Lösung 5

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
5. Übung/Lösung—
email: [email protected]
Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
—
16.11.2016
Abgabe am 22.11.2016 vor der Vorlesung. Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 24., 25. und 28.
November besprochen. Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws16-17/index.html
1. (Kurvendiskussion)
Diskutieren Sie die Funktionen
f (x) =
√
x2
1
e− 2σ2 ,
2πσ 2
x
g(x) = x ,
x ∈ R+
x∈R
und
nach folgendem Schema:
(a) Welche Symmetrieeigenschaften hat die Funktion?
(b) Welche Nullstellen hat die Funktion?
(c) Wie ist das asymptotische Verhalten der Funktion?
(d) Ist die Funktion stetig? Wie verhält sich die Funktion an den Polstellen (falls sie welche besitzt)?
(e) Berechnen Sie die Taylorreihe für f um x0 = 0 und für g um x0 = 1 bis zur 2-ten Ordnung.
(f) Hat die Funktion lokale Extrema? Wo liegen sie?
(g) Hat die Funktion absolute Extrema? Wo liegen sie?
(h) Für welche x ist die Funktion monoton steigend bzw. monoton fallend?
(i) Wie ist das Krümmungsverhalten? In welchen Bereichen ist die Funktion konvex, in welchen ist sie
konkav? Wo sind Wendepunkte?
Hinweis: xx = ex ln x
Lösung:
f (x) = √
1
2πσ 2
x2
e− 2σ2 ,
(a)
(b)
(c)
(d)
x∈R
Symmetrie: f (x) = f (−x), gerade
Nullstellen: Keine, da ey > 0 für alle y ∈ R.
Da limy→∞ e−y = 0, folgt limx→±∞ f (x) = 0
Stetig, da x2 , exp und die Komposition beider Funktionen stetig sind.
2
d
d2
x
1
(e) dx
f = f (x) −x
,
f
=
f
(x)
−
σ 2 dx2
σ4
σ2 ,
d2
1
√ 1
√ 1
, d f (0) = 0, dx
=
2 f (0) = −
2πσ 2 dx
2πσ 2 σ 2
1
1
2
√
√
−
x
+
...
für
σ
>
0.
2πσ
2 2πσ 3
d
Lokale Extrema: 0 = dx
f (x) = f (x) −x
σ 2 ⇒ xE = 0
d2
1
f
(x
)
<
0
⇒
lokales
Maximum
bei
(0, √2πσ
)
E
2
dx2
f (0) =
f (x) =
(f)
1
− √2πσ
,
3
(g) Da limx→±∞ f (x) = 0 ist das Maximum auch eine globales Maximum.
d
f ) = −sgn(x).
(h) Streng monoton steigend für x < 0 und streng monoton fallend für x > 0, da sgn( dx
d2
x2
1
(i) Wendepunkte mit dx
2 f = f (x)
σ 4 − σ 2 = 0 bei xW = ±σ. Daher ist f (x) konkav für x ∈ [−σ, σ] und sonst
konvex.
g(x) = xx ,
x ∈ R+
(a) Keine Symmetrien, da nicht auf R− definiert.
(b) Nullstellen: Keine, da ey > 0 für alle y ∈ R und daher auch ex ln x .
(c) limx→∞ ex ln x = ∞, limx→0 ex ln x = ”e0·∞ ” = 1, da limx→0 x ln x = limx→0
ln x
1
x
= limx→0
1
x
− x12
= 0.
(d) Stetig, da exp, ln und die Komposition der Funktionen stetig sind.
i
h
2
d
d2
x ln x
(e) dx
g = ex ln x (ln x + 1) , dx
(ln x + 1) + x1 ,
2g = e
2
d
d
g(1) = 1, dx
g(1) = 1, dx
2 g(1) = 2,
g(x) = 1 + (x − 1) + (x − 1)2 + ....
d
x ln x
−1
(f) Lokale Extrema: 0 = dx
hg(x) = e (ln x +i 1) ⇒ xE = e
2
−1
−1
−1
2
d
1
e
ln e
> 0 ⇒ lokales Minimum bei (e−1 , e−e = 0.6922)
ln e−1 + 1 + e−1
dx2 g(xE ) = e
(g) Da limx→∞ g(x) = ∞ > g(xE ) und limx→0 g(x) = 1 > g(xE ) ist das Minimum auch eine globales Minimum.
(h) Streng monoton fallend für x < xE und streng monoton steigend für x > xE .
(i) Keine Wendepunkte, da
d2
dx2 g
> 0 für alle x > 0. Daher ist g(x) konvex.
2. (Komplexe Zahlen: Darstellung)
Welche Figur bilden die Punktmengen (z ∈ C), für die gilt:
(b)
Im(z) = (Re(z))2
(c)
(d) π/2 < arg(z) < 3π/2
(e)
|4 − z| = 1
(f) z = z̄
Zusatzaufgaben:
(g)
1 < (z − 1)(z̄ − 1) < 2
(a)
1 ≤ |z| ≤ 3
Im(z) > Re(z) + 1
(h)
|z| = arg(z)
Lösung:
(a) Ring mit Mittelpunkt (0,0) und Radius zwischen 1 und 3, d.h. Breite 2, inkl. Rand.
(b) Parabel y = x2 .
(c) Halbebene über der Geraden y > x + 1.
(d) Zweiter und dritter Quadrant (exkl. imaginäre Achse, inkl. Punkt (0,0)).
(e) Kreisrand mit Mittelpunkt (4,0) und Radius 1.
(f) z = z̄ ergibt x + iy = x − iy also y = −y, daher y = 0, x beliebig: die reelle Achse.
(g) (x −√
1 + iy)(x − 1 − iy) = (x − 1)2 + y 2 . Ring mit Mittelpunkt (1, 0), innerem Radius r = 1 und äußerem Radius
r = 2.
(h) Archimedische Spirale.
3. (Komplexe Zahlen: Addition, Multiplikation, Division)
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke (Ergebnis in kartesischen Koordinaten angeben):
(a)
(3 + i) + (−1 − 2i)
(b)
(2i − 3)/(1 − 3i)
(c)
i3
(d)
− 2i(i + 1/2)
(e)
ln(i)
(f)
ii
Hinweis: (e) Darstellung von i in Polarkoordinaten. (f) xx = ex ln x
Lösung:
(a) 2 − i
(b)
(c)
2i − 3 1 + 3i
(−3 + 2i)(1 + 3i)
−9 − 7i
9
7
·
=
=
=− − i
1 − 3i 1 + 3i
1+9
10
10 10
−i
(d) 2 − i
(e)
i(π/2 + 2kπ), k ∈ Z
(f)
ii = ei ln i = ei(i(π/2+2kπ)) = e−π/2−2kπ , k ∈ Z
4. (Komplexe Zahlen: Wurzeln)
Mit Hilfe der Darstellung z = r eiϕ können wir einfach Wurzeln von komplexen Zahlen z berechnen.
(a) Ziehen Sie aus z = 16 ei(−π+2kπ) , k ∈ Z die Wurzel, berechnen Sie also z 1/2 . Welchen Betrag hat
z 1/2 ? Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4? Wieviele tatsächlich verschiedene
Zahlen erhalten Sie also? Zeichnen Sie diese und z in die Gaußsche Zahlenebene ein. Haben Sie
gemerkt, daß Sie gerade die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen haben?
(b) Berechnen Sie genauso wie in (a) die dritte Wurzel aus z = 27 ei(−π/2+2kπ) . Wieviele verschiedene
Lösungen erhalten Sie diesmal? Skizzieren Sie das Ergebnis und z in der Gaußschen Zahlenebene.
(c) Wir wollen die Gleichung x2 = 4 nach x auflösen. Dazu müssen wir aus 4 die Wurzel ziehen.
Gehen Sie dabei so vor wie in Teilaufgabe (a) (welchen Betrag und welches Argument hat die
reelle Zahl 4 ?). Wieviele Lösungen erhalten Sie? Kommt Ihnen das bekannt vor?
Lösung:
(a)
√
12
√
1
π
z = 16 ei(−π+2kπ)
= 16 ei 2 (−π+2kπ) = 4 ei(− 2 +kπ)
Welchen Betrag hat z 1/2 ?
|z 1/2 | = 4
Was erhalten Sie als Argument von z 1/2 für k = 0, 1, 2, 3, 4?
π
π
π
1/2
1/2
1/2
arg(z0 ) = − ,
arg(z1 ) = (− + π),
arg(z2 ) = (− + 2π),
2
2
2
π
1/2
arg(z4 ) = (− + 4π)
2
Wieviele tatsächlich verschiedene Zahlen erhalten Sie also?
2
(b)
√
1
π
π
2
3
z = 27 ei 3 (− 2 +2kπ) = 3 ei(− 6 +k 3 π)
Wieviele verschiedene Lösungen erhalten Sie diesmal?
√
3
(c) 4 = 4 ei(0+2kπ) = 4 ei(2kπ) ,
√
i(kπ)
4=
,
2 e
k∈Z
k∈Z 


= 2 cos(kπ) +i sin(kπ) = ±2
| {z } | {z }
∈{−1,1}
=0
3
1/2
arg(z3 ) = (−
π
+ 3π),
2
Wieviele Lösungen erhalten Sie?
2
5. (Folgen)
Diskutieren Sie die nachstehenden Folgen nach folgendem Schema:
i) Ist die Folge monoton, nicht monoton oder streng monoton?
ii) Konvergiert oder divergiert die Folge?
iii) Ist die Folge nach oben und/oder nach unten beschränkt?
Begründen Sie alle Ihre Antworten formal! (Es gilt immer n ∈ N)
(a) an =
(b) cn =
n
2n
n+1
,
n2 −1
(c) bn =
n≥2
(Tipp: Binomische Formel!)
n
n−1/2
(d) an = n cos(nπ)
Diskutieren Sie die nachstehenden Reihen nach dem selben Schema.
P
P
(f) hl = lµ=1
(e) sn = nk=1 32k
√1
µ
Hinweis:
Vergleichen Sie die angegebenen Reihen mit Reihen die Ihnen aus der Vorlesung bekannt sind.
Lösung:
n
2n
n
(a) i) Streng monoton fallend für n ≥ 2: an+1 − an = 2n+1
n+1 − 2n < 2n+1 − 2n = 0. Daher an+1 − an < 0 für n ≥ 2
mit a1 = a2 = 0.5.
iii) Beschränkt, da 0 < an = 2nn und an ≤ 0.5, da a1 = 0.5 und monoton fallend.
ii) Aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz.
n+1
1
(b) Die Folge läßt sich vorab vereinfachen: cn = nn+1
2 −1 = (n+1)(n−1) = n−1 .
1
1
1
1
i) Streng monoton fallend: cn+1 − cn = n − n−1 < n − n = 0
iii) Beschränkt, da 0 < cn und cn ≤ 1, da c2 = 1 und streng monoton fallend.
ii) Aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz.
(n+1)(n−1/2)
n(n+1/2)
n+1
n
(c) i) Streng monoton fallend: bn+1 −bn = n+1/2
− n−1/2
= (n+1/2)(n−1/2)
− (n−1/2)(n+1/2)
= (n+1)(n−1/2)−n(n+1/2)
<
n2 +1/4
(n + 1)(n − 1/2) − n(n + 1/2) = −1/2.
1
= 1.
ii) Konvergiert, da limn→∞ 1−1/(2n)
iii) Beschränkt, da jede konvergente Folge beschränkt ist. 1 < bn ≤ b1 = 2
(d) i) Nicht monoton, da für alle geraden n folgendes gilt: an > an+1 < an+2 , da an = n cos(nπ) = n > an+1 =
(n + 1) cos((n + 1)π) = −n − 1 < an+2 = (n + 2) cos((n + 2)π) = n + 2.
ii) Divergiert, da falls limn→∞ an gegen c konvergiert auch limn→∞ |an | = |c| gelten müsste. Allerdings gilt
|an | = n 6= |c|.
iii) Nicht beschränkt. Für jedes k ∈ R gibt es ein n, m, o ∈ N mit n > |k|, sodass für m = 2n und o = 2n + 1
folgendes gilt: am = m = 2n > k und ao = −o = −(2n + 1) < k. Die Folge ist daher weder nach unten noch
nach oben beschränkt.
(e) Nächstes Übungsblatt.
(f) Nächstes Übungsblatt.
6. (Fraktal, Zusatzaufgabe - freiwillig)
Berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt des folgenden Fraktals, welches eine Folge Kn für
n ≥ 0 von Rechtecksgebilden ist.
Das Rechtecksgebilde Kn+1 wird aus dem Rechtecksgebilde Kn erzeugt, indem an jedes Seitenelement
von Kn ein Rechteck hinzugefügt wird. Das Fraktal entsteht für n → ∞.
(a) Wie viele Seitenelemente mn haben die Rechtecksgebilde Kn ?
(b) Geben Sie eine Folge un an, die den Umfang von Kn beschreibt.
(c) Geben Sie eine Folge an an, welche die Flächeninhalte von Kn beschreibt.
(d) Was geschieht mit den beiden Folgen un und an für n → ∞.
(e) Man kann die Folge Kn als ein immer genaueres Betrachten eines komplizierten geometrischen
Gebildes interpretieren. Dabei reduziert sich die Längenskala der Betrachtung von Schritt zu
Schritt um den Faktor a = 3. Gleichzeitig entdeckt man dabei aber, dass aus einer Struktur (hier
eine Rechtecksseite) N = 5 kleinere Strukturen werden. Finden sie den Exponenten d (fraktale
Dimension) für den gilt ad = N .
Lösung:
(a) Jedes Seitenelement von Kn wird in fünf Seitenelement von Kn+1 umgeformt: mn = 4 · 5n
(b) Jedes horizontale Seitenelement von Kn der Länge c wird in fünf Seitenelement von Kn+1 mit der Gesamtlänge
(3c + 2d)/3 umgeformt, wobei d die Länge eines vertikalen Seitenelements von Kn ist. Jedes vertikale Seitenelement von Kn wird in fünf Seitenelement von Kn+1 mit der Gesamtlänge (3d + 2c)/3. Da die Anzahl
der horizontalen Seitenelement gleich der Anzahl der vertikalen Seitenelemente ist folgt un+1 = un 35 und
n
un = u0 35
(c) An jedem Seitenelement von Kn wird ein Rechteck mit der Fläche an /9 angefügt, wobei an die Fläche von Kn
bezeichnet.
an
=
=
=
=
2
n
1
1
1
a0 + m0 a0 + m1 a0
+ ... + mn−1 a0
9
9
9
"
m #
n
X
1
a0 1 +
am−1
9
m=1
"
m #
n
X
1
m−1
a0 1 +
4·5
9
m=1
"
#
n
m
4 X 5
a0 1 +
5 m=1 9
(d) Für n → ∞ geht un → ∞ und an → a0 1 +
4
5
1
1− 59
− 1 = 2a0
(e) Finden sie den Exponenten d (fraktale Dimension) für den gilt ad = N .
ad = N ⇔ d = loga N
⇒ d = log3 5 = ln 5/ ln 3 ≈ 1.465