Die spezielle Relativitätstheorie

Die spezielle Relativitätstheorie
Arbeitsunterlage für Maturanten (Gedankenexperimente und Ableitungen)
Bearbeitung: Prof. Mag. Otto Dolinsek, BG/BRG Lerchenfeld
Relativitätsprinzip:
Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt. Die Naturgesetze werden in allen Inertialsystemen durch dieselben Gleichungen beschrieben.
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:
Die Lichtgeschwindigkeit ist eine absolute Konstante und beträgt im Vakuum
c=300000km/s.
Die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachter (B, B') und
der Lichtquelle!
Anmerkung: Inertialsysteme sind Bezugsysteme in denen der Trägheitsatz gilt.
B ist ein ruhender Beobachter in einem Inertialsystem I (z.B.: Erde), B’ ist ein ruhender Beobachter
in einem bewegten (v=const≠0) Inertialsystem I’ (z.B.: Zug).
Einsteins Forderung: B und B' bleiben stets im Zentrum der Kugelwelle, obwohl sich B' mit
der Geschwindigkeit v bewegt!
Kugelwelle
B, B’
x=ct
x’=ct’
Lichtquelle
Somit gilt: x'=ct' (für B’) und x=ct (für B).
Das klassische Geschwindigkeitsadditionstheorem (vx=vx'+v) widerspricht der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit. Die Galileigleichungen (x'=x-vt und x=x'+vt') müssen korrigiert werden, da aus ihnen das klassische Additionstheorem folgte.
Der Ansatz zur Korrektur lautet:
x'=k(x-vt) und x=k(x'+vt') (x=ct und x'=ct' in die Gleichungen einsetzen)
ct'= k(ct-vt) und ct=k(ct'+vt')
ct'ct=k²tt'(c-v)(c+v)
c²=k²(c²-v²)
k=
1
1−
v2
c2
Für die Zeiten t und t’ folgt aus x’=k(x-vt) und x=k(x’+vt’):
x'
= x − vt
k
x'
= kx ' + kvt ' − vt
k
x'
vt = kvt ' + kx ' −
k
x' x'
t = kt '+ k −
v kv
x'
1
t = kt '+ k (1 − 2 )
v
k
x'
v2
t = kt '+ k (1 − 1 + 2 )
v
c
vx'
t = kt '+ k 2
c
x
= x ' + vt '
k
x
= kx − kvt
k
vt ' = kvt − kx +
+ vt '
x
k
x x
+
v kv
x
1
t ' = kt − k (1 − 2 )
v
k
x
v2
t ' = kt − k (1 − 1 + 2 )
v
c
vx
t ' = kt − k 2
c
t ' = kt − k
Nur die Lorentzgleichungen erfüllen die Postulate der Relativitätstheorie.
Ein Beobachter B im Inertialsystem I beurteilt Ereignisse im Inertialsystem I’:
x’=k(x-vt)
x’=y
z’=z
vx
t ' = k (t − 2 )
c
Ein Beobachter B’ im Inertialsystem I’ beurteilt Ereignisse im Inertialsystem I:
x=k(x’+vt’)
y=y’
z=z’
vx'
t = k (t '+ 2 )
c
Aus den Lorentzgleichungen ergibt sich das relativistische Geschwindigkeitsadditionstheorem
nach
vx =
Anmerkung: v x ' =
x'
t'
v '+ v
x'+vt '
x k ( x'+ vt ' )
=
=
= x
x'
vv '
x'
t
k (t '+ v 2 ) t '+ v 2 1 + 2x
c
c
c
Ein Beobachter B im Inertialsystem I misst die Lichtgeschwindigkeit!
Welche Geschwindigkeit ergibt sich für einen Beobachter B’ im Inertialsystem I’?
Ansatz :
vx=c
vx’=?
Einsetzen in das relativistische Additionstheorem:
c=
v x '+v
vv '
1 + 2x
c
⇒ c+
vv x '
v
= v x '+ v ⇒ v x ' (1 − ) = c − v ⇒ v x ' = c
c
c
Der Beobachter B’ misst natürlich auch die Lichtgeschwindigkeit!
Umgekehrt:
Ein Beobachter B’ des bewegten Inertialsystems I’ misst die Lichtgeschwindigkeit!
Welche Geschwindigkeit ergibt sich für einen Beobachter B im Inertialsystem I?
Ansatz:
vx’=c
vx=?
Einsetzen in das relativistische Additionstheorem:
vx =
v+c
vc
1+ 2
c
⇒ vx =
(v + c )
c ⇒ vx = c
(c + v )
Das relativistische Geschwindigkeitsadditionstheorem erfüllt also das Gesetz von der
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit!
Ist es möglich durch Addition der Geschwindigkeiten auf Überlichtgeschwindigkeit zu kommen?
Ein Beispiel soll die Antwort liefern!!
Eine Rakete (Inertialsystem I’) bewegt sich mit v=0,9c. In der Rakete wird ein Projektil in der
Bewegungsrichtung mit vx’=0,9c abgeschossen.
Welche Geschwindigkeit vx ergibt sich für einen BeobachterB im Inertialsystem I?
Ansatz:
v=0,9c
vx’=0,9c
Einsetzen in das relativistische Additionstheorem:
1,8c
0,9c + 0,9c
=
= 0,99c
0,9c * 0,9c 1,81
1+
c2
Unabhängig von den gewählten Geschwindigkeiten ist der Nenner stets größere als der Zähler. Die Rechnung zeigt, dass es unmöglich ist, durch Addition der Geschwindigkeiten
auf Lichtgeschwindigkeit zu kommen.
vx =
Die Zeitdilatation
Gedankenexperiment:
Ein synchronisierter Uhrensatz bewegt sich mit der Geschwindigkeit v an einem Beobachter
B im Inertialsystem I vorbei.
I
I
∆t’
Sychronisierter Uhrensatz
Uhr2
v
Uhr1
Uhr2
Uhr1
v
x2=vt2
ruhende Uhr
x
∆t
B
x2
x
B
Zur Zeit t=0 koinzidiert (zusammenfallen, die gleiche x-Koordinate besitzen) die bewegte
Uhr1 mit der ruhenden Uhr. Die Uhren werden zu diesem Zeitpunkt gestartet. Die Koinzidenz
der Uhr2 mit der ruhenden Uhr stoppt das Uhrensystem. Der ruhende Beobachter misst an der
ruhenden Uhr die Zeitspanne ∆t, während der bewegte Beobachter an seinen Uhren die
Zeitspanne ∆t’ abliest.
Der Zusammenhang zwischen den Zeiten kann mit den Lorentzgleichungen hergestellt
werden (B beurteilt das Intevall ∆t’).
∆t=t2-t1=t2-0=t2
∆t’=t2’-t1’=t2’-0=t2’ : x2=vt2
t 2 ' = k (t 2 −
vx 2
vvt 2
v2
=
−
=
−
)
(
)
(
1
)=
k
t
kt
2
2
c2
c2
c2
t2 =
v2
)
2
c2 = t 1− v
2
c2
v2
1− 2
c
t 2 (1 −
t2 '
1−
v2
c2
Also t2>t2’ !
Lehrsatz: Bewegte Uhren gehen langsamer.
Beispiel:
Myonen bewegen sich mit v=0,99942c. Ihre Lebensdauer beträgt in ihrem Ruhsystem I’
t’=1,52µs. Welche Lebensdauer haben die Myonen für einen in einem Inertialsystem I
ruhenden Beobachter B?
t'
1,52µs
t=
=
= 29,36 *1,52µs = 44,63µs
v2
1 − 0,99942 2
1− 2
c
Die Längenkontraktion
Gedankenexperiment:
Entlang der x-Achse befinden sich ruhende Beobachter mit synchronisierten Uhren.
Ein Maßstab der Länge l’ und der Geschwindigkeit v bewegt sich an diesen Beobachtern vorbei. Es gibt zu jeder Zeit t zwei Beobachter, die gleichzeitig Anfang und Ende des Maßstabes
registrieren. Der Abstand zwischen diesen Beobachtern entspricht der Länge l des Maßstabes
im Inertialsystem I.
I
x1’
Ende
x2’
l’=x2’-x1’
v
Anfang
l=x2-x1
x1
Beobachter1
x2
Beobachter2
x-Achse
In dieser Zeichnung sehen die Längen gleich lang aus. Wir müssen allerdings akzeptieren,
dass der Zusammenhang zwischen den Inertialsystemen mit den Lorentzgleichungen
hergestellt wird. Somit ergibt sich für die Beobachter B im Inertialsystem I folgende Aussage:
l ' = x 2 '− x1 ' = k .( x 2 − v.t ) − k .( x1 − v.t ) = k .( x 2 − x1 ) = k .l =
l
v2
1− 2
c
⇒
v2
l = 1 − 2 .l '
c
l < l’
Bewegte Maßstäbe erscheinen einem ruhenden Beobachter verkürzt!
Bemerkung: Natürlich bleibt die Länge l’ für mitbewegte Beobachter B’ unverändert.
Beispiel: Ein Würfel wird beschleunigt!
v~0
v=3/5c
v~c
Längen in Bewegungsrichtung werden kontrahiert, Längen in senkrechten Richtungen zu v
bleiben unverändert!
Die relativistische Massenzunahme
Gedankenexperiment:
Ein Objekt der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit w gegen eine feste starre
Wand. Beim Aufprall entsteht ein Loch. Die Tiefe des Loches ist ein Maß für den übertragenen Impuls. Ein Beobachter B’ bewegt sich parallel zur Wand mit der Geschwindigkeit v.
Der Beobachter B ruht im Inertialsystem I.
y-Achse I
Tiefe des Loches ~ mw=p
y2
w=∆y/∆t
y1
m
B
I’
x-Achse
v des Beobachters B’
B beurteilt das Ereignis: Das Objekt der Masse m bewegt sich mit der Geschwindigkeit w
und überträgt auf die Wand den Impuls p=mw.
B’ beurteilt das Ereignis: Das Objekt der Masse m’ bewegt sich mit der Geschwindigkeit w’
und überträgt auf die Wand den Impuls p’=m’w’.
w' =
∆y ' ∆y
=
=
∆t ' ∆t '
∆y
∆t
1−
=
v2
v2
∆y
1− 2 = w 1− 2
∆t
c
c
⇒ w' < w
v2
c2
Für B’ und B gilt: ∆y=∆y’, weil diese Längen senkrecht zur Bewegungsrichtung liegen und
nicht kontrahiert werden. Genauso bleibt die Tiefe des Loches für beide Beobachter gleich,
somit kann der Ansatz p=p’ gemacht werden. Allerdings stellt das Objekt für B’ eine bewegte
Uhr dar. Somit muss für B’ die Zeitdilatation auftreten, die bewirkt, dass das Objekt um den
Wurzelfaktor verlangsamt gegen die Wand läuft. Damit ergibt sich der Zusammenhang:
m' w' = m' w 1 −
m' =
m
1−
m’=mD
m=m0
v2
= mw
c2
v2
c2
dynamische Masse
Ruhmasse
Nachweis: Protonen werden auf v=0,99999726c beschleunigt. Dabei steigt ihre Masse auf
m0
mD =
= 427 m0
1 − 0,99999726 2
Um die Protonen auf ihrer Kreisbahn halten zu können, muss das Magnetfeld um den 427fachen Wert erhöht werden.
Die relativistische kinetische Energie
Der Ausdruck m D =
m0
kann in eine Potenzreihe entwickelt werden. Der binomische
v2
1− 2
c
n
 n
n
Lehrsatz zur Potenzreihenentwicklung lautet: (a + b ) = ∑   a n − k b k . (a=1, b=-v²/c², n=-½)
k =0  k 
1
1−
v2
c2
= (1 + b)
−
1
2
 1  −3
 1  −1
−
−
=  2  1 2 b 0 +  2 1 2 b1 +




 1 
 0 
 1  −5
 − 1 2 b 2 + .. =
 2
 2 
 1  3 
2
 −  − 
1
1
3 2
1  v2  3  v2 
v 2 3v 4
2  2  2

=1 − b +
b +..= 1 − b + b + .. = 1 −  − 2  +  − 2  + .. = 1 + 2 + 4 + ..
2
1 .2
2
8
2 c  8 c 
2c
8c
Die ersten zwei Terme dieser Reihenentwicklung sind von Bedeutung, der dritte Term ist
klein von 4. Ordnung und ist vernachlässigbar.
mD =
m0
1−
v2
c2

v2 

= m 0 1 + 2  /∗ c 2
 2c 
m D c 2 = m0 c 2 +
m0 v 2
2
EG=E0+Ekin
Einstein leitet aus der Massenbeziehung den Energiesatz her!
Für v=0 ist Ekin=0 ⇒ EG=E0=m0c²
In der Ruhmasse m0 ist der Energieinhalt E0=m0c² gespeichert.
Für die relativistische kinetische Energie ergibt sich:
E kin




m


D
= E G − E 0 = ( m D − m 0 )c 2 = 
− 1 c 2
2
 1− v



2
c

