DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe

DAG-artige Beweistheorie
Vorlesung 1, Grundbegriffe
PD L. Gordeew
WSI f. Informatik, Uni Tuebingen, Germany
Tuebingen, 6 April, 2010
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
1. Beweissysteme
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
1. Beweissysteme
Ein Beweissystem in der Sprache L wird characterisiert
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
1. Beweissysteme
Ein Beweissystem in der Sprache L wird characterisiert
durch die Folge von logischen Schlüssen (Beweisregeln).
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
1. Beweissysteme
Ein Beweissystem in der Sprache L wird characterisiert
durch die Folge von logischen Schlüssen (Beweisregeln).
Jede Beweisregel (R) besteht aus einer endlichen (event.
leeren) Liste von Prämissen ∆1 ∈ L, · · · , ∆k ∈ L und
einer einzigen Konklusion Σ ∈ L.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
1. Beweissysteme
Ein Beweissystem in der Sprache L wird characterisiert
durch die Folge von logischen Schlüssen (Beweisregeln).
Jede Beweisregel (R) besteht aus einer endlichen (event.
leeren) Liste von Prämissen ∆1 ∈ L, · · · , ∆k ∈ L und
einer einzigen Konklusion Σ ∈ L.
Bezeichnung:
(R) :
∆1 · · · ∆k
oder (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ
Σ
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
1. Beweissysteme
Ein Beweissystem in der Sprache L wird characterisiert
durch die Folge von logischen Schlüssen (Beweisregeln).
Jede Beweisregel (R) besteht aus einer endlichen (event.
leeren) Liste von Prämissen ∆1 ∈ L, · · · , ∆k ∈ L und
einer einzigen Konklusion Σ ∈ L.
Bezeichnung:
(R) :
∆1 · · · ∆k
oder (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ
Σ
Axiom (A) ist Beweisregel ohne Prämissen, d.h.
(A) :
∅
Σ
oder
PD L. Gordeew
(A) : {∅} Σ
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2. Regularität
PD L. Gordeew
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2. Regularität
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst regulär (regular)
falls die Implikation (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ allgemeingültig
(valid) ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ.
PD L. Gordeew
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2. Regularität
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst regulär (regular)
falls die Implikation (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ allgemeingültig
(valid) ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ.
Reguläre Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst
biregulär (biregular) falls die inverse Regel auch
allgemeingültig ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) ↔ Σ.
PD L. Gordeew
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2. Regularität
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst regulär (regular)
falls die Implikation (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ allgemeingültig
(valid) ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ.
Reguläre Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst
biregulär (biregular) falls die inverse Regel auch
allgemeingültig ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) ↔ Σ.
F
Beispiel: Einfache Schwächung
ist regulär, aber nicht
F ∨G
biregulär.
PD L. Gordeew
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2. Regularität
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst regulär (regular)
falls die Implikation (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ allgemeingültig
(valid) ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) → Σ.
Reguläre Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst
biregulär (biregular) falls die inverse Regel auch
allgemeingültig ist, d.h. |= (∆1 ∧ · · · ∧ ∆k ) ↔ Σ.
F
Beispiel: Einfache Schwächung
ist regulär, aber nicht
F ∨G
biregulär.
Beweissystem S heisst regulär (regular) bzw. biregulär
(biregular) falls so sind alle Beweisregeln von S.
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3. Soundness
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3. Soundness
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst sound falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇒|= Σ
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3. Soundness
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst sound falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇒|= Σ
Sound Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst bisound
falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇔|= Σ
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3. Soundness
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst sound falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇒|= Σ
Sound Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst bisound
falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇔|= Σ
Beweissystem S heisst sound bzw. bisound falls so sind alle
Beweisregeln von S.
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3. Soundness
Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst sound falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇒|= Σ
Sound Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ heisst bisound
falls
(|= ∆1 ∧ · · · ∧ |= ∆k ) ⇔|= Σ
Beweissystem S heisst sound bzw. bisound falls so sind alle
Beweisregeln von S.
Offensichtlich gilt Implikation
(bi)regulär ⇒ (bi)sound
PD L. Gordeew
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4. Kommentar
PD L. Gordeew
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4. Kommentar
Alle unsere Beweissysteme werden sound.
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4. Kommentar
Alle unsere Beweissysteme werden sound.
Nicht alle herkömmlichen Beweisregeln sind bisound. Z. B.
einfache Schwächung
F
F ∨G
ist regulär und folglich sound, aber nicht bisound.
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4. Kommentar
Alle unsere Beweissysteme werden sound.
Nicht alle herkömmlichen Beweisregeln sind bisound. Z. B.
einfache Schwächung
F
F ∨G
ist regulär und folglich sound, aber nicht bisound.
Manche nützlichen Beweisregeln sind nicht regulär. Z. B.
triviale Substitution
x
y
ist bisound, aber nicht regulär (x, y zwei versch.
Aussagenvariablen).
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5. Beweisbarkeit
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
Definition
PD L. Gordeew
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
Definition
1 Ist (A) : {∅} Σ ein Axiom von S,
PD L. Gordeew
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
Definition
1 Ist (A) : {∅} Σ ein Axiom von S,
so ist Σ beweisbar in S.
PD L. Gordeew
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
Definition
1 Ist (A) : {∅} Σ ein Axiom von S,
so ist Σ beweisbar in S.
2
Ist (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ eine Beweisregel von S
PD L. Gordeew
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
Definition
1 Ist (A) : {∅} Σ ein Axiom von S,
so ist Σ beweisbar in S.
2
Ist (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ eine Beweisregel von S
und sind alle Prämissen ∆1 , ..., ∆k beweisbar in S,
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5. Beweisbarkeit
Herkömmliche rekursive Definition:
Definition
1 Ist (A) : {∅} Σ ein Axiom von S,
so ist Σ beweisbar in S.
2
Ist (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ eine Beweisregel von S
und sind alle Prämissen ∆1 , ..., ∆k beweisbar in S,
so ist auch Σ beweisbar in S.
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6. Standardinterpretationen
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw.
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp ,
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
Gentzen Interpretation:
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
Gentzen Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
Gentzen Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert ein
endlicher Herleitungsbaum,
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
Gentzen Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert ein
endlicher Herleitungsbaum, dessen Wurzel ist Γ,
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
Gentzen Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert ein
endlicher Herleitungsbaum, dessen Wurzel ist Γ, jedes Blatt die
Konklusion eines Axioms von S
PD L. Gordeew
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6. Standardinterpretationen
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert eine
endliche Herleitung Σ1 , · · · , Σp , wobei Σp = Γ und für jedes
q ≤ p, Σq ist die Konklusion entweder eines Axiom von S oder
einer Bewesregel von S mit Prämissen aus der Liste Σ1 , · · · , Σq−1 .
Das ergibt einen Herleitungsgraphen, indem man jedes Paar
Pr ämisse → Konklusion als gerichtete Kante betrachtet.
Gentzen Interpretation:
Definition
Ein beliebiges Γ ∈ L ist beweisbar in S gdw. es existiert ein
endlicher Herleitungsbaum, dessen Wurzel ist Γ, jedes Blatt die
Konklusion eines Axioms von S und alle innere Knoten sind
Konklusionen von Bewesregeln von S mit Prämissen als
(verschiedenen) Baumvorgängern.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
7. Der Unterschied
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
7. Der Unterschied
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation entspricht der sog.
DAG-artigen Herleitbarkeit (DAG: directed acyclyc graph),
während Gentzen Herleitbarkeit nur baumartig ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
7. Der Unterschied
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation entspricht der sog.
DAG-artigen Herleitbarkeit (DAG: directed acyclyc graph),
während Gentzen Herleitbarkeit nur baumartig ist.
Folglich ist Gentzen Herleitbarkeit ein Spezialfall von
Hilbert-Bernays-Tarski Herleitbarkeit.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
7. Der Unterschied
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation entspricht der sog.
DAG-artigen Herleitbarkeit (DAG: directed acyclyc graph),
während Gentzen Herleitbarkeit nur baumartig ist.
Folglich ist Gentzen Herleitbarkeit ein Spezialfall von
Hilbert-Bernays-Tarski Herleitbarkeit.
Offensichtlich ist DAG-artige Herleitbarkeit
effizienter/schneller, da man versch. Knoten mit gleichen
Prämissen identifizieren kann.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
7. Der Unterschied
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation entspricht der sog.
DAG-artigen Herleitbarkeit (DAG: directed acyclyc graph),
während Gentzen Herleitbarkeit nur baumartig ist.
Folglich ist Gentzen Herleitbarkeit ein Spezialfall von
Hilbert-Bernays-Tarski Herleitbarkeit.
Offensichtlich ist DAG-artige Herleitbarkeit
effizienter/schneller, da man versch. Knoten mit gleichen
Prämissen identifizieren kann.
Dadurch bekommt man “defokusierte” Inferenzen, die nicht
baumartig sind.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
7. Der Unterschied
Hilbert-Bernays-Tarski Interpretation entspricht der sog.
DAG-artigen Herleitbarkeit (DAG: directed acyclyc graph),
während Gentzen Herleitbarkeit nur baumartig ist.
Folglich ist Gentzen Herleitbarkeit ein Spezialfall von
Hilbert-Bernays-Tarski Herleitbarkeit.
Offensichtlich ist DAG-artige Herleitbarkeit
effizienter/schneller, da man versch. Knoten mit gleichen
Prämissen identifizieren kann.
Dadurch bekommt man “defokusierte” Inferenzen, die nicht
baumartig sind.
D.h. im Unterschied zu baumartigen Herleitungen, es kann in
einer DAG-artigen Herleitung passieren, dass ein und derselbe
Knoten zu versch. Zielknoten führen kann.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
8. Beweissuche (proof search)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
8. Beweissuche (proof search)
Problem
Sei Γ ∈ L gegeben, wobei S sound ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
8. Beweissuche (proof search)
Problem
Sei Γ ∈ L gegeben, wobei S sound ist.
Suche nach Herleitung von Γ in S, falls Γ allgemeingültig ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
8. Beweissuche (proof search)
Problem
Sei Γ ∈ L gegeben, wobei S sound ist.
Suche nach Herleitung von Γ in S, falls Γ allgemeingültig ist.
Es gibt verschiedene Lösungsansätze. Generell werden folgende
Schritte gemacht.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
8. Beweissuche (proof search)
Problem
Sei Γ ∈ L gegeben, wobei S sound ist.
Suche nach Herleitung von Γ in S, falls Γ allgemeingültig ist.
Es gibt verschiedene Lösungsansätze. Generell werden folgende
Schritte gemacht.
1
Verifiziere ob Γ die Konklusion eines Axioms von S ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
8. Beweissuche (proof search)
Problem
Sei Γ ∈ L gegeben, wobei S sound ist.
Suche nach Herleitung von Γ in S, falls Γ allgemeingültig ist.
Es gibt verschiedene Lösungsansätze. Generell werden folgende
Schritte gemacht.
1
Verifiziere ob Γ die Konklusion eines Axioms von S ist.
2
Wenn nicht, dann verifiziere ob Γ die Konklusion einer
Beweisregel von S mit Prämissen ∆1 , ..., ∆k ist.
PD L. Gordeew
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8. Beweissuche (proof search)
Problem
Sei Γ ∈ L gegeben, wobei S sound ist.
Suche nach Herleitung von Γ in S, falls Γ allgemeingültig ist.
Es gibt verschiedene Lösungsansätze. Generell werden folgende
Schritte gemacht.
1
Verifiziere ob Γ die Konklusion eines Axioms von S ist.
2
Wenn nicht, dann verifiziere ob Γ die Konklusion einer
Beweisregel von S mit Prämissen ∆1 , ..., ∆k ist.
3
Sollte das der Fall sein, dann sei Γ := ∆i , i = 1, · · · , k, und
gehe zu Schritt 1.
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
Suche nach einer möglichst kurzen/kleinen Herleitung ∂ 0 von Γ.
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
Suche nach einer möglichst kurzen/kleinen Herleitung ∂ 0 von Γ.
Generell wird ∂ 0 folgendermaßen erzeugt. Man geht von Γ aufwärts
entlang ∂ und sucht nach den Knoten ∆1 , ..., ∆k , Σ, die folgende
Kriterien erfüllen.
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
Suche nach einer möglichst kurzen/kleinen Herleitung ∂ 0 von Γ.
Generell wird ∂ 0 folgendermaßen erzeugt. Man geht von Γ aufwärts
entlang ∂ und sucht nach den Knoten ∆1 , ..., ∆k , Σ, die folgende
Kriterien erfüllen.
1
Kein Pfad verbindet Σ mit irgendeinem ∆i , i = 1, · · · , k.
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
Suche nach einer möglichst kurzen/kleinen Herleitung ∂ 0 von Γ.
Generell wird ∂ 0 folgendermaßen erzeugt. Man geht von Γ aufwärts
entlang ∂ und sucht nach den Knoten ∆1 , ..., ∆k , Σ, die folgende
Kriterien erfüllen.
1
Kein Pfad verbindet Σ mit irgendeinem ∆i , i = 1, · · · , k.
2
Es gibt eine Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ in S.
PD L. Gordeew
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9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
Suche nach einer möglichst kurzen/kleinen Herleitung ∂ 0 von Γ.
Generell wird ∂ 0 folgendermaßen erzeugt. Man geht von Γ aufwärts
entlang ∂ und sucht nach den Knoten ∆1 , ..., ∆k , Σ, die folgende
Kriterien erfüllen.
1
Kein Pfad verbindet Σ mit irgendeinem ∆i , i = 1, · · · , k.
2
Es gibt eine Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ in S.
Sollte das der Fall sein, man wendet die Regel (R) an (: fügt neue
Kanten ∆i → Σ hinzu)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
9. Beweiskompression (proof compression)
Problem
Sei ∂ eine Herleitung von Γ.
Suche nach einer möglichst kurzen/kleinen Herleitung ∂ 0 von Γ.
Generell wird ∂ 0 folgendermaßen erzeugt. Man geht von Γ aufwärts
entlang ∂ und sucht nach den Knoten ∆1 , ..., ∆k , Σ, die folgende
Kriterien erfüllen.
1
Kein Pfad verbindet Σ mit irgendeinem ∆i , i = 1, · · · , k.
2
Es gibt eine Beweisregel (R) : {∆1 ; · · · ; ∆k } Σ in S.
Sollte das der Fall sein, man wendet die Regel (R) an (: fügt neue
Kanten ∆i → Σ hinzu) und entfernt alle Vorgänger von Σ in ∂.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
10. Beweissuche mit Beweiskompression
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
10. Beweissuche mit Beweiskompression
Ziel: Beschleunigung und Optimierung der Beweissuche im
Hilbert-Bernays-Tarski DAG-modus.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
10. Beweissuche mit Beweiskompression
Ziel: Beschleunigung und Optimierung der Beweissuche im
Hilbert-Bernays-Tarski DAG-modus.
Kombiniere Beweissuche mit Beweiskompression.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
10. Beweissuche mit Beweiskompression
Ziel: Beschleunigung und Optimierung der Beweissuche im
Hilbert-Bernays-Tarski DAG-modus.
Kombiniere Beweissuche mit Beweiskompression.
Die gesuchte DAG-artige Herleitung ∂ von Γ ist
semianalytisch, d.h. alle Formeln aus ∂ kommen (modulo
θ : Var → Lit) in Γ vor.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
11. Vollständigkeit
PD L. Gordeew
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11. Vollständigkeit
Definition
PD L. Gordeew
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11. Vollständigkeit
Definition
Beweissystem S heisst vollständig (complete) falls folgende zwei
Bedingungen äquivalent sind für jedes Γ ∈ L.
PD L. Gordeew
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11. Vollständigkeit
Definition
Beweissystem S heisst vollständig (complete) falls folgende zwei
Bedingungen äquivalent sind für jedes Γ ∈ L.
1
Γ ist allgemeingültig.
PD L. Gordeew
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11. Vollständigkeit
Definition
Beweissystem S heisst vollständig (complete) falls folgende zwei
Bedingungen äquivalent sind für jedes Γ ∈ L.
1
Γ ist allgemeingültig.
2
Γ ist beweisbar in S.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
11. Vollständigkeit
Definition
Beweissystem S heisst vollständig (complete) falls folgende zwei
Bedingungen äquivalent sind für jedes Γ ∈ L.
1
Γ ist allgemeingültig.
2
Γ ist beweisbar in S.
Alle unsere Beweissysteme werden vollständing.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
Grundobjekte: Schütte-Rasiowa Sequenzen = endliche
Formelmultimengen (bez.: Γ, ∆, Σ, Π).
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
Grundobjekte: Schütte-Rasiowa Sequenzen = endliche
Formelmultimengen (bez.: Γ, ∆, Σ, Π).
Das ist eine natürliche Vereinfachung von Gentzen’s
Γ → Π, die im Bereich der klassischen Logik zulässig ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
Grundobjekte: Schütte-Rasiowa Sequenzen = endliche
Formelmultimengen (bez.: Γ, ∆, Σ, Π).
Das ist eine natürliche Vereinfachung von Gentzen’s
Γ → Π, die im Bereich der klassischen Logik zulässig ist.
Dabei sind Formeln wie üblich rekursiv definiert:
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
Grundobjekte: Schütte-Rasiowa Sequenzen = endliche
Formelmultimengen (bez.: Γ, ∆, Σ, Π).
Das ist eine natürliche Vereinfachung von Gentzen’s
Γ → Π, die im Bereich der klassischen Logik zulässig ist.
Dabei sind Formeln wie üblich rekursiv definiert:
1
Literale, d.h. Variablen (x, y , z) oder negierte Variablen
(x, y , z), sind Formeln.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
Grundobjekte: Schütte-Rasiowa Sequenzen = endliche
Formelmultimengen (bez.: Γ, ∆, Σ, Π).
Das ist eine natürliche Vereinfachung von Gentzen’s
Γ → Π, die im Bereich der klassischen Logik zulässig ist.
Dabei sind Formeln wie üblich rekursiv definiert:
1
2
Literale, d.h. Variablen (x, y , z) oder negierte Variablen
(x, y , z), sind Formeln.
Sind F und G Formeln, so sind es auch F ∨ G und F ∧ G .
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
12. Sequenzenkalküle
Unsere Beweissysteme sind aussagenlogische Sequezenkalküle.
Grundobjekte: Schütte-Rasiowa Sequenzen = endliche
Formelmultimengen (bez.: Γ, ∆, Σ, Π).
Das ist eine natürliche Vereinfachung von Gentzen’s
Γ → Π, die im Bereich der klassischen Logik zulässig ist.
Dabei sind Formeln wie üblich rekursiv definiert:
1
2
Literale, d.h. Variablen (x, y , z) oder negierte Variablen
(x, y , z), sind Formeln.
Sind F und G Formeln, so sind es auch F ∨ G und F ∧ G .
Γ = F1 , · · · , Fp heisst allgemeingültig falls so ist die Formel
F1 ∨ · · · ∨ Fp .
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
13. Grundkalkül
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
13. Grundkalkül
Axiom (A) :
∅
x, x, Γ
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
13. Grundkalkül
Axiom (A) :
∅
x, x, Γ
Disjunktionsregel (D) :
F, G, Γ
F ∨ G, Γ
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
13. Grundkalkül
Axiom (A) :
∅
x, x, Γ
Disjunktionsregel (D) :
F, G, Γ
F ∨ G, Γ
Konjunktionsregel (K) :
F, Γ G, Γ
F ∧ G, Γ
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
13. Grundkalkül
Axiom (A) :
∅
x, x, Γ
Disjunktionsregel (D) :
F, G, Γ
F ∨ G, Γ
Konjunktionsregel (K) :
F, Γ G, Γ
F ∧ G, Γ
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
13. Grundkalkül
Axiom (A) :
∅
x, x, Γ
Disjunktionsregel (D) :
F, G, Γ
F ∨ G, Γ
Konjunktionsregel (K) :
F, Γ G, Γ
F ∧ G, Γ
Theorem
Sequenzenkalkül (A) + (D) + (K) ist biregulär und vollständig.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
PD L. Gordeew
¬C , Σ
Σ
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
¬x := x
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
¬x := x
¬x := x
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
3
¬x := x
¬x := x
¬ (F ∨ G ) := ¬F ∧ ¬G
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
3
4
¬x := x
¬x := x
¬ (F ∨ G ) := ¬F ∧ ¬G
¬ (F ∧ G ) := ¬F ∨ ¬G
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
3
4
¬x := x
¬x := x
¬ (F ∨ G ) := ¬F ∧ ¬G
¬ (F ∧ G ) := ¬F ∨ ¬G
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
3
4
¬x := x
¬x := x
¬ (F ∨ G ) := ¬F ∧ ¬G
¬ (F ∧ G ) := ¬F ∨ ¬G
Theorem
Sequenzenkalkül (A) + (D) + (K) + (CUT) ist biregulär und
vollständig,
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
3
4
¬x := x
¬x := x
¬ (F ∨ G ) := ¬F ∧ ¬G
¬ (F ∧ G ) := ¬F ∨ ¬G
Theorem
Sequenzenkalkül (A) + (D) + (K) + (CUT) ist biregulär und
vollständig, aber für Beweissuche kaum geeignet.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
14. Andere Beweisregeln: (CUT)
Schnittregel (CUT) :
C, Σ
¬C , Σ
Σ
¬C wird erzeugt nach De Morgan:
1
2
3
4
¬x := x
¬x := x
¬ (F ∨ G ) := ¬F ∧ ¬G
¬ (F ∧ G ) := ¬F ∨ ¬G
Theorem
Sequenzenkalkül (A) + (D) + (K) + (CUT) ist biregulär und
vollständig, aber für Beweissuche kaum geeignet.
(: wie kann man die Schnittformel C erraten?)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
Substitution (S):
∆
θ (∆)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
Substitution (S):
∆
θ (∆)
θ : Seq → Seq kanonische homomorphe Erweiterung auf
beliebige Sequenzen einer Abbildung θ0 : Var → Lit.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
Substitution (S):
∆
θ (∆)
θ : Seq → Seq kanonische homomorphe Erweiterung auf
beliebige Sequenzen einer Abbildung θ0 : Var → Lit.
Geschwächte Substitution (W) + (S) = (WS):
∆
Γ, θ (∆)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
Substitution (S):
∆
θ (∆)
θ : Seq → Seq kanonische homomorphe Erweiterung auf
beliebige Sequenzen einer Abbildung θ0 : Var → Lit.
Geschwächte Substitution (W) + (S) = (WS):
∆
Γ, θ (∆)
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
Substitution (S):
∆
θ (∆)
θ : Seq → Seq kanonische homomorphe Erweiterung auf
beliebige Sequenzen einer Abbildung θ0 : Var → Lit.
Geschwächte Substitution (W) + (S) = (WS):
∆
Γ, θ (∆)
Theorem
Sequenzenkalkül (A) + (D) + (K) + (WS) ist sound und vollständig
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
15. Andere Beweisregeln: (WS)
Schwächung (W):
∆
Γ, ∆
Substitution (S):
∆
θ (∆)
θ : Seq → Seq kanonische homomorphe Erweiterung auf
beliebige Sequenzen einer Abbildung θ0 : Var → Lit.
Geschwächte Substitution (W) + (S) = (WS):
∆
Γ, θ (∆)
Theorem
Sequenzenkalkül (A) + (D) + (K) + (WS) ist sound und vollständig
und für Beweissuche gut geeignet.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
Schnitt (CUT) :
C, Σ
PD L. Gordeew
¬C , Σ
Σ
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
Schnitt (CUT) :
C, Σ
1
¬C , Σ
Σ
Kann exponentiell verkürzen baumatrtige Herleitbarkeit. (:
aussagenlogisches speed-up Phänomen).
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
Schnitt (CUT) :
C, Σ
1
2
¬C , Σ
Σ
Kann exponentiell verkürzen baumatrtige Herleitbarkeit. (:
aussagenlogisches speed-up Phänomen).
Erlaubt keine vernünftige Beweissuche.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
Schnitt (CUT) :
C, Σ
1
2
¬C , Σ
Σ
Kann exponentiell verkürzen baumatrtige Herleitbarkeit. (:
aussagenlogisches speed-up Phänomen).
Erlaubt keine vernünftige Beweissuche.
Geschwächte Substitution (WS) :
∆
: θ ∈ Hom (Var → Lit)
Γ, θ (∆)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
Schnitt (CUT) :
C, Σ
1
2
¬C , Σ
Σ
Kann exponentiell verkürzen baumatrtige Herleitbarkeit. (:
aussagenlogisches speed-up Phänomen).
Erlaubt keine vernünftige Beweissuche.
Geschwächte Substitution (WS) :
∆
: θ ∈ Hom (Var → Lit)
Γ, θ (∆)
1
Kann exponentiell verkürzen DAG-artige Herleitbarkeit.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
16. Vergleich (CUT) vs. (WS)
Schnitt (CUT) :
C, Σ
1
2
¬C , Σ
Σ
Kann exponentiell verkürzen baumatrtige Herleitbarkeit. (:
aussagenlogisches speed-up Phänomen).
Erlaubt keine vernünftige Beweissuche.
Geschwächte Substitution (WS) :
∆
: θ ∈ Hom (Var → Lit)
Γ, θ (∆)
1
2
Kann exponentiell verkürzen DAG-artige Herleitbarkeit.
Erlaubt semianalytische Beweissuche mit eingebauter
Beweiskompression.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
17. Beispiele für (WS)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
17. Beispiele für (WS)
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
17. Beispiele für (WS)
Theorem
Es gibt Folgen von allgemeingültigen sequenzen Σ1 , · · · , Σn , · · ·
derart, dass:
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
17. Beispiele für (WS)
Theorem
Es gibt Folgen von allgemeingültigen sequenzen Σ1 , · · · , Σn , · · ·
derart, dass:
1
Für jedes n existiert semianalytische DAG-artige
Herleitung ∂n von Σn in (A) + (D) + (K) + (WS),
deren Größe, size (∂n ), polynomiell in n ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
17. Beispiele für (WS)
Theorem
Es gibt Folgen von allgemeingültigen sequenzen Σ1 , · · · , Σn , · · ·
derart, dass:
1
2
Für jedes n existiert semianalytische DAG-artige
Herleitung ∂n von Σn in (A) + (D) + (K) + (WS),
deren Größe, size (∂n ), polynomiell in n ist.
Für jede beliebige Herleitung ∂n0 von Σn in einem
herkömmlichen Beweissystem wie etwa (A) + (D) + (K),
‘resolution’ oder ‘cutting planes’ ist size (∂n0 )
exponentiell in n.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
18. Beispiele für (CUT)
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
18. Beispiele für (CUT)
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
18. Beispiele für (CUT)
Theorem
Es gibt Folgen von allgemeingültigen sequenzen Σ1 , · · · , Σn , · · ·
derart, dass:
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
18. Beispiele für (CUT)
Theorem
Es gibt Folgen von allgemeingültigen sequenzen Σ1 , · · · , Σn , · · ·
derart, dass:
1
Für jedes n existiert baumartige Herleitung ∂n von Σn
in (A) + (D) + (K) + (CUT), deren Größe, size (∂n ),
polynomiell in n ist.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
18. Beispiele für (CUT)
Theorem
Es gibt Folgen von allgemeingültigen sequenzen Σ1 , · · · , Σn , · · ·
derart, dass:
1
2
Für jedes n existiert baumartige Herleitung ∂n von Σn
in (A) + (D) + (K) + (CUT), deren Größe, size (∂n ),
polynomiell in n ist.
Für jede beliebige Herleitung ∂n0 von Σn in einem
herkömmlichen Beweissystem wie etwa (A) + (D) + (K),
‘resolution’ oder ‘cutting planes’ ist size (∂n0 )
exponentiell in n.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
19. Umkehrung von 17
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
19. Umkehrung von 17
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
19. Umkehrung von 17
Theorem
Es gibt einen rekursiven Operator E mit Eigenschaften wie folgt.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
19. Umkehrung von 17
Theorem
Es gibt einen rekursiven Operator E mit Eigenschaften wie folgt.
Ist ∂ eine DAG-artige Herleitung einer beliebigen Sequenz Σ in
(A) + (D) + (K) + (WS),
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
19. Umkehrung von 17
Theorem
Es gibt einen rekursiven Operator E mit Eigenschaften wie folgt.
Ist ∂ eine DAG-artige Herleitung einer beliebigen Sequenz Σ in
(A) + (D) + (K) + (WS), so ist E (∂) eine baumartige Herleitung
von Σ in (A) + (D) + (K) und size (E (∂)) ≤ 2size(∂) .
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit folgenden
Eigenschaften,
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit folgenden
Eigenschaften, Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit
folgenden Eigenschaften,
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit folgenden
Eigenschaften, Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit
folgenden Eigenschaften, wobei ctg (∂) =
1 + max (Anzahl von ∨ u/o ∧ in einer Schnittformel aus ∂).
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit folgenden
Eigenschaften, Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit
folgenden Eigenschaften, wobei ctg (∂) =
1 + max (Anzahl von ∨ u/o ∧ in einer Schnittformel aus ∂).
Ist ∂ eine DAG-artige Herleitung einer beliebigen Sequenz Σ
in (A) + (D) + (K) + (WS) + (CUT), so ist:
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit folgenden
Eigenschaften, Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit
folgenden Eigenschaften, wobei ctg (∂) =
1 + max (Anzahl von ∨ u/o ∧ in einer Schnittformel aus ∂).
Ist ∂ eine DAG-artige Herleitung einer beliebigen Sequenz Σ
in (A) + (D) + (K) + (WS) + (CUT), so ist:
1
E0 (∂) eine baumartige Herleitung von Σ in (A) + (D) + (K)
size(∂)·2ctg (∂)
mit size (E0 (∂)) ≤ size (Σ) · 22
PD L. Gordeew
.
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
20. Umkehrung von 17+18
Theorem
Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit folgenden
Eigenschaften, Es gibt zwei rekursiven Operatoren E0 , E1 mit
folgenden Eigenschaften, wobei ctg (∂) =
1 + max (Anzahl von ∨ u/o ∧ in einer Schnittformel aus ∂).
Ist ∂ eine DAG-artige Herleitung einer beliebigen Sequenz Σ
in (A) + (D) + (K) + (WS) + (CUT), so ist:
1
E0 (∂) eine baumartige Herleitung von Σ in (A) + (D) + (K)
size(∂)·2ctg (∂)
mit size (E0 (∂)) ≤ size (Σ) · 22
2
.
E1 (∂) eine DAG-artige Herleitung von Σ in (A) + (D) + (K)
ctg (∂)÷1
mit size (E1 (∂)) ≤ (size (Σ))2 · 2size(∂)·2
.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
21. Zusammenfassung
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
21. Zusammenfassung
DAG-artige Beweistheorie ist eine sinnvolle Ergänzung der
herkömmlichen baumartigen Beweistheorie.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
21. Zusammenfassung
DAG-artige Beweistheorie ist eine sinnvolle Ergänzung der
herkömmlichen baumartigen Beweistheorie.
Dabei ist die Substitution in ihrer speed-up Anwendung dem
Schnitt ähnlich,
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
21. Zusammenfassung
DAG-artige Beweistheorie ist eine sinnvolle Ergänzung der
herkömmlichen baumartigen Beweistheorie.
Dabei ist die Substitution in ihrer speed-up Anwendung dem
Schnitt ähnlich, ohne dabei negative Nebenwirkungen wie
etwa schlechte Beweissuche zu haben.
PD L. Gordeew
DAG-artige Beweistheorie Vorlesung 1, Grundbegriffe
21. Zusammenfassung
DAG-artige Beweistheorie ist eine sinnvolle Ergänzung der
herkömmlichen baumartigen Beweistheorie.
Dabei ist die Substitution in ihrer speed-up Anwendung dem
Schnitt ähnlich, ohne dabei negative Nebenwirkungen wie
etwa schlechte Beweissuche zu haben.
Die Ausarbeitung folgt in der Fortsetzung dieser Vorlesung.
PD L. Gordeew
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