, durch das sie läuft, innerhalb des lokalen Lichtkegels liegt. Ein raumartige Kurve
ist eine, die überall außerhalb des lokalen Lichtkegels liegt, und eine lichtartige Kurve verläuft überall
tangential dazu. Wir können uns die lokalen Lichtkegel auch als eine Art Wegweiser vorstellen, die uns an
jedem Ereignis sagen, in welche Richtung wir gehen dürfen und in welche nicht, wenn wir uns auf einer
zeitartigen Weltlinie durch die Raumzeit bewegen.
Betrachten wir nun die Menge aller von einem Ereignis ü © § ausgehenden
zeitartigen Kurven, deâ
5
ren Tangentenvektor bei ü positiv zeitartig ist. Diese bilden die Zukunft þ 2ü , denn es sind die Kurven, auf denen sich ein Beobachter, der das Ereignis
ü miterlebt hat, bewegen könnte. Lokal, also in der
â
Nähe des Ereignisses ü , sieht die Teilmenge þ 2ü 5 so ähnlich
aus wie die entsprechende Teilmenge im
â
5
Minkowski-Raum. Sie wird durch den Vorwärtslichtkegel
2ü begrenzt, der aus allen von ü ausgehenden Lichtstrahlen gebildet wird.
â Über die globale Struktur dieses Lichtkegels und damit über die globalen Eigenschaften der Menge
þ
2ü 5 aller Ereignisse, zu denen man von ü aus gelangen kann, lässt sich jedoch im allgemeinen wenig
sagen. Es sind viele Situationen denkbar, die im flachen Minkowski-Raum nicht vorkommen. So könnte es zum Beispiel sein, dass zwei Ereignisse ü und ý , wie in Abbildung â 17.1(b) dargestellt,
â
zwar eine
5
5
þ
2ý
.
gemeinsame Vergangenheit haben, aber keine gemeinsame Zukunft, also þ 2ü
310
â
Ó9Ú
â
ÓUÚ
ze
ita
rti
g
â
ÓoÚ
ü
ý
ü
ÓUÚ
Milchstraße
andere Galaxie
raumartig
tig
r
hta
lic
!
Ó9Ú
(b)
(a)
Abbildung 17.1: Die kausale Struktur einer gekrümmten Raumzeit (a) ergibt sich aus den lokalen Lichtkegel. Der lokale Lichtkegel bestimmt,
welche Richtungen in diesem Ereignis zeitartig, lichtartig bzw.
â
ÓUÚ eines Ereignisses ist die Menge aller
Ereignisse, die man von aus
raumartig sind. Die Zukunft
â
auf positiv zeitartigen Kurven erreichen kann. Der Vorwärtslichtkegel ÓUÚ besteht aus den durch lau !
!
Ó
9
Ú
fenden Lichtstrahlen. Entsprechend sind Vergangenheit
und Rückwärtslichtkegel Ó9Ú definiert.
Die Gegenwart ÓUÚ besteht aus allen Ereignissen, die zu keinen kausalen Zusammenhang haben. Es
kann vorkommen (b), dass zwei Ereignisse und eine gemeinsame Vergangenheit, aber keine gemeinsame Zukunft haben.
Zwei Beobachter, die sich bei ü und ý befinden, haben dann keine Möglichkeit mehr, miteinander zu
kommunizieren, oder sich zu treffen. Im flachen Minkowski-Raum gibt es eine solche Situation nicht. Zu
ü
zwei vorgegebenen Ereignissen ü und ý gibt es dort immer ein Ereignis , so dass die Vektoren ý beide positiv zeitartige sind. Ein solches Ereignis existiert in Abbildung 17.1(b) nicht. Wir
und werden im nächsten Kapitel sehen, dass genau diese merkwürdige Situation bereits in der eigentlich sehr
einfachen Schwarzschild-Raumzeit auftritt, wenn wir diese in den Bereich hinter dem SchwarzschildRadius fortsetzen.
Aufgabe 17.1 Ein einfaches Beispiel für eine andere Raumzeit, in der dieses Phänomen auftritt, ist der
zweidimensionale deSitter-Raum & . Seine Metrik lautet
'SîU&
x
T
')‹& j ãgäHÞâ & 2 ) 5 ' 4 & (17.1)
465 © À & die Koordinaten sind und T eine Konstante ist. Man betrachte die beiden Ereignisse
â
â
t œ =ÁD T
2 ) "Ê 5
t
ist, wenn Ê
ist.
2 und ý 2 5 . Man zeige, dass genau dann þ 2ü 5 þ 2 ý 5
„
wobei
ü
ü in verschiedene Richtungen verlassen, später
Es kann auch sein, dass sich Lichtstrahlen, die ein Ereignis
â
5
wieder
schneiden. In diesem Fall ist der Lichtkegel
2ü nicht mehr identisch mit dem Rand der Zukunft
â
5
þ
2ü . Dieses Phänomen beobachtet man sogar. Es gibt Objekte, von denen sieht man am Himmel zwei
oder mehr Bilder. Das Licht hat also verschiedene Wege zur Auswahl, um von dort hierher zu gelangen.
Der Lichtkegel dieses fernen Objektes ist dann kein einfacher Kegel mehr, sondern eine komplizierte
dreidimensionale Hyperfläche in der Raumzeit, die sich selbst überschneidet.
311
Und schließlich gibt es noch eine andere sehr merkwürdige Eigenschaft, die die kausalen Struktur einer
gekrümmten Raumzeit haben kann. Sie kann zu allerlei physikalischen und anderen Paradoxien führen. Es
kann geschlossene zeitartige Kurven geben, also zeitartige Kurven, die von einem Ereignis ü wieder zu ü
zurückkehren. Jemand, der sich entlang einer solchen Kurve bewegt, kann in seine eigene Vergangenheit
reisen. Eine geschlossene zeitartige Kurve ist demnach eine Zeitmaschine.
Aufgabe 17.2 Dazu bedarf es nicht einmal einer Krümmung der Raumzeit. Man betrachte eine Mannig
# À , also das Produkt aus einem Kreisring und einem dreidimensionalen Raum. Die
faltigkeit §
4
Koordinaten seien 2 ) š8œ› 5 , wobei ) die Koordinate auf dem Kreisring ist. Der Punkt 2 ) 4 š8œ› 5 sei mit
=
„ 4 š6œ› 5 identisch. Auf dieser Mannigfaltigkeit sei die folgende, flache Metrik gegeben,
dem Punkt 2 )
j
'S) & j ' 4 & j ' š & j ' › &
(17.2)
â
§ ist. Man kann also von jedem Ereignis
irgendein Ereignis. Man zeige, dass þ 2 ü 5
'Sî &
Nun sei ü © §
zu jedem anderen auf einer in die Zukunft gerichteten zeitartigen Kurve gelangen. Man zeige auch, dass
man sogar in beliebig
â kurzer Eigenzeit von jedem Ereignis zu jedem anderen gelangen kann. Wie sieht der
Vorwärtslichtkegel
2ü 5 eines Ereignisses ü aus?
Die kausale Struktur einer Raumzeit kann also durchaus kompliziert sein. Um sie zu analysieren, wollen
wir jetzt ein paar allgemeine Methoden entwickeln. Der entscheidende Punkt ist, dass wir, um die kausale
Struktur einer Raumzeit zu kennen, nur die lokalen Lichtkegel kennen müssen. Es ist nicht die volle
Kenntnis der Metrik erforderlich. Um eine Kurve als raumartig oder zeitartig zu klassifizieren, müssen
wir nicht deren Länge oder Eigenzeit kennen. Es genügt zu wissen, ob sie überall innerhalb oder überall
außerhalb der Lichtkegel liegt.
Konforme Transformationen
Daraus folgt, dass sich die kausale Struktur einer Raumzeit nicht ändert, wenn wir die Metrik ‚ 2]V 5 in
Lg`
jeden Ereignis V © § mit einer beliebigen positiven Konstanten multiplizieren. Mit anderen Worten, wir
dürfen die Metrik ‚
durch eine neue Metrik ‚ Œ ersetzen, die wie folgt gegeben ist,
Lg`
‚ Œ Lg`
oder umgekehrt
B
ó & ‚ gL `
‚ Œ Lg` ó & ‚ La` (17.3)
!
(17.4)
‚ Lg` ó & ‚ Œ La`
Der Faktor ó kann ein beliebiges, positives skalares Feld auf § sein. Wir nennen eine solche Abbildung
einer Metrik ‚
Lg` auf eine andere Metrik eine konforme Transformation, und das skalare Feld ó heißt
‚ Lg`
La`
!
ó & ‚ Œ gL `
B
konformer Faktor.
Wir können uns vorstellen, dass durch eine konforme Transformation die Tangentenräume ¯ñ¸§ einer
Mannigfaltigkeit um einen Faktor óÍ2WV 5 gesteckt bzw. gestaucht werden. Es ist dabei wichtig, festzustellen,
dass eine konforme Transformation nichts mit Koordinatentransformationen oder etwas ähnlichem zu tun
hat. Es wird wirklich eine Metrik durch eine andere ersetzt, so dass sich die geometrischen Eigenschaften
einer Mannigfaltigkeit verändern. Wir werden uns das später noch explizit klar machen.
Die konform transformierte Metrik ‚ Œ
La` ist unphysikalisch in dem Sinne, dass sie für zeitartige und
raumartige Vektoren im Tangentenraum ¯0¸§
eine falsche Länge liefert. Nämlich eine um den Faktor
5
óÍ2]V zu kleine oder zu große, je nachdem ob der konforme Faktor an dieser Stelle größer oder kleiner als
Eins ist. Was sich aber nicht ändert, und darauf kommt es im folgenden an, ist die kausale Struktur der
Raumzeit.
Ein Vektor O²L , der bezüglich ‚
lichtartig ist, ist auch bezüglich ‚ Œ lichtartig, denn es gilt
Lg`
‚ Lg` O L O `
B
312
‚ Œ La` O L O `
Lg`
<
(17.5)
Dasselbe gilt für raumartige und zeitartige Vektoren. Wir müssen dazu nur das Gleichheitszeichen durch
ein Größer- bzw. Kleinerzeichen ersetzen. Also definiert die konform transformierte Metrik ‚ Œ
La` dieselben
lokalen Lichtkegel, und damit dieselbe kausale Struktur wie die echte Metrik ‚ .
La`
Eine Kurve, die bezüglich der echten Metrik zeitartig, raumartig bzw. lichtartig ist, hat dieselbe Eigenschaft bezüglich der konform transformierten Metrik. Was sich ändert, sind nur die Längen der Kurven,
bzw. deren Eigenzeiten. Aber solange wir nur fragen, ob es m öglich ist, von einem Ereignis zu einem
anderen zu gelangen, uns aber nicht dafür interessieren, wie lange es dauert, dorthin zu gelangen, müssen
wir die Länge einer Kurve nicht kennen. Wir halten also fest:
Die kausale Struktur einer Raumzeit ist unter konformen Transformationen der Metrik invariant.
Tatsächlich sind die konformen Transformation genau die Transformationen der Metrik, die die kausale
Struktur einer Raumzeit invariant lassen. Wir werden das hier aber nicht explizit beweisen, denn es ist
im folgenden unerheblich. Wichtig ist nur, dass die kausale Struktur unter konformen Transformationen
invariant ist.
Aufgabe 17.3 Der Beweis kann zunächst auf einem Vektorraum ¹ geführt, und von dort auf die Tangentenräume einer Mannigfaltigkeit § übertragen werden. Es seien ‚
La` und ‚ Œ Lg` zwei Metriken der Signatur
f 5
2 auf einem -dimensionalen Vektorraum ¹ . Sie sollen die Eigenschaft haben, dass jeder Vektor
© ¹ , der bezüglich ‚ lichtartig ist, auch bezüglich ‚ Œ lichtartig ist, das heißt es gilt (17.5). Man zeige,
Lg`
Lg`
dass es dann eine positive Zahl ó gibt, so dass (17.3) gilt.
Was ist nun der Sinn dieser Überlegung? Nehmen wir an, wir hätten eine Raumzeit mit einer Metrik ‚
La`
gegeben, und wir wollen deren kausale Struktur analysieren. Dann können wir die Metrik möglicherweise
durch eine einfachere Metrik ersetzen, indem wir ein skalares Feld ó geschickt wählen und eine entsprechende konforme Transformation durchführen. Die kausale Struktur der Raumzeit bleibt davon unberührt.
Wir können also ebenso gut die kausale Struktur analysieren, die zur Metrik ‚ Œ gehört. Wir werden später
La`
an vielen Beispielen sehen, wie nützlich diese Eigenschaft ist.
Aufgabe 17.4 Um die kausale Struktur des zweidimensionalen deSitter-Raumes aus Aufgabe 17.1 zu anaT
ãgäHÞâ 2 ) 5 durch. Das konform transformierte
lysieren, führen wir eine konforme Transformation mit ó
Linienelement lautet dann
! T
x
! T
ãgäHÞâ & 2 ) 5 ' ) & j ' 4 &
' î Œ & ãgäHÞâ & 2 ) 5 S' î &
4 Œ 5 lässt sich dies auf die Form
Durch eine geeignete Koordinatentransformation 2 ) 465𘙠2 ) Œ 9
Œ
' îŒ &
' ) & j ' 4Π&
(17.6)
(17.7)
bringen. Man finde die Koordinatentransformation, zeichne ein Bild von dieser Raumzeit mit der konform
transformierten Metrik, und erkläre anhand dieser Darstellung, warum es in der Raumzeit Ereignisse gibt,
die keine gemeinsame Zukunft haben.
Lichtartige Geodäten
Um deutlich zu machen, dass bei einer konformen Transformation nicht alle geometrischen Eigenschaften
^
einer Raumzeit erhalten bleiben, betrachten wir eine Geodäte 2 Z 5 bezüglich der Metrik ‚ , dargestellt
Lg`
als Funktion irgendeines Kurvenparameters Z . Wir wollen zeigen, dass diese Kurve im allgemeinen keine
Geodäte bezüglich der transformierten Metrik ‚ Œ ist.
La`
313
Wir schreiben dazu die Geodätengleichung in der Form auf, wie sie sich als Bewegungsgleichung für
ein Teilchen der Masse aus der Variation der Lagrange-Funktion (16.1) ergibt,
T¹
T T Ì !$# Ì T
L jËÄ L `d \ ` \ d
\ \L T T *kÌ
‚ La` \ L \ `
&8½&
(17.8)
Wir betrachten hier nur zeitartige und lichtartige Geodäten. Für raumartige Kurven müssten wir & durch
eine negative Zahl ersetzen, ansonsten gilt für sie das gleiche.
Hier ist L wie üblich das aus der Metrik ‚
welches auch die kovariÄ `_d >
La` gebildete Christoffel-Symbol,
^
ante Ableitung
bezüglich der Metrik ‚
definiert. Eine Kurve 2 Z 5 , die diese Gleichung für irgendeine
L
La`
Ì
Funktion 2 Z 5 £
erfüllt, ist demnach eine Geodäte bezüglich der Metrik ‚ . Wir wollen zeigen, dass
La`
dies im allgemeinen keine Geodäte bezüglich der Metrik ‚ Œ ist.
Lg`
Wenn wir die Definition (10.60) des Christoffel-Symbols und die Beziehung (17.4) zwischen den beiden
Metriken verwenden, dann bekommenb wir b
b
5
‚ L É 2 ` ‚oÉ db j d ‚É `
b ɟ‚ `d
b
„
!
ó &¾‚ Œ L É ² ` 2.ó–
&¾‚Œ É d 5 j d 2»ó–b &‚oŒ É ` 5
É$2»ó–&b‚ Œ `d 5 ³
b
„
Œ
@
@
!$#
!$#
É !$# É óë‚ Œ (17.9)
Ä L `d¾j L d ó
` ó j L` ó
d ó ‚Œ L ó
`d
Hier ist Œ L das aus der Metrik ‚ Œ
Ä `d
La` gebildete Christoffel-Symbol, das offenbar nur dann gleich Ä L ` d ist,
wenn der konforme Faktor ó konstant ist.
Ä L `d
In diesem Fall ist die konforme Transformation einfach eine gleichmäßige Streckung der gesamten
Raumzeit um den Faktor ó . Es ist klar, dass dann die Geodäten bezüglich der Metrik ‚
La` auch Geodäten
bezüglich der Metrik ‚ Œ
sind. Wenn die Längen aller Kurven mit einem konstanten Faktor multipliziert
Lg`
werden, dann ist eine Kurve maximaler Eigenzeit bezüglich der einen Metrik auch eine Kurve maximaler
Eigenzeit bezüglich der anderen Metrik.
Interessant ist eine konforme Transformation also nur, wenn der konforme Faktor ó nicht konstant ist.
>
Die kovariante Ableitung
L bezüglich der Metrik ‚ Lg` unterscheidet sich dann von der kovarianten Ab>Œ
leitung
bezüglich der Metrik ‚ Œ , und somit definieren beide Metriken unterschiedliche Geodäten. Wir
`
Lg`
^
sehen das, wenn wir (17.9) in die Geodätengleichung (17.8) einsetzen. Für eine Geodäte 2 Z 5 bezüglich
der Metrik ‚
gilt dann
b
b
Lg`
T¹
T T
T T T T Ì !$# Ì T !$#
!$#
L j Ä Œ L ` d \ ` \ d j 3
(17.10)
„ ó
ó` \ ` \ L ‚ Œ L É ó
ɟóë‚ Œ `_d \ ` \ d
\ \L
b
Um zu sehen, dass das nicht die Geodätengleichung bezüglich ‚ Œ
La` ist, formen wir die Gleichung noch ein
T
wenig um. Wir schreiben ó \
\ ` ` ó für die Ableitung des konformen Faktors entlang der Kurve, und
bringen diesen Term auf die rechte Seite. Ferner verwenden wir die zweite Gleichung in (17.8), um den
letzten Term auf der linken Seite zu vereinfachen. Es ist nämlich
T T !
T T * ! Ì
‚ Œ `d \ ` \ d ó [& ‚ ` d \ ` \ d
ó & &$½&
Die Gleichung (17.10) lässt sich damit wie folgt schreiben,
(17.11)
b
T T Ì …
T Ì
Ì ! L j Ä Œ L ` d \ ` \ d 2 !$# \ „3ó $! # ó \ 5 \ L
&$½& ‚ Œ La` ó
ó`
Ì
Da wir das Einbein ohnehin frei wählen können, ersetzen wir die positive Funktion 2 Z 5
Ì
positive Funktion Π2 Z 5 , und zwar so, dass
Ìû
Ì
ó–& Œ
T¹
314
(17.12)
durch eine andere
(17.13)
b
Setzen wir das in (17.12) ein, so ergibt sich
T¹
T T Ì Ì T Ì
L j Ä Œ L ` d \ ` \ d Œ $! # Œ\ \ L Œ $& ½& ‚ Œ La` ó
`ó
(17.14)
Ohne den letzten Term auf der rechten Seite wäre dies die Geodätengleichung bezüglich der Metrik ‚ Œ . Er
La`
verschwindet nur, wenn der konforme Faktor ó konstant ist. Also sind die Geodäten bezüglich der Metrik
‚ Lg` nur dann mit den Geodäten bezüglich der Metrik ‚ Œ Lg` identisch, wenn die konforme Transformation
eine Streckung der Raumzeit um einen konstanten Faktor ist.
C
Es gibt aber eine Ausnahme. Wenn ist, also die Geodäte lichtartig ist, dann ist der letzte Term
gleich Null. Folglich ist jede lichtartige Geodäte bezüglich der Metrik ‚
La` auch eine lichtartige Geodäte
bezüglich der Metrik ‚ Œ . In einer konform transformierten Raumzeit sehen also nicht nur die LichtkeLg`
gel gleich aus. Es ist darüber hinaus auch so, dass sich jeder einzelne Lichtstrahl in der transformierten
Raumzeit genau so verhält wie in der eigentlichen Raumzeit.
Den Beweis dafür hätten wir übrigens auch einfacher haben können. Wenn wir uns die Lagrange^
Funktion für eine lichtartige Geodäte 2 Z 5 bezüglich der Metrik ‚
anschauen,
La`
T T
Ì ‚ \L \`
„ gL `
^
sowie die Lagrange-Funktion für eine lichtartige Geodäte 2 Z 5 bezüglich der Metrik ‚ Œ
Lg`
̌ 5
Einbein jetzt mit 2 Z bezeichnen,
Œ 2 Ì Œ ^ ^ \ 5 Ì ‚Œ T \ L T \ ` „ Œ Lg`
Ì ^ ^ 2 \5
(17.15)
, wobei wir das
so finden wir, dass die beiden Lagrange-Funktionen identisch sind, wenn wir die Hilfsfunktionen
Ì 5
2 Z gemäß (17.13) identifizieren,
Ìû
Ì
ó–& Œ
Œ 2 ̌ ^ ^ \ 5 B
Ì ^ ^ 2 \5
(17.16)
̌ 5
2Z
und
(17.17)
Also liefern beide Lagrange-Funktionen dieselben Bewegungsgleichungen, und somit dieselben lichtartigen Geodäten.
Wir finden also, dass nicht nur die kausale Struktur einer Raumzeit unter konformen Transformationen
invariant ist, sondern sogar jeder einzelne Lichtstrahl in der konform transformierten Raumzeit das gleiche
Verhalten zeigt.
Das Verhalten von Lichtstrahlen ist unter konformen Transformationen der Metrik invariant.
Aufgabe 17.5 Im Umkehrschluss heißt das, dass wir allein aus der Kenntnis der lokalen Lichtkegel auf
die Weltlinien von Lichtstrahlen, also auf die lichtartigen Geodäten schließen können. Man mache sich
anschaulich klar, woran das liegt, und warum eine solche Schlussfolgerung f ür raumartige und zeitartige
Geodäten nicht gilt.
Aufgabe 17.6 Dass sich Licht auf lichtartigen Geodäten ausbreitet, ist natürlich nur eine idealisierte Vorstellung. Die gemachten Aussagen lassen sich aber präzisieren. Licht ist eine elektromagnetische Welle,
die durch die Maxwell-Gleichungen im c Vakuum beschrieben wird, also durch ein antisymmetrisches Ten
sorfeld zweiter Stufe
Lg` mit
> f
> <
Lg`
(17.18)
L
L `d%e
Man zeige, dass diese Feldgleichungen unter der folgenden Transformation invariant sind,
‚ La`
ó–&‚ Œ Lg` La`
Œ
La`
B
‚ Lg`
! Lg`
ó ¾
& ‚Œ Lg`
ó
! ΠgL ` |
(17.19)
Mit anderen Worten, wenn ein Feldstärketensor
La` die Maxwellgleichungen erfüllt, dann tut er dies auch
dann noch, wenn wir die Metrik konform transformieren. Licht als elektromagnetische Welle verh ält sich
in einer konform transformierten Raumzeit genau so wie in der wirklichen Raumzeit.
315
Aufgabe 17.7 Wir hatten am Ende von Kapitel 4 gezeigt, dass man das Bild, das sich einem Beobachter
in der Raumzeit darstellt, im Prinzip aus den Wellenvektoren der Lichtwellen, die auf ihn zu laufen,
und seiner 4-Geschwindigkeit ¬ rekonstruieren kann. Die entscheidenden Formeln waren (4.88) f ür die
wahrgenommene Frequenz und (4.93) für den Winkel, den der Beobachter zwischen zwei einlaufenden
Wellen wahrnimmt.
Auch in einer gekrümmten Raumzeit können wir in einer genügend kleinen Umgebung eines Ereignisses
die allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen als eine Überlagerung von ebenen Wellen schreiben.
Befindet sich der Beobachter an einem solchen Ereignis, so gelten demnach die gleichen Formeln f ür die
wahrgenommenen Frequenzen und Winkel, also insbesondere f ür die Geometrie des Bildes, das er sieht.
Man zeige, dass sich bei einer konformen Transformation, wenn dabei die Lichtwellen und die Weltlinie des Beobachters unverändert bleiben, zwar die wahrgenommenen Frequenzen ändern, aber nicht die
wahrgenommenen Winkel. Der Beobachter am Ereignis V sieht das gleiche Bild, nur dass es insgesamt
um den Faktor óÍ2]V 5 rot- bzw. blauverschoben ist.
Statische Raumzeiten
Wir wollen nun das Theorem über die Invarianz von lichtartigen Geodäten unter konformen Transformationen benutzen, um die kausale Struktur und das Verhalten von Lichtstrahlen in einer statischen Raumzeit
zu untersuchen.
Eine statische Raumzeit hatten wir wie folgt definiert. Es gibt eine Zeitkoordinate ) und drei Raumkoordinaten 4 N , die wir zu einem Vektor 4 zusammenfassen. Für das Linienelement gilt
‚ La` 2WV 5 ' 4 L ' 4 ` ‚ N v 2 64 5 ' 4 N ' 4 v z¬2 465 'S) & (17.20)
wobei ‚ 2 465 eine positiv definite, dreidimensionale Metrik ist, und z¬2 465 eine positive Funktion. Beide
Nv
hängen nur von den drei räumlichen Koordinaten 4 N , aber nicht von der Zeit ) ab.
Natürlich ist 4 kein Vektor im mathematischen Sinne, sondern nur ein Tripel von Koordinaten. Aber die'Sî &
se Schreibweise ist ganz nützlich, weil sie mit der Schreibweise übereinstimmt, die wir für die Raum-Zeit
Aufspaltung im Minkowski-Raum verwendet haben. Ein Ereignis V
2 ) 465 ist durch einen Zeitpunkt )
und einen Ort 4 gegeben. Ferner sind in einer statischen Raumzeit, genau wie im Minkowski-Raum, Raum
und Zeit zueinander orthogonal. Der Raum zu einem Zeitpunkt ) ist einfach die Menge aller gleichzeitigen
Ereignisse.
Aufgabe 17.8 Im Gegensatz zur speziellen Relativitätstheorie hat der Begriff “gleichzeitig” in einer
statischen, gekrümmten Raumzeit eine absolute Bedeutung. Man zeige, dass nur die folgenden Koordinatentransformationen die Form (17.20) der Metrik erhalten: beliebige r äumliche Transformationen
4 N ˜™ š N 2 465 , sowie lineare Zeittransformationen ) ˜™
) j , wobei und Konstanten sind. Keine dieser
Koordinatentransformationen hat jedoch Einfluss auf die Definition der Gleichzeitigkeit.
In einer statischen Raumzeit ist es daher sinnvoll, unabhängig voneinander von einem Raum und einer
Zeit zu sprechen. Der Raum ist eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit den Koordinaten 4 N . Durch die
Einbettung in die Raumzeit wird auf dem Raum eine Metrik ‚ induziert. Sie ist positiv, unabhängig von
Nwv
der Zeit, und definiert den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum, den wir mit ruhenden Maßstäben
messen. Wir sagen, dass die Metrik ‚ die metrische Geometrie des Raumes bestimmt. Der Grund für
Nwv
diese etwas merkwürdige Formulierung wird uns gleich klar werden. Die wesentliche Eigenschaft dieser
Geometrie ist die folgende.
In einer statischen Raumzeit ist die metrische Geometrie des Raumes diejenige Geometrie,
bezüglich der die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten eine Geod äte ist.
316
Die zusätzliche Information, die wir benötigen, um aus dieser Geometrie des Raumes die der Raumzeit zu
rekonstruieren, wird durch die Funktion z¬2 495 gegeben. Sie bestimmt, anschaulich gesprochen, wie schnell
õ
die physikalische Zeit an verschiedenen Orten im Raum vergeht. Die physikalische
Zeit ª zwischen zwei
õ
Ereignissen am selben Ort 4 hängt mit der Koordinatenzeitdifferenz ) über
õ
ª

z¬2 465
õ
)
(17.21)
zusammen. Das ist uns schon aus der Diskussion der Rot- und Blauverschiebung von Lichtwellen in statischen Gravitationsfeld bekannt. In einer statischen Raumzeit können wir demnach die vierdimensionale
Metrik ‚
La` in eine dreidimensionale, räumliche Metrik ‚ Nwv und eine Funktion z zerlegen, die die Zeitdilatation zwischen Uhren an verschiedenen Orten bestimmt.
Es gibt aber noch eine zweite Möglichkeit, eine räumliche Metrik und damit eine Geometrie des Raumes
einzuführen. Wir schreiben dazu das Linienelement (17.20) wie folgt um,
‚ Lg` 2]V 5 ' 4 L ' 4 ` z¬2 495 ² ‚ Œ wN v 2 64 5 ' 4 N ' 4 v S' ) &³  465
wobei ‚ Œ aus ‚ durch eine konforme Transformation mit dem Faktor óÍ2 465
Áz 2
Nwv
wN v
‚ Œ Nwv 2 495
‚ Nwv 2 465 ‚ Nwv 2 495 z¬2 4U5 ‚ Œ Nwv 2 4U5
6
4
5
z¬2
'Sî &
(17.22)
hervorgeht,
(17.23)
Auch ‚ Œ ist eine positiv definite, dreidimensionale Metrik. Sie bestimmt aber keine Abstände zwischen
Nv
Punkten im Raum, und die Geodäten bezüglich dieser Metrik sind folglich auch keine Kurven minimaler
Länge. Trotzdem hat auch diese Metrik eine anschauliche physikalische Bedeutung.
Die Behauptung ist, dass die Geodäten bezüglich der Metrik ‚ Œ die Bahnen von Lichtstrahlen im Raum
Nwv
sind. Der Beweis ist nicht sehr schwierig. Wir betrachten dazu das konform transformierte, vierdimensionale Linienelement
' î Œ & ‚ Œ 2]V 5 ' 4 L ' 4 ` ‚ Œ 2 465 ' 4 N ' 4 v ') &
(17.24)
Lg`
Nwv
Wie wir wissen, verhalten sich Lichtstrahlen in einer Raumzeit mit dieser Metrik genau wie Lichtstrahlen
in der wirklichen Raumzeit, deren Metrik durch (17.22) gegeben ist.
Die Geodätengleichung für die konform transformierte Metrik ‚ Œ
aber besonders einfach. Da die
Lg` ist *
|
Zeitkomponente ‚ Œ
konstant ist, die gemischten Komponenten ‚ Œ
noch immer verschwinden,
MºM
MºN
4
und die räumlichen Komponenten ‚ Œ nur vom Ort abhängen, sind die einzigen nicht verschwindenden
Nv
Komponenten des Christoffel-Symbols ΠL diejenigen
mit
Indizes,
b
b drei räumlichen
b
Ä ` d
ΠN $
‚ Œ N v 2 ‚ Œ Ä
v j
„
0
‚Œ v
‚v Œ 5
(17.25)
Hier sind ‚"Œ N v die räumlichen Komponenten der inversen, konform transformierten Metrik ‚$Œ Lg` . Da Raum
und Zeit zueinander orthogonal sind, ist ‚SŒ Nwv aber auch einfach die zur dreidimensionalen Metrik ‚ Œ inverse
Nv
Metrik. Es gilt also
ñ
@
N
‚ Œ Nwv 2 465 z¬2 4U5 ‚ Nwv 2 465 ‚Œ N v ‚Œ
(17.26)
v
^
Wenn wir jetzt die Geodätengleichung (17.14) für einen Lichtstrahl 2 Z 5 aufschreiben, also für
T
und diese in einen räumlichen Anteil 2 Z 5 und einen Zeitanteil ) 2 Z 5 aufspalten, so ergibt sich
T¹
T T Ì Œ $! # Ì Œ\ T
N jËÄ N \ \
\N
)
¹
Ì Œ $! # Ì Œ\ )\
,
(17.27)
Offenbar ist die erste Gleichung nichts anderes als die Geodätengleichung für die dreidimensionale Metrik
T
‚ Œ Nwv . Mit anderen Worten, die Bahn 2 Z 5 eines Lichtstrahls im Raum ist tatsächlich eine Geodäte bezüglich
der Metrik ‚ Œ .
Nv
317
Zusätzlich müssen wir noch die zweite Gleichung in (17.8) berücksichtigen, die dafür sorgt, dass die
Weltlinie des Lichtstrahls in der Raumzeit lichtartig ist. Sie lässt sich jetzt wie folgt schreiben,
T T ‚ Œ Lg` \ L \ `
B
)\ &
T T ‚ Œ Nwv \ N \ v
(17.28)
Diese Gleichung besagt offenbar, dass sich das Licht mit Lichtgeschwindigkeit im Raum ausbreitet. Allerdings wird diese Geschwindigkeit jetzt bezüglich der konform transformierten Metrik definiert. Auf der
rechten Seite steht der zurückgelegte Weg, definiert durch die räumliche Metrik ‚ Œ , und auf der linken
Nv
Seite steht die dafür benötigte Zeit, die aber nicht die physikalische Zeit ist, sondern die Koordinatenzeit.
Dass die Aussage trotzdem die richtige physikalische Bedeutung hat, nämlich die, dass sich das Licht
mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, liegt daran, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung (17.28) gewissermaßen den gleichen Fehler machen. Zwischen der Koordinatenzeit und der physikalischen Zeit besteht
der Zusammenhang (17.21). Aber das ist auch genau der Zusammenhang zwischen dem Abstand zweier
Punkte im Raum, gemessen mit der konform transformierten Metrik ‚ Œ , und dem wirklichen Abstand,
Nwv
gemessen mit der Metrik ‚ .
Nv
Wir können das wie folgt zusammenfassen. Um das Verhalten von Lichtstrahlen in einer statischen
Raumzeit zu untersuchen, betrachten wir die dreidimensionale Metrik ‚ Œ , definiert durch (17.22). Wir
Nwv
sagen, dass diese Metrik die optische Geometrie des Raumes bestimmt. Ein Lichtstrahl bewegt sich auf
õ
) die
einer Geodäten
bezüglich
dieser
Metrik
durch
den
Raum.
Er
legt
dabei
in
der
Koordinatenzeit
õ
Strecke ) zurück, wobei auch diese Strecke durch die Metrik ‚ Œ definiert wird.
Nwv
In einer statischen Raumzeit ist die optische Geometrie des Raumes diejenige Geometrie,
bezüglich der die Bahn eine Lichtstrahls eine Geodäte ist.
Die optischen Geometrie des Raumes, definiert durch die dreidimensionale Metrik ‚ Œ , unterscheidet sich
Nv
also von der metrischen Geometrie des Raumes, definiert durch die Metrik ‚ . Während die Geodäten
Nwv
bezüglich der optischen Geometrie die Bahnen von Lichtstrahlen im Raum sind, sind die Geodäten
bezüglich der metrischen Geometrie die Kurven minimaler Länge. Das ist im allgemeinen nicht dasselbe.
Welche der beiden Geometrien die richtige oder die wahre Geometrie des Raumes ist, lässt sich nicht
allgemein festlegen, sondern hängt von der Situation ab, die wir konkret beschrieben wollen. Es ist ebenso
natürlich, zu sagen, eine Geodäte sei die Bahn eines Lichtstrahls, wie zu verlangen, eine Geodäte soll die
kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im Raum sein.
Welche der beiden dreidimensionalen Metriken wir jeweils wahrnehmen, hängt davon ab, wie wir die
Geometrie des Raumes vermessen. Wenn wir dies mit Hilfe von ruhenden Maßstäben und gespannten Seilen tun, von denen wir dann annehmen, dass die Geodäten sind, dann messen wir die Metrik ‚ , also die
Nwv
metrische Geometrie. Wenn wir dagegen, wie ein moderner Landvermesser, optische Peilgeräte verwenden, um die Metrik des Raumes zu vermessen, dann messen wir die optische Geometrie, also die Metrik
‚ Œ Nwv .
Oder, um es noch anschaulicher zu formulieren, es ist die Metrik ‚ Œ , die wir sehen, wenn wir uns
Nwv
im wahrsten Sinne des Wortes im Raum umschauen. Wenn wir dagegen den Raum ertasten, indem die
darin herumlaufen und Abstände messen, dann ist es die metrische Geometrie, also die Metrik ‚ , die wir
Nwv
wahrnehmen. Wenn beide sehr stark voneinander abweichen, das Feld z¬2 495 also stark variiert, dann wird
das zu allerhand optischen Täuschungen führen. In starken Gravitationsfeldern ist geradeaus schauen nicht
mehr dasselbe die geradeaus laufen.
Aufgabe 17.9 Im Gravitationsfeld der Erde ist die Abweichung zwischen der optischen und der metrischen Geometrie natürlich minimal. Aus dem Äquivalenzprinzip hatten wir folgende Raumzeit-Metrik für
ein auf der Erdoberfläche ruhendes Koordinatensystem hergeleitet,
'Sî &
ñ
2
„3‚ › 5 ' ) & j ' 4 & j ' š & j ' › & 318
für
‚ ›…ê
(17.29)
Ein Laserstrahl verbinde zwei Orte auf gleicher Höhe › , deren metrischer Abstand km beträgt. Um wieviel weicht der Laserstrahl in der Mitte der Strecke von der kürzesten Verbindung der beiden Orte ab?
Aufgabe 17.10 Man stelle sich den Laser aus Aufgabe 17.9 als einen Strahl von (massiven) Teilchen
‚ › nach den
vor, die sich in einer flachen Newtonschen Raumzeit mit einem Gravitationspotential 1
Gesetzen den klassischen Mechanik bewegen. Um wieviel weicht der Laserstrahl in der Mitte der Strecke
dann von einer Geraden ab?
Die Schwarzschild-Metrik
Um zu zeigen, dass diese bis jetzt etwas abstrakten Überlegungen auch einen praktischen Nutzen haben,
wollen wir nun als konkretes Beispiel das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Sterns betrachten. Viele
Ergebnisse aus dem letzten Kapitel lassen sich jetzt nämlich sehr anschaulich darstellen und erklären.
Insbesondere werden wir eine verblüffend einfache Erklärung dafür finden, warum ein Lichtstrahl bei
ÇlÄ < einen Stern umkreisen kann.
Betrachten wir zuerst eine statische, kugelsymmetrische Metrik in der allgemeinen Form (15.4),
*
'Sî &
z¬2 5 ') & j `¾2 5 ' & j & 2 ' [ & j Þßáà&
' \ &5
[
(17.30)
Die metrische Geometrie des Raumes wird folglich durch das dreidimensionale Linienelement
'"î &
‚ N v ' 4 N ' 4 v `¾2 5 ' & j & 2 ' [ & j ÞßÕà&
' \ &5
[
(17.31)
beschrieben. Das interessiert uns aber gar nicht, wenn wir das Verhalten von Lichtstrahlen untersuchen
wollen. Statt dessen betrachten wir die konform transformierte Metrik
' îŒ &
5
&
`¾2
&
'S) & j
'
j ¬z 2 5 2 ' [ & j Þßáà&
¬z 2 H5
' \ &5
[
(17.32)
und die daraus abgeleitete optische Geometrie des Raumes, definiert durch das dreidimensionale Linienelement
5
`¾2
&
' î Œ & ‚ Œ wN v 2 64 5 ' 4 N ' 4 v
' & j
2 ' [6& j Þ_ßÕà &C[ ' \ & 5
H
5
5
Áz 2
z¬2
(17.33)
Natürlich ist dieses Linienelement noch immer kugelsymmetrisch. Auch bezüglich der optischen Geometrie können wir uns den Raum aus ineinander liegenden Kugelschalen zusammengesetzt vorstellen.
Allerdings ist der Oberflächenradius einer Kugelschale an der Stelle jetzt nicht mehr,  wie in der metriD
schen Geometrie, durch die Koordinate selbst gegeben, sondern durch die Funktion z¬2 5 . Dasselbe
und ' . Der
gilt für den Abstand zweier ineinander liegenden Kugelschalen mit den Koordinaten

j
5
metrische Abstand der beiden Kugelschalen, der
sich aus (17.31) ergibt, ist `¾2 ' . Der optische Ab
D
stand, der sich aus (17.33) ergibt, ist dagegen `32 5 z¬2 5 ' . Die optische Geometrie unterscheidet sich
also von der metrischen Geometrie, wenn z¬2 5 à
ist.
Wir wollen versuchen, uns von dieser optischen Geometrie eine anschauliche Vorstellung zu machen.
Dazu setzen wir die Funktionen `¾2 5 und z¬2 5 aus Kapitel 15 ein, das heißt wir wollen ganz konkret
das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers mit der Masse und dem Radius ÇtG
betrachten. Außerhalb des Himmelskörpers, für £ ÇÈG , gilt dann (15.25), also
ñ*„ð z¬2 5
5 `32
319
D
ñx„ , E
!$#
(17.34)
Wenn wir wieder annehmen, dass der Himmelskörper eine konstante Dichte hat, dann können wir für den
Bereich im Innern die Funktionen (15.54) einsetzen. Es gilt also für ö’Ç|G
›t
ƒt 55
5
z¬2
;ð2 2]ÇÍG 5
2 &
H5 `¾2
2 H 5 &
ñ „ , mit
t
ÇÍG
¥ DŸ;
Damit diese Funktionen wohldefiniert sind, mussten wir voraussetzen, dass Ç|G £ 2
á
der Radius des Sterns muss mehr als das
„h{ fache seines Schwarzschild-Radius q
Ç z
t
2 5
& (17.35)
5 ,
ist, das heißt
„ , betragen.
Das wollen wir im folgenden natürlich annehmen.
Es ist natürlich alles andere als offensichtlich, wie dieser Raum aussieht. Wir können uns aber auf
einfache Weise ein Bild von ihm machen, indem wir ihn in einen höherdimensionalen, Euklidischen Raum
einbetten, so dass die Metrik durch die Einbettung induziert wird. Es stellt sich heraus, dass wir mit einer
zusätzlichen Dimension auskommen. Wir werden also versuchen, den dreidimensionalen Raum mit den
Koordinaten 2 [ \ 5 in einen vierdimensionalen Euklidischen Raum mit den Koordinaten 2 .t 4 š6œ› 5
einbetten.
Wir benötigen dazu eine Einbettungsabbildung 2 [ \ 5옙 2 .… 4 š8œ› 5 , so dass diese Einbettung die
optische Geometrie (17.33) induziert. Es muss also gelten
&
`32 5 5
Þ
á
ß
à
'
'
& j ' 4 & j ' š & j ' ›&
&
2
[8&
/[ ' \ &
&
5
H
5
j zÁ2
j
¬z 2
¬z 2 5 der Oberflächenradius einer Sphäre bei ist, machen wir den Ansatz
  4 
š
›
Þ_ßÕà [ ãaäHÞ \P
Þ_ßÕà [ Þßáà \–
ãaäHÞ [ zÁ2 H5
zÁ2 H5
z¬2 5
'
Da D

.
(17.36)
(17.37)
und . 2 5 ist eine zunächst unbekannte Funktion. Wenn wir das in (17.36) einsetzen, dann ergibt sich nach
einer kurzen Rechnung eine Differentialgleichung für . 2 5 ,
z¬2 H5
.
{ 2 H5 & `¾2 5 D
ñ z { 2 H5 & „ z¬2 5 E
(17.38)
Diese lässt sich sogar analytisch lösen. Da wir hier aber nur an den qualitativen Eigenschaften der Einbettungsabbildung interessiert sind, werden wir auf die explizite Lösung nicht näher eingehen. Für die
folgenden graphischen Darstellungen genügt es ohnehin, die Differentialgleichung numerisch zu lösen.
Aufgabe 17.11 Wir sollten uns jedoch davon überzeugen, dass eine Lösung existiert. Dazu muss die rechte
Seite der Gleichung (17.38) positiv sein. Man setze die Funktionen (17.34) bzw. (17.35) ein und zeige, dass
dies der Fall ist.
D
Das Ergebnis ist in Abbildung 17.2 für verschiedene Werte von ÇÈG dargestellt. Gezeigt ist jeweils die
x=ÁD
„ , eingebettet in einen dreidimensionalen Euklidischen
Äquatorebene, also die Koordinatenebene [
Raum mit den Koordinaten 2 .… 4 š 5 , wobei . nach oben aufgetragen ist. Die Rotationssymmetrie in der
horizontalen Ebene ist sofort offensichtlich. Um die dritte Dimension des Raumes zu ergänzen, müssen
wir uns eine horizontale Kreislinie in der Abbildung als Kugelschale vorstellen.
Um den Unterschied zwischen der Geometrie innerhalb und außerhalb des Sterns zu verdeutlichen,
haben wir den Raum jeweils bei Ç G durchgeschnitten. Wenn wir die Masse des Sterns festhalten
und nur den Radius ÇG variieren, dann sieht der äußere Teil des Raumes immer gleich aus. Weit draußen
ist der Raum fast flach, nur in der Nähe des Sterns wölbt er sich leicht. Je kleiner der Stern wird, desto
größer wird die Krümmung des Raumes in seiner Nähe, und umso stärker ist auch der Raum in Innern des
Sterns gekrümmt.
320
Milchstraße
andere Galaxie
Ž›Çå Œ ͒Î
Ž
˜
(a)

ÇÏ Œ ͒Î
˜
(c)

Õ f×
G GÕd×
(b)
Ó
(d)
Ó
Abbildung 17.2: Die optische Geometrie des Raumes für verschiedene Sternradien ˜ G bei gleicher Masse
Ó . Außerhalb des Sterns ist der Raum negativ gekrümmt, und seine Krümmung nimmt nach außen hin ab.
Innerhalb des Sterns ist die Krümmung positiv. Das Innere eines Sterns konstanter Dichte hat die optische
Geometrie einer Sphäre und erscheint in der Einbettung als Ausschnitt aus einer Kugelschale. Ist der
ð
× Ó , so ist der Raum überall nur
Radius ˜ G groß im Vergleich zum Schwarzschild-Radius ˜ z Õ
schwach gekrümmt. Je kleiner das Verhältnis ˜ GC™ ˜ z , desto mehr krümmt sich der Raum in der Nähe der
Oberfläche und im Innern des Sterns.
Es stellt sich heraus, dass der Raum in Innern des Sterns ein dreidimensionaler symmetrischer Raum
mit positiver Krümmung ist, das heißt es handelt sich um ein Segment einer dreidimensionalen Sphäre ,
die in Abbildung 17.2 als kreisförmiges Segment einer Kugelschale erscheint. Um den Krümmungsradius
dieser Kugelschale zu bestimmen, betrachten wir den Ricci-Tensor Ç Œ , der zu der Metrik ‚ Œ im Innern
Nwv
Nwv
gehört. Man findet, da es sich um einen symmetrischen Raum handelt,
Ç Œ Nwv
Œ ‚Œ
ÇË
Nwv
mit
nj
,
ÇÍG |
;
¥
2 Í
Ç G
, 5
(17.39)
Der Ricci-Tensor ist proportional zur Metrik und dem Krümmungsskalar Ç Œ , und dieser ist konstant. Für
einen Himmelskörper, der sehr viel größer ist als sein Schwarzschild-Radius, gilt näherungsweise
;
„
,
nj r
ÇÍG
für
ÇÍG
F
(17.40)
Um eine Vorstellung von der Größenordnung der Krümmung zu bekommen, vergleichen wir das mit dem
Krümmungsskalar eine dreidimensionalen Sphäre .
Aufgabe 17.12 Man zeige, als Verallgemeinerung von Aufgabe 10.22, dass der Kr ümmungsskalar für eine
Ë 5 D
-dimensionale Sphäre mit dem Oberflächenradius 7 durch Ç
82
7 & gegeben ist.
Wenn wir annehmen, dass der Stern sehr viel größer ist als sein Schwarzschild-Radius, also die Näherung
(17.40) benutzen, dann entspricht die Krümmung des Raumes im Innern des Sterns der Krümmung einer
D ;
E #%#
m. Das ist
Sphäre mit dem Oberflächenradius 7 & r ÇkG 2 , 5 . Für die Erde ergibt das 7 r
„
etwa die Entfernung Erde–Sonne.
Der Raum im Innern der Erde hat also die gleiche Krümmung wie eine dreidimensionale Sphäre, deren
Radius etwa von der Größenordnung der Bahn der Erde um die Sonne ist. Wenn wir uns das Gravitationsfeld der Erde in Abbildung 17.2 dargestellt vorstellen, dann heißt das, dass das Stück in der Mitte, das die
321
Erde darstellt, ein Segment aus einer Kugelschale ist, deren Mittelpunkt im Einbettungsraum etwa so weit
oberhalb der dargestellten Fläche liegt, wie die Sonne von der Erde entfernt ist. Daraus sollte klar werden,
dass die Krümmung verschwindend gering ist. Der Raum ist in sehr guter Näherung flach.
Für die Sonne ist das Verhältnis nicht mehr so extrem. Der Krümmungsradius 7 des Raumes im Innern
HH
der Sonne ist nur noch um einen Faktor
größer als sie selbst. Mit anderen Worten, um das Gravitationsfeld im Innern der Sonne in Abbildung 17.2 darzustellen, müssen wir in die Mitte ein Segment aus
einer Kugelschale einsetzen, dessen Radius etwa ein Winkelgrad auf der Kugelschale beträgt. Ein solches Segment weist bereits eine merkliche Krümmung auf. Aber leider ist weder die Erde noch die Sonne
transparent, so dass es nur schwer möglich ist, diese optische Geometrie des Raumes direkt zu sehen.
Aber wir können eine entsprechende Abschätzung natürlich auch für den Außenraum durchführen. Da
der Raum dort nicht mehr symmetrisch ist, also nicht in alle Richtungen gleichmäßig gekrümmt ist, ist der
Ricci-Tensor nicht mehr proportional zur Metrik. Man findet statt dessen
Ç Œ aa
l
* „ , |
2¶„ , 5 ‚fŒ aa nj
]e]
•„ð |
2
, 5 ‚ Œ
]]
(17.41)
und die gleiche Beziehung gilt wegen der Kugelsymmetrie für ÇjŒ bdb statt Ç Œ ]e] . Alle anderen Komponenten
verschwinden. Der Raum hat also in radialer Richtung eine negative Krümmung und senkrecht dazu eine
positive Krümmung. Für große Radien gilt
Ç Œ aa r
A
;
, ‚fŒ aa nj
„ , r
]]
‚Œ
]]
für
F
, (17.42)
Das heißt, die Krümmung nimmt nach außen hin schnell ab. Für r ÇÈG , also in der Nähe der Oberfläche des Himmelskörpers, sind die Komponenten des Ricci-Tensors jedoch in etwa so groß wie der
Krümmungsskalar (17.40) im Innern. Also gilt das, was wir oben über die Größenordnung der Raumkrümmung im Innern gesagt haben, auch im Außenraum.
Aufgabe 17.13 Man verifiziere die Formeln (17.39) und (17.41). Dabei ist es wirklich sehr n ützlich, auf
ein algebraisches Computerprogramm zurück zu greifen, das für jede Metrik automatisch alle daraus abgeleiteten Tensoren ausrechnet. Sonst ist die Rechnung sehr lang und m ühsam. Man zeige außerdem, dass
der Raum im Innern nur dann symmetrisch ist, also eine konstante Kr ümmung aufweist, wenn die Dichte
des Sterns konstant ist. Dass die optische Geometrie im Innern eines Sterns die einer dreidimensionalen
Sphäre ist, hat also keine besondere physikalische Bedeutung, sondern liegt nur an unserem sehr einfachen
Modell für die Sternmaterie.
Aufgabe 17.14 Die Ricci-Tensoren (17.39) und (17.41) geben die optische Kr ümmung des Raumes an,
also diejenige Krümmung, die man mit Hilfe von Lichtstrahlen misst. Man berechne auch den Ricci-Tensor
Ç Nwv für die metrische Geometrie des Raumes, also für das dreidimensionale Linienelement (17.31). Man
zeige, dass
Ç
für
£ ÇÍG Ç
„ð ÇÍG
für
öËÇÍG (17.43)
Die Raum hat also bezüglich der metrischen Geometrie eine andere Krümmung als bezüglich der optischen
Geometrie. Warum macht der vierdimensionale Ricci-Tensor Ç
Lg` keine Aussage über die Krümmung des
Raumes?
Lichtstrahlen und der kritische Radius
Aus der dargestellten optischen Geometrie des Raumes können wir nun unmittelbar einige qualivative
Aussagen über das Verhalten von Lichtstrahlen in der Nähe eines kugelförmigen Himmelskörpers machen. Wie wir wissen, bewegen sich Lichtstrahlen auf Geodäten bezüglich der optischen Geometrie des
322
Ž›ÇƒÏ Œ ͒Î
Ž ǝÑd͒Î


Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
Abbildung 17.3: Durch die Krümmung des Raumes werden Lichtstrahlen, die einen Stern passieren, zum
Stern hin abgelenkt. Die Ablenkung ist umso größer, je kompakter der Stern ist, und sie ist maximal für
einen Lichtstrahl, der unmittelbar an der Oberfläche des Sterns passiert.
Raumes. Die Bahn eines Lichtstrahl in der Äquatorebene ist also eine Geodäte auf der in Abbildung 17.2
dargestellten Fläche.
In Abbildung 17.3 ist jeweils eine Schar solcher Geodäten dargestellt. Wir können uns vorstellen, mit
einem Fahrzeug über die dargestellte Fläche zu fahren, ohne dabei die Lenkung zu betätigen. Wegen der
Wölbung der Fläche hat das aber zur Folge, dass das Fahrzeug nicht einer geraden Linie im Einbettungsraum folgt, sondern scheinbar in einer Kurve gezwungen wird. Scheinbar deshalb, weil das Fahrzeug lokal
auf der Fläche natürlich immer geradeaus fährt. Die Ablenkung eines Lichtstrahls zum Zentrum des Himmelskörpers hin ist also eine direkte Konsequenz der Krümmung des Raumes.
Aufgabe 17.15 Man mache sich klar, dass das Fahrzeug nicht deshalb zum Zentrum hin abgelenkt wird,
weil es durch eine Kraft in die Mulde gezogen wird, sondern dass die Ablenkung allein auf der Kr ümmung
der Fläche beruht. Man stelle sich dazu dieselbe Fläche vor, allerdings mit einem Hügel statt einer Mulde
in der Mitte. Auch dann wird das Fahrzeug zum Zentrum hin abgelenkt.
Wir sehen außerdem in der Aufgabe 17.3, dass ein Lichtstrahl dann am meisten aus seiner scheinbar
geraden Bahn abgelenkt wird, wenn er die Oberfläche des Himmelskörpers knapp passiert. Ein Lichtstrahl,
der mitten durch das Zentrum läuft, wenn wir einmal annehmen, dass der Himmelskörper transparent ist,
wird gar nicht abgelenkt, und auch ein in großer Entfernung passierenden Lichtstrahl läuft näherungsweise
auf einer geraden Linie im Einbettungsraum.
Die Größenordnung dieser Lichtablenkung hatten wir im letzten Kapitel bereits berechnet. Implizit
haben wir dabei übrigens genau das Verfahren verwendet, das wir hier allgemein für statische Raumzeiten
hergeleitet haben. Wir haben den Lichtstrahl als die Bewegung eines freien, klassischen Teilchens in einem
dreidimensionalen Raum beschrieben. Dieser dreidimensionale Raum ist genau der, dessen Äquatorebene
in Abbildung 17.3 dargestellt ist. Wir werden auf diesen Zusammenhang gleich noch einmal etwas näher
eingehen.
Was uns an dieser Stelle noch interessiert, ist, wie es denn nun dazu kommt, dass es einen kritischen
, gibt, bei dem ein Lichtstrahl auf einer geschlossenen Bahn um den Stern umlaufen
Radius ÇyÄ
kann. Eine solche geschlossene Bahn müsste sich als eine spezielle Geodäte in der optischen Geometrie
des Raumes ergeben. Tatsächlich haben wir uns bisher nur die Räume für Ç|G £ ÇlÄ angesehen, das heißt
der Sternradius war größer als der kritische Radius, und demnach gab es diese geschlossene Umlaufbahn
nicht.
Was passiert also, wenn Ç Gsö‡ÇlÄ wird? In Abbildung 17.4 ist noch einmal die Umgebung des Sterns
dargestellt, also ein vergrößerter Ausschnitt aus Abbildung 17.2. Offenbar ist es so, dass der Raum im Innern des Sterns gar nicht immer kleiner und stärker gekrümmt wird, wenn der Sternradius DžG kleiner wird,
323
˜
G›ÕÖd×
Ó
˜
G›Õ
ð
d×
Ó
˜
G
Õ
ð
¤Öd×
Ó
(a)
˜
G
f×
՝Ö
Ó
Milchstraße
andere Galaxie
(c)
(b)
(d)
Abbildung 17.4: Die optische Geometrie des Raumes für sehr kompakte Himmelskörper. Ist der Radius
˜ G kleiner als der kritische Radius ˜ Ä ÕÖØ× Ó , so bildet sich bei ” Õ ˜ Ä ein Hals. Ein Lichtstrahl kann
dort den Stern umkreisen. Außerdem gibt es Lichtstrahlen, die innerhalb des Sterns auf geschlossenen
Bahnen laufen. Ein von außen kommender Lichtstrahl kann eingefangen werden, den Stern mehrmals
durchqueren, und dann wieder durch den Hals nach außen laufen. Das letzte Szenarium ist allerdings nur
für einen nicht exakt kugelsymmetrischen Stern möglich.
sondern dass die Krümmung an einer bestimmten Stelle ein Maximum erreicht, und dass die Kugelschale,
die das Innere des Sterns repräsentiert, danach wieder größer wird.
Wie kommt das? Wenn wir uns den Krümmungsskalar (17.39) im Innenraum ansehen, dann hat dieser
offenbar an der Stelle ÇG
, ein Maximum, denn dort ist
D
'
' Í
Ç G
;
,
ÇÍG¤|
2 ÇÍG
¥
5E
,
„ð ÇÍG }
2WÇÍG
, 5
(17.44)
ÇnÄ eine Besonderheit aufzuweisen. Es bildet sich
Auch die Metrik in Außenraum hat an der Stelle D an
dieser Stelle eine Art Hals. Der Oberflächenradius einer Sphäre bei war durch die Wurzel aus & z¬2 5
<
gegeben. Diese Funktion hat ein Minimum bei , , denn dort ist auch
'
' D
&
z¬2 H5
E
,
„ z¬2 5 &8z { 2 H 5 „ f
, ñ
D 5
5
z¬2 &
2
„ , &
(17.45)
¥ Do;
5 ö
Die optische Geometrie des Raumes hat also in der Nähe eines sehr kompakten Sterns, für 2
ÇkGYö
, eine sehr merkwürdige Struktur. Der Stern verschwindet gewissermaßen hinter einem
Schlund, und scheinbar wird er auch wieder größer, obwohl sein Oberflächenradius DžG weiter abnimmt.
Das ist natürlich, im wahrsten Sinne des Worten, nur eine optische T äuschung. Aber das ist eben, wie
wir allgemein gezeigt haben, die Geometrie des Raumes, die ein Lichtstrahl sieht. Wenn wir uns dem
324
¥ DŸ;
5 , nähern, an dem der Stern instabil wird, wird der Raum im Innern des Sterns
Grenzfall ÇÍG ™ 2
sogar wieder flach. Der Ausschnitt aus einer Kugelschale, der in Abbildung 17.4 das Innere des Sterns
repräsentiert, wird also beliebig groß.
Diese merkwürdige optische Geometrie des Raumes erklärt nun sehr anschaulich die Phänomene, die
wir in Abbildung 16.2 aus dem effektiven Potential für Lichtstrahlen im Gravitationsfeld eines kugelsym
metrischen Himmelskörpers abgelesen haben. Offenbar ist der Kreis bei ÇrÄ , der in Abbildung 17.4(c)
eingezeichnet ist, eine Geodäte auf der dargestellten Fläche. Mit anderen Worten, ein Lichtstrahl kann dort
umlaufen.
Die Bahn ist allerdings instabil, wie wir auch bereits wissen, denn jede kleine Abweichung von dieser
Kreisbahn führt dazu, dass der Lichtstrahl entweder nach außen entkommt oder auf den Stern fällt. Allerdings finden wir auch stabile Umlaufbahnen. Für ÇÈGÈöfÇlÄ ist das Segment der Kugelschale, welches das
Innere des Sterns repräsentiert, größer als eine Halbkugel. Demnach gibt es auf der Kugelschale Großkreise, auf denen ein Lichtstrahl innerhalb des Sterns kreisen kann. Das sind genau die Bahnen, die in
Abbildung 16.2(d) in der Potentialmulde pendeln.
Aufgabe 17.16 Wenn der Stern nicht exakt kugelsymmetrisch ist, ist es sogar denkbar, dass ein Lichtstrahl,
der von außen kommt, eingefangen wird, einige Male den Stern durchl äuft, es dabei aber nicht schafft,
durch den Hals wieder heraus zu kommen, um nach einigen Anl äufen aber doch wieder zu entkommen.
Der Weg eines solchen Lichtstrahls ist in Abbildung 17.4(d) dargestellt. Warum kann es einen solchen
Lichtstrahl bei einer exakten Kugelsymmetrie nicht geben? Wir oft kann ein Lichtstrahl, der von außen
kommt, eine exakt kugelsymmetrischen Stern höchstens durchdringen?
Wir erinnern uns, dass für die Sonne das Segment der Kugelschale etwa den Radius von einem Grad hatte.
Der Raum im Innern der Sonne ist also weit davon entfernt ist, eine Halbkugel zu sein. Ein Stern muss
schon sehr kompakt sein, um diese Phänomene zu zeigen. Ein Neutronenstern kann aber durchaus genau
diese Größenordnung haben.
Es stellt sich die Frage, ob man diese Phänomene vielleicht beobachten kann. Das ist nicht ganz klar,
denn dazu müsste man erst einmal klären, was man genau beobachten soll. Sicher sind Neutronensterne
für Licht nicht transparent, so dass es sicher keine im Innern umlaufenden Lichtstrahlen gibt. Gravitationswellen, die wir später genauer untersuchen werden, verhalten sich aber im wesentlichen so wie Licht und
sie dringen fast ungehindert durch jede Materie. Sie könnten in einem Neutronenstern gefangen werden,
und es könnte zu ungewöhnlichen Resonanzen kommen, wenn solche Wellen im Innern umlaufen.
Es sind aber bis heute aber keine Beobachtungen bekannt, die auf einen Himmelskörper hindeuten,
dessen Radius kleiner als der kritische Radius ÇjÄ ist, und die direkt mit dieser sonderbaren Geometrie
des Raumes im Innern zu tun haben. Jedoch kann man sich leicht überlegen, wie man Hals bei ÇÄ
außerhalb eines solchen Himmelskörpers vermessen könnte.
Aufgabe 17.17 Man stelle sich vor, die Sonne würde zu einem Neutronenstern kollabieren und einen Radius ÇÍGÍö ÇlÄ erreichen. Wenn man dann einen starken Lichtblitz zur Sonne schickt (bevor es auf der Erde
viel zu kalt wird), dann würde man folgende Beobachtung machen. Nach etwa 16 Minuten sieht man dort,
wo früher die Sonne war, einen Ring am Himmel aufblitzen. Im Abstand von
õ
)
ƒ 3=
, r
”
{
msec
(17.46)
folgen weitere, schnell schwächer werdende Blitze. Wie erklärt sich diese Phänomen? Wie kommt es zu
dieser Frequenz der wiederkehrende Signale? Wie groß ist der Radius der ringf örmigen Blitze am Himmel?
Spekulieren wir noch ein wenig weiter, und stellen wir uns vor, wir würden auf einem Planeten leben,
dessen Radius ÇG kleiner als der kritische Radius ÇyÄ ist. Die Welt würde für uns völlig anders aussehen,
als wir dies gewöhnt sind.
325
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
Abbildung 17.5: Ein Beobachter, der auf der Oberfläche eines Himmelskörpers mit ˜ GAÙ ˜ Ä steht, kann
sich selbst unendlich oft sehen, wenn er schräg nach oben schaut. Ein Lichtstrahl (a), der ihn verlässt,
kann den Himmelskörper einmal umkreisen und wieder zu ihm zurückkehren. Ein anderer Lichtstrahl (b)
umkreist den Himmelskörper zweimal und kehrt dann zurück.
Betrachten wir zunächst einen Astronauten in einem Raumschiff, das gerade gestartet ist und sich nun
bei Richtung aus dem Fenster
ÇlÄ befindet. Was sieht der Astronaut, wenn er in eine horizontale
schaut? Sein Blick würde dem Weg eines Lichtstrahls folgen, der bei
ÇrÄ den Himmelkörper umkreist.
Er würde schließlich, wenn nichts anderes im Weg ist, wieder auf das Raumschiff treffen. In welche
horizontale Richtung er auch schaut, er würde immer sein eigenes Raumschiff sehen. Er sieht es quasi als
Ring in einer gewissen Entfernung.
Wenn er dagegen schräg nach unten schaut, so endet jeder Blick auf der Oberfläche des Planeten,
während jeder Blick nach schräg oben im Sternenhimmel endet, oder eben nicht endet. Er sieht also den
Planeten unter sich nicht als Kugel, sondern als eine unendlich ausgedehnte Fläche. Ein Beobachter auf
dem Planeten hat sogar einen noch merkwürdigeren optischen Eindruck. Ein solcher Beobachter kann sich
selbst und jeden anderen Punkt auf der Oberfläche des Planeten unendlich oft sehen.
Für jede ganze Zahl þ gibt es nämlich einen Lichtstrahl, der sich þ mal um den Stern wickelt, und dann
*
„ sind diese Lichtstrahlen in Abbildung 17.5
wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt. Für þ
und þ
dargestellt. Auf diese Weise kann man zwar nicht um die Ecke, aber gewissermaßen um die Kurve schauen.
Das hat die sehr merkwürdige Konsequenz, dass es auf einem solchen Himmelskörper keinen Horizont
mehr gibt. Die Oberfläche wölbt sich unter dem Beobachter nicht nach unten, sondern scheinbar nach
oben.
Der optische Eindruck, den ein solcher Beobachter hat, ist in Abbildung 17.6 schematisch dargestellt.
Wir müssen uns die Bilder nur noch um die vertikale Achse rotiert denken, um einen dreidimensionalen
Eindruck zu bekommen. Auf einem Planeten mit Ç G £ ÇlÄ , das ist natürlich der Normalfall, gibt es einen
Horizont im üblichen Sinne. Die die Oberfläche des Planeten wölbt sich nach unten. Der Beobachter kann
nur bis zu einer gewissen Entfernung die Oberfläche ansehen, und diese Entfernung hängt von seiner
Augenhöhe ab.
ÇlÄ erreicht, erscheint die Oberfläche plötzlich flach.
Wenn der Radius den kritischen Radius Ç G
Wir sehen das auch in Abbildung 17.4(b). Dort ist die Oberfläche des Himmelskörpers eine Geodäte,
also eine gerade Linie im Raum. Folglich ist die Oberfläche des Planeten, wenn wir die dritte Dimension
wieder hinzunehmen, eine ebene Fläche. Alles das gilt natürlich nur in der optischen Geometrie. Aber
die bestimmt, wie sich Lichtstrahlen verhalten, und somit was ein Beobachter sieht. Die Oberfläche eines
326
(a)
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(c)
Abbildung 17.6: Eine schematische Darstellung dessen, was ein Beobachter auf der Oberfläche eines
Himmelskörpers sieht, wenn dessen Radius ˜ G größer (a), gleich (b) oder kleiner (c) als der kritische
Radius ˜ Ä ÕÖØ× Ó ist.
Planeten mit ÇG
ÇlÄ sieht aus wie eine Ebene.
Wenn der Planet noch keiner wird, dann wölbt sich seine Oberfläche für Ç|Gkö’ÇlÄ sogar nach oben. Auch
das ist in Abbildung 17.4(c) und (d), oder in Abbildung 17.5 gut zu erkennen. Ein Bewohner eines solchen
Planeten hätte den Eindruck, in einer Art Hohlwelt zu leben, aus der es nur einen kleinen, kreisförmigen
Ausgang ins Weltall gäbe. Wäre die Erde kleiner als ihr kritischer Radius, dann hätten wir von Europa aus
einen wunderbaren Blick auf Australien, und wir würden sogar unendliche viele Bilder davon sehen.
Trotzdem könnten wir noch in den Himmel schauen. Wir müssen nur genügend steil nach oben schauen,
dann schafft es der Lichtstrahl, den Hals zu durchqueren und nach außen zu dringen, bzw. umgekehrt
schafft es ein Lichtstrahl, von einem fernen Stern durch den Hals auf die Oberfläche unseres Planeten
vorzudringen. Auch jeden solchen Stern sehen wir unendlich oft, unabhängig davon, ob der Stern auf
unserer Seite oder auf der anderen Seite des Planeten steht. Denn auch ein Lichtstrahl, der von außen
kommt, kann sich beliebig oft um den Hals wickeln, bis er schließlich auf die Oberfläche des Planeten
fällt.
Aufgabe 17.18 Wie in Abbildung 17.6(c) dargestellt, konvergieren f ür einen Beobachter auf der Oberfläche eines Planeten mit ÇG ö ÇlÄ sowohl die Bilder eines bestimmten Punktes auf der Oberfläche des
Planeten, als auch die unendliche vielen Bilder eines weit entfernten Sterns in seinem Blickfeld gegen
einen Punkt auf dem Rand “zwischen Himmel und Erde”. Man mache sich klar, das dieser Rand kein Horizont im üblichen Sinne ist, also nicht wie in Abbildung 17.6(a). Was tun die beiden Lichtstrahlen, die in
Abbildung 17.6(c) als gestrichelte Linien dargestellt sind, in der Raumzeit bzw. auf dem in Abbildung 17.5
dargestellen Ausschnitt des Raumes?
Das klassische Teilchen
Nach diesem kleinen Ausflug in die Welt des Science-Fiction wollen wir nun noch einmal auf den Boden
der Tatsachen zurück kommen. Wir wollen zeigen, dass die optische Geometrie des Raumes nicht nur für
327
das Verhalten von Lichtstrahlen verantwortlich ist, sondern dass wir sie auch verwenden können, um die
Bahnen von frei fallenden, massiven Testkörpern zu beschreiben.
Natürlich sind die Bahnen von frei fallenden Körpern keine Geodäten bezüglich der optischen Geometrie. Das ergibt sich sofort aus der Tatsache, dass eine Wurfparabel selbst in dem schwachen Gravitationsfeld der Erde alles andere ist als die Bahn eines Lichtstrahls. Trotzdem können wir die Bewegung eines
massiven Teilchens mit Hilfe der optischen Geometrie sehr anschaulich beschreiben.
Wir beginnen zunächst wieder mit der ursprünglichen Geodätengleichung für ein massives Teilchen auf
einer beliebigen Raumzeit mit der Metrik ‚ , also mit der Geodätengleichung (17.8),
T¹
La`
T T <Ì !$# Ì T
L jËÄ L gL d \ ` \ d
\ \L T T xÍÌ
‚ Lg` \ L \ `
&[½&
(17.47)
Von dieser Gleichung wissen wir bereits, dass sie zu der Gleichung (17.14) äquivalent ist, wenn wir ‚
Ìt
Ì
ó & ‚ Œ und
ó & Œ setzen,
b
Lg`
T¹
T T Ì Ì T Ì
L j Ä Œ L ` d \ ` \ d Œ $! # Œ\ \ L Œ $& ½& ‚ Œ La` ó
`ó
Lg`
(17.48)
Der letzte Term war dafür verantwortlich, dass sich ein massives Teilchen, im Gegensatz zu einem Lichtstrahl, nicht auf einer Geodäte bezüglich der konform transformierten Metrik ‚ Œ
Lg` bewegt.
Trotzdem nimmt auch diese Gleichung eine einfache Form an, wenn wir die Metrik (17.22) bzw. die
konform transformierte Metrik (17.24) für eine statische Raumzeit einsetzen. Wir zerlegen die Weltlinie
T
^ 5
2 Z des
Testkörpers wieder in die Zeitkoordinate ) 2 Z 5 und die räumliche Bahnkurve 2 Z 5 . Außerdem ist
ó & 2WV 5
z¬2 465 , so dass in der Zeitkomponente der Bewegungsgleichung weder ein Christoffel-Symbol
noch der konforme Faktor auftritt,
¹ Ì !$# Ì ) Œ Œ\ ) \
(17.49)
In den räumlichen Komponenten der Bewegungsgleichungen müssen wir jedoch beides berücksichtigen,
b
Ì
T¹
T T Ì Œ $! # Ì Œ\ T Œ & &
N j Č N \ \
‚ Œ wN v v z
\N
„
Um das zu vereinfachen, machen wir von der Freiheit Gebrauch, das Einbein
dem führen wir eine Funktion 132 465 ein. Wir setzen
̌ 5 2Z
132 465
z¬2 465 Í
ó 2 465 & „
„
(17.50)
̌ 5
2Z
zu wählen, und außer-
(17.51)
Man beachte, dass die Wahl des Einbeins nicht der üblichen Wahl für die Eigenzeitdarstellung der Weltlinie
Ì
•ED
Ì
ED
entspricht, da wir nicht 2 Z 5
setzen, sondern Π2 Z 5
. Das hat zur Folge, dass die Koordinatenzeit ) 2 Z 5 jetzt laut (17.49) eine lineare Funktion von Z wird. Wir bekommen also im wesentlichen eine
Beschreibung der Weltlinie als Funktion der Koordinatenzeit.
Die Definition von 12 465 entspricht bis auf eine Konstante der üblichen Definition des Newtonschen Potentials in der Näherung (14.78). War benutzen das jetzt aber nur als Analogie. Wir nehmen also nicht an,
dass z¬2 465 r
ist, sondern definieren 132 465 einfach gemäß (17.51) für irgendein z¬2 495 . Die einzige BedinU
4
5
gung an z¬2
ist, dass es positiv sein muss, damit die Raumzeit-Metrik wohldefiniert ist. Das Potential 1
ist dann natürlich auch überall positiv.
Die räumlichen Komponenten der Bewegungsgleichung lauten b jetzt
T¹
T T ‡2 N j Ä Œ N \ \ 5
C‚ Œ Nwv v 1
(17.52)
Den Faktor auf beiden Seiten haben wir nur hingeschrieben, um die folgenden Analogie deutlich zu
I@
machen. Nehmen wir einmal an, die Metrik ‚ Œ sei flach, also ‚ Œ
. Mit anderen Worten, die optische
Nwv
Nv
328
Nwv
Geometrie des Raumes ist einfach die eines dreidimensionalen Euklidischen Raumes. Dann verschwinden
die Christoffel-Symbole Œ N , und was dort steht ist die klassische Bewegungsgleichung für ein Teilchen
Ä
in einem Gravitationspotential 1 . Wir müssen dazu nur den Kurvenparameter Z als klassische “Zeit” interpretieren.
Und wenn die optische Metrik ‚ Œ nicht flach ist? Dann sind das immer noch die klassischen BeweNv
gungsgleichungen für ein Teilchen in einem Gravitationspotential 1 , nur dass der Raum, in dem sich das
Teilchen jetzt bewegt, ein gekrümmter Raum ist. Und zwar ist es genau der gekrümmte Raum, auf dem
Lichtstrahlen sich auf Geodäten bewegen. Ein massives Testkörper sieht also die gleiche räumliche Geometrie wie ein Lichtstrahl, er spürt aber zusätzlich noch des Newtonsche Gravitationspotential, dass sich
aus der Zeitkomponente der Metrik ergibt.
Wir können die Bewegungsgleichungen (17.50) sogar aus einem Wirkungsprinzip ableiten, das mit
der klassischen Wirkung für ein Teilchen im Gravitationspotential identisch ist. Dazu definieren wir die
Lagrange-Funktion
T T T T
T T ‚ Œ N v 2 5 \ N \ v 132 5 2 \5
„
(17.53)
aus der sich die Bewegungsgleichungen (17.52) ergeben.
Wir können demnach die Bewegungsgleichung für einen frei fallenden, massiven Testkörper auf einer
statischen Raumzeit lösen, indem wir das Problem zuerst auf ein äquivalentes klassisches Problem abbilden, nämlich die Bewegung eines klassischen Teilchens auf einem Raum, dessen Metrik ‚ Œ ist, und auf das
Nwv
ein Gravitationspotential 1 einwirkt. Wenn wir dieses Problem gelöst haben, kennen wir die Bahnkurven
T 5
2 Z eines hypothetischen klassischen Teilchens.
Um daraus die Weltlinien unseres Testkörpers auf der Raumzeit zu rekonstruieren, benötigen wir noch
die Funktion ) 2 Z 5 . Dazu müssen wir die Nebenbedingung lösen, also sie zweite Gleichung in (17.8), die
wir bis jetzt ignoriert haben. Sie lautet, wenn wir die Raum- und Zeitkomponenten getrennt schreiben,
T T T T
kÌ
‚ Nwv 2 5 \ N \ v z¬2 5 ) \ &
&[½&
Wenn wir (17.51) und die bekannte Beziehung zwischen den Metriken ‚
noch ein wenig umformen, so ergibt sich daraus
„
)\ &
(17.54)
Nv
T T T
T ‚ Œ Nwv 2 5 \ N \ v j 132 5 ’
y ´µ
„
und ‚ Œ
Nwv
einsetzen, und das ganze
(17.55)
Das ist genau die klassische Energie für ein Teilchen mit der Lagrange-Funktion (17.53). Es ist daher eine
Erhaltungsgröße, und somit ist ) 2 Z 5 eine lineare Funktion von Z . Die Bewegungsgleichung (17.49) ist also
ebenfalls erfüllt. Wir können das wie folgt zusammenfassen.
Ein frei fallender Testkörper verhält sich in einer statischen Raumzeit genau so wie sich ein
klassisches Teilchen, welches die optische Geometrie der Raumes sieht die Zeitkomponente
der Metrik als Gravitationspotential spürt.
Ganz exakt stimmt die Analogie nicht, denn das, was für das hypothetische klassische Teilchen die “Zeit”
ist, ist für den eigentlichen Testkörper der Kurvenparameter Z , und die Funktion ) 2 Z 5 wird erst durch
(17.55) bestimmt, hängt also von der Energie yl´µ des klassischen Teilchens ab. Ansonsten handelt es sich
aber um eine bijektive Abbildung eines physikalischen Problems, nämlich die Lösung der Geodätengleichung für einen massiven Testkörper auf einer gegebenen statischen Raumzeit, auf ein anderes physikalisches Problem, nämlich der Lösung der Bewegungsgleichungen für ein klassisches Teilchen auf einem
gegebenen Raum und mit einem gegebenen Potential.
Aufgabe 17.19 Man zeige, dass aus (17.55) stets folgt, dass sich der Testk örper auf einer zeitartigen
Weltlinie bewegt, also langsamer als das Licht ist, auch wenn sich das klassische Teilchen als Funktion
329
Ž›ÇƒÏ Œ ͒Î
Œ ÍBÎ
Ž›Ç



Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
Abbildung 17.7: Planetenbahnen (a) und Kometenbahnen (b) im Gravitationsfeld eines Sterns. Das qualitative Verhalten der Bahnen ergibt sich aus der anschaulichen Vorstellung, dass eine kleine Kugel über
die Fläche rollt, während diese waagerecht in einem homogenen Gravitationsfeld aufgestellt ist.
der “Zeit” Z mit einer Geschwindigkeit bewegt, die größer als Eins ist. Für das hypothetische klassische
Teilchen gilt also wirklich die klassische Physik, nicht etwa die spezielle Relativit ätstheorie. Wie hängt die
klassische Energie yB´>µ mit der tatsächlichen Energie des Testkörpers in der Raumzeit, also der Komponente ¼ des Impulses zusammen?
M
Was bedeutet das nun anschaulich? Und hilft es uns, die Bewegung eines frei fallenden Körpers in einer
statischen Raumzeit besser zu verstehen? Betrachten wir wieder den speziellen Fall eines kugelsymmetrischen Himmelskörpers. Die optische Geometrie des Raumes, oder genauer die der Äquatorebene, ist dann
die in den Abbildungen 17.2 bzw. 17.4 dargestellte.
Wir können uns leicht vorstellen, wie sich ein klassisches Teilchen auf einer solchen Fläche bewegt.
Es handelt sich jetzt aber nicht um ein freies Teilchen, das einfach einer Geodäte folgt, sondern um ein
Teilchen, auf das eine Kraft im klassischen Sinne wirkt. Tatsächlich ist im Fall der Schwarzschild-Metrik
das Gravitationspotential 1 bis auf eine Konstante durch den Newtonschen Ausdruck gegeben,
12 5
ù
„
für
£ ÇÍG (17.56)
Innerhalb des Sterns gilt wieder eine etwas komplizierte Formel, die von der Dichte des Sterns abhängt.
Den qualitativen Verlauf des Potentials können wir aus Abbildung 15.1 entnehmen, wo unter anderem die
Funktion zÁ2 H5
„H12 5 dargestelltå ist. Entscheidend ist hier nur, dass das Potential monoton zu kleineren
hin abfällt, und dass es für ™
gegen eine Konstante geht.
Das tut auch die Einbettungsfunktion . 2 5 , also die vertikale Koordinate in den hier gezeigten Abbildungen. Wir können uns also vorstellen, dass die gezeigten Flächen ganz real in einem homogenen
Gravitationsfeld eingebettet sind, und dass das hypothetische klassische Teilchen in Gestalt einer kleinen
Kugel auf diesen Flächen umher rollt. Die Lagrange-Funktion für ein solches klassisches Teilchen ist dann
genau von der Form (17.53).
Wenn wir für einem Moment ignorieren, dass die Einbettung in den Euklidischen Raum das Gravitationspotential 1 nur qualitativ, aber nicht exakt simuliert, dann können wir sagen, dass sich ein Testkörper
in der Schwarzschild-Raumzeit genau so verhält wie eine Kugel auf einer entsprechend gewölbten Fläche.
Wir könnten also eine Fläche ganz praktisch aus Kunststoff gießen und dann die Bahnen von Planeten und
Kometen im Labor simulieren.
Daraus ergibt sich mit ein wenig Intuition sofort das in Abbildung 17.7 gezeigte typische Verhalten von
Planeten- und Kometenbahnen. Ein Planet umkreist das Zentrum auf einer Ellipse, die aber in allgemeinen
nicht geschlossen ist. Denn wir haben ja gesehen, dass es zu einer Perihelverschiebung kommt, die umso
330
größer ist, je kleiner der Radius der Planetenbahn ist. Das hat auch zur Folge, dass, anders als in der
Newtonschen Theorie, ein aus dem unendlichen kommender Komet auf einer Hyperbelbahn einen sehr
kompakten Stern mehrmals umkreisen kann, bevor er sich wieder entfernt.
Abgesehen davon ist das Verhalten von Planeten und Kometen aber genau so, wie wir es aus der klassischen Mechanik kennen. Das ergab sich auch aus den Berechnungen im letzten Kapitel. Jedenfalls gilt
das dann, wenn die Bahnen nicht zu nahe an einen sehr kompakten Stern heran kommen. Anders sieht es
aus, wenn wir die Räume in Abbildung 17.4 betrachten. Auch hier wird das qualitative Verhalten eines
Testkörpers noch immer durch das klassische Bild einer kleinen Kugel beschrieben, die an der Fläche
haftet und an ihr entlang rollt. Wir haben schließlich an keiner Stelle eine Näherung für schwache Gravitationsfelder oder etwas ähnliches durchgeführt.
Stellen wir uns also vor, eine Kugel kommt von oben und rollt durch den Hals in Abbildung 17.4(d).
Diese Kugel wird immer auf den Stern fallen, auch wenn sie einen noch so großen Drehimpuls hat. Das
liegt daran, dass auf die Kugel zwei klassische Kräfte einwirken. Einerseits die Gravitationskraft, gegeben durch den Gradient des Potentials 1 , und andererseits, wenn wir in ein mit der Kugel mitrotierendes
Bezugsystem übergehen, die Zentrifugalkraft. Nun wirken aber für öIÇnÄ , das sehen wir unmittelbar in
Abbildung 17.4(d), beide Kräfte in die gleiche Richtung, nämlich zum Stern hin.
Mit anderen Worten, Die Zentrifugalkraft treibt unser hypothetisches klassisches Teilchen gar nicht
vom Stern weg, sondern zum Stern hin. Das klingt zwar ein wenig merkwürdig, aber wenn wir die ganze
Relativitätstheorie einmal kurz vergessen, und statt dessen nur die Bewegung eines klassischen Teilchens
betrachten, das durch Zwangskräfte auf der Fläche in Abbildung 17.4(d) gehalten wird, dann widerspricht
die Aussage keineswegs unserer physikalischen Intuition.
Es ist dann völlig klar, dass ein Teilchen, das den Hals bei ÇnÄ passiert, den Bereich dahinter erst
wieder verlassen kann, wenn es einmal durch den Stern, also durch den dunkel markieren Bereich des
ÇrÄ erklärt also nicht nur,
Raumes, hindurch getaucht ist. Der Hals in der optischen Geometrie bei warum dort ein Lichtstrahl umlaufen kann. Er liefert auch eine anschauliche Erklärung dafür, warum ein
es keine Kometenbahnen gibt, die näher als ÇjÄ an den Stern heran kommen, ohne auf ihm zu enden.
Und schließlich bekommen wir auch noch eine anschauliche Erklärung dafür, warum die Kreisbahnen
, „ ÇlÄ instabil werden, auch wenn wir diesen Zahlenwert hier nicht auf Anhieb reprodufür ö
zieren können. Wie wir sehen, ist der Raum oberhalb des Halses in Abbildung 17.4 sehr “steil”, das heißt,
der Oberflächenradius einer Kugelschale nimmt mit nur langsam zu, während das Gravitationspotential
schnell weiter ansteigt. Wenn wir versuchen würden, eine Kugel in diesem Bereich zur Rotation auf einer
Kreisbahn zu bringen, so ist das ungleich schwieriger als zum Beispiel weit draußen in Abbildung 17.7.
Die Kugel müsste sehr schnell rotieren, damit die Zentrifugalkraft sie davor bewahrt, durch den Hals zu
fallen. Und bei ÇyÄ müsste sie sogar unendlich schnell rotieren, was natürlich auch in der klassischen
Mechanik nicht möglich ist. Wir können zwar nicht unmittelbar sehen, dass die letzte stabile Kreisbahn
*
bei , liegt, aber zumindest können wir das Phänomen als solches qualitativ erklären. Und es ist
ebenfalls offensichtlich, dass es für ö ÇjÄ gar keine Umlaufbahnen mehr geben kann. Dort fällt jeder
Körper auf den Stern, es sei denn er hat genug Impuls nach oben, um durch den Hals zu entkommen. Auf
keinen Fall kann er aber unterhalb des Halses um den Stern kreisen.
18 Schwarze Löcher
Bis jetzt haben wir stets nur den Bereich £ Çrz
„ð der Schwarzschild-Metrik betrachtet, bzw. wir
haben angenommen, dass der Stern, der dieses Gravitationsfeld erzeugt, einen Radius DžG £ Çjz hat, so
dass für öÇÍG eine andere Metrik gilt. War haben aber gesehen, dass ein Stern nur so lange stabil sein
¥ Do; 5
ist. Was passiert, wenn dieser Radius, aus welchen Gründen
kann, wie sein Radius größer als 2
auch immer, unterschritten wird?
331
Außerhalb des Sterns ist die Geometrie der Raumzeit dann weiterhin durch die Schwarzschild-Metrik
gegeben. Dies ist die einzige kugelsymmetrische, statische Lösung der Einstein-Gleichung im materiefreien Raum. Tatsächlich kann man zeigen, dass es sogar dann die einzige Lösung ist, wenn man allein
die Kugelsymmetrie fordert. Der Grund dafür ist ähnlich wie in der Elektrodynamik. Auch dort genügt
bereits die Forderung nach Kugelsymmetrie, um das statische Coulomb-Potential herzuleiten. Es gilt für
jede kugelsymmetrische Ladungsverteilung, unabhängig davon, ob diese statisch ist oder nicht.
So hat zum Beispiel ein kugelsymmetrisch pulsierender Stern das gleiche Gravitationsfeld wie ein statischer Stern. Der Grund dafür ist, wie wir im nächsten Kapitel sehen werden, dass es keine kugelsymmetrischen Gravitationswellen gibt, genau wie es keine kugelsymmetrischen elektromagnetischen Wellen gibt.
Deshalb ist es nicht möglich, dass ein Stern Informationen über seine Veränderung nach außen weiter gibt,
solange diese kugelsymmetrisch erfolgt. Egal, was der Stern tut, solange er kugelsymmetrisch bleibt, gilt
außerhalb des Sterns die Schwarzschild-Geometrie.
Aber wie ist das möglich, wenn diese nur für £ Çz wohldefiniert ist? Das wollen wir in diesem Kapitel
untersuchen. Wir werden feststellen, dass sehr merkwürdige Dinge geschehen, wenn der Stern kleiner als
sein Schwarzschild-Radius wird. Die Raumzeit, die dabei entsteht, beschreibt ein sogenanntes schwarzes
Loch. Damit wird ein Objekt, oder genauer eine Teilmenge der Raumzeit bezeichnet, aus der keine Information nach außen dringen kann. Anschaulich beruht der Effekt darauf, dass das Gravitationsfeld dort so
stark wird, dass noch nicht einmal Licht entkommen kann.
Das ist zunächst einmal verblüffend, denn schließlich gibt es so etwas wie die Konstanz der Lichtge
. Wie kann es
schwindigkeit. Lokal messen wir an jeder Stelle der Raumzeit und in jede Richtung Ž
dann sein, dass Licht aus einem bestimmten Bereich der Raumzeit nicht heraus gelangen kann, wo es sich
doch mit einer konstanten Geschwindigkeit in jede Richtung des Raumes bewegen kann? Die Erklärung
ist, in groben Zügen, dass das Licht in einem schwarzen Loch gefangen ist, weil dort die Begriffe Raum
und Zeit nicht mehr ihre übliche Bedeutung haben. Licht kann sich zwar noch immer in alle Richtungen
des Raumes bewegen, aber keine dieser Richtungen zeigt “nach draußen”.
Schließlich werden wir sehen, dass ein Stern, wenn er einmal den Schwarzschild-Radius unterschritten
hat, zu einem punktförmigen Objekt mit ebenfalls sehr merkwürdigen Eigenschaften kollabiert. Ein Astronaut, der sich unvorsichtigerweise in die Nähe dieses Objektes begibt, kann nicht verhindern, in dieses
Objekt hinein zu stürzen und ebenfalls als punktförmiges Objekt zu enden. In der Nähe dieser Singularität wirken Gravitationskräfte, die stärker sind als jede mögliche Bindungskraft in einem ausgedehnten
Körper. Jeder solche Körper wird dort in seine Bestandteile zerlegt.
Geometrische Einheiten
Wir schreiben noch einmal die Schwarzschild-Metrik auf, die wir in Kapitel 15 als eindeutige Lösung
der Einstein-Gleichung im Vakuum für eine statische, kugelsymmetrisch Raumzeit gefunden haben. Sie
hing nur von einem einzigen Parameter ab, den wir als die (schwere) Masse eines kugelsymmetrischen
Himmelskörpers interpretiert haben. Die Koordinaten waren 2 ) [ \ 5 , und das Linienelement lautete
'Sî &
*
D
ñ „ð E
D
'S) & j
ñ „ð E
!$#
' & j &2 ' [6& j Þ_ßÕà &/[ ' \ & 5
(18.1)
Offenbar haben wir hier die ’s weg gelassen. Das können wir tun, wenn wir, genau wie wir früher in
der speziellen Relativitätstheorie Ž
gesetzt haben, jetzt auch setzen. Da eine universelle
Naturkonstante ist, können wir dies erreichen, indem wir unsere Einheiten passend wählen.
Wie wir aus (15.26) entnehmen, definiert die Newtonsche Konstante eine Beziehung zwischen
Längen oder Zeiten auf der einen Seite, und Massen auf der anderen Seite. Wir können dazu übergehen, von nun an Massen nicht mehr in Kilogramm zu messen, sondern in Metern oder Sekunden, was ja
332
ohnehin schon dasselbe ist. Wir definieren also
kg
YSï;
„c{
"! —
&
m
„
ï;² "! í
B
sec
Ž *H
(18.2)
In der speziellen Relativitätstheorie hatte das zur Folge, dass wir zum Beispiel sagen konnten, die EntferH
H
nung von der Erde zum Mond betrage
sec. Die Aussage war dann die, dass das Licht
sec benötigt,
um von der Erde zum Mond zu gelangen. Entsprechend können wir jetzt sagen, die Masse der Sonne sei
„ð der
{ km oder {oQ sec. Die erste Angabe ist in diesem Fall der halbe Schwarzschild-Radius Çpz
Sonne, die zweite Angabe ist die Zeit, die das Licht für diese Strecke benötigen würde, wenn der Raum
flach wäre.
Letztlich lassen sich auf diese Weise alle in der Relativitätstheorie relevanten physikalischen Größen
in geometrischen Einheiten, also in Längeneinheiten ausdrücken. Die geometrischen Einheiten haben den
Vorteil, dass wir von nun an nie mehr explizit in die Gleichungen aufnehmen müssen. Wir benötigen nur
die Beziehungen (18.2), um eine gemessene oder zu messende physikalische Größe in der entsprechende
Einheit auszudrücken.
Aufgabe 18.1 Man überlege sich, in welcher geometrischen Einheit die Größen Energie, Leistung, Impuls,
Kraft, Energiedichte, Druck, Drehimpuls, Drehmoment, sowie elektrische bzw. magnetische Feldst ärke und
elektrische Ladung im hier verwendeten Gaußschen Maßsystem gemessen werden. Man zeige schließlich,
úû
A ! ~ G
„ „
m& ist.
dass in geometrischen Einheiten
Eine unvollständige Karte
Doch nun zum eigentlichen Thema dieses Kapitels. Wir wollen uns fragen, was mit der Schwarzschild
Çjz „ð geschieht. Wie wir schon früher festgestellt haben, ist das Linienelement (18.1)
Metrik bei dort nicht mehr wohldefiniert, denn die Zeitkomponente geht gegen Null, während die radiale Komponente
„ð hinaus fortsetzen.
divergiert. Wir können die Schwarzschild-Metrik nicht über die Stelle Heißt das vielleicht, dass die Raumzeit bei „ð endet, dass sie dort eine Art Rand hat?
Kann
ein Stern, aus welchen Gründen auch immer, doch nicht kleiner als sein Schwarzschild-Radius Ç:z
„ð werden? Oder können wir die Raumzeit dahinter vielleicht doch fortsetzen, müssen aber eine andere Karte,
also andere Koordinaten verwenden?
Wie betrachten zunächst eine einfache Analogie, um das Problem deutlich zu machen. Nehmen wir an,
wir hätten eine zweidimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit wie folgt definiert. Sie wird durch eine
einzige Karte abgedeckt, mit den Koordinaten 2 ) 465 , wobei 4 £
ist. Die Metrik lautet
'Sî &
*
') & j 4 & ' 4 & &
4 £ für 4 ™
(18.3)
wobei eine Konstante ist. Wie verhält sich diese Metrik
? Sie ist dort, ähnlich wie die
™
Schwarzschild-Metrik bei
„ð , nicht mehr wohldefiniert, denn offenbar divergiert die Komponente
æ‚ œæ & D 4 & .
Heißt das, dass die Raumzeit dort zu Ende ist? Oder deckt die gegebene Karte vielleicht nur einen Teil
der Raumzeit ab? Oder gibt es diesen Rand in Wirklichkeit gar nicht, weil man gar nicht dort hin gelangen
kann? Der Begriff “Rand” ist ohnehin etwas irreführend, denn eine Karte ist natürlich stets eine offene
À
Teilmenge des und hat somit keinen Rand.
Eine einfache Koordinatentransformation gibt in diesem Fall die Antwort. Wir setzen
)Œ
)
4 Œ ! à
u
4
B
v
À
'"î &
' )Π& j ' 4 Π&
(18.4)
Die Koordinaten 2 ) Œ 46Œ 5 laufen jetzt über den ganzen & . Die durch (18.3) definierte Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist also nur eine etwas ungewöhnliche Darstellung des zweidimensionalen Minkowski-Raumes.
333
Diese Raumzeit hat bei 4
natürlich keinen wie auch immer definierbaren Rand. Dass uns das so
erschien, lag nur an der speziellen, etwas ungewöhnlichen Wahl der Koordinaten.
Wir brauchen aber nur eine kleine Änderung vornehmen, dann sieht das Ergebnis gleich ganz anders
aus. Betrachten wir statt (18.3) die Metrik
'SîU&
x
'S)‹& j 4 ' 4 & 4 £ (18.5)
Auch dadurch wird eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit definiert. Und auch diesmal können wir die Metrik
durch eine einfache Koordinatentransformation auf die Minkowski-Form bringen. Dazu setzen wir
x Œ
S' î &
' ) & j ' 4Π&
(18.6)
Allerdings ist der Wertebereich der neuen Koordinaten 2 ) Œ 49Œ 5 jetzt ein anderer. Mit 4 £
ist nämlich auch
4 Œ £ . Durch (18.5) wird daher nur eine Hälfte des Minkowski-Raumes erfasst, während durch (18.3) der
ganze Minkowski-Raum erfasst wird, obwohl in beiden Fällen der Wertebereich der Koordinaten 2 4 ) 5
derselbe ist und beide Metriken flach sind.
4 ®
)Œ
4Œ „ ƒ
)
4
B
Die durch (18.3) definierte Raumzeit kann nicht über die Stelle
hinaus fortgesetzt werden, weil
diese Stelle bereits unendlich weit weg ist. Die durch (18.5) definierte Raumzeit kann aber sehr wohl über
C
die Stelle 4
hinaus fortgesetzt werden. Es handelt sich bei 4
nur um den Rand einer Karte mit
6
4
5
willkürlich gewählten Koordinaten. Die Koordinaten 2 ) können über die Stelle 4
hinaus nicht
fortgesetzt werden. Aber daraus folgt nicht, dass die Mannigfaltigkeit nicht die Teilmenge einer größeren
Mannigfaltigkeit ist.
Es ist also nicht ohne weiteres möglich, allein aus dem Verhalten der Koordinaten in einer Karte auf die
globale Struktur der Raumzeit zu schließen. Insbesondere lässt sich nicht unmittelbar die Frage beantworten, ob sich die Raumzeit über die gegebene Karte hinaus fortsetzen lässt oder nicht. Es ist deshalb auch
im Falle der Schwarzschild-Metrik alles andere als offensichtlich, was für ™ „– wirklich passiert.
Allein aus der Tatsache, dass die Koeffizienten der Metrik nicht mehr wohldefiniert sind, dürfen wir keine
voreiligen Schlüsse ziehen.
Wir müssen deshalb die Struktur der Raumzeit in der Umgebung von „– etwas genauer analysieren. Dazu haben wir in Abbildung 18.1(a) ein Raum-Zeit-Diagramm der Schwarzschild-Karte § ± z µ
dargestellt. Es sind nur die Koordinaten 2 ) H5 , mit £ „ð wiedergegeben. Jeder Punkt in dem Diagramm
repräsentiert eine Sphäre mit dem Oberflächenradius .
Als erstes interessiert uns die kausale Struktur dieser Raumzeit. Wie sehen die lokalen Lichtkegel in
der 2 ) H5 -Ebene aus? Kein Lichtstrahl, und folglich auch kein massives Teilchen, kann sich schneller
nach innen oder außen bewegen als ein radial laufender Lichtstrahl. Daher genügt es, die radial ein- und
und
auslaufenden Lichtstrahlen zu betrachten. Für das Linienelement auf einer solchen Kurve gilt ' [
f
' \
, und folglich, da es sich um eine lichtartige Kurve handelt,
'Sî &
x
D
„ð E
D
!$#
') & j
ñ „ð E
f
' &
‘
' <
')
B
D
„ð E
(18.7)
Die Lichtkegel verhalten sich weit draußen, für große , genau wie im Minkowski-Raum. Dort ist die
D
‘ Raumzeit näherungsweise flach, und deshalb gilt für radiale Lichtstahlen ' ') r
. Für ™ „ð D
') beliebig klein. Die Lichtkegel werden sehr
sehen die Lichtkegel jedoch ganz anders aus. Dort wird '
spitz, und das Licht wird quasi immer langsamer.
Wir können für radial ein- und auslaufende Lichtstrahlen auch eine explizite Koordinatendarstellung
angeben. Dazu müssen wir nur die Differentialgleichung (18.7) lösen. Für einen auslaufenden Lichtstrahl
bekommen wir
!$#
D
'S) ' m „ð E
B
)
334
O Œ j j „ð !à
u
„ ð
Ë
v
(18.8)
)Œ
)
er
L
ich
t st
ra
hl
ra
hl
§ ±z µ
au
s
lau
fe
nd
§ ±z µ
Milchstraße
andere Galaxie
#"%$'&
”
st
ht
ic
hl
ra
hl
ra
OŒ
)(*"ø”
Ó
st
ht
ic
Ó
ð
L
er
nd
fe
au
nl
ei
L
er
nd
fe
au
nl
ei
ð
au
s la
uf
en
de
rL
ic
ht
st
qŒ
(a)
Œ
(b)
Abbildung 18.1: Die Schwarzschild-Raumzeit õ ± z µ in der üblichen Darstellung (a), sowie nach einer
einfachen Koordinatentransformation (b), die bewirkt, dass alle radialen Lichtstrahlen auf Winkelhalbieð
Ó
im Raum scheint in dieser Darstellung unendlich weit entfernt und
renden laufen. Die Stelle ” Õ
ð
damit unerreichbar zu sein. Trotzdem erreicht ein frei fallender Testkörper die Stelle ” Õ
nach einer
Ó
endlichen Eigenzeit.
Hier ist O Œ eine Integrationskonstante, die quasi die auslaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert. Entsprechend gilt für einen radial einlaufenden Lichtstrahl
') ' D
ñ „ð !$#
E
B
) q Œ „ð !à
u
„ ð
Ë
v
(18.9)
wobei die Integrationskonstante q Πangibt, um welchen einlaufenden Lichtstrahl es sich handelt.
Aufgabe 18.2 Warum sind die lichtartigen Kurven (18.8) und (18.9) Geod äten?
Die physikalische Bedeutung der Parameter q Œ und O Œ ist in Abbildung 18.1(a) dargestellt. Für große
können wir den Logarithmus gegenüber dem linearen Term vernachlässigen. Es gilt dann
) r OΠj bzw.
) r qŒ für
F
(18.10)
Für große verhalten sich radial ein- und auslaufenden Lichtstrahlten wie im Minkowski-Raum. Also ist
¢
) O Œ die Zeit, bei der ein auslaufender Lichtstrahl im flachen Raum bei losgelaufen wäre, und
) q Œ ist die Zeit, bei der ein einlaufender Lichtstrahl im flachen Raum bei ankommen würde.
Aufgabe 18.3 Genau genommen stimmt das nicht ganz, denn der Logarithmus geht nat ürlich für große
nicht gegen Null. Man beweise aber folgende Aussage, die wir später benötigen werden. Gegeben seien
õ #
zwei radial auslaufende Lichtstrahlen mit den Parametern O Π# und O Π. Dann ist )
O
Œ
&
& O Πdie Zeitdifferenz zwischen der Ankunft des einen und der Ankunft des anderen Lichtstrahls, gemessen von einem
å
Beobachter weit draußen im Bereich |™
.
335
Für ü™ „ð zeigen die Lichtstrahlen folgendes Verhalten. Ein radial einlaufender Lichtstrahl erreicht
å
„– , sondern nähert sich dieser Stelle nur asymptotisch für ) ™
niemals die Stelle . Das gleiche
gilt für einen auslaufenden Lichtstahl, wenn wir ihn in die Vergangenheit verfolgen. Er nähert sich für
Íå
) ™
asymptotisch der Stelle „– .
Dasselbe gilt für jedes massive Teilchen, wenn es sich der Stelle „ð nähert. Es kann sich dieser
å
Íå
™
™
Stelle nur asymptotisch für )
oder )
nähern, da es nicht schneller sein kann als das Licht.
Das legt zunächst den Schluss nahe, dass es sich hier wie in unserem ersten Beispiel (18.3) verhält. Es
ist unmöglich, die Stelle „ð zu erreichen, da sie unendlich weit entfernt ist. Die Raumzeit hat bei
„– keinen Rand, sondern bildet dort einen unendlich langen Schlauch, dessen Querschnitt eine
Kugelschale vom Radius r „ð ist. In diesem Tunnel wäre ein Teilchen unendlich lange unterwegs, bis
„ð ankommt.
es bei Aber dieser Schluss ist falsch, denn er beruht auf dem Verhalten von willkürlich gewählten Koordinaten.
„ð nicht unendlich weit entfernt ist. Wir können zum
Man kann nämlich zeigen, dass die Stelle Beispiel die Länge einer raumartigen Kurve berechnen, die einen beliebigen Punkt 2 ) G G [6G C\ G 5 mit dem
Punkt 2 ) G „ð [6G C\ G 5 verbindet. Für das Linienelement auf dieser Kurve, die wegen der Symmetrie eine
raumartige Geodäte ist, gilt
'Sî«&
D
!$#
ñ „ð E
' &
,
X
B
a
ƒ ƒ „ð ­
&+
' (18.11)
Dieses Integral ist endlich, obwohl der Integrand bei „ð divergiert. Der Rand der Karte § ± z µ in
Abbildung 18.1(a) ist also nur endlich weit von irgendeinem einem Punkt innerhalb der Karte entfernt.
Eine andere Möglichkeit, zu demselben Ergebnis zu kommen, ist, die Weltlinie eines frei fallenden
Teilchens als Funktion der Eigenzeit dieses Teilchens darzustellen. Das hatten wir in Kapitel 16 getan,
als wir die zeitartigen Geodäten in der Schwarzschild-Metrik bestimmt haben. Wir hatten gesehen, dass
sich ein frei fallender Testkörper wie ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential verhält. Für
einen radial nach innen fallenden Testkörper ist der Drehimpuls Null, das heißt es gilt das Potential in
„ð nach
Abbildung 16.4(a). Daraus lesen wir unmittelbar ab, dass ein solcher Körper die Stelle einer endlichen Eigenzeit erreicht.
Es ergibt sich also folgende paradoxe Situation. Einerseits kann ein Teilchen niemals den Rand der
Schwarzschild-Karte § ± z µ in Abbildung 18.1(a) erreichen, denn dazu müsste es das Licht überholen.
„ð ,
Andererseits erreicht das Teilchen aber sehr wohl nach einer endlichen Eigenzeit eine Stelle mit also eine Kugelschale, deren Oberflächenradius „– ist. Aber wo liegt dieses Ereignis in der Raumzeit?
Es liegt nicht in der Schwarzschild-Karte. Wir vermuten also, dass es irgendwo noch eine Fortsetzung der
Raumzeit geben muss, ähnlich wie in unserem zweiten Beispiel (18.5).
Aufgabe 18.4 Um noch einmal deutlich zu machen, dass das Verhalten von Koordinaten keine Auskunft
über die globale Struktur einer Raumzeit gibt, wollen wir zeigen, dass man der “Rand” der Schwarzschild
„ð auch wie folgt “wegtransformieren” kann. Wir definieren neue Koordinaten 2 ) Œ Œ [ \ 5
Karte bei mit
’ Œ „ð ! à u
)Π) (18.12)
v
j
Dann ist der Wertebereich der neuen Koordinaten 2 ) Πo Π5
Koordinaten wie folgt lautet,
'SîU&
wobei als Funktion von
fende Lichtstrahlen
Œ
D
ñ „– E
„ð À
der ganze
&
. Man zeige, dass die Metrik in diesen
2 ' o) Œ & j ' Œ & 5 j & 2 ' [ & j Þ_ßÕà & [ ' \ & 5 (18.13)
durch (18.12) gegeben ist. Dann zeige man, dass f ür radial aus- bzw. einlau-
)Œ
OΠj Πbzw.
336
)Œ
q Œ Œ
(18.14)
gilt. Sie laufen also auf den Winkelhalbierenden in der 2 ) Œ Œ 5 -Ebene. Ein entsprechendes Raum-ZeitDiagramm ist in Abbildung 18.1(b) dargestellt. Die Karte § ± z µ hat jetzt keinen Rand mehr. Warum werden
dadurch die gerade beschriebenen Problem trotzdem nicht gel öst?
Eddington-Finkelstein-Koordinaten
Wir wollen nun versuchen, eine Fortsetzung der Raumzeit über die Schwarzschild-Karte § ± z µ hinaus zu
finden. Erinnern wir uns dazu an das zweite Beispiel (18.5). Dort hatten wir zunächst eine Koordinatentransformation (18.6) so durchgeführt, dass die Metrik an der entscheidenden Stelle, in diesem Fall bei
4 x , nach der Transformation wohldefiniert war. Dann konnten wir die Karte fortsetzen. Die ursprünglich definierte Mannigfaltigkeit war nur eine Teilmenge einer größeren Mannigfaltigkeit.
Genau das werden wir hier auch tun. Aber dazu müssen wir erst einmal eine geeignete Koordinatentransformation finden. Was wir suchen, ist eine Karte, in der wir die Weltlinie eines radial einlaufenden
Lichtstrahls, oder die eines frei fallenden Teilchens, über die Stelle „ð hinaus fortsetzen können.
ð
„
Nun liegt aber das Ereignis, an dem das Teilchen die Stelle passiert, in der Schwarzschild-Karte
å
bei ) ™
. Als müssen wir dieses Ereignis erst einmal, bildlich gesprochen, ins endliche holen.
Dafür gibt es einen einfachen Trick. Wir transformieren die Zeitkoordinate ) so, dass jeder einlaufende
Lichtstrahl auf einer Winkelhalbierenden läuft. Wir behalten aber die radiale Koordinate . Da wir das
Verhalten (18.9) von einlaufenden Lichtstrahlen bereits kennen, können wir die gesuchte Koordinatentransformation explizit angeben. Wir setzen
Ë
â )
) j ð
„ !à
(18.15)
v „ ð
2 ) â â«5 für £ „– bzw. â £ „ð wohldefiniert
Offensichtlich ist diese Transformation 2 ) 5 ™˜
und invertierbar. Die Koordinaten 2 ) â â [ C\ 5 werden Eddington-Finkelstein-Koordinaten genannt, oder
â
u
genauer einlaufende Eddington-Finkelstein-Koordinaten. In diesen Koordinaten gilt für einen radial einlaufenden Lichtstrahl statt (18.9) die einfache Beziehung
)â
q ⠌
(18.16)
Ein einlaufender Lichtstrahl bewegt sich also auf einer Winkelhalbierenden in der 2 ) â â«5 -Ebene. Für
einen auslaufenden Lichtstrahl (18.8) gilt dagegen auch weiterhin ein etwas komplizierterer Zusammenhang zwischen ) â und â , nämlich
)â
;
O Œ j â j Íå
!à
u
â
„ð ’
v
(18.17)
Hier gilt noch immer ) ⠙
für â÷™ „ð . Wenn wir den Lichtstrahl in die Vergangenheit verfolgen,
dann nähert er sich asymptotisch der Stelle fâ
„ð an. In (18.16) ist das aber nicht der Fall. Ein
einlaufender Lichtstrahl erreicht die Stelle fâ
„ð nach einer endlichen Koordinatenzeit ) â .
Um zu sehen, dass wir nun die Raumzeit mit Hilfe der neuen Koordinaten in den Bereich câ ö•„ð fortsetzen können, berechnen wir die Komponenten der Metrik. Aus (18.15) folgt
') â
u
') j
„ ð
’ !$# ' v
' Lâ
'
(18.18)
Setzen wir das in (18.1) ein, so ergibt sich nach einer kurzen Rechnung der folgende Ausdruck für das
Linienelement,
'"î &
*
D
ñ „ð â
') & j
E
â
;
â
S' ) ' â j
â
D
„ð j â
337
E
' L â & j â & 2 ' [8& j Þßáà &/[ ' \ & 5
(18.19)
å
Die Koordinate dâ definiert noch immer den Oberflächenradius einer Kugelschale, und für hâ÷™
ergibt
sich noch immer näherungsweise die flache Minkowski-Metrik. Für kleine hâ sieht die Metrik jetzt aber
ganz anders aus als die Schwarzschild-Metrik. Die Zeit- und Raumkoordinaten sind nicht mehr zueinander
senkrecht. Aber dafür sind jetzt alle Komponenten der Metrik bei â
„ð wohldefiniert, insbesondere
die Zeit- und Radialkomponenten
‚ ± â µ ºM M
*…
„ð j ⠂ ± â µ MºM
‚ ±â µMa
â x…m „ð ⠂ ± â µM a
‚ ±â µa M
•„ð ⠂ ± â µ aa
„ð j Lâ
(18.20)
Es ist zwar noch immer
für
„ð , aber trotzdem ist die Metrik dort invertierbar, und
zwar wegen der nicht verschwindenden Nebendiagonalelemente. Die entsprechenden Komponenten der
inversen Metrik sind, wie man leicht nachrechnet,
‚ ± â µ MºM
‚ ± â µa M
„ð ⠂ ± â µ aa
ñ „ð â
(18.21)
Wir haben also eine Metrik mit den folgenden Eigenschaften gefunden. Sie ist ist für hâ £
wohldeâ
finiert, also in einer Karte § ±-,/. µ10C§ ± z µ , die die Schwarzschild-Karte erweitert. Und es handelt sich
noch immer um eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum. Denn daran ändert sich durch eine Koordinatentransformation natürlich nichts. Wenn wir den Einstein-Tensor für die Metrik (18.19) ausrechnen,
verschwindet dieser für alle fâ £ .
Mit anderen Worten, die Metrik (18.19) beschreibt noch immer das Gravitationsfeld eines kugelsym
<
metrischen Objektes der Masse . Aber dieses Objekt ist jetzt auf den Oberflächenradius Ç|G
zusam
mengeschrumpft. Die Raumzeit ist für fâ £
frei von Materie. Wir haben also das vorliegen, was wir
in der Elektrodynamik eine Punktladung nennen würden. Die Quelle des Gravitationsfeldes ist zu einem
<
einzigen Punkt im Raum bei dâ
zusammengeschrumpft.
Doch wir sollten an dieser Stelle etwas vorsichtig sein. Was heißt im Raum? Wir können es der Metrik
(18.19) nicht mehr unmittelbar ansehen, was hier Raum- und Zeitkoordinaten sind. Insbesondere hat sie
nicht mehr die typische Form (15.1) einer statischen Metrik, dass heißt es liegt nicht mehr eine eindeutige
Zerlegung der Raumzeit in einen Raum und eine Zeit vor. Und für hâë™
divergieren die Komponenten
der Metrik noch immer.
sagen können, ist, dass dort die Kugelschale zu einem
Das einzige, was wir über die Stelle fâ
Punkt zusammengeschrumpft ist. Aber in welchem Sinne es sich um einen Punkt im Raum handelt, ist
wegen der divergierenden Komponenten der Metrik völlig unklar. Wir werden dashalb an dieser Stelle
noch nichts über das Verhalten der Raumzeit bei fâ
sagen, sondern erst einmal das Verhalten im
â
ö˄– genauer analysieren.
Bereich ö
Bevor wir das tun, sollten wir aber noch folgende wichtige Feststellung machen. Durch den Übergang
von der Schwarzschild-Karte § ± z µ zur Eddington-Finkelstein-Karte § ±-,/. â µ wurde eine Symmetrie der
¿ 5ô˜™ 2 ) [ \ 5 . Die
)
2
[ \
Raumzeit zerstört, nämlich die Symmetrie unter Zeitspiegelungen
Å
Schwarzschild-Metrik ist invariant unter dieser Abbildung. Die Metrik (18.19) ist jedoch nicht mehr invariant unter Zeitspiegelungen. Das ist klar, denn wir haben explizit die einlaufenden Lichtstrahlen ausgewählt
und verlangt, dass sie sich auf den Winkelhalbierenden in der 2 ) â âU5 -Ebene bewegen.
Aufgabe 18.5 Natürlich wird eine Symmetrie der Raumzeit nicht durch eine Koordinatentransformation
zerstört. Auch die Metrik (18.19) ist invariant unter der Abbildung , nur hat diese in den Koordinaten
Å
2 ) â â [ C\ 5 eine andere Darstellung. Man gebe diese Darstellung explizit an und zeige, dass es sich um
eine Isometrie der Metrik (18.19) handelt. Die Symmetrie wurde aber durch die Erweiterung der Raumzeit
zerstört, denn die Abbildung lässt sich nicht in den Bereich fâ ö„ð fortsetzen. Man zeige auch das
Å
explizit.
338
Wenn wir statt dessen verlangen, dass die radial auslaufenden Lichtstrahlen entlang der Winkelhalbierenden laufen, müssen wir folgende Transformation durchführen,
) ! ) „ð !à
u
„ ð
Ë
v
! (18.22)
£ „ð wohldefiniert und invertierbar. Die Koordinaten
Auch diese Transformation ist für 2 ) ! ! [ C\ 5 heißen auslaufende Eddington-Finkelstein-Koordinaten. Sie definieren ebenfalls eine Erweiterung § ±2,. ! µ30Y§ ± z µ der Schwarzschild-Karte. Es handelt sich aber, wie wir gleich sehen werden,
um eine andere Erweiterung, das heißt die Karten § ±2,. â µ und § ±-,/. ! µ decken verschiedene Teilmengen
einer größeren Raumzeit ab.
In der Karte § ±-,/. ! µ gilt die folgende Darstellung für einen radial auslaufenden Lichtstrahl (18.8),
)!
OΠj ! (18.23)
während für einen einlaufenden Lichtstrahl die komplizierte Koordinatengleichung
q ! ,;
)!
Œ
!à
u
!
„ð ’
v
(18.24)
gilt. Im Unterschied zu den einlaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten in der Karte § ±2,. â µ können
„ð in die Vergangenheit fortsetzen,å während
wir jetzt einen auslaufenden Lichtstrahl über die Stelle !
wir für einen einlaufenden Lichtstrahl wieder das asymptotische Verhalten ! ™ „– für ) ™
finden.
Aufgabe 18.6 Man berechne die Komponenten ‚ ± ! µ
Lg` und ‚ ± ! µ La` der Metrik und zeige, dass (18.23)
und (18.24) tatsächlich lichtartige Geodäten sind. Man gebe die Koordinatentransformation 2 ) â â«5 ˜™
2 ) ! ! 5 in der Schnittmenge § ±-,/. â µ § ±-,/. ! µ explizit an und zeige, dass diese Schnittmenge genau die
Schwarzschild-Karte § ± z µ ist.
Der Horizont
Um zu verstehen, was im Bereich
der Raumzeit im Bereich der Karte §
umzuschreiben,
'Sî &
mit
ö f â ö „– vor sich geht, werden wir jetzt die kausale Struktur
±-,/. â µ analysieren. Dazu ist es nützlich, das Linienelement wie folgt
2 ' â j 'S) â«5 2¶U2 â«5 ' Lâ zÁ2 â¬5 ') â«5 j â& 2 ' [ & j Þ_ßÕà& [ ' \ & 5 „ð *
* „– U2 â«5
â j â
<
Für einen radial laufenden Lichtstrahl mit ' [
und ' \
gilt folglich
'Sî & 2 ' â j ') â«5 2¶92 â«5 ' â z¬2 â«5 'S) â«5
also
' â |
' â z¬2 â«5 ⠄– oder
⠄ð L
') â
') â
U2 âU5
j
z¬2 âU5
(18.25)
(18.26)
(18.27)
(18.28)
Da auch hier wieder gilt, dass sich nichts schneller nach innen oder außen bewegen kann als ein radialer
Lichtstrahl, können wir daraus unmittelbar die lokalen Lichtkegel und damit die kausale Struktur in der
2 ) â âU5 -Ebene ablesen. Sie sind in Abbildung 18.2(a) dargestellt. ;
Der nach innen laufende Lichtstrahl zeigt immer im Winkel von {54 nach links. Der nach außen laufende
Lichtstrahl bildet mit der senkrechten Achse einen Winkel, dessen Tangens durch die zweite Gleichung
339
§ ±2,. â µ
ý
ra
hl
Horizont
)!
au
s la
uf
en
de
rL
ic
ht
st
ÓUÚ
ÓÚ
Horizont
â
â
Milchstraße
andere Galaxie
auf
einl
O Œ ! Ó76HÚ
st
ht
ic
ý
hl
ra
â
ð
(a)
Ó
!
ÓÚ
l
Ó
§ ±-,/. ! µ
trah
ð
s
icht
er L
ü
end
L
er
nd
fe
au
nl
ei
qŒ
aus
lau
fen
der
Lic
htst
rah
l
)â
!
(b)
ð
Abbildung 18.2: Um die Schwarzschild-Raumzeit in den Bereich ” Ù
fortzusetzen, führt man die
Ó
einlaufenden (a) bzw. auslaufenden (b) Eddington-Finkelstein-Koordinaten ein, die wir mit ÓÕÔ â ֔ â Ú bzw.
ÓÕÔ ! ֔ ! Ú bezeichnen. Beide Karten decken jeweils einen anderen Bereich der Raumzeit ab. Ihre Schnittð
â
menge ist die Schwarzschild-Karte õ ±2,. â µ98 õ ±2,. ! µ Õ¾õ ± z µ , die jeweils dem Bereich ”
Ó

ð
â
!
Ó
bzw. ” 
entspricht. In der Karte õ ±2,. µ können einlaufende lichtartige und zeitartige Geodäten
ð
in die Zukunft über die Stelle ” Õ
hinaus verlängert werden. In der Karte õ ±-,/. ! µ können auslauÓ
ð
Ó
hinaus verlängert
fende lichtartige und zeitartige Geodäten in die Vergangenheit über die Stelle ” Õ
werden.
in (18.28) gegeben ist. Dass die Lichtkegel gekippt sind, während sie in Abbildung 18.1 symmetrisch zur
senkrechten Achse nach oben zeigen, liegt daran, dass die Eddington-Finkelstein-Koordinaten ) â und â
im Gegensatz zu den Schwarzschild-Koordinaten ) und nicht zueinander senkrecht sind.
Im Bereich öI„– machen wir nun eine sonderbare Beobachtung. Offenbar zeigen dort beide Arme
der Lichtkegel nach innen. Eine Koordinatenlinie â
const ist dort eine raumartige Kurve. Das bedeutet,
dass es dort für ein massives Objekt, das sich stets auf einer zeitartigen Weltlinie bewegt, unmöglich ist,
relativ zu dem gegebenen Koordinatensystem still zu stehen. Das ist an sich nicht weiter schlimm, denn es
handelt sich ja nur um ein willkürlich gewähltes Koordinatensystem.
Es ist aber offenbar so, dass für eine zeitartige oder lichtartige Weltlinie im Bereich hâ ö˄ð auf jeden
D
Fall ' â ') â ö
gilt. Alles, was sich in diesem Bereich befindet, sei es ein massives oder masseloses
Objekt, ist demnach gezwungen, sich zu kleineren Radien hin zu bewegen. Betrachten wir ein spezielles
â
Ereignis ü mit â öC„ð , etwa das in Abbildung 18.2(a) gezeigte, so liegt die gesamte Zukunft þ 2ü 5
dieses Ereignisses im Bereich fâ ö˄ð . Es ist daher unmöglich, von ü aus irgendein Signal oder gar ein
massives Objekt in den äußeren Bereich fâ £ „ð zu schicken.
Da sich die Lichtkegel für kleinere fâ immer weiter nach innen neigen, endet die Zukunft von ü sogar
<
nach einem endlichen Intervall der Koordinate ) â auf der Achse dâ
. Wir haben also die Situation vorliegen, dass es Ereignisse gibt, die keine gemeinsame Zukunft haben. Betrachten wir nämlich ein zweites
Ereignis ý , das im Bereich dâ £ „ð außerhalb der Vergangenheit von ü liegt, so ist Beobachter bei ü
nicht mehr in der Lage, mit einem Beobachter bei ý in irgendeiner Weise Kontakt aufzunehmen, oder ihn
gar zu treffen.
Stellen wir uns vor, ein Astronaut befindet sich mit seinem Raumschiff irgendwo im Bereich câ £
340
. Er schickt eine Sonde ab,
, zum Beispiel in einer stabilen kreisförmigen Umlaufbahn mit â £
die den Raum weiter unten erforschen soll. Nehmen wir an, die Sonde fällt entlang einer radialen Bahn
frei nach unten. Irgendwann wird sie den Radius â
„ð unterschreiten. Ein Signal, das sie danach
aussendet, wird das Raumschiff niemals mehr erreichen. Es ist für den Astronauten im Raumschiff also
völlig unmöglich, irgendwelche Informationen über die Vorgänge im Bereich hâ ö˄– zu bekommen.
Eine physikalisch anschauliche Erklärung dafür, warum nichts aus den Bereich hâ öY„ð entkommen
kann, liefert die folgende Beobachtung. Offenbar gibt es bei hâ
„ð einen radial auslaufenden Lichtstrahl, der aber in Wirklichkeit gar nicht nach außen läuft, sondern an dieser Stelle quasi eingefroren ist.
Die Kurven mit dâ
„– , [
const und \
const bilden eine Schar von lichtartigen Geodäten, die
wir uns als eine eingefrorene, kugelförmige Wellenfront in der Raumzeit vorstellen können. Um aus dem
Bereich â öè„ð heraus zu kommen, müssten wir diese Wellenfront überholen. Aber das geht nicht,
denn wir können eine Lichtfront nicht überholen.
Es ist wichtig, festzustellen, dass diese sonderbaren Lichtstrahlen nichts mit den umlaufenden Licht
gibt. Diese Lichtstrahlen verhalten sich,
strahlen zu tun haben, die es natürlich immer noch bei â
abgesehen davon, dass sie auf geschlossenen Bahnen laufen, völlig normal. Sie bewegen sich zwar nicht
in radiale Richtung, aber in [ - und \ -Richtung. Die Lichtstrahlen bei â
„– dagegen “ruhen” relativ
zu dem Koordinatensystem 2 ) â â [ \ 5 .
Die Koordinatenfläche „ð ist eine lichtartige Hyperfläche in der Raumzeit. Der Basisvektor Î ± â µ M
é
â
ist dort lichtartig, weil ‚ ± µ
ist. Jeder andere Vektor, der zu dieser Hyperfläche tangential ist, also
MºM
jede andere Linearkombination der Vektoren Î ± â µ , Î ± â µ ] und Î ± â µ b , ist raumartig. Das folgt sofort aus der
M
Y
Darstellung (18.19) des Linienelementes. Wenn wir dort â
„ð const und folglich ' dâ
setzen,
dann ergibt sich
'"î & â &2 ' [8& ÞßÕà &C[ ' 1[& 5Ŝ
(18.29)
„ð j
<
Das heißt, jede Kurve auf der Hyperfläche â
„ð ist entweder lichtartig, wenn ' [
und ' \
ist,
oder raumartig.
Wie jede andere lichtartige Hyperfläche hat auch diese Hyperfläche die Eigenschaft, dass wir sie nur
in eine Richtung passieren können, nämlich in Richtung Zukunft. Lokal sieht die Hyperfläche in der
Raumzeit genau so aus wie eine lichtartige Hyperebene im Minkowski-Raum, also so wie die Fläche
in Abbildung 4.4. Eine lichtartige Hyperfläche ist eine Wellenfront in der Raumzeit, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Wenn uns eine solche Wellenfront einmal überrollt hat, dann haben wir keine
Möglichkeit mehr, sie wieder einzuholen.
Aber die lichtartige Hyperfläche bei dâ
„– hat eine weitere Eigenschaft, die eine lichtartige Hyperebene im Minkowski-Raum nicht hat, und die auch sonst für Wellenfronten in der Raumzeit untypisch ist.
Betrachten wir dazu die Situation aus der Sicht eines Beobachters, der sich sehr weit entfernt im räumlich
unendlichen befindet, also da, wo die Raumzeit fast wie der flache Minkowski-Raum aussieht. Im Unterschied zu einer “normalen” Wellenfront kommt diese spezielle Wellenfront niemals bei dem Beobachter
weit draußen an, egal wie lange er auch wartet. Die Wellenfront bleibt für immer in einem endlichen
Bereich des Raumes eingeschlossen.
Eine lichtartige Hyperfläche mit dieser Eigenschaft heißt Horizont oder Ereignishorizont. Woher kommt
diese Bezeichnung? Offenbar ist es so, dass ein weit entfernter Beobachter, von dem wir annehmen wollen,
dass er beliebig viel Zeit zur Verfügung hat, trotzdem nicht von allen Ereignissen in der Raumzeit erfahren
„– schauen, weil von dort kein Signal nach außen
kann. Er kann nicht hinter den Horizont bei fâ
dringen kann. So wie ein Seefahrer nicht hinter den gewöhnlichen Horizont hinaus übers Meer schauen
kann.
Anders als der irdische Horizont, der sich mit der Position des Schiffes, auf dem man sich garade
befindet, mitbewegt, hat der Ereignishorizont bei fâ
„ð jedoch etwas absolutes. Er ist unabhängig
davon, wo genau sich der Beobachter befindet, solange er sich nur selbst von dem Horizont fern hält.
Was hinter dem Horizont geschieht, bleibt für einen außenstehenden Beobachter für immer verborgen.
341
Und wenn sich ein Astronaut dennoch dazu entschließt, mit seinem Raumschiff nachzusehen, was dort
geschieht, dann hat er keine Möglichkeit mehr, zurück zu kommen und darüber zu berichten.
Tatsächlich hatten wir das Auftreten eines Ereignishorizontes schon an einer anderen Stelle beobachtet, nämlich im Zusammenhang mit einem gleichmäßig beschleunigten Bezugsystem. Betrachten wir dazu
noch einmal die Abbildung 13.5(b). Dort hatten wir aus einem kartesischen Koordinatensystem 2 ) Œ 4 Œ š[Œ › Œ 5
im Minkowski-Raum ein neues Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 konstruiert, das ein beschleunigter Beobachter als sein Ruhesystem interpretiert. Wir hatten dann aber festgestellt, dass dieses Koordinatensystem
nur einen Teil das Minkowski-Raumes abdeckt, nämlich das Segment zwischen den beiden in Abbil‘ <
›Œ
.
dung 13.5(b) als Linien eingezeichneten lichtartigen Hyperflächen ) Œ
Die obere der beiden Hyperebenen bildet für der beschleunigten Beobachter einen Ereignishorizont,
„ð in Abbildung 18.2(a). Kein Signal, das von einem Ereignis hinter
genau wir die Hyperfläche Œ
diesem Horizont ausgeht, wird den beschleunigten Beobachter jemals erreichen. Ein frei fallender Körper
dagegen erreicht und durchquert diesen Horizont nach einer endlichen Eigenzeit. Für einen mitfallenden
Beobachter existiert der Horizont gar nicht. In diesem Fall ist es wie in der Seefahrt. Der Horizont hängt
von jeweiligen Standpunkt des Beobachters ab.
Die Situation ist hier sehr ähnlich. Ein Beobachter, der sich weit draußen in Ruhe befindet, ist im Sinne
des Äquivalenzprinzips ein gleichmäßig beschleunigter Beobachter. Außerdem hängt auch hier die Lage
des Horizontes zunächst vom Bewegungszustand, oder genauer von der gesamten Weltlinie eines Beob
achters ab. Für einen Beobachter, der sich in den Bereich â ö „ð begibt, existiert bei â
„ð natürlich kein Horizont, denn er erlebt ja selbst einige Ereignisse dahinter mit.
Trotzdem gibt es einen ganz wesentlichen Unterschied, und deshalb kommt der Hyperfläche câ
„ð Œ
› Œ in
in Abbildung 18.2(a) eben doch eine absolute Bedeutung zu, im Gegensatz zu der Hyperfläche )
Abbildung 13.5(b), die nur für den speziellen Beobachter eine Bedeutung hat. Es ist hier nämlich so, dass
es für eine ganze Klasse von Beobachtern ein und denselben Horizont gibt. Nämlich für alle Beobachter,
die sich, in welchem Bewegungszustand auch immer, im asymptotisch flachen Raum aufhalten, also dort,
wo die Raumzeit näherungsweise ein flacher Minkowski-Raum ist.
Für alle diese Beobachter gilt, dass sie niemals in ihrem Leben etwas über die Vorgänge hinter dem
Horizont, also aus dem Bereich fâ ö„ð erfahren werden. Einen solchen Bereich der Raumzeit nennen
wir ein schwarzes Loch. Die Bezeichnung kommt daher, dass aus diesem Bereich nichts, also auch kein
Licht, nach außen dringt, so dass man eben nur ein schwarzes Loch sieht, wenn man in die entsprechende
Richtung des Raumes schaut. Wir werden später ein wenig näher ausführen, was es genau bedeutet, dass
ein schwarzes Loch schwarz ist. Es hat letztlich damit zu tun, wie dies Objekt entsteht.
Aufgabe 18.7 Ein weiterer wesentlicher Unterschied zwischen der kausalen Struktur des MinkowskiRaum und der kausalen Struktur der Karte § ±-,/. â µ in Abbildung 18.2(a) ist, dass es gar keinen Beobachter
gibt, der von allen Ereignissen erfahren kann, auch wenn wir annehmen, dass ein Beobachter unendlich
^
! ^
lange lebt. Dazu definieren wir die Vergangenheit þ 2 5 einer zeitartigen Weltlinie als die Vereinigung
^
der Vergangenheiten aller Punkte 2 Z 5 , also
þ
! ^ 5 ;:
2
^
³
þ
! ^ 55 2 2Z
(18.30)
! ^
Für einen Beobachter, der sich auf der Weltlinie bewegt, ist þ 2 5 die Menge aller Ereignisse, von
^
denen er jemals erfahren kann. Man zeige, dass es in der Karte § ±2,. â µ keine Weltlinie
gibt mit
^ 5 !
þ
2
§ ±-,/. â µ . Im Minkowski-Raum
ist dies jedoch, zum Beispiel, für jede zeitartige Geodäte der Fall.
! ^
Wie sieht die Teilmenge þ 2 5 für einen Beobachter aus, der sich stets im Bereich â £ „ð aufhält, und
wie für einen Beobachter, der in den Bereich fâ ö’„– vordringt?
Aufgabe 18.8 Wenn wir statt der Karte § ±-,/. â µ die Karte § ±2,. ! µ mit den auslaufenden EddingtonFinkelstein-Koordinaten verwenden, ergibt sich das Bild in Abbildung 18.2(b). Die Vorw ärtslichtkegel
342
sind nicht nach innen, sondern nach außen gekippt, und statt der einlaufenden Lichtstrahlen laufen jetzt
die auslaufenden Lichtstrahlen auf Winkelhalbierenden. Man leite das aus der in Aufgabe 18.6 berechneten Metrik ab und diskutiere die kausale Struktur der Karte § ±2,. ! µ . Gibt es dort Ereignisse, die keine
gemeinsame Zukunft haben? Welche Bedeutung hat dort der Horizont bei !
„ð ?
Aufgabe 18.9 In Abbildung 18.2 sind drei Ereignisse ü , ý und eingezeichnet. Warum erscheint nur in
der Karte § ±2,. ! µ , ü nur in der Karte § ±-,/. â µ , ý dagegen in beiden Karten? Man zeige, dass ü in der
Zukunft von liegt.
Geodätische Vollständigkeit
Einen Teil des Problems haben wir nun gelöst. Wir haben einen Satz, oder genauer zwei Sätze von Koor
„– hinaus fortsetzen können.
dinaten gefunden, mit deren Hilfe wir die Raumzeit über die Stelle Unsere erweiterte Raumzeit wird jetzt durch zwei Karten § ±2,. â µ und § ±-,/. ! µ beschrieben.
Ein einlaufendes Teilchen, welches wir in der Schwarzschild-Karte § ± z µ nur bis kurz vor seine Ankunft
•
bei weiter ver„ð verfolgen konnten, können wir nun in der Karte § ±2,. â µ bis zur Stelle dâ
folgen. Das gleiche gilt für einen einlaufenden Lichtstrahl, und entsprechendes gilt auch für auslaufende
Teilchen oder Lichtstrahlen, wenn wir die Karte §±-,/. ! µ verwenden. Abgesehen von der noch ungeklärten
f
Frage, wie die Raumzeit nun bei dâ
bzw. !
aussieht, haben wir damit das Problem, das Gravitationsfeld einer punktförmigen Masse zu beschreiben, gelöst?
Nicht ganz, denn wir haben jetzt ein neues Problem. Es gibt nämlich in unserer Raumzeit noch immer
zeitartige und lichtartige Geodäten, die wir nicht bis in alle Ewigkeit verfolgen können, obwohl sie nicht
ankommen. Betrachten wir dazu den Lichtstrahl, der in Abbildung 18.2(a) durch das Ereignis ü
bei läuft, und der ganz im Bereich fâ ö‡„– liegt. Dies ist eigentlich ein auslaufender Lichtstrahl, der aber
wegen der nach innen gekippten Lichtkegel trotzdem nach innen, also zu kleineren Radien hin läuft.
Íå
„ð , allerdings von
Für ) ⠙
nähert sich dieser Lichtstrahl asymptotisch dem Horizont bei â
innen. Er erreicht also weder den Horizont, noch den Überlappbereich der beiden Karten, so dass es für
diesen Lichtstrahl keine Fortsetzung in der Karte § ±2,. ! µ gibt. Das gleiche gilt für den Lichtstrahl, der
å
in Abbildung 18.2(b) durch das Ereignis läuft und sich für ) ! ™
asymptotisch dem Horizont bei
!
„– von innen nähert.
In der Nähe des Horizontes verhalten sich diese Lichtstrahlen genau so wie die, die sich ihm von außen
asymptotisch nähern. Und wieder gibt es, wie man explizit zeigen kann, auch zeitartige Geodäten mit
diesem Verhalten. Berechnet man dann jedoch die Eigenzeit entlang einer solchen Kurve, so stellt man
fest, dass sie die Stelle „ð nach einer endlichen Eigenzeit erreicht. Also muss es auch für diese
Geodäten irgendwo eine Fortsetzung geben. Auch die Eddington-Finkelstein-Karten sind in diesem Sinne
unvollständig.
Doch bevor wir jetzt versuchen, einen vollständigen Atlas der Raumzeit zu konstruieren, indem wir
immer neue Karten einführen, sollten wir uns erst einmal darüber Gedanken machen, was wir eigentlich genau suchen. Was genau heißt vollständig? Was bewegt uns überhaupt dazu, zu sagen, dass die
Schwarzschild-Karte § ± z µ die Raumzeit nicht vollständig erfasst? Durch § ± z µ ist eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit definiert, auf der der Einstein-Tensor überall verschwindet. Warum sagen wir nicht einfach,
das sei eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie, und damit eine mögliche Raumzeit, wie sie die
allgemeine Relativitätstheorie vorhersagt.
Als Analogie können wir wieder die Elektrodynamik betrachten. Jede Lösung der MaxwellGleichungen ist ein möglicher Zustand des elektromagnetischen Feldes. Was ist also falsch daran, zu
sagen, dass die Schwarzschild-Raumzeit eine Lösung der Einstein-Gleichung ist? Formal ist das sicher
richtig. Aber intuitiv ist uns klar, dass da noch irgendetwas fehlt. Es ist nicht so sehr die fehlende Materie,
die vorher in Form eines Sterns vorhanden war. Auch in der Elektrodynamik können wir elektromagne-
343
tische Wellen oder ein homogenes, den ganzen Raum ausfüllendes Feld betrachten, ohne uns darüber
Gedanken machen zu müssen, wo denn die Ladungen, also die Quellen sind.
Das Problem ist ein anderes, In der Schwarzschild-Raumzeit gehen offenbar Dinge verloren oder tauchen aus dem Nichts auf. Das widerspricht so ziemlich allem, was wir über die Raumzeit und die Physik
im allgemeinen zu wissen glauben. Es widerspricht einfach unserer physikalischen Intuition, wenn wir
es akzeptieren sollen, dass ein frei fallendes Teilchen nach einer endlich langen Eigenzeit die Raumzeit
einfach verlässt. Oder umgekehrt, dass ein solches Teilchen vor einer endlich langen Eigenzeit plötzlich
aufgetaucht sein soll.
Wir wollen versuchen, diesen Begriff der Unvollständigkeit einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit genauer
zu erfassen. Dazu betrachten wir noch einmal sehr einfaches Beispiel, an dem sich das Problem besser
IÀ
4
5
erläutern lässt. Gegeben sei eine Mannigfaltigkeit <
| mit den globalen Koordinaten 2 ) š8œ› . Die
5
Metrik hat die Signatur 2 , und sie ist durch das Linienelement
ž
= ž
4
&/? ') & j ' & j ' š & j &@? ' › &
'"î &
(18.31)
handelt es sich offenbar um einen flachen Minkowskigegeben, wobei ‚ eine Konstante ist. Für ‚
Raum. Man kann den Einstein-Tensor für diese Metrik ausrechnen und findet, dass er auch für ¾
‚ à
>=
verschwindet. Es handelt sich also um eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie.
Man findet sogar, dass der Krümmungstensor identisch verschwindet. Die Raumzeit ist demnach flach.
Ist die Metrik (18.31) also nur eine Darstellung der Minkowski-Metrik in ungewöhnlichen Koordinaten,
so wie unsere beiden Beispiele von weiter oben? Tatsächlich ist es so, denn die Transformation
)Œ
‚
!$# = ž
? Þßáàâ 2»‚ ) 5 4Œ 4 šŒ
š6
›Œ
‚
!$# = ž
? ãgäHÞâ 2·‚ ) 5 (18.32)
überführt die Metrik (18.31) in die gewöhnliche Minkowski-Metrik
'Sî &
' ) Œ & j ' 4 Œ & j ' Œš & j ' › Œ &
(18.33)
Wenn wir uns die Transformation (18.32) aber genauer ansehen, dann stellen wir fest, dass
das Bild dieser
Abbildung gar nicht der ganze Minkowski-Raum ist, sondern nur das Segment › Œ £ ) Œ , also ein Viertel
des Minkowski-Raumes. Es ist genau das Segment, in dem das beschleunigte Bezugsystem in Abbildung 13.5(b) definiert ist.
Wir haben also genau die Situation vorliegen, die wir bereits aus dem zweiten Beispiel (18.5) kennen.
Wir haben es hier nur ein wenig variiert. Die Mannigfaltigkeit < mit der Metrik (18.31) ist eine Lösung der
Einstein-Gleichung, aber sie ist unvollständig. Durch eine Koordinatentransformation ist das sofort offensichtlich. Ein Segment des Minkowski-Raumes ist nicht das, was wir eine vollständige Raumzeit nennen
würden. Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik sehen wir es der Metrik (18.31) aber nicht unmittelbar
an, dass da irgendetwas fehlt.
À
Insbesondere hat < keinen Rand. Der Definitionsbereich der Koordinaten 2 ) 4 š6› 5 ist der ganze | ,
und die Komponenten der Metrik sind überall wohldefiniert. Wenn wir nicht die explizite Koordinatentransformation (18.32) gefunden hätten, dann hätten wir womöglich gar nicht bemerkt, dass die Raumzeit
unvollständig ist. Das gleiche gilt übrigens für die Schwarzschild-Raumzeit, wenn wir sie in der Form
(18.13) darstellen. Die Koordinaten haben dann ebenfalls einen unbeschränkten Definitionsbereich, und
nichts deutet darauf hin, dass etwas fehlt.
Die Vorstellung, die Unvollständigkeit einer Raumzeit hätte etwas mit einem Rand derselben zu tun, ist
À
deshalb ein wenig irreführend. Eine Karte ist, wie schon gesagt, immer eine offene Teilmenge des | , und
als solche hat eine Karte keinen Rand. Und eine Mannigfaltigkeit hat folglich auch keinen Rand. Wenn
wir über die Vollständigkeit einer Raumzeit reden wollen, dann müssen ein anderes Kriterium finden,
mit dessen Hilfe wir unabhängig von Koordinatensystemen entscheiden können, ob eine Mannigfaltigkeit
vollständig ist oder nicht.
344
Ein solches Kriterium, oder genauer, eine mögliche Definition der Vollständigkeit einer RaumzeitMannigfaltigkeit, ist die sogenannte geodätische Vollständigkeit.
Eine metrische (oder affine) Mannigfaltigkeit heißt geodätisch vollständig, wenn man jede
Geodäte beliebig weit verlängern kann.
Im Prinzip haben wir genau diese Vorstellung der Vollständigkeit gerade intuitiv verwendet. Wir müssen
jetzt nur noch klären, was beliebig weit genau heißen soll. Für zeitartige oder raumartige Geodäten ist das
relativ eindeutig. Beliebig weit heißt, dass die Länge bzw. die Eigenzeit der Geodäte beliebig groß wird.
Aber wir müssen gar nicht auf die Metrik, also auf Längen und Zeiten zurück greifen, um die geodätische Vollständigkeit zu definieren, und wir können den Begriff der Vollständigkeit auch auf lichtartige Geodäten anwenden. Es genügt, dass auf der Mannigfaltigkeit ein affiner Zusammenhang, also ein
Christoffel-Symbol existiert. Das ist natürlich die Voraussetzung dafür, überhaupt von Geodäten sprechen
zu können.
^
Wir hatten einen Kurvenparameter Z einer Geodäten 2 Z 5 einen affinen Parameter genannt, wenn der
Tangentenvektor der Kurve entlang der Kurve parallel transportiert wird, wenn also die Geodätengleichung
mit einer verschwindenden rechten Seite gilt,
T¹
T T
L j’Ä L `d \ ` \ d <
(18.34)
Für raumartige oder zeitartige Geodäten ist das genau dann der Fall, wenn der Kurvenparameter Z eine
lineare Funktion der Eigenzeit bzw. der Länge ist. Die Eigenzeit einer zeitartigen Geodäte ist also ein
spezieller affiner Parameter, und jedes Vielfache davon ist auch ein affiner Parameter.
Aber der Begriff des affinen Parameters ist auch für lichtartige Geodäten sinnvoll, obwohl diese weder
eine Länge noch eine Eigenzeit besitzen. Und er ist auch dann noch wohldefiniert, wenn der affine Zusammenhang L gar nicht aus einer Metrik ableitet ist, wenn die Mannigfaltigkeit also nur eine affine, aber
Ä `d
keine metrische Mannigfaltigkeit ist.
Eine Geodäte soll nun genau dann vollständig heißen, wenn der affine Parameter Z nicht beschränkt ist,
also beliebig große positive und negative Werte annimmt. Anschaulich heißt das, das die Geodäte nicht
irgendwo plötzlich aufhört, und für zeitartige und raumartige Geodäten auf einer metrischen Mannigfaltigkeit heißt Vollständigkeit in diesem Sinne dasselbe wie unendliche Länge bzw. Eigenzeit.
Eine Raumzeit §
ist also genau dann geodätisch vollständig, wenn sich jede Geodäte zu einer
vollständigen Geodäte erweitern, also gegebenenfalls verlängern lässt. Das können wir auch wie folgt
formulieren. Zu jedem Punkt V © § und jedem Vektor © ¯0¸§
muss es eine vollständige Geodäte
^ 5
verläuft. Mit anderen
2 Z geben, die durch den Punkt
^ 5 V geht und dort in die Richtung des Vektors
À
©
Worten, es muss eine Lösung 2 Z der Geodätengleichung (18.34) für alle Z
geben, mit den Anfangsbedingungen
^ 5 ^ 5 2
V (18.35)
\2
Genau diese Definition der Vollständigkeit einer Raumzeit haben wir am Anfang verwendet, um zu zeigen,
dass die Schwarzschild-Raumzeit § ± z µ nicht vollständig ist. Wir haben eine spezielle zeitartige Geodäte
betrachtet, nämlich die Weltlinie eines frei nach innen fallenden Teilchens. Wir haben erstens gezeigt, dass
sich diese Geodäte nicht verlängern lässt, denn sie hatte im Bereich der Schwarzschild-Raumzeit keinen
Endpunkt. Und zweitens haben wir aus früheren Überlegungen über die Bahnen von frei fallenden Körpern
in der Schwarzschild-Metrik geschlossen, dass die Eigenzeit auf dieser Weltlinie beschränkt ist. Also ist
die Schwarzschild-Raumzeit geodätisch unvollständig.
Aufgabe 18.10 Man finde für den auslaufenden Lichtstrahl (18.8) und für den einlaufenden Lichtstrahl
(18.9) in Schwarzschild-Koordinaten jeweils eine affine Parameterdarstellung 2 ) 2 Z 5 2 Z 55 . Man zeige, dass
diese Lichtstrahlen keine vollständigen Geodäten sind.
345
<
) in der Raumzeit < mit der Metrik
Aufgabe 18.11 Man betrachte die lichtartige Kurve 4
,š
,›
(18.31). Man benutze das Noether-Theorem aus Kapitel 16, um zu zeigen, dass es sich um eine lichtartige
Geodäte handelt. Man zeige dann, dass diese Geodäte unvollständig ist. Man formuliere die Beweise so,
dass daraus nicht hervorgeht, dass es sich bei < um eine Teilmenge des Minkowski-Raumes handelt.
Aufgabe 18.12 Man könnte vorschlagen, den Begriff der Vollständigkeit einer metrischen Mannigfaltigkeit § zu verschärfen, und zu verlangen, dass nicht nur jede Geodäte, sondern jede zeitartige und jede
^
raumartige Kurve , die sich in § nicht verlängern lässt, eine unendliche Eigenzeit bzw. metrische Länge
haben muss. Man zeige, dass diese Definition nicht sinnvoll ist. Es gibt n ämlich im Minkowski-Raum zeitartige Kurven, die nirgendwo enden, die aber trotzdem nur endlich lang sind.
Es ist nun ganz leicht, zu zeigen, dass die Karten § ±2,. â µ und § ±2,. ! µ zusammen immer noch keine
„– in der
geodätisch vollständige Raumzeit definieren. Wie wir wissen, wird der Horizont bei hâ
â
Karte § ±2,. µ durch eine Schar von Lichtstrahlen gebildet, die dort, bildlich gesprochen, eingefroren
[G
sind. Jeder solche Lichtstrahl wird durch die Angabe seiner konstanten sphärischen Koordinaten [
\ G eindeutig identifiziert. Eine mögliche Parameterdarstellung eines solchen Lichtstrahls ist
und \
å
f;
)â 2Z 5
!à 2Z 5 Lâ 2 Z 5 „ð mit Z © 2 5 . Das gleiche gilt für den Horizont bei
Parameterdarstellung eines Lichtstrahls dort ist
å
k;
)! 2Z 5
5
!à 2 Z 5 ¾2 Z 5 6[ G [
! „ð ! 2Z 5 ð
„ 2Z 5
in der Karte
32 Z 5 8[ G [
\
\
\
G
(18.36)
§ ±2,. ! µ . Eine mögliche
2Z 5
\
G
(18.37)
. In beiden Fällen handelt es sich, wie gleich gezeigt werden soll, um einen affinen Pamit Z © 2
rameter Z . Daraus folgt, da Z nach unten bzw. oben beschränkt ist, dass die Lichtstrahlen, die die beiden
Horizonte aufspannen, unvollständig sind. Sie lassen sich nicht in der jeweils anderen Karte fortsetzen,
denn sie erreichen nie den Überlappbereich der beiden Karten. Also ist die Raumzeit geodätisch unvollständig.
Aufgabe 18.13 Man zeige, dass (18.36) und (18.37) affine Parameterdarstellungen sind.
Lichtkegelkoordinaten
Nachdem wir nun die Begriffe ein wenig geklärt haben, kommen wir zurück zu unserer eigentlichen, physikalischen Fragestellung. Offenbar muss es zusätzlich zur Einstein-Gleichung noch ein zweites Kriterium
geben, um eine Raumzeit als physikalisch bezeichnen zu können. Es genügt nicht, dass der Einstein-Tensor
proportional zum Energie-Impuls-Tensor ist. Eine beliebig kleine Teilmenge des Minkowski-Raumes
würde diese Bedingung erfüllen, wenn keine Materie vorhanden ist. Aber nur der ganze Minkowski-Raum
ist eine physikalisch sinnvolle Raumzeit.
Wir wollen deshalb zusätzlich verlangen, dass eine physikalische Raumzeit geodätisch vollständig
sein soll. Wir können das als eine Art Randbedingung betrachten. Wenn wir eine Lösung der EinsteinGleichung haben, und feststellen, dass sie nicht geodätisch vollständig ist, dann fehlt irgendwo noch etwas. Wir kennen bisher nur einen Teil der Raumzeit. So hatten wir bereits ganz am Anfang argumentiert,
als wir zu dem Schluss kamen, dass es noch mehr geben muss als nur die Schwarzschild-Karte § ± z µ
für £ „ð . Um den Rest der Raumzeit zu finden, müssen wir versuchen, die Mannigfaltigkeit in einer
geeigneten Weise zu erweitern.
Wir suchen also eine maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit, die diese als Teilmenge
enthält und geodätisch vollständig ist. Eine mögliche Strategie wäre, zu den Eddington-Finkelstein-Karten
weitere hinzuzufügen, in denen wir die jetzt noch unvollständigen Geodäten fortsetzen können, und immer
346
so weiter zu machen, bis wir schließlich einen kompletten Atlas einer vollständigen Raumzeit erhalten. Das
ist im Prinzip möglich, aber sehr mühsam.
Es ist sinnvoller, mit dem nun klar definierten Ziel noch einmal von vorne zu beginnen. Die Idee ist im
wesentlichen die folgende. Um die Eddington-Finkelstein-Koordinaten einzuführen, hatten wir verlangt,
dass ein- bzw. auslaufende Lichtstrahlen in den neuen Koordinaten jeweils auf einer Winkelhalbierenden
laufen. Auf diese Weise konnten wir die jeweiligen Lichtstrahlen über die Stelle „ð hinaus fortsetzen,
aber entweder nur die einlaufenden oder die auslaufenden.
Können wir vielleicht beides gleichzeitig erreichen? Tatsächlich haben wir das ja schon getan. In Abbildung 18.1(b) laufen sowohl die einlaufenden, also auch die auslaufenden radialen Lichtstrahlen auf
„– nicht mehr, denn wir haben sie unendlich
Winkelhalbierenden. Nur sehen wir dort die Stelle weit nach links verschoben. Trotzdem bieten diese Koordinaten einen nützlichen Ausgangspunkt. Wir erinnern uns, dass für radial einlaufende Lichtstrahlen in Schwarzschild-Koordinaten die Gleichung (18.9)
gilt, während für radial auslaufende Lichtstrahlen die Beziehung (18.8) gilt, also
BAjBAjBA
) q Œ „ð !à
„ ð
u
)
bzw.
v
OΠj
!à
j „ð u
„ ð
v
(18.38)
Die Parameter q Œ und O Œ hatten wir verwendet, um die einzelnen Lichtstrahlen durchzunummerieren. Zusätzlich müssen wir dann nur noch die sphärischen Koordinaten 2'[ C\ 5 festlegen, um einen Lichtstrahl eindeutig zu identifizieren.
Nun ist aus Abbildung 18.1 unmittelbar ersichtlich, dass jeder Punkt 2 ) 5 auf genau einem einlaufenden, und auf genau einem auslaufenden Lichtstrahl liegt. Und umgekehrt hat jeder einlaufende mit jedem
auslaufenden Lichtstrahl genau einen Schnittpunkt. Folglich wird durch ein Paar 2Æq Œ O Œ 5 genau ein Punkt
in der 2 ) H5 -Ebene der Schwarzschild-Karte bezeichnet, wobei q Πund O Πbeliebige reelle Werte annehmen.
Wir können also 2gq Œ O Œ 5 statt 2 ) 5 als Koordinaten verwenden.
Sie hängen mit den Koordinaten 2 ) Œ oŒ 5 in Abbildung 18.1(b) durch die einfache Beziehung
q Œ )Œ j Œ Œ ) Œ
OŒ
(18.39)
zusammen. Solche Koordinaten werden Lichtkegelkoordinaten genannt. Eine Koordinatenebene O Œ
const
OŒ
ist ein auslaufender Lichtkegel, der im unendlichen so aussieht, als wäre er zur Schwarzschild-Zeit )
am Koordinatenursprung los gelaufen. Und umgekehrt ist eine Koordinatenebene q Œ
const ein einlau
q
fender Lichtkegel, der im unendlichen so aussieht, als würde er zur Schwarzschild-Zeit )
Œ bei ankommen. Das tut er natürlich nicht, denn diesen Punkt gibt es nicht, aber das spielt hier keine Rolle.
Entscheidend ist nur, dass wir 2gq Œ O Œ [ C\ 5 als alternative Koordinaten in der Schwarzschild-Karte verwenden können, indem die (18.38) als Koordinatentransformation auffassen. Ein wenig übersichtlicher
geschrieben ergibt sich
qΠOΠ)
„
qŒ j OŒ j „ð „
u
!à
„ ð
’
v
(18.40)
Dass diese Transformation umkehrbar ist, folgt wieder aus der Tatsache, dass die rechte Seite der zweiten
À
Gleichung für £ „– eine monotone, unbeschränkte Funktion von ist. Der Bereich 2 ) 5(©
& mit £
À
„ð der Schwarzschild-Koordinaten entspricht also dem Bereich 2gq Œ O Œ 50© & der Lichtkegelkoordinaten.
Und wie lautet die Metrik in den neuen Koordinaten? Dazu lesen wir aus (18.40) ab
' q Œ ' O Œ „ ') ' qŒ j ' OŒ
D
„
ñ „ð Daraus folgt nach einer kurzen Rechnung
' q Œ ' OŒ
*
D
') & j
ñ „ð 347
E
!
& ' &
E
!$#
' (18.41)
(18.42)
Das sind, bis auf einen gemeinsamen Faktor, die ersten beiden Terme der Schwarzschild-Metrik (18.1).
Wir können die Schwarzschild-Metrik also wie folgt schreiben,
D
'SîU&
ñ „ð ' q Œ ' O Œ j & 2 ' [ & j Þßáà & [ ' \ & 5 E
(18.43)
wobei als Funktion von q Πund O Πzu verstehen ist, gegeben durch die zweite Gleichung in (18.40). Diese
können wir zwar nicht explizit nach auflösen, aber es genügt im folgenden zu wissen, dass es zu jedem
À
Paar 2gq Œ O Œ 50©
& eindeutig ein £ „ð gibt.
Kruskal-Szekeres-Koordinaten
Sehr viel haben wir bis jetzt allerdings noch nicht gewonnen. Die Lichtkegelkoordinaten 2Æq Œ O Œ [ \ 5
decken auch nur den unvollständigen Bereich der Raumzeit ab, den die ursprünglichen SchwarzschildKoordinaten 2 ) [ C\ 5 abdecken. Und sie nehmen dort bereits beliebige reelle Werte an. Wie können wir
diese Karte dann überhaupt noch erweitern?
Dazu müssen wir nur noch einmal eine relativ einfache Koordinatentransformation durchführen. Wir
erinnern uns, dass q Œ die einlaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert, während O Œ die auslaufenden Lichtstrahlen durchnummeriert. Wir können diese Nummerierung beliebig verändern. Die spezielle Form der
Metrik (18.43) in Lichtkegelkoordinaten bleibt erhalten, wenn wir q Œ durch eine monotone Funktion q 2Æq Œ 5 ,
und O Œ durch eine monotone Funktion O62œO Œ 5 ersetzen. Es gilt dann
' q ' O q${ 2gq Œ 5 O { 2ÃO Œ 5 ' q Œ ' O Œ
(18.44)
Wir werden versuchen, die Funktionen q 2gq Œ 5 und O62ÃO Œ 5 so zu wählen, dass der Vorfaktor in (18.43) entfernt
wird, der bei „ð verschwindet.
Wir müssen die Funktionen q 2gq Œ 5 und O92œO Œ 5 also so wählen, dass
ñ
D
q {»2gq Œ 5 O{·2œO Œ 5 gerade den Faktor
„ð liefert. Nun folgt aus (18.40)
D
D
D
D
=GCHE u qŒ
=DCFE
=GCHE
OŒ
I=DCFE q Œ j O Œ mI„– ; E
; E
;
(18.45)
v
E
E
„ð „– „– Der erste Faktor ist genau der gesuchte Vorfaktor aus der Metrik. Die anderen Faktoren sind bei positiv. Wir machen daher den Ansatz
D
q I=DCFE
qŒ
;
E
O
I=DCHE
Das Produkt q {·2gq Œ 5 O{.2ÃO Œ 5 ist dann bis auf einen konstanten Faktor
wir das in die Metrik (18.43) einsetzen, erhalten wir schließlich
'Sî &
„– =GCHE
u
„ –
v
D
;
OŒ
(18.46)
E
ED 2 &5
durch (18.45) gegeben. Wenn
' q ' O j &Á2 ' [6& j Þ_ßÕà &C[ ' \ & 5
(18.47)
Bis auf das bekannte Linienelement einer Sphäre ähnelt diese Darstellung kaum noch der ursprünglichen
Schwarzschild-Metrik. Trotzdem ist es natürlich noch immer dieselbe Metrik.
Um den Zusammenhang zwischen den beiden Darstellung zu verstehen, fassen wir ihn noch einmal
kurz zusammen. Wir befinden uns noch immer in der Schwarzschild-Karte § ± z µ . Die Koordinaten q Œ
und O Πnahmen in dieser Karte beliebige reelle Werte an. Aus der Transformation (18.46) folgt, dass die
Koordinaten q und O dort beliebige positive Werte annehmen.
Wir haben also in der Karte §± z µ ein Koordinatensystem 2 q O [ \ 5 eingeführt, mit q £
und O £ .
Diese Koordinaten heißen nach ihren Erfindern Kruskal-Szekeres-Koordinaten. Wir können direkt den
Zusammenhang zwischen q und O und den Schwarzschild-Koordinaten ) und angeben. Aus (18.40) folgt
q I
=GCHE
O
D
)
„ ð
E
q O wu
„ð 348
v
=DCFE
u
„ ð
v
(18.48)
H
const
Q
ei
nl
au
fe
nd
er
L
UYX
all
rF
Ó
U
Milchstraße
andere Galaxie
ie
fre
ð
st hl
con stra
t
ch
Li
t
er
on
nd
iz
fe
or
au
H
nl
ei
” Õ
UVUWU
LNM
UYX
UVU
hl
ra
U
ic
ht
st
ra
hl
JDK
st
ht
ic
UVUVU
UVU
au
s la
uf
en
de
rL
ic
ht
st
R S
Õ or
iz
on
t
Q
” Õ
Ó
rL
de
en
uf
sla
au
” Õ
ra
hl
§ ±PO z µ
ð
§ ±-O z µ
” Õ
T S
Õ (b)
(a)
Abbildung 18.3: Die Kruskal-Szekeres-Karte õ ±PO z µ ist die maximale Erweiterung der SchwarzschildU
Raumzeit. Die Raumzeit zerfällt in vier Quadranten. Der Quadrant ist die ursprünglich SchwarzschildUVU
UNX
UVUVU
Karte õ ± z µ . Der Quadrant ist das schwarze Loch, der Quadrant
das weiße Loch. Der Quadrant
U
repräsentiert ein zweites äußeres Universum, das mit dem im Quadrant durch ein Wurmloch verbunden
ist.
Für positives q und O besitzen diese Gleichungen eine eindeutige Lösung für ) und , mit £ „ð . Es
handelt sich also um eine umkehrbare Transformation 2 q O 5¾˜™ 2 ) 5 . Das so definierte müssen wir auch
in das Linienelement (18.47) einsetzen, um die Metrik als Funktion von q und O zu schreiben. Es definiert
den Oberflächenradius einer räumlichen Sphäre an der Stelle 2 q O 5 .
„ð geht. Die Karte hat jetzt,
Wir sehen außerdem, dass für q ™
oder O ™
jeweils ‡™
um noch einmal die etwas unsaubere Sprache zu verwenden, zwei “Ränder”, die beide dem Rand der
Íå
die Schwarzschild-Zeit ) ™
,
Schwarzschild-Karte bei …™ „ð entsprechen. Jedoch geht für q ™
å
™
™
während für O
die Schwarzschild-Zeit )
geht. Es liegt daher die Vermutung nahe, dass der
j

dâ Rand bei O
dem Horizont bei
„ð in der Karte
§ ±-,/. â µ entspricht, hinter
dem die einlaufenden Lichtstrahlen verschwinden, während der Rand bei q
dem Horizont bei !
„ð in der Karte
§ ±2,. ! µ entspricht, aus dem die auslaufenden Lichtstrahlen hervortreten.
Das ist tatsächlich der Fall. Wir können die Karte jetzt nämlich wieder über den Rand hinaus erweitern,
und so die einlaufenden und die auslaufenden Lichtstrahlen verlängern. Die einzige Voraussetzung dafür,
dass die Metrik (18.47) wohldefiniert und invertierbar ist, ist offenbar, dass der Oberflächenradius der
Sphäre £
sein muss. Nun ist eine Funktion von q und O , und wie man leicht aus (18.48) entnimmt, ist
genau dann positiv, wenn q O £ | ist. Wir können also eine Kruskal-Szekeres-Karte § ±-O z µ definieren,
|
die den gesamten Bereich q O £
umfasst.
Das wollen wir uns wieder in einem Raum-Zeit-Diagramm ansehen. In Abbildung 18.3 ist die 2 q O 5 I
Ebene der Karte § ±-O z µ dargestellt. Da es sich um Lichtkegelkoordinaten handelt, sind die Achsen q
è
‘È;
|
und O
im Winkel von
liegt zwischen zwei Hyperbeln im
{ 4 dargestellt. Der Bereich q O £

‡
oberen bzw. unteren Quadranten. Bei q O
wird
, das heißt diese Stelle in der Raumzeit müssen
wir später noch einmal genauer untersuchen. Es gibt in der Kruskal-Szekeres-Karte § ±-O z µ offenbar zwei
solche Orte.
349
Der Teil der Karte, der auch von den Schwarzschild-Koordinaten abgedeckt wird, also der Bereich
q £ und O £ , ist der mit Z bezeichnete rechte
Quadrant. Dort sind die Koordinatenlinien von ) und å
eingezeichnet. Laut (18.48) ist eine Linie )
const eine Gerade in der 2 q O 5 -Ebene, die sich für ) ™
<
Í
å
der Achse O
nähert, und für ) ™
der Achse q
. Die Linien const sind Hyperbeln, die sich
für ™ „ð ebenfalls den beiden Lichtstrahlen q
und O
nähern.
Das sind, wie wir bereits festgestellt hatten, die beiden aus den Eddington-Finkelstein-Karten bekannten
Horizonte. Tatsächlich finden wir auch die Eddington-Finkelstein-Karten § ±-,/. â µ und § ±2,. ! µ in Abbildung 18.3 wieder. Sie sind Teilmengen der Kruskal-Szekeres-Karte § ±-O z µ . Die Karte § ±2,. â µ ist der in
Abbildung 18.3(a) hell unterlegte Bereich, bestehend aus den Quadranten Z und Z[Z . Ein von rechts, also
aus der Schwarzschild-Karte Z kommender einlaufender Lichtstrahl mit ö q
const passiert zuerst den
Horizont bei O
, tritt dann in den Bereich Z[Z ein, und endet schließlich bei
auf der Hyperbel im
oberen Quadrant.
Das ist genau das Verhalten, das wir von einem einlaufenden Lichtstrahl aus Abbildung 18.2(a) kennen. Der Quadrant Z\Z ist also das schwarze Loch. Aus diesem Bereich dringt, wie man leicht sieht, kein
Signal in den Bereich Z oder in irgendeinen anderen Bereich der Raumzeit. Da wir Lichtkegelkoordinaten verwenden, sehen die lokalen Lichtkegel in Abbildung 18.3 nämlich überal genau so aus wie im
Minkowski-Raum. Ein radialer Lichtstrahl läuft entweder in der Winkelhalbierenden nach links oder nach
rechts. Folglich endet jede in die Zukunft gerichtete lichtartige oder zeitartige Kurve im Bereich Z\Z zwangs
|
ù
weise auf der Hyperbel q O
, das heißt bei . Auch dieses Verhalten kennen wir bereits aus
Abbildung 18.2(a).
Die Karte § ±2,. ! µ aus Abbildung 18.2(b) ist in Abbildung 18.3(b) hell unterlegt. Hier sehen wir einen
é
auslaufenden Lichtstrahl mit O
const £
, der an der Stelle im Quadrant Z^] startet, dann den
Horizont bei q
durchquert, in die Schwarzschild-Karte eintritt, und schließlich im Quadrant Z im
å
unendlichen verschwindet. Wie man leicht aus (18.48) abliest, gilt für O
const £
und q ™
stets
å
å
r O const, so dass sich ein Lichtstrahl dort
) ™
und ș
. Wenn groß wird, gilt außerdem )
wieder wie im flachen Raum verhält.
Der Quadrant Z^] ist also der Bereich der Raumzeit, aus dem die Lichtstrahlen und die zeitartigen
Geodäten kommen, die wir in der Schwarzschild-Karte nicht beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen
konnten. Er hat genau dieselben Eigenschaften wie der Quadrant Z[Z , nur dass die Zeitrichtung umgekehrt
ist. Eine in die Zukunft gerichtete lichtartige oder zeitartige Kurve kann den Bereich Z^] verlassen, aber es
ist unmöglich, von außen in diesen Bereich hinein zu kommen. Statt dessen beginnt jede Weltlinie, wenn
x…
wir sie in die Vergangenheit verfolgen, auf der unteren Hyperbel q O
, also an einer Stelle mit .
Wir nennen diesen Bereich der Raumzeit ein weißes Loch.
Schließlich finden wir in Abbildung 18.3 noch einen vierten Bereich, nämlich den Quadrant Z\Z[Z , der
weder von den einlaufenden noch von den auslaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten erfasst wird.
Das ist offenbar die gesuchte Erweiterung, durch die die Raumzeit wieder ein Stück vollständiger wird.
Wir erinnern uns, dass es in der Karte § ±2,. â µ in Abbildung 18.2(a) Lichtstrahlen und zeitartige Geodäten
gab, die sich nicht beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen ließen, deren Fortsetzung aber auch nicht
Íå
„ð von innen an,
in der Karte § ±-,/. ! µ lag. Sie näherten sich für ) â™
dem Horizont bei erreichten ihn aber nie.
Einen solchen Lichtstrahl sehen wir in Abbildung 18.3(a) von links einlaufen. Er tritt an irgendeiner
é
Stelle in den Bereich Z\Z ein, also in die Karte § ±2,. â µ , und endet schließlich bei . Diesen unvollständigen Abschnitt des Lichtstrahls hatten wir auch in Abbildung 18.2(a) gesehen. Jetzt können wir ihn
beliebig weit in die Vergangenheit fortsetzen. Er kommt offenbar aus dem Bereich Z[Z[Z , und dieser Quadrant der Raumzeit sieht genau so aus wie der Bereich Z . Wir können dort sogar wieder die üblichen
Schwarzschild-Koordinaten ) und einführen. Wir ändern nur das Vorzeichen von ) , damit die Zeitkoor-
350
dinate dieselbe Richtung hat wie im Bereich Z ,
q
O I=GCHE
D
)
„ ð
E
q O wu
„ð v
=DCFE
u
„ ð
v
(18.49)
Die entsprechenden Koordinatenlinien sind in (18.3) im Bereich Z\Z[Z eingezeichnet. Ausgedrückt in den
Koordinaten 2 ) [ \ 5 nimmt die Metrik im Bereich Z[Z\Z wieder die übliche Schwarzschild-Form an, und
<
<
auch dieser Bereich ist durch zwei Horizonte q
und O
begrenzt.
Und schließlich sehen wir auch noch, warum die Horizonte selbst, wenn wir sie nur mit Hilfe der
Eddington-Finkelstein-Koordinaten beschreiben, unvollständige Lichtstrahlen sind. In Abbildung 18.3(a)
C
nur zur Hälfte erfasst. Die
sehen wir, dass die Eddington-Finkelstein-Karte §±-,/. â µ den Horizont O
Fortsetzung dieses Lichtstrahls in die Vergangenheit bildet die Begrenzung zwischen den Quadranten Z\Z[Z
und Z^] , also den Horizont des weißen Loches aus des Sicht eines Beobachters im Quadrant Z[Z\Z . Das gleiche
<
gilt für den Horizont q
, der von der Karte § ±2,. ! µ nur zur Hälfte erfasst wird.
Aufgabe 18.14 Man zeige, dass der Lichtstrahl (18.36), der in der Karte § ±2,. â µ den Horizont definiert
und unvollständig ist, in der Kruskal-Szekeres-Karte die folgende affine Parameterdarstellung hat und
somit vollständig ist,
q 2Z 5 Z f
O92 Z 5
32 Z 5 8[ G [
\
2Z 5
\
G
(18.50)
! µ , der jetzt die folgende Darstellung hat,
5 [6G 5 \ G
\ 2 Z
[ 2 Z
¾
(18.51)
Dasselbe gilt für den Lichtstrahl (18.37) in der Karte §±-,/.
q 2 Z 5 *
Z O62 Z 5
Das Wurmloch
Was bedeutet dieses Resultat nun physikalisch? Wir haben offenbar eine Raumzeit gefunden, die der Beschreibung des Gravitationsfeldes einer punktförmigen Massenverteilung am nächsten kommt. Die ma
teriefreie Einstein-Gleichung ist überall erfüllt, außer bei . Die Raumzeit ist asymptotisch flach,
das heißt es gibt einen Bereich, wo die Metrik näherungsweise durch die Minkowski-Metrik gegeben ist.
å
im Quadrant Z . Dort sieht die Raumzeit noch immer wie das Newtonsche
Das ist der Bereich ™
Gravitationsfeld eines Körpers der Masse aus.
Aber wo ist jetzt eigentlich die Weltlinie des Objektes, von dem das Gravitationsfeld erzeugt wird?
Sollte diese Weltlinie nicht bei sein? Die Linie ist aber gar keine zeitartige Kurve mehr,
sondern, wie man in Abbildung 18.3 unschwer erkennt, eine raumartige Kurve. Genau genommen sind
¡
es zwei raumartige Kurven in der Raumzeit, auf denen ist. Das Objekt, das das Gravitationsfeld
erzeugt, hat also eine sehr merkwürdige Form angenommen. Es ist gar nicht mehr klar, ob man überhaupt
noch von einem punktförmigen Körper reden kann.
ù
Es wäre also an der Zeit, die Struktur der Raumzeit in der Nähe der Stelle näher zu untersuchen. Wir werden das auch gleich tun. Aber zunächst gibt es noch eine zweite merkwürdige Beobachtung
zu machen. Was bedeutet eigentlich die Existenz des Quadranten Z[Z[Z ? Wir hatten bereits gesagt, dass der
Quadrant Z\Z , also das schwarze Loch, ein Bereich der Raumzeit ist, in den man aus dem Bereich Z eindringen kann, aus dem man aber nie wieder entkommen kann. Offensichtlich kann man aber nicht nur aus dem
Bereich Z , sondern auch aus dem Bereich Z\Z[Z in des schwarze Loch gelangen.
Es gibt also ein zweites Außen, und dieses hat genau die gleichen Eigenschaften wie das erste. Ein
Beobachter, der sich im Quadrant Z[Z\Z aufhält, macht dieselben Beobachtungen wie einer, der sich im
Quadrant Z aufhält. Für ihn sieht die Raumzeit weit draußen aus wie das Gravitationsfeld eines Körpers
der Masse . Er stellt fest, dass es einen Horizont gibt, hinter den er nur schauen kann, wenn er sich
selbst dorthin begibt, aber dann kann er von dort nicht zurück. Auch für ihn gibt es ein schwarzes Loch,
und ebenso ein weißes Loch, nämlich den Bereich Z^] .
351
§ ±-O z µ
UVUVU
UVU
UYX
§ ±PO z µ
(6)
(5)
U
Milchstraße
(4)
andere Galaxie
(3)
(2)
(1)
(b)
(a)
Abbildung 18.4: Die Kruskal-Szekeres-Raumzeit õ ±PO z µ besitzt zusätzlich zu den drei Killing-Vektoren
U
UVU
der sphärischen Symmetrie ein Killing-Vektorfeld, dessen Fluss (a) in den Bereichen und zeitartig,
UVU
UNX
auf den Horizonten lichtartig, und in den Bereichen und
raumartig ist. Folglich ist die Raumzeit
U
UWUVU
UWU
UNX
in den Bereichen und
statisch, während sie in den Bereichen und
räumlich homogen ist. Um
die globale Struktur der Raumzeit zu verstehen, kann man eine globale Blätterung (b) einführen, so dass
jedes Blatt eine raumartige Hyperfläche ist, die den Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt bezügliche
einer willkürlich gewählten Zeitkoordinaten _ repräsentiert. Die zu den raumartigen Hyperflächen (1–6)
gehörenden Geometrien sind in Abbildung 18.5 dargestellt.
Es gibt aber für die Beobachter in den Bereichen Z und Z[Z\Z keine Möglichkeit, miteinander Kontakt
aufzunehmen, obwohl sie in derselben Raumzeit leben. Die kausale Struktur der Raumzeit verhindert
das. Ein Signal aus dem Bereich Z\Z[Z kann niemals den Bereich Z erreichen und umgekehrt. Die beiden
Beobachter können sich nur treffen, wenn sie sich beide entschließen, in das schwarze Loch zu fallen.
Und sie müssen diesen Entschluss rechtzeitig treffen, denn sonst verpassen sie sich auch dort, das heißt
<
sie enden bei bevor sie sich getroffen haben.
Um diese merkwürdige globale Struktur der Raumzeit etwas anschaulicher zu machen, führen wir noch
einmal eine Raum-Zeit-Zerlegung durch. Allerdings werden wir nicht die Schwarzschild-Koordinate )
verwenden, die ja gar nicht auf der gesamten Raumzeit definiert ist. Statt dessen verwenden wir eine
willkürliche Blätterung, also eine Zerlegung der Raumzeit in eine Schar von raumartigen Hyperflächen,
wie sie in Abbildung 18.4(b) dargestellt ist. Die einzige Forderung, die wir an diese raumartigen Hyperflächen stellen, ist, dass sie in den Bereichen Z und Z\Z[Z für große näherungsweise zu Hyperflächen mit
) const werden.
Da wir ohnehin nur an einer qualitativen Beschreibung interessiert sind, spielt die genaue Definition
dieser Blätterung keine entscheidende Rolle. Wir stellen uns vor, die Hyperflächen seien die Flächen ª
å
const irgendeiner willkürlich gewählten Zeitkoordinate ª , so dass in den Bereichen Z und Z[Z\Z für ™
näherungsweise ª r ) ist. Sechs solche typischen Hyperflächen sind in Abbildung 18.4(b) eingezeichnet.
¡
Die Flächen (1) und (2) berühren die Stelle im Bereich Z^] , auf den Flächen (3), (4) und (5) ist
è
überall £
, und die Fläche (6) berührt schließlich die obere Hyperbel im Bereich Z[Z , also im
schwarzen Loch.
352
ªAG aussieht. Mit anderen Worten, was ist die GeoDie Frage ist nun, wie der Raum zu einer Zeit ª
metrie der gezeigten Flächen, und wie entwickelt sie sich mit der Zeit? Beginnen wir mit dem einfachsten
Fall, der Hyperfläche (4). Sie verläuft nur durch die Bereiche Z und Z\Z[Z und repräsentiert dort jeweils die
Y
Schwarzschild-Koordinatenfläche )
. Jeder Punkt auf der dargestellten Linie repräsentiert eine Kugelschale mit dem Oberflächenradius , wobei von links nach rechts zuerst auf „ð abfällt, und dann wieder
ansteigt.
Weit draußen handelt es sich einfach um einen flachen Raum. Allerdings gibt es zwei solche Regionen
“weit draußen”. Die raumartige Hyperfläche (4) hat besteht also aus zwei asymptotisch flachen Hyperebenen, die in der Mitte durch einen Hals mit dem Radius „ð miteinder verbunden sind. Eine solche Fläche
ist in Abbildung 18.5 dargestellt. Dort ist wieder eine Dimension unterdrückt, das heißt wir müssen uns
den Ring in der Mitte der Fläche (4) als eine Kugelschale vorstellen, und ebenso alle anderen Kreisringe,
die sich aus der Rotationssymmetrie der dargestellten Fläche ergeben.
Die Konstruktion der anderen Flächen in Abbildung 18.5 erfolgt entsprechend. Die Flächen (3) und (5)
unterscheiden sich von der Fläche (4) dardurch, dass der Hals dort etwas enger ist. Ein Teil der Fläche,
nämlich der jeweils dunkel dargestellte Bereich des Halses, liegt in den Bereichen Z[Z bzw. Z^] . Das ist in
Abbildung 18.4(b) erkennbar, und das ist auch der Grund dafür, dass der Hals enger ist. Der Oberflächenradius der Kugelschalen ist in den Bereichen Z[Z und Z^] kleiner als „– .
Die Fläche (2) berührt gerade die Stelle , das heißt dort schnürt sich der Hals in der Mitte zu
*
einem Punkt zusammen. Die Flächen (1) und (6) liegen schließlich an dem Rand der Karte bei an,
so dass die beiden Teile des Raumes nur noch an einem unendlich dünnen Faden zusammen hängen. Wie
wir gleich sehen werden, ist dieser Faden sogar unendlich lang, so dass wir eigentlich von zwei getrennten
Räumen sprechen können.
Wenn wir nun die zeitliche Entwicklung des Raumes in Abbildung 18.5 betrachten, so ergibt sich folgendes Bild. Am Anfang haben wir zwei asymptotisch flache Räume, wobei jeder für sich für einen Beobachter weit draußen so aussieht wie das gewöhnliche Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen Sterns.
Daran ändert sich auch im Laufe der Zeit nichts, denn für einen Beobachter weit draußen ist die Welt statisch. Das einzig ungewöhnliche ist, dass es nun zwei solche Welten gibt, die zunächst nichts voneinender
wissen.
Das Objekt, welches offenbar das Gravitationsfeld erzeugt, sitzt in einer Art Spitze in der Mitte des
Raumes. Dort ist die Raumzeit aber nicht statisch. Die Geometrie des Raumes ändert sich mit der Zeit.
Die Spitze verformt sich, und plötzlich öffnet sich ein Durchgang, der eine Verbindung von einem Universum zu einem anderen Universum herstellt. Das Loch erreicht eine maximale Größe, die gerade dem
Schwarzschild-Radius Çnz des Gravitationsfeldes entspricht. Dann schließt es sich wieder. Schließlich
bleibt in beiden Teilen des Universums wieder eine Spitze im Raum zurück.
Wir nennen dieses merkwürdige Phänomen ein Wurmloch. Es stellt für eine gewisse Zeit eine Verbindung zwischen zwei Universen her, die sonst nichts miteinander zu tun haben. Wäre die ganze Situation
statisch, so könnte man durch das Wurmloch von einem Universum ins andere gelangen. Das geht aber
nicht, wie wir aus der Darstellung in Abbildung 18.3 wissen, denn es gibt keine zeitartige Kurve, die
die Quadranten Z und Z\Z[Z , also die beiden Seiten des Wurmlochs miteinander verbindet. Das Öffnen und
Zusammenziehen des Wurmlochs geht so schnell, dass es nicht möglich ist, mit einer Geschwindigkeit
kleiner als Eins hindurch zu schlüpfen.
Würden wir versuchen, den Schlund mit einem Raumschiff zu durchqueren, so würde dieser sich so
schnell wieder zusammenziehen, dass wir darin gefangen wären und schließlich in dem unendlich dünnen
Faden enden würden, der die beiden Teile verbindet. Wir werden auch diesen Vorgang gleich noch etwas
genauer diskutieren. Das Wurmloch stellt also eine Verbindung zwischen zwei sonst unzusammenhängenden Teilen des Raumes dar, aber wir können es nicht benutzen, um Nachrichten hindurch zu schicken,
oder um selbst in den anderen Teil zu gelangen. Es taugt also nicht für Reisen in unbekannte Welten,
selbst wenn es uns gelingen würde, ein solches Wurmloch herzustellen.
353
(1)
(3)
(2)
(4)
Milchstraße
(5)
andere Galaxie
(6)
Abbildung 18.5: Die raumartigen Hyperflächen (1–6) aus Abbildung 18.4(b). Der Raum besteht zunächst
aus zwei voneinader getrennten Bereichen, die jeweils für sich das Gravitationsfeld einer punktförmigen
Masse Ó beschreiben. Im Zentrum des Gravitationsfeldes öffnet sich dann ein Wurmloch, welches die
beiden Universen miteinander verbindet. Es schließt sich anschließend wieder, und zwar so schnell, dass
es unmöglich ist, hindurch zu kommen.
Aufgabe 18.15 Die zwei Teile des Raumes müssen nicht zwei verschiedene Universen sein. Sie können
auch in verscheidenden Gegenden eines Universums liegen. Man stelle sich vor, im Zentrum der Milchstraße befände sich der Eingang zu einem Wurmloch, dessen anderer Eingang sich im Zentrum der
Andromeda-Galaxie befindet. Wie weit wäre dann die Andromeda-Galaxie von hier entfernt? Könnte man
auf diese Weise Zeitmaschinen bauen, indem man ein Wurmloch installiert, dessen Eingang an der eine
Stelle es Universums liegt, und dessen Ausgang an einer anderen Stelle, aber fr üher in der Zeit liegt?
Der kollabierende Stern
Angefangen hatten wir unsere Überlegung damit, dass wir das Gravitationsfeld eines kugelsymmetrischen
Himmelskörpers berechnet haben. Davon sich wir nun ein wenig abgekommen, und haben statt dessen
die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit als Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie
diskutiert. Wir konnten sie auf den gesamten Bereich £
fortsetzen und hatten argumentiert, dass sie
•
deshalb das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers beschreibt, der auf einen Oberflächenradius ÇtG
geschrumpft ist. Nun haben wir festgestellt, dass ein solches Objekt gar nicht mehr durch eine zeitartige
Weltlinie in der Raumzeit beschrieben werden kann.
Statt dessen ist es offenbar erforderlich ist, einen zweiten asymptotisch flachen Raum einzuführen, und
aus dem Objekt wird ein Wurmloch, welches die beiden Teile des Raumes miteinander verbindet. Das
klingt alles etwas merkwürdig. Es stellt sich daher die Frage, ob ein solches Wurmloch wirklich entsteht,
wenn ein Stern, aus welchen Gründen auch immer, kleiner als sein Schwarzschild-Radius Çpz wird. Wir
wollen versuchen, einen wenigstens halbwegs realistischen Prozess zu beschreiben, bei dem ein Stern
kollabiert, weil er seiner eigenen Gravitation nicht mehr widerstehen kann.
Wie wir wissen, ist ein Stern nur so lange stabil, wie der Druck im Innern ausreicht, um die Gravitation
auszugleichen. In einer Newtonschen Sprache muss die Kraft, die durch den Gradienten des Druckes
erzeugt wird, die Gravitationskraft ausgleichen. Nun hatten wir in Kapitel 15 bereits gezeigt, dass der
¥ Do; 5
Druck im Innern unendlich groß sein müsste, wenn der Radius Ç|G des Sterns kleiner als 2
354
2
¥ D¦ 5
Çjz
ist. Was also passiert mit einem Stern, der kleiner als dieser kritische Radius wird.
Ein solcher Stern kann offenbar nichts anderes tun als weiter in sich zusammen zu fallen. Betrachten
wir zum Beispiel das folgende, wieder stark vereinfachte Szenario. Der Brennstoff für die Kernreaktion im
Innern des Sterns ist verbraucht. Der Stern kühlt ab, so dass der Druck nachlässt. Nehmen wir an, dass der
Druck im Bereich der Oberfläche praktisch auf Null abfällt. Dann beginnen die Gase an der Oberfläche
des Sterns frei zu fallen. Das heißt, die Oberfläche des Sterns bewegt sich auf einer zeitartigen Geodäte in
Richtung Zentrum, und oberhalb bleibt nur noch leerer Raum zurück.
Die Geodäte, auf der sich die Sternoberfläche bewegt, ist genau von der Art, wie wir sie am Anfang
dieses Kaptitels diskutiert haben. Es ist eine Geodäten, die in der Schwarzschild-Karte § ± z µ unvollständig
ist. Wenn wir auf der Oberfläche des Sterns eine Uhr platzieren, die mit dem Stern zusammen in die
Tiefe fällt, so wird diese Uhr eine endliche Zeit anzeigen, wenn die Oberfläche den Schwarzschild-Radius
erreicht hat, obwohl inzwischen unendlich viel Schwarzschild-Zeit ) vergangen ist.
Danach kann es nichts mehr geben, was den Stern von einem weiteren Kollaps abhält, selbst wenn
sich im Stern wieder ein Druck aufbaut. Jedes einzelne Teilchen des Sterns folgt einer zeitartigen Kurve.
Insbesondere gilt das für die Teilchen an der Oberfläche. Diese aber “sehen” die Metrik, die auch außerhalb des Sterns gilt, wenn wir davon ausgehen, dass die Metrik stetig ist. Also sehen diese Teilchen die
Schwarzschild-Metrik, fortgesetzt in den Bereich ö†„ð . Dort hat aber jede zeitartige Kurve, also nicht
nur jede Geodäte, die Eigenschaft, dass in Richtung Zukunft abnimmt.
Ein kugelförmiger Stern, der einmal kleiner als sein Schwarzschild-Radius geworden ist, wird auf jeden
Fall zu einem punktförmigen Objekt kollabieren, völlig unabhängig davon, aus welcher Art von Materie
er besteht. Das ganze geschieht sogar in einer endlichen Eigenzeit, gemessen an der Oberfläche des Sterns,
wie wir gleich noch zeigen werden. Nach einer endlichen Eigenzeit ist die Oberfläche zu einer unendlich
<
kleinen Fläche geschrumpft. Nichts anderes bedeutet , denn bezeichnet der Oberflächenradius einer
Sphäre.
Da außerhalb des Sterns die Metrik eine Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum ist, gilt dort alles
in diesem Kapitel gesagte. Insbesondere gibt es, nachdem der Stern kollabiert ist, ein schwarzes Loch
und einen Horizont, hinter den man von außen nicht schauen kann. Aber bildet sich dann auch ein weißen
Loch? Und was heißt überhaupt nachdem der Stern kollabiert ist? Da sich unsere bisherigen Betrachtungen
stets auf die ganze Raumzeit bezogen haben, sollten wir etwas vorsichtig sein, wenn wir von zeitlichen
Begriffen wie vorher und nachher sprechen.
Tatsächlich bildet sich nämlich beim Kollaps eines Sterns nur ein schwarzes, aber kein weißes Loch.
Und es ist auch kein zweites Universum notwendig, um die Raumzeit als ganzes zu beschreiben. Wir
können also kein Wurmloch herstellen, indem wir einfach nur sehr viel Materie in einem kleine Bereich
des Raumes konzentrieren. Die Begründung dafür ist in Abbildung 18.6 dargestellt.
Die Diagramme zeigen jeweils denselben Vorgang, nämlich den Kollaps eines Sterns unter seiner eigenen Gravitation, und zwar von einem Stadium beginnend, in dem der Radius des Sterns noch etwas größer
als der Schwarzschild-Radius ist. Betrachten wir zuerst die Darstellung in Schwarzschild-Koordinaten in
Abbildung 18.6(a). Wir können uns das Diagramm nach unten fortgesetzt denken, und dabei annehmen,
dass der Stern vorher stabil war. Außerhalb des Sterns gilt die Schwarzschild-Metrik, innerhalb des Sterns
im wesentlichen die Metrik, die wir in Abbildung 15 für einen Stern konstanter Dichte hergeleitet haben.
Nun beginnt der Stern, in sich zusammen zu fallen, wobei die Oberfläche entlang einer zeitartigen
Geodäte radial nach innen fällt. Da wir diese Geodäte in der Schwarzschild-Karte nicht bis zu dem Ereignis
verfolgen können, in dem sie die Stelle „ð passiert, sehen wir diesen Vorgang nur unvollständig. Der
Stern scheint bei
„ð einzufrieren und nicht weiter zu schrumpfen. Genau dieses Verhalten hatten wir
auch für ein frei fallendes Teilchen gefunden. Es dauert, gemessen in der Schwarzschild-Zeit ) , unendlich
lange, bis der Stern den Oberflächenradius „ð erreicht hat.
Wenn wir jedoch den gleichen Vorgang in Abbildung 18.6(b) betrachten, dargestellt in einlaufenden
Eddington-Finkelstein-Koordinaten, dann sehen wir dieses Ereignis und damit auch den vollständigen
355
o
au
Li sla
ch ufe
tst
n
ra de
hl
en
auf e
nde
Lic
htst
rah
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a
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ak
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`a
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Milchstraße
U
andere Galaxie
t
on
rK
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tz
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t
on
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le
o
b
hf gFi
UVU
t
on
rK
te
tz
le
`a
Li
b
Horizont
Horizont
Horizont
lk
j
(c)
Abbildung 18.6: Der Kollaps eines Sterns, dargestellt in Schwarzschild- (a), einlaufenden EddingtonFinkelstein- (b) und Kruskal-Szekeres-Koordinaten (c). Die gestrichelten Linien sind jeweils die Linien
eines konstanten Oberflächenradius ” der Kugelschalen. Die Schwarzschild-Karte ist unvollständig. Weder das Ereignis, an dem die Sternoberfläche den Horizont passiert, noch das Ereignis, bei dem der Stern
punktförmig wird, ist in der Karte enthalten. Die beiden anderen Karten sind vollständig.
Vorgang. Nach einer endlich langen Zeit erreicht die Oberfläche des Sterns den Schwarzschild-Radius
Çyz
„ð . Ein Lichtstrahl, der die Oberfläche in diesem Moment radial nach außen verlässt, kann nicht
mehr entkommen. Er wird an dieser Stelle eingefroren. Zusammen mit allen anderen Lichtstrahlen, die die
Sternoberfläche in diesem Moment verlassen, bildet er den Horizont.
Der Horizont entspringt aber schon früher. Verfolgen wir diese Lichtstrahlen nämlich in die Vergangenheit, so haben sie einen gemeinsamen Ursprung im Mittelpunkt des noch existierenden Sterns. Ein
masseloses Teilchen, das sein Leben in diesem speziellen Ereignis im Mittelpunkt des Sterns beginnt,
schafft es gerade noch an die Oberfläche, um dann aber festzustellen, dass es quasi zu spät ist, um dem
schwarzen Loch zu entkommen, das sich gerade bildet.
An diesem Ereignis kann zum letzten Mal ein Beobachter von außen mit einer Station auf der Sternoberfläche Kontakt aufnehmen. Zwar erreicht auch ein später ankommendes Signal noch die Station, aber
sie könnte keine Antwort mehr nach außen abschicken. Die Sternmaterie selbst ist von diesem Moment an
f
gezwungen, einer zeitartigen Kurve zu folgen, und wird schließlich bei enden.
Ein Beobachter, der außerhalb des Horizontes bleibt, bekommt davon aber nichts mit. Er sieht in etwa
folgendes. Nehmen wir an, der Stern leuchtet noch immer, oder sendet
õ zumindest regelmäßig ein paar
Photonen aus. Regelmäßig heißt, dass in gleichen Eigenzeitabständen ª von der Oberfläche des Sterns
ein Photon einer bestimmten Frequenz ó¾G emittiert wird. Es ist klar, dass nur die Photonen den Beobachter
erreichen können, die abgeschickt werden, bevor der Stern hinter dem Horizont verschwindet.
Nun treten aber zwei Phänomene auf, die dazu führen, dass der Stern von außen betrachtet praktisch
schwarz wird. Zum einen wird die Koordinatenzeit immer größer, die das Photon benötigt, um von der
Sternoberfläche zum Beobachter zu gelangen. Sie divergiert schließlich, wenn die Oberfläche den Horizont erreicht,
õ denn von dort braucht ein Photon unendlich lange, um nach draußen zu gelangen. Die Zeitdifferenz ) , die ein ruhender Beobachter weit draußen zwischen zwei ankommenden Photonen misst,
356
wird also immer größer.
Gleichzeitig divergiert aber auch der Rotverschiebungsfaktor, denn für ™ „ð geht die Zeitkomponente der Metrik gegen Null. Ein später ausgesandtes Photon gleicher Frequenz kommt beim Beobachter
mit einer niedrigeren Frequenz an als ein früher ausgesandtes. Ein Astronom, der den Stern beobachtet,
wird also feststellen, dass sein Spektrum immer weiter ins Rote verschoben wird, und dass gleichzeitig
seine Intensität sehr schnell abnimmt. Irgendwann wird ihn das letzte Photon erreichen, und dann ist der
Stern schwarz.
Dort, wo vorher der Stern war, ist jetzt nur noch ein schwarzes Loch. Der Stern ist selbst nicht mehr in
der Lage, zu leuchten. Die Rotverschiebung ist sehr groß, und zudem hat er kurz vor dem Passieren des
Horizontes einfach zu wenig Zeit, um noch genug Strahlung auf den Weg zu schicken, um seine Umgebung
wie bisher zu beleuchten. Er kann auch kein Licht mehr reflektieren, denn ein Lichtstrahl von außen, der
nach dem letzten Kontakt eintrifft, verschwindet ebenfalls unwiderruflich hinter dem Horizont. Aus der
Richtung des ehemaligen Sterns dringt also kein Licht zu uns.
Und wo ist nun das weiße Loch und das Wurmloch? Es ist, wie schon erwähnt, gar nicht da. Betrachten
wir dieselbe Situation noch einmal in Abbildung 18.6(c), dargestellt in Kruskal-Szekeres-Koordinaten.
Auch diese können wir innerhalb des Sterns so fortsetzen, dass alle radialen Lichtstrahlen auf Winkel
const bzw.
halbierenden laufen. Wir müssen dazu nur die ein- und auslaufenden Lichtstrahlen mit q
O const bis zum Mittelpunkt des Sterns verlängern, und diese Linien zu Koordinatenlinien erklären. Die
Oberfläche des Sterns wird dann, während des Kollaps, durch eine zeitartige Geodäte beschrieben, die aus
¡
?|
dem Quadrant Z in den Quadrant Z\Z fällt und schließlich bei auf der oberen Hyperbel q O
endet.
Nun ist es aber so, dass die Kruskal-Szekeres-Metrik nur rechts von dieser Linie gilt, während sich
links die Sternmaterie befindet. Es gibt also gar keine Quadranten Z[Z\Z und Z^] , und damit auch kein weißes
Loch, kein Wurmloch und kein zweites Universum. Die Bereiche Z[Z[Z und Z^] existieren nur in einer formalen Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum, aber sie können nicht dynamisch aus einer realistischen
Anfangsbedingung erzeugt werden. Wenn wir viel Masse in einem kleinen Bereich des Raumes konzentrieren, können wir zwar ein schwarzes Loch erzeugen, aber wir können kein Wurmloch herstellen, das
uns den Zugang zu irgendeiner anderen Seite ermöglicht.
In diesem Fall ist der Übergang zu Kruskal-Szekeres-Koordinaten sogar überflüssig, denn die
Eddington-Finkelstein-Karte §±2,. â µ in Abbildung 18.6(b) ist bereits vollständig. Der Grund dafür ist
ganz einfach. Als wir uns die Lösung der Einstein-Gleichung im Vakuum angeschaut haben, mussten wir
feststellen, dass es in der Karte § ±2,. â µ Geodäten gibt, die wir nicht beliebig weit in die Vergangenheit
verlängern konnten. Das waren zum Beispiel die auslaufenden Lichtstrahlen in Abbildung 18.2(a).
Nun gibt es dieses Problem nicht mehr. Wenn wir nämlich die auslaufenden Lichtstrahlen in die Vergangenheit verfolgen, dann werden sie alle irgendwann auf den Stern treffen, zu einer Zeit, als dieser noch
vorhanden war. Davor verhalten sich die Lichtstrahlen so, wie wir dies ausführlich in Kapitel 17 diskutiert
haben. Dort gab es keine Probleme mit unvollständigen Geodäten. Wir konnten jede lichtartige und jede
zeitartige Geodäte beliebig weit in die Vergangenheit oder in die Zukunft verlängern. Das Problem tritt
erst auf, wenn es einen Horizont gibt. Aber der entsteht ja erst beim Kollaps des Sterns.
Aufgabe 18.16 Wir nehmen an, dass der Stern, während er durch den Horizont fällt, ein bestimmtes Spektrum von elektromagnetischen Wellen radial nach außen sendet. Ein Astronom weit draußen beobachtet
dieses und stellt fest, dass sich das Spektrum mit der Schwarzschild-Zeit ) ver ändert. Und zwar findet er
einen exponentiell ansteigenden Rotverschiebungsfaktor (15.59)
› 2)5
T T
G
T
G
4
357
=GCHE
D
„
)
X
E
(18.52)
sowie eine exponentiell abfallende Strahlungsleistung des Sterns
3
=
2)5
Man zeige, dass zwischen der “ -wertszeit”
X „– besteht.
menhang
X
4
=GCHE
D
)
X
(18.53)
E
und der Masse
des kollabierenden Sterns der Zusam-
Aufgabe 18.17 Die Sonne kollabiert zu einem schwarzen Loch. Gerade sehen wir sie noch mit ihrer ge;
wohnten Leistung stahlen. Wie lange dauert es, bis sie nur noch die Strahlungsleistung einer W-Gl ühbirne aufbringt?
Aufgabe 18.18 Natürlich wird die Strahlung eines Sterns nicht nur radial nach außen emittiert, sondern
von der Oberfläche in alle Richtungen des Raumes. Was bedeutet das für das gemessene Spektrum in
Aufgabe 18.16?
Aufgabe 18.19 Das letzte Photon, das ein Astronom von einem kollabierenden Stern auff ängt, wurde sehr
wahrscheinlich nicht bei r „ð emittiert, sondern bei r
. Warum?
Aufgabe 18.20 Wenn ein schwarzes Loch vor einem leuchtenden Hintergrund steht, zum Beispiel vor einem dichten Feld von Sternen oder einem Gasnebel, dann sieht man es als schwarze Scheibe vor dem
leuchtenden Hintergrund. Wenn die Masse des schwarzen Loches und Ÿ F der Abstand des Beobachters ist, wie groß ist dann die schwarze Scheibe, die der Beobachter am Himmel sieht?
Symmetrien und Killing-Vektoren
Wir wissen also jetzt, dass ein schwarzes Loch durch den Kollaps eines Sterns entstehen kann, dass dabei
aber kein weißes Loch und kein Wurmloch entsteht. Die einzige Frage, die noch offen ist, ist die nach
der Struktur der Raumzeit bei . Dazu ist es sinnvoll, doch noch einmal die maximal erweiterte
Kruskal-Szekeres-Raumzeit § ±PO z µ zu betrachten, und ihre Symmetrien zu analysieren. Sie werden uns
später helfen, zu verstehen, was mit einem Testkörper passiert, der sich der Stelle nähert.
Ausgangspunkt von allem war der Versuch, eine Raumzeit zu konstruieren, die frei von Materie, kugelsymmetrisch und statisch ist. Nun haben wir mit der Kruskal-Szekeres-Raumzeit § ±-O z µ eine Lösung der
Einstein-Gleichung ohne Materie, die offensichtlich noch immer kugelsymmetrisch ist. Wir können das
dadurch zum Ausdruck bringen, dass wir die folgenden drei Killing-Vektoren angeben,
¦
# ÞßÕà
\
Ώ] ãaähg
[
ãgäHÞ
\
Î b ¦
&
ãaäHÞ
\
Ώ] ãaähg
[
Þßáà
\
Î b ¦
Î b (18.54)
Sie erzeugen die Drehungen der Kugelschalen, die an jedem Punkt 2 q O 5 in Abbildung 18.3 sitzen. Dass
es sich dabei um Killing-Vektoren, also um die Erzeuger von Isometrien handelt, folgt unmittelbar aus der
Form der Metrik, die noch immer das sphärische Linienelement ' [ &
j Þßáà & [ ' \ & enthält, und ansonsten
nicht von [ und \ abhängt. Deshalb ist eine simultane Rotation aller dieser Kugelschalen ein Symmetrie
der Raumzeit.
Aber wie sieht es mit der zweiten Eigenschaft aus? Ist die Raumzeit noch statisch? Wir hatten schon
bei der Einführung der Eddington-Finkelstein-Koordinaten festgestellt, dass dies nicht der Fall ist. In einer
statischen Raumzeit muss es möglich sein, an einem Ort im Raum still zu stehen, während sich der Raum
in nicht verändert. Es sollte als möglich sein, auf einer Kugelschale mit einem konstanten Radius zu
bleiben. Das ist aber für ö˄ð , nicht möglich. Also ist die Raumzeit dort sicher nicht statisch.
Heißt das nun, dass die Raumzeit im Bereich Z[Z weniger Symmetrien hat als im Bereich Z , wo die
Schwarzschild-Metrik gilt? Um das festzustellen, betrachten wir das zu den Zeitverschiebungen ) ˜™ )
j
358
Î annimmt.
gehörende Killing-Vektorfeld, das in der Schwarzschild-Metrik die einfache Form ¦[G
M
Natürlich ist der Vektor Î nur im Bereich Z der Kruskal-Szekeres-Raumzeit definiert, denn nur dort gibt
M
es die Koordinate ) .
Aber das heißt nicht, dass wir das Killing-Vektorfeld ¦G nicht in die anderen Bereiche fortsetzen können.
b
Wir müssen es nur durch die Basisvektoren Îqp undb ÎFr ausdrücken,
Î ¦"G
M
b
b
q HÎ p
j
)
š HÎ r )
(18.55)
Dazu brauchen wir die Koordinatentransformation
(18.48).b Leiten b wir diese Gleichungen jeweils nach
b
b
ab, so ergibt sich
b
b
b
b
O
b
Daraus lesen wir ab, dass
b
q q
)
q q
; )
b
b
O q O
)
„ –
q
O
O
O ; )
|
O <
)
q
) j
"G
¦
q
;
ÎHp ; O
)
(18.56)
ÎHr (18.57)
Dieses Vektorfeld ist offenbar für q O £
, also auf der ganzen Kruskal-Szekeres-Raumzeit wohldefiniert.
Die Flusslinien dieses Vektorfeldes sind in Abbildung 18.4(a) dargestellt. Es sind genau die Linien, auf
denen der Oberflächenradius der dort sitzenden Kugelschalen konstant ist. In den Lichtkegelkoordinaten
2 q O 5 haben sie die gleiche Struktur wie die Flusslinien einer zweidimensionalen Lorentz-Transformation
in Abbildung 11.3(b). Aber natürlich ist unsere Raumzeit alles andere als ein flacher Minkowski-Raum.
Die Ähnlichkeit ist allein durch die spezielle Wahl der Koordinaten bedingt und daher eher ein Zufall.
Welche physikalische Bedeutung hat nun das Killing-Vektorfeld ¦$G ? Im Bereich Z der SchwarzschildKarte ist die Raumzeit stationär, und ¦G ist der Erzeuger einer Zeitverschiebung. Wir könnten das, wenn
Î
wir es nicht schon wüssten, aus der Tatsache ablesen, dass ¦$G
dort ein zeitartiges Vektorfeld ist,
ð
„ "G ¦"G Î M Î M ‚ MºM
¦
Ë
ö
M
für
£ „– (18.58)
Um festzustellen, welcher Art das Killing-Vektorfeld in den anderen Bereichen der Raumzeit ist, berechnen wir die Norm von (18.57),
q
"G ¦"G „ ;
ÎHp ÎHr ¦ q O
&
HÎ r
Hier haben wir verwendet, dass Îsp ÎHp
¦
;
O
„ ð
‚ Dp r q O ÎHr 
=GCHE
u
„ –
v
„ð ËH
(18.59)
ist, denn die Koordinatenlinien von q und O sind
lichtartig. Ferner haben wir die Metrik (18.47) benutzt, sowie die Beziehung (18.48).
Natürlich ist das Ergebnis das gleiche wie vorher, schließlich haben wir nur die Norm eines Vektorfeldes
.
in zwei verschiedenen Koordinatensystemen ausgerechnet. Die zweite Rechnung gilt aber für alle £
Daraus folgt, dass das Killing-Vektorfeld ¦G in den Bereichen Z und Z\Z[Z der Raumzeit zeitartig ist, während
es in den Bereichen Z[Z und Z^] , also innerhalb des schwarzen und des weißen Lochs, raumartig ist. Und auf
den Horizonten, also den Rändern dieser Bereiche, ist es lichtartig.
Was heißt das nun für den Bereich Z[Z , der uns besonders interessiert, und somit für die Umgebung der

Stelle ? Offenbar ist dort das Killing-Vektorfeld ¦G raumartig, genau wie die drei anderen KillingVektorfelder ¦ # , ¦ und ¦ auch. Daher ist die Raumzeit dort nicht symmetrische unter Drehungen und
&
Zeitverschiebungen, sondern unter Drehungen und räumlichen Verschiebungen. Sie ist dort nicht statisch,
sondern räumlich homogen.
Um das etwas deutlicher zu machen, führen wir noch ein letztes Mal ein neues Koordinatensystem ein.
Diesmal eins, das nur den Bereich Z[Z innerhalb des schwarzen Loches abdeckt. Wir nennen die Koordinaten
359
2»ª œ›S [ C \ 5 , wobei ª
die Zeit- und 2 › [ \ 5 die Ortskoordinaten sein sollen. Im Prinzip definieren wir diese
Koordinaten genau wie die Schwarzschild-Koordinaten im Bereich Z , nur dass wir die jetzt Orts- und
Zeitkoordinate miteinander vertauschen und ein paar Vorzeichen ändern. Wir setzen
q I
=GCHE ué›
O
„ð v
q O
u
ª
„ ð
j
v
=DCHE
u
ª
„ ð
v
(18.60)
Formal geht diese Transformation aus (18.48) hervor, wenn wir dort ) durch › und durch ª ersetzen. Da
| q
ö
O
ö
im Bereich Z[Z
gilt, folgt daraus für den Definitionsbereich der neuen Koordinaten „ð ö
Íå
å
ªŠö und
ö › ö
. Der Grund für diese etwas merkwürdige Wahl des Definitionsbereiches wird
gleich klar werden.
Um die Metrik in den neuen Koordinaten 2·ª › [ \ 5 darzustellen, müssen wir die Schritte von den
Kruskal-Szekeres-Koordinaten zurück zu den Schwarzschild-Koordinaten gehen. Das Ergebnis bekommen wir natürlich am einfachsten, indem wir auch in der Schwarzschild-Metrik formal ) durch › und durch ª ersetzen. Das ergibt
'Sî &
x
D
!$#
„ð Ë
ª
E
D
„ð Ë
ª
' ª & j
E
' › & j ª &2 ' [8& j Þßáà &/[ ' \ & 5
(18.61)
Die Betragsstriche haben wir deshalb eingesetzt, damit aus der Darstellung unmittelbar deutlich
D , wird,
ª
ist für
dass ª eine Zeitkoordinate ist, während › eine räumliche Koordinate ist. Der Ausdruck „ð „ð ö¤ª÷ö positiv.
Das Vorzeichen von ª haben wir so gewählt, dass die Zeit in die richtige Richtung läuft. Da wir uns
in Bereich Z\Z stets zu kleineren Radien hin bewegen, stimmt das mit der Richtung der Zeitkoordinate
è ª
überein. Mit anderen Worten, auf einer in die Zukunft gerichteten Kurve nimmt ª monoton zu,
wie es für eine Zeitkoordinate sein sollte.
In Abbildung 18.7 ist die Metrik (18.61) in einem Raum-Zeit-Diagramm dargestellt. Da ª auf einen
endlichen Bereich beschränkt ist, ergibt sich ein in › -Richtung unendlich ausgedehnter Streifen endlicher
Breite. Der obere Rand dieses Streifens bei ª
entspricht der Hyperbel q O
in der Kruskal

Szekeres-Karte, und der untere Rand entspricht dem Horizont bei q
oder O
. Das Verhalten der
lokalen Lichtkegel entnehmen wir aus der Metrik (18.61). Für radiale Lichtstrahlen, also für solche mit
f
' [
und ' \
, gilt
'Sî &
*
D
!$#
„ð Ë
' ª& j
E
ª
D
‘ å
|
gilt ' › ' ª ™
D
„ð Ë
ª
E
' ›&
B
' › Y‘
' ª
D
„– Ë
ª
E
!$#
(18.62)
„ð Für ª ™
, das heißt dort werden die Lichtkegel sehr flach. Im unteren Teil des
D
Diagramms verlaufen die Lichtstrahlen also fast waagerecht. Für ª ™
haben wir ' › ' ª ™
, das heißt
dort werden die Lichtkegel sehr spitz, so dass die Lichtstrahlen im oberen Teil des Diagramms sehr steil
verlaufen.
Das hat unter anderem zur Folge, dass es wieder Ereignisse ü und ý gibt, die keine gemeinsame Zukunft
<
haben. Die von ihnen ausgehenden Lichtstrahlen treffen sich nicht, bevor sie bei ª
ankommen. Dieses
hâ
Verhalten kennen wir schon aus Abbildung 18.2(b). Der dortige Bereich
ö†„ð hinter dem Horizont ist
natürlich genau der Bereich Z\Z , also der mit der neuen Karte erfasste Teil der Raumzeit in Abbildung 18.7.
Wir können jetzt die Symmetrien der Raumzeit in diesem Bereich unmittelbar aus der Metrik ablesen.
Tatsächlich ist der Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt ª
const homogen. Wenn wir nämlich die
induzierte dreidimensionale Metrik auf einer solchen Hyperfläche betrachten,
'Sî &
D
„ð Ë
ª
E
' › & j ª &Á2 ' [8& j Þ_ßÕà &C[ ' \ & 5 360
(18.63)
Õ _ t
â
÷
ÓUÚ
÷
Å
ly
â
ý
ÓÚ
Milchstraße
andere Galaxie
ü
_
Õ
"
ð
Ù
Ó
UVU
Abbildung 18.7: Der Bereich innerhalb des schwarzen Loches ist räumlich homogen, aber nicht stað
tisch. Die lokalen Lichtkegel werden für _u$ " Ó flach, so dass ein Lichtstrahl dort fast waagerecht
UVUVU
verläuft. Ein von links einlaufender Lichtstrahl kommt in Abbildung 18.3 aus dem Bereich , ein von
U
rechts einlaufender Lichtstrahl kommt dort aus dem Bereich . Für _v$ werden die Lichtkegel sehr
spitz, so dass dort praktisch jede zeitartige zu einer Kurve mit Ù Õ const wird.
so beschreibt diese einen in › -Richtung unendlich
ausgedehnten Zylinder, dessen Querschnitt eine Kuge
loberfläche mit dem Oberflächenradius ª ist.
Ein solcher Raum hat als Isometrien die Drehungen der Sphäre und die Verschiebungen entlang der
Zylinderachse, also die Abbildungen › ˜™ ›
j . Damit können wir jeden Punkt des Raumes auf jeden
anderen abbilden. Der Raum sieht somit an allen Orten gleich aus. Die zu diesen Symmetrien gehörenden
Î ž
Killing-Vektorfelder sind die Vektoren ¦ # , ¦ und ¦ für die Drehungen, und der Vektor ¦G
für die
&
&
Verschiebungen, der in den neuen Koordinaten wieder eine sehr einfache Darstellung hat.
Wir stellen also fest, dass die Raumzeit hinter dem Horizont noch immer die gleiche Anzahl an Symmetrien hat, dass sich deren physikalische Interpretation dort aber ändert. Außerhalb des Horizontes ist
die Raumzeit statisch und kugelsymmetrisch. Hinter der Horizont ist sie dagegen kugelsymmetrisch und
räumlich homogen. Dass sie nicht mehr statisch ist, folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass der Raum
zu jeder Zeit ª eine andere Geometrie hat.
Der Oberflächenradius der Sphäre, die den Querschnitt des
Zylinders definiert, nimmt nämlich mit ª ab.
Aufgabe 18.21 Man führe ähnliche Koordinaten im Bereich
dieses Bereiches der Raumzeit, sowie dessen Symmetrien.
Die Singularität
Z^] ein und diskutiere die kausale Struktur
Jetzt können wir endlich zu der schon mehrmals aufgeschobenen Frage kommen, was denn nun bei ,
¡
passiert. Können wir die Raumzeit vielleicht doch noch
bzw. in unseren neuen Koordinaten bei ª
361
w Çyx
w Çzx Ð æfÎ 
w Çzx Ð Œ ΍
Ç x Œ Ð
{Î 
w z
Ç x
w z
Фå
Î
Milchstraße
andere Galaxie
Œ ФÏ
Î
w
Ç
Œ
Abbildung 18.8: Der Raum zu verschiedenen Zeiten vor der Singularität bei _ Õt . Er hat die Form eines
unendlich ausgedehnten Zylinders, dessen Querschnitt schrumpft, während er gleichzeitig in die Länge
gezogen wird.
einmal fortsetzen, oder müssen wir dort mit ihrer Unvollständigkeit leben? Ist sie überhaupt unvollständig?
Wir betrachten dazu die räumliche Metrik (18.63) im Grenzfall ª ™
. Wir hatten gesagt,
dass der Raum
ein unendlich ausgedehnter Zylinder ist, dessen Querschnitt eine Sphäre vom Radius ª ist. Offenbar geht
der Querschnitt dieses Zylinders für ª ™
gegen Null, während der Zylinder gleichzeitig in õ die Länge
­
gezogen wird. Der metrische Abstand zweier Punkte im Raum mit dem Koordinatenabstand › ist
,
õ
„ð ’ ™ å
für ª ™
(18.64)
ª
!$#Ý
Dieser Abstand divergiert für ª ™
wie ª
& . Eine anschauliche Darstellung dieses Vorgangs istõ in
Abbildung 18.8 gegeben. Es ist jeweils ein Teil des Raumes, der einem festen Koordinatenabstand ›
entspricht, zu verschiedenen Zeiten ª dargestellt. Wie üblich fehlt eine Dimension, so dass der Querschnitt
des Zylinders nicht als Kugelschale, sondern als Kreisring erscheint. Für ª ™
wird das Stück des
™
Raumes, das wir betrachten, immer enger und dafür immer länger. Für ª
zieht sich der Zylinder
schließlich zu einer unendlich langen Linie zusammen.
¢
­
›
Für einen massiven Testkörper, der sich der Stelle
nähert, hat dieses Verhalten der Geometrie
des Raumes dramatische Konsequenzen. Aus der Struktur der lokalen Lichtkegel in Abbildung 18.7 ent
jede zeitartige Geodäte zu einer Kurve › r const wird, denn die Lichtkegel
nehmen wir, dass für ª ™
werden dort sehr spitz. Daraus folgt, dass sich jedes einzelne Atom eines massiven Körpers in der letzten
<
Phase vor der Ankunft bei ª
praktisch auf einer Kurve mit ›
const bewegen muss.
#
Zwei unmittelbar benachbarte Atome, die sich zu einem Zeitpunkt ª
ª im Abstand von einem
Ångström befinden, haben zu einem späteren Zeitpunkt ª einen Abstand von einem Meter, und zu einem
beträgt der Abstand schon ein & Lichtjahr. Schließlich nimmt dieser Abstand mit
noch
späteren
Zeitpunkt
ª
!$#Ý
ª
des sphärischen Querschnitts des Raumes mit ª &
& weiter zu. Gleichzeitig nimmt die Oberfläche
Ý
ab, so dass das Volumen des Körpers mit ª
& gegen Null geht. Der Körper wird also in eine Richtung
gestreckt, während er in die beiden anderen Richtungen des Raumes gestaucht wird, und sein Volumen
wird dabei immer kleiner.
Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass das alles in einer endlich langen Eigenzeit passiert, um die
<
<
Dramatik der Ereignisse in der Nähe von oder ª
deutlich zu machen.
Aufgabe 18.22 Gegeben sei eine in die Zukunft gerichtete zeitartige Kurve im schwarzen Loch, also im
362
Bereich Z[Z der Raumzeit, der durch die Karte in Abbildung 18.7 abgedeckt wird. Es muss sich dabei nicht
=
um eine Geodäte handeln. Man zeige, dass die Eigenzeit dieser Kurve kleiner als ist.
=
Also ist jede zeitartige Kurve, die ganz im Bereich Z[Z der Raumzeit liegt, kürzer als . Wenn sich ein
Astronaut unvorsichtigerweise in den Bereich hinter dem Horizont begibt, dann bleibt ihm höchstens noch
ù
diese Zeit zu leben, bevor er sich der Stelle ª
nähert und dort auf die gerade beschriebene Weise
zerlegt wird. Und das ist natürlich auch die maximale Zeit, die ein Stern noch existieren kann, nachdem er
seinen eigenen Horizont durchquert hat, und bevor er zu einem Punkt geschrumpft ist.
Wir schließen daraus, dass kein realistisches Objekt eine Annäherung an die Singularit ät der Metrik bei
è
bzw. überleben kann. Jedes solche Objekt wird in seine Bestandteile zerlegt. Wir werden
ª
diesen Vorgang gleich noch etwas genauer beschreiben. Für jeden praktischen Zweck erübrigt sich damit
die Frage, ob die Raumzeit dahinter noch weiter geht oder nicht. Denn allein aus der kausalen Struktur
der Raumzeit in der Umgebung von ª
folgt bereits, dass kein räumlich ausgedehntes Objekt eine
Annäherung an diese Stelle überleben kann.
Aber heißt das, dass die Raumzeit dort wirklich endet? Wenn ein ausgedehnter Körper eine Annäherung
nicht übersteht, heißt das noch nicht, dass wir eine Geodäte das mathematisches
an die Stelle ª
Konzept nicht vielleicht doch fortsetzen können. Das ist wäre zwar ein naheliegender Schluss, aber streng
genommen haben wir noch nicht bewiesen, dass das nicht geht. Wir können es aber beweisen. Allerdings
müssen wir dazu ganz anders vorgehen als bisher.
Bisher haben wir immer nur bewiesen, dass sich die Raumzeit an der einen oder anderen Stelle fortsetzen lässt. Das konnten wir tun, indem wir geeignete Koordinaten eingeführt haben, aus denen das unmittelbar und explizit hervor geht. Ungleich schwieriger ist es jedoch, zu beweisen, dass es solche Koordinaten
nicht gibt. Wir werden deshalb den Beweis, dass es keine Fortsetzung der Raumzeit bei ª
gibt, in
einer koordinatenunabhängigen Weise führen. Was wir zeigen wollen, ist, dass es keine metrische Mannigfaltigkeit §
die die Kruskal-Szekeres-Raumzeit als echte Teilmenge enthält, und in der
0†§ ±-O z µ gibt, <
wir Geodäten über die Stelle ª
hinaus fortsetzen können.
^ 5
±
O
Dazu folgende Vorüberlegung. Nehmen wir an, es gäbe eine solche Raumzeit §
Ë
0
§
z µ , und 2 Z sei
<
eine Geodäte, oder irgendeine andere glatte Kurve, die die Stelle ª
passiert. Ferner sei `¾2]V 5 ein glattes
^ 55
À
À
5
skalares Feld auf § . Dann ist `¾2 Z
`¾2
2 Z natürlich eine glatte Funktion ™
. Daraus wollen
wir einen Widerspruch konstruieren. Sei also § eine Mannigfaltigkeit mit den genannten Eigenschaften.
Dann setzen wir
`
Ç
ÉðÇ Lg`d É
(18.65)
Lg`d
Das ist ein skalares Feld, das auf jeder wohldefinierten metrischen Mannigfaltigkeit glatt ist, denn es
^
handelt sich um eine Funktion der Metrik und ihrer Ableitungen. Nun sei 2 Z 5 eine glatte Kurve auf § ,

die an irgendeiner Stelle, sagen wir Z
, bei ª
ankommt. Dann sollte 2 Z 5 zumindest stetig sein,
und 2 5 sollte eine reelle Zahl sein.
Aufgabe 18.23 Man berechne der Krümmungstensor zur Metrik (18.61), und zeige, dass
å
Ç Lg`d É Ç Lg`d É
;¦
í & ª
(18.66)
Es gilt also `¾2 Z 50™
für Z ™
. Das ist ein Widerspruch zur Stetigkeit von ` , also kann es die gesuchte Mannigfaltigkeit §
nicht geben. Die Kruskal-Szekeres-Raumzeit ist zwar geodätisch unvollständig,
aber es ist die maximale Erweiterung der Schwarzschild-Raumzeit als Lösung der Einstein-Gleichung im
materiefreien Raum.
Wir sagen, dass an der Stelle ª
oder eine Krümmungssingularität vorliegt. Im Gegensatz
zu einer Koordinatensingularität, wie sie bei „– in der Schwarzschild-Metrik vorliegt, ist an einer
363
Krümmungssingularität die Raumzeit wirklich zu Ende. Dort enden Geodäten nach einer endlichen affinen Länge, aber trotzdem können wir die Raumzeit nicht fortsetzen, weil dort eine skalare Funktion des
Krümmungstensors divergiert.
Aufgabe 18.24 Warum ist es unbedingt notwendig, eine skalare Funktion des Kr ümmungstensors] ž zu
ž betrachten? Warum genügt es nicht, zu zeigen, dass eine bestimmte Komponente, zum Beispiel Ç ] , für
divergiert, wenn man zeigen will, dass es dort keine Fortsetzung der Raumzeit gibt?
ª ™
In einem gewissen Sinne sagt hier die allgemeine Relativitätstheorie die Grenzen ihrer eigenen Gültigkeit voraus. Es ist völlig offen, was in der Nähe einer Krümmungssingularität wirklich passiert. Vielleicht
gilt die allgemeine Relativitätstheorie nicht mehr, wenn die Krümmung sehr groß wird. Vielleicht spielen Quanteneffekte, die sonst im Rahmen der Gravitationstheorie völlig ausgeblendet werden, dort eine
entscheidende Rolle, so dass die Physik eine völlig andere ist.
Da es bis heute keine konsistente Quantentheorie der Gravitation gibt, können wir diese Fragen nicht
beantworten. Wir wissen also nicht, was wirklich am Ende des Kollaps eines Sterns passiert. Wir wissen
auch nicht, ob die Raumzeit wirklich irgendwo endet. Wir wissen nur, dass die allgemeinen Relativitäts
<
theorie uns nicht sagt, was passiert, nachdem ein punktförmiges Teilchen bei ª
angekommen ist, oder
was mit der Wellenfunktion eines quantisierten Teilchens dort passiert. Es gibt im Rahmen dieser Theorie
gar kein danach. Die Zeit endet bei ª
.
Dass wir eigentlich eine Quantentheorie zur Beschreibung heranziehen müssten, wenn wir uns der Singularität nähern, zeigt folgende Überlegung. Quanteneffekte können in der Gravitationstheorie meist verúh
! ~ G
„ „
nachlässigt werden, weil das Plancksche Wirkungsquantum aus Aufgabe 18.1 mit
m&
sehr klein ist im Vergleich zu den Skalen, mit denen wir es in der Astronomie zu tun haben. Das ist aber
offensichtlich dann nicht mehr der Fall, wenn wir uns in unmittelbarer Nähe der Singularität in einem
schwarzen Loch befinden. Dort wird der Querschnitt des in Abbildung 18.8 gezeigten Raumes beliebig
klein, also auch kleiner als die durch
úû
C­
îG| µ ƒ
ú
H "! } m
Ž
(18.67)
gesetzte, sogenannte Planck-Länge. Es ist deshalb völlig unklar, was passiert, wenn ein Stern bei seinem
Kollaps diese Ausdehnung erreicht, und die Krümmung in seiner Umgebung von der Größenordnung der
Planck-Länge wird.
Wir sollten aber feststellen, dass daraus nicht etwa folgt, dass es vielleicht keine schwarzen Löcher
gibt. Der Horizont entsteht nämlich lange bevor die Krümmung diese Größenordnung erreicht, bei der
wir der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr ohne weiteres trauen können. So ist zum Beispiel der
Schwarzschild-Radius Çnz eines gewöhnlichen Sterns sehr viel größer als die Planck-Länge î}| µ , das heißt
dort gilt die klassische Physik noch in sehr guter Näherung. Lokal sieht die Raumzeit dort ganz normal
aus. Ein frei fallender Beobachter, der den Schwarzschild-Radius passiert, macht an dieser Stelle keine
besonders ausfälligen Beobachtungen.
Es sind also nur die Vorgänge in der unmittelbaren Nähe der Singularität, die sehr wahrscheinlich nicht
korrekt durch die allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden. Aber dorthin können wir ohnehin
nicht schauen, wenn wir ein schwarzes Loch von außen betrachten. Alles, was wir sonst über schwarze Löcher gesagt haben, folgt allein aus der Einstein-Gleichung, die wir solange als gültig akzeptieren
können, wie die Krümmung klein ist im Vergleich zur Planck-Skala (18.67), und aus dem Äquivalenzprinzip, wonach alle Naturgesetze als Tensorgleichungen formuliert werden können.
Es gibt also keinen Grund, an der Existenz von schwarzen Löchern mit den hier beschriebenen Eigenschaften zu zweifeln, wenn man nicht die allgemeine Relativitätstheorie als ganzes in Zweifel ziehen will.
Einige Beobachtungen deuten darauf hin, dass es solche Objekte wirklich gibt. Allerdings ist bisher noch
kein schwarzes Loch wirklich als solches nachgewiesen worden. Jedes in Frage kommende Objekt könnte
364
¥ Do;
5 sein. Einzig ein sehr großes
im Prinzip ein dunkler, aber stabiler Stern mit einem Radius ÇÈG r 2
schwarzes Loch, dessen Masse ein vielfaches einer typischen Sternmasse ist, ließe sich direkt nachweisen. Möglicherweise befindet sich ein solches schwarzes Loch im Zentrum der Milchstraße, wo es ständig
größere Mengen von Sternen verschluckt.
Aufgabe 18.25 Welche Masse muss ein schwarzes Loch haben, damit seine Oberfl äche
ist? Man verschaffe sich eine anschauliche Vorstellung von dieser Masse.
; =
Çjz &
ú
Gezeitenkräfte
Zum Schluss wollen wir noch einmal einen etwas allgemeineren Aspekt diskutieren, der im Zusammen
hang mit der Annäherung an die Singularität bei als physikalische Frage auftaucht. Wir hatten
gesehen, dass allein auf Grund der kausalen Struktur der Raumzeit in der Umgebung von ein ausgedehnter Körper, aus welchem Material er auch besteht, in seine Bestandteile zerlegt wird. Das gilt letztlich
auch für die Atome, aus denen er besteht, für die Nukleonen, die Quarks, und was auch immer danach
folgen mag, jedenfalls solange wir die allgemeine Relativitätstheorie als gültig akzeptieren.
Aber wie sollen wir uns diesen Vorgang genau vorstellen? Offenbar muss es eine Kraft geben, die
größer ist jede denkbare Bindungskraft zwischen den Komponenten eines zusammengesetzten Objektes.
Sie bewirkt, dass jedes Objekt schließlich in seine Bestandteile zerlegt wird. Oder andersherum formuliert,
die Bindungskräfte zwischen der Teilen eines zusammengesetzten Objektes müssten beliebig groß werden,
wenn sie verhindern sollen, dass das Objekt zerlegt wird.
Wir wollen versuchen, zunächst ganz allgemein die Bewegung eines ausgedehnten Körpers in einer
gekrümmten Raumzeit zu beschreiben, um zu sehen, wie diese Kräfte entstehen. Stellen wir uns dazu
die in Abbildung 18.9(a) dargestellte, vereinfachte Situation vor. Ein Testkörper bewegt sich frei fallend
durch die Raumzeit. Er besteht aus zwei Teilchen der Masse , die sich in einem Abstand „~ voneinander
befinden, wobei dieser Abstand im lokalen Ruhesystem des Körpers gemessen wurde. Jeder Körper hat
also einen Abstand vom Schwerpunkt.
Wenn wir die beiden Teilchen nicht aneinander koppeln, dann läuft jedes für sich auf einer zeitartigen
Geodäte. Das hat im allgemeinen zur Folge, dass sich ihr Abstand ändert, denn nur im flachen Raum sind
Geodäten zueinander parallel. Der Körper wird sich also verformen. Der Abstand der Teilchen ändert
sich, und wenn wir noch mehr Teilchen hinzu nehmen würden, würden sich auch deren relative Positionen
zueinander verändern. Um den Körper “in Form” zu halten, müssen auf die einzelnen Teilchen Kräfte
wirken.
Diese Kräfte werden Gezeitenkräfte genannt. In der Newtonschen Gravitationstheorie tritt eine Gezeitenkraft immer dann auf, wenn das Gravitationsfeld inhomogen ist. Dann wirken auf die verschiedenen
Teilchen in einem ausgedehnten Körper verschiedene Kräfte, so dass selbst dann noch Kräfte übrig bleiben, wenn wir die Schwerpunktbewegung des Körpers durch den Übergang zu einem frei fallenden Be
zugsystem eliminieren. Die Kraft , die auf ein Teilchen wirkt, ist dann in erster Näherung, das heißt
für kleine Abstände , eine lineare Funktion des Abstandsvektors vom Schwerpunkt. Die Matrixdarstellung dieser Abbildung ist im wesentlichen die zweite Ableitung des Gravitationspotentials, also dessen
Inhomogenität.
Aufgabe 18.26 Wir betrachten die Situation in Abbildung 18.9(a) im Rahmen der klassischen Mechanik.
Wir wählen ein (beschleunigtes, nicht rotierendes) Bezugsystem, in dem der Schwerpunkt des K örpers in
Ruhe ist. Man zeige, dass dann auf ein Teilchen der b Masse
am Ort 2 þ (relativ zum Schwerpunkt) die
b
Kraft
* 2
b b
þ v
1
22&5
(18.68)
N
N v j€
wirkt, wobei
N v 1 am Schwerpunkt des Körpers auszuwerten ist. Die Kraft setzt sich aus der Gravitationskraft und der Scheinkraft im beschleunigten Bezugsystem zusammen. Der K örper muss diese Kraft
365
„
„
…
2‚ ƒ
‚
‚
¬
„~
-
Milchstraße
andere Galaxie
¬
-
(b)
(a)
Abbildung 18.9: In einen inhomogenen Gravitationsfeld treten Gezeitenkräfte auf. Besteht ein ausgedehnter, frei fallender Körper aus zwei Teilchen (a), so müssen auf die beiden Teilchen, wenn der Körper
sich nicht verformen soll, entgegengesetzte Kräfte wirken. Die Kräfte sind proportional zur Masse  der
Teilchen und zu ihrem Abstand † vom Schwerpunkt. In einem Raum-Zeit-Diagramm (b) erscheinen die
Weltlinien der Teilchen als eine Schar ‡ðÓ7_HÖWˆÚ von parallelen, zeitartigen Kurven. Ein Parameter ˆ bestimmt die Weltlinie, und _ repräsentiert die Eigenzeit auf jeder Weltlinie. Für jedes _ und jedes ˆ gibt es
eine 4-Geschwindigkeit ‰ und einen Abstandsvektor Š zur infinitesimal benachbarten Weltlinie. Nur die
Weltlinie des Schwerpunktes bei ˆ Õt ist eine Geodäte. Alle anderen Weltlinien sind beschleunigt.
durch Bindungskräfte ausgleichen, damit er seine Form behält.
Aufgabe 18.27 Warum heißen diese Kräfte Gezeitenkräfte?
In der allgemeinen Relativitätstheorie müssen wir die Situation ein wenig anders beschreiben, weil es
dort den Begriff der Gravitationskraft nicht gibt. Nehmen wir zunächst wieder an, wir hätten zwei nicht
aneinander gekoppelte Teilchen, die sich dicht nebeneinander und relativ zueinander in Ruhe befinden.
Wenn beide frei fallen, werden sie beginnen, sich relativ zueinander zu bewegen. Denn die Weltlinie jedes
Teilchens ist eine zeitartige Geodäte, und Geodäten sind im gekrümmten Raum im allgemeinen nicht
zueinander parallel.
Das ist also in der allgemeinen Relativitätstheorie der Grund dafür, dass Gezeitenkräfte auftreten. Wenn
die Teilchen ihren Abstand beibehalten sollen, dann muss auf sie eine zusätzliche Kraft wirken, das heißt
die Teilchen müssen beschleunigt werden. Was wir im folgenden berechnen werden, ist deshalb nicht
die Gravitationskraft, die es nicht gibt, sondern die ausgleichende Bindungskraft, die nötig ist, um einen
Körper in Form zu halten.
Wir betrachten dazu das in Abbildung 18.9(b) dargestellte Raum-Zeit-Diagramm. Dort ist eine Schar
von zeitartigen Weltlinien dargestellt. Jede Weltlinie wird eindeutig durch eine reelle Zahl 2 identifiziert,
und auf jeder Weltlinie führen wir die Eigenzeit ª als Parameter ein. Wir können die Schar von Weltlinien
^
À
daher als eine Funktion 2·ª 2 5 von & in die Raumzeit § auffassen.
Wir stellen uns vor, dass jedes 2 ein Teilchen repräsentiert. Wir können dann, wie üblich, die 4-
366
Geschwindigkeit ¬
2·ª 2 5
des Teilchens 2 zur bZeit ª definieren,
q L
bT
ª
L
¬
x…
¬
(18.69)
Da ª die Eigenzeit entlang der Weltlinie ist, ist dies ein zeitartiger Einheitsvektor.
Wir wollen ferner verlangen, dass die Teilchen relativ zueinander ruhen. Das soll heißen, dass die 4Geschwindigkeiten zweier infinitesimal benachbarter Teilchen gleich sind. Allerdings müssen wir, bevor
wir zwei Vektoren an verschiedenen Orten vergleichen können, diese erst parallel verschieben. Gleichheit
b Ableitung von  2Ȼ 2 5 nach 2 verschwindet,
der 4-Geschwindigkeiten bedeutet also,b dass die kovariante
b
q L
2
^ 5
jËÄ L `d 2 q `
bT
2
d (18.70)
Wenn wir (18.69) einsetzen, können wir das als eine Differentialgleichung zweiter Ordnung schreiben, die
^
b
b
die Funktion 2·ª 2 5 zu erfüllen hat, b
b Tb
bT bT
d & L
^ 5 `
(18.71)
2 jËÄ L `_d 2
2
ª
ª
b Abstand zwischen zwei infinitesimal benachbarWenn wir einen Abstandvektor -…2»ª 2 5 einführen, der den
ten Teilchen misst,
bT
L
þ L
(18.72)
2 b
dann können wir (18.71) auch wie folgtb schreiben,
b
bT
d f
^ 5
þ L
L `d 2 þ `
(18.73)
Ë
j
Ä
ª
ª
Der Abstandsvektor -…2»ª 2 5 wird entlang der Weltlinien der Teilchen parallel transportiert. Das ist nur
eine andere Formulierung derselben physikalischen Aussage, dass zwei infinitesimal benachbarte Teilchen
relativ zueinander ruhen.
Zusätzlich zu der Differentialgleichung (18.71) können wir noch eine Anfangsbedingung vorgeben, zum
^
Beispiel bei 2
. Wir wollen verlangen,
b dass die Weltlinie 2»ª 5 eine zeitartige Geodäte ist. Das heißt,
es soll gelten
b
q$L
^ 5 q q L
` d / G
2
(18.74)
j Ä `d
ª Ë
‹
Ferner soll der Abstandsvektor -…2·ª 5 ein räumlicher Einheitsvektor im Ruhesystem des Teilchens mit
2 sein. Er soll also senkrecht zu ¬2·ª 5 stehen und den Betrag Eins haben,
H
¬
- - (18.75)
/‹ G
‹ / G
Das ist mit der Forderung (18.73) verträglich, denn die Skalarprodukte von parallel transportierten Vektoren sind konstant.
^ Wir können also 2 5 als Anfangspunkt, ¬ 2 5 als zeitartigen Einheitsvektor, und -…2 5 als dazu
senkrechten raumartigen Einheitsvektor beliebig vorgeben. Die Geodätengleichung bestimmt dann die
^
Weltlinie 2·ª 5 und die Funktion ¬2·ª 5 als deren Ableitung. Dann können wir den Vektor -…2 5
entlang dieser Kurve parallel transportieren und erhalten die Funktion -…2·ª 5 . Diese Funktionen setzen
wir als Anfangsbedingungen bei 2
in (18.71) ein, und erhalten so eine eindeutige Lösung dieser
Differentialgleichung, zumindest für einen endlichen Bereich der Variablen ª und 2 .
^ In eine physikalische Sprache übersetzt haben wir folgendes getan. Wir haben den Ort 2 5 und
5
die 4-Geschwindigkeit ¬2 eines (in eine Dimension) ausgedehnten Testkörpers vorgegeben. Ferner
367
haben wir seine Lage im Raum durch den Vektor -…2 5 festgelegt. Dann haben wir verlangt, dass sich
ù
ein bestimmter Punkt innerhalb des Testkörpers, nämlich das Teilchen mit 2
, auf einer zeitartigen
Geodäte bewegt, also frei fällt. Nennen wir diesen Punkt der Schwerpunkt des Körpers.
Ferner haben wir verlangt, dass der Testkörper nicht rotiert. Der Vektor -t2»ª 5 , der seine Lage im Raum
zur Zeit ª beschreibt, soll kovariant konstant bezüglich ª sein. Als Ergebnis haben wir eine Funktion
^
2·ª 2 5 bekommen. Sie liefert für jedes Teilchen 2 die Weltlinie als Funktion der Eigenzeit ª . Jetzt müssen
wir nur noch ausrechnen, welche Kraft auf das Teilchen 2 wirken muss, damit es genau dieser Weltlinie
folgt.
^
Dazu fassen wir noch einmal die Eigenschaften der Funktion 2·ª 2 5 zusammen. Die Ableitungen definieren die 4-Geschwindigkeit ¬ 2·ª 2 5 und denb Abstandsvektorb -…2·ª 2 5 ,
q L
bT
ª
L
þ L
bT
2
L (18.76)
Für diese gilt, dass ¬ 2»ª 2 5 in 2 -Richtung parallel transportiert wird, während -…2·ª 2 5 in ª -Richtung parallel
transportiert wird. Das können wir wie folgt mit Hilfe von kovarianten Richtungsableitungen schreiben,
q L > L þ ` S
(18.77)
^
Da wir als Anfangsbedingung vorgegeben haben, dass 2»ª 5 eine zeitartige Geodäte ist und somit ¬ 2»ª 5
ein zeitartiger Einheitsvektor ist, folgt aus der ersten Gleichung dass auch ¬ 2·ª 2 5 für alle 2 ein zeitartiger
Einheitsvektor ist. Denn ¬2·ª 2 5 wird in 2 -Richtung parallel transportiert, also ist die Länge von ¬ 2»ª 2 5
^
konstant. Daraus folgt unter anderem, dass für alle Weltlinien 2·ª 2 5 der Parameter ª die Eigenzeit ist.
þ L
> q <
L `
Aufgabe 18.28 Warum gelten die Beziehungen (18.75) im allgemeinen nicht f ür alle 2 ?
Jetzt ist es nicht mehr schwierig, die Beschleunigung üP2·ª 2 5 zu berechnen, die das Teilchen
erfährt. Es ist die kovariante Ableitung der 4-Geschwindigkeit nach der Eigenzeit, also
Ê L q d > q L d
zu Zeit
ª
(18.78)
Wir wollen diese näherungsweise für kleine 2 berechnen. Natürlich ist ü(2»ª 5
2 ist eine Geodäte. Was uns interessiert, ist demnach die Ableitung von
berechnen also die kovariante Richtungsableitung
þ `
2
> Ê > q > q 5
L
`
þ
`
` 2 d d L
ü
, denn die Kurve mit
nach 2 bei 2
. Wir
(18.79)
Nun gilt laut (18.77), dass ¬ in Richtung - konstant ist, also
þ `
> Ê > > q q
L
`
d
þ
`
` d L
(18.80)
Wir vertauschen die kovarianten Ableitungen und erhalten
þ `
> Ê > >
É ` L þ ` q d d ` q L j þ ` q d Ç L É ` d q
(18.81)
Der erste Term verschwindet, denn aus (18.77) folgt
Also ist
> >
>
>
<
þ ` q d d ` q L q d d ·2 þ ` ` q L 5
b
b
>` Ê ` Ê L
^ 5 Ê L d L
^
þ `
þ
Ç É ` d 2 5 þ ` q d q É
2
jËÄ L ` d 2
368
(18.82)
(18.83)
b
<
Diese Beziehung gilt für alle 2 . Wenn wir sie für 2
bÊ
2
L ^
Ç L É ` d 2 5 þ ` q d q É
2 
auswerten, ergibt sich
ÊL B
2
^
2 5 Ç L É ` d 2 5 þ ` q d q É Œ
2
j  &
(18.84)
Für ¬ und - sind jetzt die Werte bei
einzusetzen, und dort ist auch der Krümmungstensor auszuwerten.
In führender Ordnung ist die Beschleunigung ü , die ein Teilchen in einem frei fallenden, aber ausgedehnten Testkörper erfährt, demnach proportional zum Krümmungstensor und zum Abstandsvektor 2 des Teilchens vom Schwerpunkt. Der Schwerpunkt ist dabei als derjenige Punkt im Testkörper definiert,
der sich auf einer zeitartigen Geodäte bewegt. Die Kraft, die auf das Teilchen wirkt, ist dann natürlich
 *ü .
Damit haben wir eine physikalisch sehr anschauliche Bedeutung des Krümmungstensors gefunden. Er
bestimmt die Druck- und Scherkräfte, die in einem ausgedehnten Körper auf Grund der Inhomogenität des
Gravitationsfeldes entstehen. Solche Kräfte treten nur dann auf, wenn die Raumzeit tatsächlich gekrümmt
ist. Wenn der Krümmungstensor verschwindet, so entspricht das im klassischen Bild einem homogenen
Gravitationsfeld. In diesem Fall treten keine Gezeitenkräfte auf, da wir das Gravitationsfeld laut Äquivalenzprinzip durch den Übergang zu einem frei fallenden Bezugsystem wegtransformieren können.
Wie groß sind diese Kräfte? Betrachten wir dazu die folgende, spezielle Situation. Ein Testkörper fällt
aus dem unendlichen auf ein kugelsymmetrisches Gravitationszentrum zu. Er folgt also einer radialen,
zeitartigen Geodäte in der Schwarzschild-Metrik. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass der
Drehimpuls Null ist, und die Energie des Körpers soll gerade so bemessen sein, dass er im unendlichen
in Ruhe ist. Für die Komponenten seines Impulses, dargestellt in Schwarzschild-Koordinaten, gilt dann an
jeder Stelle der Weltlinie
D
¼
a
!$#
­ „– ] <
¼
¼
b
(18.85)
E
å
Das folgt allein aus den folgenden Tatsachen. Erstens ist ¼ eine Erhaltungsgröße, die für Y™
M
gleich der Energie des ruhenden Teilchens ist, also . Zweitens sind ¼ ] und ¼ b gleich Null, weil sich das
« ! «Š
& , wodurch ¼ a bis auf das Vorzeichen
Teilchen auf einer radialen Bahn bewegt. Und drittens ist
¼ M
ñx„ð bestimmt ist, Das Vorzeichen wählen wir so, dass das Teilchen nach innen fällt. Es ist also gar nicht nötig,
die Geodätengleichung näher zu untersuchen.
Indem wir den Index nach oben ziehen und durch teilen, können wir aus (18.85) die 4Geschwindigkeit des Teilchens als Funktion des Ortes bestimmen. In Vektorschreibweise gilt dann
¬
Aufgabe 18.29 Man zeige, dass
D
ü/« «
!$#
ñ „ð &
E
und ¬
„ Î ­ ð
M
|
Î a
(18.86)
gilt.
¬
Auf den Testkörper wirken jetzt zwei Arten von Gezeitenkräfte. Das vordere Ende des Körpers, also der
Teil, der näher am Gravitationszentrum ist, will schneller fallen als der hintere Teil. Es muss also eine
Kraft in vertikale Richtung wirken, die den Körper zusammen hält, damit er nicht länger wird. Außerdem
wollen alle Teile des Körpers auf das Gravitationszentrum zu fallen, so dass der Körper in horizontale
Richtung eine Gegenkraft ausüben muss, damit er nicht zusammengedrückt wird.
Um diese Kräfte zu berechnen, definieren wir zwei raumartige Abstandsvektoren -BŽ Ž in radiale, also
vertikale Richtung, und -1 senkrecht dazu, also in horizontale Richtung. Welche horizontale Richtung wir
wählen, ist wegen der Kugelsymmetrie egal. Wir nehmen an, dass sich der Körper in der Äquatorebene
f=ÁD
befindet, also [
„ ist, und wählen die \ -Richtung. Die beiden Vektoren sind dann wie folgt gegeben,
Î
-#Ž Ž
a
j
D
ñ*„ð E
!$#
­ „ð 369
Î M
>
-
Î b (18.87)
Aufgabe 18.30 Man zeige, dass die Vektoren -Ž Ž und -‘ zueinander und zu ¬ senkrecht sind, und dass
es sich um raumartige Einheitsvektoren handelt. Sie bilden also im lokalen Ruhesystem des K örpers die
Basis eines zweidimensionalen Unterraumes des Raumes, wobei ein Vektor “nach oben” und des andere
“zur Seite” zeigt.
Jetzt können wir die Kraft berechnen, die auf ein Teilchen wirkt, das sich innerhalb des Testkörpers im
Abstand 2 oberhalb vom Schwerpunkt, also in Richtung des Vektors -BŽ Ž befindet. Wir benötigen dazu die
Formel (18.84), und natürlich die Komponenten des Krümmungstensors in Schwarzschild-Koordinaten.
Eine etwas längere Rechnung ergibt
p L ŽŽ ^
ð
„ ¡ 2 L
Ç L É ` d 2 5 ’þ Ž Ž`9q[d6q É j€ 2 2 & 5
þ“Ž Ž jŒ 2 2 & 5
Es wirkt also, wie erwartet, für positives 2 eine Kraft in Richtung -BŽ Ž . Ein Teilchen der Masse 2
(18.88)
oberhalb
des Schwerpunktes wird zusätzlich nach unten beschleunigt, damit es mit dem fallenden Körper Schritt
halten kann. Ein Teilchen unterhalb des Schwerpunktes, mit negativem 2 , wird entsprechend abgebremst,
damit es nicht zu schnell fällt.
Die gleiche Rechnung für den Vektor -1 ergibt
p
^
¡ 2
2 5 Ç L É _` d 2 5 9þ  ` q d q É j€ 2 2 & 5
(18.89)
þ L j€ 2 &
Diese Kraft wirkt in Richtung des Vektors -1 , das heißt der Körper wird durch sie auseinander gedrückt.
L
2
Ein Teilchen, dass sich seitlich im Körper befindet, erfährt eine Beschleunigung vom Schwerpunkt weg,
damit der Körper nicht kleiner wird.
Aufgabe 18.31 Man verifiziere die Ergebnisse (18.88) und (18.89). Welche Gezeitenkr äfte ergeben sich in
der Newtonschen Theorie?
Da -”Ž Ž und -‘ räumliche Einheitsvektoren im Ruhesystem des Körpers sind, können wir die Ausdrücke
(18.88) und (18.89) unmittelbar als die klassischen Kräfte interpretieren, die auf die Teilchen im Körper
einwirken. Wir finden also, dass auf ein Teilchen der Masse im Abstand •Ž Ž oberhalb des Schwerpunktes,
bzw. im Abstand % neben dem Schwerpunkt, die folgenden klassischen Kräfte wirken,
5
Was daran zunächst auffällt, ist, dass diese Größen für alle £ , und insbesondere bei „– ŽŽ
„ð ¢
sŽ Ž 
(18.90)
wohldefiniert sind. Das muss natürlich so sein, denn der Körper passiert diese Stelle in der Raumzeit, ohne dass
dort etwas besonderes passiert. Nur die Herleitung mit Hilfe der Schwarzschild-Koordinaten versagt an
dieser Stelle.
Aufgabe 18.32 Man führe dieselbe Herleitung mit Hilfe der einlaufenden Eddington-FinkelsteinKoordinaten durch und zeige, dass das Ergebnis auch für ö „ð richtig ist. Warum ist es dazu nicht
nötig, den Krümmungstensor nochmal als Funktion der Metrik und ihrer Ableitungen auszurechnen?
Um die Größenordnung der Kräfte abzuschätzen, genügt es, nur die radiale Kraft Ž Ž zu betrachten, die
sich von der senkrecht dazu wirkenden Kraft  nur um einen Faktor „ unterscheidet. Setzen wir zum
o;H
C
n
Beispiel die Masse und den Radius km der Erde ein, sowie kg und •Ž Ž
m,
xu¦È" { mm
D
!
so ergibt sich Ž Ž
Einheit für eine Kraft. Wir müssen
& kg m. Das ist eine
etwas
<ï;0amerkwürdige
A !"í
sie noch mit Ž & multiplizieren, dann ergibt sich Ž Ž
N. Auf einen Körper mit einer Ausdehnung
von einem Meter und einer Masse von einem Kilogramm wirkt auf der Erdoberfläche eine zwar kleine,
aber nicht unvorstellbar kleine Gezeitenkraft.
370
Nun betrachten wir einen Astronauten, der in ein schwarzes Loch fällt. Nehmen wir an, er ist etwa zwei
<
Meter groß und fällt mit den Füßen voran, für die wir eine Masse von jeweils kg annehmen, und die
n
sich sŽ Ž
m von seinem Schwerpunkt entfernt befinden. Welche Kräfte müssen seine Beine aufbringen,
um die Füße fest zu halten, während er gerade den Schwarzschild-Radius passiert? Es ist dann „ð D ;
5 . Wenn das schwarze Loch die Masse der Sonne H { [ m hat,
und folglich Ž Ž
s
Ž
Ž
2
&
û$ # G
ergibt sich Ž Ž
N. Es ist also sehr unwahrscheinlich, dass der Astronaut es schafft, seine Füße
solange bei sich zu behalten, bis er den Schwarzschild-Radius erreicht hat. Da dasselbe für seinen Kopf
gilt, wird er den Sturz bis dahin sicher nicht überleben.
Aufgabe 18.33 Wie groß muss ein schwarzes Loch etwa sein, damit ein Astronaut zumindest die Passage
des Schwarzschild-Radius überleben kann? Wie viele Sonnenmassen sind dafür erforderlich?
! Da die Gezeitenkräfte mit zunehmen, ist jetzt auch klar, was für ™
passiert, also in der Nähe
der Singularität. Im letzten Stadium des Falls eines ausgedehnten Körpers in ein schwarzes Loch müssten
die Gezeitenkräfte immer größer werden, um den Körper in Form zu halten. Da dafür aber nur begrenzte
Bindungskräfte zur Verfügung stehen, wird er irgendwann nachgeben. Dann fallen seine Bestandteile,
jedes für sich, auf Geodäten in Richtung |™
.
Wir können zur Beschreibung dieses Vorgangs auch das Koordinatensystem 2·ª œ› [ \ 5 aus Abbil
˜™ › aus den Schwarzschilddung (18.7) verwenden, das durch die formale Ersetzung ˜™
ª und
® )
Koordinaten hervorgeht. Kurz vor dem Fall in die Singularität bei ª
dann auf ein Teilchen der
D muss
Masse im Abstand qŽ Ž vom Schwerpunkt eine Kraft Ž Ž
„ð ¢IqŽ Ž ª wirken, um zu verhindern,
dass der Körper so wie der Zylinder in Abbildung 18.8 in die Länge
D gezogen wird.
ùI5 ª wirken, die verhindert, dass der Körper
Gleichzeitig muss senkrecht dazu eine Kraft 
zusammengequetscht wird, weil sich der Zylinder, der den Raum repräsentiert, immer mehr verengt. Dass
das nicht endlos so gehen kann, ist klar, denn irgendwann übersteigen diese Kräfte die möglichen Bindungskräfte, und dann wird der Körper eben doch verformt. Das passiert sogar lange bevor die kausale
Struktur bewirkt, dass die einzelnen Teile gar nicht mehr miteinender kommunizieren können.
Aufgabe 18.34 Ein Körper stürzt in ein schwarzes Loch, welches die Masse der Sonne hat, also { km. Bei welchem Radius werden die Atome des K örpers in Kerne und Elektronen zerlegt? Bei welchem
Radius werden die Kerne in Protonen und Neutronen zerlegt? Wieviel Zeit vergeht von diesem Moment

noch bis zur Ankunft bei , wenn wir annehmen, dass sich die Teilchen dann bereits auf Kurven
› const in dem Diagramm in Abbildung 18.7 bewegen?
19 Schwache Gravitationsfelder
Bis jetzt kennen wir im wesentlichen nur eine einzige Lösung der Einstein-Gleichung, nämlich die
Schwarzschild-Metrik mitsamt ihrer Fortsetzung ins Innere eines kugelförmigen Sterns, bzw. die KruskalMetrik als maximale Fortsetzung der Schwarzschild-Metrik in einem materiefreien Raum. Das ist natürlich
nicht gerade viel. Tatsächlich sind auch nur sehr wenige andere exakte Lösungen der Einstein-Gleichung
bekannt.1
Um die ganze Vielfalt der Phänomene der allgemeinen Relativitätstheorie zu beschreiben, kommen wir
deshalb nicht umhin, geeignete Näherungsverfahren zu entwickeln. Es gibt im wesentlichen zwei Klassen von Näherungsverfahren. Man kann entweder die Einstein-Gleichung direkt durch ein numerisches
Verfahren lösen, also eine Simulation auf einem Rechner durchführen. Oder man führt zunächst eine analytische Näherung durch, um auf diese Weise eine Näherung der Einstein-Gleichung herzuleiten, die man
dann exakt lösen kann.
1
Die wichtigsten bekannten exakten Lösungen werden im Buch von S.W. Hawking und G.F.R. Ellis: The large scale Structure of space-time, Cambridge University Press, 1973, ausführlich diskutiert.
371
Auf die zweite Methode wollen wir in diesem Kapitel etwas näher eingehen. Wir wollen eine Theorie der schwachen Gravitationsfelder formulieren. Ein Gravitationsfeld schwach, wenn die Geometrie der
Raumzeit nur wenig von der des flachen Minkowski-Raumes abweicht. Was das genau bedeutet, müssen
wir natürlich noch erklären. Es zeigt sich, dass sich die allgemeinen Relativitätstheorie in diesem Fall auch
eine sehr viel einfachere, lineare Feldtheorie reduzieren lässt, die im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie formuliert werden kann.
Mit anderen Worten, das Gravitationsfeld kann durch ein Tensorfeld auf dem Minkowski-Raum beschrieben werden. Eine solche Theorie hatten wir in Kapitel 13 gesucht, waren aber daran gescheitert, dass
sie nicht mit gewissen Erhaltungssätzen und dem Relativitätsprinzip vereinbar war. Die lineare N äherung
der allgemeinen Relativitätstheorie, die wir im folgenden herleiten wollen, beruht daher im wesentlichen
darauf, dass wir diese Verletzungen von Erhaltungssätzen vernachlässigen können. Was das genau heißt,
werden wir im Laufe dieses Kapitels sehen.
Das linearisierte Gravitationsfeld
Wir nennen eine Raumzeit leicht gekrümmt, wenn ihre Metrik nur wenig von der des flachen MinkowskiRaumes abweicht. Um das etwas genauer zu formulieren, betrachten wir zunächst eine Raumzeit mit
einer flachen Metrik ¨ , also den Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie. Wir bezeichnen
Lg`
die flache Metrik ¨
La` als Hintergrundmetrik. Sie hat zunächst keine besondere physikalische Bedeutung.
Die eigentliche, physikalische Metrik ‚
Um
Lg` soll von dieser Metrik jedoch nur wenig
abweichen.
5
die Abweichung zu messen, führen wir ein symmetrisches Tensorfeld z
Lg` der Stufe 2 „ ein, sowie ein
5
ebenfalls symmetrisches Tensorfeld z$La` der Stufe 2W„
, welches die Abweichung der inversen Metrik ‚Lg`
von der inversen Hintergrundmetrik ¨ La` misst,
‚ Lg` r ¨ Lg`
‚ La` r ¨ Lg`Pj z Lg` z Lg`
(19.1)
Wir haben diese Gleichungen als Näherungen geschrieben, weil wir gleich noch Korrekturen hinzufügen
werden. Aus der Tatsache, dass ‚ La` und ‚
zueinander invers sind, ergibt sich
<@ L
‚ ÆL d ‚ d `
`
Lg`
B
¨ Lgd z d_` z LÆd ¨ d ` z LÆd z d ` r
(19.2)
Wir sagen, dass die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik klein und somit die Raumzeit nur
leicht gekrümmt ist, wenn die Komponenten von z
Lg` bzw. zLg` in einem geeignet gewählten Koordinatensystem so klein sind, dass wir alle quadratischen Terme vernachlässigen können. Offenbar können wir die
und zLg` dann so wählen, dass
Tensoren z
Lg`
z Lgd ¨ d `
z L`
¨ LÆd z d `
(19.3)
Mit anderen Worten, die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik verhält sich n äherungsweise
wie ein symmetrisches Tensorfeld zweiter Stufe auf dem flachen Minkowski-Raum. Die Indizes dieses
Tensors werden mit der flachen Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten gezogen, und wir können ihn
wahlweise als z , zLa` oder zL darstellen. Es ist dann jedoch klar, dass höchstens eine der beiden GleiLa`
`
chungen (19.1) exakt gelten kann. Deshalb haben wir sie als Näherungen geschrieben.
In eine physikalische Sprache übersetzt können wir das wie folgt formulieren.
Ein schwaches Gravitationsfeld wird durch ein symmetrisches Tensorfeld im Sinne der speziellen Relativitätstheorie beschrieben.
Die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie wird durch die Hintergrundmetrik ¨
Lg` definiert, und das
Tensorfeld z
Lg` gibt an, in welche Richtung wir diese Metrik deformieren müssen, um die eigentliche,
physikalische Metrik ‚
Lg` der Raumzeit zu bekommen. Das ist im wesentlichen die Idee der linearisierten Gravitationstheorie. Ein schwaches Gravitationsfeld kann als Tensorfeld auf einer flachen Raumzeit
dargestellt werden.
372
Aufgabe 19.1 Wir nennen ein Koordinatensystem kartesisch, wenn die Hintergrundmetrik ¨
La` die übliche
Diagonaldarstellung besitzt. Ein solches Koordinatensystem repr äsentiert ein Inertialsystem im Sinne der
speziellen Relativitätstheorie. Angenommen, die Komponenten von z
La` bzw. z Lg` sind in einem Inertialsystem hinreichend klein, so dass wir quadratische Terme vernachl ässigen können. Sind sie dann in jedem
anderen Inertialsystem auch hinreichend klein? Was bedeutet das f ür das Konzept einer leicht gekrümmten
Raumzeit?
Um diese Darstellung eines schwachen Gravitationsfeldes etwas besser zu verstehen, ist es nützlich, den
Begriff der Deformation einer Metrik etwas genauer zu erfassen. Eine Deformation wird durch eine Schar
™˜
von Metriken ‚"± ‹ µ dargestellt, die von einem Parameters 2 ©—– abhängen. Der Index in Klammern
Lg`
steht hier also ausnahmsweise nicht für ein Koordinatensystem, sondern für einen Deformationsparameter.
Im vorliegenden Fall wird die flache Hintergrundmetrik in eine leicht gekrümmte Metrik deformiert.
Das heißt, für 2
soll sich die Minkowski-Metrik ergeben,
und für 2
‚"± G µ Lg`
¨ Lg` ‚²± G µ La`
‚ Lg` ‚²± # µ La`
¨ La` (19.4)
(19.5)
die deformierte Metrik
‚²± # µ Lg`
‚ Lg`
Die Richtung der Deformation ist wie folgt durch die Ableitung der Metrik nach 2 definiert,
' ‚ ± ‹ µ d ` * ' ‚ ± ‹ µ LÆd
z ± ‹ µ L ` ‚ ± ‹ µ LÆd
⠱ܵd `
(19.6)
2
2
'
'
Dies ist ein Tensorfeld der Stufe 2 5 , welches im allgemeinen von 2 abhängt und davon, wie wir die Deformation im einzelnen durchführen, das heißt welchen Weg wir nehmen, um die flache Hintergrundmetrik
¨ La` in die leicht gekrümmte Metrik ‚ Lg` zu deformieren.
Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass die Richtung der Deformation konstant ist, so dass
z ± ‹ µL `
zL ` von 2 unabhängig ist. Die deformierte Metrik ‚ Lg` ist dann eindeutig durch die Hintergrundmetrik ¨
La` und die Richtung zL ` der Deformation bestimmt. Wir können in diesem Fall die Gleichung
(19.6) integrieren und das Ergebnis als Potenzreihe darstellen. Es handelt sich im wesentlichen um eine
Exponentialreihe für die Matrix z L ,
`
AA
k
¨ Lg`Pj z aL `Pj z L i z i –
z
z
i kðz
` j
Li
` j
–
„
‘ AA
‚ aL ` ¨ Lg` z La` j z L i z i ` È
z Li z ik z k `
„
‚ La`
(19.7)
Hier haben wir die Indizes wieder mit Hilfe der Hintergrundmetrik nach oben bzw. unten gezogen, das
heißt für die Tensoren z$Lg` und z
gilt wieder die Beziehung (19.3).
La`
Aufgabe 19.2 Man löse die Differentialgleichung (19.6) mit z ± ‹ µ L
`
(19.4). Man zeige, dass sich daraus die deformierte Metrik (19.7) ergibt.
z L`
und der Anfangsbedingung
Wir können die Deformation einer Metrik so ähnlich verstehen wie den Fluss eines Vektorfeldes, nur dass
dieser Fluss nicht in der Raumzeit, sondern im Raum aller Metriken stattfindet. Das Tensorfeld z9L gibt
`
die Richtung vor, in die die Metrik ‚
bzw. die inverse Metrik ‚"La` “fließt”.
`L
Wenn wir annehmen, dass z L hinreichend klein ist, so dass wir die quadratischen und höheren Ord`
nungen vernachlässigen können, ergibt sich aus (19.7) wieder die ursprüngliche Darstellung (19.1) einer
leicht gekrümmten Metrik. Die Näherung in (19.1) ist daher so zu verstehen, dass durch das Tensorfeld
373
z Lg` bzw. zLa` zwar die Richtung der Deformation vorgegeben ist, die Gleichungen aber nur bis auf Terme
der Ordnung z & und höher gelten.
Das ist unabhängig davon, wie genau wir die Deformation durchführen, solange die in (19.6) definierte
Ableitung z6± ‹ µ L hinreichend klein ist. Es gilt nämlich stets
`
5
(19.8)
‚ Lg` ¨ Lg` z aL ` €
j  2¶z & wobei die Abweichungen erster Ordnung, also die Tensoren z
Lg` und z Lg` , durch das folgende Integral von
z ± ‹ µ L ` gegeben sind,
#
X 2
' z ± ‹ µL `
z Lgd ¨ d ` z L ` ¨ Lgd z d_`
(19.9)
G
‚ Lg`
¨ Lg`Pj z La`Pj€ 2¶z & 5 Die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik ist in erster Ordnung stets durch die Richtung der
Deformation gegeben. Wie die Terme höherer Ordnung aussehen, hängt jedoch davon ab, wie wir die Deformation genau durchführen. Als Beispiel haben wir schon den Fall diskutiert, dass wir den Tensor z ± ‹ µ L
`
während der Deformation festhalten. Dies führt zu einer symmetrischen Darstellung (19.7) der Metrik
und der inversen Metrik als Exponentialreihe. Wir können aber auch so deformieren, dass eine der beiden
Gleichungen (19.1) exakt gilt.
Aufgabe 19.3 Man betrachte die folgenden beiden Deformationen, die jeweils eindeutig durch Vorgabe
einer Richtung festgelegt sind. Im ersten Fall führen wir die Deformation so durch, dass ‚ ± ‹ µ z ± ‹ µ d
Lgd
` z La`
2
konstant, also von unabhängig ist. Man zeige, dass die deformierte Metrik dann wie folgt gegeben ist,
‘<AA
(19.10)
‚ Lg` ¨ gL `Pj z La` ‚ Lg` ¨ Lg` z La` j z L i z i ` z L i z i k–z k `
wobei für zL und zLg` wieder (19.3) gilt, das heißt die Indizes werden mit der Hintergrundmetrik nach
`
oben gezogen. Im zweiten Fall halten wir z ± ‹ µ L ‚ ± ‹ µ d `
z La` fest und bekommen die deformierte Metrik
d
aA
‚ La` ¨ Lg`(j z La`Pj z L i Ãz i `–j z L i Ãz ik–z k `Pj
‚ Lg` ¨ La` z Lg` (19.11)
wobei auch hier wieder (19.3) gilt, das heißt die Indizes wurden in diesem Fall mit der Hintergrundmetrik
unten gezogen.
Fassen wir das wie folgt zusammen. Eine leicht gekrümmte Raumzeit kann als Deformation einer flachen
Raumzeit dargestellt werden. Die Richtung der Deformation ist durch ein symmetrisches Tensorfeld zweiter Stufe gegeben, das wir wahlweise als z , zL oder zLa` darstellen können. Da es sich um ein Tensorfeld
Lg` `
auf einer flachen Raumzeit handelt, werden die Indizes mit Hilfe der Hintergrundmetrik nach oben bzw.
unten gezogen.
Das ist, wie weiter oben schon angedeutet, die Idee der linearisierten Gravitationstheorie. Um ein schwaches Gravitationsfeld zu beschreiben, betrachten wir nicht die Metrik ‚
Lg` der Raumzeit als solche, sondern
wir geben ein symmetrisches Tensorfeld z
La` auf einer flachen Raumzeit mit der Hintergrundmetrik ¨ La` an.
Dieses Tensorfeld sagt uns, wie wir die flache Raumzeit deformieren müssen, um die wirkliche Raumzeit
zu bekommen.
Solange wir nur hinreichend kleine Deformationen betrachten, ist die Metrik der Raumzeit dann näherungsweise durch (19.1) gegeben ist. Erst wenn wir größere Deformationen betrachten oder genauer rechnen wollen, müssen wir die Terme höherer Ordnung in (19.8) einbeziehen. Wie diese aussehen, hängt
davon ab, wie wir die Deformation im einzelnen durchführen. Drei spezielle Wege haben wir in (19.7)
sowie in Aufgabe 19.3 dargestellt. Da wir bis auf weiteres nur bis zur ersten Ordnung rechnen, müssen wir
uns an dieser Stelle jedoch noch nicht auf eine spezielle Art der Deformation festlegen.
374
Aufgabe 19.4 Ein explizites Beispiel für eine gekrümmte Raumzeit, die sich als Deformation einer flachen
Raumzeit darstellen lässt, ist die Schwarzschild-Metrik mit ihrer Fortsetzung ins Innere eines kugelf örmigen Sterns, wie wir sie aus Kapitel 15 kennen. Wenn wir den Radius Ç|G des Sterns festhalten und seine
Masse durch 2 ersetzen, erhalten wir eine Schar von Metriken ‚± ‹ µ mit den verlangten EigenschafLa`
ten. Man berechne für diese Deformation den Tensor z ± ‹ µ L und zeige, dass seine Komponenten genau dann
`
D
klein sind, wenn ÇG ê
ist.
Aufgabe 19.5 Ist es möglich, die Schwarzschild-Metrik so als Deformation einer flachen Raumzeit dar
2
zustellen, dass zU± ‹ µ L
` zL ` von unabhängig ist? Mit anderen Worten, kann die Schwarzschild-Metrik in
der Form (19.7) dargestellt werden?
Aufgabe 19.6 Man bestimme die Bewegungsgleichungen für ein Testteilchen der Masse
schwachen Gravitationsfeld aus der üblichen Lagrangefunktion
in einem
Ì
^ 5 T T L
L
̂ 2 \ \
½& (19.12)
„ gL `
„
unter Vernachlässigung aller Terme der Ordnung z & . Man zeige, b dass sie sich wie folgt schreiben lassen,
Ì
T Ì
5
¼\L
z ¼ ` ¼ d
\L
2]¨ La` z Lg` ¼ ` (19.13)
„ L `_d
T
wobei ¼ der zu L kanonisch konjugierte Impuls ist. Wie lautet die von ¼ zu erfüllende Nebenbedingung?
L
L
Ì ^ ^ 2 \5
Aufgabe 19.7 Wenn wir ein schwaches Gravitationsfeld als Tensorfeld im Sinne der speziellen Relativitätstheorie darstellen, warum ist es dann sinnvoll, von einer Gravitationskraft zu sprechen, w ährend
dieser Begriff in der allgemeinen Relativitätstheorie eigentlich keine Bedeutung hat?
Die linearisierte Einstein-Gleichung
Wir können jetzt die Feldgleichung für das linearisierte Gravitationsfeld
die Darstellung (19.8) der Metrik in die Einstein-Gleichung einsetzen,
Lg`
<¦o=
z La`
Å8La` herleiten. Dazu müssen wir
(19.14)
und das Ergebnis wieder in eine Potenzreihe entwickeln. Wir begnügen uns mit der führenden Ordnung,
das heißt wir betrachten nur die Terme, die in z
Lg` linear sind.
Am besten gehen wir Schritt für Schritt vor. Wir bestimmen erst das Christoffel-Symbol, dann den
Krümmungstensor, den Ricci-Tensor, und schließlich den Einstein-Tensor, jeweils in führender Ordnung
in z . Das Christoffel-Symbol ist durch die bekannte
Formel
(10.60)
gegeben,
b
b
b
La`
‚ Li 2 `‚di j d‚`i
‚i ` d 5
„
Setzen wir die Darstellung (19.8) der Metrik
b ein, so b ergibt sich
b
zi `d 5 j€ 2Wz & 5
Ä L `_d „ ¨ L ik2 ` z d i j d z ` i
Ä L `d
(19.15)
(19.16)
Offenbar können wir auch das wieder als ein Tensorfeld auf dem Minkowski-Raum auffassen. In der
linearen Näherung ist das Christoffel-Symbol L ein speziell-relativistischer Tensor der Stufe 2 „ 5 , der
Ä `d
aus den ersten Ableitungen des Gravitationsfeldes z
La` gebildet wird.
Wenn wir von nun an die Konvention verwenden, Indizes grunds ätzlich wie in der speziellen Relativitätstheorie mit der Hintergrundmetrik nach
b obenb bzw. unten
b zu ziehen, können wir dafür auch schreiben
Ä L `d
2 z L
„ ` d j
d z `L
375
L z `d 5 j€ 2¶z& 5
(19.17)
Aufgabe 19.8 Man zeige, dass die Bewegungsgleichungen (19.13), wenn man dort den Impuls ¼
niert, die bekannte Form der Geodätengleichung annehmen,
L
elimi-
T¹ L
T ` T d Ì !$# Ì T L L
\ \
(19.18)
jËÄ ` d \ \
b
b
Als nächstes berechnen wir den Krümmungstensor.
Für ihn gilt die Formel (9.56),
Ç L `d É
É Ä L `d¾jËÄ L i d¬Ä i ` É Ä L i É Ä i `d
(19.19)
d Ä L`É
Da das Christoffel-Symbol bereits linear in z
Terme vernachlässigen.
b b
b Lab ` ist, können
b b wir dieb quadratischen
b
Was bleibt, ist
5
5
L
L
Ç L `d É
2 d ` z$É L
É ` z dL
z
É
É
z
W
2
$
z
&
(19.20)
d
` j
`_d j€
„
Zwei der sechs Terme, die sich aus (19.17) ergeben, heben sich wegen der Antisymmetrie in den Indizes
7 und gegenseitig auf. Durch Kontraktion ergibt sich daraus der Ricci-Tensor, dessen Symmetrie in den
beiden Indizes sofort offensichtlich ist,
b b
b b
b b
b b
Ç Lg`
Ç d LÆd `
2
z d
„ L d ` j
` d z Ld
L ` z dd
i
z La` 5 jΠ2Wz& 5
i
(19.21)
Um den Krümmungsskalar zu bekommen, müssen wir den Ricci-Tensor Ç
La` mit der Metrik ‚²La` kontrahieren. Jedoch genügt es auch hier, die Kontraktion mit der flachen Metrik ¨$Lg` durchzuführen, denn der
b b
b b
Ricci-Tensor ist bereits in z
linear,
Lg`
‚ aL ` Ç gL ` ¨ La` Ç Lg`PjŒ 2¶z& 5
5
(19.22)
jΠ2Wz&
Um schließlich den Einstein-Tensor anzugeben, ist es nützlich, einen Tensor z š
Lg` einzuführen, der mit z La`
wie folgt zusammenhängt,
(19.23)
¨ La` z z z dd
z š Lg` z La`
„
Der Skalar z ist die Spur von z . Umgekehrt gilt, wenn die Raumzeit vierdimensional ist,
La`
z Lg` zš La`
¨ La` zš zš zš d d
(19.24)
„
x
z ist.
Aufgabe 19.9 Man zeige, dass (19.23) und (19.24) äquivalent sind, und z š
˜™ zš ist folglich eine Involution. Wegen zš n z wird sie manchmal als SpurinverDie Abbildung z
La`
Lg`
Ç
i
z
k
i
k
i
z
i ^k
k
sion bezeichnet. Es ist die gleiche Abbildung, die auch den Ricci-Tensor auf den Einstein-Tensor abbildet.
Es folgt dann nach einer kurzen Rechnung aus (19.21) und (19.22), dass
Ç gL ` b b ‚ Lg` Ç b b Ç gL `
¨ Lab ` Çb jŒ ¶2 z & b 5 b
„
„
5
5
2 L d z š ` d j ` d z š L d ¨ gL ` i kHzš i k
¶
2
z
&
(19.25)
i zš
L
g
`
Œ
j

i
„
Der Einstein-Tensor ist in linearer Näherung durch die zweiten Ableitungen von z
La` bzw. zš gL ` gegeben.
Das können wir unmittelbar in die Einstein-Gleichung (19.14) einsetzen, und erhalten so eine Beziehung
b b Gravitationsfeld
b b
b b
z La` b undb dem Energie-Impuls-Tensor
zwischen dem linearisierten
Å9La` ,
*Ao=
k (19.26)
i zš
L d zš ` d j ` d zš L d ¨ Lg` i k Wz š i
La`
Å6Lg`
i
Lg`
Dies ist die linearisierte Einstein-Gleichung. Wir können sie als Quellengleichung einer vereinfachten
Gravitationstheorie aufassen. Sie gilt, solange das Gravitationsfeld schwach ist. Das setzt natürlich voraus,
376
dass auch der Energie-Impuls-Tensor hinreichend klein ist. Es darf sich also, zumindest in dem Bereich
der Raumzeit, den wir beschrieben wollen, nicht zu viel Materie befinden. Sonst wäre die Raumzeit zu
stark gekrümmt und folglich die lineare Näherung nicht sinnvoll.
Um zu verstehen, in welchem Sinne die linearisierte Einstein-Gleichung eine Näherung der vollen
Einstein-Gleichung darstellt, betrachten wir die Kontinuitätsgleichung für die Materie, die sich als Konsib
stenzbedingung aus der Quellengleichung ergibt.
Aufgabe 19.10 Man zeige, dass aus (19.26) die Kontinuitätsgleichung
LŸÅ La`
folgt.
Die Materie, die in der linearisierten Einstein-Gleichung als Quelle auftritt, erfüllt also die Kontinuitätsgleichung in einer flachen Raumzeit. Das heißt, sie spürt das Gravitationsfeld nicht.
Das steht zunächst im Widerspruch zum Ergebnis aus Aufgabe 19.6, denn dort hatten wir gesehen, dass
ein linearisiertes Gravitationsfeld sehr wohl einen Einfluss auf die Bewegung eines Teilchens hat. Ein
einzelnes Teilchen bewegt sich also nicht auf einer Geodäte bezüglich der Hintergrundmetrik, und somit
erfüllt sein Energie-Impuls-Tensor nicht die Kontinuitätsgleichung in einer flachen Raumzeit.
Der scheinbare Widerspruch löst sich jedoch auf, wenn wir die Theorie der schwachen Gravitationsfelder als eine Art Störungstheorie auffassen und die verschiedenen Ordnungen der Entwicklung beachten.
Damit die linearisierte Einstein-Gleichung gilt, muss der Energie-Impuls-Tensor von derselben Ordnung
klein sein wie die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik. Mit anderen Worten,
ÅÁLg` ist selbst
5
von der Ordnung 2Wz .

Andererseits weichen die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, oder irgendeiner anderen Art von
Materie, von denen in einer flachen Raumzeit erst in der Ordnung 2¶z 5 ab. Die Korrekturen, die der

Energie-Impuls-Tensor dadurch erfährt, sind deshalb von der Ordnung 2¶z & 5 . Sie wirken sich in der

Einstein-Gleichung erst in der nächsthöheren Ordnung aus. Wenn wir die linearisierte Einstein-Gleichung
lösen, können wir daher so tun, als bewege sich die Materie in einer flachen Raumzeit.
In eine physikalische Sprache übersetzt bedeutet das, dass die lineare Näherung der Einstein-Gleichung
immer dann sinnvoll ist, wenn wir die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die Materie, die es erzeugt,
vernachlässigen können. Auf der gleichen Annahme, nur mit vertauschten Rollen, beruht das Konzept
des Testteilchens. Ein Testteilchen ist ein Teilchen, dessen Bewegung zwar durch das Gravitationsfeld
bestimmt wird, dessen Rückwirkung auf das Feld jedoch vernachlässigt werden kann. Hier ist es genau
umgekehrt. Das linearisierte Gravitationsfeld wird durch eine Ansammlung von Materie erzeugt, aber die
Rückwirkung des Feldes auf diese Materie kann vernachlässigt werden.
Am Beispiel eines kugelförmigen Sterns ist leicht zu erkennen, wann das der Fall ist. Die Rückwirkung
des Gravitationsfeldes auf den Stern bewirkt, dass sich in seinem Innern ein Druck aufbaut, der ohne
das Gravitationsfeld nicht vorhanden wäre. Die linearisierte Theorie ist also so lange sinnvoll, wie der
Druck im Vergleich zur Dichte vernachlässigbar ist, und das ist wiederum genau dann der Fall, wenn der
tatsächliche Radius des Sterns groß im Vergleich zu seinem Schwarzschild-Radius ist. Genau dann ist die
Raumzeit in der Umgebung des Sterns nur leicht gekrümmt.
Die linearisierte Gravitationtheorie können wir immer dann verwenden, wenn eine klare Hierarchie
der folgenden Art vorliegt. Es gibt eine Materieansammlung, die ein Gravitationsfeld erzeugt, jedoch ist
dieses Gravitationsfeld hinreichend klein, so dass die Rückwirkung auf die erzeugende Materie zunächst
vernachlässigt werden kann. Anschließend wirkt das Gravitationsfeld auf andere Testteilchen, die wiederum so klein sind, dass deren Rückwirkung auf das Gravitationsfeld vernachlässigt werden kann.
Ein typisches Beispiel für ein Anwendungsgebiet der linearisierten Theorie ist die Raumfahrt in der
Nähe der Erde, oder natürlich die Gravitationsphysik in einem irdischen Labor. Die Erde erzeugt ein
schwaches Gravitationsfeld, das heißt die Raumzeit in ihrer Umgebung ist nur leicht gekrümmt, und die
Raumfahrzeuge können als Testteilchen beschrieben werden, da deren Rückwirkung auf das Gravitationsfeld wiederum so klein ist, dass praktische keine Wechselwirkung mit anderen Raumfahrzeugen stattfindet.
377
Insbesondere können alle Messungen, die einer Umlaufbahn oder in einem irdischen Labor am Gravitationsfeld der Erde vorgenommen werden, im Rahmen der linearisierten Theorie beschreiben werden. Das
Verständnis der linearisierten Einstein-Gleichung ist daher ein wesentlicher Baustein für das Verständnis derjenigen Phänomene, die sich unmittelbar in unserer Umgebung beobachten lassen. Die wichtigsten
dieser Phänomene wollen wir im folgenden beschreiben.
Eichtransformationen
Die linearisierte Einstein-Gleichung hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der inhomogenen MaxwellGleichung, wenn wir diese als Quellengleichung
b
b b für desb Vektorpotential
b
i schreiben,
i
i
L
L
i
iyi
i
i L
i
<;=
KL
L
(19.27)
Der Unterschied besteht offenbar darin, dass hier das Feld und die Quelle Vektoren sind, während es in
Falle der Gravitation symmetrische Tensoren sind. Daraus ergibt sich eine etwas andere Indexstruktur
der linken Seite. Ansonsten sind die beiden Feldgleichungen aber sehr ähnlich. Insbesondere sind beides
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Es gibt sogar noch eine weitere Analogie zur Elektrodynamik. Auch in der Gravitationstheorie gibt
es Eichtransformation. Die Eichtransformationen der allgemeinen Relativitätstheorie sind die Diffeomoreine
phismen der Raumzeit-Mannigfaltigkeit § . Wir erinnern uns, dass ein Diffeomorphismus von §
¿
™
bijektive, beidseitig differenzierbare Abbildung ¡
§
§ ist. Wenn wir eine Metrik ‚ Lg` auf § gegeben haben, und ersetzen diese durch ‚ , so beschreibt die transformierte Metrik dieselbe Geometrie
° Lg`
b
der Raumzeit. Die Transformation war durch das Zurückziehen der Metrik gegeben,
°
‚ gL ` ]2 V 5
d W2 V 5
° L
É W2 V 5 ‚ ÉS2!P2]V _5 5 ° `
d
d° L W2 V 5 b
4 L
d (19.28)
Wenn wir sämtliche physikalischen Objekte entsprechend transformieren, also alle Felder 1 auf § durch
^
^
1° ersetzen und die Weltlinien von Teilchen durch ¡Œ› , ergibt sich eine Konfiguration, die von der
ursprünglichen nicht unterscheidbar ist.
Das war im wesentlichen die Aussage des allgemeinen Relativitätsprinzips, wonach den Punkten der
Raumzeit-Mannigfaltigkeit keine besondere physikalische Bedeutung zukommt. Ein Diffeomorphismus
ist quasi eine Permutation dieser Punkte, und eine solche Permutation ist redundant, das heißt sie bildet
zwei physikalische äquivalente Situationen aufeinander ab. Das ist die Eigenschaft einer Eichtransformation, wie wir sie auch aus der Elektrodynamik kennen. Ein anderes Beispiel für eine bereits bekannte
À
À
Eichtransformation ist die Reparametrisierung einer Weltlinie, die durch eine bijektive Abbildung ™
dargestellt wird.
Auch in der linearisierten Gravitationstheorie gibt es solche Eichtransformationen. Allerdings können
wir die Diffeomorphismen jetzt nicht mehr beliebig wählen. Sie müssen von derselben Größenordnung
klein sein wie die Abweichung der Metrik von der Hintergrundmetrik, denn sonst können wir die transformierte Metrik nicht mehr als kleine Deformation der Hintergrundmetrik auffassen. Es muss also gelten
L 2WV 5 4 L j ¨ L 2]V 5 j€ 2 ¨ & 5 (19.29)
¨
wobei die Abweichung L des Bildpunktes ¡t2]V 5 von V von derselben Größenordnung ist wie die Abwei¿
™ § eines
chung z
der Metrik von der Hintergrundmetrik. Wir können dies als den Fluss ¡ ± ‹ µ §
Lg`
™
˜
œ
©
–
einführen. Es gilt dann
Vektorfeldes ¦ schreiben, wenn wir auch hier wieder einen Parameter 2
± G µ_2WV 5 V ¡
¡
5
± # µ2]V 5 t
¡ 2]V
378
'
'
2 ¡
± ‹ µ 2WV 5 Á¦ 2!¡ ± ‹ µ‹2]V 5_5
(19.30)
Eine Eichtransformation wird also durch ein Vektorfeld ¦ auf der Raumzeit-Mannigfaltigkeit § erzeugt,
¿
§ ™ § dieses Vektorfeldes näherungsweise
und wenn es hinreichend klein ist, können wir den Fluss ¡
in der Form (19.29) darstellen.
Um heraus zu finden, wie sich eine solche Eichtransformation auf ein schwaches Gravitationfeld z
La`
auswirkt, betrachten wir zwei physikalische äquivalente Metriken ‚
und ‚ . Die eine soll sich durch
Lg`
° Lg`
eine Deformation der Hintergrundmetrik ¨
eine zusätzliche
z La` ergeben, die andere durch
Lg` in Richtung
¨
¨
Eichtransformation, erzeugt durch ein Vektorfeld L . Wenn wir Terme der Ordnung & vernachlässigen,
b
b
b
folgt aus (19.28) und (19.29)
ۤ
‚
° Lg`
‚ Lg`–j
¨
d d ‚ La`–j
ݤ
¨ 5 É ‚ É
2
‚ Lg`–j
d
L jΠ&
¨
L d ‚ d `(j
¨
¨
‚ La`–j€ 2 & 5 (19.31)
wobei
die Lie-Ableitung in Richtung des Vektorfeldes ¦ ist. Das kennen wir natürlich schon. Die LieAbleitung erzeugt den Fluss eines Vektorfeldes, wenn dieser auf ein beliebiges anderes Tensorfeld wirkt,
und deshalb tritt sie hier als Erzeuger einer Eichtransformation auf.
Nun wissen wir aber andererseits, dass ‚
La` aus einer Deformation der Hintergrundmetrik hervorgeht,
b
b
das heißt es gilt
‚ Lg`
¨ Lg`(j z La`PjŒ 2¶z& 5
ۤ
B
‚ Lg`
Hier haben wir sämtliche Terme vernachlässigt, die in z
¨
5
¶
2
z
&
z
` LmjŒ
¨
L `–j
¨
¨
(19.32)
oder quadratisch sind, denn gemäß unserer
Annahme sind beide von der gleichen Größenordnung. Wenn wir Terme der Ordnung z & vernachlässigen,
¨
¨
b
b z und & vernachlässigen. Es gilt also
müssen wir konsequenterweise auch Terme der Ordnung
°
‚ Lg`
¨ Lg`Pj z Lg`(j
¨
¨ 5 ¶
2
z
&
z
&
` LjŒ
¨
¨
L `–j
(19.33)
Aufgabe 19.11 Eine andere Möglichkeit, zum selben Ergebnis zu kommen und dabei gleichzeitig die Terme höherer Ordnung zu berechnen, besteht darin, eine Deformation (19.6) zu betrachten, bei festem
z ± ‹ µ L·`
zL ` , aber zusätzlich, also während der Deformation, noch den Erzeuger eines Flusses auf die
Metrik anzuwenden. Es gilt dann
' ‚ ± ‹ µ aL ` ‚ ± ‹ µ ÆL d z d (
` j
' 2
ۤ
‚ ± ‹ µ aL `
(19.34)
Man löse diese Differentialgleichung und zeige, dass sich die resultierende Metrik wie (19.33) schreiben
lässt. Man bestimme die Term der nächsthöheren Ordnung.
Aus (19.33) ergibt sich nun folgende Aussage über dasb linearisierte
Gravitationsfeld. Wenn wir eine Transb
formation
¨
¨
z ˜™ z
(19.35)
¨
Lg`
Lg`(j
L `–j
` L
durchführen, wobei L irgendein Vektorfeld ist, dessen Index wir mit der Hintergrundmetrik nach unten
ziehen können, so beschreibt dieses Feld, zumindest in der führenden Ordnung der linearen Näherung,
eine physikalisch äquivalente Deformation der Hintergrundmetrik. Mit anderen Worten, die Abbildung
(19.35) ist eine Eichtransformation.
Zwei schwache Gravitationsfelder, die sich nur durch eine Eichtransformation (19.35) unterscheiden, sind physikalisch äquivalent.
Um uns das anschaulich klar zu machen, betrachten wir die etwas schematische Darstellung einer Deformation einer flachen Raumzeit in Abbildung 19.1. Die gerade Linie unten soll jeweils den flachen
Minkowski-Raum symbolisieren, den wir uns zu diesem Zweck in einen höherdimensionalen Raum eingebettet vorstellen. Durch die Deformation wird jeder Punkt V © §
in eine vorgegebene Richtung im
379
Milchstraße
andere Galaxie
V
V
…2WV 5
¡
§
V
§
V
(a)
(b)
Abbildung 19.1: Zwei verschiedene Deformationen sind äquivalent, wenn sie sich nur um den Fluss eines
Vektorfeldes unterscheiden. Die Pfeile deuten jeweils an, in welche Richtung im Einbettungsraum sich ein
Punkt während der Deformation bewegt. Die beiden deformierten Räume haben die gleiche Geometrie.
Sie werden durch einen Diffeomorphismus  aufeinander abgebildet.
Einbettungsraum verschoben. Die Richtung der Deformation wird also in diesem Fall durch ein Vektorfeld im Einbettungsraum vorgegeben. Dadurch wird der eingebettete Raum verformt, und somit ändert
sich auch seine Geometrie.
Nun kann es sein, dass zwei verschiedene Deformationen zu derselben deformierten Geometrie führen.
Obwohl wir die einzelnen Punkte des Raumes in Abbildung 19.1(a) und (b) jeweils in eine andere Richtung
verschieben, ist das Ergebnis, also die deformierte Geometrie in beiden Fällen dieselbe. Wie man in der
¿
§ ™
Abbildung leicht sieht, werden die beiden deformierten Räume durch einen Diffeomorphismus ¡
§ aufeinander abgebildet.
Die beiden durch die Einbettung induzierten Metriken unterscheiden sich also um eine Eichtransformation. Während die deformierte Metrik im einen Fall durch ‚
Lg` gegeben ist, ist sie im anderen Fall
durch ‚
gegeben. Was wir in der Abbildung auch sehr deutlich sehen, ist, dass die Größenordnung der
° Lg`
Eichtransformation, also der Abstand zwischen den jeweils einander zugeordneten Punkten V und ¡t2]V 5 ,
von der gleichen Größenordnung ist wie die Deformation selbst. Solange wir nur kleine Deformation betrachten, treten auch kleine Eichtransformation auf.
Jetzt müssen wir nur noch von der Einbettung abstrahieren, um wieder auf das ursprüngliche Bild einer
Deformation der Metrik zurück zu kommen. Durch die Verformung im Einbettungsraum wird die Metrik
auf dem eingebetteten Raum verändert. Das heißt, jeder Verformung im Einbettungsraum entspricht eine
Deformation der Metrik. Statt die Richtung der Deformation im Einbettungsraum anzugeben, können
wir daher auch direkt die Deformation der Metrik angeben. Das ändert aber nichts daran, dass gewisse
Deformation physikalisch äquivalent sein können.
Wir können jetzt sogar leicht einsehen, warum zwei Deformation genau dann äquivalent sind, wenn
sie sich durch den Fluss eines Vektorfeldes auf der Raumzeit unterscheiden. Betrachten wir die beiden
in Abbildung 19.1 gezeigten Vektorfelder im Einbettungsraum, so unterschieden sich diese genau um ein
Vektorfeld, welches, zumindest in der linearen Näherung, zu der eingebetteten Fläche tangential ist. Das
heißt, die Richtungen der beiden Deformationen unterscheiden sich um eine Deformation tangential zur
eingebetteten Raumzeit. Eine solche Deformation ändert aber nicht die Geometrie der Raumzeit, sondern
erzeugt nur eine Abbildung der Raumzeit auf sich selbst.
¨
Wir können also anschaulich verstehen, warum der Parameter der Eichtransformation ein Vektorfeld L
auf der Raumzeit ist. Die Art und Weise, wie ein schwaches Gravitationsfeld transformiert, ergibt sich dann
aus dem allgemeinen Transformationsverhalten der Metrik unter Diffeomorphismen. Bemerkenswert an
diesem Transformationverhalten ist, dass es einer Eichtransformation in der Elektrodynamik sehr ähnlich
b skalares Feld ist,
ist. Der einzige Unterschied ist, dass der Parameter dort ein
i L ˜™
i Lmj
380
Ll
l
(19.36)
Wie wir gleich sehen werden, können wir auch hier die Eichfreiheit benutzen, um die Feldgleichungen
erheblich zu vereinfachen und um sie schließlich ganz allgemein zu lösen. Ein schwaches Gravitationsfeld
verhält sich also analog zu einem elektromagnetischen Feld in einer flachen Raumzeit, nur dass es kein
Vektorfeld sondern ein symmetrisches Tensorfeld ist.
Aufgabe 19.12 Wenn eine Eichtransformation physikalisch redundant ist, also eine gegebene Situation
auf eine physikalische äquivalente Situation abbildet, dann muss das auch für die Bewegung eines Testteilchens in der Raumzeit gelten. Man zeige, dass die Lagrange-Funktion (19.12) jedoch nur dann unter
^
der Eichtransformation (19.35) invariant ist, wenn auch die Weltlinie des Teilchens transformiert wird,
und zwar so, dass
T ˜™ T ç¨ ^ 5
¨
L
L
L 2
2 &5
(19.37)
j€
Wie ist das zu verstehen? Warum erfährt, im Gegensatz zu einer Eichtransformation in der Elektrodynamik,
auch die Weltlinie selbst eine Transformation?
Aufgabe 19.13 Man zeige, dass sich der Tensorb
zš Lg` ˜™
b einer Eichtransformation
b
unter
wie folgt verhält,
z š Lg`
¨
zš Lg`(j
¨
L `–j
` L
¨ ¨ Lg` d d
(19.38)
Aufgabe 19.14 Wie transformieren sich das Christoffel-Symbol (19.17), der Kr ümmungstensor (19.20),
sowie der Einstein-Tensor (19.25) unter eine Eichtransformation? Wie muss sich folglich der Energietransformieren, und wie passt das mit der Aussage in Aufgabe 19.12 zusammen?
Impuls-Tensor
Å6La`
Eichfixierung und Greens-Funktion
Nun wollen wir versuchen, die linearisierte Einstein-Gleichung zu lösen. Erinnern wir uns kurz, wie wir in
Kapitel 6 die Maxwell-Gleichung (19.27) bei vorgegebener Quelle K gelöst haben. Zuerst haben wir die
L
Eichfreiheit verwendet, um die Gleichung zu vereinfachen.
Wir haben die Lorentz-Eichbedingung (6.51)
b
gestellt,
iyi
(19.39)
i
Wenn i genügend glatt ist, ist es stets möglich, eine Eichtransformation zu finden, so dass das transforL
b müssenb dazu nur
b die
b Differentialgleichung
mierte Feld diese Bedingung erfüllt. Wir
i
ili ˜™
i
iyi j
l
i
i
<
b
(19.40)
für lösen. Es handelt sich um eine Wellengleichung für ein skalares Feld, dessen “Quelle” durch
l
b b Funktion mit
gegeben ist. Die Lösung ist eindeutig bis auf eine
i
i
l
<
l
i
i
i
(19.41)
Das heißt, es bleibt noch eine eingeschränkte Eichfreiheit übrig, nachdem wir die Lorentz-Eichbedingung
gestellt haben.
Entscheidend ist jedoch, dass die inhomogene
b b Maxwell-Gleichung (19.27) nun eine besonders einfache
Form annimmt, nämlich
*k;= K
(19.42)
i i
i
L
L
Die Komponente i des Feldes hängt also nur noch von der entsprechenden Komponente K der Quelle
L
L
ab. Bei vorgegebener Quelle können wir diese Gleichung mit Hilfe einer retardierten Greens-Funktion
lösen. Das hatten wir in Kapitel 6 bereits getan. Das Vektorpotential i an einem Ereignis V ist durch ein
L
Integral (6.62) des elektrischen Flusses K über den Rückwärtslichtkegel von V gegeben
L
X
@ i L 2WV 5 „ '| 2! 5Ÿž 2 M 5 K L W2 V j
381
5
(19.43)
In Abbildung 6.1 ist dieses Integral graphisch dargestellt. Es handelt sich um eine koordinatenunabhängige
Formulierung, da sowohl der Lichtkegel, als auch das verwendete Integrationsmaß und die Deltafunktion
invariant unter Poincaré-Transformationen sind. Wir konnten dasselbe aber auch als räumliches Integral in
einem ausgewählten Inertialsystem schreiben. Dann lautet die Lösung
ED
X K L 2 ) 4 š š 5 9
4
5
' š
i L 2) 4 š
(19.44)
Hier sehen wir das typische “ ” Verhalten des elektrischen Vektorpotentials, das heißt es fällt umgekehrt proportional zum Abstand von der Quelle ab. Auf die gleiche Weise können wir übrigens auch die
Gleichung für den Eichparameter in Abbildung 19.40 lösen. Das heißt, wir haben damit auch gezeigt,
l
dass die Lorentz-Eichung stets möglich ist.
Um die vollständige Lösung der Maxwell-Gleichungen bei vorgegebener Quelle zu bekommen, müssen
wir zu dieser speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung noch eine allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung addieren, also eine beliebige Überlagerung von elektromagnetischen Wellen.
Genau dieses Verfahren werden wir nun auf die linearisierte Gravitationstheorie anwenden. Wie wir
bereits wissen, ist diese Theorie nur dann anwendbar, wenn die Quelle vorgegeben ist, da wir die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die Quelle vernachlässigen. Es ist also sinnvoll, die Quelle als gegeben
zu betrachten.
Der erste Schritt ist, die Einstein-Gleichung durch eine geeignete Eichfixierung zu vereinfachen. Wie
man leicht sieht, fallen die ersten drei Terme in
b (19.26) weg, wenn die folgende, zur Lorentz-Eichung
analoge Bedingung erfüllt ist,
f
zš i
(19.45)
i
L
Wenn es möglich ist, diese Eichbedingungb zub stellen, vereinfacht sich die linearisierte Einstein-Gleichung
zu
*| o=
(19.46)
i zš
i
Lg`
Å6Lg`
Sie nimmt also die gleiche Form an wie die entsprechende Gleichung (19.42) aus der Elektrodynamik, und
folglich können wir sie mit der gleichen Methode lösen.
Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass wir die Eichbedingung (19.45) stets erfüllen können. Nehmen
wir an, wir hätten ein Gravitationsfeld z š
welches diese Bedingung nicht erfüllt. Unter einer
Lg` gegeben,
b
b b
Eichtransformation verhält sich z š
wieb (19.38). Daraus
folgt
Lg`
¨ (19.47)
zi š L i ˜™ i z š L i j i i L
¨
b
b b
Wir müssen also ein Vektorfeld L finden mit
¨
(19.48)
zi š L i j i i L
¨
Für jede einzelne Komponente von
lineare Differentialgleichung des gleichen Typs wie
L ist diesb eine
b eindeutig bis auf ein Vektorfeld ¨ mit
(19.40). Es existiert also eine Lösung, und diese
ist
L
¨
f
i
(19.49)
L
i
Auch hier bleibt also noch eine gewisse Eichfreiheit bestehen. Wir werden sie später noch weiter einschränken, aber an dieser Stelle genügt die Lorentz-Eichung, um die linearisierte Einstein-Gleichung ganz
allgemein zu lösen.
Wir können dazu einfach die entsprechende Lösung aus der Elektrodynamik übernehmen. Der Tensor
z Lg` an einem Ereignis V ist durch ein Integral des Energie-Impuls-Tensors Å«La` über den Rückwärtslichtkegel von V gegeben,
<¦ X
@ '^| 2! 5Ÿž 2 M 5 6Å Lg` ]2 V j
z š Lg` 2]V 5
382
5
(19.50)
Alternativ können wir uns auch hier in ein bestimmtes Bezugsystem, also ein Inertialsystem im
Minkowski-Raum begeben, und das Ergebnis als dreidimensionales, räumliches Integral schreiben,
f; X Å8La` 2 ) 4 š š 5 6
4
5
' š
zš aL ` 2 ) 4 š
(19.51)
Wir schließen daraus, dass sich ein schwaches Gravitationsfeld in der Raumzeit genauso ausbreitet wie ein
elektromagnetisches Feld. An einem Ereignis V im Minkowski-Raum sieht das Feld quasi die Materie, die
sich auf dem Rückwärtslichtkegel von V befindet. Das Gravitationsfeld breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit von der Quelle aus.
Wenn Materie irgendwo im Raum bewegt wird, so erfährt das Gravitationsfeld an einem anderen Ort erst
später davon. Im Gegensatz zur Newtonschen Theorie steht die linearisierte Gravitationstheorie daher nicht
im Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie und ihrem Kausalitätsprinzip. Die Materieverteilung
bestimmt das Gravitationsfeld, aber die Information darüber breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus,
nicht instantan.
Allerdings sehen wir an dieser Stelle recht deutlich, dass es sich bei der linearisierten Theorie nur um eine Näherung handeln kann. Die Lichtgeschwindigkeit, von der hier die Rede ist, ist die Lichtgeschwindigkeit im Minkowski-Raum, in dem wir das Integral (19.50) ausführen, also diejenige Lichtgeschwindigkeit,
die durch die Hintergrundmetrik definiert wird. Eigentlich ist es aber das Gravitationsfeld selbst, welches
bestimmt, welche Richtungen in der Raumzeit lichtartig sind. Das Gravitationsfeld bestimmt quasi selbst,
wie schnell es sich in der Raumzeit ausbreitet.
Diesen Aspekt der allgemeinen Relativitätstheorie haben wir in der linearen Näherung ausgeblendet.
Wir haben also nicht nur die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die erzeugende Materie, sondern
auch die Rückwirkung des Feldes auf sich selbst vernachlässigt. Anschaulich formuliert besteht diese
Rückwirkung darin, dass sich das Gravitationsfeld gewissermaßen selbst die Wege schafft, auf denen es
sich ausbreitet. Wegen dieser Selbstwechselwirkung ist es so schwierig, die Einstein-Gleichung exakt
zu lösen. In der linearisierten Theorie sind jedoch die Wege fest vorgegeben, auf denen sich das Feld
ausbreitet. Es sind die Lichtkegel im Minkowski-Raum, definiert durch die Hintergrundmetrik.
Aufgabe 19.15 Man beweise, dass der Tensor (19.50) sowohl die linearisierte Einstein-Gleichung
(19.46), als auch die Lorentz-Eichbedingung (19.45) erf üllt.
Der klassische Grenzfall
Wir können nun eine seit einiger Zeit aufgeschobene Frage beantworten, nämlich die nach einer systematischen Beschreibung des Newtonschen oder klassischen Grenzfalls der allgemeinen Relativitätstheorie.
Wir hatten diesen schon mehrmals kurz diskutiert, zum Beispiel um die Bewegungsgleichungen eines
Teilchens in einer leicht gekrümmten Raumzeit mit denen in einem klassischen Gravitationsfeld zu ver¦o=
gleichen, oder um den richtigen Faktor in der Einstein-Gleichung zu finden.
Um den klassischen Grenzfall zu bekommen, müssen wir neben der Annahme, dass das Gravitationsfeld schwach ist, noch eine zusätzliche Annahme machen. Die Materie muss im Sinne der Aufgabe 14.6
nichtrelativistsich sein. Sie darf sich nur langsam relativ zu einem ausgezeichneten Inertialsystem 2 ) 4U5
bewegen. Für die Komponenten des Energie-Impuls-Tensors gilt dann
Å6MºM
F
Å8MºN
F
Å8Nwv
(19.52)
Die Energiedichte ist groß im Vergleich zur Impulsdichte bzw. zum Energiestrom, und dieser ist wiederum
groß im Vergleich zum Spannungstensor. Das ist genau dann der Fall, wenn die Geschwindigkeiten aller
beteiligten Materieteilchen klein sind im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit.
Zusätzlich müssen natürlich alle Komponenten des Energie-Impuls-Tensors, also insbesondere
ÅÁMºM hinreichend klein sein, damit die lineare Näherung der Einstein-Gleichung gilt. Es handelt sich also um zwei
383
unabhängig voneinder zu stellende Bedingungen an die Materie. Es darf nicht zu viel Materie vorhanden
sein, und sie darf sich b nicht zu schnell bewegen.
Es genügt folglich, allein die Komponente
ÅUMºM als von Null verschieden zu betrachten. Die Kontinuitäts
<
gleichung lautet dann
, das heißt die Materieverteilung kann außerdem als statisch angenommen
M»Å6MºM
werden. Das ist klar, denn wenn sich die Materie nur sehr langsam bewegt, dann verändert sich auch ihre
Verteilung im Raum nur sehr langsam. Es gilt also
Å6MºM
782 495 Å8MºN
f
Å8Nwv
(19.53)
wobei 782 495 die räumliche Energiedichte ist, die in diesem Fall der klassischen Massendichte entspricht.
Setzen wir das in die linearisierte
Einstein-Gleichung
b b
b b ein und schreiben
b b sie komponentenweise auf, so
ergibt sich
*… Ÿ= 465
S
782 (19.54)
i zš
i zš
i zš
MºM
i
MºN
i
Nwv
i
Zusätzlich müssen wir noch die Lorentz-Eichbedingung erfüllen. Auch diese können wir komponentenweise aufschreiben, b
b
b
b
b
b
i
zš M i
v zš ïM v j
M zš ºM M
i
zš N i
v zš wN v j
M zš ´N M
f
(19.55)
Eine Lösung dieser Gleichungen ist offenbar wie folgt gegeben,
k;
zš MºM
wobei das Gravitationspotential
erfüllt,
: 1
12 465 <
zš MºN
zš Nwv
f
(19.56)
nicht von der Zeit abhängt und die Newtonsche Quellengleichung
:
b b
f;o=
12 465
782 465
(19.57)
Hier ist
N N wieder der räumliche Laplace-Operator.
Jetzt müssen wie nur noch die deformierte Metrik ausrechnen. Dazu verwenden wir zunächst die Formel
(19.24). Es ist
<; 485
zš zš d
132 (19.58)
d
und daraus folgt
z MºM
*
„ð132 465 z MºN
z Nv
@
„ wN v 12 465
(19.59)
Da dies die Abweichung der Metrik von der Minkowski-Metrik ist, ergibt sich das folgende Linienelement,
'Sî &
ñ
@
2 j „ð1 5 ') & j 2
„ð1 5 Nwv ' 4 N ' 4 v
(19.60)
Das ist genau der bekannte Ausdruck (13.52), den wir bereits früher als Beschreibung eines klassischen
Gravitationsfeldes im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gefunden hatten.
Aufgabe 19.16 Man setze diese spezielle Metrik in (19.12) ein und zeige, dass sich f ür langsam bewegte
Testteilchen die klassische Wirkungsfunktion für ein Teilchen der Masse in einem Gravitationspotential
1 ergibt.
Aufgabe 19.17 Welche Eichtransformationen sind mit der Darstellung (19.56) vertr äglich, und wie wirken diese Eichtransformationen auf das Gravitationspotential 1 ?
384
Masse und Drehimpuls
Um zu zeigen, dass die lineare Näherung der allgemeinen Relativitätstheorie über die klassische Näherung, also die Newtonsche Theorie hinaus geht, wollen wir das Gravitationsfeld eines rotierenden Himmelskörpers berechnen. In der linearen Näherung müssen wir diesen Körper zunächst durch einen geeignet
gewählten Energie-Impuls-Tensor im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie beschreiben. Wir setzen
4 5
6
4
5
5
6
4
5
465 º
M
M
º
M
N
782 FN ó
782 (19.61)
Å 2) Å 2) Å Nwv 2 ) 4 wobei die Energiedichte 7 nur vom Abstand vom Zentrum des Himmelskörpers abhängen soll.
Der Himmelskörper soll also kugelförmig sind, kann aber rotieren. Der Vektor ó ist offenbar seine Win kelgeschwindigkeit, denn F N ó 4 ist das Verhältnis aus Impulsdichte und Energiedichte am Ort 4 , und
b gerade die Strömungsgeschwindigkeit der Materie.
wie wir wissen ist dieses Verhältnis
Aufgabe 19.18 Man zeige, dass
ist, das heißt der so gegeben Energie-Impuls-Tensor erfüllt
LÅ La`
die Kontinuitätsgleichung im Minkowski-Raum.
Aufgabe 19.19 Warum erfüllt der Energie-Impuls-Tensor für eine rotierende Staubwolke,
495 87 2 5 q L 2 465 q ` 2 465 (19.62)
Å Lg` 2 ) 4 N
und q N 2 4U5
setzen, wobei der
wenn wir für die Strömungsgeschwindigkeit q M 2 465
F
ó
x
…
} nicht die Kontinuitätsgleichung?
}
}
relativistische Gammafaktor ist, für den q L q
wird,
Warum weicht
L
(19.61) davon ab, und welche physikalische Erklärung gibt es dafür?
Um die linearisierte Einstein-Gleichung für den Energie-Impuls-Tensor (19.61) zu lösen, machen wir den
Ansatz
m; 5
xk; N 4 ™ 5 b
(19.63)
zš MºM 2 ) 495
132 zš MºN 2 ) 465
F ó
2 zš Nwv 2 ) 465
b
Wie man leicht sieht, erfüllt dieser Ansatz die Lorentz-Eichbedingung z
, denn die Struktur des
L š Lg`
è
Tensors ist fast dieselbe wie die des Energie-Impuls-Tensors, der die Kontinuitätsgleichung
g
L
`
LÅ
b b
erfüllt. Wir müssen also die linearisierte Einstein-Gleichung
i
i
z š Lg`
*| o=
Å La`
(19.64)
lösen. Einsetzen des Ansatzes und der Darstellung des Energie-Impuls-Tensors von oben ergibt die Differentialgleichungen
<;= H5
„
1 { { 2 5 j 1 { 2 5
782 ;
{ { 2 H5
j 1
Aufgabe 19.20 Man leite diese Differentialgleichungen für
Gleichung her.
f;=
{ 2 5
und
782 5
(19.65)
aus der linearisierten Einstein-
Wir können die Gleichung ein wenig umschreiben, und bekommen dann
'
H5_5 <;= &8782 H5 ' 2 &Ã1 { 2
'
' 2
|
f;= [| 782 5
{ 2 H5_5
(19.66)
Diese Gleichungen können wir integrieren, wobei wir als Randbedingung verwenden, dass 1 { 2 5 und { 2 5
*
bei endlich bleiben. Das muss natürlich der Fall sein, damit das Gravitationsfeld (19.63) wohldefiniert ist. Wir finden dann
¡ H5
5
‡
2
1 { 2 H5
&
385
{ 2 H5
„
2
|
(19.67)
mit
a
¦o=
X
[' ZZL| 87 2 Z 5
(19.68)
G
Diese Ausdrücke sind aus der klassischen Mechanik bekannt. Die Funktion ®2 H5 definiert die in einer Ku¡
gel vom Radius enthaltene Masse, und 2 H5 ist das Trägheitsmoment dieser Kugel. Wir übernehmen diese
¡
Definitionen einfach und nennen ‡2 5 die “Masse” einer Kugel vom Radius und 2 5 das “Trägheitsa
<;= X
[' Z3ZA& 782 Z 5 ®2 5
G
¡ 5 2
moment” dieser Kugel. Wie wir gleich sehen werden, stimmt die erste Definition mit der SchwarzschildMasse aus Kapitel 15 überein.
Wir können jetzt das Gravitationsfeld außerhalb des Himmelskörpers sehr leicht berechnen. Wir inteå
grieren dazu einfach die Differentialgleichungen (19.67) nochmals, diesmal jedoch von bis . Da wir
¡
¡
uns außerhalb der Materie befinden, ist ®2 5
konstant, also
und 2 H5
* 12 5
5 2
¡
„ (19.69)
Der erste Ausdruck ist natürlich nichts anderes als das Newtonsche Potential eines Himmelskörpers mit
der Masse . Das entspricht ja auch des Definition von 1 in (19.63), die mit (19.57) übereinstimmt.
Aber welche Bedeutung hat die Funktion 2 H5 ? Wenn wir die Lösung in (19.63) einsetzen, und wieder
von z š
zu z
übergehen, bekommen wir
La`
La`
„ð z MºM
z MºN
„3F N
h¡
4 ó f@
z Nwv
„ð wN v (19.70)
Offenbar bewirkt die Rotation des Himmelskörpers einen Term in der Metrik, der die Ortskoordinaten
ª —¡
ó des Körpers und
mir der Zeitkoordinaten mischt. Dieser Term ist proportional zum Drehimpuls
ED fällt mit
& ab. Besonders deutlich wird die Auswirkung diese Terms auf die Metrik, wenn wie sie als
Linienelement in Kugelkoordinaten aufschreiben.
ož
*
Þª Až
ª
*
¢¡
ª
ó
ó ist.
Aufgabe 19.21 Wir wählen das Koordinatensystem so, dass ó
und
mit
¨ Lg`ñj z La` außerhalb des Himmelskörpers dann wie folgt
Man zeige, dass die deformierte Metrik ‚
Lg`
geschrieben werden kann,
'Sî &
D
m „ð †
D
E
') & j
j
„ð E
²
;’ª½Þ_ßÕà & [
' & j & ' [8& j & Þßáà &/[ ' \ & ³
' )' \
(19.71)
ª
Für
ist das natürlich die linearisierte Form der Schwarzschild-Metrik. Der zusätzliche Term pro
portional zu ')S' \ bewirkt, dass der “Raum”, also die Koordinatenflächen )
const, nicht mehr zur
“Zeit”, also zu den Koordinatenlinien von ) orthogonal ist. Die Raumzeit bekommt gewissermaßen einen
Drall. Sie rotiert mit dem Himmelskörper mit, wobei die Rotation umso größer ist, je näher wir uns am
Himmelskörper befinden.
Der Mitführungseffekt
Dieser Effekt ist natürlich in der Newtonschen Gravitationstheorie unbekannt. Er bewirkt, dass ein
Testkörper quasi zum Mitrotieren gezwungen wird, wenn er sich in der Nähe eines schnell rotierenden
Himmelskörpers befinden.
Um das anschaulich zu beschreiben, betrachten wir den freien Fall eines Testteilchens aus dem Unendª
lichen aus einen Himmelskörper mit Masse und Drehimpuls . Der Einfachheit halber soll sich das
Teilchen in der Äquatorebene befinden und im Unendlichen einfach fallen gelassen werden. Der Impuls
des Teilchens sei ¼ . Da wir uns im Unendlichen in einer flachen Raumzeit befinden, verschwinden dort für
L
386
å
ein Teilchen, dass für ™
zur Ruhe kommt, alle räumlichen Komponenten des Impulses, insbesondere
die Komponente ¼ b .
Wegen der Symmetrie der Raumzeit unter Drehungen \ ˜™ \
ist ¼ b aber eine Erhaltungsgröße.
j
Also gilt auf der gesamten Bahn des Teilchens ¼ b
. Interessanterweise folgt daraus aber nicht, dass
sich das Teilchen auf einer radialen Bahn nach innen bewegt. Seine Winkelgeschwindigkeit Η , gemessen
im Koordinatensystem 2 ) [ \ 5 , ist nämlich
Η
'
\
')
q
x¼
b
q M
b
¼ M
(19.72)
wobei q L die 4-Geschwindigkeit des Teilchens ist. Wichtig ist hier, dass die Indizes alle oben stehen. Die
Erhaltungsgröße ¼ b trägt ihren Index jedoch unten. Es ist eine Komponente des dualen Vektors ¼ . Daraus
L
folgt
f B
‚ M b (19.73)
‚hbdb ¼ b ‚ b ¼ M ¼ b
Η
j
M
‚cbdb
Aus (19.71) lesen wir ab, dass
‚hbfb
D
„ð j E
&
‚cb M
* „
ª
B
„
Η
ª
(19.74)
5
Näherung ist, können wir die Korrektur
Da ‚ b
z M b bereits von der
M
Ordnung  2Wz im Sinne der linearen
D
5
der Ordnung 2Wz in ‚Êbdb
vernachlässigen.
& j zWbfb , also den Terme „ð 
Wenn der rotierende Himmelskörper einen Radius ÇÈG hat, trifft der fallende Körper also nicht senkrecht
ª[D auf seine Oberfläche, sondern mit einer Winkelgeschwindigkeit Œó
„ Ç|G . Um eine Vorstellung von
der Größenordnung zu bekommen, setzen wir die Werte für die Erde ein. Ganz allgemein gilt für das
¡û
D
„ð ¡ÇÈG & { , also
Trägheitsmoment einer Kugel konstanter Dichte
ª
¡
;
„ „
Η
ó
ó
ÇÍG
Ç G
{ ÇÍG
B
OŒ
ÇÍG0Œó
;
{
¢ó
(19.75)
Die tangentiale Geschwindigkeit O Œ , mit der der Testkörper auf die Oberfläche auftrifft, hängt also nur von
der Masse und der Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Himmelskörpers ab. Setzen wir für die Erde
D
=ÁD
ergibt sich O Œ r „ { cm Tag. Das ist nicht gerade eine hohe Geschwindigkeit,
r { mm und ó
„ Tag,
D
im Vergleich zu den km sec der vertikalen Geschwindigkeit beim Aufprall. Aber immerhin ist es keine
unvorstellbar kleine Geschwindigkeit.
Das Teilchen wird also auf seinem Weg nach unten durch die rotierende Erde mitgenommen. Es weicht
von seiner radialen Bahn ab, und zwar in Richtung der Rotation der Erde. Unter extremen Bedingungen,
zum Beispiel in der Nähe eines rotierenden Schwarzen Loches, kann dieser Effekt sogar so groß werden,
dass es für einen Testkörper in der Nähe gar nicht mehr möglich ist, nicht mitzurotieren. Das können wir
im Rahmen der linearen Näherung zwar nicht sehen, aber wir kennen bereits eine analoge Situation aus
Kapitel 18.
Dort hatten wir gesehen, dass es für einen Beobachter, der sich in das Innere eines schwarzen Loches
begibt, nicht mehr möglich ist, still zu stehen. Er ist gezwungen, sich immer weiter nach Innen zu bewegen,
weil die Lichtkegel dorthin zeigen. Durch die Rotation werden ebenfalls die Lichtkegel gekippt. Der ')' \ Term in (19.71) bewirkt, dass die Lichtkegel in \ -Richtung geneigt sind, also eine Art Wirbel um den
Himmelskörper bilden. Wenn die Neigung der Lichtkegel sehr groß wird, hat das zur Folge, dass jeder
Beobachter gezwungen wird, mitzurotieren.2
2
Die Metrik eines rotierenden schwarzen Loches kann explizit angegeben werden und gehört zu den wenigen bekannten exakten Lösungen der Einstein-Gleichung. Eine ausführliche Diskussion dieser Reißner-Nordstr öm-Metrik findet man in
S.W. Hawking und G.F.R. Ellis: The large scale Structure of space-time.
387
Der Lense-Thirring-Effekt
Es gibt noch eine andere Möglichkeit, den Mitführungseffekt einer rotierenden Materieverteilung zu beschreiben. Besonders anschaulich wird diese Beschreibung, wenn wir statt eines Himmelskörpers eine
rotierende Kugelschale betrachten. Die Schale soll den Radius ÇÈG und die Masse haben. Es ist dann
782 H5
;o=
@ 2
ÇkG 5 ÇÍG &
(19.76)
¡ D
und das Trägheitsmoment einer solchen Kugelschale ist
„ð ¡ÇÈG .
Außerhalb der Kugelschale ergibt sich natürlich wieder dieselbe Darstellung der Funktionen (19.69) und
der Metrik (19.71) in Kugelkoordinaten. Interessant ist jetzt aber die Metrik in Innern der Kugelschale.
Dort folgt aus (19.67), dass die Funktionen 132 H5 und 2 H5 konstant sind, und aus der Stetigkeit an der
Stelle ÇÍG folgt dann, dass innerhalb der Kugelschale
x÷ 132 H5
ÇkG
¡
5 2
„ Ç G
* (19.77)
ÇÍG
gilt. Wählen wie auch hier wieder die Koordinaten wie in Aufgabe 19.21, so ergibt sich die folgende
Metrik im Innern der Kugelschale,
'Sî &
D
ñ „ð ÇÍG
D
E
') & j
„ð j ÇÍG
E
²
' & j & ' [8& j & Þ_ßÕà &0[ ' \ & ³ „|Œó & Þßáà &/[ 'S)' \
mit
Η
;
ó
Ç G
Í
(19.78)
(19.79)
Auch diese Größe hat wieder die Bedeutung einer Winkelgeschwindigkeit. Wir können nämlich jetzt eine Koordinatentransformation durchführen, um die Metrik in die eines flachen Minkowski-Raumes zu
überführen.
Aufgabe 19.22 Man zeige, dass die Metrik (19.78) die Form
*
'Sî &
' ) Œ & j ' Œ & j Œ & ' [8Œ & j Œ & Þ_ßÕà &0[ ' \ Œ &
(19.80)
annimmt, wenn wir
)Œ
D
ñC ÇÍG
E
)
ΠD
j Í
Ç G
E
[
Πsetzen. Man beachte, dass auch hierbei alle Terme der Ordnung
D
die lineare Näherung gilt nur für ÇÍG ê
.
[
2¶ D
\
Œ
Ç|G 5 &
\
Η )
(19.81)
zu vernachlässigen sind, denn
Die Koordinatentransformation besteht neben einer nicht weiter relevanten Zeitdilatation und einer räumlichen Streckung in wesentlichen aus einer gleichmäßigen Rotation des Koordinatensystems mit der Winkelgeschwindigkeit Œó . Das heißt, das Koordinatensystem 2 ) Œ Œ [ Œ \ Œ 5 rotiert relativ zu dem Koordinatensystem
2 ) [ \ 5 .
Für einen Beobachter im Innern der Kugelschale ist das Koordinatensystem 2 ) Œ Œ [ Œ \ Œ 5 jedoch ein nichtrotierendes Koordinatensystem, also ein Inertialsystem, denn in diesem Koordinatensystem nimmt die
Metrik die gewöhnliche Form der Minkowski-Metrik an. Was heißt das? Wenn wir annehmen, dass der
Beobachter durch die Kugelschale hindurch nach draußen schauen kann, so wird er feststellen, dass sein
Ruhesystem relativ zum Ruhesystem eines Beobachters draußen, weit weg von der Kugelschale, mit der
Winkelgeschwindigkeit Η rotiert.
388
Beide Beobachter behaupten jedoch, dass ihr Bezugsystem nicht rotiert. Sie können das ganz einfach
feststellen, indem sie zum Beispiel ein Gyroskop betrachten, also einen frei schwebenden Kreisel, oder
die Corioliskraft messen, die auf eine bewegte Testmasse wirkt. Ein Bezugsystem rotiert nicht, wenn die
Kreiselachse stabil ist bzw. keine Corioliskraft auftritt. Die rotierende Kugelschale bewirkt also, dass ein
Inertialsystem im Innern relativ zu einem Inertialsystem außen in großer Entfernung rotiert.
Dieser Effekt wird als Lense-Thirring-Effekt bezeichnet. Er gab Anlass zu einer Diskussion darüber,
was denn “rotieren” eigentlich bedeutet. Bereits von Newton wurde das Eimer-Paradox diskutiert. Man
stelle sich einen mit Wasser gefüllten Eimer im Schwerefeld der Erde vor. Wenn der Eimer mitsamt dem
Wasser rotiert, wölbt sich die Wasseroberfläche zu einer Parabel. Aber woher weiß das Wasser, dass es
rotiert? Es ist sicher nicht die Rotation des Wassers relativ zum Eimer, die die Wölbung hervorruft.
Es ist auch nicht die Rotation relativ zur Erde, denn auch in einem am Nordpol aufgestellten Eimer, der
sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit dreht wie die Erde, würde eine leicht Wölbung auftreten. Es ist
statt dessen die Drehung des Wassers relativ zu einer wie auch immer definierten, absoluten Klasse von
Inertialsystemen. Das ist jedenfalls die Sichtweise der klassischen Mechanik.
Der Lense-Thirring-Effekt zeigt, dass das in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr uneingeschränkt gilt. Eine rotierende Masse hat einen Einfluss darauf, welche Bezugsysteme in ihrer Umgebung
und insbesondere in ihrem Innern als rotierend anzusehen sind und welche nicht. Ersetzen wir den Eimer
durch ein Gyroskop und stellen ihm in Innern einer rotierende Kugelschale auf, so hängt das Verhalten
des Gyroskops, und damit die Definition eines nicht rotierenden Bezugsystems davon ab, wie schnell die
Kugelschale rotiert.
Wir sehen wir an dieser Stelle sehr deutlich, was es bedeutet, dass in der allgemeinen Relativitätstheorie
ein Inertialsystem immer nur lokal definiert ist. Zwei Inertialsysteme an verschiedenen Orten im Raum
können nicht nur relativ zueinander nur beschleunigt sein, sondern auch relativ zueinander rotieren.
Aufgabe 19.23 Im Mittelpunkt der Erde befindet sich ein Gyroskop, dessen Achse in der Äquatorebene
liegt. Durch den Lense-Thirring-Effekt führt es relativ zum Fixsternhimmel eine Präzession in östlicher
Richtung aus. Man bestimmt die Winkelgeschwindigkeit dieser Präzession und die Periode eines Umlaufs.
20 Gravitationswellen
Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass sich ein schwaches Gravitationsfeld im wesentlichen wie ein
elektromagnetisches Feld in einer flachen Raumzeit verhält. Es breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit von
der Quelle aus, wobei die Lichtgeschwindigkeit durch die Hintergrundmetrik, also durch die Metrik der
flachen Raumzeit vorgegeben ist. Nun wollen wir zeigen, wie diese Ausbreitung des Gravitationsfeldes
stattfindet.
Allgemeine Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung
Um die linearisierte Einstein-Gleichung bei vorgegebener Quelle zu lösen, hatten wir die retardierte
Greens-Funktion (19.50) verwendet. Diese Methode liefert uns aber nur eine spezielle Lösung einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung. Um die vollständige Lösungsmenge zu bekommen, müssen wir
noch eine allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung addieren.
Gesucht ist also die allgemeine Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung im materiefreien Raum,
die zusätzlich noch die Lorentz-Eichbedingung
erfüllt, b
b b
i
i
zš La`
389
i
zš L i
f
(20.1)
Die erste Gleichung ist natürlich eine Wellengleichung. Die allgemeine Lösung ist eine Superposition von
ebenen Wellen. Betrachten wir der Einfachheit halber zunächst eine einzelne solche Welle, zum Beispiel
*t
5
a
ã
H
ä
Þ
zš La` 2]V 5
Y
2
V La`
t
(20.2)
wobei
Lg` ein symmetrischer Tensor ist, der die Amplitude der Welle darstellt, und der Wellenvektor. Da
sich alles in flachen Minkowski-Raum abspielt, können wir wie in der speziellen Relativitätstheorie das
Skalarprodukt V bilden, wenn wir willkürlich einen Ursprung der Raumzeit festlegen.
b b erfüllt ist, muss der Wellenvektor lichtartig sein,
Damit die Wellengleichung
zš La`
i
i
*
5 f
V
t
 i i Lg` ãgäHÞ 2Y
B
 i i
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass
Bedingung ergibt sich aus b der Lorentz-Eichung,
i
zš L i
t

L
i
5 <
V
Þ_ßÕà 2N
i
B
t
(20.3)
positiv lichtartig ist. Eine weitere
gL `  `
(20.4)
Wir können also einen beliebigen, lichtartigen Wellenvektor vorgeben, sowie eine symmetrische Matrix
t
sein, damit die
Lg` , die ` als Null-Eigenvektor hat. Außerdem muss die Amplitude hinreichend klein
t
ê
lineare Näherung sinnvoll ist. In einem geeignet gewählten Koordinatensystem muss
sein.
Lg`
Eine solche Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung beschreibt eine ebene Gravitationswelle im
materiefreien Raum. Sie breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, und es handelt sich offenbar um eit
ne transversale Welle. Die Amplitude
La` t ist zum Wellenvektor ` senkrecht, wobei “senkrecht” so zu
verstehen ist, dass alle Komponenten von
La` in Richtung des Vektors ` verschwinden.
Einige dieser Lösungen sind jedoch physikalisch äquivalent. Wie wir wissen, verbleibt noch eine gewisse Eichfreiheit, nachdem wir die Lorentz-Eichbedingung gestellt haben. Wir können noch immer eine
¨
b
Eichtransformation durchführen, wenn wir denb Parameter,
also das Vektorfeld so wählen, dass
i
i
¨
L
L
f
(20.5)
Diese Eichfreiheit können wir verwenden, um die Amplitude
reits das Transformationsverhalten (19.38) von z šb , b
zš Lg`
˜™
¨
zš Lg`(j
Lg`
¨
L `–j
t
einzuschränken. Wir kennen beLg` weiter
b
¨
¨ (20.6)
` L ¨ Lg` d d
Wie müssen wir
L wählen, damit die Darstellung (20.2) einer ebenen Welle erhalten bleibt? Das ist offenbar dann der Fall, wenn wir
¨
2WV 5 Ž Þßáà 2N V 5
(20.7)
setzen, wobei Ž
Amplitude,
L
L
L
ein beliebiger Vektor ist. Es ergibt sich dann das folgende Transformationverhalten der
t
La`
˜™
t
Ž
Ž ¨  d Ž 

Lg`(j L –
` j ` L
Lg`
d
(20.8)
Aufgabe 20.1 Man zeige, dass dies tatsächlich aus (20.6) und (20.2) folgt, und dass die transformierte
t
Amplitude
noch immer die Lorentz-Eichbedingung (20.4) erfüllt.
Lg`
Eichfixierung
Ž
Wir werden nun weitere Eichbedingungen an die Amplitude
La` stellen, um so den Vektor L und damit die
Eichung vollständig zu fixieren. Dazu ist es sinnvoll, noch einmal die Analogie zum elektromagnetischen
Feld zu betrachten. Wie beschreiben wir gewöhnlich eine elektromagnetische Welle? Das Vektorpotential
ist durch
Zt
t
<
ãaäÞ 2Y V 5 mit  i 
(20.9)
i 2WV 5
 i
L
t
L
i
390
i
t
gegeben, wobei SL ein positiv zeitartiger Wellenvektor ist und die Amplitude der Welle. Dass die beiL
den Vektoren zueinander senkrecht stehen und die Welle somit transversal ist, folgt auch hier aus der
Lorentz-Eichbedingung. Und auch hier gibt es eine verbleibende
b b Eichfreiheit. Wenn wir als Parameter der
Eichtransformation
f
i
(20.10)
2]V 5 Ž Þßáà 2Y V 5 B
l
i L ˜™
i Lmj
B
Ll
l
i
b folgt,
wählen, so transformiert sich die Amplitude wie
t
L
˜™
t
Ž  Lkj
L
(20.11)
Die Lorentz-Eichbedingung bleibt dabei erhalten, weil  lichtartig ist. Dies ist das elektromagnetische
L
Analogon zu der Eichtransformation (20.8) einer Gravitationswelle. Um den Parameter Ž und damit die
Eichung zu fixieren, wählt man einen beliebigen zeitartigen Einheitsvektor q L und verlangt, dass
Ž
L q L j L q L
(20.12)
Ž
Ž  ` q Ž f
q
q
q
`
`
`


aL ` j L
` j `
–
L
L `
(20.13)
˜™
L q L
t
t
Dadurch ist der Parameter Ž und damit die Eichung vollständig fixiert, denn das Skalarprodukt  q L
ó
L
eines zeitartigen Vektors mit einem positiv lichtartigen Vektor ist stets von Null verschieden. Es ist die von
einem mit der Geschwindigkeit q L bewegten Beobachter gemessene Frequenz ó der Welle.
t
t

 i noch die Bedingung i q i
Wir stellen also zusätzlich zur Lorentz-Eichbedingung
. Wenn
Î
i
wir ein Inertialsystem so wählen, dass ¬
ist, so verschwinden in diesem Inertialsystem sowohl die
M
t
t
Zeitkomponente als auch
ç ž des
M æ die Komponente
C räumlichen Anteils4 N in Richtung des Wellenvektors  N .

ó und


Ist zum Beispiel SM
für eine Welle in -Richtung,
so gilt in dieser Eichung
t
t æ C
t
t ç
t ž
und die Amplitude wird durch zwei freie Parameter und festgelegt. Dies entspricht
M
L
den beiden transversalen Polarisationen einer elektromagnetischen Wellen.
So ähnlich gehen wir jetzt vor, um den Eichparameter Ž in (20.8) festzulegen und so die Eichung einer
L
Gravitationswelle vollständig zu fixieren. Auch hier wählen wir zunächst einen zeitartigen Einheitsvektor
q L , den wir als 4-Geschwindigkeit eines Beobachters in einem ausgewähltren Inertialsystem interpretieren
können. Wir können dann den Parameter Ž der Eichtransformation so wählen, dass
t
˜™
Lg` q `
t
L
Aufgabe 20.2 Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die Komponenten von
t
S`
eine eindimensionale Lösungsmenge besitzt, wenn
ist.
Lg`
Ž
L
. Man zeige, dass es
Wir können also, in Analogie zur Elektrodynamik, zusätzlich zur Lorentz Eichung noch verlangen, dass
t
alle Komponenten von
Lg` in Richtung eines beliebig vorgegebenen zeitartigen Einheitsvektors q L vert
schwinden. In einem geeignet gewählten Inertialsystem bedeutet das, dass die Zeitkomponenten von
La`
verschwinden. Zusammen mit der Lorentz-Eichung haben wir also die folgenden Eichbedingungen,
t
`

gL `
t
f
[
q
`
gL `
(20.14)
Jedoch wird dadurch die Eichung noch immer nicht vollständig fixiert, denn die Lösung des Gleichungssystems (20.13) ist nicht eindeutig. Wie man leicht sieht, bleibt die Eichung (20.14) erhalten, wenn wir
Ž Ê W2 
5
(20.15)
L
L j „ð `Uq ` q L
ñ
|
x
setzen und verwenden, dass q L q
und "Lð
ist. Es bleibt also, anders als in der ElektrodynaL
L
mik, noch ein Eichfreiheitsgrad übrig, parametrisiert durch eine reelle Zahl Ê .
t
Um diese zu fixieren, stellen wir noch eine weitere Eichbedingung. Wir verlangen, dass die Spur L
L
verschwindet. Für die Spur folgt aus (20.8), dass sie wie folgt transformiert,
t
L L ˜™
t
LL
391
„ð L Ž L
(20.16)
Ž
Setzen wir für
können,
L
(20.15) ein, ergibt das die folgende Gleichung, aus der wir den Parameter
L L ™˜ t L L „ Ê 2W L¾q L 5 & <S
ó von Null verschieden ist, ergibt sich Ê
Da auch hier wieder das Skalarprodukt L q
L
t
der Bedingung, dass die Spur L verschwinden soll.
L
t
Ê
ablesen
(20.17)
eindeutig aus
Wir haben somit die Eichung einer Gravitationswelle der Form (20.2) eindeutig fixiert, indem wir die
folgenden Eichbedingungen gestellt haben,
t
L L <
(20.18)
Lg` [q `
t
Da mit der Spur L der Amplitude auch die Spur z š
z L L des Gravitationsfeldes verschwindet, müssen
L
wir nicht mehr zwischen z
Lg` und zš La` unterscheiden, das heißt wir können die Lösung der linearisierten
t
<
Lg`  `
t
Einstein-Gleichung wie folgt schreiben,
*t
5
a
ã
H
ä
Þ
z La` 2]V 5
Y
2
V
La`
(20.19)
Wir können die Eichbedingungen (20.18) natürlich auch unmittelbar als Einschränkungen an das Gravitationsfeld stellen. Sie lauten dannb
` zš gL ` f wobei wir statt z š
Lg`
auch z
f
zš Lg` q[`
<
zš L L
(20.20)
schreiben könnten.
Lg`
Aufgabe 20.3 Wir haben hier nur eine sehr spezielle Lösung der linearen Einstein-Gleichung im materiefreien Raum diskutiert. Die allgemeinste Lösung ist eine Superposition von ebenen Wellen. Man führe
eine Fourier-Transformation des Gravitationsfeldes durch,
X
t
=GCHE
'|  š gL ` 2Y 5
zš Lg` 2WV 5
2ß V 5 (20.21)
löse damit die linearisierte Einstein-Gleichung in der Lorentz-Eichung und zeige, dass durch die zus ätzlichen Bedingungen in (20.20) die Eichung eindeutig fixiert ist, und dass sich die allgemeine L ösung folglich
als Superposition von ebenen Wellen der Form (20.19) schreiben l ässt.
Polarisationen
Interessant ist nun die Frage, wieviele unabhängige Freiheitsgrade eine Gravitationswelle mit einem gegebenen Wellenvektor hat. Mit anderen Worten, wieviele der insgesamt zehn Komponenten des symmetrit
schen Tensors
Lg` können wir noch frei wählen, wenn wir die Eichbedingungen (20.18) stellen? Bei einer
elektromagnetischen Welle sind es zwei unabhängige Freiheitsgrade, entsprechend den beiden möglichen
Polarisationen.
Um diese Frage zu beantworten, ist es sinnvoll, von nun an ein festes Inertialsystem zu wählen und
eine Raum-Zeit-Aufspaltung V ˜™ 2 ) 495 durchzuführen. Natürlich wählen wir das Bezugsystem so, dass
Î
q M 
¬
ist, das heißt der zuvor schon gewählte zeitartige Einheitsvektor q L hat die Komponenten
M f
 gilt.
und q N
. Den Wellenvektor zerlegen wir wie üblich in ˜™ 2.ó  5 , wobei dann ó
t
Wie lauten dann die Eichbedingungen (20.18) an
La` ? Aus der zweiten Gleichung ergibt sich, dass alle
t
t
Zeitkomponenten, also
und
verschwinden. Benutzen wir das, so bleiben von der ersten und der
MºM
MºN
dritten Gleichung jeweils nur die räumlichen Komponenten übrig. Die Eichbedingungen lauten also
t
MºM
<
t
MºN
f
t
392
<
Nwv  v
t
N N (20.22)
In unserem ausgewählten Inertialsystem können wir eine Gravitationswelle dann wie folgt schreiben,
<
z MºM ]2 V 5
t
z MºN W2 V 5
*t
4 a
ã
H
ä
Þ
z N v ]2 V 5
2

ó )5
Nwv
(20.23)
wobei die räumliche Matrix
Nwv spurlos und transversal ist, das heißt ihre Komponenten in Richtung des
Wellenvektors "N verschwinden. Die gewählte Eichung nennt sich deshalb auch die spurlose transversale
Eichung.
Genau wie bei einer elektromagnetischen Welle erfolgt die Oszillation senkrecht zur Ausbreitungsrichtung im Raum. Um etwas genauer
zu analysieren, was das bedeutet, wählen wir das räumliche Koordiæ
ist. Die Welle breitet sich also in 4 -Richtung aus. Aus (20.22) folgt dann,
natensystem so, dass 
ó
wenn wir die einzelnen Komponenten der Gleichungen aufschreiben,
t
MºM
t
æ Zt ç *t ž < M
M
M
t
æœæ *t ç_æ *t ž æ t
æœæ
j
t
žž
çç
j
ž
t
ž‹ž f
(20.24)
ž
Es bleiben nur vier Komponenten übrig, die nicht Null sind, nämlich ç_ç , , ç und ç , und nur zwei
davon sind unabhängig. Wir führen daher zwei Parameter ein, die wir £¤ und £#¥ nennen, und setzen
t
t
ç ç lt ž‹ž „~£¦¤ t
t
ç ž Zt ž ç „~£¦¥ t
t
(20.25)
Der Grund für diese Notation wird gleich klar werden. Wenn wir das in (20.23) einsetzen, ergeben sich
die folgenden nicht verschwindenden Komponenten von z ,
z ç_ç 2 )
ž
z ç 2)
žž
*
495
z 2)
ž
495
z ç 2)
La`
4 95 ~
„ £¦¤ aã äÞ »2 óÍ2 4 ) 5_5 495 „~£¦¥ aã äÞ »2 óÍ2 4 ) _5 5
(20.26)
Um uns von dieser Welle ein anschauliches Bild zu machen, schreiben wir die deformierte Metrik auf. Es
¨
z , und daraus ergibt sich das Linienelement
ist ‚
Lg`
Lg`–j
Lg`
4 ) 5_5 ' š & u ñ „~£¦¤ ãaäHÞ 2.óÍ2 4 ) 55 ' › &
ã
a
ä
Þ
~
„
¦
£
¤
»
2
Í
ó
2
v
v
j
j
j
;
4 ) 55 ' š ' ›
(20.27)
j £¦¥ ãaäHÞ 2.óÍ2
¤ à und £¦¥
Betrachten wir zuerst den Fall £#ß
. Zunächst stellen wir fest, dass die Koordinatenflächen
4
const und )
const, also die 2 š6› 5 -Ebenen im Raum tatsächlich auch Ebenen sind. Die auf diesen
'"î &
') & j ' 4 & j
u
Flächen induzierte Metrik ist
u m
) 55 v & ' š & j
£1¤ ãgäHÞ 2»óÍ2 4 ) 55 v & ' › & (20.28)
wobei wir wegen der linearen Näherung annehmen können, dass £¤ ê
ist, das heißt wir vernachlässigen
4
Terme der Ordnung £#¤ & . Für festes und ) ist dies eine positive, flache Metrik. Sie ist aber in Zeit und
Raum nicht konstant, das heißt sie hängt von 4 und ) ab.

›
Stellen wir uns einen “Einheitskreis” š &
in einer solchen Koordinatenebene vor. Wir werden
&
j 5 4
gleich zeigen, dass die Weltlinien mit 2 š6›
const zeitartige Geodäten sind, das heißt wir können
'Sî &
wuH
4
j £¦¤ ãgäHÞ 2.óÍ2
uns einen solchen Kreis als eine Schar von frei fallenden Teilchen vorstellen. Was passiert dann mit den
Abständen zwischen diesen Teilchen, wenn eine Gravitationswelle durch sie hindurch läuft?
Offenbar ist die Koordinatenlinie š & › &
nicht wirklich ein Kreis, sondern eine Ellipse, deren große
j
Halbachse abwechselnd in š -Richtung und in › -Richtung zeigt. Das folgt aus (20.28), wonach der in š £”¤ ãaäHÞ 2»óÍ2 4 ) 55 ist, während der in › -Richtung
Richtung gemessene Radius der Ellipse
j
= gemessene
£¦¤ ãaäHÞ 2»óÍ2 4 ) 5_5 beträgt. Beide oszillieren mit einer Phasenverschiebung von , das heißt es
Radius
393
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
(d)
(c)
Abbildung 20.1: Linear (a,b) und zirkular (c,d) polarisierte Gravitationswellen verformen einen aus frei
fallenden Teilchen gebildeten Zylinder, dessen Längsachse in die Ausbreitungsrichtung der Welle zeigt.
Die Abstände zwischen Punkten in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung werden durch die
Welle abwechselnd gestreckt und gestaucht, so dass ein Kreis zu einer Ellipse verformt wird. Bei linear
polarisierten Wellen zeigt die große Hauptachse der Ellipse abwechselnd in zwei zueinander senkrechte
Richtungen. Bei zirkular polarisierten Wellen dreht sich die große Hauptachse der Ellipse.
) 55
ist abwechselnd die š -Achse und die › -Achse die lange Achse der Ellipse. Nur für ãgäHÞ 2.óÍ2 4
, also
*
›
zweimal pro Schwingungsperiode, ist die Koordinatenlinie š &
ein
Kreis.
j &
Ein Kreis, den wir senkrecht zur 4 -Achse, also zur Ausbreitungsrichtung der Welle aufstellen, wird
beim Durchlauf der Welle abwechselnd in Richtung der š - und › -Achse gestreckt und gestaucht. Stellen
wir viele solche Kreise hintereinander auf, so bilden diese einen Zylinder. Es ergibt sich dann das Bild
in Abbildung 20.1(a). Der Zylinder, dessen Längsachse mit der Ausbreitungsrichtung der Wellen übereinstimmt, wird abwechselnd einmal in die eine, einmal in die andere Richtung verformt, wobei diese
Verformung als Welle mit Lichtgeschwindigkeit über den Zylinder hinweg rollt.
Damit haben wir eine anschauliche Vorstellung von einer Gravitationswelle. Sie bewirkt, dass sich die
Ebenen senkrecht zu ihrer Ausbreitungrichtung periodisch verformen, und zwar so, dass Abstände in zwei
senkrecht zueinander stehenden Richtungen abwechselnd gestreckt und gestaucht werden. Sie sind in diesem Sinne transversal. Die Streckung und Stauchung von Längen erfolgt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellen. Die Phasen gleicher Verformung bewegen sich dabei mit Lichtgeschwindigkeit durch den
Raum.
x
*
Und wie sieht nun eine Welle mit £”¤
und £¦¥ à
aus? Um das zu sehen, führen wir einfach eine
Koordinatentransformation durch. Wir setzen
) )Œ 4 4Œ š
šŒ
;
ƒ „
›Œ
›
šŒ j ›Œ ƒ „
(20.29)
Das ist eine Drehung um { 4 in der 2 š8œ› 5 -Ebene. Eine kurze Rechnung liefert dann die folgende Darstellung des Linienelementes (20.27) in den neuen Koordinaten,
'"î«&
*
Œ ¤ ãaäÞ 2»óÍ2g4 Œ ) Œ 5_5 v ' š Œ &
„
¦
£
j
j
; Œ
4 Π55
j £¦¥ ãaäHÞ 2.óÍ2gŒ ) ' Œš ' › Œ
' Ÿ) Œ & j ' 4 Œ & j
u
Das ist formal mit (20.27) identisch, jedoch haben wir
£1Œ ¤
£1Œ ¥
£¦¥ 394
x
u
ñ
„ £¦Œ ¤ ãaäHÞ 2.óÍ2g4 Œ ) Œ 55 v ' › Œ & j
(20.30)
£¦¤
(20.31)
;
gesetzt. Eine Rotation der 2 š6› 5 -Ebene um {§4 entspricht im wesentlichen dem Vertauschen von £”¤ und
è
£1¥ . f
Eine Welle mit £¦¤
und £¦¥ à
sieht daher genauso aus wie die zuvor diskutierte Welle mit
;
, jedoch ist sie um { 4 gedreht.
£1¤»à und £¦¥
Eine entsprechende Darstellung ist in Abbildung 20.1(b) gezeigt. Ein Kreis in der 2 š8œ› 5 -Ebene wird
auch hier abwechselnd in zwei zueinander senkrecht stehende Richtungen zu einer Ellipse verformt. Jedoch zeigen die Hauptachsen dieser Ellipse jetzt nicht mehr in Richtung der Koordinatenachsen, sondern
entlang der Winkelhalbierenden. Genau das soll durch die Bezeichnungen £¤ und £¦¥ angedeutet werden.
Eine Gravitationswelle hat also, genau wie eine elektromagnetische Welle, zwei verschiedene Polarisationen. Es gibt jedoch einen wesentlichen Unterschied. Die beiden Polarisationen einer elektroma¥
gnetischen Welle gehen bei einer Drehung um 4 ineinander über. Hier jedoch wird eine Welle mit der
;
Polarisation ¨ durch Drehung um {§4 in eine Welle der Polarisation © überführt.
¥
Würden wir den schwingenden Zylinder in Abbildung 20.1(a) um 4 drehen, so bekämen wir wieder
=
eine Welle derselben Polarisation ¨ , die gegenüber der ersten lediglich um phasenverschoben ist. Bei
¦H
4 drehen. In= beiden Fällen
einer elektromagnetischen Welle gilt das gleiche, wenn wir die Welle um
|
entspricht das einer Multiplikation aller Felder mit , also einer Phasenverschiebung um .
Dieser Unterschied rührt daher, dass das Gravitationsfeld z
Lg` ein Tensor zweiter Stufe ist, während das
elektromagnetische Feld i
ein Vektor ist. Ein Tensor zweiter Stufe reagiert, etwas vereinfacht ausgeL
drückt, doppelt so empfindlich auf eine Drehung wie ein Vektor, also ein Tensor erster Stufe. Abgesehen
von dieser etwas gewöhnungsbedürftigen Eigenschaft verhalten sich Gravitationswellen jedoch ansonsten
wie ihre elektromagnetischen Vorbilder.
Gravitationswellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und besitzen zwei unabhängige
Polarisationen, die durch eine Drehung um ª•«•¬ ineinander übergehen.
Aufgabe 20.4 In Abbildung 20.1(c) und (d) sind zwei zirkular polarisierte Gravitationswellen dargestellt.
Man zeige, dass sich diese wie folgt schreiben lassen,
4 ) 5 5  2»óÍ2 4 ) _5 5 N 2.óÍ2
v
u 
64 55 
64 5_5
)
)
1
£
®
.
2
Í
ó
2
»
2
Í
ó
2
j
N
v
z Nwv 2 ) 465 £>­
u



{N 2»óÍ2 4 ) 5 5 v{ 2»óÍ2 4 ) _5 5 v j


{N 2»óÍ2 4 ) 5 5 v{ 2»óÍ2 4 ) _5 5
v
(20.32)
Entstehung von Gravitationswellen
Bis heute wurden keine Gravitationswellen direkt nachgewiesen. Es fehlt also noch ein ganz wesentlicher
experimenteller Beleg für die allgemeine Relativitätstheorie, vergleichbar mit dem Nachweis von elektromagnetischen Wellen als Beleg für die Richtigkeit der Maxwellschen Elektrodynamik.
Woran liegt es, dass es bis heute nicht gelungen ist, Gravitationswellen nachzuweisen? Wenn wir einmal
von der Möglichkeit absehen, dass es sie vielleicht gar nicht gibt, die Einsteinsche Gravitationstheorie also
falsch ist, kann die Ursache eigentlich nur darin liegen, dass sie zu schwach sind, um gemessen zu werden.
Die vorhandenen Quellen von Gravitationswellen emittieren einfach nicht genug Strahlung, um sie auf der
Erde nachzuweisen, und an das Erzeugen von Gravitationswellen im Labormaßstab wäre dann ohnehin
nicht zu denken.
Wie können Gravitationswellen überhaupt entstehen? Elektromagnetische Wellen werden von beschleunigten Ladungen erzeugt. Aus der im letzten Kapitel bereits ausgiebig diskutierten Analogie zwischen elektromagnetischen Feldern und schwachen Gravitationsfeldern, insbesondere der Ähnlichkeit der
Greens-Funktion, schließen wir, dass Gravitationswellen von beschleunigten Massen erzeugt werden. Beschleunigt ist hier im Sinne der linearen Näherung, also im Sinne der speziellen Relativitätstheorie zu
verstehen.
395
Als Quellen kommen also vor allem Systeme in Frage, in denen große Massen große Beschleunigungen erfahren. Man kann zwischen Quellen unterscheiden, die über lange Zeit stabil sind und Wellen einer
konstanten Frequenz emittieren, und solchen, die während eines plötzlichen Ereignisses eine Art Schockwelle emittieren. Ein typisches Beispiel für eine über lange Zeit stabile Quelle ist ein Doppelsternsystem,
also zwei einander umkreisende Sterne. Die Analogie zu zwei einander umkreisenden Ladungen, die eine
elektromagnetische Welle aussenden, ist sofort offensichtlich.
Ein typisches einmaliges Ereignis ist der Kollaps eines ausgebrannten Sterns zu einem Neutronenstern
oder einem schwarzen Loch. Natürlich können wir, um einen solchen Vorgang zu beschrieben, nicht die
lineare Näherung verwenden. Jedoch werden bei einem solchen Ereignis sehr große Massen sehr stark
beschleunigt, und in der Realität wird dies nicht, wie wir in Kapitel 18 angenommen haben, kugelsymmetrisch geschehen. Das Gravitationsfeld in der Nähe dieses Ereignisses wird als sehr starken Oszillationen
ausgesetzt sein, so dass wir in einer größeren Entfernung erwarten können, Spuren des Ereignisses in Form
von Gravitationswellen zu sehen.
Da sich solche Einzelereignisse nur sehr schwer analytisch beschreiben lassen, 1 wollen wir hier ein einfaches Modell für ein Doppelsternsystem beschreiben. Ziel dieser Rechnung soll es sein, die Größenordnung der Amplitude einer auf der Erde gemessenen Gravitationswelle abzuschätzen, die von einem solchen
System emittiert wird. Natürlich müssen wir dazu an der einen oder anderen Stelle ein paar vereinfachende
Annahmen machen, aber solange uns nur die Größenordnungen interessieren, ist das gerechtfertigt.
Das erste Problem ergibt sich bereits aus der Tatsache, dass wir ein Doppelsternsystem im Rahmen
der linearisierten Gravitationstheorie nicht konsistent beschreiben können. Wie wir gesehen haben, vernachlässigen wir in der linearen Näherung die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die erzeugende
Materie. Nun ist es aber genau diese Rückwirkung, die ein Doppelsternsystem überhaupt zu einem solchen macht, also die beiden Sterne aneinander koppelt.
Der Ausweg besteht darin, dass wir ein gekoppeltes System von zwei Körpern der Masse betrachten,
die nicht durch Gravitation, sondern durch eine feste Stange der Länge „ miteinander verbunden sind.
Diese “Hantel” soll mit einer Kreisfrequenz ó rotieren. Ein solches System können wir im Rahmen der
speziellen Relativitätstheorie beschreiben. Wir müssen dazu nur einen geeigneten Energie-Impuls-Tensor
angeben, der die Kontinuitätsgleichung im Minkowski-Raum erfüllt. Diesen werden wir dann als Quelle
eines schwachen Gravitationsfeldes betrachten und in die linearisierte Einstein-Gleichung einsetzen.
Wir machen den folgenden Ansatz. Um alles so einfach wie möglich zu machen, betrachten wir die
beiden Körper  als punktförmig. Um die Kreisbewegung zu beschreiben,
 { 5 führen wir einen räumlichen
5
Einheitsvektor 2 \ sowie einen dazu orthogonalen Einheitsvektor 2 \ ein, wobei \ ein Winkel in der
2 4 š 5 -Ebene ist,

2 \ 5 ãgäHÞ
\
æ
j Þßáà
\
ç { 5 2\
ãgäHÞ
\
ç Þ_ßÕà
\
æ
B
 { { 5  5 2\
2\
(20.33)
Man beachte, dass der Strich auch die Ableitung nach \ bezeichnet, was im folgenden
nützlich ist.
‘  sehr
5
Die beiden um einander rotierenden Körper befinden sich zur Zeit ) an den Orten 2.ó ) . Für die Energiedichte
setzen wir daher
Å6MºM
5 š
)
2
6Å MºM

@
@ 
¯ 2 š j 2.ó ) 5 5 j 2 š 2»ó ) 55±°
(20.34)
Der Parameter ist also genau genommen nicht die Masse, sondern die Energie der beiden Körper. Wie
wir gleich sehen werden, ist dies jedoch die “Masse” im Sinne der Newtonschen Näherung, das heißt
in großer Entfernung werden wir neben den Gravitationswellen ein statisches Feld sehen, das von einer
Masse „H erzeugt wird. Der Begriff “Masse” ist hier also so zu verstehen wie in Kapitel 15 bei der
Diskussion der Schwarzschild-Metrik.
1
Sehr eindrucksvolle numerische Simulationen solcher Ereignisse und der sich daraus ergebenen Gravitationswellen werden
unter anderem am MPI für Gravitationsphysik durchgeführt, http://www.aei-potsdam.mpg.de.
396
Um zu sehen, wie die anderen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors aussehen, müssen wir die
Kontinuitätsgleichung lösen und zusätzlich noch ein paar vernünftige Annahmen machen. Zunächst bestimmenb wir die Komponenten
, also den Energiestrom.
Es muss gelten
b
b
b
5 Å M2) š
M»Å6MºM 2 ) š
ÅUMºN
5  5 a @

{ 2.ó ) ¯ 2 š j 2»ó ) 5_5
²ðó
A@
2š

.2 ó ) 55 °
(20.35)
Diese Gleichung können wir leicht lösen, denn auf der rechten Seite steht bereits eine räumliche Divergenz.
Es ist also


@
@  55 ° (20.36)
2 ) š 5 ³ ó { 2»ó ) 5 ¯ 2 š 2.ó ) 55
2 š 2.ó )
Å M
‘
j
{ 5
²ðó 2»ó )
Das Ergebnis ist auch vernünftig, denn
sind die Impulse der beiden Körper, so dass M
Å
auch, wie es sein sollte, die Impulsdichte darstellt.
Etwas komplizierter ist die Bestimmung der räumlichen Komponenten . Da die beiden Körper durch
Å
eine Stange aneinander gekoppelt sind, treten in dieser Stange Spannungen auf, das heißt es fließt Im
puls durch die Stange. Wir erwarten daher, dass
Å nicht nur an der Orten der beiden Körper von Null
verschieden
ist, sondern
verlangt
b
b auch entlang der Verbindunglinie.
b Die Kontinuitätsgleichung
b
5 ´&ó–&  { »2 ó )
š
)
2
Mȁ8M

²ðó–& »2 ó
5 š
)
2
Å
a @  5_5 ° 5  { 2.ó ) 5 ¯ A @ 2 š  .2 ó ) 55
2 š »2 ó )
j
j

@
,@  5 5 ° ) 5 ¯ 2 š j 2.ó ) 5 5
2 š 2.ó )
(20.37)
Die erste Zeile ist wieder ein Divergenz, die zweite Zeile aber nicht. Wir können sie aber als Divergenz
schreiben, wenn wir diesen wie folgt definieren,
eines symmetrischen Tensors
Å
Å


@
2) š 5 ´
& ó & { 2»ó ) 5 { 2.ó ) 5 ¯ 2 š j
#
 5  5 X
'[Z
²ðó–& 2»ó ) 2»ó )
!$#

@ 
.2 ó ) 5 5 j 2 š 2.ó ) 55±° j
@
2š

Z .2 ó ) 55
(20.38)
Aufgabe 20.5 Man zeige, dass dieser Tensor die Kontinuitätsgleichung (20.37) erfüllt.
Aufgabe 20.6 Die Kraft, die zwischen den beiden Körpern wirkt, ist der Impulsstrom durch eine Fläche,
die die Verbindungsstange genau einmal schneidet. Man zeige, dass dieser Impulsstrom und damit die

Kraft durch
´ðó & 2.ó ) 5 gegeben ist. Das ist genau der nichtrelativistische Ausdruck für die Kraft,
die nötig ist, um die Körper auf ihrer Kreisbahn zu halten. Er enthält jedoch implizit eine “relativistische
Korrektur”, weil nicht die Masse, sondern die Energie der beiden K örper ist.
Wir haben also jetzt im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie eine rotierende Hantel beschrieben, die
aus zwei gleich großen Massepunkten und einer Stange besteht, deren eigene Masse wir vernachlässigen.
Jetzt wollen wir, unter der Annahme dass die beiden Massen hinreichend klein sind, das linearisierte
Gravitationsfeld ausrechnen. Dazu benutzen wir die retardierte Greens-Funktion (19.51),
f;PX Å8La` 2 ) 4 š š 5 6
4
5
' š
zš aL ` 2 ) 4 š
(20.39)
Auch hier wollen wir alles so einfach wie möglich machen. Wir betrachten
nur die führende Ordnung
4 daher
4 š
š r
für
große
Abstände
von
der
Quelle,
das
heißt
wir
nehmen
an,
dass
ist.
Wir
können
dann
F
4 setzen, wobei der Abstand des Beobachters von der Quelle ist. Das ergibt
;
X 6
4
5
' š Å8Lg` 2 ) š 5
zš aL ` 2 ) 397
(20.40)
ED
Der mit abfallende Anteil des Gravitationsfeldes z
Lg` ergibt sich folglich als Integration des EnergieImpuls-Tensors
über die ganze Quelle, wobei wir aber die Retardierung beachten müssen, das heißt
Å6Lg`
wir “sehen” quasi die Quelle zur Zeit )
. Auch das ist aus der Elektrodynamik bekannt. Dort verhält
ED sich der mit
abfallende Anteil des Vektorpotentials genauso.
Das Integral (20.40) können wir sofort auswerten, da der Energie-Impuls-Tensor durch einfache Kombinationen von Deltafunktionen gegeben ist. Aus (20.34) und (20.36) folgt
zš ºM M 2 ) 465
¦
zš MºN 2 ) 495
(20.41)
Das kennen wir bereits als das Newtonsche Gravitationspotential eines Materieansammlung mit der Ge
x
D
samtmasse „H . Es entspricht genau dem Ausdruck (19.56), wenn wir dort für das Potential 1
„Ÿ§ setzen.
Allerdings gibt es jetzt auch nicht verschwindende räumlichen Anteile des Gravitationsfeldes. Die Integration von (20.38) ergibt


„ð ´ & ó & 

zš Nwv 2 ) 465
2N »óÍ2 ) H5_5 v 2.óÍ2 ) H5_5 °
¯ {N 2»óÍ2 ) 55 v{ 2»óÍ2 ) 55
(20.42)
Eigentlich müssten wir jetzt noch eine Eichtransformation durchführen, denn das so definierte Feld z š
La`
erfüllt nicht die an eine Gravitationswelle gestellten Eichbedingungen (20.20). Das können wir uns aber
sparen, da wir auch so die wesentlichen Eigenschaften des Gravitationsfeldes ablesen können.
Es besteht aus einem statischen Anteil (20.41), der von den Massen selbst erzeugt wird. Er entspricht
genau dem Newtonschen Gravitationsfeld eines Körpers mit der Masse „ð . Der oszillierende, räumlichen
Anteil (20.42) beschreibt offenbar eine Kugelförmige Gravitationswelle. Ihre Polarisation hängt von der
Blickrichtung, also dem Winkel zwischen dem Ortsvektor des Beobachters und der Drehachse der Hantel
ED
ab, und ihre Amplitude fällt mit ab.
Aufgabe 20.7 Man zeige, dass ein Beobachter auf der › -Achse, der das rotierende System “von oben”
D
sieht, eine zirkular polarisierte Welle mit der Amplitude £
„– ¢ & ó & wahrnimmt. Welche Polarisation sieht ein Beobachter in der 2 4 š 5 -Ebene? Warum ist die Frequenz der Gravitationwelle nicht ó ,
sondern „Eó ?
Wir wollen die Details dieser Lösung nicht weiter diskutieren, sondern zu unserer ursprünglichen Frage
zurück kommen. Wir hatten uns gefragt, warum wir bis heute keine Gravitationswellen gemessen haben,
und wir hatten vermutet, dass diese, wenn es sie denn gibt, einfach zu schwach sind, um nachgewiesen zu
werden.
Um die Größenordnung der Amplitude einer Gravitationswelle für ein realistisches Doppelsternsystem
zu berechnen, setzen wir folgende Zahlenwerte ein. Wir nehmen an, dass beide Sterne eine Masse von
#
einigen Sonnen haben, also r
m betragen. Das
| m. Der Abstand der beiden Sterne soll r
ist etwa der zehnfache Radius der Sterne, das heißt sie sind sehr dicht beieinander. Wie groß ist dann die
Umlauffrequenz ó ? Hier benutzen wir die Newtonsche Näherung, das heißt wir setzen die Anziehungskraft
aus Aufgabe 20.6 gleich der Newtonschen Gravitationskraft
I
´ðó–&
H ² ! D
Für unser Beispiel ergibt das ó r
{
}
&
;
&
B
ó–&
; (20.43)
sec. Die Umlaufzeit der Sterne beträgt etwa fünf Tage. Das
ist für ein typisches Doppelsternsystem nicht ungewöhnlich.
D
!$#µ D Die Amplitude der Gravitationswelle ergibt sich aus Aufgabe 20.7 zu £ r { mm r {
ly . In
der Milchstraße finden wir Doppelsternsystem dieser Art im Abstand von einigen tausend Lichtjahren.
A A !
Setzen wir also r {
ly, dann ergibt sich eine Amplitude der Gravitationswelle von £ r
&%& .
398
Das ist eine unvorstellbar kleine Amplitude. Um uns die Größenordnung klar zu machen, stellen wir uns
noch einmal den Zylinder in Abbildung 20.1 vor. Nehmen wir an, er hat einen Radius von einem Meter.
Dann beträgt die Längenänderung, die durch eine solche Gravitationswelle erzeugt wird, weniger als der
zehnmillionste Teil des Durchmessers eines Atomkerns. Der Abstand zwischen Erde und Sonne ändert
!
sich bei einer Gravitationswelle der Amplitude
&%& um gerade mal ein Ångström.
Damit ist klar, warum Gravitationswellen nicht unbedingt zu unserer täglichen Erfahrung gehören, und
warum auch ein Nachweis im Labor sehr schwierig ist. Es gibt einfach keine Quellen, die eine ausreichend
starke Welle erzeugen. Jedenfalls keine stabilen Quellen, die über einen längeren Zeitraum hinweg eine
Welle konstanter Frequenz abstrahlen.
Wenn wir einmalige Ereignisse betrachten, wie zum Beispiel den Kollaps eines Sterns, so ändern sich
die Größenordnungen nicht wesentlich. Wir wollen auch hier eine sehr einfache Abschätzung vornehmen.
Die Prozesse, die sich beim Kollaps eines Sterns abspielen, finden in einem Raumgebiet statt, dessen
Ausdehnung von der Größenordnung des Schwarzschild-Radius des Sterns ist, also „ð .
In diesem Raumgebiet sind die Oszillationen des Gravitationsfeldes sehr stark. Die lineare Näherung gilt
dort natürlich nicht mehr, aber für eine einfache Abschätzung der Größenordnung können wir annehmen,
dass die Abweichung Metrik von einer flachen Hintergrundmetrik dort mindestens von der Größenordnung
DS ED
ist. Wenn wir jetzt annehmen, dass diese Amplitude mit abfällt, dann hat die bei uns ankommende
D 5
Welle eine Amplitude £ r wir für die Masse wieder r
2 { . Setzen
| m, und für in Falle eines
!$# ~
A G
Ereignisses in der Milchstraße | ly r
.
! & m ein, so ergibt sich diesmal eine Amplitude £ r
Das ist zwar schon etwas mehr als
&%& , aber solche Ereignisse sind erstens sehr selten, und zweitens
treten diese Wellen in Form von Schockwellen auf, deren Nachweis wesentlich schwieriger ist als der von
stabilen Wellen einer Frequenz. Die typischen Zeitskalen, auf denen sich der Kollaps eines Sterns abspielt,
sind, wie wir aus Kapitel 18 wissen, ebenfalls von der Größenordnung . Für einen Stern von einigen
Sonnenmassen hat die Wellenfront also eine Breite von weniger als einer Millisekunde.
Ein anderes typisches Ereignis, von dem eine Gravitationswelle ausgeht, ist der Kollaps eines Doppelsternsystems. Was wir bei der obigen Rechnung nicht berücksichtigt haben, ist, dass das Doppelsternsystem durch die Abstrahlung der Gravitationswelle Energie und Drehimpuls verliert. Das führt dazu, dass
der Abstand der Sterne kleiner und die Umlauffrequenz größer wird. Wir sehen diesen Effekt in unserer Rechnung nicht, weil wir in der linearen Näherung die Rückwirkung des Gravitationsfeldes auf die
Massen nicht berücksichtigen.
Wir können daher an dieser Stelle nichts über die Dynamik dieses Prozesses sagen. Aber wir können
etwas über das Endstadium sagen. Nehmen wir einmal an, beide Sterne seien selbst schon zu Neutronensternen oder sogar zu schwarzen Löchern kollabiert. Dann werden sie sich solange umkreisen, bis der
Abstand von derselben Größenordnung ist wie der Radius der Sterne bzw. der schwarzen Löcher, also bis
r „ð ist. Dann wird etwas dramatisches geschehen, vergleichbar mit dem Kollaps eines einzelnen
Sterns, denn die beiden Objekte werden kollidieren und zu einem verschmelzen.
Betrachten wir den Zustand kurz davor. Wenn wir in der obigen Formel für die Umlauffrequenz r „ð ¶ D
„
setzen und r
sec. Kurz vor dem Zusammenstoß liegt die Umlauffre| m, dann ergibt sich ó r
quenz im Bereich von einigen Kilohertz. Die beiden Neutronensterne oder schwarzen Löcher umkreisen
einander etwa tausend mal pro Sekunde. Die lineare Näherung der Gravitationstheorie ist natürlich auch
hier nicht mehr anwendbar, aber mit dem gleichen Argument wir eben können wir eine grobe Abschätzung
der Größenordnung vornehmen.
A !$# ~
Es ergibt sich auch hier ein Amplitude von etwa
, wenn das Ereignis in einer Entfernung von
einigen tausend Lichtjahren stattfindet. Findet es außerhalb unserer Galaxis statt, in einer der Galaxien
in der Nähe, so reduziert sich die Amplitude noch um ein bis zwei Größenordnungen, das heißt wir sind
!$#µ
bei
. Es scheint. dass alle typischen Vorgänge im Kosmos, jedenfalls in unserer näheren Umgebung,
Gravitationswellen dieser Größenordnung erzeugen. Nur das Frequenzspektrum ist sehr verschieden. Es
reicht von einigen Millihertz für stabile Doppelsternsysteme, bis zu Wellen von einigen Kilohertz, die
399
typischerweise beim Kollaps von Sternen und Sternsystemen entstehen.
Nachweis von Gravitationswellen
Da wir die Gravitationswellen nicht unmittelbar sehen können, oder wegen des typischen Frequenzbereichs sollten wir vielleicht besser hören sagen, müssen wir uns ein paar Tricks einfallen lassen, mit denen
wir die minimalen Längenänderungen vielleicht doch wahrnehmen können. Zunächst müssen wir uns
darüber klar werden, wie wir Gravitationswellen prinzipiell messen können. Bisher haben wir nur die
anschauliche Vorstellung eine Welle aus Abbildung 20.1.
Daraus geht hervor, dass eine Gravitationswelle irgendwelche Längenänderungen im Raum bewirkt.
Aber was heißt das konkret? Was in Abbildung 20.1 dargestellt ist, ist die wellenartige Verformung, die
ein Zylinder erfährt, dessen Längsachse in der Ausbreitungsrichtung der Welle liegt. Den Zylinder hatten
›
wir durch die Koordinatengleichung š &
definiert. Aber eine Koordinatengleichung ist nicht
&
j
unmittelbar als Definition eines geometrischen Objektes interpretierbar.
Was heißt überhaupt “Zylinder”? Wie wir gesehen haben, wird durch die Koordinatengleichung š &
j
›&
im geometrischen Sinne gerade kein Zylinder definiert, sondern eine Fläche, deren Geometrie
im wesentlichen die in Abbildung 20.1 dargestellte ist, die sich mit der Zeit auch noch ändert. Was ist
dann eigentlich damit gemeint, wenn wir sagen, dass ein Zylinder durch die Gravitationswelle in einer
bestimmten Art und Weise verformt wird?
Um zu verstehen, wie eine Gravitationswellen Längenänderungen und Verformungen bewirkt, müssen
wir uns erst einmal klar machen, welche physikalische Situation wir eigentlich konkret beschreiben wollen. Mit anderen Worten, wir müssen ein konkretes Modell eines Zylinders, oder irgendeines anderen
Objektes aus Materie betrachten, und dann die Wirkung des Gravitationsfeldes auf diese Materie beschreiben. Solange wir uns nur auf die Darstellung der Metrik in irgendwelchen Koordinatensystem beziehen,
können wir keine sinnvollen physikalischen Aussagen machen.
Wir machen zunächst die folgende wichtige Beobachtung. Die Weltlinie eines Teilchens, welches relativ
zu dem Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 ruht, ist eine zeitartige Geodäte. Dass es eine zeitartige Kurve ist, ist
unmittelbar klar. Es ist auch offensichtlich, dass ) die Eigenzeit auf jeder solchen Weltlinie repräsentiert.
Beides können wir unmittelbar aus dem Linienelement (20.27) ablesen.
^
Um zu beweisen, dass es sich um eine Geodäte handelt, müssen wir zeigen, dass für eine Weltlinie 2 Z 5
^ 5 *
^ 5 f
mit \ M‹2 Z
und \ N‹2 Z
die Geodätengleichung gilt, also
T¹
Das ist genau dann der Fall, wenn
T T <
L j’Ä L `d \ ` \ d
Ä M MºM
f
Ä N MºM
f
(20.44)
(20.45)
Da sämtliche Komponenten des linearisierten Gravitationsfeldes z , die mindestens einen Index ) haben,
Lg`
verschwinden, folgt aus der Darstellung (19.17), dass diese Bedingungen erfüllt sind.
Das folgt sogar allein aus den Eichbedingungen (20.20). Die Aussage gilt daher nicht nur für eine einzelne ebene Gravitationswelle, sondern auch für eine beliebige Überlagerung solcher Wellen, also für jede
Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung in der gewählten Eichung. Ein relativ zum Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 ruhendes, frei fallendes Teilchen bleibt in Ruhe, auch dann, wenn eine Gravitationswelle
durchläuft.
Nun könnte man argumentieren, dass die Teilchen die Gravitationswelle deshalb gar nicht spüren? Ist
das vielleicht der Grund, dass wir noch keine Gravitationswellen gesehen haben? Man kann sich gar nicht
nachweisen, da es sich um Oszillationen der Metrik handelt, die gar nicht messbar sind, weil sie sich auf
die Bewegungsgleichungen der Materie nicht auswirken. Wie soll man ein Nachweisgerät bauen, wenn
nicht aus einzelnen Testteilchen, die das Gravitationsfeld vermessen, indem sie frei fallen?
400
Das ist zwar ein naheliegender Schluss, aber er ist falsch. Bereits die erste Schlussfolgerung ist falsch.
Aus der Tatsache, dass alle Teilchen, die relativ zu dem gewählten Koordinatensystem ruhen, dies auch
dann noch tun, wenn eine Gravitationswelle durch sie hindurchläuft, folgt gar nichts. Wir können nämlich
immer ein Koordinatensystem so wählen, dass eine gegebene Schar von Teilchen relativ zu diesem Koordinatensystem ruht, und zwar für alle Zeiten, oder wenigstens für ein endliches Zeitintervall.
Wir definieren das Koordinatensystem einfach so, dass jedes Teilchen einen Ort 2 4 š8œ› 5 um Raum
markiert, und die Zeitkoordinate ) wählen wir so, dass die auf jeder Weltlinie eines Teilchens die Eigenzeit
repräsentiert. Schlimmstenfalls werden einige Teilchen nach einer gewissen Zeit kollidieren, so dass eine
Koordinatensingularität vorliegt. Es ist also nicht immer möglich, die gesamte Raumzeit auf diese Weise
mit einer einziger Karte abzudecken.
Aus der Tatsache, dass irgendwelche frei fallenden Teilchen relativ zu ein Koordinatensystem ruhen,
folgt als gar nichts über die Geometrie der Raumzeit. Es ist lediglich eine Aussage über die Eigenschaften
des gewählten Koordinatensystems. Mit anderen Worten, die spurlose transversale Eichung des Gravitationsfeldes ist gerade so gewählt, dass das Koordinatensystem 2 ) 4 š6› 5 durch eine Schar von frei fallenden
Teilchen definiert wird.
Aber wie können wir denn jetzt das Gravitationfeld messen? Offenbar brauchen wir dazu mehrere Teilchen. Das können entweder mehrere frei fallende Teilchen sein, oder mehrere Teilchen, die einen ausgedehnten Körper bilden. Genau darauf beruhen die zwei Strategien, mit denen man im Prinzip Gravitationswellen nachweisen kann. Wir wollen sie hier kurz diskutieren, und eine grobe Abschätzung der
Größenordnungen durchführen, das heißt wie wollen uns fragen, wie groß die Amplitude einer Gravitationswelle sein muss, damit man sie in einem Labor auf der Erde oder im Weltraum nachweisen kann.
Ankopplung an einen Festkörper
Wir betrachten zuerst den Fall, dass eine Gravitationswelle durch einen Festkörper hindurchläuft. Der
Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Körper frei fällt, so dass sein Schwerpunkt einer zeitartigen
Geodäte in der Raumzeit folgt. Wir wählen unser Koordinatensystem so, dass er sich an der Stelle 4
x
C
x
š
›
befindet, und seine 4-Geschwindigkeit durch q M
und q N
gegeben ist. Dann betrachten
wir ein Teilchen der Masse in diesem Körper, welches sich am Ort relativ zu Schwerpunkt befindet.
Wie wir wissen, wirkt auf dieses Teilchen eine Gezeitenkraft
<Ç N Mïv‹M v
Das ergibt sich aus (18.84), wenn wir dort q M
und q N
vektor HN einsetzen, und schließlich die ganze Gleichung mit N
(20.46)
setzen, für 2 þ9` den räumlichen Abstandsmultiplizieren. Genauer gesagt ist dies die
Rückstellkraft, die der Festkörper aufbringen muss, um seine Form zu behalten.
Um die Kraft zu berechnen, müssen wir also den Krümmungstensor ausrechnen. Dazu verwenden wir
bleibt nur ein einziger Term übrig,
die Formel (19.20). Da alle Zeitkomponenten von z
b
Lg` b verschwinden,
nämlich
(20.47)
Ç N
z N
Mïv M
„
M M v
£ von Null verschieden
Als spezielles Beispiel wählen wir die Gravitationswelle (20.26), wobei nur £¶¤
sein soll. Die einzigen nicht verschwindenden Komponenten des Krümmungstensors sind dann
ž ž x ç ç 5
(20.48)
Ç M M
ó–&·£ ãaäHÞ 2»ó ) Ç M M
ó–&¸£ ãaäHÞ 2»ó ) 5
„
„
Da wir den Krümmungstensor zur Berechnung der Gezeitenkraft im Schwerpunkt des Körpers auswerten
‡
müssen, haben wir 4
gesetzt. Folglich muss auf einen Massepunkt in Festkörper, der sich am Ort
2 4 š8œ› 5 befindet, eine Rückstellkraft mit den folgenden Komponenten wirken,
æ <
ç ž *
5
Ëó–&·£ š ãaäHÞ 2.ó ) Ëó–&¸£ › ãgäHÞ 2»ó ) 5
(20.49)
„
„
401
Milchstraße
andere Galaxie
ó )
ó )
†=ÁD
„
ó )
f=
ó )
fo=ÁD
„
Abbildung 20.2: Ankopplung einer Gravitationswelle an einen Festkörper durch Gezeitenkräfte. Dargestellt ist jeweils die Verformung des Körpers und die dadurch auftretenden Rückstellkräfte während der
verschiedenen Phasen der Welle. Stimmt die Frequenz der Welle mit der Resonanzfrequenz des Körpers
überein, so kommt es zu einer Anregung.
In Abbildung 20.2 sind diese Kräfte in der 2 š8œ› 5 -Ebene während der verschiedenen Phasen der Welle
veranschaulicht. Der Festkörper soll klein im Vergleich zur Wellenlänge der Gravitationswelle sein, so
dass wir davon ausgehen können, dass sich der gesamte Körper praktische in einer Phasenebene befindet. Nur dann gilt die Formel (20.46) für die Gezeitenkraft, die wir in Kapitel 18 aus einer Entwicklung
der Geodätengleichung um den Schwerpunkt des Körpers abgeleitet hatten. Offenbar wird der Festkörper
durch die oszillierenden Anregungen in Abbildung 20.2 in eine bestimmte Schwingungsmode versetzt.
Um diese Anregung quantitativ zu beschreiben, betrachten wir den Festkörper als einen gedämpften harmonischen Oszillator. Um das ganze wieder so einfach wie möglich zu machen, denn es geht hier nur
um eine grobe Abschätzung der Größenordnungen, nehmen wir ferner an, dass die Eigenfrequenz der
angeregten Schwingungsmode genau der Frequenz ó der Gravitationswelle entspricht. Das heißt, unsere
Antenne soll genau auf die ankommende Welle abgestimmt sein.
Die betrachtete, spezielle Schwingungsmode Ê 2 ) 5 des Festkörpers wird dann durch eine Bewegungsgleichung der Form
¹
Ê 2 ) 5 j „¾ Ê \ 2 ) 5 j †ó–& Ê 2 ) 5
†ó–&·£œ ãgäHÞ 2»ó ) 5
„
}
(20.50)
beschrieben. Hier ist ó auf der linken Seite die Eigenfrequenz der Schwingungsmode, während es auf der
rechten Seite die Frequenz der Gravitationswelle repräsentiert.
D
Für den Dämpfungskoeffizient können wir auch „
ó 1 schreiben, wobei 1 die Güte des Oszillators
=
}
Anteil der Schwingungsenergie, die pro Oszilist. Die Güte, oder genauer deren „ -faches, ist der inverse
lation durch Dissipation verloren geht. Auf der rechten Seite haben wir als antreibende Kraft den Ausdruck
(20.49) eingesetzt, wobei für die typische Abmessung des schwingenden Festkörpers einzusetzten ist.
Um eine grobe Abschätzung zu bekommen, setzen wir einfach den mittleren Radius des Körpers ein.
Wir können dann die Differentialgleichung lösen und erhalten, wenn wir nur die angeregte, zeitlich
konstante Schwingung betrachten und die überlagerte, exponentiell gedämpfte Schwingung ignorieren,
Ê 2)5 „
£ß1¹ Þßáà 2»ó ) 5
Da sich die Oszillator mit der Anregung in Resonanz befindet, ist seine Schwingung genau um
genüber der Anregung phasenverschoben.
402
(20.51)
=ÁD
„
ge-
Die in dieser Oszillation enthaltene Schwingungsenergie ist
zum Quadrat, also
y
Ëó–&·£t&M1È&9&
D
ó & „
mal der Schwingungsamplitude
(20.52)
Um die Empfindlichkeit einer solcher Antenne abzuschätzen, betrachten wir den Fall, dass eine genügend
lange, resonante Welle durch den Festkörper läuft, so dass eine stabile Schwingung entsteht. Diese Schwingung ist messbar, wenn sie merklich größer ist als die durch thermisches Rauschen angeregte Schwingung
der gleichen Mode. Da jede Schwingungsmode in einem Körper der Temperatur eine thermische AnreÅ
gung y
 erfährt, wobei  die Boltzmann-Konstante ist, ergibt sich die Bedingung
Å
Ëó–&·£t&M1|&¸&ÅF
 Å
(20.53)
Jetzt setzen wir ein paar Zahlen ein. Wir betrachten eine Kugel aus Kupfer mit einem Durchmesser von
etwa drei Meter.2 Wir setzen für den mittleren Abstand der schwingenden Masse vom Schwerpunkt r
m. Die schwingende Masse selbst ist r
} kg, und die Resonanzfrequenz der in Abbildung 20.2
A D
gezeigten Mode liegt bei etwa ó r
sec.
Die
Güte eine solchen Kugel beträgt, wenn sie aus sehr
‡|A í
reinem Kupfer hergestellt ist, etwa 1
, das heißt eine Schwingung von einigen Kilohertz klingt erst
‡ nach einigen Minuten ab. Kühlen wir diese Kugel auf
mK, was auch ein nicht ganz unerhebliches
Å
Problem ist, so ergibt sich die Abschätzung
£
H
F
!
&|
(20.54)
Geben wir zur Sicherheit noch einen Faktor
hinzu, so folgt daraus, dass wir mit einer solchen Antenne
in der Lage sein sollten, Gravitationswellen zu messen, deren Frequenz im Bereich von einigen Kilohertz
! #
liegt, und deren die Amplitude größer als
& ist.
Das war auch die Größenordnung der Amplitude eine Gravitationswelle, die von einem Doppelsternsystem ausgesandt wird. Allerdings ist der Frequenzbereich ein ganz anderer, so dass die Kupferkugel sicher
nicht in der Lage ist, eine solche Welle zu empfangen. Die Wellen, die beim Kollaps von Sternen oder
anderen einmaligen Ereignissen entstehen, sind aber durchaus im Frequenzbereich von einigen Kilohertz
zu finden.
Der Kollaps eines Doppelsternsystems irgendwo in der Milchstraße oder in einer Nachbargalaxie sollte
also in der Lage sein, die Kugel wie eine Glocke zu einer Schwingung anzuregen. Dasselbe gilt für den
Kollaps eines Sterns zu einem schwarzen Loch. Wenn man dann noch das Glück hat, dasselbe Ereignis
mit optischen Teleskopen zu beobachten, hätte man einen sicheren Beleg dafür, dass es sich tatsächlich um
eine Gravitationswelle von diesem Ereignis handelt. Sie müsste gleichzeitig mit den elektromagnetischen
Wellen ankommen, denn beide breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.
Aufgabe 20.8 Wenn die Amplitude einer Gravitationswelle groß genug w äre, konnte man sie mit “bloßen
Ohren” hören. Wie würde sich der Kollaps eines Doppelsternsystems, wie wir ihn am Ende des letzten
Abschnitts beschrieben haben, anhören?
Interferometer
Die zweite und vielleicht etwas elegantere Möglichkeit, Gravitationswellen zu messen, beruht unmittelbar auf einer Längenmessung. Da die Längenänderungen in zwei zueinander zur Ausbreitungsrichtung
der Welle senkrechte Richtungen erfolgen, lassen sie sich sehr geschickt mit Hilfe eines Interferometers
messen.
2
Ein solches Projekt wurde tatsächlich geplant,
(http://www.nikhef.nl/pub/projects/grail/)
403
wird
jedoch
vorerst
wohl
nicht
verwirklicht
Ï
ºB»½¼¿¾À§ÀÂÁÄÃÀ§À
m
Ð
Milchstraße
andere Galaxie
Ñ
(a)
Å~Æ#ÇÉÈËÊ¿ÌÎÍ
m
(b)
Abbildung 20.3: Die Projekte GEO 600 und LISA. GEO 600 ist ein zweiarmiges Michelson-MorleyInterferometer (a). LISA besteht aus drei Satelliten, die in einem gleichseitigen Dreieck angeordnet
sind (b).
Man verwendet dazu im wesentlich das gleiche Gerät, mit dem Michelson und Morley der Nachweis der
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gelang. Wir kennen dieses Interferometer bereits aus Abbildung 2.1.
Wie kann man damit eine Gravitationswelle nachweisen? Die Voraussetzung ist, dass man die optische
Apparatur und die Spiegel so aufhängt, dass die frei fallen. Das ist natürlich ein Widerspruch in sich,
aber wir können das aufhängen so interpretieren, dass damit nur das statische Gravitationsfeld der Erde
kompensiert wird.
Nehmen wir also an, wir hätten ein Interferometer wie das in Abbildung 20.3(a) gezeigte. Ein Laserstrahl läuft durch einen Strahlteiler, dann entlang der beiden Arme, an deren Ende sich jeweils ein Spiegel
befindet, und schließlich zurück zum Strahlteiler, wo er mit sich selbst zur Interferenz gebracht wird. Wenn
wir die Armlängen so einstellen, dass sich am Ausgang gerade eine destruktive Interferenz einstellt, dann
können wir eine Längenänderung in einem der beiden Arme dadurch nachweisen, dass die destruktive
Interferenz aufgehoben wird, also ein Signal am Ausgang nachgewiesen wird.
Wenn sowohl die beiden Spiegel als auch der Strahlteiler mit der gesamten optischen Apparatur frei fallen, so befinden sie sich sich an in Ruhe relativ zu einem geeignet gewählten Koordinatensystem 2 ) 4 š6œ› 5 ,
so wie wir dies weiter oben diskutiert haben. Beim Durchlauf einer Gravitationswellen mit der richtigen
Polarisation ändern sich dann die metrischen Abstände zwischen den Spiegeln und dem Strahlteiler. Und
zwar wird einmal pro Schwingungsperiode der eine und einmal der andere Arm länger.
Das Durchlaufen einer Gravitationswelle bewirkt am Ausgang des Interferometers ein periodisches Signal. Dieses Signal kann unmittelbar gemessen werden. Anders als bei einem Festkörper ist es hier kein
Resonanzeffekt, der die Ankopplung an die Gravitationswelle bewirkt. Die Interferometerantenne ist nicht
auf eine bestimmte Frequenz abgestimmt. Es ist mit ihr im Prinzip möglich, den Phasenverlauf einer Welle
direkt zu messen. Dafür entfällt der nützliche Effekt, dass sich eine resonante Schwingung “aufschaukeln”
kann, was bei einem Festkörper die Empfindlichkeit bei der Resonanzfrequenz deutlich erhöht.
404
Zur Zeit sind mehrere solcher Geräte in Bau, zum Teil sogar schon im Probebetrieb. 3 Wir wollen auch
hier eine Abschätzung der Empfindlichkeit vornehmen. Allerdings beruht diese zu einem nicht unerheblichen Teil auf diversen optischen und elektronischen Tricks, auf die wir hier nicht eingehen können. Wir
können also hier nur sehr grob die Größenordnung ermitteln.
H
Das Projekt GEO 600, das in der Nähe von Hannover gebaut wird, hat eine Armlänge von
m. Al H
lerdings läuft der Laserstahl nicht nur einmal hin und zurück, sondern wird etwa {
Mal reflektiert, so
A í
dass sich eine effektive Armlänge von r
m ergibt. Für die Wellenlänge des Laserlichts setzen wir
T
AH
! ~
r
nm
m. Wenn wir annehmen, dass bereits eine Phasenverschiebung von einer tausendstel
!$#]í
Wellenlänge nachweisbar ist, so entspricht das eine relativen Längenänderung der beiden Arme von
A ! # .
Offenbar genügt das noch nicht, um die zu erwartenden Gravitationswellen mit Amplituden um
&
zu messen. Wie gesagt, lässt sich die Empfindlichkeit jedoch durch verschiedene optische und elektronische Tricks erhöhen. Im wesentlichen wird dabei die Bandbreite des Interferometers eingeschränkt, indem
man durch eine geschickte Rückkopplung des Signals eine Resonanz erzeugt. Damit soll es möglich sein,
! #
Signale bis zu Amplituden von
& zu messen, und bei stabilen Quellen konstanter Frequenz sogar bis
A ! í
& . Allerdings geht dadurch der Vorteil eines Interferometers, die Phase der Welle direkt zu messen,
wieder verloren.
Zwei weitere solche Projekte werden in Italien und in der USA gebaut. Ein weiteres, ganz anderes Projekt ist im Weltraum geplant.4 . Es handelt sich ebenfalls um ein Interferometer, jedoch nicht mit zwei,
sondern mit drei Armen, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, wie es in Abbildung 20.3 dargestellt ist.
Der Vorteil dieses Anordnung ist, dass dieses Interferometer für jede mögliche Polarisation einer Gravitationswelle ist.
Außerdem liegen zwei weitere Vorteile eines Weltrauminterferometer auf der Hand. Hier sind die Spiegel und die optischen Instrumente tatsächlich im freien Fall. Es gibt kein zu eliminierendes statisches
Gravitationsfeld. Außerdem können die Armlängen fast beliebig lang sein. Es ist nicht erforderlich, ein
Vakuumröhre für die Laserstahlen zu installieren. Tatsächlich soll das Weltrauminterferometer nicht in
einer Erdumlaufbahn stationiert werden, sondern in einer Sonnenumlaufbahn.
S µ
m
Es soll der Erde im Abstand von etwa „ 4 auf ihrer Bahn folgen, und die Armlänge soll etwa {
EDH
betragen, also fünf Millionen Kilometer oder
des Abstandes von der Erde zur Sonne. In jedem der
drei Satelliten befindet sich ein Laser und ein Strahlteiler, sowie die Spiegel, die die Enden der von der anderen beiden Satelliten ausgehenden Arme bilden. Mit ähnlichen optischen und elektronischen
Tricks soll
! es mit diesem Interferometer möglich sein, Wellen mit Amplituden von bis zu
& im Frequenzbereich
von einigen hundertstel Hertz, also Schwingungen im Minutenbereich zu messen. Das sind die Wellen, die
von typischen Doppelsternsystemen emittiert werden, wie wir sie weiter oben beschreiben haben.
Aufgabe 20.9 Um sich die Größenordnungen des geplanten Weltrauminterferometers klar zu machen,
berechne man die Zeit, die ein Photon benötigt, um einmal vom Satelliten i zum Satelliten £ und wieder zurück zu laufen, um mit seinen quantenmechanischen Zwilling, der inzwischen zum Satelliten Ò und
zurück gelaufen ist, zu interferieren. Man vergleiche diese Laufzeit mit der zu erwartenden Schwingungsperiode einer Gravitationswelle.
Exakte Lösungen
Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir zeigen, dass es auch exakte Lösungen der Einstein-Gleichung
gibt, die wir als Gravitationswellen interpretieren können. Die Amplituden solcher Wellen können beliebig
groß werden. Gravitationswellen existieren also nicht nur als Lösungen der linearisierten Theorie, sondern
auch als Lösungen der vollen, nichtlinearen Einstein-Gleichung. Es handelt sich dabei um eine der wenigen
3
Aktuelle Informationen gibt es auf den
http://www.geo600.uni-hannover.de.
4
Siehe http://sci.esa.int/home/lisa/.
Webseiten
405
der
einzelnen
Projekte,
zum
Beispiel
bei
bekannten exakten Lösungen der Einstein-Gleichung, von denen wir bisher nur die Schwarzschild-Metrik
kennen.
Da wir an dieser Stelle allerdings die lineare Näherung verlassen, gilt für diese Lösungen kein Superpositionsprinzip mehr. Es ist daher nicht mehr möglich, Wellen verschiedener Frequenz und Ausbreitungsrichtung zu überlagern. Solche Wellen würden, anders als elektromagnetische Wellen, miteinander
wechselwirken. Nur solange ihre Amplituden hinreichend klein sind, durchdringen sich Gravitationswellen ohne einander merklich zu beeinflussen.
Anschaulich können wir uns das so vorstellen, dass eine Gravitationswelle selbst Energie und Impuls
trägt, so dass sie wiederum ein eigenes Gravitationsfeld erzeugt bzw. das Feld einer anderen Welle spürt.
Es sind sogar sehr extreme Situationen denkbar, in denen mehrere “kollidierende” Gravitationswellen
ein schwarzes Loch oder eine andere singuläre Struktur bilden. Auf solche Phänomene werden wir hier
allerdings nicht eingehen.
Wir werden hier nur das einfachste Beispiel diskutieren, nämlich eine einzelne, ebene Welle, deren
Profil jedoch beliebig vorgegeben werden kann. Um einen geeigneten Ansatz für die Metrik zu finden,
betrachten wir zunächst eine entsprechende Lösung der linearisierten Einstein-Gleichung, nämlich eine
ebene Welle der Polarisation ¨ , die sich in 4 -Richtung ausbreitet. Die allgemeinste Welle dieser Art ist
durch
ž‹ž 2 465
2
(20.55)
z ç_ç
z
„ 2)
2 ) 465 ê 465
2
gegeben. Alle anderen Komponenten von z
La` verschwinden. Die Funktion 2 2 ) 465 kann
Y beliebig vorge 4
geben werden. Sie bestimmt das Profil der Welle. Zum Beispiel können wir 2 )
setzen für )
außerhalb eines bestimmten, endlichen Intervalls, um eine Stoßwelle endlicher Ausdehnung zu beschrei 465 ãgäHÞ 2.óÍ2 ) 4655 für eine Welle fester Frequenz.
ben, oder 2 2 )
Wenn wir die zugehörige Metrik als Linienelement schreiben, so ergibt sich unter Vernachlässigung von
Termen der Ordnung z &
'Sî &
mit
¾2 )
`
x
64 5
') & j ' 4 & j 3
` 2 )
& ' š & j ‚92 ) 64 5 & ' › & 465 x
j
2
2)
64 5
‚U2 )
465 xñ
2
2)
465 (20.56)
(20.57)
Die Funktionen ` und ‚ geben an, wie sich die Abstände zwischen Punkten in der 2 š8œ› 5 -Ebenen beim
Durchlauf der Welle ändern. Im Prinzip sind das genau die Funktionen, die wir mit dem Interferometer in
Abbildung 20.3(a) messen würden.
Diese Metrik werden wir jetzt als Ansatz in die Einstein-Gleichung einsetzen. Jedoch werden wir dabei nicht mehr die Annahme machen, dass die Funktionen ` und ‚ nur wenig von Eins abweichen. Wir
suchen also eine Lösung der Einstein-Gleichung, die die typischen Eigenschaften einer Gravitationswelle
hat, deren Amplitude aber beliebig groß sein kann. Die einzige Bedingung, die wir an die Funktionen `
und ‚ stellen müssen, ist, dass beide positiv sind. Sonst liegt, wie wir gleich sehen werden, eine Koordinatensingularität vor.
Bevor wir die Einstein-Gleichung lösen, wollen wir jedoch eine wichtige Eigenschaften der Metrik
(20.56), bzw. des Koordinatensystems 2 ) 4 š6› 5 diskutieren. Es hat genau die gleiche Eigenschaft wie
das entsprechende Koordinatensystem in der linearisierten Theorie. Es wird durch eine Schar von frei
fallenden Teilchen definiert, das heißt die Weltlinien 2 4 š6œ› 5
const sind zeitartige Geodäten und ) ist
die Eigenzeit auf diesen Weltlinien.
Um das zu zeigen, schreiben wir die Metrik zunächst ein wenig um, indem wir Lichtkegelkoordinaten
q ) 4 und O ) 4 einführen,
j
'Sî &
x
5
5& ' › &
q
' q ' O j ¾
` 2 q & ' š &
U
‚
2
j
406
(20.58)
T p T r x
Die 4-Geschwindigkeit eines ruhenden Teilchens hat dann die Komponenten \
\
T ç T ž und \
\
. Um zu zeigen, dass dann die Geodätengleichung
T¹
T T L jËÄ L `d \ ` \ d
(20.59)
erfüllt ist, brauchen wir die Christoffel-Symbole.
Aufgabe 20.10 Man zeige, dass nur die folgenden Christoffel-Symbole, dargestellt in Lichtkegelkoordinaten 2 q O š6œ› 5 , von Null verschieden sind,
rç ç „`¾2 q 5 ` { 2 q
Ä
rž ž „3‚U2 q 5 ‚ { 2 q
Ä
ç pÃç `8{·2 q
Ä
Ä
`32 q
žž ž ž ‚ { 2 q
p
p
Ä
Ä
‚92 q
5
ç çWp 5
5
5
5 5
(20.60)
Daraus ergibt sich unmittelbar, dass für die angegebene Weltlinie die Geodätengleichung (20.59)
tatsächlich erfüllt ist.
Das Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 hat also eine unmittelbare physikalische Interpretation. Es ist durch
eine Schar von frei fallenden Testteilchen definiert, und die Funktionen `¾2 q 5 und ‚U2 q 5 bestimmen die
Abstände zwischen Teilchen in der 2 š8œ› 5 -Ebenen, die sich beim Durchlauf einer Welle periodisch ändern.
Um die Einstein-Gleichung zu lösen, benötigen wir den Einstein-Tensor.
Aufgabe 20.11 Man berechne aus (20.60) den Krümmungstensor, den Ricci-Tensor und schließlich den
Einstein-Tensor. Dieser hat nur eine einzige nicht verschwindende Komponente, n ämlich
{{ 2 q 5 ‚ {{ 2 q 5 5 j 9‚ 2 q 5 E
`¾2 q
Die “Wellengleichung”, die die Funktionen `¾2 q 5 und ‚92 q 5 erfüllen müssen, lautet also
5 ‚ { { 2 q 5 f
` {{ 2 q
5 j ‚U2 q 5
`¾2 q
D
*
pDp
`
(20.61)
(20.62)
Als Test kann man leicht nachprüfen wir, dass die bereits bekannte Lösung (20.57) diese Gleichung
tatsächlich für hinreichend kleine 2 2 q 5 löst. Aber wie sehen die exakten Lösungen aus? Die Allgemeine Lösung von (20.62) kann offenbar durch eine dritte Funktion U2 q 5 parametrisiert werden, so dass
`
5
{ { 2 q 5 9 2 q 5 ¾
` 2 q * q 5 q 5 ‚ {{ 2 q 5
U2 ‚92
(20.63)
Wie können also das Profil 92 q 5 der Welle, und zusätzlich noch je zwei Anfangsbedingungen für `¾2 q 5 und
‚92 q 5 vorgeben.
Doch bevor wir die allgemeine Lösung diskutieren, betrachten wir erst ein paar Spezialfälle. Die ein
x
fachste Lösung ist offenbar `¾2 q 5
und ‚92 q 5
. Dann ist die Raumzeit flach, das heißt es ist gar keine
*
Gravitationswelle vorhanden. Eine weiter Schar von einfachen Lösungen ergibt sich, wenn wir U2 q 5
setzen. Es ist dann
5 Ê q t
`32 q
‚U2 q 5 Ž q (20.64)
wobei Ê
t
,Ž
j
j
,
, und Konstanten sind. Die Raumzeit ist dann auch flach, jedoch handelt es sich um ein
etwas ungewöhnliches Koordinatensystem auf dem Minkowski-Raum.
407
Aufgabe 20.12 Man zeige, dass die Metrik
'Sî &
x
' q ' O j 2Ê q j
t
5& ' š & 2Ž q 5& ' › &
j
j
(20.65)
in die gewöhnliche Minkowski-Metrik übergeht,
*
'Sî &
' q Œ ' O Œ j ' Œš & j ' › Œ & (20.66)
wenn wir die folgende Koordinatentransformation durchführen,
t
› Œ 2 Ž q j 5 ›
2 Ê q j 5 8š t
qŒ q O Œ O Ê š &Á2 Ê q j 5 Ž › &2 Ž q j 5
šŒ
(20.67)
Wie können wir das verstehen? Betrachten wir die Weltlinie eines Teilchens, das relativ zu dem Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 ruht. Wir wissen, dass seine Weltlinie eine zeitartige Geodäte ist. Wenn ª die
Eigenzeit des Teilchens ist, wird ist die Weltlinie in Lichtkegelkoordinaten durch
q ª 4 G
O
ª j 4 G
š
šG
›
›G
(20.68)
2gq Œ O Œ š$Œ › Œ 5 , so ergibt sich
t
qŒ ª 4 G O Œ ª j 4 G Ê š G & 2 Ê 2·ª 4 G 5 j 5 Ž › G & 2 Ž 2·ª 4 G 5 j 5
t
š Œ 2 Ê 2·ª 4 G 5 j 5 š G › Œ 2 Ž 2·ª 4 G 5 j 5 › G
(20.69)
Entscheidend ist hier nur, dass alle Koordinaten lineare Funktionen von ª sind. Das muss natürlich so sein,
denn die Weltlinie ist eine zeitartige Geodäte und 2gq Œ O Œ š$Œ › Œ 5 ist ein kartesisches Koordinatensystem. Die
gegeben. Transformieren wir diese Weltlinie in das Koordinatensystem
Weltlinie ist eine zeitartige Gerade im Minkowski-Raum.
Betrachten wir jedoch die 4-Geschwindigkeiten der einzelnen Teilchen, so sind diese nicht gleich. Das
heißt, die Teilchen bewegen sich relativ zueinander. Das Koordinatensystem 2 q O š6œ› 5 wird noch immer
durch eine Schar von frei fallenden Teilchen definiert. Aber da diese nicht relativ zueinander in Ruhe sind,
ergibt sich kein gewöhnliches, kartesisches Koordinatensystem im Minkowski-Raum. Statt dessen nimmt
die Metrik die etwas ungewöhnliche Form (20.65) an.
nltgD Ê
C D Ž
Offenbar ist diese Metrik an den Stellen q
und O
nicht mehr wohldefiniert. Dort liegt
eine Koordinatensingularität vor, denn an diesen Stellen in der Raumzeit stoßen die Teilchen zusammen.
Das so definierte Koordinatensystem deckt also nur einen Teil des Minkowski-Raumes ab. Wir hatten dieses Problem bereits weiter oben angesprochen. Wenn ein Koordinatensystem durch frei fallen Teilchen
aufgespannt wird, kann es passieren, dass eine Koordinatensingularität auftritt, weil die Teilchen zusammenstoßen. Ein Punkt in Raum ist dann nicht mehr eindeutig durch ein bestimmtes Teilchen definiert.
Aber was hat das alles mit Gravitationswellen zu tun? Noch nichts, aber wir werden gleich sehen, dass
dieses Problem typischerweise auftreten wird, wenn wir eine allgemeine Lösung der Gleichung (20.62)
betrachten, die eine Gravitationswelle beschreibt.
Es ist leider nicht möglich, die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung explizit durch einfache
Funktionen auszudrücken. Trotzdem können wir deren Verhalten leicht verstehen. Wir wollen versuchen,
eine möglichst realistische Situation zu beschreiben. Wir nehmen an, dass wir zunächst eine flache Raumzeit vorliegen haben. Durch diese läuft dann eine Gravitationswelle mit einem beliebig vorgegeben Profil,
aber mit einer endlichen Breite. Danach ist die Raumzeit wieder flach.
In Abbildung 20.4(a) ist ein solcher Vorgang in einem Raum-Zeit-Diagramm in der 2 q O 5 - bzw. 2 ) 465 Ebene dargestellt. Die Welle läuft mit Lichtgeschwindigkeit von links nach rechts. Sie nimmt einen endlich
breiten Streifen q # ö q ö q ein. Außerhalb dieses Streifens ist die Raumzeit flach. Die 2 š8œ› 5 -Ebene steht
&
408
q
¾2 q 5
`
O
q G
flach
q &
Welle
q #
q
‚92 q 5
q & Milchstraße
q G
andere Galaxie
q #
flach
q #
(a)
q &
q G
q
(b)
Abbildung 20.4: Eine Stoßwelle läuft durch eine ansonsten flache Raumzeit. Die Welle nimmt einen hell
unterlegten Bereich T # Ù T Ù T der Lichtkegelkoordinate T ein. Die Funktionen •«Ó T Ú und ÓÓ T Ú bestim&
men das Profil der Welle. Im allgemeinen wird die Raumzeit nicht durch ein einziges Koordinatensystem
abgedeckt, da an einer Stelle T Õ T G nach dem Durchlauf der Welle eine Koordinatensingularität auftritt.
in jedem Punkt dieses Diagramms zur 2 q O 5 -Ebene senkrecht. Außerhalb des hell unterlegten Streifens hat
sie die gewöhnliche Geometrie, innerhalb des Streifens wird sie durch die Gravitationswelle deformiert.
Wie müssen wir nun die Funktionen `¾2 q 5 und ‚92 q 5 , bzw. die Funktion 92 q 5 in (20.63) wählen? Für
®
q ö q # soll
die
Raumzeit flach sein. Dort setzen wir U2 q 5
und fixieren die Anfangsbedingungen so,

5
5
dass `¾2 q
und ‚92 q
ist. Unser Koordinatensystem im flachen Raum wird also für q ö q # durch
eine Schar von relativ zueinander ruhenden, frei fallenden Teilchen definiert.
Nun kommt die Gravitationswelle. Wir geben ihr Profil beliebig vor, indem wir eine Funktion U2 q 5
wählen, die für q # ö q ö q von Null verscheiden ist. Es ergibt sich dann das in Abbildung 20.4(b)
&
gezeigte Verhalten der Funktionen `¾2 q 5 und ‚92 q 5 . Im Bereich q ö q # sind beide Funktionen gleich Eins.
Im Intervall q # ö q ö q oszillieren sie gegeneinander, aber nicht exakt gegeneinander, denn die zu
&
integrierenden Differentialgleichungen (20.63) sind nicht linear.
C
Für q £ q soll die Raumzeit wieder flach sein, das heißt dort setzen wir wieder U2 q 5
. Nun wird
C
&
5
5
q
q
es aber im allgemeinen nicht so sein, dass dort wieder `¾2
und ‚92
ist. Im allgemeinen haben
q
die Funktionen `¾2 q 5 und ‚92 q 5 an der Stelle q
irgendeinen Wert und irgendeine erste Ableitung.
&
Wenn wir sie dann linear fortsetzen, ergibt sich typischerweise der Verlauf in Abbildung 20.4(b). Wegen
der gegenläufigen Oszillation wird in der Regel eine Funktion steigen, die andere fallen.
Es liegt also genau der Fall vor, den wir gerade diskutiert haben. Nach dem Durchlauf der Gravitationswelle ist die Raumzeit wieder flach, aber das Koordinatensystem 2 ) 4 š8œ› 5 ist nicht mehr kartesisch. Da
es durch eine Schar von frei fallenden Teilchen aufgespannt wird, heißt das, dass sich diese Teilchen jetzt
relativ zueinander bewegen.
Für einen ruhenden Beobachter stellt sich das Bild zunächst wie in Abbildung 20.5(a). Vor dem Durchlauf der Welle sieht er eine Schar von ruhenden Teilchen in der 2 š6› 5 -Ebene. Nach dem Durchlauf der
Welle sind die Teilchen noch immer relativ zum Koordinatensystem 2 ) 4 q œ› 5 in Ruhe, aber dieses ist
keine kartesisches Koordinatensystem mehr und somit nicht das Bezugsystem des Beobachters. Stattdes409
›Œ
›
Milchstraße
andere Galaxie
š
Œš
(b)
(a)
Abbildung 20.5: Eine Ansammlung von Teilchen in der ÓÕØ֋ÙoÚ -Ebene, die vor dem Durchlauf einer Gravitationswelle relativ zueinander ruhen (a). Nachdem die Welle durchgelaufen ist, bewegen sich die Teilchen
relativ zueinander (b).
sen müssen wir zu einem neuen Inertialsystem 2 ) Œ 4 Œ š[Œ › Œ 5 übergehen, welches sich aus der Koordinatentransformation (20.67) ergibt. Dies ist jetzt das Inertialsystem eines ruhenden Beobachters.
Relativ zu diesem Koordinatensystem bewegen sich jedoch die Teilchen, so dass sich für den Beobachter
das Bild in Abbildung 20.5(b) ergibt. Für ihn stellt sich die Situation so dar, als hätte die Gravitationswelle
auf die Teilchen einen Impuls übertragen, der umso größer ist, je weiter sich das Teilchen von ihm entfernt
befindet. In Wirklichkeit hat sich aber nur die Geometrie der Raumzeit geändert. Die Gravitationswelle
ist eine Art Knick in der ansonsten flachen Raumzeit. Er bewirkt, dass sich Teilchen, die vorher relativ
zueinander ruhten, nun plötzlich bewegen, obwohl jedes einzelne Teilchen auf einer Geodäten läuft.
Wenn eine der beiden Funktion, also `¾2 q 5 oder ‚92 q 5 , nach dem Durchlauf der Welle monoton fällt,
q
erreichen wir irgendwann eine Stelle q
G , an der diese Funktion Null wird. Das ist die Stelle, an der die
Teilchen zusammenstoßen. Dort liegt dann eine Koordinatensingularität vor, das heißt über diese Stelle
hinaus können wir das ursprüngliche Koordinatensystem nicht fortsetzen. Jedoch ist diese Singularität
völlig harmlos, denn in dem Bereich q ö q ö q G können wir bereits zu dem neuen Koordinatensystem
&
2 ) Œ 4 Œ š[Œ › Œ 5 übergehen, und das können wir zu beliebig großen q fortsetzen. Die gesamte Raumzeit wird
also in jedem Fall durch zwei Karten vollständig abgedeckt.
Einen solchen Effekt sehen wir in der linearisierten Theorie nicht, denn dort kehrt das Gravitationsfeld
nach dem Durchlauf einer Welle stets auf den Wert z
zurück, ohne dass wir das KoordinatensyLg`
stem wechseln müssen. Das liegt daran, dass die Abweichung der Metrik (20.65) nicht mehr als leicht
gekrümmt betrachtet werden kann, obwohl sie ja tatsächlich sogar flach ist. Sie weicht aber stark von der
Hintergrundmetrik ab, und repräsentiert deshalb in diesem Sinne kein schwaches Gravitationsfeld.
Was wir hier sehen, und was in der linearisierten Theorie nicht beschrieben werden kann, ist, wie eine
Gravitationswelle ganz explizit die Information über die sich ändernde die Geometrie der Raumzeit transportiert. Nehmen wir an, wir befinden uns in einem kleinen Raumschiff, das wir als lokales Inertialsystem
betrachten können, in der Nähe einer sehr großen stabilen Materieansammlung. Plötzlich wird dies Materieansammlung instabil und ändert ihre Konfiguration. Dann wird die Information über das sich ändernde
Gravitationsfeld in Form einer Gravitationswelle, die wir uns in diesem Fall als ein Schockwelle vorstellen
können, nach außen transportiert.
Wenn die Schockwelle unser Raumschiff erreicht, können wir sie näherungsweise als ebene Welle be410
trachten, denn unser Raumschiff ist klein im Vergleich zu den typischen Längenskalen der Materieansammlung. Aber irgendwie bekommt unser Raumschiff die Änderung der Geometrie der Raumzeit mit.
Es knarrt möglicherweise ein wenig wegen der Spannung, die entsteht, weil sich seine Wände plötzlich
nicht mehr relativ zueinander in Ruhe befinden. So, als hätte jemand plötzlich gegen das Raumschiff gedrückt oder an ihm gezogen. Nach dem Durchlauf der Welle muss sich das Raumschiff erst mit neuen
Geometrie der Raumzeit arrangieren. Wir können auch etwas anschaulicher sagen, dass es sich ein neues
lokales Inertialsystem suchen muss.
Eine Gravitationswelle tut also genau das, was auch eine elektromagnetische Welle tut. Sie transportiert
die Information darüber, dass sich das Feld ändert, und dieser Transport geschieht mit Lichtgeschwindigkeit.
Aufgabe 20.13 Man zeige, dass die letzte Aussage nicht nur im Rahmen der linearen N äherung gilt, sondern auch für die hier konstruierte exakte Lösung. Man betrachte dazu ein masseloses Testteilchen, dass
n
é
š\ ›\
und O \
, so dass es stets die
die mit der Welle mitbewegt, also auf einer Weltlinie mit q \
gleiche Phase der Welle sieht. Man zeige, dass dies eine lichtartige Geod äte ist.
Aufgabe 20.14 Wie ändert sich das Profil einer Gravitationswelle unter der Koordinatentransformation
) ˜™
ãaäHÞ_â
) j Þßáàâ
4 4½˜™
Þ_ßÕàâ
) j ãaäHÞ_â
4 (20.70)
Welche physikalische Interpretation hat diese Transformation?
21 Kosmologie
Was sagt die allgemeine Relativitätstheorie über das Universum als Ganzes aus? Bisher haben wir nur
einzelne Objekte wie Sterne oder schwarze Löcher, sowie die Bahnen von Testkörpern in deren Nähe
betrachtet. Wir sind dabei stets davon ausgegangen, dass die Raumzeit in genügend großer Entfernung
von solchen Objekten flach wird, weil sich dort keine Materie mehr befindet. Die schwache Krümmung,
die dort vorliegt, können wir durch ein linearisiertes Gravitationsfeld beschreiben. Wir sehen dort im
wesentlichen nur noch ein Newtonsches Gravitationspotential, und möglicherweise ein paar auslaufende
Gravitationswellen.
Aber wie sieht das Weltall auf einer sehr viel größeren Skala aus, wenn wir alle diese “Details” ignorieren, also die einzelnen Sterne und Galaxien übersehen? Dies ist die Frage, mit der sich die Kosmologie
beschäftigt. Sie ist das dritte wichtige Standbein der allgemeinen Relativitätstheorie, neben den Beobachtungen im Sonnensystem und den Laborversuchen, die wir in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich
beschrieben haben. Auch über das Weltall im großen Maßstab macht die allgemeine Relativitätstheorie
Aussagen, die sich durch Beobachtungen bestätigen oder widerlegen lassen sollten.
Das kosmologische Prinzip
Um ein möglichst einfaches Modell für das Universum als Ganzes zu entwerfen, müssen wir uns zunächst
überlegen, welche grundsätzlichen Eigenschaften die Raumzeit hat, wenn wir über ihre Struktur im Detail
hinwegsehen. In unserer nähere Umgebung finden wir allerlei Strukturen: die Planeten, das Sonnensystem, die Milchstraße, ihre Nachbargalaxien, schließlich weitere Galaxien, die sich wieder zu größeren
Strukturen gruppieren, den sogenannten Galaxienhaufen.
Um die Größenordnung dieser Strukturen zu beschreiben, führen wir eine in der Kosmologie gebräuchlich Längeneinheit ein, die Paralaxensekunde. Eine Paralaxensekunde, abgekürzt “pc”, ist die Entfernung,
aus der der Abstand zwischen Erde und Sonne gerade eine Bogensekunde beträgt. Das sind etwa
pc
<SuH¦ #]í
{
411
m
„
{
ly
(21.1)
Die Motivation für diese zunächst etwas merkwürdige Definition einer Längeneinheit ergibt sich aus einer
Methode zur Entfernungsbestimmung von Sternen in unserer Nähe.
Aufgabe 21.1 Wie kann man den Abstand zu einem Stern in der Nachbarschaft der Sonne bestimmen,
wenn man zwei Bilder derselben Himmelsregion vorliegen hat, aufgenommen im Abstand von einem halben Jahr, wobei der Stern jeweils im rechten Winkel zur Sonne stand? Bis zu welcher Entfernung, in etwa,
liefert dieses Verfahren ein einigermaßen genaues Ergebnis?
Da drei Paralaxensekunden etwa zehn Lichtjahre sind, gäbe es eigentlich keinen Grund, eine solche Einheit
einzuführen. Aber sie ist eben sehr gebräuchlich, und deshalb werden wir sie hier auch verwenden.
Unsere nächsten Nachbarsterne haben Entfernungen von einigen pc. Der Durchmesser der Milchstraße
;H
beträgt etwa kpc. Die Andromeda-Galaxie ist etwa {c{ kpc von uns entfernt. Galaxienhaufen
í
~ enthalten
einige hundertausend Galaxien und erreichen Abmessungen von einigen Mpc, also
bis
Lichtjahren.
Das sind die Größenordnungen, in denen die Materie in sehr inhomogener Form auftritt.
Anders als Galaxien sind Galaxienhaufen aber keine deutlich voneinander abgegrenzten Objekte mehr.
Es handelt sich eher um lokale Dichteschwankungen in einer ansonsten homogenen “Staubwolke”, deren “Staubteilchen” die Galaxien sind. Darüber hinaus findet man keine weiteren Strukturen mehr. Wenn
wir das Weltall auf einer Skala von mehreren
Mpc anschauen, so sehen wir im wesentlichen einen
gleichmäßig mit Materie gefüllten Raum.
Um das Universum als Ganzes zu beschreiben, werden wir deshalb annehmen, dass es sich um einen
gleichmäßig mit Materie gefüllten Raum handelt. Es gibt keinen besonders ausgezeichneten Ort, insbesondere kein Zentrum, um das alles kreist, oder etwas derartiges. Wenn wir über eine hinreichend große
Skala mitteln, sieht das Universum überall gleich aus.
Eine weitere wichtige Beobachtung, die wir von der Erde aus machen können, ist, dass es auch keine
besonders ausgezeichneten Richtungen gibt. Der Himmel ist zwar nicht gleichmäßig mit Sternen gefüllt,
aber auch das ist wieder nur eine lokale Dichteschwankung. Nur die Sterne in der Milchstraße und die Galaxien in ihrer Nähe häufen sich in bestimmten Arealen am Nachthimmel. Wenn wir die weiter entfernten
Galaxien betrachten und sorgfältig zählen, so finden wir, dass diese gleichmäßig über alle “Himmelsrichtungen” verteilt sind.
Der Raum ist also nicht nur homogen, sondern auch isotrop. Er ist dann sogar isotrop bezüglich aller
Orte. Auch auf einem Planeten in einer fernen Galaxie würden wir, wie auf der Erde, einen gleichmäßig
mit anderen Galaxien gefüllten Himmel sehen. Wäre dem nicht so, gäbe es nämlich, im Widerspruch zu
der ersten Annahme, doch ausgezeichnete Orte im Weltall. Nämlich die, von denen aus das Weltall isotrop
erscheint.
Die Annahme, dass der Raum homogen und isotrop ist, wird meist als das kosmologische Prinzip bezeichnet, manchmal auch als Kopernikanisches Prinzip. Es besagt im wesentlichen, dass es reiner Zufall
ist, dass wir gerade auf der Erde leben, in diesem Sonnensystem und in dieser Galaxie. Genauso gut könnten wir irgendwo anders leben, ohne dass wir wesentlich andere Beobachtungen machen würden, solange
wir nur das Universum im Großen anschauen.
Kosmologisches Prinzip: Das Universum ist räumlich homogen und isotrop. Es gibt weder
ausgezeichnete Orte noch ausgezeichnete Richtungen im Raum.
Aus dieser Annahme werden wir im nächsten Abschnitt einen Ansatz für die Geometrie der Raumzeit
ableiten. Allerdings ergibt sich zuvor noch ein Problem. Was bedeutet eigentlich Raum? A priori gibt es
nur eine Raumzeit, und was unter dem Raum zu verstehen ist, hängt vom gewählten Bezugsystem ab, also
vom jeweiligen Bewegungszustand des Beobachters.
Ist das kosmologische Prinzip so überhaupt sinnvoll? Müssten wir nicht verlangen, dass nicht nur der
Raum, sondern die Raumzeit als Ganzes homogen und isotrop ist, damit es sich um eine vom Bezugsystem unabhängige Aussage handelt? Diese Vermutung liegt zunächst nahe. Dem ist aber nicht so. Es gibt
412
nämlich ein bevorzugtes Bezugsystem, und dieses definiert, was Raum und Zeit ist. Da wie annehmen,
dass die Raumzeit mit Materie gefüllt ist, existiert in jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem der Materie,
also ein besonderes lokales Inertialsystem.
Wenn wir über Raum und Zeit sprechen, ist stets der Raum und die Zeit aus der Sicht eines lokal mit
der Materie mitbewegten Beobachters gemeint. Nur ein solcher Beobachter sieht einen homogenen und
isotropen Raum. Für einen relativ zur Materie bewegten Beobachter muss das nicht der Fall sein. Es kann
gar nicht der Fall sein, dass zwei relativ zueinander bewegte Beobachter beide einen isotropen Raum
sehen.
Aufgabe 21.2 Zwei Raumschiffe begegnen sich im intergalaktischen Raum. Das eine befindet sich gerade im lokalen Ruhesystem der Materie, gemittelt über eine sehr große Skala. Ein Astronaut in diesem
Raumschiff sieht deshalb einen gleichmäßig mit Galaxien gefüllten Himmel. Warum sieht seine Kollegin
im anderen Raumschiff keinen gleichmäßig mit Galaxien gefüllten Himmel?
Aufgabe 21.3 Wie können wir auf der Erde feststellen, ob wir uns im lokalen Ruhesystem der Materie
befinden oder nicht?
Aus dem kosmologischen Prinzip ergibt sich also folgendes Bild der Raumzeit. Es gibt in jedem Ereignis
ein ausgezeichnetes Bezugsystem, und somit eine wohldefinierte Aufspaltung der Raumzeit in Raum und
Zeit. Die Materie ruht relativ zu diesem Bezugsystem. Wie wir gleich sehen werden, können wir diese
Aufspaltung dann sogar global vornehmen. Wir können uns die Raumzeit als einen Raum vorstellen, der
zu jedem Zeitpunkt homogen und isotrop ist, dessen Geometrie sich aber im Laufe der Zeit ändern kann.
Die Robertson-Walker-Metrik
Nun wollen wir das kosmologische Prinzip in einen Ansatz für eine Metrik umsetzen. Der erste Schritt ist
wie immer die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems. Da es an jedem Ereignis ein ausgezeichnetes
lokales Bezugsystem gibt, nämlich das lokale Ruhesystem der Materie, wollen wir unser Koordinatensystem natürlich daran anpassen.
Wir zerlegen die Koordinaten daher in drei räumliche Koordinaten 4 N , die wir wie üblich zu einem
“Vektor” 4 zusammenfassen, sowie eine Zeitkoordinate ) . Die räumlichen Koordinaten wählen wir so,
dass die Materie relativ zum Koordinatensystem ruht. Die Kurven 4
const sind also die Weltlinien
von Beobachtern, die sich mit der Materie mitbewegen. Jede solche Kurve repräsentiert im Sinne des
kosmologischen Prinzips einen Ort im Raum.
Nun besagt das kosmologische Prinzip, dass alle Orte gleichberechtigt sind, das heißt jeder Beobachter,
der sich entlang einer Weltlinie 4
const bewegt, macht die gleichen Beobachtungen. Er sieht insbesondere die gleichen Prozesse in seiner Umgebung ablaufen, also die gleiche zeitliche Entwicklung des
Universums. Daraus folgt, dass wir jedem solchen Beobachter eine Uhr zuordnen können, und dass wir
alle diese Uhren miteinander synchronisieren können. Und zwar so, dass die verschiedenen Beobachter
jeweils zur selben Uhrzeit denselben Zustand des Universums in ihrer Umgebung sehen.
const
Mit anderen Worten, wir können die Zeitkoordinate ) so wählen, dass sie auf jeder Weltlinie 4
die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters repräsentiert, und dass die Hyperflächen )
const jeweils den
Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Entwicklung des Universums darstellen. Diese Hyperflächen
sind es dann, von denen wir verlangen müssen, dass sie homogen und isotrop sind, und zwar zu allen
Zeiten.
Jetzt müssen wir diese Schlussfolgerungen nur noch in einen konkreten Ansatz für die Metrik übersetzen. Da sich das Koordinatensystem mit der Materie mitbewegt, und da ) die Eigenzeit eines ebenfalls
Î
mitbewegten Beobachters ist, ist die 4-Geschwindigkeit der Materie durch ¬
M gegeben. Da dies ein
Î Î n…
positiv zeitartiger Einheitsvektor ist, gilt ‚
. Das ergibt sich natürlich auch direkt aus der
MºM
M M
Tatsache, dass ) die Eigenzeit eines relativ zum Koordinatensystem ruhenden Beobachters ist.
413
Der Raum wird in jedem Ereignis durch die Basisvektoren Î aufgespannt, die zur Hyperfläche )
const
N
tangential sind. Da andererseits im lokalen Bezugsystem des mitbewegten Beobachters der Raum zur Zeit
Î Î <
orthogonal sein muss, ergibt sich ‚
. Folglich gilt für das Linienelement
MºN
M
'SîU&
x
N
')‹& j ‚ Nwv 2 ) 64 5 ' 4 N ' 4 v
(21.2)
Aus dieser Darstellung wird noch einmal deutlich, dass wir uns die Raumzeit als einen dreidimensionalen
Raum vorstellen können, dessen Geometrie sich jedoch im Laufe der Zeit ändern kann.
Die Metrik hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der statischen Metrik (15.1). Anders als in einer statischen
Raumzeit ist die räumliche Metrik ‚ jetzt aber von der Zeit ) abhängig. Dagegen vergeht die physikalische
Nwv
Zeit wegen der Homogenität des Raumes überall gleich schnell. Im Gegensatz zu einer statischen Metrik
hängt die Komponente ‚ der Metrik deshalb nicht vom Ort ab. Sie kann durch eine geeignete Wahl der
MºM |
Zeitkoordinate überall gleich
gesetzt werden.
Nun ist die räumliche Metrik ‚ aber nicht beliebig. Sie wird durch das kosmologische Prinzip sehr
Nv
stark eingeschränkt. Aus der Isotropie des Raumes folgt zunächst, dass die Ableitung der räumlichen
Metrik nach der Zeit, also ‚ \ , proportional zu ‚ sein muss. Warum ist das so? Stellen wir uns vor, ein
Nwv
Nwv
ruhender Beobachter vermisst in seiner Umgebung die räumliche Metrik ‚ zu verschiedenen
Nwv
Zeiten.
Dann kennt er auch die Zeitableitung ‚ \ und kann daraus einen räumlichen Tensor ‚\ N
Nwv
v ‚²N ‚ \ v der Stufe
2 5 bilden.
@
Wenn dieser Tensor nicht proportional zu N ist, dann gibt es im Raum ausgezeichnete Richtungen, zum
v
Beispiel die Eigenvektoren der Matrix ‚ \ N , aufgefasst als eine Abbildung des Tangentenraumes auf sich
v
selbst. Anschaulich würde das bedeuten, dass der Beobachter in verschiedene Richtungen im Raum unterschiedliche Zeitentwicklungen sieht, das heißt irgendwelche Prozesse würden an einer Stelle am Himmel
schneller, an einer anderen langsamer ablaufen. Das ist natürlich nicht mit der Isotropie des Raumes vereinbar.
Also muss ‚ \ proportional zu ‚ sein, wegen der Isotropie des Raumes zu allen Zeiten. Wegen der HoNwv
Nwv
mogenität des Raumes muss außerderdem die Proportionalitätskonstante an jedem Ort gleich sein. Denn
sonst gäbe es ausgezeichnete Orte im Raum, an deren die Zeitentwicklung schneller oder langsamer vonstatten geht als anderswo. Es gilt also
*t 5
‚ \ Nwv 2 ) 495
2 ) ‚ wN v 2 ) 495 B
‚ Nwv 2 ) 465 Ê 2 ) 5 & ‚ Œ N v 2 465 (21.3)
für eine geeignet gewählte Funktion Ê 2 ) 5 £ . Die räumliche Metrik ist konstant bis auf eine Skalierung.
Daraus folgt eine sehr starke Einschränkung an die mögliche Zeitentwicklung des Universums, wenn das
kosmologische Prinzip erfüllt sein soll.
Die einzig mögliche Zeitentwicklung des Universums ist eine gleichmäßige Expansion oder
Kontraktion des Raumes.
Jetzt müssen wir nur noch die möglichen räumlichen Metriken ‚ Œ finden, die homogene und isotrope
Nwv
Geometrien beschreiben. Eine Skalierung ändert daran nichts. Wir können daher den Skalenfaktor Ê 2 ) 5
bis auf weiteres ignorieren, solange wir nur den Raum zu einem festen Zeitpunkt, also eine Hyperfläche
) const und die darauf indizierte Metrik betrachten.
Fragen wir uns zuerst, wie die Metrik beschaffen sein muss, damit der Raum isotrop bezüglich eines
Punktes ist. Diese Symmetrie lässt sich am einfachsten realisieren. Isotropie bezüglich eines Punktes bedeutet nichts anderes als Kugelsymmetrie. Kugelsymmetrische Raumzeiten hatten wir schon in Kapitel 15
ausführlich diskutiert. Dort hatten wir gezeigt, dass wir uns einen kugelsymmetrischen Raum aus ineinander liegenden Kugelschalen aufgebaut vorstellen können.
Als Koordinaten können wir den Oberflächenradius der jeweiligen Kugelschale benutzen, und dann
auf jeder Kugelschale die üblichen sphärischen Koordinaten 2'[ \ 5 einführen. Die räumliche Metrik nimmt
414
dann die folgende Form an,
' îŒ &
‚ Œ Nwv 2 495 ' 4 N ' 4 v `¾2 5 ' & j &32 ' [8& j ÞßÕà &/[ ' \ & 5
(21.4)
Die Funktion `¾2 5 müssen wir jetzt allerdings so bestimmen, dass der Raum nicht nur isotrop bezüglich
des Koordinatenursprungs ist, sondern homogen und folglich auch isotrop bezügliche aller Punkte. Ferner
C
müssen wir als Randbedingung `¾2 5
verlangen, denn sonst wäre der Raum an der Stelle nicht
genügend glatt, das heißt die Metrik wäre dort nicht wohldefiniert.
Aufgabe 21.4 Eine ähnliche Überlegung hatten wir schon einmal bei der Herleitung der Metrik im Innern
eines kugelsymmetrischen Sterns benutzt. Man zeige auch hier, dass die Metrik genau dann bei wohldefiniert und differenzierbar ist, wenn `¾2 5 differenzierbar und `32 5
ist.
Eine notwendige Bedingung dafür, dass der Raum homogen und überall isotrop ist, ergibt sich wie folgt.
Das gleiche Argument, das wir gerade auf die Zeitableitung der Metrik angewandt haben, wenden wir jetzt
auf einen anderen Tensor an, nämlich
den Ricci-Tensor Ç Œ Nwv , den wir aus @ der Metrik ‚ Œ Nwv bilden können.
‚²N Ç v proportional zur Einheitsmatrix N v sein muss, und dass die ProAuch hier gilt, dass ÇN
v
portionalitätskonstante an jeder Stelle im Raum gleich sein muss. Sonst gäbe es wieder ausgezeichnete
Richtungen, nämlich die Eigenvektoren dieser Matrix, oder ausgezeichnete Orte, an deren die Krümmung
des Raumes besonders groß oder besonders klein ist.
Die Proportionalitätskonstante ist in diesem Fall der Krümmungsskalar, denn es gilt
nj
‚Œ N v
Ç Œ Nwv
B
nj
‚ Œ Nwv Ç Œ wN v
(21.5)
Der Ricci-Tensor muss als proportional zur Metrik und zum Krümmungsskalar sein, und der Krümmungsskalar muss konstant sein. Die Bestimmung des Ricci-Tensors ist wieder eine etwas längere Rechnung,
die wir hier nicht explizit ausführen.
Aufgabe 21.5 Man zeige, dass der Ricci-Tensor
denden Komponenten hat,
nj
a
a
{ 2 5
`32 5 & nj
`
]
]
Ç Nv
nj
für die Metrik (21.4) die folgenden nicht verschwin-
b
b
&
Es ergeben sich also zwei Bedingungen an die Funktion `¾2
{ 2 5 `32 5 & „
`
wobei wir Ç Œ
<›X
X
&
{ 2 5 &)`¾2 H 5 j „ `¾2 H5 &
(21.6)
H5 , nämlich
{ 2 5 &)`¾2 H 5 j „ `¾2 H5 & „
`
`
X
(21.7)
gesetzt haben. Wenn wir die erste Gleichung in die zweite Einsetzen, ergibt sich
5
`32
(21.8)
ñƒX & &)`¾2 H5
&
*
Offenbar erfüllt diese Funktion die Randbedingung `¾2 5
, und wie man leicht nachrechnen kann, sind
ZX
B
sogar beide Gleichungen (21.7) erfüllt. Damit haben wir gezeigt, dass die Metrik eines homogenen und
isotropen dreidimensionalen Raumes stets die folgende Form annimmt,
' îŒ & ñ
ßX ' & j &2 ' [6& j Þ_ßÕà &C[ ' \ & 5
&
415
(21.9)
ÔÖÕ À
ÔØ× À
Ô »À
Milchstraße
andere Galaxie
(b)
(a)
(c)
Abbildung 21.1: In einem positiv gekrümmten Raum (a) nimmt der metrische Radius einer Kugelschale,
die hier als Kreislinie erscheint, schneller zu als der Oberflächenradius. In einem flachen Raum (b) sind
beide gleich. In einem negativ gekrümmten Raum (c) nimmt der Oberflächenradius schneller zu als der
metrische Radius.
Da wir bisher aber nur eine notwendige Bedingung berücksichtigt haben, müssen wir noch zeigen, dass
die so definierte räumliche Geometrie tatsächlich homogen und isotrop ist. Bisher haben wir nur gezeigt,
dass der Ricci-Tensor überall proportional zur Metrik ist, und dass der Krümmungsskalar konstant ist.
Es ist nützlich, zunächst eine Fallunterscheidung vorzunehmen, und zwar nach dem Vorzeichen von
X
›X
, also dem Vorzeichen des Krümmungsskalars Ç Œ
. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall,
Xë
®
nämlich
. In diesem Fall ist (21.9) das übliche Linienelement eines flachen, Euklidischen Raumes,
dargestellt in Kugelkoordinaten. Dieser Raum ist natürlich homogen und isotrop.
Der Euklidische Raum ist im wesentlichen dadurch charakterisiert, dass der Oberflächenradius G einer
Kugelschale G X gleich
® dem metrischen Radius "G ist, also dem Abstand der Kugelschale von ihrem
Mittelpunkt. Wenn à
ist, ist das nicht mehr der Fall. Der metrische Radius G einer Kugelschale mit
dem Oberflächenradius G ist dann durch die Länge einer Geodäte gegeben, die den Mittelpunkt mit der
Kugelschale verbindet,
a
G
X
G
X
' îŒ
a
½
' X
ßX ñ
&
G
G
a
u
j „
X
&
5 G „
j€ 2 | v '
j
G
5
jΠ2 G }
X
(21.10)
nimmt der metrische Radius "G schneller zu als der Oberflächenradius G , während für ö
Für £
der Oberflächenradius G einer Kugelschale schneller zunimmt als der metrische Radius G .
Abbildung 21.1 veranschaulicht die drei Typen von Räumen. Dargestellt ist jeweils die Äquatorebene
†
=ÁD
[
„ mit den Koordinatenlinien von und \ , eingebettet in den dreidimensionalen Euklidischen Raum.
Da der Raum überall gleich aussieht, genügt es, jeweils eine kleine Umgebung des Koordinatenursprungs
f
zu betrachten.
bei In Abbildung 21.1(a) sehen wir einen Raum, in dem der metrische Radius einer Kugelschale schneller
wächst als der Oberflächenradius. Ein solcher Raum ist positiv gekrümmt. Es handelt sich offenbar um
einen Ausschnitt aus einer Kugeloberfläche. Tatsächlich ist der Raum in diesem Fall eine dreidimensionale
Sphäre.
X
X
Aufgabe 21.6 Es sei
(21.9) die Form
T
X
•EDcX
£
. Man führe eine Koordinatentransformation …˜™
T
' îŒ &
&2 ' Á& j ÞßÕà &C ' [8& j Þßáà &C Þ_ßÕà &C[ ' \ & 5
durch, so dass die Metrik
annimmt, mit &
. Man zeige, dass dies die Metrik einer dreidimensionalen Sphäre wie folgt in den vierdimensionalen Euklidischen Raum mit den kartesischen Koordinaten
416
(21.11)
ist, die sich
2ÚÙ Üۖ A H
5
einbetten lässt,
T
Ù
Û
T
Þßáà
ÞßÕà
[
\ ãgäHÞ P
Þßáà
ÞßÕà
[
\ Þ_ßÕà P
A
H
T
T
Þ_ßÕà
ãgäHÞ
ãaäÞ [ (21.12)
Was ist der maximale Wertebereich von , und was ist der maximale Wertebereich von ? Welche Teilmenge
der Sphäre wird durch das Koordinatensystem 2 [ \ 5 abgedeckt? Welche geometrische Bedeutung hat
T
X
bzw. ? Warum ist die Sphäre homogen und isotrop? Was ist die Isometriegruppe ¢ £Ã¥…2 5 ?
À Der Raum in Abbildung 21.1(b) ist ein flacher Euklidischer Raum . Hier ist der Oberflächenradius stets
gleich dem metrischen Radius einer Kugelschale. Diesen Fall müssen wir nicht weiter diskutieren, denn es
ist, wie schon gesagt, unmittelbar klar, dass dieser Raum homogen und isotrop ist. Seine Isometriegruppe
ist ¢ £W¥|2 5 , bestehend aus den dreidimensionalen Drehungen und Verschiebungen.
Wenn der Oberflächenradius schneller wächst als der metrische Radius, dann ergibt sich der in Abbildung 21.1(c) dargestellte negativ gekrümmte Raum. Es ist jetzt gar nicht mehr so einfach, diesen Raum
in einen höherdimensionalen Euklidischen Raum einzubetten. Denn in einem Euklidischen Raum ist, anschaulich gesprochen, gar nicht genug Platz, um die immer größer werdenen Kugelschalen unterzubringen.
Sie erscheinen deshalb in der Abbildung als leicht verbogene Kreisringe. Wir müssen die Äquatorebene
ein wenig falten, um sie im Einbettungsraum darzustellen.
Es ist deshalb nicht sofort offensichtlich, dass auch dieser Raum homogen und isotrop ist. Er
ist es aber,
und es handelt sich sogar um einen Raum, den wir schon kennen. Es ist die Pseudosph äre Ý , also die in
Abbildung 4.1 dargestellte, verallgemeinerte Einheitskugel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Sie
besteht aus allen Ereignissen, die von einem gegebenen Ereignis den gleichen zeitlichen Abstand haben.
Aufgabe 21.7 Es sei
(21.9) die Form
T
X
ö
. Man führe eine Koordinatentransformation …˜™
T
' îŒ &
&2 ' Á& j Þ_ßÕàâ& ' [8& j Þßáàâ& Þ ßÕà &/[ ' \ & 5
DcX
…
durch, so dass die Metrik
(21.13)
annimmt, mit &
. Man zeige, dass dies die Metrik einer dreidimensionalen Pseudosph äre
Ý ist, die sich wie folgt in den vierdimensionalen Minkowski-Raum mit den kartesischen Koordinaten
2 ٠ۖ A 5 einbetten lässt,
Å
T
Ù
Û
T
Þ_ßÕàâ
Þ_ßÕà
[
\ ãaäÞ P
Þ_ßÕàâ
Þ_ßÕà
[
\ Þßáà P
T
A
Å
T
Þ_ßÕàâ
ãgäHÞâ
ãgäHÞ [ (21.14)
Was ist der maximale Wertebereich von , und was ist der maximale Wertebereich von ? Welche Teilmenge
2 [ \ 5 abgedeckt? Welche geometrische Beder Pseudosphäre Ý
T wird durch das Koordinatensystem
X
deutung hat bzw. ? Warum ist die Pseudosphäre Ý homogen und isotrop? Was ist die Isometriegruppe
5?
¢¤£W¥|2ÚÝ
Es gibt also drei Typen von räumlichen Geometrien, die ein homogenes und isotropes Universum beschreiben.
Der Raum hat entweder eine konstante positive, oder eine verschwindende, oder eine konstante negative Krümmung.
In der Umgebung eines beliebigen Ortes sehen diese Räume stets so aus wie in Abbildung 21.1 dargestellt.
Darüber hinaus gibt es noch ein zweites Unterscheidungskriterium zwischen verschiedenen räumlichen
Geometrien. Das Universum kann räumlich offen oder geschlossen sein. Ein räumlich geschlossenes Universum hat ein endliches Volumen, während das Volumen eines räumlich offenen Universums unendlich
ist.
417
À Aufgabe 21.8 Da
eine Sphäre ein endliches Volumen hat, während der Euklidische Raum und die
Pseudosphäre Ý ein unendliches Volumen haben, liegt die Vermutung nahe, dass ein positiv gekr ümmtes
Universum stets räumlich geschlossen ist, während ein flaches oder negativ gekrümmtes Universum räumlich offen ist. Das ist aber nicht ganz richtig. Auch ein flaches oder negativ gekr ümmtes Universum kann
räumlich geschlossen sein. Warum? Kann umgekehrt ein positiv gekr ümmtes Universum räumlich offen
sein?
Aufgabe 21.9 Man zeige, dass das Volumen einer dreidimensionalen Sph äre
= T durch „ & gegeben ist.
mit der Metrik (21.11)
Damit kennen wir die möglichen räumlichen Geometrien eines homogenen und isotropen Universums.
Das müssen wir jetzt nur noch in den Ansatz (21.2) für die Raumzeit-Metrik einsetzen, das heißt wir
müssen den Skalenfaktor Ê 2 ) 5 wieder hinzunehmen und die Zeitkoordinate ergänzen,
'Sî &
x
' ) & j Ê 2 ) 5 &
D
ñßX ' & j &Á2 ' [6& j Þ_ßÕà &C[ ' \ & 5
&
(21.15)
E
Dies ist die allgemeinste Metrik einer Raumzeit, die ein sich in der Zeit veränderndes, aber räumlich homogenes und isotropes Universum beschreibt. Sie trägt den Namen Robertson-Walker-Metrik. Wir werden
im folgenden annehmen, dass dies die Geometrie unseres Universum auf einer hinreichend großen Skala
ist.
Aufgabe 21.10 Man berechne den räumlichen Krümmungsskalar und, für einen positiv gekrümmten
*›X Ê 5 !
= X Raum, das Volumen des Weltalls zur Zeit ) und zeige, dass Çs2 ) 5
2 ) & und 2 ) 5 „ & ! Ý & Ê 2 ) 5
gilt.
Aufgabe 21.11 Man zeige, dass die Robertson-Walker-Metrik (21.15) unter der folgenden Transformation
X
invariant ist, die sich aus einer Redefinition des Parameters und des Skalenfaktor Ê 2 ) 5 , sowie einer
Koordinatentransformation zusammensetzt,
Ê 2 ) 5ð˜™
Ê 2)5 ˜™
X
X
& ˜™
!$# (21.16)
wobei £
eine Konstante ist. Wir können dies verwenden, um eine zusätzliche Bedingung an die Parameter zu stellen. Wir können zum Beispiel verlangen, dass der Skalenfaktor Ê 2 ) 5 zu einem bestimmten
) G (“heute”) gleich Eins ist, so dass zu diesem Zeitpunkt die Koordinate tatsächlich den
Zeitpunkt )
Oberflächenradius der entsprechenden Kugelschale repräsentiert.
Die Friedmann-Gleichung
Nun wollen wir die Einstein-Gleichung aufstellen und daraus eine Bewegungsgleichung für den Skalenfaktor Ê 2 ) 5 ableiten. Dazu müssen wir zunächst den Einstein-Tensor für die Robertson-Walker-Metrik
bestimmen. Auch das ist wieder eine etwas längere Rechnung, von der wir nur das Ergebnis angeben. Die Kenntnis des räumlichen Ricci-Tensors (21.6) nützt uns leider nichts, denn dort hatten wir die
Zeitabhängigkeit der Metrik völlig ignoriert.
Aufgabe 21.12 Man berechne der Einstein-Tensor für die Robertson-Walker-Metrik, und zeige, dass er
sich wie folgt schreiben lässt,
< Ê \ & j
MºM
Ê &
X
MºN
<
418
¹
Ê \ & j „ Ê Ê j
wN v
Ê &
X
‚ Nv
(21.17)
Auch hier sind die räumlichen Komponenten Nwv wieder proportional zur Metrik ‚ Nwv , wegen der Homogenität und der Isotropie des Raumes. Der Einstein-Tensor ist also eine Funktion des Skalenfaktors Ê 2 ) 5 und
seiner Ableitungen. Der Punkt steht im folgenden für die Ableitung nach der Zeitkoordinate ) . Wir erinnern
noch einmal daran, dass diese Koordinate die Eigenzeit eines mit der Materie mitbewegten Beobachters
repräsentiert.
Nun müssen wir noch einen Ansatz für den Energie-Impuls-Tensor machen. Es bleibt hier nicht viel
Freiheit, denn wenn die Einstein-Gleichung
La`
¦o=
(21.18)
Å8Lg`
erfüllt sein soll, muss offenbar für den Energie-Impuls-Tensor gelten
<
Å6MºN
(21.19)
Å6N v ¼ ‚ N v wobei 7 und ¼ Funktionen von der Zeit ) , nicht aber vom Ort 4 sind. Das ist der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit mit Dichte 7 und Druck ¼ , die relativ zum Koordinatensystem ruht. Das Strömungs
Î
feld dieser Flüssigkeit ist ¬
M , so dass für den Energie-Impuls-Tensor
5
(21.20)
Å La` 2·7 j ¼ q L q ` j ¼ ‚ Lg`
Å6MºM
7 gilt. Wie man leicht nachrechnet, stimmt das mit (21.19) überein.
Wir müssen also annehmen, dass das Universum mit einer idealen Flüssigkeit gefüllt ist, die den Raum
zu jedem Zeitpunkt gleichmäßig ausfüllt. Dichte und Druck sind räumlich konstant, können sich aber mit
der Zeit verändern. Das ist natürlich genau das, was wir von einem homogenen und isotropen Universum
erwarten. Wie diese Flüssigkeit im einzelnen aussieht, werden wir gleich noch etwas genauer untersuchen.
Zunächst schreiben wir die Komponenten der Einstein-Gleichung auf. Dazu müssen wir nur den
Einstein-Tensor (21.17) mit dem Energie-Impuls-Tensor (21.19) vergleichen. Wir bekommen zwei unabhängige Gleichungen für die drei Funktionen Ê 2 ) 5 , 782 ) 5 und ¼ 2 ) 5 , nämlich
Ê &
\ j
X
¦Ÿ=
<7 Ê & Ê & „ Ê Ê¹
\ j
j
X
ͦŸ=
¼ Ê &
(21.21)
Wenn wir die erste Gleichung nach ) ableiten und in die zweite einsetzen, können wir diese ein wenig
vereinfachen und insbesondere die zweite Ableitung eliminieren. Es ergibt sich dann
f
7 \ Ê j ·2 7 j ¼ 5 Ê \
(21.22)
>
Aufgabe 21.13 Man zeige, dass (21.22) die Zeitkomponente der Kontinuit ätsgleichung
LŸÅ La` für den
Energie-Impuls-Tensor (21.19) ist, und dass die räumlichen Komponenten wegen der Homogenität und
Isotropie identisch erfüllt sind. Die Kontinuitätsgleichung ergibt sich, wie wir wissen, aus der EinsteinGleichung. Sie liefert also keine zusätzliche Bewegungsgleichung. Man zeige, dass sie sich in der Form y \
j
x
¼ \
schreiben lässt, wobei y die in einem mitbewegten Raumelement enthaltene Energie, und das
Volumen dieses Raumelementes ist. Die Kontinuitätsgleichung beschreibt also die durch das Ausdehnen
bzw. Schrumpfen des Raumes an der Materie geleistete mechanische Arbeit.
Wir haben also zwei Bewegungsgleichungen für drei Funktion Ê 2 ) 5 , 782 ) 5 und ¼ 2 ) 5 . Ohne eine zusätzliche
Annahme über die Struktur der Materie kommen wir nicht weiter. Wir brauchen noch eine Zustandsgleichung, die eine Beziehung zwischen ¼ und 7 herstellt.
Wir schon erwähnt, können wir im heutigen Stadium des Universums davon ausgehen, dass sich die
einzelnen Galaxien relativ zueinander, oder relativ zum lokalen Ruhesystem der Materie, nur sehr langsam,
also mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten bewegen. Daher verschwindet der Druck. Das stimmt mit
419
der üblichen Definition von nichtrelativistischer Materie überein, bei der wir die räumlichen Komponenten
des Energie-Impuls-Tensors gegenüber der Zeitkomponente vernachlässigen können.
Betrachten wir also zunächst den Fall, dass das Universum nur aus nichtrelativistischer Materie besteht.
<
Für ¼
lautet die Kontinuitätsgleichung (21.22)
B
7§ÞàßYá
7 \ Ê j 7 Ê\
7
(21.23)
Ê wobei 7§ÞàßYá eine Konstante ist. Der Index “â g ” steht im folgenden für nichtrelativistische Materie.
º
Dass sich die Energiedichte von gewöhnlicher, nichtrelativistischer Materie genau so verhält, ist eigentlich unmittelbar klar. Die Energiemenge in einem Raumelement ist konstant, denn wegen des verschwindenden Druckes wird keine Arbeit geleistet, wenn sich das Raumelement ausdehnt oder zusammenzieht.
! Die Energiedichte verhält sich wie das inverse Volumen des Raumelementes, also wie Ê . Die Kontinuitätsgleichung besagt einfach, dass sich durch die Skalierung des Raumes die Gesamtenergie einer
bestimmten Ansammlung von Galaxien nicht ändert.
Um ein möglichst allgemeines Modell des Universums zu bekommen, wollen wir neben der nichtrelativistischen Materie auch noch eine zweite Form von Materie mit einbeziehen, nämlich extrem relativistische Materie. Die Teilchen dieser Materie bewegen sich relativ zum lokalen Ruhesystem exakt oder
näherungsweise mit Lichtgeschwindigkeit. Es handelt sich im wesentlichen um Photonen, also elektromagnetische Wellen, oder um andere masselose oder sehr leichte Elementarteilchen. Zwar machen diese
Teilchen heute nur einen kleinen Teil der Energiedichte im Universum aus. Aber erstens könnte das zu
früheren Zeiten anders gewesen sein, und zweitens könnte es noch unbekannte solche Teilchen geben, die
wir noch gar nicht wahrgenommen haben. Letzteres gilt natürlich auch für die nichtrelativistische Materie.
Extrem relativistische Teilchen können wir im weitesten Sinne auch als Strahlung bezeichnen. Wie sieht
der Zusammenhang zwischen Energiedichte 7 und dem Druck ¼ dann aus? Mit anderen Worten, wie sieht
der Energie-Impuls-Tensor einer idealen Flüssigkeit aus, die nur aus Photonen oder anderen masselosen
Teilchen besteht? Gibt es so etwas überhaupt?
Ein typisches Beispiel für eine solche “Flüssigkeit” befindet sich in einem Hohlraum, in dem sich die
Strahlung mit den Wänden im thermischen Gleichgewicht befindet. Im Innern bildet sich dann das typische
Spektrum eines schwarzen Körpers aus. Es fliegen ständig gleich viele Photonen in jede Richtung, so dass
der Energie-Impuls-Tensor im Innern des Hohlraumes homogen und isotrop ist, also von der Form (21.19)
im Ruhesystem des Hohlraumes. Aber wie groß ist der Druck und die Energiedichte, bzw. wie hängen die
beiden Größen miteinander zusammen?
Die Zustandsgleichung lässt leicht aus einer allgemeinen Eigenschaft des Energie-Impuls-Tensors von
masselosen Teilchen herleiten. Sie gilt universell, das heißt völlig unabhängig vom Spektrum der Strah^
lung. Der Energie-Impuls-Tensor eines einzelnen Teilchens auf einer Weltlinie 2 Z 5 lässt sich wie folgt
schreiben,
5 X '[Z T \ L 2 Z 5 ¼ ` 2 Z 5 @ 2]V ^ 2 Z 55 X '[Z Ì 2 Z 5 ¼ L 2 Z 5 ¼ ` 2 Z 5 @ 2]V ^ 2 Z 5_5 (21.24)
Å gL ` 2WV
T ¡Ì
¼ L proportional. Daraus
Hier ist ¼ L der 4-Impuls des Teilchens, der stets zum Tangentenvektor \ L
folgt, dass die Spur L des Energie-Impuls-Tensors für ein masseloses Teilchen verschwindet. Denn es
Å L
<
gilt an jeder Stelle der Weltlinie ¼$LU¼
.
L
Da sich die Energie-Impuls-Tensoren für mehrere Teilchen, die nicht miteinander wechselwirken, einfach nur additiv verhalten, folgt daraus, dass die Spur auch dann noch verschwindet, wenn wir eine beliebige Ansammlung von masselosen Teilchen vorliegen haben. Nun nehmen wir an, dass die Teilchen
homogen und isotrop im Raum verteilt sind. Das heißt, es befinden sich an jedem Ort gleich viele Teilchen, und es fliegen auch in alle Richtungen gleich viele Teilchen. Dann ist der Energie-Impuls-Tensor
aller Teilchen zusammen von der Form (21.19), und aus dem Verschwinden der Spur ergibt sich
Å LL
7 j
¼
<
420
B
¼
7
(21.25)
Der Druck einer homogenen und isotropen Ansammlung von masselosen Teilchen ist also stets ein Drittel
der Energiedichte.
Aufgabe 21.14 Man mache sich klar, dass auch eine ideale Fl üssigkeit, die aus masselosen Teilchen besteht, in jedem Ereignis ein lokales Ruhesystem besitzt, also ein zeitartiges Str ömungsfeld ¬ , obwohl die
einzelnen Teilchen natürlich kein lokales Ruhesystem besitzen.
Falls also die Energiedichte des Universum im wesentlichen aus Strahlungsenergie besteht, oder anders
Do
formuliert, wenn sich die einzelnen Teilchen extrem relativistisch verhalten, dann müssen wir ¼
7
setzen. Aus der Kontinuitätsgleichung (21.22) ergibt sich dann
;
7 \ Ê j 7 Ê\
B
7§ã7ß^ä
Ê| 7
(21.26)
wobei 7§ã7ß^ä wieder eine Integrationskonstante ist. Der Index “ ' ” steht für radiation.
¼/º
Auch das können wir anschaulich verstehen. Wenn das Universum mit Photonen gefüllt ist, passieren
zwei Dinge gleichzeitig, wenn sich der Raum ausdehnt oder zusammenzieht. Einerseits ändert sich die
! Zahl der Photonen pro Volumen, und zwar wieder mit Ê , denn die Anzahl der Photonen bleibt gleich,
während sich das Volumen ändert. Zusätzlich erfahren die Photonen aber eine Rot- bzw. Blauverschiebung.
!$#
Die Energie eines einzelnen Photons verhält sich wie Ê , das heißt das Photon erfährt eine Rotverschiebung, wenn sich der Raum ausdehnt, und eine Blauverschiebung, wenn er sich zusammenzieht. Beides
!
zusammen bewirkt, dass sich die Energiedichte wie Ê | verhält.
) # eine Energie ¼ M
¼ M y #
Aufgabe 21.15 Ein frei fallendes Photon habe auf der Hyperfläche )
) & die Energie ¼ M
¼ M y & , jeweils gemessen von einem Beobund auf einer anderen Hyperfläche )
achter im lokalen Ruhesystem der Materie. Man leite aus der Lagrange-Funktion (16.1) f ür ein masseloses
D
Ê 5DÊ #5
2)& 2)
Teilchen in der Metrik (21.15) die Bewegungsgleichungen her, um zu zeigen, dass y # y
&
gilt. Anschaulich können wir uns diese Rot- bzw. Blauverschiebung so vorstellen, dass elektromagnetische Wellen mit der genau der Rate auseinander gezogen werden, mit der sich der Raum ausdehnt. Die
Wellenlänge verhält sich also wie der Skalenfaktor, und somit die Frequenz wie der inverse Skalenfaktor.
Im allgemeinen befindet sich im Universum sowohl gewöhnliche Materie als auch Strahlung. Wenn wir
vernachlässigen, dass diese beiden Komponenten auch miteinander wechselwirken, dass also ständig
Strahlung von der Materie emittiert und absorbiert wird, dann können wir folgenden Ansatz für die Dichte
und den Druck machen, der sich einfach aus der Summe der beiden Anteile ergibt,
7
7§ÞàßYá §7 ãåß^ä
Ê j Ê| 7§ã7ß^ä Ê
|
¼
(21.27)
Die Größen 7§ÞàßYá und 7æãåß^ä sind Konstanten. Aus Aufgabe 21.11 wissen wir, dass wir den Skalenfaktor Ê 2 ) 5
¢
) G , zum Beispiel heute, der Skalenfaktor Ê 2 ) G 5
so wählen können, dass zu einer festlegten Zeit )
) G , also
ist. Dann sind 7æÞàßYá und 7§ã7ß^ä die Energiedichten der Materie und der Strahlung zum Zeitpunkt )
heute. Diese Konvention wollen wir im folgenden stets verwenden.
Es bleibt dann nur noch die erste Gleichung in (21.21) zu lösen. Ein wenig umgeschrieben lautet sie
Ê & „ \
;=
u
7§ÞàßYá §7 ãåß^ä
Ê j Ê &
v
X
„
(21.28)
Dies ist die gesuchte Bewegungsgleichung für den Skalenfaktor Ê 2 ) 5 , die sogenannte FriedmannGleichung. Aus ihr können wir die zeitliche Entwicklung des Universums ableiten. Sie hat offenbar die
Form eine Energiegleichung für ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential. Wenn wir sie noch
einmal nach ) ableiten und durch Ê \ teilen, ergibt sich
Ê ¹ *
Ê"5 ¶¸{ · 2
mit
;=
"
Ê
5
W¶¸·U2
421
u
7§ÞàßYá §7 ã7ß^ä
Ê j Ê &
v
(21.29)
ÈÊÉ'Ë
Milchstraße
andere Galaxie
ÈÊÉ'Ë
ç
ç
Ê
Ê ÚÄ ãÎé á
è × À
è »À
$ʶ'·
(b)
(a)
l £
(c)
Abbildung 21.2: Das effektive Potential der Friedmann-Gleichung für eine verschwindende, ein negative
und eine positive kosmologische Konstante.
Wir können zu einem beliebigen Zeitpunkt ) G als Anfangswert Ê 2 ) G 5 und Ê \ 2 ) G 5 vorgeben, also die absolute
Größe des Raumes und die Rate, mit der der Raum gerade expandiert. Legen wir, wie bereits vereinbart,
Ê 2 ) G 5 fest, so genügt die Angabe der Ausdehnungsrate Ê 2 ) G 5 Z" G .
\
"
Die Größe G wird als Hubble-Konstante bezeichnet. Sie hat folgende Bedeutung. Betrachten wir eine
¨
Galaxie mit einer Koordinate . Da sich die Galaxie auf einer Weltlinie 4
const bewegt, ist diese
Koordinate zeitlich konstant. Der metrische Abstand zu der Galaxie ist jedoch von der Zeit abhängig. Es
x
ist die Länge einer raumartigen Geodäte vom Koordinatenursprung bei , den wir in die Milchstraße
©
¨
legen, zu der Galaxie bei ,
X ê Ê 5 X ê Œ
S' î
' î
62 ) 5
2)
G
G
B
Ê\ 2 ) 5
5
5
6\ 2 )
Ê 2 ) 5 82 )
B
*"
8\ 2 ) G 5
G¸82 ) G 5
(21.30)
Hier haben wir verwendet, dass das räumliche Linienelement ' î Œ , wenn wir den Skalenfaktor abspalten,
von der Zeit unabhängig ist. Folglich ist die Geschwindigkeit [\ 2 ) G 5 , mit der sich die andere Galaxie heute
von uns entfernt oder auf uns zu kommt, proportional zu deren Abstand 82 ) G 5 , und die Proportionalitäts"
konstante ist G .
In einem expandierenden Universum würden wir also beobachten, dass sich sämtliche Galaxien von uns
entfernen, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die proportional zu deren Abstand ist. Das ergibt sich aus
der Tatsache, dass sich der Raum gleichmäßig ausdehnt.
Lösungen der Friedmann-Gleichung
Wir wollen zuerst die Lösungen der Friedmann-Gleichung ganz allgemein diskutieren. Zusätzlich zu den
"
G müssen wir
noch die Dichte der nichtrelativistischen
Anfangsbedingungen Ê 2 ) G 5
und Ê \ 2 ) G 5
) G vorgeben. Dann können wir die BeMaterie 7§ÞàßYá und die Strahlungsdichte 75ãåß^ä zum Zeitpunkt )
wegungsgleichung (21.29) integrieren und so die weitere Entwicklung des Universums vorhersagen bzw.
X
seine vergangene Entwicklung rekonstruieren. Zusätzlich liefert die Gleichung (21.28) den Wert für , das
heißt wir können daraus ableiten, ob das Universum positiv gekrümmt, flach, oder negativ gekrümmt ist.
Um einen qualitativen Überblick über die Lösungen zu erhalten, ist in Abbildung 21.2(a) das effektive Potential (21.29) dargestellt. Die anderen beiden Potentiale sind Verallgemeinerungen, die wie später
!
!$#
diskutieren werden. Das Potential verhält sich für kleine Ê wie Ê & , für große Ê wie Ê . Für das qualitative Verhalten der Funktion Ê 2 ) 5 macht es daher kaum einen Unterschied, wieviel Energie in Form von
Materie und wieviel in Form von Strahlung vorliegt.
422
Es gibt offenbar drei verschiedene Typen von Bahnen, die ein klassisches Teilchen in diesem Potential
beschrieben kann. Das Teilchen kann, aus dem Unendlichen kommend, bis nach Ê
“abfallen”, oder
Ê
umgekehrt von
“aufsteigen” und im Unendlichen verschwinden. Oder es kann aufsteigen, an einer
Stelle mit maximalem Ê umkehren, und dann wieder abfallen. Es gibt jedoch keine Bahn, auf der das
<
Teilchen nicht irgendwann bei Ê
startet oder endet, und folglich auch keine Bahn, auf der Ê 2 ) 5 konstant
ist.
Welcher dieser Bahnen das Teilchen folgt, hängt von den Anfangswerten Ê 2 ) 5 und Ê \ 2 ) 5 ab, und dem sich
X
daraus ergebenden Wert von . Betrachten wir zunächst den Fall, dass wir bei Ê 2 ) G 5
mit einer Aus
"
Ê
5
dehnungsrate \ 2 )
G £ starten, also mit einem expandierenden Universum. Dann
können zunächst
"
etwas über die Vergangenheit des Universums sagen, unabhängig von dem Wert von G und unabhängig
von der Materiedichte 7æÞàßYá und der Strahlungsdichte 75ãåß^ä .
Da das effektive Potential stets zu kleineren Ê hin abfällt, muss die Funktion Ê 2 ) 5 vor einer endlich
!
C
) , gleich Null gewesenen sein. Für Ê
langen Zeit, sagen wir zum Zeitpunkt )
ist die RobertsonWalker-Metrik (21.15) aber nicht mehr invertierbar, das heißt dort liegt zumindest eine Koordinatensin
!
) hinaus
gularität vor. Es stellt sich wieder die übliche Frage, ob wir die Raumzeit über die Stelle )
fortsetzen können oder nicht.
Diesmal ist die Frage sehr leicht zu beantworten. Für Ê ™
wird nämlich nicht nur die Metrik singulär,
sondern es divergieren auch die Energiedichte (21.27) und der räumliche Krümmungsskalar aus Aufgabe 21.10. Beides sind Skalare. Es liegt also eine Krümmungssingularität vor. Wir können die Raumzeit
!
) hinaus in die Vergangenheit fortsetzen. Die zeitartigen Geodäten 4
nicht über die Stelle )
const,
also die Weltlinien der Materieteilchen enden dort, oder genauer gesagt, sie beginnen dort.
Aufgabe 21.16 Warum sind die Kurven 4
const Geodäten, und warum folgt daraus, dass die Raumzeit
!
) hinaus in die Vergangenheit fortsetzen lässt?
geodätisch unvollständig ist, wenn sie sich nicht über )
) ! einen Anfang hatte. Es ist sinnlos
Wir müssen daraus den Schluss ziehen, dass das Universum bei )
zu fragen, was davor war, denn es gibt keine früheren Ereignisse in der Raumzeit. Wir können sogar eine
obere Grenze für das Alter des Universums angeben. Da wegen des ansteigenden effektiven Potentials stets
Ê ¹ 2 ) 5 ö ist, gilt Ê 2 ) 5 £ Ê 2 ) G 5 Z" G für alle ) ö ) G , und somit
\
\
)G
)! ö
"
G
(21.31)
Das Universum ist also vor einer endlich langen Zeit aus einer Singularität in der Raumzeit entstanden.
Wie diese Singularität aussieht und was in ihrer Nähe geschieht, werden wir gleich noch ausführlicher
diskutieren.
Und wie sieht die Zukunft des Universums aus? Das hängt offenbar davon ab, wieviel kinetische Energie
das klassische Teilchen hat, das sich in dem effektiven Potential in Abbildung 21.2(a) bewegt. Da seine
yX[D
Gesamtenergie laut (21.28) durch
davon auch die räumliche Krümmung das
„ gegeben ist, hängt
X
"
Universums ab. Wir können aus der Hubble-Konstante G und der Energiedichte 7²G
7§ÞàßYá j 7§ãåß^ä zum
) G bestimmt. Aus (21.28) ergibt sich
Zeitpunkt )
X
X
¦o=
ƒ" Gï&
7G
(21.32)
Wenn £
ist, liegt ein räumlich geschlossenes, positiv gekrümmtes Universum vor. Offenbar ist das der
Fall, wenn die Energiedichte 7"G größer ist als die kritische Dichte
7cÄãÎé á
o¦ =
423
"
G&
(21.33)
Ê
ç
ç
Milchstraße
andere Galaxie
Ô »À
ÔÖÕ À
X
ö
÷


6/ë
6 Ž
6ì
(a)
6/ë
6 Ž
)!
(b)
)G
(c)
Abbildung 21.3: Die typischen Lösungen der Friedmann-Gleichung (21.29). Als Anfangsbedingung ist
jeweils ëÓÕÔ G Ú Õ ÷ und ìë ÓÕÔ G Ú Õ # G  vorgegeben. Alle Raumzeiten beginnen mit einer Singularität zu
einem Zeitpunkt Ô Õ Ô ! in der Vergangenheit. Für — G  — ÄÚãåé á ist í  , das heißt der Raum ist positiv
â
gekrümmt (a). In diesem Fall endet die Raumzeit an einer zweiten Singularität bei Ô Õ Ô in der Zukunft.
Für —Øîô— ÄÚãÎé á ist íÄî , das heißt der Raum ist flach bzw. negativ gekrümmt (b,c). Die Expansion geht
dann für immer weiter.
Die Gesamtenergie das klassischen Teilchens im effektiven Potential ist dann negativ. Folglich wird das
Teilchen irgendwo umkehren. Der Skalenfaktor Ê 2 ) 5 wird ein Maximum erreichen. Danach wird das Uni
â
) zu enden. Ein räumlich
versum wieder schrumpfen, um schließlich an einer anderen Singularität bei )
geschlossenes Universum mit positiver Krümmung ist demnach auch zeitlich geschlossen. Es lebt nur eine
endliche Zeitspanne von ) ! bis ) â .
Aufgabe 21.17 Der Einfachheit nehmen wir an, dass die Energiedichte w ährend der ganzen Lebenszeit
gesetzt werden kann.
des Universums von der nichtrelativistischen Materie dominiert wird, also 7Hãåß^ä
X
Man zeige, dass für £
die Friedmann-Gleichung wie folgt durch eine implizite Darstellung der FunkÊ
5
tion 2 ) gelöst wird,
Ê 2 ãgäHÞ ¨ 5 mit ) 2]¨ Þßáà ¨ 5 (21.34)
}
=
wobei und Konstanten sind und ¨ eine Hilfsvariable ist, die von bis „ l äuft. Man bestimme
!
"
) und das maximale Volumen ·ÞàßYï des
und aus 7²G }
7§ÞàßYá und G , sowie die Lebensdauer ) â
}
Universums. Man zeige, dass die Geometrie der Raumzeit, also die gesamte Entwicklung des Universums
vom Anfang bis zum Ende, nur durch einen einzigen Parameter bestimmt wird, und zwar durch die gesamte
im Universum enthaltene Energie y .
X
Falls die Energiedichte 7²G gleich der kritischen Dichte 7èÄÚãåé á ist, gilt
, das heißt der Raum ist flach. In
diesem Fall ergibt sich die in Abbildung 21.3(b) dargestellte Zeitentwicklung des Skalenfaktors. Das Uni!$#
versum dehnt sich immer weiter aus. Für große Ê ergibt sich aus der Energie-Gleichung (21.28) Ê \ & 4 Ê ,
Ý
also Ê 4 ) & . Das Universum expandiert also immer weiter, allerdings nimmt die Expansionsgeschwindigkeit ab.
7G und 7æãåß^ä
Aufgabe 21.18 Wenn wir auch hier wieder 7%ÞàßYá
setzen, lässt sich die FriedmannGleichung sogar exakt lösen. Man berechne in diesem Fall das Alter des Universums als Funktion von 7G
"
und G .
Schließlich bleibt noch der Fall, dass die Energiedichte 7SG kleiner ist als die kritische Dichte 7èÄÚãÎé á . In diesem
X
Fall ist ö , das heißt der Raum ist negativ gekrümmt. Das klassische Teilchen im effektiven Potential
von Abbildung 21.2 hat in diesem Fall genug Energie, um sich auch im Unendlichen noch mit einer
konstanten Geschwindigkeit zu bewegen. Für große Ê gilt jetzt Ê \ & r const, also Ê 4 ) . Das Universum
expandiert linear, mit einer asymptotisch konstanten Geschwindigkeit.
424
Aufgabe 21.19 Auch in diesem Fall lässt sich die Friedmann-Gleichung implizit lösen, wenn wir 7æÞàßYá
•
7G und 7æãåß^ä
setzten. Man verfahre wie in Aufgabe 21.17, ersetze jedoch die Funktionen Þ_ßÕà und ãgäHÞ
durch Þ_ßÕàâ und ãgäHÞâ .
Das unterschiedliche Verhalten in der Zukunft, das offenbar von der Energiedichte 7G und der Ausdeh
"
) G abhängt, lässt sich auch anschaulich sehr gut erklären.
nungsrate G zum Zeitpunkt )
Zwischen den Galaxien wirkt die Gravitation, wenn wir das klassische Bild verwenden, als Anziehungskraft. Diese Anziehungskraft bremst die Expansion. Je mehr Materie sich im Universum befindet, desto
stärker ist die Bremswirkung. Es ist sogar möglich, dass die Gravitation die Expansion ganz abbremst
und in eine Kontraktion umkehrt. Das gelingt aber nur, wenn sich genug Materie im Universum befindet, also dann, wenn die Energiedichte 7"G größer ist als eine kritische Dichte 7èÄÚãåé á , die wiederum von der
"
momentanen Expansionsrate G abhängt.
Aufgabe 21.20 Man diskutiere die Lösungen den Friedmann-Gleichung, die sich aus der Zeitumkehr )
Z"
) ergeben, oder, was damit gleichbedeutend ist, aus einer Anfangsbedingung mit Ê \ 2 ) G 5
Gkö .
˜™
I
Aufgabe 21.21 Man diskutiere den Fall 7"G
, also ein Universum, das gar keine Materie enthält. Man
Xx
X
unterscheide die Fälle
X
und ö . Man zeige, dass in beiden Fällen die Raumzeit ein flacher
Minkowski-Raum ist. Für ö
deckt die Robertson-Walker-Metrik allerdings nur eine Teilmenge davon
X
ab. Welche Teilmenge ist das? Warum ist £
nicht möglich?
Die kosmologische Konstante
Offenbar folgt aus der Einstein-Gleichung und der Annahme eines auf einer hinreichend großen Skala
homogenen und isotropen Raumes, dass das Universum nicht statisch sein kann. Es gibt keine Lösung
der Friedmann-Gleichung, für die der Skalenfaktor Ê 2 ) 5 zeitlich konstant ist. Darüber hinaus gibt es noch
nicht einmal eine Lösung, die für beliebige Zeiten existiert. Es gibt immer entweder einen Anfang oder
ein Ende des Universums, oder beides.
Als das Modell entwickelt wurde, also unmittelbar nach der Veröffentlichung der allgemeinen Relativitätstheorie und somit noch mehr als zehn Jahre vor Hubble’s Entdeckung, widersprach jedoch die Vorstellung eines Universums, das sich mit der Zeit verändert oder sogar nur eine endliche Zeit existiert, der
bis dahin üblichen Annahmen eines statischen, schon immer und für immer existierenden Weltalls. Zwar
war diese Annahme nicht wirklich auf exakte Beobachtungen gestützt und zum Teil sogar rein philosophischer Natur, aber trotzdem zog sogar Einstein selbst aus diesem Ergebnis den Schluss, dass mit seiner
Theorie etwas noch nicht ganz stimmen konnte.
Gab es vielleicht eine Möglichkeit, die Einstein-Gleichung so zu modifizieren, dass sich auf kleinen
Skalen nichts wesentliches ändert, die Dynamik des Sonnensystems also die gleiche bleibt, dass sich aber
auf großen Skalen eine Änderung ergibt, so dass ein statisches, immer währendes Universum möglich
wird? Anschaulich formuliert müsste eine solche Modifikation eine abstoßende Wirkung der Gravitation
bei sehr großen Abständen bewirken, so dass die negative Beschleunigung, die der Skalenfaktor Ê 2 ) 5 durch
die Anziehungskraft der Galaxien erfährt, irgendwie ausgeglichen wird.
Erinnern wir uns kurz, wie wir die Einstein-Gleichung hergeleitet haben. Wir haben einen Tensor gesucht, der aus der Metrik ‚ und ihren ersten und zweiten Ableitungen gebildet wird, und der die KonNwv >
•
tinuitätsgleichung ÈLg`
erfüllt, damit wir ihn mit dem Energie-Impuls-Tensor La` als Quelle des
L
Å
Gravitationsfeldes gleichsetzen können. Außerdem sollte der Tensor in einer flachen Raumzeit verschwinden, so dass der Minkowski-Raum eine Lösung der Einstein-Gleichung ohne Materie ist. Dann mussten
wir nur noch eine Proportionalitätskonstante so bestimmen, dass sich im klassischen Grenzfall die Newtonsche Gravitationstheorie ergab.
Was ist, wenn wir die letzte Bedingung fallen lassen, also nicht mehr verlangen, dass die Raumzeit
in Abwesenheit von Materie flach ist? Vielleicht hat eine leere Raumzeit eine sehr schwache, auf kleinen
425
Ê
ç
ç
Milchstraße
andere Galaxie
Ô »À
ÔÖÕ À
X
ö
÷


6ì
6 Ž
6/ë
6ì
6 Ž
6/ë
(a)
(b)
)!
)G
)â
(c)
Abbildung 21.4: ...
Skalen nicht nachweisbare Krümmung, die sich erst auf großen, kosmologischen Skalen bemerkbar macht.
Wenn wir das zulassen, gibt es noch einen Tensor zweiter Stufe, der alle geforderten Eigenschaften hat.
>
<
Das ist die Metrik selbst, denn es gilt natürlich stets ‚²La`
.
L
Wir könnten also versuchen, die Einstein-Gleichung wie folgt zu modifizieren,
Lg`(j¤l ‚ La`
<¦Ÿ=
Å8Lg` (21.35)
wobei eine zusätzliche Naturkonstante ist, deren Wert wir mit Hilfe von Beobachtungen und Messungen
l
ED
bestimmen müssen. Sie wird als kosmologische Konstante bezeichnet. Sie hat die Dimension Länge & ,
denn der Einstein-Tensor ist aus den zweiten Ableitungen der Metrik gebildet.
Die kosmologische Konstante macht sich erst dann bemerkbar, wenn wir die Raumzeit auf einer Skala
ED
beschreiben, die von der Größenordnung ƒ
l ist. Sie hat daher auf lokale Phänomene, wie zum Beispiel
die Planetenbahnen im Sonnensystem oder die Lichtablenkung an der Sonnenoberfläche, so gut wie keine
Auswirkungen, wenn sie genügend klein ist.
Auf die Entwicklung des Universums als Ganzes hat sie jedoch einen Einfluss. Wenn wir denselben Ansatz (21.15) für die Metrik der Raumzeit machen, und denselben Ansatz (21.19) für den Energie-ImpulsTensor, dann ergibt sich die folgende Modifikation der Einstein-Gleichungen (21.21)
Ê &
\ j
X
Ê & l
¦Ÿ=
7 Ê &
Ê & „ Ê Ê ¹ Xì Ê & *ͦo= ¼ Ê & \ j
j
l
(21.36)
Natürlich ist die Kontinuitätsgleichung (21.22) unverändert, denn diese ergibt sich allein aus der Geometrie
der Raumzeit. Wir nehmen also wieder an, dass sich die Energiedichte aus einem nichtrelativistischen
Anteil 7§ÞàßYá und einen Strahlungsanteil 7æã7ß^ä zusammensetzt, wobei dies jeweils die Energiedichten zum
) G mit Ê 2 ) G 5
heutigen Zeitpunkt )
sind. Dann ergibt sich die folgende modifizierte FriedmannGleichung (21.28)
;=
X
Ê & „ \
u
7§ÞàßYá §7 ã7ß^ä
Ê j Ê &
l Ê &
„
„
v
(21.37)
Auch dies können wir wieder als Energiegleichung für ein klassisches Teilchen in einem effektiven Potential auffassen. Allerdings hat dieses Potential jetzt einen zusätzlichen Beitrag, der der proportional zu Ê &
ist,
;=
Ê ¹ *
{ 2 "Ê 5 ¶¸·
mit
U2 Ê"5
W¶¸·
*
u
7§ÞàßYá §7 ã7ß^ä
Ê j Ê &
v
l Ê &
„
(21.38)
Für ö
ist dieses Potential in Abbildung 21.2(b) dargestellt. Das Verhalten für kleine Ê ist unverändert,
l
allerdings steigt das Potential jetzt für Große Ê wie das eines harmonischen Oszillators an. Es ist deshalb
für das klassische Teilchen nicht mehr möglich, ins Unendliche zu entkommen.
426
ç
ç
ÔÖÕyÔ
ç
Ô » Ô
Úðåñ ò
Æ
Úðåñ ò
6/ë

6 Ž
6/ë
6ì
6 Ž
ÔØ×yÔ
Æ


Milchstraße
andere Galaxie
(a)
(b)
6/ë
6 Ž
Úðåñ ò
Æ
(c)
Abbildung 21.5: ...
Die typischen Lösungen für Ê 2 ) 5 sind in Abbildung 21.4 dargestellt. Unabhängig vom Vorzeichen von
!
) und ein Ende bei ) ) â . Sowohl ein räumlich
hat das Universum jetzt stets einen Anfang bei )
offenes, negativ gekrümmtes Universum als auch ein räumlich geschlossenes, positiv gekrümmtes UniX
versum beginnt und endet in einer Singularität. Den Wert von können wir wieder aus der Materiedichte
"
7G 7§ÞàßYá j 7§ã7ß^ä und der Hubble-Konstante G berechnen, allerdings hängt das Ergebnis jetzt auch von
der kosmologischen Konstante ab,
¦o=
X
X
7G
ƒ"
G& j¤l
(21.39)
"
Es sind also auch hier die Energiedichte 7"G und die Expansionsrate G , die darüber entscheiden, ob der
Raum positiv oder negativ gekrümmt ist, aber die kosmologische Konstante bewirkt gewissermaßen eine
zusätzliche Krümmung des Raumes. Eine negative kosmologische Konstante wird sich auf die Krümmung
des Raumes genauso aus wie eine kleinere Energiedichte.
Der interessantere Fall ist jedoch der einer positiven kosmologischen Konstante. Das effektive Potential nimmt dann den in Abbildung 21.2(c) dargestellten Verlauf. Es steigt für kleine Ê wie gewohnt an,
erreicht dann aber ein Maximum und fällt für große Ê wieder mit Ê & ab. Es gibt jetzt viele neue Typen von
Lösungen, darunter auch die gesuchte statische Lösung.
Natürlich können wir auch hier wieder den Skalenfaktor Ê 2 ) 5 mit einer beliebigen Konstante multiplizie
ren. Wir können also jede statische Lösung so reskalieren, dass Ê 2 ) 5
ist. Es ergibt sich dann aus (21.38)

Ê
die Bedingung, dass das Maximum des Potentials bei ÄÚãåé á
liegt, und dass der Wert des Potentials an
yX[D
dieser Stelle gerade
„ ist. Beides zusammen führt auf die Bedingungen
l
;=
2·7§ÞàßYá j „¾7§ãåß^ä 5 X
;=
;
2 §7 ÞàßYá j 7§ã7ß^ä 5
(21.40)
Ein statisches Universum liegt also genau dann vor, wenn die kosmologische Konstante eine kritischen
Wert hat, der sich aus der Energiedichte der nichtrelativistischen Materie und der Strahlung ergibt. Der
Raum ist dann positiv gekrümmt, das heißt es liegt ein räumlich geschlossenes Universum vor.
Allerdings ist diese Lösung der Friedmann-Gleichung nur eine sehr unbefriedigende Antwort auf Einsteins Frage, ob es möglich ist, durch eine Modifikation der seiner Feldgleichungen ein statisches Universum zu beschreiben. Die Lösung ist nämlich instabil. Das ist unmittelbar aus dem Verlauf des effektiven
Ê
ÄÚãåé á ein Maximum hat. Die Bedingungen (21.40) müssen also
Potentials erkennbar, das an der Stelle Ê
exakt erfüllt sein, damit das Universum tatsächlich statisch ist. Das kann aber in der Realität nicht der
Fall sein, schon weil die Annahme der Homogenität des Raumes darauf beruht, dass wir kleinen Dichteschwankungen vernachlässigen können.
In Abbildung 21.5 sind drei typische Lösungen der Friedmann-Gleichung für
dargestellt, die
l £
in der “Nähe” der statischen Lösung liegen. In allen drei Fällen ist als Anfangsbedingung wie immer
427
ç
ç
ÔØ×yÔ
ç
Ô » Ô
Úðåñ ò
Æ


6 Ž
6ì
6 Ž
Milchstraße
andere Galaxie
(a)
Úðåñ ò
ÔØÕyÔ
Æ
(b)

6 Ž
Úðåñ ò
Æ
(c)
Abbildung 21.6: ...
Ê 2)G 5 und Ê \ 2 ) 5
Materiedichte 7"G und natürlich die kosmologische
G £ vorgegeben, sowie die
X
Konstante . Es gibt dann einen kritischen Wert für , der sich aus der Bedingung
l
"
{ 2 Ê ÄÚãÎé á 5
å
Ä ãÎé á ist, nähert sich die Funktion Ê 2 ) 5 für ) ™
X
X
X
Úãåé á
Ä
92 Ê ÚÄ ãåé á 5 W¶¸·
¶¸·
(21.41)
bestimmt. Wenn
der statischen Lösung, das heißt
das Universum expandiert noch ein wenig und friert dann quasi ein. Diese Lösung ist in Abbildung 21.5(b)
dargestellt.
X
X
Liegt der aus (21.39) ermittelte Wert von jedoch nur ein klein wenig neben dem kritischen Wert ÄÚãÎé á ,
X
X
ÄãÎé á , so ist die Energie des
dann bricht die Funktion Ê 2 ) 5 in die eine oder andere Richtung aus. Ist £
klassischen Teilchens kleiner als die Potentialbarriere. Es fällt zurück, das heißt das Universum kontrahiert
wieder und endet in einer Singularität genau wie es begonnen hat. Diese Lösung ist in Abbildung 21.5(a)
dargestellt.
X
X
ÄãÎé á überwindet das Teilchen die Potentialbarriere und fällt dann auf der anderen Seite hinunter.
Für ö
In diesem Fall expandiert das Universum wieder bis in alle Ewigkeit, wobei der Skalenfaktor Ê 2 ) 5 nun
sogar exponentiell mit der Zeit ) zunimmt. Hier wird deutlich, dass eine positive kosmologische Konstante
effektiv eine Art abstoßende Gravitationskraft auf großen Skalen bewirkt. Ist die anziehende Wirkung der
Galaxien bei kleinen Entfernungen erst einmal überwunden, wir die Expansion durch die Abstoßung sogar
noch beschleunigt.
T
Aufgabe 21.22 Man zeige, dass für £
das Universum exponentiell expandiert, wenn es erst einmal die
=GCHE Ê 5_5
Potentialbarriere überwunden hat und die Abstoßung einsetzt, das heißt für große Ê gilt Ê 2 ) 5 4
2 2) .
Aufgabe 21.23 Sind die Universen, die in Abbildung 21.5 dargestellt sind, r äumlich offen oder geschlossen?
In Abbildung 21.6 sind schließlich noch ein paar exotische Lösungen der Friedmann-Gleichung mit positiver kosmologischer Konstante dargestellt. Sie ergeben sich, wenn wir als Anfangsbedingung ein kontra
*"
Gmö . Einige davon kommen offenbar ganz
hierendes Universum vorgeben, also Ê 2 ) G 5
und Ê \ 2 ) G 5
ohne Singularitäten aus, entsprechen aber ganz und gar nicht den Beobachtungen, die wir im nächsten
Abschnitt diskutieren werden. Sie sind deshalb nur der Vollständigkeit halber angegeben.
Aufgabe 21.24 Man zeige, dass auch im Falle einer nicht verschwindenden kosmologischen Konstante
stets eine Singularität am Anfang oder am Ende des Universums vorliegt, wenn dieses r äumlich offen ist.
428
ó »À
ó »õô
»
6
6 Ž
º•ù 6 ŽGú
6
»
ó »yô
û »üý”ô
ê
ó »À
Milchstraße
andere Galaxie
÷ötø
6 Ž
º¸ù 6 Ž÷ötø·ú
(a)
(b)
Abbildung 21.7: ...
Die Hubble-Konstante
Nachdem wir nun ausführlich die verschiedenen Lösungen der Friedmann-Gleichung diskutiert haben,
stellt sich die Frage, welche dieser Lösungen denn nun diejenige ist, die tatsächlich verwirklicht ist.
Können wir durch geeignete Beobachtungen die Werte der verschiedenen Parameter ermitteln, von denen die Lösungen abhängen?
Das ist ein sehr weites Feld, und viele Fragen sind bis heute offen. Es ist zum Beispiel noch immer
ungeklärt, ob wir in einem räumlich offenen oder in einem geschlossenen Universum leben, ob die kosmologische Konstante verschwindet oder nicht, und viele Rätsel, die mit dem Anfang des Universums
zusammenhängen, sind auch noch immer ungelöst. Darauf werden wir am Schluss dieses Kapitels noch
etwas näher eingehen.
Wir wollen zunächst an einem Beispiel deutlich machen, mit welchen prinzipiellen Schwierigkeiten
Astronomen konfrontiert sind, wenn es darum geht, kosmologisch relevante Messungen zu machen. Als
"
Beispiel soll die Messung der Hubble-Konstante G dienen, die die Geburtsstunde der modernen Kosmologie markiert.1 Damit verbunden war nämlich die Entdeckung, dass sich das Weltall überhaupt mit der
Zeit verändert, dass also Einsteins Vorschlag, eine kosmologische Konstante einzuführen, um ein statisches Weltall zu ermöglichen, völlig unnötig war.
Die physikalische Bedeutung der Hubble-Konstante hatten wir bereits kurz angesprochen. Es ist die
heutige Ausdehnungsrate des Universums, also das Verhältnis aus der Geschwindigkeit 8\ 2 ) G 5 , mit der sich
eine Galaxie von uns entfernt, und ihrem metrischen Abstand 62 ) G 5 ,
*"
[\ 2 ) G 5
G¸82 ) G 5
(21.42)
Wir müssen also “nur” die Abstände und die Geschwindigkeiten genügend vieler Galaxien hinreichend
"
genau messen, dann können wir den Wert von G ermitteln.
Das ist allerdings leichter gesagt als getan. Es gibt nämlich ein Problem. Wir können weder den heutigen Abstand einer Galaxie direkt messen, noch deren Geschwindigkeit. Der Grund dafür ist, dass wir
nur einen ganz kleinen Ausschnitt aus dem Universum überhaupt wahrnehmen können. Im kosmischen
Maßstab beschränkt sich unser irdisches Dasein im wesentlichen auf ein einziges Ereignis in der Raumzeit. Das einzige, was wir im wahrsten Sinne des Wortes sehen können, ist der Rückwärtslichtkegel dieses
Ereignisses und eine im kosmischen Maßstab infinitesimale Umgebung desselben.
In Abbildung 21.7(a) ist ein Raum-Zeit-Diagramm dargestellt, wobei als Koordinaten die Zeit ) und die
radiale Koordinate aus der Robertson-Walker-Metrik (21.15) aufgetragen sind. Die Galaxien bewegen
1
E.P. Hubble: “A relation between distance and radial velocity among extragalactic nebulae”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S. 15
(1929) 169.
429
sich in diesem Bild auf senkrechten Weltlinien. Der Ursprung befindet sich in der Milchstraße und soll
<
unser Beobachtungsort sein. Alle unsere Beobachtungen finden an einem einzigen Ereignis bei und
) ) G statt. Das Problem besteht also darin, allein aus den Beobachtungen auf diesem Lichtkegel genug
Informationen zu bekommen, um daraus die Parameter des Friedmann-Universums zu rekonstruieren.
¨
Betrachten wir zum Beispiel eine Galaxie, die sich an einem Ort befindet. Wie wir in der Abbil5
dung sehen, ist weder der heutige Abstand 82 ) G dieser Galaxie einer direkten Messung zugänglich, noch
) G ª , als das Licht ausgesandt wurde, das
der Abstand 62 ) 5 zu einen anderen Zeit, etwa zu der Zeit )
uns heute erreicht. Alles, was wir sehen, ist der Zustand der Galaxie zu diesem Zeitpunkt. Wir müssen
versuchen, allein daraus die Expansionsrate zu ermitteln.
Das Licht, das uns von der fernen Galaxie erreicht, enthält ein paar Informationen, die wir geschickt
ausnutzen müssen. Da sowohl wir als auch der Stern relativ zum kosmischen Koordinatensystem ruht, gilt
für die Frequenz des Lichtes die Beziehung aus Aufgabe 21.15. Das Licht erfährt eine Rotverschiebung ›
mit
T
Ê 5
ß^þÿ óú¶ÚÞ 2)G (21.43)
Ê
¶ÚÞ
ó ß^þÿ
’
2)G ª 5
Wenn wir diese Relation bis zur zweiten Ordnung in ª entwickeln und verwenden, dass gemäß unserer
*
Konvention stets Ê 2 ) G 5
ist, dann ergibt sich
"
*
u
JaG "
5 wobei " G Ê 2 ) G 5 JaG " Gu& * Ê ¹ 2 ) G 5 ›
(21.44)
Gª j
&
ª
&
·
2
ª
&
v
\
j „
j 
j ›
T
Der dimensionslose Parameter JAG wird als Bremsparameter bezeichnet. Er gibt an, die stark momentan die
Expansion des Universums durch die Gravitation abgebremst wird.
Es gibt also eine Beziehung zwischen der Rotverschiebung › und der Zeit ª , die ein Lichtstrahl von
einer anderen Galaxie zu uns benötigt. Sie gilt in dieser Form für nicht allzu ferne Galaxien, für die sich
die dritte Ableitung des Skalenfaktors noch nicht bemerkbar macht. Das wird für unsere Zwecke zunächst
genügen.
Die Rotverschiebung › lässt sich leicht messen. Wir müssen dazu nur das Spektrum einiger Sterne oder
der ganzen Galaxie aufnehmen, und darin zum Beispiel die typischen Absorptionslinien von Wasserstoff
suchen, der sich in jeder Sternatmosphäre befindet. Das einzige Problem ist, dass wir eventuell kleine Korrekturen berücksichtigen müssen, die durch die Rotverschiebung im Gravitationsfeld des Sterns oder der
Galaxie hervorgerufen werden, oder durch die Bewegung der Sterne innerhalb der Galaxie. Aber die Unsicherheiten, die dadurch entstehen sind im allgemeinen klein gegenüber der kosmischen Rotverschiebung
durch den Skalenfaktor.
Aber wie können wir die Zeit ª ermitteln, die das Licht brauchte, um hier anzukommen? Das Licht führt
keine kosmische Uhr mit sich, auch nicht in irgendeiner verschlüsselten Form, denn es bewegt sich auf
einer lichtartigen Geodäte, auf der keine Zeit vergeht. Es gibt daher keine Möglichkeit, direkt die Zeit zu
messen, die seit der Emission des Lichtes vergangen ist. Aber wir kennen die Beziehung zwischen dem
¨
Koordinatenabstand zu der Galaxie und der Zeit ª , die das Licht dafür benötigt, diese Strecke zurück zu
legen.
Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der Tatsache, dass die Weltlinie lichtartig ist. Aus der RobertsonWalker-Metrik (21.15) lesen wir ab, dass für einen radial einlaufenden Lichtstrahl folgender Zusammenhang zwischen und ) gilt,
Ê 2)5&
<
'Sî &
') & j ñ
ßX ' &
&
Integrieren wir beide Seiten, wobei ) von ) G
ª bis ) G
430
') *
' (21.45)
ñ
ƒX Ê 2)5
ƒ
&
¨
läuft und von bis , so ergibt sich der gesuchte
B
¨
Zusammenhang zwischen ª und ,
X M ' ) X ê ' ¨…
"
B
ª j
G$ª & j€ 2·ª 5
(21.46)
ñ
ƒX Ê
5
2)
„
ƒ
!
&
Â
G
M
Ê
) G in eine Reihe entwickelt, so dass das Ergebnis korrekt
Auch hier haben wir 2 ) 5 wieder an der Stelle )
bis auf Terme der Ordnung ª ist. Die Raumkrümmung macht sich in dieser Ordnung offenbar noch nicht
bemerkbar, denn der zusätzliche Term unter dem -Integral
ist, wenn wir die Wurzel entwickeln, von der
¨ Ordnung & , so dass das Integral von der Ordnung bzw. ª & ist.
¨ Die Beziehung
(21.46) können wir leicht invertieren, wenn wir auch hier wieder Terme der Ordnung
bzw. ) Ê q vernachlässigen,
¨È " ¨
ž
¨
ª
G & jΠ2 & 5
(21.47)
„
Wenn wir das in Abbildung 21.44 einsetzen, ergibt sich eine Beziehung zwischen der Rotverschiebung ›
¨
und dem Koordinatenabstand einer Galaxie,
›
*"
G
¨
J j
j
„
"
¨
¨
G & & jΠ2 & 5
(21.48)
Sind wir jetzt am Ziel? Können wir diese Relation durch Messungen bestätigen? Noch nicht ganz, denn wie
¨
sollen wir den Koordinatenabstand zu einer Galaxie ermitteln? Welchen Unterschied macht es überhaupt,
¨
ob wir den Koordinatenabstand oder die Zeit ª , die das Licht benötigt, um zu uns zu kommen, als
Referenzvariable verwenden?
¨
Es macht einen Unterschied, denn den Koordinatenabstand können wir unter gewissen Umständen
messen. Der Grund dafür ist, dass die Koordinate in einer speziellen Art und Weise gewählt wurde.
Sie repräsentiert den Oberflächenradius einer Kugelschale, und zwar zum heutigen Zeitpunkt )
;= ¨ ) G . Mit
Y¨
) G und
anderen Worten, die Oberfläche einer Kugelschale mit den Koordinaten )
ist
& . Diese
Oberfläche können wir wie folgt messen.
Nehmen wir an, wir kennen die gesamte Strahlungsleistung eines Sterns. Wenn wir uns dann in einer
gewissen Entfernung von diesem Stern befinden, können wir die bei uns ankommende Leistung pro Fläche,
also die Strahlungsdichte messen. Diese ergibt sich in einer flachen Raumzeit aus der Strahlungsleistung
geteilt durch die Oberfläche der Kugelschale, in deren Mittelpunkt sich der Stern befindet, und auf deren
Oberfläche wir uns befinden.
Nun übertragen wir diese Situation auf ein sich ausdehnendes Universum. Diesmal wählen wir die
f
Koordinaten ein wenig anders. Wir legen den räumlichen Koordinatenursprung in die ferne Galaxie,
w¨
so dass wir uns an der Stelle
befinden. Außerdem betrachten nicht unseren Rückwärtslichtkegel
) G , sondern den Vorwärtslichtkegel der Galaxie zu Zeitpunkt )
) G ª , der in
zum Zeitpunkt )
Abbildung 21.7(b) dargestellt ist.
Aufgabe 21.25 Warum ist nach dieser Koordinatentransformation die radiale Koordinate
¨
straße dieselbe wie vorher die radiale Koordinate der anderen Galaxie?
)G @
Der Stern habe zur Zeit )
emittiere in einem Zeitintervall
)
ª
der Milch-
3
eine Strahlungsleistung ¶Þ . Der Einfachheit halber nehmen wir an, er
@
¶ÚÞ eine Anzahl þ Photonen mit der Frequenz óû¶ÚÞ . Es gilt dann
3
¨
Þ
¶
ú
@
óò¶ÚÞ þ ') ¶ÚÞ
(21.49)
Zur Zeit )
m¨ ) G sind diese Photonen gleichmäßig
;= ¨ (wegen der Isotropie des Raumes) über eine Kugelschale
bei
verteilt. Diese hat die Oberfläche
& . Zusätzlich haben die Photonen eine
Rotverschiebung
D › 5.
(21.48) erfahren. Wenn wir die Photonen jetzt messen, haben sie eine Frequenz ó3ß^þÿ
óú¶ÚÞ 2
j
431
Außerdem wurden nicht nur die Frequenzen der einzelnen Photonen rotverschoben. Es wurde auch der
zeitliche Abstand zwischen den Photonen um den gleichen Faktor gestreckt. Wenn die Photonen in einem
@
@
Y@
) ¶ÚÞ÷2 j › 5 auf der
Zeitintervall ) ¶ÚÞ emittiert wurden, so werden sie jetzt in einem Zeitintervall ) ß^þÿ
@
Kugelschale auftreffen. Die Anzahl þ der Photonen ist jedoch die gleiche wie vorher.
ž¨
) G und Wenn wir alle Photonen auf der Kugelschale bei )
auffangen würden, ergäbe sich daraus
die Leistung
ú
@
ú
@
3
óò¶Þ þ
ó ^ß þ[ÿ þ ¶ÚÞ
(21.50)
5
') ß^þÿ
2 j › &8') ¶ÚÞ
2 j › 5&
;= ¨
Da sich diese Leistung über eine Fläche
Zusammenhang zwischen
& verteilt, ergibt sich der folgende
3
¡
der Strahlungsleistung ¶ÚÞ des Sterns, der gemessenen Strahlungsdichte ß^þÿ , und dem Oberflächenradius
¨
3
ß^þ[ÿ
der Kugelschale ,
3
¨ û
­ ;=”¶¡ Þ 2 j ›5
ß^þ[ÿ
(21.51)
Die Größe wird auch Leuchtkraft-Entfernung genannt. Es ist die Entfernung, die ein gleichartiges Objekt,
also ein Stern mit der gleichen Strahlungsleistung, in einer flachen Raumzeit haben müsste, damit er uns
genauso hell erscheinen würde.
Aufgabe 21.26 Warum stimmt die Formel (21.51) auch dann, wenn der Stern, wie es nat ürlich in der
Realität auf der Fall ist, ein ganzes Spektrum von Photonen emittiert und nicht nur eine einzige Frequenz?
Wir können also aus der Strahlungsleistung des Sterns, der gemessenen Strahlungsdichte und der Rotver¨
schiebung seine radiale Koordinate bestimmen. Man beachte aber, das dies nicht der metrische Abstand
des Sterns ist, sondern der Oberflächenradius der Kugelschale, auf der sich der Stern heute befindet. Die
Strahlungsdichte, oder der Energiestrom einer sich kugelsymmetrischen ausbreitenden Welle fällt nämlich
in einem gekrümmten Raum nicht mit dem Quadrat des metrischen Abstand ab, sondern mit der Oberfläche der Kugelschalen.
Die Rotverschiebung und die Strahlungsdichte können wir direkt messen. Es bleibt nur noch das Pro3
blem, die Strahlungsleistung ¶ÚÞ des jeweiligen Objektes zu ermitteln. Das ist das größte Problem bei
der kosmologischen Entfernungsbestimmung. Die Leuchtkraft-Entfernung eines Objektes können wir nur
dann bestimmen, wenn wir die Natur dieses Objektes kennen und so auf dessen Leistung schließen können.
Wir wollen auf die Methoden, die man dabei verwendet, hier nicht im Detail eingehen. Das Prinzip ist,
zunächst in unserer Milchstraße, wo wir Entfernungen relativ leicht messen können, nach ganz speziellen
Sternen oder Gruppen von Sternen zu suchen, die besondere Eigenschaften haben, zum Beispiel periodische schwankende Strahlungsleistungen oder etwas ähnliches. Meist besteht dann ein Zusammenhang
zwischen solchen leicht wiedererkennbaren Eigenschaften und der mittleren Strahlungsleistung. Wenn
man solche Objekte in fernen Galaxien auch findet, kann man auf diese Weise etwas über deren Strahlungsleistung sagen.
Nehmen wir also an, wir würden von genügend vielen und genügend weit entfernten Objekten die
Leuchtkraft-Entfernung und die Rotverschiebung › messen. Dann sollte zwischen den beiden ein Zusammenhang bestehen, der sich aus (21.51) und (21.48) ergibt. Wenn wir das ineinander einsetzen, bekommen
wir
’
*"
"
JaG
›
G
2 &5
(21.52)
G& &
j
j€
„
Die ist schließlich die gesuchte Formel, die einen direkten Zusammenhang zwischen zwei Messgrößen,
der Rotverschiebung und der Leuchtkraft-Entfernung eines Objektes herstellt.
Die Rotverschiebung steigt zunächst linear mit der Leuchtkraft-Entfernung an. Trägt man die entspre"
chenden Daten für genügend viele Galaxien in einem Diagramm auf, lässt sich daraus der Wert von G
ablesen. Bei hinreichend genauer Messung lässt sich sogar die Konstante JŸG , also die zweite Ableitung des
432
Skalenfaktors nach der Zeit bestimmen. Im Prinzip, wenn wir die Rechnung exakt durchführen statt nur
eine Entwicklung in anzugeben, könnten wir aus dem Zusammenhang zwischen Leuchtkraft-Entfernung
und Rotverschiebung sogar die gesamte Geschichte des Universums rekonstruieren.
Allerdings ist die gerade beschriebene Methode der Entfernungsbestimmung von Objekten außerhalb
"
der Milchstraße viel zu ungenau, um aus dieser Beziehung mehr als nur die Konstante G zu ermitteln.
3
Wegen der Unsicherheit, die sich aus der Unkenntnis der genauen Strahlungsleistung ¶ÚÞ der gemessenen
"
Objekte ergibt, kennt man heute G nur bis auf etwa einen Faktor Zwei. Der Messwert beträgt
"
r
; ””u¦H
{
km
sec Mpc
B
"
r
;Ӈu # ~
sec
r
” á ë µ
„ „
Jahre
(21.53)
Da das Inverse der Hubble-Konstante eine obere Grenze für das Alter des Universums ist, ergibt sich
daraus unmittelbar, dass unser Weltall nicht älter als etwa „ Milliarden Jahre sein kann.
"
Hubble selbst hatte zunächst einen um den Faktor Zehn zu hohen Wert für G ermittelt. Das stand
natürlich im Widerspruch zu dem damals schon bekannten Alter des Sonnensystems und der Erde von
mehr als vier Milliarden Jahren. Der Grund für diesen Messfehler war eine falsche “Eichung” der Entfernungsskala, also genau der systematische Fehler, der sich einstellt, wenn die physikalischen Eigenschaften
der betrachteten Objekte nicht genau bekannt sind.
Wie sehen also, dass es gar nicht so einfach ist, kosmologische Beobachtungen zu machen, um daraus
die Parameter des Friedmann-Universums zu bestimmen. Die Situation ist völlig anders als im Laborversuch, den wir beliebig oft wiederholen können. Sie ist auch völlig anders als im Sonnensystem, wo wir
zwar keine Experimente machen können, aber dafür auf eine Beobachtungszeit zurück greifen können, die
um ein paar Größenordnungen über den typischen Zeitskalen liegt, nämlich auf ein paar hundert oder sogar tausend Jahre. In der Kosmologie ist dagegen die zur Verfügung stehende Beobachtungszeit um viele
Größenordnungen kleiner als die typischen Zeitskala.
Aufgabe 21.27 Gegeben sei ein Katalog von Galaxien, aus dem wir f ür jede Galaxie den Koordinatenab¨
stand ablesen können, ermittelt aus der Leuchtkraft-Entfernung und der Rotverschiebung › . Wie l ässt
X
sich aus diesen Daten die Raumkrümmung bestimmen?
Er hängt natürlich mit den anderen Parameters zusammen, das die zweite Ableitung des Skalenfaktors
durch die Friedmann-Gleichung bestimmt ist. Es folgt aus (21.38), dass
"
G&[JaG
;=
2]7§ÞàßYá j „¾7§ã7ß^ä 5 j l
(21.54)
Das heißt, aus der Kenntnis von J G und den Energiedichten könnten wir später die kosmologische Konstante bestimmen. Aber noch haben wir ja das Problem, überhaupt einen der Parameter durch Beobachtungen
zu bestimmen, noch nicht gelöst.
Tatsächlich hat Edwin Powell Hubble im Jahre 1929 genau diese Beobachtung gemacht 2 . Er hat festgestellt, dass sich die Galaxien von uns entfernen, und dass die Geschwindigkeiten tatsächlich proportional
"
zum momentanen Abstand sind. Es ist also G £ . Allerdings ist die Messung dieses Phänomens weniger
einfach als es zunächst erscheint, so dass wir die genauere Diskussion dieser Beobachtung noch ein wenig
"
verschieben, und den Wert von G noch nicht festlegen.
"
Es handelt sich um die Messung der heute als Hubble-Konstante bezeichneten Ausdehnungsrate G .
Die entscheidenden Parameter, von denen die Zeitentwicklung des Universums abhängt, sind die Energiedichten der nichtrelativistischen Materie 75ÞàßYá und der Strahlung 7æãåß^ä , die aktuelle Ausdehnungsrate
2
E.P. Hubble: “A relation between distance and radial velocity among extragalactic nebulae”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S. 15
(1929) 169.
433
Ê 2 ) G 5 *" G , die Krümmung des Raumes X
\
und die kosmologische Konstante , wenn wir diese mit einbel
ziehen wollen. Im Prinzip müssten wir alle diese Größen einzeln messen können. Da sie nicht unabhängig
sind, sondern über die Beziehung (21.39) zusammenhängen,
X
¦Ÿ=
‚"
2]7§ÞàßYá j 7§ã7ß^ä 5
G & ¤
j l (21.55)
ergibt sich zusätzliche sogar eine Konsistenzbedingung. Wenn wir alle darin vorkommenden Größen messen, können wir überprüfen, ob das Friedmann-Modell eine realistische Beschreibung unseres Universums
liefert oder nicht.
434