Untersuchungen zur invarianten Vierteilchenmasse des Zerfalls B
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Justus Liebig Universität Giessen II. Physikalisches Institut Bachelorarbeit Untersuchungen zur invarianten Vierteilchenmasse des Zerfalls B± →K±J/Ψπ +π − vorgelegt von Matthias Gunter Ullrich Sommersemester 2008 Betreuer: AR Dr. Jens Sören Lange Prof. Dr. Wolfgang Kühn Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Übersicht 2 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen 2.1 Die Entdeckung des J/Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Das Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Gluonen - Die Träger der starken Wechselwirkung . . 2.2.2 Hadronen als farbneutrale Objekte . . . . . . . . . . . 2.3 Pionen, Kaonen, B-Mesonen und das Y(4260) . . . . . . . . . 2.4 Teilchenerzeugung in e+ e− -Kollisionen . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Das Potential der starken Wechselwirkung . . . . . . . . . . . 2.5.1 Das Wasserstoffatom und Positronium . . . . . . . . . 2.5.2 Nomenklatur der verschiedenen Zustände . . . . . . . 2.6 Das Charmonium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Die invariante Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix . . . . . . . . . . . 2.10 KEK - Institut für Hochenergiephysik . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 KEK-B Beschleuniger/Speicherring . . . . . . . . . . . 2.10.2 Der Belle-Detektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Mögliche Fehlerquellen bei der Interpretation von Messdaten . 3 C++ -Code zur Auswertung der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 5 5 7 9 9 11 12 13 14 16 18 19 21 21 22 24 26 4 Auswertung 29 4.1 Monte-Carlo-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Daten des Belle-Experimentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Resümee 38 A Anhang 40 1 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN 1 Übersicht Im Rahmen dieser Bachelorarbeit wird der Zerfall geladener B-Mesonen nach den Prozessen B ± → K ± e+ e− π + π − bzw. B ± → K ± µ+ µ− π + π − untersucht. Der Fokus liegt auf der invarianten Vierteilchenmasse von e+ e− π + π − bzw. µ+ µ− π + π − . Speziell soll nach einer Resonanz gesucht werden, die mit Y(4260) bezeichnet wird und im Jahr 2005 erstmalig in der Reaktion e+ e− → ISRπ + π − J/Ψ beobachtet wurde [1]. Diese Resonanz könnte über den Prozesses B ± → K ± Y (4260) entstehen und innerhalb des invarianten Massenspektrums von e+ e− π + π − bzw. µ+ µ− π + π − einen Peak erzeugen. Die Messdaten für diese Untersuchung stammen aus dem Belle-Experiment am KEK in Japan. Sie wurden mit Hilfe eines C++-Programms ausgewertet. Zum Zeitpunkt meiner Auswertung betrug der Umfang des Datensatzes 604.6 f b−1 . 2 Theoretische und experimentelle Grundlagen Im Folgenden wird ein Überblick über das Experiment und seine theoretische Grundlagen gegeben. Sofern nicht extra angegeben gilt c = ~ = 1. 2.1 Die Entdeckung des J/Ψ 1974 wurde fast zeitgleich in zwei, voneinander unabhängigen und 5000 km entfernten Experimenten die Entdeckung eines neuen Teilchens gemeldet. Eine Gruppe entdeckte dieses am SLAC (Standard Linear Accelerator Center) an der Stanford University und gab dem Teilchen den Namen Psi (Ψ) [2]. Die andere Gruppe entdeckte das Teilchen am Brookhaven National Laboratory in New York und gab diesem den Namen J [3]. Bis heute ist dem Teilchen, das als Resonanzphänomen in Erscheinung tritt und eine neue Ära in der Teilchenphysik einleitete, der Doppelname J/Ψ geblieben. Besonders interessant ist die lange Lebensdauer des J/Ψ von ≈ 10−20 s, das ist ca. 1000mal länger als man für ein solch schweres Teilchen erwartet. Dem J/Ψ wird heute die Masse m=(3096.916±0.011) GeV bei einer Breite Γ=(93.4±2.1) keV zugeordnet [4]. Seine Quantenzahlen sind J P C = 1−− . Hierbei sind J der Gesamtdrehimpuls, P = (−1)l+1 die Parität und C = (−1)l+s die Ladungskonjugation, mit l als Bahndrehimpulsquantenzahl und s als Spinquantenzahl. Kurze Zeit später fand man am SLAC ein weiteres Teilchen bei einer Masse von ca. 3.7 GeV, dem man den Namen Ψ0 gab. Viele wissenschaftliche Arbeiten versuchten, die zu dieser Zeit unerwartete lange Lebensdauer zu erklären. Eine Theorie setzte sich schließlich durch; sie erklärt den neuen Zustand durch die Einführung eines neuen Quarks, dem Charm-Quark c. Demnach ist 2 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN das J/Ψ ein gebundener Zustand aus dem Charm-Quark und seinem Antiteilchen. Das Ψ0 erklärt man als angeregten Zustand dieses Systems. 2.2 Das Standardmodell Die elektromagnetische, die schwache und die starke Wechselwirkung werden einheitlich im Standardmodell beschrieben, die Integration der Gravitation gelang bislang nicht. Innerhalb dieses Modells wird die Wechselwirkung durch den Austausch von Vektorbosonen beschrieben. Wechselwirkung stark elektromagn. schwach koppelt an Farbe elektr. Ladung schwache Ladung Austauschbosonen 8 Gluonen Photonen W ±, Z 0 Tabelle 1: Die drei fundamentalen Wechselwirkungen Gluonen als Träger der starken Wechselwirkung haben die besondere Eigenschaft, dass sie mit sich selbst wechselwirken können, was durch unterschiedliche Farbladungen erklärt wird. Die Reichweite der elektromagnetischen Wechselwirkung ist unendlich groß, da Photonen keine Ruhemasse haben. Den Gluonen ordnet man zwar auch keine Masse zu, doch die Reichweite der starken Wechselwirkung ist auf wenige Femtometer beschränkt. Schon bei Abständen & 1 fm wird die Energie des Farbfeldes so groß, dass reelle Quark-AntiquarkPaare erzeugt werden. Wegen der großen Masse der Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung beträgt ihre Reichweite nur ca. 10−3 fm. Neben den Austauschbosonen existieren weitere fundamentale Teilchen, die alle Spin-1/2-Teilchen, also Fermionen sind. Sie sind die Grundbausteine der Materie. Innerhalb des Standardmodells werden sie in Leptonen und Quarks aufgeteilt, welche jeweils selber noch mal in 3 Familien eingeteilt werden (vgl. Tabelle 2). Jedes Teilchen besitzt außerdem noch ein zugehöriges Antiteilchen. Fermionen Leptonen Quarks Familien 1 2 3 νe νµ ντ e ν τ u c t d s b elektr. Ladung 0 -1 +2/3 -1/3 Farbe r, b, g r, b, g schwacher Isospin linkshändig rechtshändig 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 0 Tabelle 2: Fermionen 3 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Das Elektron ist das leichteste geladene Teilchen (me = 0.511 MeV) und somit stabil. Myon und Tau-Lepton sind keine zeitlich stabilen Zustände und zerfallen in Elektronen und zugehörige Neutrinos. Im klassischen Standardmodell werden Neutrinos als masselos angenommen. Es gibt jedoch Experimente, die zeigen, dass Neutrinos eine von Null verschiedene Masse haben müssen. An Hand der Tabelle 2 sieht man, dass die rechtshändige Komponente der Neutrinos keinerlei uns bekannter Wechselwirkung unterliegt und daher auch nicht nachweisbar ist. Als Ruhemasse der einzelnen Quarks errechnet sich: Quark Masse (MeV) u (up) 1.5-3.0 d (down) 3.0-7.0 s (strange) 95 ± 25 c (charm) 1250 ± 90 b (bottom) 4200 ± 70 t (top) 174200 ± 3300 Tabelle 3: Massen der einzelnen Quarks [4] Allerdings sind dies nicht die Massen der Quarks, die man bei der Spektroskopie von Hadronen erhält. Diese ist um einige Größenordnungen höher, da innerhalb der Quantenchromodynamik (QCD) ein Hadron als Zusammensetzung aus Valenzquarks, Seequarks und Gluonen beschrieben wird. Zur Beschreibung dieser Tatsache fasst man die Gluonen, Seequarks und Valenzquarks dann zu den so genannten Konstituentenquarks zusammen. Die Masse der Konstituentenquarks setzt sich also aus der intrinsischen Masse der Quarks sowie einem „dynamischen“ Teil, der sich aus der Gluonen- und Seequarks-Wolke, die das Quark umgibt, zusammen. Die Konsituentenquarkmasse ist dann z.B. für das u- und das d-Quark um ca. 300 MeV größer. 2.2.1 Gluonen - Die Träger der starken Wechselwirkung Die Austauschteilchen der starken Wechselwirkung sind die Gluonen. In der Quantenchromodynamik beschreibt man sie als masseloses Feldteilchen mit J P = 1− analog zu der elektromagnetischen Wechselwirkung, bei der das Austauschteilchen das Photon ist. Es gibt 8 Gluonen, die jeweils Farbe (r, g, b) und Antifarbe √ (r, g, b)√tragen. Eine mögliche Konvention diese zusammenzusetzen, ist folgende (1/ 2 bzw. 1/ 6 sind Normierungsfaktoren): rg, rb, gb, gr, br, bg, √1 (rr-gg), 2 √1 (rr+gg-2bb) 6 Tabelle 4: Farbzusammensetzung der möglichen Gluonen Ein deutlicher Unterschied zur elektromagnetischen Wechselwirkung ist, dass Gluonen wegen ihrer Farbladungen, im Gegensatz zu Photonen, auch untereinander wechselwirken können. Analog zur elektromagnetischen Wechselwirkung können Gluonen emittiert 4 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN bzw. absorbiert werden und Quark-Antiquark-Paare bilden bzw. in diese zerfallen (vgl. Abbildung 1). Abb. 1: Fundamentale Wechselwirkungsgraphen der starken Wechselwirkung a) Emission eines Gluons von einem Quark b) Aufspaltung eines Gluons in Quark-Antiquark-Paar c,d) Selbstkopplung von Gluonen 2.2.2 Hadronen als farbneutrale Objekte Da die Quarks Farbe tragen, haben sie einen zusätzlichen Freiheitsgrad und man würde erwarten, dass es eine Vielzahl von hadronischen Zuständen gibt, die sich je nach den beteiligten Quarks und der Farbe der einzelnen Quarks in der Gesamtfarbe unterscheiden, ansonsten aber gleich sind. Dies ist allerdings nicht der Fall. Daher wird die zusätzliche Bedingung eingeführt, dass nur solche Teilchen existieren können, die keine Nettofarbe besitzen. Das Konzept der Farbneutralität ist eine Konsequenz des Confinements. Man kann kein einzelnes Quark aus einem Hadron entfernen, so dass Quark und der übrige Anteil des Hadrons farbneutral sind. Hieraus folgt auch, dass keine freien Quarks existieren können. Farblose Zustände entstehen aus der Addition einer Farbe mit ihrer zugehörigen Antifarbe oder aus der Kombination dreier verschiedener Farben. Da auch die Gluonen Farben tragen, ist ein Zustand mit den Farben g − r erlaubt, sofern ein Gluon mit den Farben r − g zwischen diesen wechselwirkt. 2.3 Pionen, Kaonen, B-Mesonen und das Y(4260) Hadronen werden in Baryonen und Mesonen eingeteilt. Die Baryonen haben halbzahligen und die Mesonen ganzzahligen Spin. Mesonen sind somit Bosonen und Baryonen somit Fermionen. Das Proton und das Neutron sind die leichtesten Baryonen mit einer Masse von mp =938.27 MeV bzw. mn =939.57 MeV. 5 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Die leichtesten Mesonen sind die Pionen, die Spin 0 haben und in drei Ladungszuständen vorkommen. Die Masse der geladenen Pionen liegt bei ca. 140 MeV und ihre Lebensdauer beträgt ≈ 2.6 · 10−8 Sekunden, die Masse des neutralen Pions bei ca. 135 MeV [4]. Sie bestehen aus nur zwei Quarks (up and down) und sind die leichtesten Quarkssysteme. 0 1 π = √ [ |uui+dd ] |π + i=ud |π − i=|udi 2 Tabelle 5: Quarkkomposition der Pionen Daher können sie nur in die leichteren Leptonen oder in Photonen zerfallen. Zu 99.98 0 + + − − % zerfallen die geladene Pionen √ nach π → µ νµ bzw. π → µ ν µ [4]. Das π ist ein Mischzustand, der Faktor 1/ 2 dient der Normierung, der in der Regel in 2 Photonen zerfällt. Kaonen sind Quark-Antiquark-Kombinationen, die ein strange-Quark bzw. ein Antistrange-Quark enthalten. Sie können durch die starke Wechselwirkung erzeugt werden, aber nur über die schwache Wechselwirkung zerfallen (vergleiche auch Kapitel 2.9). Die beiden geladenen Kaonen habe eine Masse von ca. 493.68 MeV und eine Lebensdauer von ≈ 1.24 · 10−8 Sekunden [4] und bestehen aus folgenden Quarkkompositionen: |K − i=|usi |K + i=|usi Tabelle 6: Quarkkomposition der geladenen Pionen Die beiden geladen Kaonen zerfallen zu 63.4 % in µ± und zugehöriges Myonneutrino, zu 21 % in π ± π 0 und mit einer Wahrscheinlichkeit von 7.3 % in 3 Pionen [4] (siehe auch CP-Verletzung in 2.7). B-Mesonen sind Quark-Antiquark-Kombinationen, die ein bottom-Quark bzw. ein Antibottom-Quark enthalten. Auf Grund ihrer schweren Masse von ca. 5279.0 MeV wurden sie erst 1983 am Cleo-Detektor in Cornell (USA) entdeckt. Die Lebensdauer der geladen B-Mesonen beträgt ca. 1.64 ·10−12 Sekunden [4]. Die Quarkkompositionen der geladenen B-Mesonen sind: |B + i=ub |B − i=|ubi Tabelle 7: Quarkkomposition der geladenen B-Mesonen 6 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Der mit Y(4260) bezeichnete Zustand wurde erstmals 2005 von der BABAR-Kollaboration in der Reaktion e+ e− → ISRπ + π − J/Ψ entdeckt [1]. Hier bei steht ISR für „Initial-State Radiation“. Bei diesem Prozess strahlt eines der kollidierenden Teilchen noch ein Photon ab (vgl. Abb. 2) und somit findet die Kollision nicht mehr bei der eingestellten Strahlenergie, sondern bei niedrigeren Energien statt. Man ordnet diesem ZuAbb. 2: Erzeugung von Y(4260) stand eine Masse von m = 4.26 GeV und eine Breite P C = 1−− zu und ein möglicher End- Γ ∼ 90 M eV , sowie die Quantenzahlen J [1]. zustand Der in Abbildung 2 dargestellte Endzustand ist nur ein möglicher Erklärungsversuch für die Struktur des Y(4260). Demnach wäre dieses Teilchen ein bisher völlig unbekannte Form hadronischer Materie. Es werden aber noch weitere Modelle diskutiert, welche die Struktur des Y(4260) beschreiben können. Nach einem Modell ist es ein konventioneller cc−Zustand (allerdings kann dies nach Rechnungen mit Potentialmodellen nahezu ausgeschlossen werden); nach einem anderen handelt es sich um ein Tetraquark mit der Quarkzusammensetzung √12 (uu + dd)cc [5]. Bisher ist es allerdings nicht gelungen, das Y(4260) über den Zerfall von B-Mesonen nachzuweisen. Es gibt zwar einige Anzeichen für das Y(4260) innerhalb des invarianten Massenspektrums von e+ e− π + π − bzw. µ+ µ− π + π − , allerdings habe diese nur eine Signifikanz von 3.1σ (erst bei einer Signifikanz von mehr als 5σ schließt man statistische Fluktuationen aus). 2.4 Teilchenerzeugung in e+ e− -Kollisionen In Ringbeschleunigern können Elektronen und Positronen gespeichert, beschleunigt und zur Kollision gebracht werden. Die Positronen und Elektronen können sich gegenseitig vernichten und dadurch alle elektromagnetisch und schwach wechselwirkende Teilchen erzeugen, sofern die Energie des Teilchenstrahls dafür ausreichend ist. Innerhalb der schwachen Wechselwirkung annihilieren Positron und Elektron in das Z0 -Boson und erzeugen sofort wieder ein Paar geladener Elementarteilchen (vgl. Abb. 3b), innerhalb der elektromagnetischen Wechselwirkung ist das erzeugte Austauschteilchen ein virtuelles Photon (vgl. Abb. 3a). Die hierbei entstehenden Quark-Antiquark-Paare haben die selben Quantenzahlen wie das Photon bzw. das Z0 -Boson. 7 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Abb. 3: Mögliche Wechselwirkungsprozesse bei e+ e− -Annihilation a) über ein Photon b) über das Z-Boson f steht ein elementares Fermion, f für ein elementares Antifermion Die Reaktion e+ +e− →q+q (q ist ein beliebiges Quark und q das entsprechende Antiquark) kann allerdings nie direkt beobachtet werden, da Quarks nicht als freie Teilchen vorkommen können. Allerdings kann die Reaktion e+ +e− →H, wobei H ein beliebiger hadronischer Endzustand ist im Quark-Modell als zweistufiger Prozess interpretiert werden. Im ersten Schritt werden Quark-Antiquark-Paare erzeugt, im zweiten Schritt hadronisieren diese. Zu beachten ist, dass in Abbildung 3 nur die niedrigsten Ordnungen dieser Prozesse dargestellt werden. Sobald Teilchen entstehen, die stark wechselwirken, müssen Terme höherer Ordnung mitbetrachtet werden. In der niedrigsten Ordnung können die Prozesse z.B. durch die Abstrahlung eines einzelnen Gluons modifiziert werden. Beispiele für solche Prozesse sind in Abbildung 4 dargestellt. Abb. 4: Einige Prozesse der niedrigsten Ordnung, die noch ein Gluon abstrahlen a) reelle QCD-Korrekturen b,c) virtuelle QCD-Korrekturen Die leichtesten geladenen Teilchen, die in solchen Reaktionen erzeugt werden können, sind Myonen, die eine Lebensdauer von ca. 2 µs und eine Masse von ca. 105.7 MeV haben. Nach dem Neutron, sind sie somit die langlebigsten aller instabilen Elementarteilchen. 8 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Welche Teilchen überhaupt erzeugt werden können, hängt nur von der Energie der Teilchen ab. Hierfür betrachtet man die Energie der kollidierenden Teilchen im Schwerpunktsystem. Oft führt man dafür die bezüglich einer Lorentztransformation invariante Mandelstam-Variable s, das Quadrat der Schwerpunktsenergie, ein: s = (p∗1 + p∗2 )2 = m21 + m22 + 2E1 E2 − 2~ p1 p~2 Hierbei sind p∗1 und p∗2 die Vierer-Impulse ( (E,~ p) ) der beiden kollidierenden Teilchen. Bei frontalen Kollisionen zweier Teilchen mit gleicher Masse und gleichen Impulses, ergibt √ sich s zu: s=4E2 . Somit können Teilchen mit einer Energie bzw. Masse von m= s=2E erzeugt werden. Abb. 5: Stoß im Schwerpunktsystem Aus der Größe s kann man auch den Vorteil von „Collider-Experimenten“ ablesen. Im Gegensatz zu Experimenten mit einem ruhenden „Target“ steht die gesamte Energie E im Schwerpunktssystem zur Verfügung. Für Experimente mit einem ruhenden „Target“ der Masse m, ergibt sich für den Fall E>>m: s≈2mE . Die zur Verfügung stehende Schwerpunktsenergie wächst hier nur mit der Wurzel der Strahlenergie. 2.4.1 Wirkungsquerschnitt + +e− →q+q beobachtet werden, so ließe sich der Könnten freie Quarks in der Reaktion P 2e 4πα 2 Wirkungsquerschnitt durch σ = f Qf s beschreiben. Die Summe f läuft über alle Arten von Quarks, α ist die Kopplungskonstante der Reaktion, Qf die Ladung der Quarks √ und s = 2E ist die Schwerpunktsenergie [9]. Obwohl keine freien Quarks existieren, weist der Wirkungsquerschnitt des Prozesses e+ e− → Hadronen diese 1/s-Abhängigkeit auf (vgl. Abbildung 6). Dieses erklärt man durch einen zweistufigen Prozess: Erst werden die Quark-Antiquark-Paare erzeugt, im zweiten Schritt hadronisieren diese. Zur Bestimmung des Wirkungsquerschnitt für die Erzeugung von hadronischen Endzuständen müssen alle Prozesse, die zu diesem Endzustand führen, betrachtet werden. Diese Bestimmung ist analytisch meist nur mit störungstheoretischer Rechnung möglich. 2.4.2 Resonanzen Dem 1/s-Abfall des Wirkungsquerschnittes, der im Experiment bei Reaktionen e+ e− → Hadronen zu beobachten ist, sind allerdings ausgeprägte Maxima überlagert (vgl. Abbildung 6). Diese Maxima bezeichnet man als Resonanzen. Dieses sind so langlebige 9 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Zustände, dass man ihnen eine feste Masse und definierte Quantenzahlen (z.B. Spin und Drehimpuls) zuschreiben kann. Daher ist es gerechtfertigt sie als Teilchen zu bezeichnen. Zwischen ihrer Breite Γ und Lebensdauer τ der Resonanz besteht der einfache Zusammenhang τ = Γ~ . Abb. 6: Wirkungsquerschnitt der Reaktion e+ e− → Hadronen[8] Innerhalb des Abbildung links ist nur eine „YResonanz“ eingezeichnet. Allerdings gibt es mehrere Resonanzen dieses Typs; man bezeichnet sie mit Y(nL), wobei n die Hauptquantenzahl und L die Drehimpulsquantenzahl ist. Die Strahlenergie des BelleExperimentes ist genau auf 10.58 GeV eingestellt, denn hier sitzt die Resonanz Y(4S), die nahezu zu 100 % nach dem Prozess e+ e− → bb zerfällt. Hieraus 0 entstehen in ungefähr 50% aller Fälle B0 B -Paare und in den anderen Fällen B+ B− -Paare. Daher wird das Belle-Experiment auch als B-Mesonen-Fabrik bezeichnet. Der Wirkungsquerschnitt σ von Y(4S) beträgt σ ≈ 1.1 nbarn. Allerdings beträgt der Wirkungsquerschnitt bei einer Energie von 10.58 GeV für die Reaktionen e+ + e− → qq, wobei q = u, d, s, c sein kann, etwa 3 nbarn. Das heißt in nur 25% aller Fälle entsteht ein Y(4S), die restlichen unerwünschten Reaktionen sind in diesem Fall Untergrund. 10 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN 2.5 Das Potential der starken Wechselwirkung Im Folgenden soll das Potential der starken Wechselwirkung betrachtet werden, denn es ist davon auszugehen, dass sich in den zu untersuchenden Messdaten gebundene CharmAnticharm-Zustände finden werden. Der grobe Verlauf des radial symmetrischen Potentials kann durch folgende Gleichung beschrieben werden: 4 αs V (r) = − +k·r 3 r 1 V(0.3,x) V(0.7,x) V(1.7,x) 0.5 0 -0.5 V(k,r) Hier ist αs die Kopplungskonstante der starken Wechselwirkung und eigentlich gilt: αs =αs (r). k bezeichnet man als ConfinementTerm. Der Confinement-Term beschreibt die Tatsache, dass Quarks nie einzeln vorliegen können. In Abbildung 7 rechts ist V (k, r) = − 43 αrs +k·r für αs = 0.3 GeV·fm für verschiedene k-Werte (in GeV/fm) dargestellt. Je nachdem wie man k wählt, sind somit mehr oder weniger gebundene Zustände möglich. -1 -1.5 -2 -2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r in fm Abb. 7: V(k,r) für verschiedene k’s Auch die Abhängigkeit αs von r (d.h. αs ist nicht mehr konstant) verändert die Anzahl der Zustände. Zur konkreten Bestimmung der einzelnen Zustände darf allerdings nicht nur die Näherung an das Potential genutzt werden, sondern es muss auch noch die Spin-Spin-Wechselwirkung, die Spin-Bahn-Kopplung sowie ein weiterer Korrekturterm (Tensorterm) betrachtet werden. Das Potential V(r) wird damit wie folgt beschrieben: ! ~c~r · S ~c~r 4 αs 32παs ~ ~ 1 2αs k ~ ~ 1 4αs 3S ~c S ~c V (r) = − +k·r+ δr Sc Sc + 2 − LS+ 2 3 −S 3 r 9m2c mc r3 2r mc r r2 Für dieses, mit Hilfe von Störungsrechnung bestimmte Potential, wurde angenommen, dass nur „Ein-Gluon-Austausch“ stattfindet und das αs konstant ist. Durch Reihen2 entwicklungen (O(αs ) und O( vc2 )) kommt der so genannte Farbkontaktterm δ(r) = 3 2 2 √σ e−σ r hinzu [6]. π Im Folgenden Abschnitt wird eine qualitative Erklärung für den Confinement-Term kr im Potential gegeben, in dem die Zustände des Charmonium-Systems mit denen des Positronium-Systems verglichen werden. 11 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN 2.5.1 Das Wasserstoffatom und Positronium Der Wasserstoff ist das einfachste gebundene atomare System. Bindungszustände und Energieniveaus können (in erster Näherung) mit Hilfe der nichtrelativistischen Schrödingergleichung bestimmt werden. Setzt man das statische Coulombpotential in den Hamiltonoperator ein, so ergibt sich: ~2 α~c − ψ(r) = Eψ(r) ∆− 2m r e2 Hierbei ist ~ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, α = ~c0 die Sommerfeldsche m m Feinstrukturkonstante, c die Lichtgeschwindigkeit und m = mpp+mee die reduzierte Masse. Die möglichen Energieeigenzustände ergeben sich zu: En = − α2 mc2 1 2 n2 Hierbei ist n=N+l+1 die Hauptquantenzahl (N ist die Anzahl der Knoten in der Radialwellenfunktion und l charakterisiert den Bahndrehimpuls) [7]. Die hier nicht betrachtete Spin-Bahn-Wechselwirkung und Spin-Spin-Wechselwirkung führen zu einer weiteren Aufspaltung der Hauptenergieniveaus in Unterniveaus. Diese Aufspaltungen sind allerdings klein im Gegensatz zur Aufspaltung der Hauptenergieniveaus. Analog zum Wasserstoffatom können die Energieniveaus des Positronium, ein e+ e− System, bestimmt werden. Der Unterschied zwischen den beiden Systemen ergibt sich nur aus der veränderten reduzierten Masse (m = m2e ) und der wesentlich stärkeren SpinSpin-Kopplung, die aus dem ca. 650-mal größeren magnetischen Moment des Elektrons gegenüber dem des Proton resultiert. Das Positronium hat auch nur eine endliche Lebensdauer, da Elektron und Positron annihilieren können. Für stark wechselwirkende Quark-Antiquark-Systeme können analoge Betrachtungen angestellt. Durch experimentell gemessene Niveauschemata und Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den verschiedenen Zuständen, können Rückschlüsse auf das vorhandene Potential gemacht werden. Somit lässt sich auch die Kopplungsstärke der starken Wechselwirkung bestimmen. Vergleicht man das Niveauschema des Charmonium (gebundene Systeme aus c- und cQuarks) mit denen des Positroniums, so zeigen sich große Ähnlichkeiten für Zustände mit den Quantenzahlen n=1 und n=2 (vgl. Abb. 8), sofern die Zustände des Positronium um einen Faktor von ca. 108 gestreckt werden. Allerdings stimmen höher liegenden Anregungen nicht mit dem 1/n2 -Verhalten des Positroniums überein. Hiermit sind folgende Rückschlüsse auf das Wechselwirkungspotential des Charmoniums möglich: • Das Potential sollte sich bei kleinen Abständen der cc-Quarks coulombartig verhalten. 12 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN • Da die 23 S- und 13 P-Zustände nicht, wie beim Positronium, entartet sind, kann geschlossen werden, dass das Potential der starken Wechselwirkung kein reines Coulomb-Potential ist. • Weiterhin ist bekannt, dass Quarks nicht als freie Teilchen vorkommen. Somit kann angenommen werden, dass das Potential bei größeren Abständen linear anwächst und es somit zum Einschluss (Confinement) der Quarks in Hadronen führt [8]. Abb. 8: Energieniveauschema vom Positronium und Charmonium. Die Energieskalen sind so gewählt, dass der graphische Abstand zwischen den 1S-Zuständen und den 2S-Zuständen in beiden Systemen etwa gleich ist [8] 2.5.2 Nomenklatur der verschiedenen Zustände Die Notation der verschieden Zustände des Wasserstoffatoms erfolgt nach dem Schema nlj . Die Hauptquantenzahl n=N+l+1, hierbei ist N die Anzahl der Knoten in der Radialwellenfunktion und l charakterisiert den Bahndrehimpuls. In der Notation selber wird der Bahndrehimpuls (l=0,1,2,3,...) mit s,p,d,f,... bezeichnet. Die Quantenzahl j gibt den Gesamtdrehimpuls ~j = ~l + ~s des Elektrons an. Zur eindeutigen Beschreibung der Hyperfeinstrukturaufspaltung wird noch eine weitere Quantenzahl f eingeführt, die den Gesamtdrehimpuls des Atoms (f~ = ~j + ~i) angibt. Hierbei ist ~i der Protonenspin. Beim Positronium ist die Spin-Bahn-Wechselwirkung und die Spin-Spin-Wechselwirkung von gleicher Größenordnung, daher sind hier die geeigneten Quantenzahlen zur Beschreibung der einzelnen Zustände die Hauptquantenzahl n, der Bahndrehimpuls L, der Gesamtspin S und der Gesamtdrehimpuls J. Die verwendete Notation ist n2S+1 LJ . Zur Beschreibung der Quantenzahl des Bahndrehimpulses L verwendet man die Buchstaben 13 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN S,P,D,F, der Gesamtspin S kann entweder 0 oder 1 sein. Historisch hat sich bei der Nomenklatur von Charmonium ein anderes System ausgebildet. Hier verwendet man nqq = N + 1 als erste Quantenzahl. N ist wieder die Anzahl der Knoten in der Radialwellenfunktion. 2.6 Das Charmonium Charmonium-Zustände sind kurzlebige cc-Zustände, die z.B. in e+ e− -Kollisionen über ein virtuelles Photon erzeugt werden können. Variiert man die Strahlenergie, so lassen sich einige Resonanzen finden bei denen der Wirkungsquerschnitt stark ansteigt. Da diese Zustände über ein virtuelles Photon mit den Quantenzahlen J P C = 1−− erzeugt werden, sind auch nur Endzustände mit diesen Quantenzahlen möglich. Der niedrigste Zustand ist das J/Ψ mit den Quantenzahlen 13 S1 . Es gibt noch einen niedrigeren Zustand der mit ηc bezeichnet, der aber auf Grund seiner Quantenzahlen (0− ) nicht in e+ e− -Kollisionen erzeugt werden kann. Höhere Anregungen des Charmoniumsystems wurden bis zu Massen von 4.4 GeV nachgewiesen (vgl. 9). Anhand der nachgewiesenen 11 Zustände wurde durch einen Fit die Kopplungskonstante αs zu 0.5461, der Confinment-Term k zu 0.746 GeV/fm und die Masse des Charmquarks zu mc =1.4794 GeV bestimmt [6]. αs ist verglichen mit der elektromagnetischen Kopp1 lungsstärke (α = 137 ) in diesem Bereich also ca. 70-mal größer. Abb. 9: cc-Zustände: Die gestrichelten Linien sind Zustände, die in Potentialmodellen vorausgesagt werden, aber noch nicht experimentell bestätigt sind [6] 14 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Der erste angeregte Zustand dieses Systems ist das bereits erwähnte Ψ0 bezeichnet und hat die Quantenzahlen 23 S1 . Betrachtet man das Photonenspektrum dieses Zustandes (vgl. Abb. 10), so erkennt man mehrere scharfe Linien. Aus dem Termschema, ebenfalls in Abb. 10 dargestellt, ersieht man, dass der 23 S1 hauptsächlich in das 13 PJ -Triplett-System, das mit χc gekennzeichnet wird, unter Emission eines Photons zerfällt. Das Triplett zerfällt wiederum, auch unter der Emission eines Photons, in das J/Ψ. Die durchgezogenen Linien entsprechen Dipolübergängen mit den Auswahlregeln ∆L = 1 und ∆S = 0. Die ηc -Zustände des System (n1 S1 ) werden nur durch magnetische Dipolübergänge (∆L = 0 und ∆S = 1) von J/Ψ oder von Ψ0 erreicht. Diese Übergänge sind sehr viel schwächer als die als elektrische Dipolübergänge und entsprechen einem Spinflip eines Charm-Quarks. Abb. 10: Photonenspektrum des Zerfalls vom Ψ0 mit Termschemata des Charmoniums Der mit 1 gekennzeichnet Übergang wurde allerdings in keiner weiteren Messung bestätigt [8] Es ist erstaunlich, dass überhaupt elektromagnetische Zerfälle von Charmonium in großen Maße beobachtbar sind. Eigentlich würde man von stark wechselwirkenden Zuständen hauptsächlich Zerfälle von „starker“ Natur erwarten. Prinzipiell gibt es aber 4 Möglichkeiten wie Charmonium-Zustände zerfallen bzw. sich umwandeln können: • Angeregte Charmonium-Zustände können sich unter Emission eines Photons abregen • Das c- und das c können zu reellen oder virtuellen Photonen bzw. zu Gluonen annihilieren. 15 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Das J/Ψ zerfällt z.B. zu ca. 30% elektromagnetisch in Hadronen oder geladene Leptonen und zu ungefähr 70% über die starke Wechselwirkung [8]. Der elektromagnetische Prozess kann trotz der kleineren Kopplungskonstante α gegen den starken Zerfall konkurrieren. Dies liegt daran, dass bei dem starken Prozess auf Grund von Erhaltung der Parität und Farbladung drei Gluonen ausgetauscht werden müssen, dass heißt die Kopplungskonstante (αs ) geht mit einer Potenz von 3 in die Zerfallswahrscheinlichkeit ein. Als Beispiel hierfür dienen folgende Zerfälle: ηc (11 S0 ) → 2γ 3 → ggg → Hadronen 3 → virtuelles γ → Hadronen 3 → virtuelles γ → Leptonen J/Ψ(1 S1 ) J/Ψ(1 S1 ) J/Ψ(1 S1 ) • Es können sich auch noch ein oder mehrere leichte Quark-Antiquark-Paare unter der Bildung von Mesonen anlagern. Dieser Prozess ist eigentlich am wahrscheinlichsten, kann aber erst ab einer bestimmten Schwellenenergie auftreten. Bei dem Charmonium-System ist der Ψ(13 D1 )-Zustand mit einer Masse von ca. 3770 MeV der erste, der oberhalb dieser Schwelle liegt. Dieser Zustand kann z.B. zu folgenden Mesonen zerfallen: cc → cu + cu cc → cd + cd Mesonen mit s-Quarks können nur bei noch höher angeregten Zuständen entstehen. Diese Mesonen zerfallen allerdings wieder durch schwache Wechselwirkung in leichtere Mesonen (z.B. Pionen). • Weiterhin kann es noch zu einem schwachen Zerfall eines oder beider Quarks kommen. Hierbei wandelt sich z.B. das charm-Quark unter der Emission eines W+ Bosons in ein strange-Quark um. Der schwache Zerfall hat allerdings in der Praxis keinerlei Bedeutung, da elektromagnetischer und starker Zerfall wesentlich schneller ablaufen und daher dominieren. Nach diesen Zerfallskanälen wandeln sich auch schwerere Quark-Antiquark-Systeme (bb und tt) um. 2.7 Erhaltungssätze Bei den oben bekannten Wechselwirkung gelten unterschiedliche Erhaltungssätze, auf die im Folgenden eingegangen werden soll. Bei allen drei Wechselwirkungen (elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung) gelten (soweit heute bekannt) neben Energieerhaltung auch Impuls-, Drehimpuls-, 16 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Ladungs-, Farb-, Baryonenzahl und Leptonenzahlerhaltung (Le , Lµ , Lτ ). Die Baryonenzahl B ist eine additive Quantenzahl, die B=1 für alle Baryonen, sowie B=-1 für alle Antibaryonen beträgt. Entsprechend kann den Quarks die Baryonenzahl 1/3 und den Antiquarks -1/3 zugeordnet werden. Alle anderen Teilchen ordnet man die Baryonenzahl 0 zu. In letzter Konsequenz bedeutet das, dass die Zahl der Quarks minus der Zahl der Antiquarks innerhalb einer Reaktionen erhalten bleiben muss. Der hypothetische Zerfall des Protons würde diese Erhaltungszahl verletzten: p → π 0 + e+ . Nach heutigem Wissensstand ist die Zahl der Leptonen in allen Reaktion erhalten. D.h. bei allen Reaktionen bleibt die Zahl der Leptonen (einer Familie) abzüglich der Zahl der Antileptonen der selben Familie an jedem Wechselwirkungsvertex erhalten. Mit anderen Worten kann man sagen, dass die Erzeugung oder Vernichtung eines Leptons immer mit der Erzeugung bzw. Vernichtung eines Antileptons der selben Familie einhergeht. Da allerdings Neutrinos oszillieren können (d.h. sie machen Übergänge zwischen den Eigenzuständen der Flavourfamilien (|νe i, |νµ i, |ντ i) bleibt nur die Gesamtleptonenzahl L=Le +Lµ +Lτ erhalten. Unter anderem weisen Experimente mit solaren Neutrinos derartige Oszillationen nach. Der von solaren Modellen vorausgesagte Neutrinofluss auf der Erde, ist doppelt so groß wie der gemessene [10]. Die Parität P (der Paritätsoperator P entspricht im Ortsraum der Spiegelung der Wellenfunktion am Ursprung) und die Teilchen-Antiteilchen-Konjugation C (der C-Paritätsoperator ersetzt alle Teilchen durch ihre Antiteilchen) bleiben nur bei der elektromagnetischen und der starken Wechselwirkung erhalten. Würde man beispielsweise den C-Paritätsoperator auf linkshändige Neutrinos anwenden, so würden diese zu linkshändigen Antineutrinos werden, die allerdings in der Natur nicht vorkommen bzw. keine uns bekannte Wechselwirkung machen (vgl. Kap. 2.2). Der geladene Strom der schwachen Wechselwirkung (W± -Bosonen) koppelt nur an linkshändige Fermionen sowie rechtshändige Antifermionen und ist somit paritäts- und ladungskonjugationsverletzend. Der neutrale schwache Strom koppelt unterschiedlich stark an rechts- und linkshändige Fermionen/Antifermionen und verletzt diese Größen somit auch teilweise. Lange Zeit wurde angenommen, dass die kombinierte P-Parität und C-Parität (CP-Symmetrie) für alle Reaktionen erhalten bleiben würde. Abb. 11: CP-Verletzung im BMesonen System [13] Doch mittlerweile sind gegenteilige Reaktionen bekannt (z.B. der Zerfall langlebiger Kaonen. Sie zerfallen nicht wie erwartet nur in drei Pionen, sondern auch mit einer geringen Wahrscheinlichkeit von etwa 3·10−3 in zwei Pionen [11]), bei denen die CPSymmetrie verletzt ist. In Abbildung 11 ist die am Belle-Experiment gemessenen CP-Verletzung dargestellt. Auf der Abszisse ist die Differenz in der Lebens0 dauer zwischen B0 - und B -Mesonen aufgetragen. Quantenzahlen, die den Quark-Flavour angeben, wie z.B. die dritte Komponente des Isospins, die Charmness und Strangeness bleiben ebenfalls bei Reaktionen, die über elek- 17 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN tromagnetische und starke Wechselwirkung ablaufen, erhalten, denn nur die schwache Wechselwirkung wandelt Quarks in Quarks mit anderem Flavour um. 2.8 Die invariante Masse Innerhalb von e+ e− -Kollisionen können, sofern die Energie ausreichend ist, alle schwach und elektromagnetisch wechselwirkende Teilchen erzeugt werden (vgl. Kap. 2.4). Hierbei entstehen auch viele kurzlebige Teilchen, deren Lebensdauer so kurz ist, dass sie nicht innerhalb von Detektoren gemessen werden können. Außerdem ist es unmöglich, die Masse von diesen kurzlebigen (und allgemein so leichten Teilchen) direkt zu messen. Normalerweise hat man als Messgrößen in Detektoren von „Großexperimenten“ den Impuls p, die Ladung q sowie die Energie E eines Teilchens. Über die Reichweite und Wechselwirkung der Teilchen im Detektormaterial (z.B. in welchem Teil des Detektors die Teilchen reagiert haben) können schon Aussagen gemacht, um welche Teilchen es sich gehandelt hat. Im Allgemeinen braucht man aber zur eindeutigen Identifizierung eines Teilchen seine Masse. Weiterhin möchte man auch gerne über die Zerfallsprodukte von kurzlebigen Resonanzen auf diese selber zurück schließen, um Information über ihre Masse und Lebensdauer zu erhalten. Im Folgenden wird der aus der speziellen Relativitätstheorie bekannte Vierer-Impulsvektor p = (p0 , p1 , p2 , p3 ) = (E, p~), der als 0-te Komponente die Energie hat, betrachtet. Das Skalarprodukt zweier beliebiger Vierervektoren ist immer invariant unter Lorenztransformation. Das Quadrat des Viererimpulsvektors ist p2 = E 2 − p~2 . Da sich aber immer ein Bezugssystem finden lässt, in dem der Impuls p~ des Teilchens null ist und somit die Energie E von diesem gleich seiner p Ruhemasse m ist, ist das Quadrat des Vierervektors auch die Ruhemasse m. m = p2 bezeichnet man als die invariante Masse. Aus den letzten beiden Gleichung folgt somit die allgemein gültige Beziehung m2 = E 2 − p~2 , die Masse m mit Impuls p und Energie E verknüpft. Daher ist es oft möglich, die Masse eines kurzlebigen Zustandes x mit Hilfe dieser Formel über gemessenen Energien und Impulse der Zerfallsprodukte i zu konstruieren: v !2 !2 u u X X mx = t Ei − p~i i i In der Praxis wird immer eine große Zahl von Ereignissen betrachtet. Berechnet man nun von dieser Vielzahl von Reaktionen die invariante Masse einer bestimmten Kombinationen von Zerfallsprodukten und trägt diese in einem Histogramm auf, so sind kurzlebige Resonanzen als Maximum innerhalb der Verteilung zu erkennen. Als Beispiel ist in Abbildung 12 a) das invariante Massenspektrum der Teilchenkombination e+ e− aus der Reaktion B ± → K ± e+ e− π + π − aus den Daten des Belle-Experimentes aufgetragen. Bei einer Masse von ca. 3.1 GeV ist das J/Ψ zu sehen und bei der Masse 18 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN um 3.686 GeV das Ψ0 . In Abbildung 12 b) ist das invariante Massenspektrum der Teilchenkombination e+ e− π + π − (unter gewissen Bedingungen, z.B. dass der Zerfall über ein J/Ψ stattfindet) der gleichen Reaktionen aufgetragen. Auch hier erkennt man einen Zustand bei ca. 3.686 GeV. Dieser ist ebenfalls dem Ψ0 zuzuordnen, das hier nach einem anderen Zerfallsmodus zerfällt. Abb. 12: a) invariantes Massenspektrum von e+ e− b) invariantes Massenspektrum von e+ e− π + π − Auf der Ordinate sind die Anzahl dieser Ereignisse aufgetragen 2.9 Die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix Innerhalb dieser Bachelorarbeit wird invariante Vierteilchenmasse e+ e− π + π − des Zerfalls B ± → K ± e+ e− π + π − untersucht. Es stellt sich nun die Frage, warum man nicht direkt 0 den Zerfall B 0 → e+ e− π + π − betrachtet, da ja auch in 50% aller Fälle B0 B -Paare aus der Resonanz Y(4s) entstehen (vgl. Kapitel 2.4.1). Neben Übergängen innerhalb einer Familie beobachtet man bei Quarks (vgl. Tabelle 2), allerdings im geringeren Maße, Übergänge zwischen den einzelnen Familien. Diese Übergänge können nur über die schwache Wechselwirkung stattfinden, denn nur diese kann Quarks in Quarks mit anderen Flavour umwandeln. Dieser schwache Zerfall von Quarks findet auch nur über den Austausch von W-Bosonen statt; ein neutraler Strom (also Z0 -Bosonen), der diese Umwandlung durchführt, wurde bisher nicht beobachtet. Demnach ist der Partner des Flavoureigenzustandes |ui eine Linearkombination aus |di, |si und |bi und nicht alleine der Flavoureigenzustand |di. Diese Linearkombination wird im Folgenden mit |d*i bezeichnet. Entsprechend sind die Partner des c- und t-Quarks auch Linearkombination, die mit |s*i und |b*i bezeichnet werden. Diese Linearkombinationen können besonders einfach mit Hilfe der Cabibbo-Kobayashi- 19 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Maskawa-Matrix dargestellt werden, welche die Koeffizienten der Linearkombinationen als Elemente enthält: |d*i Vud Vus Vub |di |s*i = Vcd Vcs Vcb · |si |b*i Vtd Vts Vtb |bi Die Größe der Matrixelemente ist folgende [4]: 0.97377 ± 0.00027 0.2257 ± 0.0021 0.00431 ± 0.0003 0.957 ± 0.095 0.0416 ± 0.0006 (|Vij |) = 0.23 ± 0.011 0.0074 ± 0.0008 0.0416 ± 0.00045 0.9991 ± 0.00034 Die Diagonalelemente beschreiben die Übergänge innerhalb der Familien selber. Diese dominieren und weichen deshalb nur wenig von 1 ab. Da die Matrix unitär ist, sind alle Werte korreliert. Statt der 9 freien Parameter kann man die Elemente der Matrix über 4 Parameter (drei reelle Winkel und eine imaginäre Phase) darstellen. Die oben besprochene CP-Verletzung führt man auf diese imaginäre Phase zurück. Die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Quark qi in ein anderes Quark qj ist proportional zu dem jeweiligen Quadrat der Matrixelemente. Abb. 13: a) Der Zerfall eines b-Quarks zu ccs-Quarks b) Der Zerfall eines b-Quarks zu ccd-Quarks In Abbildung 13 a) ist der Prozess, dass aus einem B-Meson ein Charmonium-Zustand und ein negativ geladenes Kaon entsteht und in Abbildung 13 b) der Prozess, dass aus einem B-Meson ein Charmonium-Zustand und ein negativ geladenes Pion entsteht dargestellt. Betrachtet man nun das Verhältnis R der Übergangswahrscheinlichkeiten dieser Prozesse, so ergibt sich: R∝ |Vbc |2 |Vcd |2 |Vcd |2 0.232 = ≈ ≈ 0.057 |Vbc |2 |Vcs |2 |Vcs |2 0.962 Der Prozess, der direkt über ein d-Quark abläuft (13b), ist gegenüber dem, der über ein s-Quark abläuft (13a), ungefähr um den Faktor 20 unterdrückt. Der Zerfall des b-Quarks in ein t-Quark ist auf Grund der hohen Masse des t-Quarks hier nicht möglich. Daher wird für diese in den Daten des Belle-Experimentes nach B-Mesonen gesucht, die nach B ± → K ± e+ e− π + π − zerfallen. 20 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN 2.10 KEK - Institut für Hochenergiephysik Im KEK-Institut werden Untersuchungen in den Bereichen Teilchenstrukturen und Materie/Antimaterie durchgeführt. Hier wurden z.B. 1998 erstmals Neutrinooszillationen nachgewiesen. 2.10.1 KEK-B Beschleuniger/Speicherring Der KEK-B Beschleuniger ist ein asymmetrischer Elektron-Positron-Collider mit einer Schwerpunktsenergie von 10.58 GeV und einem Umfang von 3.016 km [12]. Ziel des KEK-B ist es u.a. Verletzungen der CP-Symmetrie und den Zerfall von B-Mesonen zu untersuchen. Der Elektronstrahl mit einer Energie von 8 GeV und der Positronenstrahl mit einer Energie von 3.5 GeV werden im Speicherring zwischengespeichert und schließlich innerhalb des Belle-Detektors zur Kollision gebracht. Durch die asymmetrische Energie der Strahlen ergibt sich der Vorteil, dass man den Zerfallsprodukten einen Lorentzboost (mit der Richtung des Elektronenstrahls) gibt. Hierdurch wird die Lebensdauer kurzlebiger Zerfallsprodukte erhöht, denn für den ruhenden τ Beobachter vergrößert sich die Lebensdauer auf τ 0 = γτ = √1−v (τ ist die Lebensdauer 2 des Teilchens in seinem Eigensystem und v seine Geschwindigkeit). Abb. 14: Skizze des KEK-B Beschleunigers In Abbildung 14 ist eine Skizze des Beschleunigeraufbaus gegeben. Die Elektronen und Positronen werden im Linac auf die gewünschten Energien beschleunigt und über den „Bypass“-Tunnel in den Ring gebracht. Die Elektronen bewegen sich dann im sogenannten HER (high-energy Ring) und die Positronen im LER (low-energy ring). Damit beide Ringe die gleiche Länge haben, kreuzen sie sich in 2 Punkten. Ein Kreuzungspunkt ist in der Abbildung rot gekennzeichnet. Der zweite, der Kollisionspunkt ist mit IP (Interaction Point) gekennzeichnet. Die Wiggler sind Bauteile, die die unerwünschten Schwingungen des Strahls dämpfen. Es werden in jedem Ring bis zu 5120 Bunche (Teilchenpakete) gespeichert werden. Ein Bunch im HER enthält ca. 3.3·1010 Elektronen und im LER ca. 1.8·1010 Positronen [12]. 21 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Die Luminosität L im Wechselwirkungspunkt beträgt 1 · 1034 cm−2 s−1 [12]. Aus dieser Größe lässt sich bei bekannten Wirkungsquerschnitt σ die Anzahl der Reaktionen pro Zeit bestimmen: Ṅ = σL. Der Wirkungsquerschnitt der Y(4s)-Resonanz ist ca. 1.1 nbarn. Innerhalb von KEK-B werden demnach ca. σ · L = 1.1 · 10−9 · 10−24 · 1034 = 11 dieser Resonanzen pro Sekunde erzeugt. 2.10.2 Der Belle-Detektor In diesem Kapitel wird eine kurze Übersicht über die Komponenten des Detektors des Belle-Experimentes gegeben. Der schematische Aufbau ist in Abb. 15 zu sehen. Abb. 15: Der Detektor des Belle-Experimentes [13] Der Silicon-Vertex-Detector (SVD), der der Ortsbestimmung dient, besteht aus 4 konzentrisch um das Strahlrohr angeordneten Schichten von Siliziumplatten (vgl. Abb. 18), wobei äußere Platten die Nahtstelle der inneren überlappen, um einen möglichst großen Raumwinkel zu erfassen. Die Platten haben eine Länge von 6 cm, eine Breite von 3 cm und eine Dicke von 300 µm. Sie bestehen selber noch mal aus 50 µm dicken Schichten, also aus 3cm/50µm=600 Schichten Abb. 16: Aufbau einer Silizium- (vgl. auch Abb. 16). Hierdurch erzielt man eine entsprechend hohe Ortsauflösung. platte Diese Platten des Detektors bestehen aber nicht aus reinem Silizium, sondern sind dotiert 22 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN und bilden effektiv eine Diode. Durchquert ein Teilchen nun dieser Detektor so erzeugt es eine Spur von Elektronen-Lochpaaren und somit einen messbaren Impuls. Die Bahn des Teilchens lässt sich dann aus den unterschiedlichen Platten, die ein Signal geliefert haben, rekonstruieren. Außerdem sind die erzeugten Elektronen-Loch-Paare noch proportional zur Energie des durchfliegenden Teilchens. Hiermit lässt sich also auch noch der Energieverlust pro Strecke bestimmten. Abb. 17: Belle SVD [14] Abb. 18: Skizze eines Vertex-Detektors Die Charge-Drift-Chamber (CDC) ist ein mit Gas gefülltes Volumen, durch das ≈ 30000 Drähte gespannt sind. Auf den Drähten liegt eine Spannung an. Durchquert ein geladenes Teilchen diesen Bereich des Detektors, so ionisiert es Gasatome. Die freiwerdenden Ladungen werden zu den Drähten beschleunigt und erzeugen einen messbaren Spannungspuls. Über die Laufzeitunterschiede des Spannungspulses und je nachdem welcher Draht angesprochen hat ist, ist es ebenfalls möglich, die 3-dimensionale Spur eines Teilchens zu bestimmen. Der Time-of-Flight-Detector (TOF) besteht aus langen Szintillator-Balken aus Plastik. Sie haben den Vorteil gegenüber kristallinen Szintillatoren, dass sie wesentlich schneller sind, denn es werden so genannte Rotations- und Vibrationsniveaus angeregt. Geladenen Teilchen und Photonen regen beim Durchflug diese Niveaus an. Bei Abregen dieser Niveaus werden Photonen emittiert, die mit Hilfe von Photomultipliern in messbare elektrische Signale umgewandelt werden. Die Signale der Photomultiplier sind proportional zur Energie der Teilchen und ermöglichen somit die Bestimmung dieser. Der Nachteil dieser Szintillatoren ist, dass die Energieauflösung im Gegensatz zu kristallinen schlechter ist. Das Electro-Magnetic-Calorimeter (EMC) besteht aus mit Thallium dotierten CäsiumIodid. Photonen und geladenen Teilchen regen Elektronen in das Leitungsband an und diese fallen über Akzeptorniveaus wieder in das Valenzband zurück. Hierbei werden Photonen emittiert, die wieder über Photomultiplier in elektrische Signale umgewandelt werden. Auch hier sind die Signale proportional zur Energie. 23 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Der Aerogel-Cherenkov-Detector dient zur Identifikation von Teilchen. Wenn ein Teilchen schneller als die Lichtgeschwindigkeit in dem Material ist, welches es durchquert, erzeugt es eine sich mit kegelförmiger Front ausbreitende elektromagnetische Welle und emittiert so Cherenkov-Licht. Teilchen mit gleichem Impuls, aber unterschiedlicher Masse und Geschwindigkeit, emittieren, sofern die Cherenkov-Bedingung erfüllt ist, in einem unterschiedlichen Öffnungswinkel Cherenkov-Licht. Über diesen Öffnungswinkel kann man die Geschwindigkeit bestimmen und so bei bekannten Impuls die Masse des Teilchens. Um den Impuls der Teilchen bestimmen zu können, benötigt man einen Magneten. Im magnetischen Feld beschreiben geladenen Teilchen auf Grund der Lorentzkraft eine Kreisbahn, die nur von ihrem Impuls anhängt. Aus den Radien der Kreisbahn kann man somit auf den Impuls und aus der Krümmung der Kreisbahn (Rechts- oder Linkskrümmung) auf die Ladung der Teilchen schließen. Außerhalb des Magnetfeldes befindet sich noch Resistive Plate Chambers (RPC) zur Detektierung von Myonen und langlebigen Kaonen. Diese auf einer hohen Spannung liegenden, mit Gas gefüllten Kammern wechseln sich immer mit Eisenschichten ab. Die Eisenschichten werden benötigt, da Myonen und langlebige Kaonen einen sehr geringen Wechselwirkungsquerschnitt haben. Erst durch den Energieverlust in den Eisenplatten können sie nachgewiesen werden. Die Kaonen lösen beim Durchgang durch die Eisenschichten hadronische Schauer aus, welche die Gasatome ionisieren. Die erzeugten Ladungen werden „abgesaugt“ und erzeugen somit ein messbaren Spannungsimpuls. Da diese hadronischen Schauer proportional zur Energie der Kaonen sind, kann diese bestimmt werden. Die Myonen erzeugen in den Eisenschichten elektromagnetische Schauer, die analog zu den hadronischen Schauern gemessen werden. 2.11 Mögliche Fehlerquellen bei der Interpretation von Messdaten Bei Experimenten gibt es viele mögliche Fehlerquellen, die zur Verfälschung von Messergebnissen führen können. Hierbei unterscheidet man zwischen erwarteten Fehlern, z.B. die konstruktionsbedingte Ortsauflösung eines Detektors (es ist nicht möglich die Flugstrecke eines Teilchen genau zu rekonstruieren) und zwischen unerwarteten Fehlern, deren Auftreten nicht vorhergesehen werden kann. Im Folgenden werden einige mögliche Fehlerquellen, die zur Fehlinterpretation von Messdaten und somit zur Vortäuschung eines (neuen) Teilchens führen können betrachtet: • Vorliegende Peaks, die der Indiz für ein Teilchen sein können, können unter anderem durch statistische Fluktuationen hervorgerufen werden. Diese mögliche Fehlerquelle lässt sich aber durch eine gute Statistik, also durch einen großen Satz an Messdaten vermeiden. • Weiterhin kann auch der Untergrund von den Messdaten falsch abgeschätzt werden und es so zu Evidenzen oder Signifikanzen für (neue) Teilchen kommen. Durch 24 2 THEORETISCHE UND EXPERIMENTELLE GRUNDLAGEN Monte-Carlo-Simulationen aller bekannten Reaktionen, Zerfälle und Folgezerfälle kann allerdings der Untergrund teilweise vorhergesagt und somit diese Art von Fehler vermieden werden. • Ein weiterer Fehler, der zur Vortäuschung von neuen Teilchen oder neuer Zerfallsmoden führen kann, sind so genannte kinematische Reflexionen. In der Hadronenspektroskopie bezeichnet man mit Reflexionen unvollständige Rekonstruktionen eines (schon bekannten) Teilchens oder unbekannter Zerfallsmoden. Diese Art von Fehler ist nahezu unvermeidbar. 25 3 C++ -CODE ZUR AUSWERTUNG DER DATEN 3 C++ -Code zur Auswertung der Daten Das grundlegende Programm zur Auswertung der Daten des Belle-Experimentes wurde zur Verfügung gestellt[15]. Es musste allerdings so modifiziert werden, dass es der Fragestellung, der Untersuchung der invarianten Vierteilchenmasse, angepasst ist. Im Folgenden soll ein Überblick über den Aufbau und die grundlegende Bestandteile des Programms gegeben werden. Ein wichtiger Bestandteil des Programms ist Klasse „HepLorentzVector“. In dieser Klasse werden unter anderem Vierervektoren ((px , py , pz , E)) und grundlegende Rechenoperationen (zum Beispiel die Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vierervektoren und somit zwischen den Teilchen) mit diesen initialisiert. Dateninput Im Header des Programms sind diverse Manager eingebunden, die unter anderem die aufbereiteten Daten des Experimentes in das Programm laden. Die aufbereiteten Daten sind so genannte Events die zu jedem Teilchen einen sogenannten Track beinhalten. Ein Event enthält alle Daten einer Kollision, während der Track die Spur, die ein Teilchen zurückgelegt hat, beschreibt. Diese Tracks enthalten drei Ortskoordinaten (Vertex (x, y, z)), drei Impulskomponenten (px , py , pz ), sowie eine Particle ID, die das Teilchen eindeutig identifiziert. Aus diesen Größen kann auf die Energie der Teilchen zurückgeschlossen werden und somit die Vierervektoren errechnet werden. Im nächsten Schritt des Programms werden „Qualitätsprüfungen“ durchgeführt, die über die Güte eines Events bzw. eines Tracks entscheiden. Entspricht ein Event nicht den Anforderungen, wird es verworfen und zum nächsten Event übergegangen. Datenanalyse Zur Minimierung der Rechenzeit wird durch eine if-Abfrage sichergestellt, dass nur solche Events diesen Teil des Codes durchlaufen, die mindestens 2 Elektronen oder Myonen, sowie mindestens 2 Pionen und ein Kaon enthalten (Anmerkung: „Das Elektron kann hier auch ein Positron, bzw. das Myon ein Antimyon, etc. sein). Diese if-Abfrage kann mit Hilfe der eindeutigen Particle-ID eines Teilchens einfach realisiert werden. Ist diese Bedingung erfüllt, so werden durch fünf verschachtelte For-Schleifen alle möglichen Kombinationen von 5 Teilchen aus n Teilchen durchlaufen; dabei werden jeweils die gewünschten Größen berechnet und gespeichert. Die erste For-Schleife läuft über i, wobei i ∈ [1, n], die nächste For-Schleife läuft über j, wobei j ∈ [i + 1, n]. Die darauf folgenden For-Schleifen laufen über k, l, m, wobei k ∈ [j + 1, n], l ∈ [k + 1, n] und m ∈ [l + 1, n]. Damit keine sinnlosen Teilchenkombinationen (z.B. 5 Elektronen oder 3 Kaonen und 2 Pionen) durchlaufen werden, werden wiederum durch eine if-Abfrage nur solche Kombinationen erlaubt, die 2 Elektronen bzw. Myonen, sowie zwei Pionen und ein Kaon enthalten. Im Folgenden muss bestimmt werden, welche Kombinationsmöglichkeit gerade durchlaufen wird. Sitzt innerhalb der „Struktur“ [ai |bj |ck |dl |em ] an der Stelle ai (bzw. bj , ck , dl , em ) gerade ein Kaon, ein Pion oder ein Elektron? Diese Zuordnung geschieht über die Particle-ID, die innerhalb eines Arrays mit Integer-Zahlen (type[X]) gespeichert ist. Für 5 Teilchen ergeben sich demnach 5!=120 Möglichkeiten. Da allerdings zweimal 2 Teilchen 26 3 C++ -CODE ZUR AUSWERTUNG DER DATEN identisch sind, reduziert sich die Anzahl der Möglichkeiten. Durch eine „if-else-Struktur“ ist es z.B. möglich diese Zuordnung durchzuführen. Die Struktur, die innerhalb dieses Programms verwendet wird, funktioniert folgendermaßen: Man identifiziert das Kaon und die beiden Pionen über die Particle-ID eindeutig, damit müssen die andern beiden Teilchen Elektronen bzw. Myonen sein (denn es werden ja nur sinnvolle Kombinationsmöglichkeiten durchlaufen). Demnach gibt es 5 · (3 · 2 · 1) = 30 Zuordnungsmöglickeiten, die alle in Tabelle 8 im Anhang aufgeführt sind. 3 · 2 · 1 = 6 sind die Kombinationsmöglickeiten des Kaons und der beiden Pionen. Der Faktor 5 kommt daher, dass das Kaon, das zuerst zugeordnet wird, an der Stelle a, b, c, d oder e sein kann. Die invariante Masse der beiden Elektronen wird mit folgenden Programmcode bestimmt: double px_eORmu = plab[eORmu1].x() + plab[eORmu2].x(); double py_eORmu = plab[eORmu1].y() + plab[eORmu2].y(); double pz_eORmu = plab[eORmu1].z() + plab[eORmu2].z(); double esum_eORmu = plab[eORmu1].e() + plab[eORmu2].e(); double mass_eORmu = sqrt(esum_eORmu*esum_eORmu (px_eORmu*px_eORmu + py_eORmu*py_eORmu + pz_eORmu*pz_eORmu)); Es werden jeweils die beiden x-, die beiden y-, die beiden z-Komponenten der Impulse (plab[Teilchen].x(), plab[Teilchen].y() und plab[Teilchen].z()) und die beiden Energiekomponenten (plab[Teilchen].e()) aus den Vierervektoren im Laborsystem addiert und einer double-Variablen (pi_eORmu) zugeordnet. Innerhalb der letzten Zeile dieser Rechnung, wird schließlich die invariante Zweiteilchenmasse (mass_eORmu) berechnet. Im nächsten Schritt wurde ein Vertex-Fit und ein Massen-Fit eingebaut. Dieses Fits helfen die invariante Masse möglicher J/Ψ-Kandidaten genauer zu bestimmen und man erreicht somit eine höhere Genauigkeit in den Messdaten. Durch eine if-Bedingung wird sichergestellt, dass nur solche Elektronen- bzw. Myonenkombinationen, die eine invariante Masse zwischen 3.0 GeV und 3.2 GeV haben, also mögliche J/Ψ-Kandidaten sind, den Fit durchlaufen. Anmerkung zum Vertexfit: Wenn das J/Ψ in zwei Elektronen oder Myonen zerfällt, sollten diese vom gleichen Ort kommen. Auf Grund der Messungenauigkeit der Vertexdetektoren ist das allerdings nicht der Fall. Die wirkliche Messdaten zeigen z.B.nur, dass die beiden Elektronen oder Myonen dicht nebeneinander entstanden sind und man somit ein Gebiet einschränken kann, in dem die Teilchen entstanden sind. Durch den Vertexfit werden nun die Vierervektoren der Teilchen, die aller Wahrscheinlichkeit nach aus der selben Quelle kommen, so verschoben, dass sie aus der selben Quelle zukommen scheinen. Dieser Fit wird nur ausgeführt, sofern die Bedingungen es erlauben, die Vierervektoren der Teilchen und somit ihre Impulse und Energien leicht zu verändern. Diese Bedingungen sind sehr stark, so dass vermieden wird, dass plötzlich ein J/Ψ „erzeugt wird“, welches keines ist. Weiter müssen die so veränderten Größen natürlich auch mit den tatsächlich gemessen Größen 27 3 C++ -CODE ZUR AUSWERTUNG DER DATEN vereinbar sein. Da die Vierervektoren der Teilchen verändert werden, ändert sich auch ihre invariante Masse (die Masse ändert sich meist nur um höchstens 1 MeV!). Anmerkung zum Massenfit: Wenn sich ein Elektron durch den Detektor bewegt emittiert es Bremsstrahlungsphotonen und verliert somit Energie. Diese verlorenen Photonen verschieben somit auch invariante Masse zu falschen Werten. Bevor der Vertexfit selber läuft, werden die Vierervektoren von Photonen, die sich unter einem bestimmten Winkel zur Bahn der Elektronen bewegen und somit von diesem abgestrahlt wurden zu den Vierervektoren der Elektronen bzw. Myonen wieder hinzu addiert. Innerhalb des Massenfits selber werden die Vierervektoren der J/Ψ-Kandidaten so verändert, dass der Wert der invarianten Masse sich in Richtung der genauen Masse des J/Ψ’s (m=(3096.916 ± 0.011) MeV [4]) verschiebt. Es werden natürlich nur solche Verschiebungen gemacht, die mit den gemessen Daten vereinbar sind. So wird auch wiederum vermieden, dass man sich künstlich ein J/Ψ erzeugt, dass eigentlich keins ist. Im Folgenden wird die invariante Masse der beiden Pionen, der beiden Pionen kombiniert mit dem Kaon, der beiden Pionen kombiniert mit den beiden Elektronen (bzw. Myonen) und schließlich die der beiden Pionen kombiniert mit den beiden Elektronen (bzw. Myonen) und dem Kaon berechnet. Im weiteren Ablauf des Programms werden noch einige für die Auswertung der Daten wichtige Größen bestimmt, die u.a. Aussagen über die Güte der gewonnen Daten q erlauben. Besondere Bedeutung hat dabei die so genannte Beam-Constraint-Mass ( 10.582 /4 − (p2x + p2y + p2z ), wobei pi die Summe der Impulskomponenten von Kaon, den 2 Pionen und den 2 Elektronen im Schwerpunktssystem und 10.58 die Strahlenergie in GeV ist). Die Beam-Constraint-Mass macht eine Aussage darüber, ob innerhalb des Kollision wirklich auch B-Mesonen entstanden sind. Des Weiteren wird z.B. der Winkel zwischen Flugstrecke des B-Meson und Strahlachse bestimmt. Datenausgabe Am Ende des Programms werden die berechneten Größen in n-Tupel gespeichert. Diese können dann mit dem Programm PAW (Physics Analysis Workstation) ausgewertet werden. Damit die Dateien mit den gespeicherten Daten nicht zu groß werden, wird durch eine if-Abfrage sichergestellt, dass nur interessante Ereignisse in die n-Tupel geschrieben werden. D.h. es werden solche Ereignisse in das n-Tupel geschrieben, bei denen die Ladung des einen „Elektrons“ ungleich der des anderen ist (d.h. das eines der beiden „Elektronen“ wirklich ein Elektron und das andere ein Positron ist). Damit wird sichergestellt, dass sie aus einem Zerfall eines neutralen Teilchens, z.B. des J/Ψ, stammen. 28 4 AUSWERTUNG 4 Auswertung Im Folgenden werden die aus Daten des Belle-Experimentes gewonnenen Ergebnisse vorgestellt. Zunächst wurde aber das oben beschriebene Auswertungsprogramm an MonteCarlo-Daten getestet, um Aussagen über seine Funktionalität und über die Nachweiseffizienz des zu untersuchenden Endzustandes (vgl. Abschnitt 4.1) machen zu können. 4.1 Monte-Carlo-Daten Die Monte-Carlo-Simulation berücksichtigt neben der Geometrie des Experimentes bzw. Detektors, d.h. auch einer Simulation des Auflösungsvermögens der einzelnen Detektorkomponenten, auch alle schon bekannten Reaktionen wie z.B. J/Ψ → µ+ + µ− mit ihrem jeweiligen Wirkungsquerschnitt. Auch wird die Abstrahlung von Bremsstrahlungsphotonen innerhalb des Detektors simuliert. Im Rahmen dieser Bachelorarbeit werden innerhalb der Monte-Carlo-Daten 3 Zerfallswege der Y(4S)-Resonanz, zu jeweils gleichen Anteilen betrachtet: Zerfallsweg 1: • Die Y(4S)-Resonanz zerfällt in ein B+ B− -Paar. Dieser Zerfall ist schon bekannt und somit müssen keine zusätzlichen Annahmen über diesen gemacht werden. Beispielsweise kennt man schon die Winkelverteilung der B+ B− -Paare und lässt diese in den Zerfallsprozess einfließen. • Das hierbei entstandene B+ zerfällt folgendermaßen: B+ → K+ Y(4260). Da über diesen Zerfall keine Einzelheiten bekannt sind, nimmt man an, dass er im Schwerpunktsystems des B+ isotrop ist. Über das Y(4260) geht nur die aus „Initial-StateReactions“ bekannte Breite (83 MeV), sowie die bekannte Masse (4264 MeV, das ist der „Weltmittelwert“) ein. • Das Y(4260) zerfällt darauf hin in J/Ψπ + π − . Für diesen Zerfall wird auch wiederum angenommen, dass er im Schwerpunktsystem des Y(4260) isotrop ist. • Schließlich zerfällt das J/Ψ nach e+ e− . Zerfallsweg 2: Y(4S)→B+ B− , B+ → K+ X(3872)→K+ J/Ψπ + π − und schließlich J/Ψ →e+ e− . Zerfallsweg 3: Y(4S)→B+ B− , B+ → K+ Ψ0 →K+ J/Ψπ + π − und schließlich J/Ψ →e+ e− . 29 4 AUSWERTUNG Die beiden letzteren Zerfallswege wurden simuliert, da auch das X(3872) und das Ψ0 innerhalb der invarianten Vierteilchenmasse von e+ e− π + π − der echten Daten gefunden werden sollte. Insgesamt zerfallen innerhalb der Monte-Carlo-Daten 10000 Y(4S)-Resonanzen und somit sollten beispielsweise auch 10000 e+ e− -Paare in den ausgewerteten Daten vorhanden sein. Abb. 19: Invariante Zweiteilchenmasse der Monte-Carlo-Daten Abb. 20: Invariante Vierteilchenmasse der Monte-Carlo-Daten In Abbildung 19 ist die invariante Zweiteilchenmasse von e+ e− dargestellt. In dieser ist eindeutig ein Peak bei der Masse von ca. 3.1 GeV zu erkennen, der dem J/Ψ zuzuordnen ist. Der Fit wurde mit Hilfe der so genannten Crystal-Ball-Funktion (vgl. Anhang) durchgeführt. Durch diese wurde die Masse von J/Ψ zu 3.096 GeV und seine Breite auf (16.954±0.248) MeV1 bestimmt. Der durch den Fit bestimmte Fehler der Masse ist 71 keV und somit vernachlässigbar. Die hier angegebene Breite entspricht nicht der Breite, die unter 2.1 angegeben ist. Zu erklären ist dies dadurch, dass in die Monte-Carlo-Daten, wie bereits erwähnt, das Auflösungsvermögen des Detektors einfließt und dieses bei weitem nicht einen Wert von 93.4 keV ([4]) hat. Innerhalb der Monte-Carlo-Daten müssten sich 10000 e+ e− -Paare befinden. Allerdings werden nicht alle Daten in die n-Tupel (siehe Kapitel 3) geschrieben. Dies liegt an den Cuts, die eingesetzt werden, um nur interessante Ereignisse und solche mit einer gewissen Qualität innerhalb der n-Tupel zu haben. Folgende Cuts wurden eingesetzt: • Die Ladung der beiden Pionen, sowie der beiden Elektronen muss unterschiedlich sein. 1 Die hier angegebene Breite beträgt 2·σ und ist die Breite der Normalverteilung zwischen den beiden Wendepunkten. Der Zusammenhang zur „Full Width at Half Maximum“ (FWHM) ist: p FWHM=2 2ln(2) · σ 30 4 AUSWERTUNG • MES −5.28 GeV<0.2 GeV, wobei MES die „energy substituted mass“ ist2 . Bei Werten von MES < 5.08 kann man davon ausgehen, dass keine B-Mesonen entstanden sind. • |∆E|<0.06 GeV, wobei ∆E = 5.29 GeV−Bcms . Dabei ist Bcms die aus den Zerfallsprodukten rekonstruierte Masse des B-Mesons im Schwerpunktssystem und 5.29 GeV die Hälfte der Strahlenergie. So wird auch wiederum abgesichert, dass die Y(4S)-Resonanz auch wirklich in 2 B-Mesonen zerfallen ist und das die Zerfallsprodukte auch wirklich alle gefunden wurden. Es befinden sich insgesamt 8140 e+ e− -Paare innerhalb der Monte-Carlo-Daten (siehe Abbildung 19). Hiermit ergibt sich für die Effizienz E des Programms: E = 81.4%. In Abbildung 20 ist die invariante Vierteilchenmasse der Monte-Carlo-Daten gegen die Anzahl der Ereignisse aufgetragen3 . Man erkennt hier 3 Peaks: • Der erste Peak bei einer Masse von (3.6834±0.0012) GeV und einer Breite von (30.86±1.274) MeV ist dem Ψ0 , • der zweite Peak bei einer Masse von (3.8680±0.0005) GeV und einer Breite von (0.034±0.001) GeV ist dem X(3872) und • der dritte Peak bei einer Masse von (4.2656±0.0011) GeV und einer Breite von (0.114±0.003) GeV ist dem Y(4260) zuzuordnen. Das X(3872) ist aus folgenden Gründen aller Wahrscheinlichkeit nach kein CharmoniumKandidat: • Seine Masse passt nicht zu den Theorievorhersagen und • die Signalbreite ist schmaler, als man bei einem Charmoniumzustand erwarten würde. Eine mögliche Interpretation des Zustandes ist, dass es sich um ein mesonisches Molekül, d.h. 2 Mesonen die über die starke Wechselwirkung gebunden sind, handelt. In Abbildung 21 ist die Beam-Constraint-Mass der Monte-Carlo-Daten aufgetragen. Diese „peakt“, wie zu erwarten ist, um 5.28 GeV (die Hälfte der Strahlenergie). Der durch den Fit bestimmte Wert beträgt (5.2787±0.0002) GeV bei einer Breite von (6.811±0.107) MeV. 2 3 Die „energy substituted mass“ wird oft auch „Beam-Constraint-Mass“ genannt Alle nachfolgenden Angaben zur Masse und Breite sowie die Fehler dieser Größen werden durch den jeweiligen, im Anhang aufgeführten Fit bestimmt 31 4 AUSWERTUNG In Abbildung 22 ist ∆E in GeV aufgetragen. Diese Verteilung „peakt“ auch erwartungsgemäß um 0 GeV. Der durch den Fit bestimmte Wert beträgt (0.0011±0.0003) GeV bei einer Breite von (0.027±0.001) GeV. Aus diesen Ergebnissen kann geschlossen werden, dass das Programm fehlerfrei und korrekt funktioniert; es liefert mit den Monte-Carlo-Daten alle erwarteten Werte. Abb. 22: ∆E der Monte-CarloDaten Abb. 21: Beam-Constraint-Mass der Monte-Carlo-Daten 32 4 AUSWERTUNG 4.2 Daten des Belle-Experimentes Mit den oben beschrieben Methoden werden die aus dem Belle-Experiment stammenden Daten analysiert. Innerhalb des invarianten Massenspektrums von e+ e− -Paaren (Abb. 23) erkennt man eindeutig das J/Ψ und das Ψ0 . Der Peak nahe bei 0 ist Photonen zuzuschreiben, die innerhalb der Detektoren durch Paarerzeugung in e+ e− -Paare umgewandelt wurden. In Abbildung 24 und in Abbildung 25 ist das J/Ψ und das Ψ0 noch mal in „Nahansicht“ zu sehen. Diese beiden Zustände wurden wieder mit der Crystal-Ball-Funktion (vgl. Anhang) gefittet. Für die Masse des J/Ψ ergibt sich hier (3.09550±0.00003) GeV bei einer Breite von (18.92±0.07) MeV. Das Ψ0 hat eine Masse von (3.6846±0.0002) GeV und eine Breite von (23.78±0.05) MeV. Die hier bestimmten Werte für die Massen beider Teilchen weichen nur geringfügig (1 Abb. 23: Invariante Zweiteilchenmasse der MeV) von denen, der „Particle Data Group“ e+ e− -Paare (PDG) ab. Betrachtet man die invariante Vierteilchenmasse e+ e− π + π − lässt sich auf den ersten Blick nur in der Massenregion des ψ 0 der Ansatz eines Peaks erkennen (vgl. Abb. 26). Es ist aber möglich sich die Vierteilchenmasse unter Bedingung an anderen Größen (Cuts), die sich im n-Tupel befinden, anzuschauen. Beispielsweise kann man sich die invariante Vierteilchenmasse unter der Bedingung anschauen, dass sich die invariante Masse der Elektronen-Positronen-Paare nur zwischen 3.0 GeV und 3.2 GeV, also im Bereich des J/Ψ befinden soll. Betrachtet man sich die invariante Vierteilchenmasse e+ e− π + π − mit den Einschränkungen (Cuts), dass die Zweiteilchenmasse (e+ e− ) zwischen 3.08 GeV und 3.12 GeV (Cut auf das J/Ψ), die Beam-Constraint-Mass größer 5.26 GeV, |∆E|<0.03 GeV und die invariante Zweiteilchenmasse der beiden Pionen (π + π − ) kleiner als 0.6 GeV ist, erhält man Abbildung 27. In dieser ist eindeutig das Ψ0 zu erkennen. Der Fit liefert hier für die Masse des Zustandes (3.6856±0.0003) GeV und für die Breite (22.22±0.59) MeV. Der Wert für die Masse des Ψ0 wird von der PDG ebenfalls mit 3.686 GeV angegeben. Der Zerfallsweg des Ψ0 ist hier folgender: Ψ0 → J/Ψπ + π − → e+ e− π + π − 33 4 AUSWERTUNG Abb. 24: Das J/Ψ in der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− Abb. 25: Das Ψ0 in der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− Abb. 26: Invariante Vierteilchenmasse e+ e− π + π − ohne Cuts Abb. 27: Das Ψ0 in der invarianten Vierteilchenmasse e+ e− π + π − mit Cuts 34 4 AUSWERTUNG Des Weiteren sollte sich auch das X(3872) in der invarianten Vierteilchenmasse e+ e− π + π − finden. Hierfür wurde die invariante Vierteilchenmasse e+ e− π + π − minus der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− (im Plot mit J/Ψ bezeichnet, da auf den Bereich des J/Ψ „gecutet“ wird) unter folgenden Bedingungen betrachtet: • Die invariante Zweiteilchenmasse e+ e− soll zwischen 3.08 GeV und 3.12 GeV liegen (J/Ψ-Cut), • die Beam-Constraint-Mass soll größer 5.26 GeV sein, • der Betrag von ∆E soll kleiner 35 MeV sein, • die invariante Zweiteilchenmasse π + π − soll zwischen 0.68 GeV und 0.81 GeV liegen und • die invariante Zweiteilchenmasse π + π − soll größer als invariante Vierteilchenmasse minus invariante Zweitteilchenmasse (e+ e− ) minus 0.1 GeV sein. In Abbildung 28 ist der Plot unter diesen Bedingungen dargestellt. Die Masse dieses Zustandes wurde innerhalb des Fits fest auf 0.774 GeV eingestellt und ist somit nicht fehlerbehaftet. Dies ist der optimale Parameter, bei dem χ2 /ndf (ndf ist die Anzahl der Freiheitsgerade) minimal ist. Demnach ergibt sich für die Masse des Zustandes nach aufaddieren der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− : m(X(3872))= (3.874 ± 0.020) GeV. Hier werden nur die Fehler betrachtet, die sich aus der Spanne der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− ergeben. Nähme man die J/Ψ-Masse der PDG (m(J/Ψ)P DG =3.0969 GeV), so ergäbe sich m(X(3872))≈ 3.871 GeV. Die J/Ψ-Masse wird hier ohne Fehler angenommen. Diese Masse weicht von der, die die PDG angibt, nur um 0.2 MeV ab (m(X(3872))P DG =3871.2 MeV). Die Fit-Funktion befindet sich wiederum im Anhang. Um die Signifikanz4 für diese Signal zu bestimmen wurde für diesen Plot nur der Untergrund (der Untergrund wurde mit einer quadratischen Funktion beschrieben), ohne Beachtung des Signals, gefittet (siehe Abbildung 29). Die Signifikanz bestimmt sich folgendermaßen über die χ2 der beiden Fits: q S = −χ2S+B + χ2B · σ. Hierbei ist χ2S+B das des Fit mit Signal und Untergrund und χ2B das des Fits nur für den Untergrund. Für das Signal von X(3872) ergibt sich somit die Signifikanz zu: S(X(3872))=5.56 σ. Durch die Einschränkung der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− auf den Bereich des J/Ψ (3.08 GeV - 3.12 GeV) und die Einschränkung der invarianten 2 Teilchenmasse π + π − auf den Bereich von 0.68 GeV bis 0.81 GeV -innerhalb dieses Bereiches liegt das ρ(770), 4 Ist diese größer als 5 σ, schließt man statistische Fluktuationen aus 35 4 AUSWERTUNG das eine Masse von m=775.5 MeV hat und zu fast 100% in zwei Pionen zerfällt [4]- kann angenommen werden, dass das X(3872) nach folgenden Zerfallsweg zerfällt: X(3872) → J/Ψρ(770) → e+ e− π + π − . Abb. 28: Fit: Signal und Background Abb. 29: Fit: Background ohne Signal Abb. 30: Beam-Constraint-Mass mit Fit Abb. 31: ∆E mit Fit Der Plot für die Beam-Constraint-Mass ist in Abb. 30, der für ∆E in Abb. 31 dargestellt. Der Peak für die Beam-Constraint-Mass befindet sich bei 5.2792 GeV (Diese Größe ist in der Fit-Funktion fest eingestellt und daher nicht mit Fehlern behaftet) und 36 4 AUSWERTUNG hat eine Breite von (11.528±0.126) MeV. Daher kann für die Plots die „Beam-ConstraintMass“ größer 5.265 GeV als Einschränkung gewählt werden. Der Peak für ∆E befindet sich demnach bei (0.0052±0.0003) GeV und hat eine Breite von (49.65±1.12) MeV. Man kann bei den Plots also auch die Einschränkung |∆E|<30 MeV wählen (Dies entspricht einer Breite von 60 MeV). Abb. 33: Fit: Background ohne Signal Abb. 32: Fit: Signal und Background Der Plot in Abbildung 32 ergibt sich, wenn man die invariante Vierteilchenmasse unter folgenden Bedingungen betrachtet: • die Beam-Constraint-Mass soll größer 5.267 GeV, • ∆E soll kleiner 35 MeV und • die invariante Pion-Pion-Masse soll größer als die invariante Vierteilchenmasse minus der invarianten Zweiteilchenmasse e+ e− minus 20 MeV sein [mass(π + π − )> (mass(e+ e− π + π − ))-mass(e+ e− )-20 MeV]. In dieser Abbildung sind neben den Erhöhungen bei 3.686 GeV (Ψ0 ) und 3.872 GeV (X(3872)) noch bei 4.060 GeV (bei dieser Masse gibt es allerdings kein bekanntes Teilchen) und bei 4.260 GeV eindeutige Erhöhungen zu erkennen. Die hier angegebenen Werte für die Masse der Teilchen wurden im Fit fest eingebaut, d.h. sie waren keine freien Parameter, die während des Fits angepasst werden konnten und sind somit nicht mit Fehlern behaftet. Weiterhin wurde der Fit nur im Massenbereich von 3.5 GeV an durchgeführt und der Untergrund mit einer linearen Funktion beschrieben. Nach dem Fit beträgt die Breite für die Y(4260)-Resonanz (41.57±14.55) MeV. Um die 37 5 RESÜMEE Signifikanz für das Signal bei 4.26 GeV zu bestimmen, wurde derselbe Fit nochmals durchgeführt, allerdings ohne Annahme eines Peaks bei 4.26 GeV (vgl. Abb. 33). Aus dem χ2 der beiden Fits wurde wieder die Signifikanz bestimmt. Sie ergibt sich zu: S(Y(4260))=4.3σ Die Schwierigkeit hierbei war die eindeutige Beschreibung der Fitfunktion, da in dem Massenbereich größer 4.3 GeV nicht nur falsche Kombinationen, sondern auch weitere echte Resonanzen liegen können. 5 Resümee Der eindeutige Nachweis der Y(4260)-Resonanz ist innerhalb dieser Arbeit nicht gelungen. Die Signifikanz für diesen Zustand wurde auf 4.3σ bestimmt. Die BABARKollaboration gibt allerdings für diesen Zustand eine Signifikanz von nur 3.1 σ an [16]. In weiteren Untersuchungen wäre zu überprüfen, ob die Cuts optimiert werden können und somit eine höhere Signifikanz erzielt werden kann. Die Signifikanz von 4.3σ ist allerdings auch mit Vorsicht zu betrachten, da der verwendete Cut (mass(π + π − )> (mass(e+ e− π + π − ))-mass(e+ e− )-20 MeV) sehr starke (kinematische) Einschnitte macht und somit die Zahl der Ereignisse und damit aber auch den unerwünschten Untergrund stark reduziert. Für den Cut spricht, dass man durch diesen innerhalb des Massenspektrums das schon bekannte Ψ0 und X(3872) eindeutig identifizieren kann. In weiteren Monte-Carlo-Studien wäre zu überprüfen, ob es gerechtfertigt ist, diesen Cut zu verwenden. 38 Literatur Literatur [1] Phys. Rev. Lett. 95(2005)142001 [2] Phys. Rev. Lett. 33(1974)1406 [3] Phys. Rev. Lett. 33(1974)1404 [4] W.-M.Yao et al. (Particle Data Group), J. Phys. G 33, 1 (2006) [5] Phys.Lett. B625(2005)212 [6] Phys. Rev. D72(2005)054026 [7] Schwabl; Quantenmechanik; 6. Auflage [8] Povh, Rith, Scholz, Zetsche; Teilchen und Kerne; 7. Auflage [9] Christoph Berger; Elementarteilchenphysik; 2. Auflage [10] Phys. Lett. B388(1996)384 [11] http://theory.gsi.de/∼vanhees/faq/cp/node5.html [12] KEK B - Design Report (http://www-acc.kek.jp/KEKB/publication/) [13] Vorlesung Experimentalphysik 6, Prof. Dr. Düren [14] http://www.silc.to.infn.it/doc/papers/toru_tsuboyama.pdf [15] AR Dr. Jens Sören Lange und Thomas Sander; grundlegender C++-Code zur Auswertung der Daten [16] Phys. Rev. D73(2006)011101 39 A ANHANG A Anhang • Tabelle 8 type[i] 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 type[j] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 type[m] 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 type[l] 2 2 2 2 2 2 2 2 type[k] 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 Tabelle 8: Zuordnungsmöglichkeiten von Kaon, 2 Elektronen und 2 Pionen 40 A ANHANG • Fit-Code der Crystal-Ball-Funktion REAL FUNCTION BALL(X) COMMON/PAWPAR/PAR(7) REAL AMPLITUDE, MEAN, SIGMA, N, ALPHA REAL DEN, MDIFF AMPLITUDE = PAR(1) MEAN = PAR(2) SIGMA = PAR(3) N = PAR(4) ALPHA = PAR(5) MDIFF = X - MEAN IF( MDIFF .GT. -ALPHA*SIGMA) THEN BALL=PAR(6)*X+PAR(7)+AMPLITUDE*EXP(-0.5D0*(MDIFF/SIGMA)**2.0D0) ELSE DEN = ( 1.0D0 - ALPHA/N*MDIFF/SIGMA - (ALPHA**2.0D0)/N )**N BALL=PAR(6)*X+PAR(7)+(AMPLITUDE*EXP(-0.5D0*ALPHA**2.0D0)/DEN) ENDIF END • Fit-Code für die invariante Vierteilchenmasse der Monte-Carlo-Daten FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(21) IF (X.GE.3.4).AND.(X.LT.3.645) THEN FUNC= PAR(10)+PAR(11)*X+PAR(12)*X*X ELSE IF ((X.GE.3.645).AND.(X.LT.3.71)) THEN FUNC=PAR(1)*EXP(-0.5*((X-PAR(2))/PAR(3))**2) ELSE IF (X.GE.3.71).AND.(X.LT.3.838) THEN FUNC= PAR(13)+PAR(14)*X+PAR(15)*X*X ELSE IF (X.GE.3.838).AND.(X.LT.3.9) THEN FUNC=PAR(4)*EXP(-0.5*((X-PAR(5))/PAR(6))**2) ELSE IF (X.GE.3.9).AND.(X.LT.4.15) THEN FUNC= PAR(16)+PAR(17)*X+PAR(18)*X*X ELSE IF (X.GE.4.15).AND.(X.LT.4.4) THEN FUNC=PAR(7)*EXP(-0.5*((X-PAR(8))/PAR(9))**2) ElSE FUNC= PAR(19)+PAR(20)*X+PAR(21)*X*X ENDIF 41 A ANHANG • Fit-Code für die Beam-Constraint-Mass der Monte-Carlo-Daten FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(7) IF ((X.GE.5.2715).AND.(X.LT.5.288)) THEN FUNC=PAR(1)*EXP(-0.5*((X-PAR(2))/PAR(3))**2) ELSE IF (X.GE.5.1).AND.(X.LT.5.2715) THEN FUNC=PAR(4)+PAR(5)*X ELSE FUNC=PAR(6)+PAR(7)*X ENDIF END • Fit-Code für ∆E der Monte-Carlo-Daten FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(9) IF ((X.GE.-0.018).AND.(X.LT.0.017)) THEN FUNC=PAR(1)*EXP(-0.5*((X-PAR(2))/PAR(3))**2) ELSE IF (X.GE.0.017).AND.(X.LT.0.06) THEN FUNC=PAR(4)+PAR(5)*X+PAR(9)*x*x ELSE FUNC=PAR(6)+PAR(7)*X+PAR(8)*X*X ENDIF END • Fit-Code für das Ψ0 in der invarianten Vierteilchenmasse FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(7) IF (X.GE.3.5).AND.(X.LT.3.657) THEN FUNC=PAR(1)+PAR(2)*X ELSE IF (X.GE.3.657).AND.(X.LT.3.711) THEN FUNC=PAR(3)*EXP(-0.5*((X-PAR(4))/PAR(5))**2) ELSE FUNC=PAR(6)+PAR(7)*X ENDIF END 42 A ANHANG • Fit-Code für das X(3872) für Signal und Untergrund FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(5) FUNC=PAR(1)+PAR(2)*X+PAR(3)*X*X+ + PAR(4)*EXP(-0.5*((X-0.774)/PAR(5))**2) END • Fit-Code für das X(3872) für Untergrund ohne Signal FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(5) FUNC=PAR(1)+PAR(2)*X+PAR(3)*X*X END • Fit-Code für die Beam-Constraint-Mass der „Belle-Daten“ FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(11) IF ((X.GE.5.2738).AND.(X.LT.5.288)) THEN FUNC=PAR(1)*EXP(-0.5*((X-5.2792)/PAR(3))**2) ELSE IF (X.GE.5.255).AND.(X.LT.5.2738) THEN FUNC=PAR(4)+PAR(5)*X ELSE IF (X.GE.5.225).AND.(X.LT.5.255) THEN FUNC=PAR(6)+PAR(7)*X ELSE IF (X.GE.5.1).AND.(X.LT.5.225) THEN FUNC=PAR(8)+PAR(9)*X ELSE FUNC=PAR(10)+PAR(11)*X ENDIF END • Fit-Code für ∆E der „Belle-Daten“ FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(7) IF ((X.GE.-0.02).AND.(X.LT.0.0283)) THEN FUNC=PAR(1)*EXP(-0.5*((X-PAR(2))/PAR(3))**2) 43 A ANHANG ELSE IF (X.GE.0.0283).AND.(X.LT.0.06) THEN FUNC=PAR(4)+PAR(5)*X ELSE IF (X.GE.-0.06).AND.(X.LT.-0.02) THEN FUNC=PAR(6)*EXP(PAR(7)*X) ENDIF END • Fit-Code für das Y(4260) für Signal und Untergrund FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(10) FUNC=PAR(1)+PAR(2)*X + + PAR(3)*EXP(-0.5*((X-3.686)/PAR(4))**2)+ + PAR(5)*EXP(-0.5*((X-3.871)/PAR(6))**2)+ + PAR(7)*EXP(-0.5*((X-4.060)/PAR(8))**2)+ + PAR(9)*EXP(-0.5*((X-4.260)/PAR(10))**2) END • Fit-Code für das Y(4260) für Untergrund ohne Signal FUNCTION FUNC(X) COMMON/PAWPAR/PAR(8) FUNC=PAR(1)+PAR(2)*X + + PAR(3)*EXP(-0.5*((X-3.686)/PAR(4))**2)+ + PAR(5)*EXP(-0.5*((X-3.871)/PAR(6))**2)+ + PAR(7)*EXP(-0.5*((X-4.060)/PAR(8))**2) END 44 Danksagung Danksagung Ganz besonderer Dank gebührt Herrn AR Dr. Jens Sören Lange, der es mir ermöglicht hat, die Bachelorarbeit über ein solch hoch interessantes Thema zu schreiben. Ohne seine Unterstützung und Hilfestellung wäre diese Arbeit nicht möglich gewesen. Ebenfalls besonderer Dank gebührt meinen Eltern -Dr. Irmgard und Dr. Gunter Ullrich-, die mir das Studium und somit diese Arbeit durch ihre -nicht nur finanzielle- Unterstützung überhaupt erst ermöglicht haben. Herzlich Danken möchte ich auch noch Alwina Herbst, die in der Zeit dieser Arbeit viel auf mich verzichten musste. Besonders Danken möchten ich auch Sabrina Darmawi -Schade, dass du nicht mit nach Stockholm kommst-, Martin Galuska -Ich hoffe wir arbeiten auch noch weiter während des Studiums so gut zusammen-, David Münchof und Stephanie Künze für die angenehme Atmosphäre im Büro und die erheiternden -nicht nur physikalischen- Gespräche. Besonderer Dank gebührt auch Thomas Sander, der mir den grundlegenden C++-Code zur Auswertung der Daten zur Verfügung gestellt hat. Weiter Danke ich noch allen Mitgliedern des 2. Physikalischen Instituts -besonders der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Wolfgang Kühn- für Ihre Unterstützung und die angenehme Arbeitsatmosphäre. Furthermore I would like to thank all the people of the Belle Collaboration for allowing me to use this huge amount of data collected with the Belle detector as well as for the supply of fast computing. 45 Ich versichere, dass ich diese Bachelorarbeit selbständig geschrieben und deren Inhalt wissenschaftlich erarbeitet habe. Außer der angegebenen Literatur habe ich keine weiteren Hilfsmittel benutzt. Pohlheim, den 28.07.2008 Matthias Gunter Ullrich 46