Lösungen für Aufgabe 55

Lösungen für Aufgabe 55
a) Es gibt Insgesamt 36 mögliche Kombinationen nach dem Werfen von 2
Würfeln:
{11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, . . . , 65, 66}
1
. Wir
Jede davon ist gleich wahrscheinlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 36
müssen also zählen Wieviele Kombinationen es gibt die jeweilige Augenzahl
zu werfen. Diese sind wie folgt:
Augenzahl
Möglichkeiten
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
5
9
4
10 11 12
3 2 1
Die Wahrscheinlichkeiten sind dann obige Anzahl von Möglichkeiten durch
36.
b) Sei Ai das Ereignis der i-te Wurf ist 6. Mindestens eine 6 zu Würfeln
entspricht dann der Vereinigung A1 ∪ A2 ∪ A3 . Dann bekommen wir mit
Formel (98) auf Seite 45 des Skriptes:
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = P (A1 ∪ (A2 ∪ A3 )) = P (A1 ) + P (A2 ∪ A3 ) − P (A1 ∩ (A2 ∪ A3 ))
= P (A1 ) + P (A2 ∪ A3 ) − P ((A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A3 )).
Ferner gilt
P (A2 ∪ A3 ) = P (A2 ) + P (A3 ) − P (A2 ∩ A3 ),
P ((A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A3 )) = P (A1 ∩ A2 ) + P (A1 ∩ A3 ) − P ((A1 ∩ A2 ) ∩ (A1 ∩ A3 ))
= P (A1 ∩ A2 ) + P (A1 ∩ A3 ) − P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ).
Zusammen folgt
P (A1 ∪A2 ∪A3 ) = P (A1 )+P (A2 )+P (A3 )−P (A1 ∩A2 )−P (A1 ∩A3 )−P (A2 ∩A3 )+P (A1 ∩A2 ∩A3 ).
Nun überlegt man, dass gilt
1
P (Ai ) = , i = 1, 2, 3,
6
1
P (Ai ∩ Aj ) = , 1 ≤ i < j ≤ 3,
36
1
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =
.
216
1
Also haben wir:
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) =
1 1 1
1
1
1
1
91
+ + −
−
−
+
=
.
6 6 6 36 36 36 216
216
Alternativ könnte man auch begründen
wieso gilt, dass die Wahrscheinlich
5 3
125
keit keine 6 zu würfeln gleich 6 = 216 ist.
c) Die wahrscheinlichkeit genau k mal zu werfen ist genau die Wahrscheinlichkeit k − 1 mal Zahl und dann Kopf zu werfen. Also beträgt die Wahrk
scheinlichkeit 12 . Sie müssen also durchschnittlich
i
i
∞
∞
X
1
1X
1
1
i·
=
(i+1)·
=
2
2 i=0
2
2
i=1
!
2
∞ i 2
X
1
1
1
1
·
=
= 22 = 2.
1
2
2 1− 2
2
i=0
mal werfen.
d) Ähnlich zu c). Die Wahrscheinlichkeit genau k mal zu werfen beträgt
5 k−1 1
und Sie müssen im Schnitt 6 mal werfen.
6
6
e) Es gibt 1 Möglichkeit 0 mal Kopf zu werfen (ZZZ), diese hat die Wahr3
1
.
scheinlichkeit 14 = 64
Es gibt 3 Möglichkeiten 1 mal Kopf zu werfen (KZZ, ZKZ, ZZK), diese haben
2
3
alle die Wahrscheinlichkeit 14 34 = 64
. Also ist die Wahrscheinlichkeit für 1
9
mal Kopf 64 .
Es gibt 3 Möglichkeiten 2 mal Kopf zu werfen (KKZ, KZK, KKZ), diese ha2
9
ben alle die Wahrscheinlichkeit 14 43 = 64
. Also ist die Wahrscheinlichkeit
27
für 2 mal Kopf 64 .
Es gibt 1 Möglichkeit 3 mal Kopf zu werfen (KKK), diese hat die Wahr3 27
scheinlichkeit 34 = 64
.
2