Fakten-Regeln-Beispiele - Wirsberg

Wirsberg-Gymnasium
Grundwissen Mathematik 10. Jahrgangsstufe
Lerninhalte
Fakten-Regeln-Beispiele
Kreis - Kugel
Länge des Kreisbogens:
b=
α
360°
Flächeninhalt des Kreissektors:
⋅ 2π r
A=
Volumen der Kugel:
4
V = ⋅π r3
3
Trigonometrie
α
360°
Umrechnung ins Bogenmaß:
⋅π r 2
2π
⋅αG
360°
αB =
Oberflächeninhalt der Kugel:
AO = 4 ⋅ π r 2
Die allgemeine Sinusfunktion: x a a ⋅ sin(b ⋅ x + c )
a: Amplitude
c: Phasenverschiebung
b: Frequenz
y
y
y
y
y
y
1,4
3
1,4
3
1
1
1,0
2
1,0
0,6
0,6
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-2
-1
1
2
2
3
4
-1
-2
-3
-3
5
6
7
x
0,2
-2π
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-0,2
-0,6
-1
-1,0
-1,4
y = 1·sin x
y = 3·sin x
y=sin x
y=sin (2x)
y=sin (3x)
4
5
2π
6
7
x
x
0,2
-2π
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0,2
-0,6
-1
-1,0
-1,4
y=sin x
y=sin (x+π/4)
5
2π
6
7
x
x
Exponentialfunktion,
Logarithmus
Lineares Wachstum(Beispiel):
Exponentielles Wachstum(Beispiel):
y
y
y
y
+10
40
500
35
+10
30
•1,5
400
25
•1,5
300
+10
20
200
15
•1,5
•1,5
200
10
+10
10
100
5
x
-2
-1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
t
-4
-3
-2
1
-1
1
x
2
3
4
5
6
7
8
9
t
-5
-10
Wachstum mit konstantem Zuwachs
in gleichen (Zeit-) Schritten
-100
Wachstum mit konstantem
Wachstumsfaktor in gleichen (Zeit-)
Schritten
Exponentialfunktion,
Logarithmus
Exponentialfunktionen der Form
x a ax;a ∈ R+
y
y
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
x
-4
-3
-2
1
-1
1
3
f :xa 
2
2
3
4
x
x
-4
-3
-2
-1
1
2
1
3
4
x
x
2
xa 
3
x
Für a<1 nehmen die Funktionswerte mit
wachsendem x ab. Der Graph fällt.
Für a>1 nehmen die Funktionswerte mit
wachsendem x zu. Der Graph steigt.
Die Funktionswerte sind stets positiv. Sämtliche Graphen verlaufen durch den Punkt
(0|1). Die x-Achse ist Asymptote des Graphen.
Spiegelt man den Graphen von
x
x a a x an der y-Achse, so erhält man den Graphen
1
von x a   .
a
Beim Übergang vom Graphen g: x a a x zum Graphen von f: x a b ⋅ a x wird jede y-Koordinate eines
Punktes des Graphen von g in der y-Richtung mit dem Faktor b gestreckt.
Der Graph der Logarithmusfunktion:
+
Spiegelt man den Graphen der Exponentialfunktion x a a ; a ∈ R an der Winkelhalbierenden des I. Quadranten, so erhält man
x
den Graphen der Logarithmusfunktion
x a log a x ; a ∈ R +
Exponentialfunktion,
Logarithmus
Rechengesetze für Logarithmen: ( u > 0, v > 0, a > 0, a ≠ 1 ):
Gesetz:
Beispiel:
(
)
log a u ⋅ v = log a u + log a v
log 2 (32 ⋅ 8) = log 2 32 + log 2 8 = 5 + 3 = 8
log a (u : v ) = log a u − log a v
log 2 (32 : 8) = log 2 32 − log 2 8 = 5 − 3 = 2
x
log 2 32 4 = 4 ⋅ log 2 32 = 4 ⋅ 5 = 20
log a u = x ⋅ log a u
Umrechnungsformel: log a u =
lg u
. Dabei gilt: lg u := log10 u
lg a
Exponenzialgleichungen:
1. Lösungsmöglichkeit:
Tritt die Variable als Exponent auf,
so lässt sich die Gleichung oft durch
Logarithmieren lösen.
Beispiel:
6 ⋅ 1,4
(
x
= 2 ,5 ⋅ 0 ,8
lg 6 ⋅ 1 , 4
x
)=
(
x
lg 2 , 5 ⋅ 0 , 8
x
)
lg 6 + x ⋅ lg 1 , 4 = lg 2 , 5 + x ⋅ lg 0 , 8
x ⋅ lg 1 , 4 − x ⋅ lg 0 , 8 = lg 2 , 5 − lg 6
x ⋅ (lg 1 , 4 − lg 0 , 8 ) = lg 2 , 5 − lg 6
lg 2 , 5 − lg 6
≈ − 1 , 56
x =
lg 1 , 4 − lg 0 , 8
2. Lösungsmöglichkeit: Substitution
Beispiel:
5 ⋅ 5 x + 5− x = 6
u := 5 x
5u + u −1 = 6 ⇔ 5u 2 + 1 = 6u ⇔ 5u 2 − 6u + 1 = 0
6 ± 6 2 − 4 ⋅ 5 ⋅1
1
⇒ u1 = 1; u 2 =
2⋅5
5
1 = 5 x ⇒ x1 = 0
u1 / 2 =
1
= 5 x ⇒ x 2 = −1
5
Die Probe zeigt, dass beide x-Werte Lösungen sind.
Stochastik
Vierfeldertafel: (Beispiel)
Beim Lotto werden sechs aus 49 Zahlen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die gezogene Zahl weder durch 2 noch durch 7 teilbar?
Lösung:
Ereignis G: „Zahl ist gerade.“
Ereignis S: „Zahl ist durch 7 teilbar.“
Tipp: Zuerst die Vierfeldertafel mit Anzahlen; dann die Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten aufstellen.
S
S
G
3
21
24
G
4
21
25
7
42
49
Zeilensummen
Spaltensummen
G
S
S
3
49
3
7
24
49
G
4
49
3
7
25
49
1
7
6
7
1
Antwort:
Mit der Wahrscheinlichkeit
3
ist die gezogene Zahl
7
weder durch 2 noch durch 7 teilbar.
Stochastik
Bedingte Wahrscheinlichkeit:
P ( A)
()
PA
PA (B )
B
P( A ∩ B )
()
B
P A∩ B
A
PA B
(
)
(
)
(
)
PA (B )
B
P A∩ B
()
B
P A∩ B
Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments mit P(A) ≠ 0, so versteht man unter
der bedingten Wahrscheinlichkeit PA ( B ) die
Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B unter
der Bedingung des Eintretens von A.
Es gilt: PA ( B ) =
P( A ∩ B )
P ( A)
A
PA B
Beispiel:
Bei der Herstellung eines elektronischen Bauteils ist bekannt, dass der Ausschuss 2% beträgt. Bei einem
Prüfverfahren werden defekte Bauteile mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% erkannt. Es passiert jedoch
auch, dass das Prüfverfahren fälschlicherweise intakte Bauteile beanstandet. Mit 99,5%
Wahrscheinlichkeit wird ein intaktes Bauteil nicht beanstandet.
a) Mit welcher WS wird ein intaktes Bauteil beanstandet?
b) Mit welcher WS ist ein Bauteil defekt, wenn es beanstandet wird?
0,99
Zu a)
PD (B ) = 0,005 = 0,5%
D
0,01
0,02
B
Zu b)
0,98
0,005
B
D
0,995
PB (D ) =
P (D ∩ B )
P(D ) ⋅ PD ( B)
=
P (B )
P(D ) ⋅ PD ( B) + P D ⋅ PD (B )
( )
=
B
0,02 ⋅ 0,99
≈ 80,2%
0,02 ⋅ 0,99 + 0,98 ⋅ 0,005
Ganzrationale
Funktionen
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten:
Darunter versteht man Funktionen mit der Zuordnungsvorschrift x a a ⋅ x ( n ∈ N ). n ist der Grad der Potenzfunktion.
n
Gerade Exponenten:
Die Graphen sind achsensymmetrisch
bezüglich der y-Achse.
a>0:
Für x<0 nehmen mit wachsenden x-Werten
die y-Werte ab, für x>0 zu.
Ungerade Exponenten:
Die Graphen sind punktsymmetrisch
bezüglich des Koordinatenursprungs.
a>0:
Mit wachsenden x-Werten nehmen die
Funktionswerte zu.
y
y
y
y
7
7
6
5
6
4
3
5
2
y = 0,8x^2
y = 0,8x^4
y = 0,8x^6
4
3
2
1
1
-2
1
1
-1
2
x
-2
-3
1
1
y = 0,8x^3
y = 0,8x^5
y = 0,8x^7
y=0,8x
-4
x
-2
x
-1
1
-1
1
2
x
-5
-6
-7
a<0:
Für x<0 nehmen mit wachsenden
Funktionswerten die y-Werte zu, für x>0
ab.
y
a<0:
Mit wachsenden x-Werten nehmen die
Funktionswerte ab.
y
y
-2
1
-1
1
y
x
2
x
7
6
-1
5
-1
4
3
-2
2
-3
-4
-5
y = - 0,8x
y = -0,8x4
y = - 0,8x6
2
1
1
-2
-1
-2
-3
-4
-6
1
1
-1
-5
-6
-7
-7
x
2
x
y = - 0,8x3
y = - 0,8x5
y = - 0,8x7
y = -0,8x
Ganzrationale
Funktionen
Begriff des Polynoms:
Terme, die aus Summen von Potenzen
(mit Exponenten aus N 0 ), derselben Variablen
und zugehörigen Koeffizienten bestehen, nennt
man Polynome.
Der höchste in einem Polynom bei einer
Variable vorkommende Exponent heißt
Grad des Polynoms.
Begriff der ganzrationalen Funktion:
Darunter versteht man eine Funktion, deren
Funktionsterm ein Polynom ist.
Beispiele:
a) − 5 x + 3 x + x − x + 6
6
4
b) 2 x18 + 2 x 9 −
3
1
x
2
Beispiele:
6
Zu a) Der Grad beträgt 6 wegen x .
Zu b) Der Grad beträgt 18.
Beispiel:
1
x handelt es sich um
2
Bei p : x a 2 x18 + 2 x 9 −
eine ganzrationale Funktion vom Grad 18.
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für betragsmäßig große x-Werte (Beispiele):
y
y
y
y
2
2
1
1
1
1
x
-4
x
-4
-3
-2
-1
1
1
2
3
4
-3
-2
-1
1
1
x
2
3
4
x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
x a 2x 4
− 5 x 3 + 3x − 1
Fortsetzung: Nächste Seite
5
4
3
2
x a x + x − 2 x − x − 0,5
Ganzrationale
Funktionen
xa
x a − 2x 6 + 3x 4 − 2 x 3 + x 2 + 3x
+ 4x 2 + x + 1
− 3x
y
y
y
y
3
2
2
1
1
x
-4
-3
-2
-1
1
1
2
3
4
1
x
1
x
-4
-3
-2
-1
1
1
-1
2
3
4
x
-1
-2
-2
-3
Ist der höchste vorkommende Exponent gerade,
so verläuft der Graph „von oben nach oben“ oder
„von unten nach unten“.
Ist der höchste vorkommende Exponent
ungerade, so verläuft der Graph „von unten nach
oben“ oder „von oben nach unten“.
Das Ermitteln von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen:
Beispiel: p : x a x 3 − 6 x 2 + 11x − 6
1. Schritt: Finden einer Nullstelle durch systematisches Probieren Man erhält z.B. x = 2 .
2. Schritt: Polynomdivision
( x3 – 6 x2 + 11x – 6 ) :
-( x3 - 2 x2 )
- 4x2 + 11x
- (- 4x2 + 8x )
3x - 6
- ( 3x - 6)
0
( x - 2 ) = x2 - 4x + 3
Dividiere x3
durch x .
Multipliziere das Ergebnis x2 mit x - 2 .
Subtrahiere
x3 - 2x2 von x3 - 6x2 + 11x - 6 .
3. Schritt: Nullsetzen des Ergebnisterms der Polynomdivision.
x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = 3
Ergebnis: Die Nullstellen lauten: x0 = 2; x1 = 1; x2 = 3
Der Funktionsterm von p zerfällt in Linearfaktoren: p : x a ( x − 2 ) ⋅ ( x − 1) ⋅ (x − 3)
Fortsetzung: nächste Seite
Funktionen
und ihre
Graphen
Beispiel:
Man spricht von einer k-fachen Nullstelle, wenn in der
vollständig faktorisierten Form des Funktionsterms der
entsprechende Linearfaktor k-mal vorkommt.
f : x a 2·( x - 0 )1 (x - (-2))2·(x - 1) 3
f hat bei x = 0 eine einfache, bei x = -2 eine doppelte und bei x = 1 eine
dreifache Nullstelle
Vielfachheit und Graph
Bei gerader Vielfachheit einer Nullstelle überquert
der Graph die x-Achse bei dieser Nullstelle nicht.
Bei ungerader Vielfachheit einer Nullstelle überquert de
Graph die x-Achse bei dieser Nullstelle.
Mögliche Graphenverläufe:
Mögliche Graphenverläufe:
y
y
y
y
bzw.
bzw.
Verschieben von Funktionsgraphen:
x
x
x
x
y
y
Sind zwei Funktionen f und g gegeben und gilt
g(x)=f(x + a) + b,
so entsteht der Graph von g aus dem Graphen von f
durch Verschiebung um –a in x-Richtung
(a>0: nach links,
a<0:
nach rechts),
und um b in y-Richtung
(b>0: nach oben,
b<0:
nach unten).
7
6
G
5
3
G
2
+2
f
+4
1
1
g(x)=f(x+(-4))+2
g
4
1
1
2
3
x
4
5
6
7
x
Funktionen
und ihre
Graphen
Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen:
Gilt für zwei Funktionen f und g die
Gleichung g ( x ) = k ⋅ f ( x ) mit k > 0 ,
so ist der Graph von g gegenüber demjenigen
von f in y-Richtung von der x-Achse aus mit
dem Streckungsfaktor k gestreckt.
Der Graph der Funktion g mit
Gilt für zwei Funktionen f und g die Gleichung
h( x) = f (k ⋅ x) mit k > 0 ,
so ist der Graph von h gegenüber demjenigen von f in
x-Richtung von der y-Achse aus mit dem
Streckungsfaktor
1
gestreckt.
k
Der Graph der Funktion h mit
g ( x) = − f ( x)
geht aus dem Graphen von f durch
Spiegelung an der x-Achse hervor.
Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse
h( x ) = f ( − x )
geht aus dem Graphen von f durch
Spiegelung an der y-Achse hervor.
Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs
y
y
f(-x)=f(x)
f(x)
f(-x)
-x
x
f(-x)=-f(x)
-x
x
f(-x)
f(x)
x
x
Grenzwerte im Unendlichen:
Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für
beliebig groß werdende x-Werte einer Zahl a beliebig
nahe, so nennt man a den Grenzwert der Funktion f für
x gegen plus unendlich ( x → +∞ ).
Schreibweise: lim f ( x ) = a
x → +∞
Die Gerade y = a ist waagerechte Asymptote des
Graphen von f.
Entsprechend ist der Grenzwert für x → −∞ definiert.
Beispiele:
2

x 3 − 
3−
x
= lim
1  x → +∞

2−
x 2 − 
x

a) lim 3 x − 2 = lim 
x → +∞
x → +∞
2x − 1
2
x =3
1 2
x
b) lim cos x existiert nicht, da die Funktionswerte
x → +∞
zwischen -1 und +1 schwanken.