Hochfrequenztechnik II

Hochfrequenztechnik II
Vorlesungsskript
2012
Fachgebiet Hochfrequenztechnik
Prof. Dr.-Ing. Klaus Petermann
überarbeitet unter Mitarbeit von
Dr.-Ing. Christian-Alexander Bunge
Die Vorlesung Hochfrequenztechnik II beinhaltet die folgenden
Abschnitte:
ML:
Mehrleitersysteme
FI:
Hochfrequenzfilter
RÜ:
Rückkopplung von Verstärkern
MI:
Mischer
MOD: Modulationsverfahren
PLL: Phasenregelkreise
Literaturhinweise
Der gesamte Bereich der Hochfrequenztechnik wird recht umfassend dargestellt in:
Zinke, O., Brunswig, H., (Hrsg. Von A. Vlcek u. H.L. Hartnagel):
Lehrbuch der Hochfrequenztechnik, Band 1 und Band 2,
Springer-Verlag Berlin, 6. Auflage bzw. 5. Auflage, 2000 bzw. 1999
Umfassendes Handbuch über die gesamte Hochfrequenztechnik:
Meinke, Gundlach:
Taschenbuch der Hochfrequenztechnik,
Springer-Verlag, Berlin, 5. Auflage 1992
Für das Selbststudium eignet sich:
Voges, E.:
Hochfrequenztechnik
Hüthig Verlag, Heidelberg, 3. Auflage 2003
Sonstige Literatur:
Detlefsen, I., Siart, K.:
Grundlagen der Hochfrequenztechnik,
Oldenbourg Verlag, 2. Auflage 2006
Hoffmann, M.:
Hochfrequenztechnik, ein systemtheoretischer Zugang,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1997
Nibler, F.:
Hochfrequenzschaltungstechnik,
Expert Verlag, 3. Auflage 1998
Unger, H.G.:
Hochfrequenztechnik in Funk und Radar,
Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart, 4. Auflage 1994
Zimmer, G.:
Hochfrequenztechnik, Lineare Modelle (mit Windows Software),
Springer Verlag, Berlin Heidelberg, 2000
Best, R.E.
Phased-Locked Loops: Design, Simulation, and Applications
McGraw-Hill, New York, 6. Auflage 2007
Williams, A.B., Taylor, F.J.:
Electronic Filter Design Handbook
McGraw-Hill, New York, 4. Auflage 2006
Wolaver, D.H.
Phase-Locked Loop Circuit Design
Prentice Hall PTR, 1991
Ein Filter-Design Programm ist frei verfügbar über: http://www.aade.com/filter.htm
Hochfrequenztechnik II
Mehrleitersysteme
ML/1
Die bisher behandelten Leitungen bestanden aus 2 Leitern (Zweidrahtleitungen), wobei viele Leitungssysteme auch aus mehr als 2 Leitern bestehen können. Es kommt dann erwünscht (Beispiel: Richtkoppler) oder auch unerwünscht (Nebensprechen) zu einer Verkopplung zwischen den Leitungen. Um eine
systematische Behandlung zu ermöglichen, sollen hier Mehrleitersysteme genauer analysiert werden.
1 Leitungsgleichungen für Mehrleitersysteme
Zur Veranschaulichung werde ein 3-Leiter-System gemäß Abb. 1 betrachtet.
Abb. 1: 3-Leiter-System.
Die einzelnen Leiter in Abb. 1 sind mit 0,1,2 bezeichnet, wobei der Leiter 0 als Masseleiter interpretiert
werden kann. Es handelt sich somit in Abb. 1 um 2 miteinander verkoppelte Leitungen, wobei die eine
Leitung (im folgenden Leitung 1) durch die Leiter 0,1 und die andere Leitung (im folgenden Leitung 2)
durch die Leiter 0,2 gegeben ist, charakterisiert durch die jeweiligen Eigeninduktivitätsbeläge L011 bzw.
0 bzw. c 0 . Das Leitungssystem in Abb. 1 enthält keine
L022 und die jeweiligen Kapazitätsbeläge c10
20
Verluste, die sich aber durch Berücksichtigung entsprechender Widerstands- und Leitwertsbeläge leicht
einfügen ließen (siehe z.B. H. G. Unger, „Elektromagnetische Wellen auf Leitungen“).
Die Verkopplung zwischen den Leitungen 1 und 2 in Abb. 1 erfolgt einerseits über den Gegeninduktivitätsbelag L012 (ein Teil des magnetischen Flusses von Leitung 1 durchsetzt auch Leitung 2 und
0 (Kapazität zwischen den Leitern 1,2).
umgekehrt) und andererseits den Koppelkapazitätsbelag c12
Für die Spannungs- und Stromzeiger U 1 (z), U 2 (z) bzw. I 1 (z), I 2 (z) der Leitungen 1 und 2 ergeben
sich dann ähnlich wie im Abschnitt LEI die Leitungsgleichungen:
dU 1
dz
dU 2
dz
= −I 1 (z)jωL011 − I 2 (z)jωL012
(1)
= −I 1 (z)jωL012 − I 2 (z)jωL022
(2)
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Mehrleitersysteme
ML/2
sowie
dI 1
dz
dI 2
dz
0
0
− U 1 (z) − U 2 (z) jωc12
= −U 1 (z)jωc10
(3)
0
0
− U 2 (z) − U 1 (z) jωc12
= −U 2 (z)jωc20
(4)
Wenn man die Spannungen und Ströme in Gl. (1)-(4) zu Spaltenvektoren gemäß




U
I
(U) =  1  , (I) =  1 
U2
I2
(5)
zusammenfasst, lassen sich Gl. (1)-(4) auch in Matrizenform schreiben gemäß
d(U)
dz
d(I)
dz
= −jω(L0 )(I)
(6)
= −jω(C 0 )(U)
(7)
mit der symmetrischen Matrix (L0 ) der Induktivitätsbelagskoeffizienten


L0
L012 
(L0 ) =  011
L21 L022
(8)
mit L012 = L021 und der ebenfalls symmetrischen Matrix der Kapazitätsbelagskoeffizienten


0
C0
C12

(C 0 ) =  11
0
0
C21
C22
(9)
mit
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C11
= c10
+ c12
; C22
= c20
+ c12
; C12
= C21
= −c12
(10)
2 Verallgemeinerung auf n verkoppelte Leitungen
Wenn man das 3-Leiter-System von Abb. 1 auf ein (n+1)-Leiter-System erweitert, erhält man n
miteinander gekoppelte Leitungen (jeweils gebildet von Leiter i = 1 . . . n mit dem Masseleiter 0), die
auch wieder mit einem Spannungsvektor




U
 1 
 .. 
(U) =  . 
und einem Stromvektor
Un




I
 1 
 .. 
(I) =  . 
In
(11)
(12)
beschrieben werden können. Der Zusammenhang zwischen (U) und (I) ist durch die Leitungsgleichungen (6),(7) gegeben, wobei (L0 ), (C 0 ) symmetrische quadratische Matrizen der Ordnung n darstellen.
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Mehrleitersysteme
ML/3
L0ii stellt dann den Eigeninduktivitätsbelag der Leitung i dar, während L0ij mit i 6= j den Gegeninduktivitätsbelag zwischen den Leitungen i und j bezeichnet. Für die Matrix der Kapazitätsbelagskoeffizienten
gilt in Verallgemeinerung von Gl. (10):
Cii0 =
n
X
cij0 ; Cij0 = −cij0 , i 6= j
(13)
j=0,j6=i
wobei cij0 den Kapazitätsbelag zwischen den Leitern i und j angibt.
Wenn man Gl. (6) nach z ableitet und dann in Gl. (7) einsetzt, erhält man die eigentliche Wellengleichung
d2 (U)
= (A)(U)
(14)
dz 2
ähnlich zur Wellengleichung der Zweidrahtleitung. Die (im allgemeinen nicht symmetrische) Matrix
(A) ergibt sich als
(A) = −ω 2 (L0 )(C 0 )
(15)
Gleichung (14) entspricht der Darstellung von n miteinander gekoppelten linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Die Lösung von Gl. (14) ergibt sich am einfachsten nach Bestimmung der Eigenwerte und zugehörigen
Eigenvektoren. Diese Eigenwerte lassen sich auch als die neuen Eigenwellen des gesamten verkoppelten Mehrleitersystems interpretieren, wobei ein System mit n verkoppelten Leitungen zu genau n
Eigenwellen führt.
Wenn die Eigenwelle j(j = 1 . . . n) des Gesamtsystems durch die skalare Wellenamplitude w j beschrieben wird, so soll γ j deren Ausbreitungskonstante darstellen, so dass
w j (z) = w jh (0) exp(−γ j z) + w jr (0) exp(+γ j z)
(16)
in eine hin- und rücklaufende Welle zerlegt werden kann. Es gilt damit auch
d2 w j
= γ 2j w j .
dz 2
(17)
Sind die Wellenamplituden w j bekannt, ergeben sich die Spannungen als lineare Überlagerung dieser
Wellenamplituden w j gemäß
Ui =
n
X
V ij w j ,
(18)
j=1
wobei die Wichtungskoeffizienten V ij noch zu bestimmen sind. In vektorieller Form ergibt Gl. (18):
(U) = (V )(w ),
(19)
wobei die quadratische Matrix (V ) aus den Elementen V ij besteht und (w ) einen Spaltenvektor mit
den Wellenamplituden w 1 . . . w n darstellt.
Zur Bestimmung der Matrix (V ) und der Eigenwerte γ j sei angenommen, es breite sich nur die j-te
Eigenwelle des Gesamtsystems mit der Wellenamplitude w j aus. Der Spannungsvektor (U) ist dann
gegeben als
(U) = w j (V j ),
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(20)
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Mehrleitersysteme
ML/4
wobei der Spaltenvektor (V j ) die j-te Spalte der Matrix (V ) mit den Komponenten V 1j bis V nj darstellt.
Wird Gl. (20) unter Berücksichtigung von Gl. (17) in Gl. (14) eingesetzt, ergibt sich
d 2w j
d2 (U)
=
(V
)
= w j γ 2j (V j ) = (A)(U) = w j (A)(V j ).
j
dz 2
dz 2
(21)
Gl. (21) stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem für (V j ) dar, das auch geschrieben werden
kann als
((A) − γ 2j (E))(V j ) = 0
(22)
mit der Einheitsmatrix (E), das nichttriviale Lösungen nur ergibt, wenn die Koeffizientendeterminante
verschwindet:
Det (A) − γ 2j (E) = 0,
(23)
woraus die Eigenwerte γ j und schließlich die Eigenvektoren (V j ) bzw. die Matrix (V ) bestimmt werden
können.
Da dann gemäß Gl. (16) w j (z) bekannt ist, ergibt sich gemäß Gl. (18) U i (z) und schließlich mit
Gl. (6) auch der Stromverlauf. Damit sind die Grundgleichungen für den allgemeinen Fall verkoppelter
Mehrleitersysteme bekannt.
3 Symmetrisches 3-Leiter-System
Abb. 2: a) Schematische Darstellung eines symmetrischen 3-Leiter-Systems, b) Realisierung in Form
einer Mikrostreifenleitung.
Bei einem symmetrischen 3-Leiter-System gemäß Abb. 2 gelten für die Bezeichnungen in Abb. 1:
0
0
c10
= c20
= c 0 ; L011 = L022 = L0
(24)
In diesem Fall vereinfacht sich die Analyse erheblich. Für die beiden Systemwellen ergeben sich dann
die Gleichtaktwelle (auch gerade oder symmetrische Welle) sowie die Gegentaktwelle (auch ungerade
oder anti-symmetrische Welle). Die Gleichtaktwelle werde durch die Spannung U S und den Strom I S
charakterisiert, wobei bei alleiniger Ausbreitung der Gleichtaktwelle I 1 = I 2 = I S und U 1 = U 2 = U S
gilt. Bei alleiniger Ausbreitung der Gegentaktwelle (charakterisiert durch U G und den Strom I G ) gilt
hingegen I 1 = −I 2 = I G sowie U 1 = −U 2 = U G .
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Mehrleitersysteme
ML/5
Bei der Überlagerung von Gleich- und Gegentaktwelle gilt somit:
U1 = US + UG, U2 = US − UG
I1 =
IS + IG , I2
= IS − IG
(25)
(26)
beziehungsweise
US =
1
2 (U 1
+ U 2 ), I S
UG =
1
2 (U 1
− U 2 ), I G
1
(I + I 2 )
2 1
1
= (I 1 − I 2 )
2
=
(27)
(28)
Beispielhafte Feldbilder für die Gleichtakt- bzw. Gegentaktstelle sind in Abb. 3 dargestellt.
Abb. 3: Feldbilder der Gleichtaktwelle (a) und der Gegentaktwelle (b) eines symmetrischen 3-LeiterSystems, — elektrisches Feld , - - - magnetisches Feld.
0 = C 0 = c 0 + c 0 = C 0 Gebrauch macht, erhält man
Wenn man von Gl. (24) und damit auch von C11
22
12
durch Addition von jeweils Gl. (1), (2) und Gl. (3),(4):
dU S
dz
dI S
dz
= −I S (z)jω(L0 + L012 )
(29)
0
= −U S (z)jω(C 0 − c12
)
(30)
Nach Subtraktion von jeweils Gl. (1), (2) und Gl. (3),(4) ergibt sich:
dU G
dz
dI G
dz
= −I G (z)jω(L0 − L012 )
(31)
0
= −U G (z)jω(C 0 + c12
)
(32)
Damit sind Gleichtakt- und Gegentaktwelle voneinander entkoppelt und können sich in dem 3-LeiterSystem unabhängig voneinander ausbreiten. Sie werden wie bei der 2-Draht-Leitung durch ihren jeweiligen Wellenwiderstand und ihre Ausbreitungskonstante beschrieben. Für die Gleichtaktwelle erhält
man aus Gl. (29), (30) für den Wellenwiderstand
s
ZS =
L0 + L012
0
C 0 − c12
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(33)
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Mehrleitersysteme
ML/6
und die Ausbreitungskonstante γ S = jβS
q
0 )
βS = ω (L0 + L012 )(C 0 − c12
(34)
Für die Gegentaktwelle ergibt sich aus Gl. (31),(32) der Wellenwiderstand
s
ZG =
L0 − L012
0
C 0 + c12
(35)
und die Ausbreitungskonstante γ G = jβG
q
0 )
βG = ω (L0 − L012 )(C 0 + c12
(36)
Beispiel: Auf der Leitung breiten sich nur hinlaufende Wellen aus. Am Anfang der Leitung sei
U 1 (z = 0) = U 10 , U 2 (z = 0) = 0
(37)
Damit gilt:
U S (z = 0) = U G (z = 0) =
U 10
2
(38)
und es ergibt sich mit
U S (z) = U S (z = 0) exp(−jβS z)
(39)
U G (z) = U G (z = 0) exp(−jβG z)
(40)
und den Abkürzungen ∆β = βS − βG , β̄ = 12 (βS + βG )
!
∆β
z exp(−j β̄z)
U 1 (z) = U S (z) + U G (z) = U 10 cos
2
(41)
!
∆β
U 2 (z) = U S (z) − U G (z) = −jU 10 sin
z exp(−j β̄z)
2
(42)
Für ∆β 6= 0 pendelt damit die Spannung zwischen den Leitungen 1 und 2 hin und her und man spricht
von einer Vorwärtskopplung.
Wegen der unterschiedlichen Wellenwiderstände ZS und ZG kommt es zu Reflexionen am Anfang
und Ende des 3-Leiter-Systems, so dass auch eine Rückwärtskopplung auftritt. Tatsächlich gilt bei
homogenem Dielektrikum (TEM-Wellen) ∆β = 0, so dass dort keine Vorwärtskopplung und nur eine
Rückwärtskopplung auftritt. Bei Mikro-Streifenleitungen (Abb. 2b) hingegen wird durchaus ∆β 6= 0,
∆β ist aber immer noch klein, so dass bei normalen Richtkopplerlängen die Vorwärtskopplung klein ist
und die Rückwärtskopplung auch dort dominiert.
4 Mehrleitersystem mit homogenem Dielektrikum
Falls die einzelnen Leiter in einem homogenen Medium eingebettet sind, sind alle Wellen des Gesamtsystems TEM-Wellen (wie bei der Zweidrahtleitung) und breiten sich mit einer gemeinsamen
Ausbreitungskonstante γ = jβ mit
√
β = ω µ
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(43)
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Mehrleitersysteme
ML/7
aus. Die Wellengleichung (14) vereinfacht sich dann erheblich zu
d 2 (U)
= γ 2 (U) = −β 2 (U),
dz 2
(44)
so dass dann die Ausbreitungsmatrix (A) einfach gegeben ist als
(A) = −ω 2 (L0 )(C 0 ) = −β 2 (E)
(45)
mit der Einheitsmatrix (E).
Die Lösung von Gl. (44) ist in einfacher Weise mit hin- und rücklaufenden Wellen möglich als
U(z) = U h (z = 0) exp(−jβz) + U r (z = 0) exp(+jβz),
(46)
wobei (U h ) bzw. (U r ) die Spannungsvektoren der hin- bzw. rücklaufenden Wellen bezeichnen. Auch
der Stromvektor (I(z)) lässt sich dann in einfacher Weise in hin- und rücklaufende Wellen zerlegen,
wobei aus Gl. (46) mit Gl. (7) folgt:
I(z) =
i
ω 0 h
(C ) U h (z = 0) exp(−jβz) − U r (z = 0) exp(+jβz)
β
(47)
Ähnlich wie am Anfang vom Abschnitt SMI lassen sich dann auch die Spannungen und Ströme am Ende
des Mehrleitersystems (Spannungsvektor (U e ), Stromvektor (I e )) mit den Spannungen und Strömen
am Anfang (Spannungsvektor (U a ), Stromvektor (I a )) verknüpfen. Wenn man in Gl.(SMI 7,8) nur
γ = jβ setzt, die Phasengeschwindigkeit v = ω/β entführt, Z L durch v (L0 ) und 1/Z L durch v (C 0 )
ersetzt, ergibt sich für das Mehrleitersystem:
(U a ) = cos(βL)(U e ) + jv sin(βL)(L0 )(I e )
(48)
(I a ) = jv sin(βL)(C 0 )(U e ) + cos(βL)(I e )
(49)
Mit Gl. (48), (49) ist auch eine allgemeine Impedanztransformation für Mehrleitersysteme mit homogenem Dielektrikum möglich. Wenn der Abschluss des Mehrleitersystems durch eine Impedanzmatrix
(Z e ) mit (U e ) = (Z e )(I e ) gegeben ist, so lässt sich mit Gl. (48), (49) die Eingangsimpedanzmatrix
(Z a ) mit (U a ) = (Z a )(I a ) bestimmen. Damit stellen Gl. (48), (49) eine vollständige Basis zur Beschreibung von beliebigen Mehrleitersystemen mit homogenem Dielektrikum dar. Die Verknüpfung in
Gl. (48), (49) zwischen (U e ), (I e ) und (U a ), (I a ) entspricht dabei einer Kettenmatrix. Entsprechend
den Verfahren der linearen Netzwerktheorie ist diese Kettenmatrix in jede andere Matrixdarstellung
(z.B. Leitwert, Widerstands- oder auch Streumatrix) überführbar. Zur numerischen Berechnung ist
dies auf einem Rechner leicht implementierbar.
5 Symmetrisches 3-Leiter System mit homogenem Dielektrikum
(Richtkoppler)
Für ein symmetrisches 3-Leiter System mit homogenem Dielektrikum lässt sich die Analyse weiter
vereinfachen. Dazu soll die Struktur mit den verkoppelten Leitungen 1,2 gemäß Abb. 4 betrachtet und
schließlich für die Anwendung als Richtkoppler (siehe auch Abschnitt HS) analysiert werden.
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Mehrleitersysteme
ML/8
Abb. 4: Zwei verkoppelte Leitungen als Richtkoppler.
Aufgrund des angenommenen homogenen Dielektrikums sind die Phasenkonstanten βS und βG der
Gleichtakt- und Gegentaktwelle gleich, so dass mit Gl. (45) gilt:
√
βS = βG = β = ω µ
(50)
Aus Gl. (34), (36) folgt dann
0
c12
L012
=
,
(51)
L0
C0
wobei mit κL ein Koppelkoeffizient eingeführt wird. Gemäß Gl. (51) sind dabei für homogenes Dielek-
κL =
trikum (TEM-Koppler) die induktive und die kapazitive Kopplung gleich.
Für die Wellenwiderstände der Gleich- und Gegentaktwelle lässt sich dann auch schreiben
s
ZS = ZL
1 + κL
; ZG = ZL
1 − κL
mit
s
1 − κL
1 + κL
(52)
s
p
L0
= ZS ZG
(53)
0
C
Die Spannungen an den Toren 1-4 des Kopplers in Abb. 4 werden mit einem hochgestellten Index
ZL =
bezeichnet, um sie von den Spannungen U 1 (z), U 2 (z) entlang den Leitungen 1,2 unterscheiden zu
können.
Am Ende des 3-Leiter-Systems (z = L) werden die Leitungen in Abb. 4 jeweils mit dem Widerstand
ZL abgeschlossen, d.h. es soll gelten
U (3)
I (3)
=
U 1 (z = L)
U (z = L)
U (2)
= ZL = 2
= (2)
I 1 (z = L)
I 2 (z = L)
I
(54)
Aufgrund des symmetrischen Abschlusses werden die Gleich- und Gegentaktwellen jeweils nur im gleichen Wellentyp reflektiert und es ergeben sich die Abschlusswiderstände
U S (z = L)
I S (z = L)
U G (z = L)
I G (z = L)
=
=
U 1 (z
I 1 (z
U 1 (z
I 1 (z
= L) + U 2 (z = L)
= ZL
= L) + I 2 (z = L)
= L) − U 2 (z = L)
= ZL
= L) − I 2 (z = L)
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(55)
(56)
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Mehrleitersysteme
ML/9
Da sich die Gleich- und Gegentaktwellen unabhängig voneinander ausbreiten, lassen sich die Impedanzen ZL vom Ende zum Anfang transformieren wie bei der verlustfreien Zweidrahtleitung (vergl. Gl.
SMI 10), so dass sich unter Berücksichtigung der jeweiligen Wellenwiderstände ZS , ZG für Gleichtaktund Gegentaktwelle am Eingang als transformierte Impedanzen ergeben:
U G (z = 0)
U S (z = 0)
= ZL z S ;
= ZL z G
I S (z = 0)
I G (z = 0)
(57)
mit den normierten Impedanzen z S , z G ,
s
zS =
q
1+κL
1 + κL
1−κL tan(βL)
· q
1+κL
1 − κL
+ j tan(βL)
1+j
(58)
1−κL
zG
=
1
zS
(59)
Insbesondere Gl. (59) wird natürlich nur dann so einfach, wenn die Abschlusswiderstände ZL Gl. (53)
entsprechen.
Ziel ist nun die Bestimmung des Eingangswiderstandes U 1 (z = 0)/I 1 (z = 0) und damit das Eigenreflexionsfaktors des Richtkopplers. Außerderm ist auch die Überkopplung U (4) /U (1) = U 2 (z = 0)/U 1 (z =
0) von Interesse.
Zunächst gilt am Tor 4 (bei Abschluss mit ZL ):
−ZL =
U (z = 0) − U G (z = 0)
U 2 (z = 0)
U (z = 0) − U G (z = 0)
= S
= ZL 1 S
I 2 (z = 0)
I S (z = 0) − I G (z = 0)
z U S (z = 0) − z S U G (z = 0)
(60)
S
woraus folgt:
U S (z = 0)
= zS
U G (z = 0)
(61)
Für den Eingangswiderstand gilt dann:
U 1 (z = 0)
I 1 (z = 0)
=
U (z = 0) + U G (z = 0)
U S (z = 0) + U G (z = 0)
= ZL 1 S
I S (z = 0) + I G (z = 0)
z U S (z = 0) + z S U G (z = 0)
S
U (z = 0)(z S + 1)
= ZL G
= ZL
U G (z = 0)(1 + z S )
(62)
Damit ist der Eingang reflexionsfrei angepasst und es gilt für den Streuparameter S 11 = 0 und wegen
der Symmetrie des Kopplers in Abb. 4 auch S 22 = S 33 = S 44 = 0, wenn nur die Anschlussleitungen
den Wellenwiderstand ZL aufweisen.
Für die Überkopplung U 2 (z = 0)/U 1 (z = 0) ergibt sich
U (z = 0) − U G (z = 0)
z −1
U 2 (z = 0)
= S
= S
= S 41
U 1 (z = 0)
U S (z = 0) + U G (z = 0)
zS + 1
(63)
Wegen der Eigenreflexionsfreiheit entspricht das Verhältnis U 2 (z = 0)/U 1 (z = 0) = U (4) /U (1) dem
Streuparameter S 41 , wobei wegen der Reziprozität und der Bausymmetrie auch S 41 = S 14 = S 32 =
S 23 gilt.
Damit ist das Nahnebensprechen bestimmt. Bei TEM-Leitungen soll das Fernnebensprechen (Vorwärtskopplung, Kopplung zwischen den Toren 1,2 bzw. 3,4) verschwinden, was durch Transformation
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ML/10
vom Eingang (z = 0) zum Ausgang (z = L) in Analogie zu Gl. (8) im Abschnitt SMI (γ = jβ, L
durch −L und Z L durch den jeweiligen Wellenwiderstand der Gleich- bzw. Gegentaktwelle ersetzen)
gezeigt werden kann:
U S (z = L) = cos(βL)U S (z = 0) − jZS sin(βL)I S (z = 0)
(64)
U G (z = L) = cos(βL)U G (z = 0) − jZG sin(βL)I G (z = 0)
(65)
Nach Einsetzen von Gl. (52), (57)-(59), (62) ergibt sich tatsächlich
U (2)
U
U 2 (z = L)
U (z = L) − U G (z = L)
= S
=0
U 1 (z = 0)
U S (z = 0) + U G (z = 0)
=
(1)
(66)
und damit S 21 = 0 und wegen der Reziprozität und Symmetrie auch S 12 = S 34 = S 43 = 0 (Bei MikroStreifenleitungen mit ∆β 6= 0 ergibt sich auch S 21 6= 0, was damit die Richtwirkung verschlechtert).
Für die Übertragung von Tor 1 nach Tor 3 erhält man aus Gl. (64), (65) mit
U (3) = U 1 (z = L) = U S (z = L) + U G (z = L)
(67)
U (1) = U 1 (z = 0) = U S (z = 0) + U G (z = 0) = U S (z = 0)(1 + 1/z S )
(68)
und
schließlich
U (3)
U
(1)
1
=
q
cos(βL) + j sin(βL)/ 1 − κ2L
= S 31
(69)
mit
S 31 = S 13 = S 24 = S 42
(70)
S 41 = S 14 = S 23 = S 32
(71)
Der Streuparameter S 41 mit
lässt sich mit Gl. (63), (58) auch schreiben als
jκL sin(βL)
S 41 = q
1 − κ2L cos(βL) + j sin(βL)
(72)
in Übereinstimmung mit Gl. (HS 15). Alle anderen Streuparameter als die in Gl. (70), (71) genannten
verschwinden, so dass sich ein idealer Richtkoppler ergibt. Die sich mit Gl. (69), (72) ergebende
Streumatrix ist auch unitär, wie gemäß Abschnitt HS leicht nachgewiesen werden kann.
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Hochfrequenztechnik II
Mehrleitersysteme
ML/11
6 Erhöhung der Bandbreite von Leitungsrichtkopplern
Die maximale Überkopplung S 41 in einen Richtkoppler gemäß Abb. 4 erfolgt gemäß Gl. (72) für βL =
π/2 bzw. L = λ/4. Damit ist die Kopplung in hohem Gerade frequenzabhängig. Die Bandbreite kann
erhöht werden für einen ortsabhängigen Koppelkoeffizienten κL (z). Ein einfaches Beispiel ist in Abb. 5
dargestellt (siehe Meinke/Gundlach, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik). Der dort dargestellte
Richtkoppler entspricht der Hintereinander-Schaltung eines 3 dB- und eines 10 dB-Richtkopplers mit
den jeweiligen Längen l2 = l1 = λ/4 bei der Bezugsfrequenz f = f0 . Durch die Überlagerung entsteht
insgesamt ein breitbandiger 5 dB-Richtkoppler.
Abb. 5: Richtkoppler mit 2 Koppelabschnitten. 1) 3 dB-Koppler (Länge l2 ) allein; 2) 10 dB-Koppler
(Länge l1 ) allein; 3) Hintereinander-Schaltung beider Koppler.
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/1
1 Einleitung
Bei Filtern handelt es sich um lineare (und zeitinvariante) Netzwerke, mit denen bestimmte Frequenzbereiche eines Eingangssignals herausgeltert werden. Man unterscheidet so beispielsweise zwischen
Tiefpässen (Transmission nur bei tiefen Frequenzen), Hochpässen (Transmission nur bei hohen Frequenzen), Bandpässen (Transmission nur in einem vorgegebenen Frequenzbereich) und Bandsperren
(Transmission nur ausserhalb eines vorgegebenen Frequenzbereichs).
Das Filternetzwerk sei verlustfrei und reziprok. Die Quelle habe einen reellen Innenwiderstand
wir betrachten eine ebenfalls reelle Last
R2 gemäÿ Abb. 1.
R1 und
Abb. 1: Anordnung eines verlustlosen Filters.
Die Betriebsdämpfungsfunktion
Frequenzen
jH(j!)j2
!) ergibt sich als
H (s )
in Abhängigkeit der komplexen Frequenz
U2
U1
s (s
= j!
für reelle
= H1(s ) 4RR2 :
1
s
(1)
charakterisiert dabei die Leistungsübertragung
jH(j!)j2 =
verfügbare Leistung der Quelle
abgegebene Leistung an der Last
2 R1 )
= jjUU 1jj2==(8
(2R ) > 1:
2
2
(2)
Die Dämpfung des Filters wird normalerweise in dB angegeben mit dem Betriebsdämpfungsmaÿ
ab (!) = 20 lgjH(j!)jdB:
(3)
Das Filternetzwerk in Abb. 1 lässt sich auch mit Streuparametern beschreiben, was besonders einfach
wird, wenn man den Eingang (Tor 1) auf eine Leitung mit dem Wellenwiderstand
R1 und den Ausgang
R2 bezieht. Der Ausgang ist dann angepasst, so
dass sich dort nur eine hinauslaufende Wellenamplitude b 2 ergibt, während am Eingang das Signal
durchaus reektiert werden kann, so dass sowohl I 1 als auch U 10 hin- und rücklaufende Strom- bzw.
(Tor 2) auf eine Leitung mit dem Wellenwiderstand
Spannungskomponenten beinhalten:
U 10
I1
Somit gilt:
= U h1 + U r 1
= I h1 + I r 1 = R1 (U h1 U r 1)
1
U 1 = R1 I 1 + U 10 = 2U h1
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(4)
(5)
(6)
Hochfrequenztechnik II
Der Streuparameter
Hochfrequenzlter
S 21 ergibt sich somit
p
b
U= R
U
S 21 = a2 = 2 p 2 = U 2
1 U h 1 = R1
1
und wegen der Reziprozität auch S 12 = S 21 = 1=H (j! ).
s
FI/2
4R1 = 1
R2 H(j!)
(7)
Unter Ausnutzung der Verlustfreiheit des Netzwerkes (Unitarität der Streumatrix) gilt für den Eigenreexionskoezienten
= jS 11 j = jS 22 j =
Es ist häug auch die Gruppenlaufzeit
g
q
q
1 jS21j2 = jH(1j!)j jH(j!)j2 1
durch ein Filter von Interesse. Sie ist mit
H(j!) = jH(j!)j exp j'(!)
d'(!)
g = d!
durch
(8)
(9)
(10)
gegeben.
2 Realisierung von LC-Tiefpässen
Die Übertragungsfunktion
1=H(s )
lässt sich als Quotient eines Zähler- und eines Nennerpolynoms
schreiben, die durch ihre jeweiligen Nullstellen in der komplexen
s -Ebene charakterisiert werden (siehe
auch Vorlesung Signale und Systeme).
Für einige Tiefpasslter (z.B. Potenz- bzw. Butterworth, Tschebysche- oder Bessel-Thomson-Tiefpässe) wird die Übertragungsfunktion nur durch ein Nennerpolynom beschrieben, so dass sich dann
die Betriebsdämpfungsfunktion
H(s ) schreiben lässt als
H (s ) = C
N
Y
n=1
(s sxn );
(11)
N die Ordnung des Polynoms und damit des Filters angibt. C ist eine Konstante. Die Nullstellen
sxn von H(s ) (die Polstellen der Übertragungsfunktion 1=H(s )) liegen dabei in der linken s -Halbebene
(d.h. Re(sxn ) < 0) und sind entweder rein reell oder paarweise konjugiert komplex (siehe Vorlesung
Signale, Netzwerke und Systeme). Mögliche Realisierungen eines LC-Tiefpasslters mit H (s ) gemäÿ
Gl.(11) zeigt Abb. 2, wobei N die Anzahl der benötigten Reaktanzen angibt. Die Tore 1 und 2 wären
wobei
wie in Abb. 1 mit der Signalquelle bzw. der Last zu verbinden.
Oensichtlich wirken die Schaltungen in Abb. 2 als Tiefpässe, denn mit zunehmender Frequenz nimmt
sowohl der Blindwiderstand der Serieninduktivitäten als auch der Blindleitwert der Querkapazitäten
zu. Die genaue Wahl der Kapazitäten bzw. Induktivitäten hängt von den gewünschten Polstellen
in Gl.(11) ab.
In Abb. 3 sind die Dämpfungsverläufe verschiedener Tiefpässe der Ordnung
sxn
N = 5 dargestellt, wobei
der Potenztiefpass (auch bezeichnet als Butterworth-Tiefpass) und der Tschebysche-Tiefpass durch
Gl.(11) dargestellt und gemäÿ Abb. 2 realisiert werden. Für diese Tiefpässe gilt bei hohen Frequenzen
(js j jsxn j)
nach Gl.(11):
jH(j!)j !N ;
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(12)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/3
Abb. 2: Mögliche Tiefpässe verschiedener Ordnung
Abb. 3:
N.
Betriebsdämpfung verschiedener Filter der Ordnung
was einem Dämpfungsanstieg bei hohen Frequenzen von
N = 5.
N 6dB=Oktave entspricht.
Für die Tiefpass-Realisierung sind verschiedene Optimierungsstrategien möglich. Beim Potenz- bzw.
Butterworth-Tiefpass wird die Forderung nach maximal achem Dämpfungsverlauf gestellt, der durch
jH(j!)j2 = 1 +
gegeben ist (
!G
!
! 2N
!G
(13)
- 3 dB Grenzfrequenz) und sich dadurch auszeichnet, dass
dn 2
d!n jH(j!)j !=0 = 0
n < 2N
(14)
! = 0 verschwinden. Der Dämpfungsverlauf
des Potenzlters in Abb. 3 entspricht genau Gl.(13) mit N = 5.
und damit alle Ableitungen bis zur Ordnung
(2N 1)
für
bei
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/4
Die zur Realisierung des Potenzlters gemäÿ Gl.(13) sich ergebenden Pole
in Gl.(11)) liegen in der komplexen
sxn
(Nullstellen von
s -Ebene auf einem Halbkreis mit dem Radius !G
H(s )
gemäÿ (siehe
Signale und Systeme)
sxn = !G exp
N + 2n
j 2N
Die in Abb. 3 eingeführte Durchlaÿgrenzfrequenz
1 ; n = 1; 2; : : : ; N:
!
!D
(15)
bezeichnet die Frequenz, unterhalb derer die
= 0; 2)
2
2
nicht überschreitet. Eine Realisierung als Tschebysche-Tiefpass (dort ist jH (j! )j = 1+ TN (!=!D ),
- Konstante, TN (x ) - Tschebysche-Polynom der Ordnung N ) lässt im Durchlaÿbereich eine OszillaDämpfung einen vorgegebenen Wert, in Abb. 3 0,1773 dB (entspricht mit Gl.(3), (7) einem
tion der Betriebsdämpfung im vorgegebenen Toleranzbereich zu, wodurch ein steilerer Übergang zum
Sperrbereich erzielt wird. Ein noch steilerer Übergang vom Durchlaÿ- zum Sperrbereich wird erzielt,
wenn die Betriebsdämpfungsfunktion
der Übertragungsfunktion
1=H(s )
H (s )
zusätzlich zu den Nullstellen
sxn
noch Pole (Nullstellen
) enthält. Man gelangt dann beispielsweise zum Cauer-Tiefpass. Die
Pole im Dämpfungsverlauf entstehen, wenn in Abb. 2 Induktivitäten durch Parallelschwingkreise oder
Kapazitäten durch Serienschwingkreise ersetzt werden.
Für eine Tiefpass-Anordnung nach Abb. 2 (oder ähnlich) lässt sich die Betriebsdämpfung berechnen,
wobei die Kapazitäten und Induktivitäten so gewählt werden müssen, dass die gewünschten Pole und
Nullstellen entstehen. Ergebnisse derartiger Rechnungen sind in Filterhandbüchern enthalten, wobei
beispielsweise die Realisierung eines Filters 5. Ordnung mit einer maximalen Dämpfung von 0,1773 dB
im Durchlaÿbereich (
= 0; 2) Abb. 4 entnommen werden kann (aus R. Saal, Handbuch zum Filter-
entwurf, AEG-Telefunken, 1979).
Abb. 4 zeigt die Tiefpassrealisierung in normierter Darstellung.
= !!
ist die normierte Frequenz
B
(16)
!B , wobei hier !B = !D mit der Dämpfungsgrenzfrequenz !D gilt. Entsprechend gilt für die normierte komplexe Frequenz p = s=!B , und damit sind die Nullstellen sxn von H (s )
(Polstellen der Übertragungsfunktion) durch sx = !B ( j ) gegeben.
Die Bauelemente-Dimensionierung bezieht sich auf gleiche Widerstände am Ein- und Ausgang R1 =
R2 (r1 = r2 ) bzw. einer Speisung mit idealer Stromquelle (r1 ! 1 bzw. R1 ! 1) oder idealer
0
0
Spannungsquelle (r1 = 0 bzw. R1 = 0). Die Realisierungen A und B entsprechen einander (siehe
mit der Bezugsfrequenz
auch obere und untere Beschriftungszeile in Abb. 4). Die angegebenen Induktivitäten und Kapazitäten
sind normiert,
l
= !B L=R c = !B RC
,
mit dem aktuellen Abschlusswiderstand
R, so dass sich die
aktuellen Induktivitäten bzw. Kapazitäten ergeben zu
lR
c
L = ! ; C = ! R
B
B
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(17)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/5
Abb. 4: Realisierung von Tiefpassltern 5. Ordnung als P : Potenz- oder Butterworth-Tiefpass oder
T : Tschebysche-Tiefpass.
= 17 : : : 25
: Cauer-Tiefpässe unterschiedlicher Sperrdämpfung.
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Hochfrequenztechnik II
Beispiel:
< 0:2
Hochfrequenzlter
FI/6
N = 5) mit der Grenzfrequenz fD = !D =2 = 10MHz und
in Abb. 2 dargestellten Schaltung und R1 = R2 = 50
zu
Ein Tschebysche-Tiefpasslter (
für
f < fD
sei mit der unten
dimensionieren.
Aus Abb. 4 folgt:
c1 = c5 = 1; 301894 l2 = l4 = 1; 345558 c3 = 2; 128570
und damit
C1 = C5 = 414pF
L2 = L4 = 1; 07H C3 = 678pF
Man erhält dann den in Abb. 3 dargestellten Dämpfungsverlauf.
3 Realisierung von Hochpass, Bandpass, Bandsperre
Filterhandbücher enthalten im allgemeinen nur die Dimensionierung von Tiefpässen, da sich der Entwurf von Hochpässen, Bandpässen und Bandsperren auf einen Tiefpass-Entwurf zurückführen lässt.
Abb. 5 illustriert die Transformation eines Referenztiefpasses (Abb. 5a) mit der Bezugsfrequenz
!B
in einen Hochpass (Abb. 5b), Bandpass (Abb. 5c) sowie eine Bandsperre (Abb. 5d).
Tiefpass-Hochpass-Transformation
Aus dem Referenz-Tiefpass in Abb. 5a ergibt sich das Hoch-
passverhalten in Abb. 5b, wenn die Frequenzen
! < !B
des Tiefpasses in die entsprechenden Fre-
!~ > !B des Hochpasses abgebildet werden. Die komplette Abbildungsvorschrift zwischen der
komplexen Frequenz j! des Tiefpasses und der komplexen Frequenz j !
~ lautet
1
j !~ !B
bzw
:
p
~
=
(18)
=
!B j!
p
Damit entspricht das Dämpfungsverhalten des Hochpasses bei der Frequenz !
~ = a!B exakt dem
Dämpfungsverhalten des zugrundeliegenden Tiefpasses bei der Frequenz ! = !B =a. Die zur Reali-
quenzen
sierung des Referenztiefpasses erforderlichen Induktivitäten und Kapazitäten seien bekannt. Bei der
Transformation einer Induktivität
ten:
L0 des Referenztiefpasses muss mit Gl.(18) für seine Impedanz gel-
L
Z = j!L0 = !B2 j !~0
=! j !~1C mit C = !21L
B 0
(19)
L0 des Tiefpasses im transformierten Hochpass durch die Kapazität C nach
Gl.(19) ersetzt wird. Für eine Kapazität C0 des Referenztiefpasses gilt entsprechend
C
1
1
(20)
Y = j!C0 = !B2 j !~0 =! j !~ L mit L = 2
!B C0
so dass eine Induktivität
so dass
C0 im transformierten Hochpass durch eine Induktivität L nach Gl.(20) ersetzt wird. Die aus
Abb. 2 transformierten Hochpässe bestehen damit aus Längskapazitäten mit Querinduktivitäten. Die
obigen Zusammenhänge sind in Abb. 6 tabellarisch zusammengefaÿt.
Tiefpass-Bandpass-Bandsperre Transformation
frequenz bei der Bezugsfrequenz
zen
!~ !B
Beim transformierten Bandpass soll die Mitten-
!B liegen, so dass die Frequenz ! 0 des Tiefpasses in die Frequen-
des Bandpasses transformiert werden muss. Die Transformation erfolgt nicht nur zu
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Hochfrequenztechnik II
Abb. 5:
Hochfrequenzlter
FI/7
Dämpfungsverlauf eines a) Referenztiefpasses und des daraus abgeleiteten b) Hochpasses ,
c) Bandpasses sowie einer d) Bandsperre.
!~ +!B , sondern auch zu !~ !B , da immer jH(j !~ )j = jH( j !~ )j gelten muss. Es wäre deshalb
folgende Transformation wünschenswert:
j! j 2a(~! !B )
j! j 2a(~! + !B )
wobei der Faktor
für
für
!~ +!B
!~ !B
(21)
(22)
a das Bandbreitenverhältnis zwischen dem transformierten Bandpass und dem Tief-
pass angibt. Gl.(21),(22) gemeinsam werden relativ gut durch die Transformationsvorschrift
(~! !B )(~! + !B ) = a(j !~ + !2 =j !~ )
B
!~
p = j!=!B p~ = j !~ =!B
!
1
p = a p~ + p~
j! = ja
oder in normierter Form mit
,
(23)
durch
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(24)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/8
Abb. 6: Transformation eines Referenztiefpasses in Hochpass,Bandpass, Bandsperre.
erfüllt. Ähnlich wie bei der Tiefpass-Hochpass-Transformation können auch bei der Tiefpass-BandpassTransformation die Induktivitäten und Kapazitäten des Referenztiefpasses durch geeignete Reaktanzen
ersetzt werden. Bei der Transformation einer Induktivität
gelten:
mit
L0 des Referenztiefpasses muss mit Gl.(23)
a!2
1
Z = j!L0 = j !~ aL0 + j !~B L0 =! j !~ L + j !~ C
L = aL0 ; C =
1
a!B2 L0
(25)
(26)
so dass eine Induktivität des Tiefpasses im transformierten Bandpass durch einen Serienschwingkreis
C0 des Referenztiefpasses:
a!2
1
Y = j!C0 = j !~ aC0 + j !~B C0 =! j !~ C + j !~ L
ersetzt wird. Entsprechend gilt bei einer Kapazität
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(27)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
mit
C = aC0 ; L =
FI/9
1 ;
a!2 C
B
(28)
0
der damit in einen Parallelschwingkreis transformiert wird.
!~ = !D
Die Durchlaÿgrenzfrequenzen des Bandpasses
des Tiefpasses
! = !B mit Gl.(23) zu:
ergeben sich aus der Durchlaÿgrenzfrequenz
1 1
!D = !B  1 + 4a2 2a 
(!+D ! D ) = !B =a
Q = !L=R R

s
so dass sich die gewünschte Durchlaÿbandbreite
chen Güte
Q
der verwendeten Bauelemente (
,
(29)
ergibt. Aufgrund der endli-
parasitärer Reihenwiderstand bei einer
Q = !C=G , G parasitärer Parallelleitwert bei Kapazitäten) sind nicht beliebig kleine
realisierbar. Praktisch sollte a Q 10 : : : 100 erfüllt sein. Für kleinere Bandbreiten
Induktivität bzw.
Bandbreiten
und damit höhere Güten können Quarze, keramische Filter, SAW(surface acoustic wave)-Filter oder
unter Umständen auch Filter mit Leitungselementen eingesetzt werden.
Bei der Tiefpass-Bandsperre Transformation gelten ähnliche Überlegungen wie beim Bandpass, wobei
der Tiefpass gedanklich erst in einen Hochpass und dieser Hochpass dann gemäÿ obiger BandpassTransformationsbeziehungen transformiert wird.
Die Transformationsbeziehungen sind in Tabelle 6 nochmals zusammengestellt.
Bei der praktischen Filtersynthese wird häug gedanklich zunächst
von
!B = 1=s und ein Impedanzniveau
R = 1
zugrundegelegt. Die so normierten Induktivitäten und Kapazitäten werden dann erst zum
Schluss gemäÿ Gl.(17) entnormiert.
4 Positiv-Impedanz-Inverter (PII)
Mit den vorgenannten Überlegungen ist die Synthese einer breiten Klasse von Filtern möglich. Es
können sich aber möglicherweise Bauelementewerte ergeben, die nur schwer realisierbar sind. In diesem
Fall kann es vorteilhaft sein, Impedanzen zu transformieren, beispielsweise mit einem Positiv-ImpedanzInverter (PII).
Abb. 7: Positiv-Impedanz-Inverter.
Ein Positiv-Impedanz-Inverter gemäÿ Abb. 7 mit dem Bezugswiderstand
derstand
Ze
RD
soll einen Abschlusswi-
in einen Eingangswiderstand
U
Za = I a
a
2
= RZD
e
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(30)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/10
transformieren, ihn also invertieren. Die Kettenmatrix des PII ist gegeben als
0 RD
U
 a  = exp(j') 
1
Ia
RD 0





Ue
Ie


(31)
wobei sich mit Reaktanzen beispielsweise folgende Realisierungsmöglichkeiten (Abb. 8) ergeben:
Abb. 8: Positiv-Impedanz-Inverter in
Reaktanzen
jRD
Bezugsfrequenz
- oder T-Schaltung
sind jedoch breitbandig nicht realisierbar. Eine schmalbandige Realisierung um eine
!B herum ist jedoch beispielsweise möglich gemäÿ Abb. 9.
Abb. 9:
Schmalbandige Positiv-Impedanz-Inverter.
!B L = RD = (!B C ) 1 . Ein schmalbandiger PII kann auch durch
eine =4-Leitung mit dem Wellenwiderstand ZL = RD dargestellt werden.
Für die LC-Schaltungen gilt dabei
Mit Hilfe eines PII ist es beispielsweise möglich, eine Kapazität in eine Induktivität oder umgekehrt zu
transformieren. Die schmalbandige Realisierung nach Abb. 9 kann dabei durchaus ausreichend sein,
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/11
solange es sich um die Synthese schmaler Bandlter handelt.
5 Gekoppelte Bandlter
Bandlter werden häug auch als miteinander verkoppelte Schwingkreise realisiert. Unter Berücksichtigung des Positiv-Impedanz-Inverters ist auch hier ein systematischer Entwurf möglich.
Abb. 10: Tiefpass-Bandpass-Transformation mit gekoppelten Schwingkreisen.
N
0
Bandpass betrachtet. Zunächst werden beim Tiefpass in Abb. 10a die Induktivität L
Positiv-Impedanz-Invertern mit den Bezugswiderständen RD = R in die Kapazitäten
L0
C10 = R2
Als Beispiel wird in Abb. 10 die Transformation eines Tiefpasslters der Ordnung
=3
in einen
mit Hilfe von
(32)
in Abb. 10b umgewandelt. Der Tiefpass von Abb. 10b hat damit die gleichen Eigenschaften wie
der Tiefpass in Abb. 10a. Der Tiefpass von Abb. 10b wird nun mit Hilfe der Tiefpass-BandpassTransformation in einen Bandpass (Mittenfrequenz
!B , Bandbreite !B =a) umgewandelt (vergl. Ta-
belle 6), so dass sich in Abb. 10c ergibt
C1 = aC10 ; L10 =
1
1
; C2 = aC20 ; L20 = 2 0
2
0
a!B C1
a!B C2
und die Positiv-Impedanz-Inverter können schmalbandig nach Abb. 8 mit
positiven und negativen Induktivitäten
R
L0 = !
B
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(33)
RD = R = !B L0 , d.h. mit
(34)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/12
realisiert werden.
Durch Zusammenfassung der Induktivitäten ergibt sich dann Abb. 10d, wobei die Induktivität
2L20
1
1
L11 = L
L
2 parallele Induktivitäten von jeweils
aufgeteilt ist und sich damit
10
ergeben. Die beiden
L20 in
1
1
1
und L22 = 2L L
20
0
0
1
(35)
-Schaltungen aus Induktivitäten können bei Vergleich mit Gl.(7), (8), Abschnitt
P als Transformatoren dargestellt werden mit
= LL11(+LL22 ++LL0)
11
22
0
L22 (L11 + L0 )
L2 = L + L + L
L1
und
11
p
M = k L1 L2 mit
22
(36)
(37)
0
L22 L11
11 + L22 + L0
M=L
(38)
1
:
L
L
1 + L220 )(1 + L110
beziehungsweise
k = s
(39)
Alternativ zur induktiven Kopplung in Abb. 10e lässt sich das Filter auch mit kapazitiver Kopplung
entwerfen, wenn die Reaktanzen des Positiv-Impedanz-Inverters in Abb. 7 nicht mit Induktivitäten,
sondern mit Kapazitäten realisiert werden.
Beispiel:
Aufbauend auf einen Tschebysche-Tiefpass 3. Ordnung mit maximaler Dämpfung von
0,1773 dB (
< 0:2)
im Durchlaÿbereich soll ein Bandpass mit der Mittenfrequenz
und einer Bandbreite von 2 MHz (a = 5) für
R = 50
entworfen werden.
fB
= 10
MHz
0
0
Nach Filterhandbuch gilt: l = 1; 189469, c2 = 1; 154193
Damit hätte der Referenztiefpass (
!D = !B = 2fB = 2 10MHz, R = 50
)
L0 = 947nH ; C20 = 367pF
und für den Bandpass in Abb. 10e ergibt sich mit
L11 = 161nH und L22 = 422nH die Dimensionierung:
C1
L1
L10
(40)
= 134
nH,
L20
= 138
nH,
L0
= 796
nH,
= 1; 89nF ; C2 = 1; 84nF
= 142nH ; L2 = 293nH ; k = 0; 241
(41)
(42)
6 Allpässe
Allpässe haben eine konstante Dämpfung
jH(j!)j = const
, so dass nur die Phase
'
von
!
ab-
hängt, was zu einer frequenzabhängigen Gruppenlaufzeit gemäÿ Gl.(10) führt. Allpässe werden eingesetzt, um Laufzeitverzerrungen auszugleichen. Nähere Informationen ndet man beispielsweise in
Meinke/Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, 4. Auage.
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/13
7 Filter mit Leitungen
Filter mit quasi-konzentrierten Elementen
Die einfachste Möglichkeit zur Realisierung eines Tief-
passlters gemäÿ Abb. 2 besteht darin, die Kapazitäten und Induktivitäten durch kurze Leitungsstücke (Länge
=4
im interessierenden Frequenzbereich) darzustellen, wobei Induktivitäten durch
Leitungsstücke mit sehr hohem Wellenwiderstand
L0 =C 0 ZL , ZL -Wellenwiderstand
p
L0 =C 0
sehr kleinem Wellenwiderstand
L0 =C 0
p
p
(
der Zuleitung), und Kapazitäten durch Leitungsstücke mit
(
L0 =C 0 ZL ) realisiert werden.
p
Abb. 11: Schematische Realisierungeines Tiefpasslters 5. Ordnung.
Als Beispiel ist in Abb. 11 ein Tiefpasslter der Ordnung
skizziert. Die Kapazitäten
C 0 , L0
i
i
Ci
und Induktivitäten
und den jeweiligen Leitungslängen
li
Li
N
=5
in Anlehnung an Abb. 2, unten,
ergeben sich mit den jeweiligen Leitungsbelägen
näherungsweise zu
Ci Ci0 li , Li L0i li .
Auch für Bandlter lassen sich leicht schmalbandige Leitungsrealisierungen angeben. So können für
den Bandpass in Abb. 10c die Positiv-Impedanz-Inverter durch
3 Parallelschwingkreise durch am Ende kurzgeschlossene
Filter mit Leitungen jeweils gleicher Länge
=4-Leitungen (vergl. Abb. 9e) und die
=4-Stichleitungen realisiert werden.
Eine genauere und doch einfache Analyse von Lei-
tungsltern wie z.B. in Abb. 11 ist dann möglich, wenn alle vorkommenden Leitungsstücke gleich lang
sind.
Wenn man beispielsweise gemäÿ Abschnitt SMI eine am Ende kurzgeschlossene Leitung der Länge
mit dem Wellenwiderstand
ZL betrachtet, gilt für die Eingangsimpedanz
Z a = ZL tanh(l )
bzw. für eine verlustfreie Leitung mit
l
(43)
= j = j!=v
Z a = ZL tanh(j!l=v )
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(44)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
wobei wir die komplexe Frequenz
FI/14
j! = s und l=v = , -Laufzeit der Leitung (Dispersion vernachläs-
sigt), einführen können und sich so ergibt
Z a = ZL S
wobei
(45)
S eine transformierte Frequenzebene gemäÿ
S = tanh(s )
angibt. Gl.(46) wird auch als
Richards-Transformation
(46)
bezeichnet, die sich mit
exp(x ) exp( x )
tanh(x ) = exp(
x ) + exp( x )
(47)
z 1
S = z +1
auch schreiben lässt als
mit
(48)
z = exp(2s );
(49)
wobei Gl.(49) praktisch der z-Transformation entspricht (vergleiche 'Signale und Systeme').
S -Ebene
durchzuführen und die dort erhaltenen Elemente dann durch entsprechende Leitungsstücke in der s -
Der Grundgedanke der Filtersynthese besteht nun darin, einen Standardlterentwurf in der
Ebene zu ersetzen. So entspricht die Impedanz einer kurzgeschlossenen Leitung gemäÿ Gl.(45) formal
S -Ebene der Impedanz einer Induktivität L = ZL . Damit lässt sich die kurzgeschlossene Leitung
in der S -Ebene formal als Induktivität darstellen (siehe auch Abb. 12). Ähnlich lässt sich die am Ende
in der
leerlaufende Leitung durch eine Eingangsimpedanz
Z
Z a = ZL coth(l ) = SL
beschreiben und damit in der S -Ebene durch eine Kapazität C = 1=ZL darstellen.
(50)
Ein allgemeines Leitungselement kann mit einer Kettenmatrix (siehe Seite SMI/2) beschrieben werden,
die sich mit der Richards-Transformation schreiben lässt:


Da sich diese Matrix in der
Ua
Ia
1  1 SZL
= p
1 S2 ZSL 1




Ue
Ie


(51)
S -Ebene nicht als einfaches Reaktanz-Netzwerk darstellen lässt, wird in der
S -Ebene ein neues Element, das sogenannte Einheitselement (engl. unit element, abgekürzt UE) mit
der charakteristischen Impedanz Z = ZL eingeführt, welches durch die Matrix Gl.(51) repräsentiert
wird. Die korrespondierenden Elemente in der Leitungsebene und der Richards-Ebene sind in Abb. 12
zusammenfassend dargstellt.
s = + j! und S = u + jv beschreibt, ist der Zusamtransformierten Frequenz v (für S = jv ) nach Gl.(46)
Wenn man die komplexen Frequenzen gemäÿ
menhang zwischen
!
(für
s
durch
= j!
) und der
v = tan(! )
(52)
v 1 in der S -Ebene entsprechen damit den Frequenzen ! 0; =; 2=; : : :,
während groÿe v ! 1 den Frequenzen ! =2; 3=2; 5=2; : : : entsprechen.
gegeben. Kleine Frequenzen
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/15
Abb. 12: Richards-Transformation von Schaltungselementen.
Zur Illustration zeigt Abb. 13a den Dämpfungsverlauf eines Referenztiefpasses (Tschebysche-Tiefpass
3. Ordnung) in der
S -Ebene, woraus sich dann nach Transformation in Abb. 13b ein Leitungslter mit
! periodischem Dämpfungsverlauf ergibt. So wird der Tiefpass in Abb. 13a für kleine Frequenzen
! =2 wieder in einen Tiefpass transformiert, für ! =2 in eine Bandsperre, für ! in
über
einen Bandpass usw.
Ein Realisierungsbeispiel dafür ist in Abb. 15 dargestellt. Für den gewünschten Tschebysche-Tiefpass
werden zunächst die Induktivitäten
S -Ebene
L1 , L3 , C2 für die gewünschte Dämpfungsgrenzfrequenz vD in der
bestimmt. Wenn man bei der Transformation in die Leitungsebene die Induktivitäten und
Kapazitäten gemäÿ Abb. 12 einfach durch kurzgeschlossene bzw. leerlaufende Leitungsstücke ersetzt,
entsteht das Problem, dass alle Leitungsstücke an der gleichen Stelle angreifen, was oft nur schwer
realisierbar ist.
Es ist deshalb zweckmäÿig, in das Filter Einheitselemente gemäÿ Abb. 15b einzuführen (dies entspricht
Leitungsstücken mit dem Wellenwiderstand
ZL = Z = R), die das Übertragungsverhalten des Filters
nicht verändern. Einheitselemente mit angeschlossenen Reaktanzen können dann entsprechend Abb. 14
umgeformt werden (Kuroda-Transformation), so dass sich schlieÿlich die in Abb. 15c dargestellte
Realisierung in der
S -Ebene ergibt. In der Leitungsrealisierung (mit der Filterdämpfung nach Abb. 13b)
erhält man dann die Anordnung nach Abb. 15d mit drei leerlaufenden Stichleitungen.
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/16
Abb. 13: Entwurf von Leitungsltern mit Richards-Transformation. a) Tiefpassentwurf in der
(Frequenz
S -Ebene
v ) und b) Dämpfungsverhalten des transformierten Filters mit Leitungselementen.
Bei der gemäÿ obigen Überlegungen durchgeführten Filtersynthese ist zu beachten, dass Leitungswellenwiderstände nur in einem begrenzten Bereich realisierbar sind. Einheitselemente sind aber nicht nur
durch einfache Leitungsstücke realisierbar, sondern auch mit verkoppelten Leitungen (Mehrleitersysteme), so dass sich mit verkoppelten Leitungen unter Umständen besser realisierbare Filter entwerfen
lassen (siehe Zinke, Brunswig, Band I oder Meinke/Gundlach, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik,
4. Auage, Abschnitt F).
Wenn das Filter in Abb. 11 durch Hintereinanderschaltung gleichlanger Leitungsstücke realisiert wird,
S -Ebene als die Hintereinanderschaltung von Einheitselementen unterschiedlicher
Impedanz Zi darstellen. Wenn U a , I a Spannung und Strom am Eingang und U e , I e Spannung und
Strom am Ende des Filters bezeichnen, gilt für die Kettenmatrix bei N hintereinander geschalteten
lässt sich das in der
Einheitselementen (vergleiche Gl.(51)):


Ua
Ia


1
N
Y


= p
N
2
1 S i =1
1 SZi
S 1
Zi


Ue
Ie

(53)

woraus sich die Übertragungsfunktion des Filters bestimmen lässt. Die einzelnen Wellenwiderstände
Zi
lassen sich dann so wählen, dass die gewünschten Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion
in der
S -Ebene entstehen.
p
=4-Leitung (dort ist S ! 1) mit dem Wellenwiderstand ZL = R1 R2
Impedanztransformation zwischen den Widerständen R1 , R2 . Damit stellt ein
Insbesondere bewirkt eine
eine schmalbandige
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
Abb. 14:
Einheitselement für
S!1
(bzw.
FI/17
Kuroda-Transformationen.
v ! 1)
einen schmalbandigen Impedanzwandler (genauer Im-
pedanzinverter) dar. Zur breitbandigen Impedanztransformation um
S ! 1 herum ist in der S -Ebene
ein hochpassartiges Übertragungsverhalten erforderlich, das sich durch Analyse von Gl.(53) mit geeignet monoton gestuften Impedanzen
Zi
erreichen lässt (Eine genauere Analyse derartiger mehrstuger
Leitungstransformatoren ndet sich in Zinke-Brunswig, Band I).
8 SAW-Filter
Zur Realisierung von Filtern (insbesondere Bandpassltern) im Frequenzbereich
10MHz < f < 1GHz
werden auch oft SAW-Filter (SAW = surface acoustic wave) eingesetzt (beispielsweise ZwischenfrequenzFilter in Fernsehempfängern).
3
3
Für SAW-Filter werden piezoelektrische Kristalle (z.B. Lithiumniobat (LiNbO ), Lithiumtantalat (LiTaO ),
2
Quarz (SiO ) ) mit Interdigitalwandlern versehen, so dass eine angelegte Spannung an den Interdigitalwandlern zu mechanischen Verformungen an der Kristalloberäche führt, die sich dann als akustische Oberächenwelle (englisch abgekürzt SAW) mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von typi-
va = 3000 : : : 4000m/s ausbreiten. Dies führt beim oben angegebenen
10MHz < f < 1GHz zu akustischen Wellenlängen = va =f 3m : : : 400m.
scherweise
Frequenzbereich
Abb. 16 zeigt ein SAW-Filter, es besteht aus 2 Interdigitalwandlern zur Wandlung des elektrischen
Signals in das akustische Signal und wieder zurück.
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Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
Abb. 15:
FI/18
Anwendung der Kuroda-Transformation.
Zum Verständnis des Filters ist der Interdigitalwandler genauer zu analysieren, wie er beispielsweise in
Abb. 17 dargestellt ist.
Eine angelegte Spannung
u (t ) führt zu elektrischen Feldern, wie sie durch Pfeile in Abb. 17 dargestellt
sind. Diese Felder bewirken entsprechende mechanische Verformungen, die sich dann als SAW mit
va ausbreiten. Die Wirkung des Interdigitalwandlers lässt sich als Transversallter
auassen, so dass sich das Ausgangssignal y (t ) (mechanische Auslenkung oder dergleichen) innerhalb
der Geschwindigkeit
der SAW als Überlagerung der Wirkungen der einzelnen Fingerelemente darstellen lässt:
y (t ) =
mit der Laufzeit
= p=va
N
X
n=1
( 1)n wn u (t n )
zwischen den Fingerelementen und dem Wichtungskoezienten
(54)
wn
des
n-ten Segmentes proportional zur Überlappung der jeweiligen Fingerelektroden, siehe Abb. 17.
Für u (t ) = (t ) ( (t )-Dirac Impuls) erhält man aus Gl.(54) die Impulsantwort y (t ) = h (t ) wie sie in
Abb. 18 skizziert ist.
Entsprechend der Laufzeit der SAW unterhalb des Interdigitalwandlers hat die Impulsantwort eine
t 0 so eingeführt wird, dass sich der Impuls von t 0 = T=2
0
bis t = +T=2 erstreckt und nur die Frequenzkomponenten um f0 = 1=2 herum betrachtet werden
endliche Dauer
T
= N
. Wenn die Zeitskala
kann, gilt näherungsweise aus Abb. 18:
h(t 0 ) = w (t 0 ) cos(2f0 t 0 )
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(55)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/19
Abb. 16: Praktische Ausführung eines akustischen Oberächenwellenlters.
Abb. 17:
Interdigitalwandler.
mit der quasi-kontinuierlichen Wichtungsfunktion
Die Übertragungsfunktion
w (t ) mit w (t 0 ) = 0 für jt 0 j > T=2.
G (j!) ergibt sich als Fouriertransformierte der Impulsantwort h(t 0 ) zu (ver-
gleiche 'Signale und Systeme'):
1
G (j!) = 2 W (j (! !0 )) + W (j (! + !0 )) ;
wobei
(56)
W (j!) die Fouriertransformierte von w (t ) und !0 = 2f0 bezeichnet.
Beispiel: Für gleichlange Finger des SAW-Filters sind die Wichtungskoezienten wn
0
sich die Wichtungsfunktion w (t ) als Rechteckfunktion darstellen lässt:


w (t 0 ) = 
konstant, so dass
1 jt 0j < T2
0 jt 0j > T2
(57)
so dass sich für die Übertragungsfunktion ergibt (vergleiche 'Signale und Systeme')
G (j!) =
mit
si(x ) = sin(x )=x
T
T

!
T
!


2 si 2 (! !0) + si 2 (! + !0)
T !0 1
. Solange wir ein schmalbandiges Filter mit
(58)
betrachten und uns auf
positive Frequenzen beschränken, ist der zweite si-Term vernachlässigbar und wir erhalten:
G (j!)!>0 T
2 si(T (f f0))
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(59)
Hochfrequenztechnik II
Hochfrequenzlter
FI/20
Abb. 18: Impulsantwort (schematisch) eines Interdigitalwandlers.
und es ergibt sich als 4 dB-Bandbreite
B (Argument der si-Funktion = =2):
1 f
B = T = 2 N0 ;
(60)
die damit genau umgekehrt proportional ist zur Laufzeit der SAW unterhalb des Interdigitalwandlers.
Die oben angegebene Übertragungsfunktion beinhaltet nur die Wandlung vom elektrischen ins akustische Signal, so dass die komplette Übertragungsfunktion (elektrisch - akustisch - elektrisch) durch
G 2 (j!) beschrieben wird (Annahme gleicher Interdigitalwandler am Ein- und Ausgang) und die Bandbreite B gemäÿ Gl.(60) dann der 8 dB-Bandbreite entsprechen würde.
Beim kompletten SAW-Filter ist zusätzlich noch die elektrische Beschaltung und insbesondere die
Kapazität der Interdigitalwandler zu berücksichtigen.
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Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/1
Durch Rückkopplung kann ein Verstärker stabilisiert werden, er kann aber auch instabil werden und
anfangen zu schwingen. Auch Oszillatoren stellen im Prinzip rückgekoppelte Verstärker dar.
1 Breitbandverstärker
Eine Anwendung für Verstärker mit Rückkopplung besteht in der Realisierung von Breitbandverstärkern. Als Beispiel werde ein Transimpedanzverstärker betrachtet, wie er in Abb. 1 dargestellt ist.
Abb. 1: Prinzip eines Transimpedanzverstärkers mit bipolarem Transistor.
Bei einem Transistor mit sehr hoher Strom- und Spannungsverstärkung ergibt sich näherungsweise
U A ≈ −RK · I 1 , wobei RK dann als Transimpedanz bezeichnet wird.
Durch den Rückkoppelwiderstand RK wird auch die Bandbreite des Verstärkers beeinflusst, wie im
folgenden diskutiert werden soll. Die Koppelkapazität CK sei sehr groß (CK → ∞) und der Ausgang,
abgesehen vom Widerstand RL , unbelastet, so dass sich aus Abb. 1 folgendes „Hochfrequenzschaltbild” 1 ergibt.
Abb. 2: „Hochfrequenzschaltbild” des Transimpedanzverstärkers aus Abb. 1.
Der Bipolartransistor werde durch ein vereinfachtes Giacoletto-Ersatzschaltbild beschrieben:
Dabei ist ccsp die differentielle Kollektor-Basis-Sperrschichtkapazität, re der differentielle Widerstand
1
Im Hochfrequenzschaltbild stellen Gleichspannungen Kurzschlüsse dar, und die Einstellung des Arbeitspunktes wird
nicht beachtet.
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Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/2
Abb. 3: Vereinfachtes Giacoletto-Ersatzschaltbild eines Bipolar-Transistors.
der Basis-Emitter-Diode (re = (kT /e)/IE , IE – Emitterstrom, k – Boltzmann-Konstante, T – absolute
Temperatur, e – Elementarladung) und re0 = re /β0 (β0 – Gleichstromverstärkung in Emitterschaltung)
und ce0 = 1/(re · ωT ) mit der Transitfrequenz fT = ωT /2π.
Damit folgt aus Abb. 2 und 3 das Ersatzschaltbild des Verstärkers.
Abb. 4: Ersatzschaltbild des Verstärkers aus Abb. 1.
Unter der Voraussetzung, dass für den Strom im Rückkoppelzweig gilt |I K | |I RL |, ergibt sich
näherungsweise
U A = −U 1
RL
= −U 1 · vi
re
mit der inneren Verstärkung
vi =
RL
re
(1)
(2)
Da U 1 und U A damit in einfacher Weise miteinander verknüpft sind, genügt es, für die Bestimmung
der gesamten Übertragungsfunktion die Übertragungsfunktion von U G nach U 1 zu bestimmen.
Unter Anwendung des Miller-Effektes (Miller-Kapazität) lassen sich RK und ccsp aus dem Rückkoppelzweig transformieren, so dass sich der Eingangszweig gemäß Abb. 5 ergibt.
Abbildung 5 lässt sich schließlich vereinfachen zu Abb. 6.
Dabei stellt R0 mit
1
1
1 + vi
= 0 +
R0
re
RK
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(3)
Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/3
K
Abb. 5: Ersatzschaltbild des Eingangszweigs des Verstärkers aus Abb. 1.
Abb. 6: Vereinfachtes Ersatzschaltbild des Eingangszweigs des Verstärkers aus Abb. 1.
die Parallelschaltung aus re0 und
RK
1+vi
dar und
C 0 = ce0 + ccsp (1 + vi ).
(4)
Abbildung 6 stellt einen Tiefpass 1. Ordnung dar gemäß:
U1
R0
1
= 0
UG
R + RG 1 + jω/ωg
mit
1
ωg = 0
C
1
1
+
0
R
RG
!
(5)
Die Grenzfrequenz ωg repräsentiert damit die Bandbreite des Breitbandverstärkers. Mit Gl. (1) und
(2) gilt dann für die gesamte Übertragungsfunktion:
UA
U
vm
= −vi 1 = −
UG
UG
1 + jω/ωg
(6)
mit der Verstärkung vm bei kleinen Frequenzen
vm =
RL R0
re (R0 + RG )
(7)
Sowohl die Bandbreite ωg als auch die Verstärkung vm hängen von R0 und damit vom Rückkoppelwiderstand RK ab. Von Interesse ist dabei das Verstärkungs-Bandbreite-Produkt
v m · ωg =
RL
=
re RG C 0
1
1 RG
ωT RL
+ ccsp RG (1 +
re
RL )
,
(8)
das unabhängig von R0 und damit auch unabhängig vom Rückkoppelwiderstand RK wird. Durch Wahl
von RK kann somit entweder ein Breitbandverstärker hoher Verstärkung und kleiner Bandbreite oder
geringer Verstärkung und hoher Bandbreite realisiert werden.
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Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/4
Zahlenbeispiel: Als Beispiel sei angenommen RG = RL = 50 Ω, re = 2, 5 Ω (Emitterstrom IE =
10 mA), ccsp = 0, 5 pF und fT =
ωT
2π
= 5 GHz. Es ergibt sich dann ein Verstärkungs-Bandbreite-
Produkt von vm · fg = vm ωg /(2π) ≈ 2, 75 GHz. Weiterhin ergibt sich mit β0 = 30 und RK =
3, 15 kΩ beispielsweise ein vm ≈ 10 und R0 ≈ 50 Ω, so dass sich dann ein Breitbandverstärker
mit der Bandbreite fg = 275 MHz und einer Verstärkung von 20 dB ergibt, der eingangsseitig
reflexionsfrei an eine Leitung mit einem Wellenwiderstand ZL = 50 Ω angepasst ist.
Abb. 7 zeigt das Beispiel eines Breitbandverstärkers mit fg ≈ 10 GHz basierend auf einem GaAsMESFET. Die schwarzen Balken in Abb. 7 stellen Streifenleitungs-Elemente auf der Leiterplatte dar
(oben Leiterbreite, unten Leiterlänge, jeweils in mm).
Abb. 7: Breitbandverstärker (10 GHz) mit einem GaAs-MESFET (Quelle:Dissertation M. Martin, TU
Berlin 1987 ).
2 Beschreibung rückgekoppelter Verstärker
Zur systematischen Beschreibung rückgekoppelter Netzwerke betrachten wir Abb. 8 .
Abb. 8: Rückgekoppeltes Netzwerk mit Verstärkung V und Rückkopplung K.
Der Verstärker wird durch die Übertragungskunktion V charakterisiert mit
B = V · A,
(9)
wobei A und B die Zeiger (bzw. Fouriertransformierten) von Spannungen, Strömen oder Wellenamplituden am Eingang und Ausgang des Netzwerkes darstellen. Die Übertragungsfunktion K des
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Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/5
A00 = K · B
(10)
Rückkoppelnetzwerks wird durch
charakterisiert, so dass sich unter Berücksichtigung des Summationspunkts am Eingang A = A0 + A00
ergibt:
B = V · A = V (A0 + A00 ) = V (A0 + KB)
(11)
B = V 0 · A0
(12)
und damit
mit
V
.
1 − KV
V0 =
(13)
V 0 stellt damit die effektive Verstärkung das rückgekoppelten Verstärkers dar.
• Für |1 − K · V | < 1 gilt |V 0 | > |V |. Wir sprechen dann von einer „Mitkopplung”.
• Für |1 − K · V | > 1 gilt |V 0 | < |V |. Wir sprechen dann von einer „Gegenkopplung”.
• Für K · V = 1 geht V 0 → ∞, so dass dann der Verstärker anfängt zu schwingen. Wir sprechen
dann von einem „Oszillator”.
Bei gegengekoppelten Systemen ist der Sonderfall sehr starker Gegenkopplung von Interesse mit |1 −
K · V | 1, woraus sich dann mit Gl. (13)
V0 ≈−
1
K
für
|1 − K · V | 1
(14)
ergibt. Die Verstärkung ist dann nur noch von dem (z. B. passiven) Rückkoppelnetzwerk abhängig.
Weiterhin kann z. B. durch Gegenkopplung die Bandbreite eines Breitbandverstärkers erhöht werden.
Wenn wir für V ähnlich zu Gl. (6)
V =−
vm
1 + jω/ωg
(15)
und K = K als reell und frequenzunabhängig annehmen, ergibt sich
V0 =−
vm
1
1 + K · vm 1 + jω/ωgr
mit
ωgr = ωg (1 + Kvm ),
(16)
so dass, wie schon oben diskutiert, die Bandbreite zwar erhöht werden kann, aber das VerstärkungsBandbreite-Produkt konstant bleibt.
Das Verstärker-Netzwerk kann in verschiedener Weise mit dem Rückkoppelnetzwerk verschaltet werden. Es ergeben sich dann die vier Anordnungen gemäß Abb. 9.
Der im oberen Abschnitt 1 diskutierte Transimpedanzverstärker gemäß Abb. 4 stellt dabei beispielsweise ein Netzwerk mit Parallel-Parallel-Rückkopplung (siehe Abb. 9d) dar, wie Abb. 10 verdeutlicht.
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Rückkopplung von Verstärkern
a)
b)
c)
d)
RÜ/6
Abb. 9: Möglichkeiten der Verschaltung eines Verstärkers mit einem Rückkoppelnetzwerk: a) SerienParallel-Rückkopplung mit V = U 2 /U 1 , K = −U 001 /U 2 , V 0 = U 2 /U 01 ; b) Serien-Serien-Rückkopplung
mit V = I 2 /U 1 , K = −U 001 /I 2 , V 0 = I 2 /U 01 ; c) Parallel-Serien-Rückkopplung mit V = I 2 /I 1 ,
K = −I 001 /I 2 , V 0 = I 2 /I 01 und d) Parallel-Parallel-Rückkopplung mit V = U 2 /I 1 , K = −I 001 /U 2 ,
V 0 = U 2 /I 01 .
Abb. 10: Transimpedanzverstärker als Netzwerk mit Parallel-Parallel-Rückkopplung.
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Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/7
3 Stabilität von rückgekoppelten Netzwerken
Rückgekoppelte Netzwerke bergen das Problem möglicher Instabilität. So kann z. B. aus einer erwünschten Gegenkopplung durch auftretende Phasendrehungen eine unerwünschte Mitkopplung werden.
Wie bei jedem Netzwerk muss auch ein rückgekoppeltes Netzwerk die Bedingung erfüllen, dass die
Übertragungsfunktion V 0 (s) (s – komplexe Frequenz s = jω + σ der Laplace-Transformation) keine
Polstellen in der rechten komplexen s-Halbebene (<(s) ≥ 0) aufweisen darf.
3.1 Stabilitätskriterium nach Strecker-Nyquist
Wir nehmen zunächst an, der Verstärker ohne Rückkopplung sei stabil, d. h. V (s) habe keine Pole in
der rechten s-Halbebene. Damit dann V 0 (s) gemäß Gl. (13) auch stabil ist, darf auch V 0 (s) keine Pole
in der rechten s-Halbebene aufweisen, d. h.
für alle
<(s) ≥ 0
muss
K · V 6= 1
sein. Dazu ist es zweckmäßig, die konforme Abbildung von der komplexen s-Ebene in die komplexe
K · V -Ebene zu betrachten, wie sie Abb. 11 zeigt.
Abb. 11: Konforme Abbildung der komplexen s-Ebene in die K · V -Ebene.
Der Bereich <(s) > 0 wird begrenzt durch die imaginäre Achse s = jω. Die Abbildung dieser Geraden
s = jω in die K · V -Ebene (auch als „Ortskurve” bezeichnet) ist in Abb. 11 skizziert. Die konforme
Abbildung ist im kleinen winkeltreu, so dass die rechte s-Halbebene in den schraffierten Bereich der
K · V -Ebene abgebildet wird. Nun muss für stabiles Verhalten für alle <(s) ≥ 0 ein K · V 6= 1 gelten,
so dass der schraffierte Bereich in der K · V -Ebene den Punkt „+1” nicht beinhalten darf.
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Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/8
Damit lässt sich das Strecker-Nyquist-Kriterium wie folgt formulieren:
Für stabiles Verhalten darf die Ortskurve (K · V )(jω) den Punkt „+1” nicht umschließen.
Der rückgekoppelte Verstärker in Abb. 11 wäre also stabil.
Beispiel: Gegenkopplung über mehrere Verstärkerstufen.
Wir nehmen an, der Verstärker mit der Übertragungsfunktion V besteht aus n hintereinander
geschalteter Stufen, die jeweils die Charakteristik eines Tiefpasses 1. Ordnung aufweisen, und
die Rückkopplung K sei reell und frequenzunabhängig mit K = K, d. h.:
K · V = −K · vm 1
1 + j ωωg
n .
(17)
Für n ∈ {1, 3} ist die Ortskurve (K · V )(jω) in Abb. 12 dargestellt (für n = 1 ergibt sich ein
Kreis), während n = 2 der Darstellung in Abb. 11 entspricht.
b)
a)
Abb. 12: Ortskurven (K · V )(jω) für gegengekoppelte Verstärker mit a) 1 Stufe (n = 1) und b) 3
Stufen (n = 3) entsprechen Gl. (17). Kurve durchgezeichnet für ω > 0 und gestrichelt für ω < 0.
Für n ∈ {1, 2} bleibt das Verhalten immer stabil, während bei n = 3 die Ortskurve den Punkt
„+1” für K · vm ≥ 8 umschließt und damit der Verstärker instabil wird und anfängt zu schwingen.
Das Problem bei der Rückkopplung über mehrere Stufen besteht darin, dass aus der gewünschten
Gegenkopplung dann auf Grund der zusätzlichen Phasendrehung bei höheren Frequenzen eine Mitkopplung mit der entsprechenden Schwingneigung werden kann.
3.2 Stabilitätskreis und Stabilitätsfaktor
Allein durch die innere Rückkopplung, ausgedrückt durch den y -Parameter y 12 , kann ein Verstärker
instabil werden. Zur Untersuchung dieser Instabilität wird ein Verstärker, beschrieben durch seine y Parameter, betrachtet, der mit der Lastadmittanz y L abgeschlossen ist (siehe Abb. 13).
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Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/9
Abb. 13: Verstärker mit y -Parameterm und Lastadmittanz y L .
Es soll nun die Eingangsadmittanz y E =
I1
U1
des Verstärkers ermittelt werden. Ein Verstärker kann
dabei instabil werden, wenn <(y E ) < 0 wird.
Für den Eingangskreis gilt:
I 1 = y 11 U 1 + y 12 U 2
(18)
0 = (y 22 + y L )U 2 + y 21 U 1
(19)
und für den Ausgangskreis ergibt sich
und damit
U2 = −
y 21
U .
y 22 + y L 1
(20)
Wir können so U 2 in Gl. (18) eliminieren, und aus Gl. (18) ergibt sich:
I1 =
y y
y 11 − 21 12
y 22 + y L
!
U1
(21)
y y
I1
= y 11 − 21 12
U1
y 22 + y L
(22)
und damit die zu untersuchende Eingangsadmittanz y E
yE =
Für <(y E ) < 0 kann der Verstärker instabil werden, da dann der Verstärkereingang nicht mehr Energie aufnimmt, sondern Energie abgibt. Um nun zu erkennen, für welche Lastadmittanzen y L diese
Instabilität auftreten kann, wird Gl. (22) nach y L aufgelöst:
y L = −y 22 −
y 12 y 21
.
y E − y 11
(23)
Diese Beziehung lässt sich auffassen als eine konforme Abbildung von der komplexen Ebene der Eingangsadmittanz y E in die komplexe Ebene der Lastadmittanz y L . Insbesondere ist von Interesse, wohin
die linke Halbebene von y E (mit <(y E ) < 0 – also instabil) abgebildet wird (siehe Abb. 14). Die linke
Halbebene der y E -Ebene wird damit in einen Kreis in der y L -Ebene abgebildet. Dieser Kreis wird als
sog. „Stabilitätskreis” bezeichnet. Lastadmittanzen außerhalb dieses Stabilitätskreises führen damit zu
einem stabilen Verstärkerverhalten, während Lastadmittanzen innerhalb dieses Kreises zu <(y E ) < 0
und damit zu instabilem Verhalten führen können.
Passive Lastadmittanzen haben stets <(y L ) > 0. Ein Verstärker wird als absolut stabil bezeichnet,
wenn für derartige passive Lastadmittanzen immer auch <(yE ) > 0 gilt. Dies bedeutet, dass ein
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Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/10
Abb. 14: Konforme Abbildung der linken y E -Halbebene in einen Kreis (Stabilitätskreis) in der y L Ebene.
Verstärker immer genau dann absolut stabil ist, wenn der Stabilitätskreis in der linken Halbebene der
y L -Ebene liegt. Um eine Bedingung für die absolute Stabilität eines Verstärkers herzustellen, nehmen
wir zunächst an, dass es doch irgendeine Lastadmittanz y L mit <(y L ) > 0 gäbe, für die <(y E ) = 0
wird:
y 12 y 21
<(y E ) = 0 = <(y 11 ) − <
y 22 + y L
!
!
.
(24)
Um die beiden <()-Ausdrücke besser auswerten zu können, schreiben wir y 12 y 21 und (y 22 + y L ) nach
Betrag und Phase
y 12 y 21 = |y 12 y 21 | exp(jϕ)
y 22 + y L = |y 22 + y L | exp(jϕ2 ) =
<(y 22 + y L )
exp(jϕ2 ).
cos(ϕ2 )
Damit ergibt sich in Gl. (24):
0 = <(y 11 ) − |y 12 y 21 |
cos(ϕ2 )
cos(ϕ − ϕ2 )
<(y 22 + y L )
und damit
<(y 11 )<(y 22 + y L ) = |y 12 y 21 | cos(ϕ2 ) cos(ϕ − ϕ2 )
1
= |y 12 y 21 |[cos(ϕ) + cos(2ϕ2 − ϕ)].
2
Diese Beziehung lässt sich auch schreiben als
<(y 11 )<(y 22 + y L ) =
1
1
<(y 12 y 21 ) + |y 12 y 21 | cos(2ϕ2 − ϕ).
2
2
Diese Gleichung ist offenbar bei <(y L ) > 0 und beliebiger Phase ϕ2 nur erfüllbar, wenn die folgende
Ungleichung gilt (wir setzen dabei ein <(y 11 ) > 0 voraus):
<(y 11 )<(y 22 ) <
1
[<(y 12 y 21 ) + |y 12 y 21 |].
2
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Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/11
Ist diese Gleichung nicht erfüllt, wenn also
<(y 11 )<(y 22 ) >
1
[<(y 12 y 21 ) + |y 12 y 21 |]
2
(25)
gilt, ist für beliebige Lastadmittanzen mit <(y L ) > 0 eine Eingangsadmittanz <(y E ) = 0 nicht
möglich, so dass Gl. (25) die Bedingung dafür angibt, dass der Stabilitätskreis in der linken y L Halbebene liegt. Damit ist unter der Voraussetzung von Gl. (25) der Verstärker absolut stabil.
Zur Charakterisierung der Stabilität wird häufig ein Stabilitätsfaktor k eingeführt gemäß:
k=
2<(y 11 )<(y 22 ) − <(y 12 y 21 )
.
|y 12 y 21 |
(26)
Die Bedingung für absolute Stabilität nach Gl. (25) entspricht dabei k > 1. Für k < 1 ist der Verstärker
nur bedingt stabil. Der Stabilitätsfaktor k kann auch mit Streuparametern formuliert werden:
k=
1 + |S 11 S 22 − S 12 S 21 |2 − |S 11 |2 − |S 22 |2
.
2|S 12 S 21 |
0 bei eingangs- und ausgangsseitiger
Abschließend soll noch ohne Beweis die maximale Verstärkung Gm
Anpassung angegeben werden:
0
Gm
y y p
1
21 21
√
=
,
k − k2 − 1 = y y k + k2 − 1
12
12
k > 1.
(27)
Für k < 1 darf der Verstärker natürlich nicht eingangs- und ausgangsseitig angepasst werden, da er
sonst anfängt zu schwingen.
4 Oszillatoren
Ein rückgekoppeltes Netzwerk wird zum Oszillator, wenn K · V = 1 wird. In diesem Sinn gibt es eine
große Vielfalt bei der Realisierung von Oszillatoren.
Abb. 15: Hochfrequenzschaltbild eines Oszillators mit den Reaktanzen X1 , X2 und X3 .
Als Beispiel wollen wir einen LC-Oszillator entsprechend Abb. 15 betrachten. X1 , X2 und X3 stellen
dabei Reaktanzen, also z. B. Induktivitäten oder Kapazitäten, dar. Wenn der FET in Abb. 15 nur durch
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Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/12
Abb. 16: Ersatzschaltbild des Oszillators von Abb. 15.
seine Steilheit S charakterisiert wird (keine Rückwirkung, Eingangs- und Ausgangsimpedanzen → ∞),
ergibt sich das Ersatzschaltbild in Abb. 16.
!
Die Anschwingbedingung für den Oszillator in Abb. 16 ergibt sich wahlweise aus K · V = 1 oder der
Bedingung det(y ) = y 11 y 22 − y 12 y 21 = 0 (wenn man die y -Parameter der Anordnung in Abb. 16
bestimmt) oder aus folgender anschaulicher Überlegung:
In Abb. 16 gilt für die Verstärkung
S
U2
=− ,
(28)
U1
Y
wobei Y der Parallelschaltung von jX3 mit RL und der Serienschaltung von jX1 und jX2 entspricht:
Y =
1
1
1
+
+
.
jX3 RL jX1 + jX2
(29)
Andererseits gilt für die Rückwirkung vom Ausgang zum Eingang der Spannungsteiler
U1
X1
=
.
U2
X1 + X2
(30)
Die Multiplikation von Gl. (28) und (30)führt dann auf die Anschwingbedingung:
S
X1
U1 U2 !
=1=−
.
U2 U1
Y X1 + X2
(31)
Um Gl. (31) zu erfüllen, muss zunächst Y reell sein, so dass gelten muss:
1
1
!
+
=0
jX3 jX1 + jX2
(32)
und damit
!
X1 + X2 + X3 = 0.
(33)
Gl. (33) stellt die Phasenbedingung für das Anschwingen des Oszillators dar. Mit Gültigkeit von Gl.
(33) wird Y =
1
RL
und X1 + X2 = −X3 , so dass sich aus Gl. (31) ergibt:
S · RL ·
X1 !
=1
X3
(34)
Die Steilheit S in Gl. (34) gibt die Steilheit an, die mindestens erforderlich ist, damit der Oszillator
anschwingt (Anschwingsteilheit). Weiterhin zeigt Gl. (34), dass X1 und X3 das gleiche Vorzeichen und
damit den gleichen Reaktanztyp (z. B. beide Reaktanzen induktiv oder beide Reaktanzen kapazitiv)
aufweisen müssen.
Es ergeben sich dann grundsätzlich zwei Möglichkeiten:
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Hochfrequenztechnik II
Rückkopplung von Verstärkern
RÜ/13
induktive Dreipunktschaltung
Hier sind X1 und X3 induktiv mit X1 = ωL1 und X3 = ωL3 und jX2 =
Schwingfrequenz ω0 zu
ω02
1
=
C2
1
L1 + L3
1
jωC2 ,
woraus sich die
und die Anschwingsteilheit aus Gl. (34) zu
S=
1 L3
RL L1
1
jωC1
und jX3 =
ergeben.
kapazitive Dreipunktschaltung
Hier sind X1 und X3 kapazitiv mit jX1 =
1
jωC3
und X2 induktiv mit X2 = ωL2 .
Es ergeben sich dann ω0 aus Gl. (33) zu
ω02 =
1
L2
1
1
+
C1 C3
und die Anschwingsteilheit aus Gl. (34) zu
S=
1 C1
RL C3
Die kapazitive Dreipunktschaltung wird auch als Colpitts-Oszillator bezeichnet. Der Vorteil gegenüber
der induktiven Dreipunktschaltung besteht darin, dass nur eine Induktivität benötigt wird, wobei diese
Induktivität z. B. auch durch einen Schwingquarz (der sich dann im induktiven Arbeitspunkt befindet)
realisiert werden kann.
Ein Realisierungsbeispiel für einen Colpitts-Oszillator mit bipolarem Transistor zeigt Abb. 17.
Abb. 17: Schaltungsbeispiel für einen Colpitts-Oszillator.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/1
!1
Das Ziel eines Mischers besteht darin, ein Signal einer Frequenz
auf eine andere Frequenz
!2
umzusetzen.
Beispielsweise liegt das Eingangssignal von einer Antenne bei einer hohen Frequenz vor, welches dann
zur einfacheren Signalverarbeitung auf eine kleinere Frequenz umgesetzt werden soll. Diese Funktion
wird von einem sog. Mischer vorgenommen.
1 Mischprinzipien
Das Prinzip eines Mischers besteht darin, das Eingangssignal mit einem Lokal-Oszillator-Signal zu
multiplizieren, wie in Abb. 1 schematisch dargestellt ist.
us (t)
Eingangssignal
uZF (t)
ω1
ωz = |ω0 − ω1 |
Zwischenfrequenzsignal
ω0
Lokaloszillator
Abb. 1: Grundprinzip eines Mischers.
Wir nehmen zunächst ein harmonisches Eingangssignal
us (t ) = < U S exp(j!1 t )
Der Zeiger
Frequenz
US
ist dabei durch
!0 ,
U
= ^S cos(
US
c:c: für konjugiert komplex
tiplikation von u0 (t ) und us (t ):
wobei
us (t ) u0 (t ) =
1
h
4
!1 t + '1 ) =
U
= ^S exp(
u0 (t ) =
(engl.
1
2
us (t ) an:
j'1 )
1
2
U S exp(j!1 t ) + U S exp( j!1 t )
charakterisiert. Der Lokaloszillator hat die feste
U^0 exp(j!0 t ) + c:c: ;
conjugate complex )
U^0 U S exp[j (!0 + !1 )t ] + c:c
i
+
(2)
steht. Der Mischer vollzieht eine Mul-
U^0 U S exp[j (!0
h
(3)
!0 + !1 ) als auch
!1 ). Wir gehen zunächst von einem Mischer aus, der das EingangsFrequenz !1 auf eine niedrige Frequenz !z = j!0
!1 j, der sogenannten
bei der Dierenzfrequenz (
!0
i
!1 )t ] + c:c:
Nach der Multiplikation entstehen damit Signale sowohl bei der Summenfrequenz (
signal von einer hohen
(1)
Zwischenfrequenz, umsetzt. Es wird dann nur die Dierenzfrequenz aus Gl. (3) verwendet (nach
entsprechender Filterung), so dass sich für das Zwischenfrequenzsignal ergibt:
1
uZF (t ) = A U^0 U^S cos(!z t
'1 )
für
!0 > !1
(4)
uZF (t ) = A U^0 U^S cos(!z t + '1 )
für
!0 < !1
(5)
2
bzw.
1
2
A ist dabei eine charakteristische Konstante des Multiplizierers. uZF (t ) gibt dabei sowohl die Amplitude
U^S als auch die Phase '1 des Eingangssignals wieder, wobei die Phase für !0 < !1 in Gleichlage und
für !0 > !1 in Kehrlage wiedergegeben wird.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/2
Wir unterscheiden damit zwischen Gleichlage- und Kehrlage-Mischern. Weiterhin unterscheiden wir
zwischen Aufwärts- und Abwärtsmischern, je nachdem ob
!z gröÿer oder kleiner als !1 ist. Wir kommen
damit zu folgenden Mischprinzipien:
1.
2.
!0 < !1 :
a)
!z
=
!1
!0 : Abwärtsmischer in Gleichlage
b)
!z
=
!1 + !0 : Aufwärtsmischer in Gleichlage
!0 > !1 :
a)
!z
=
!0
!1 : Abwärtsmischer in Kehrlage (für !z < !1 , sonst Aufwärtsmischer)
b)
!z
=
!0 + !1 : Aufwärtsmischer in Gleichlage
Die obigen Betrachtungen lassen sich auch auf nicht-harmonische Signale
us (t ) durch seine Fouriertransformierte U S (j!) dargestellt wird:
us (t )
d
t
us (t ) verallgemeinern, wobei
U S (j!)
(6)
Mit einem Lokaloszillator-Signal
u0 (t ) = 2 cos(!0 t )
gilt dann
us (t ) u0 (t ) = U S j (!
Das Eingangsignal wird damit um die Frequenz
!0 )
+
(7)
U S j ( ! + !0 ) :
(8)
!0 sowohl nach oben als auch nach unten verschoben,
es bleibt aber ansonsten unverändert, so dass keine Informationen verloren gehen.
!0 > !1 , !z
Für einen Abwärtsmischer in Kehrlage entsprechend 2a) in obiger Darstellung (
ergibt sich das Spektrum in Abb. 2. Als Ausgangssignal werden die Spektralkomponenten
!0
!1
!0 !1 )
um !z =
=
herum herausgeltert.
U S (j(ω + ω0 ))
−(ω0 + ω1 )
−ω0
−ω1
U S (j(ω − ω0 ))
U S (jω)
−(ω0 − ω1 )
+(ω0 − ω1 )
+ω1
+ω0
+(ω0 + ω1 )
Abb. 2: Eingangs- und Ausgangsspektrum für einen Kehrlage-Abwärtsmischer.
1.1 Spiegelfrequenz
Wenn wir einen Kehrlage-Abwärtsmischer voraussetzen mit einer festen (durch die Wahl des Filters am
Ausgang festgelegten) Zwischenfrequenz
!z , liegt die gewünschte Eingangsfrequenz bei !1 = !0 !z .
Es ist allerdings zu beachten, dass dann auch (unerwünscht) ein Eingangssignal bei der Frequenz
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Hochfrequenztechnik II
!10
=
!0 + !z
Mischer
auf die gleiche Zwischenfrequenz
!z
MI/3
umgesetzt wird.
!10
wird als Spiegelfrequenz
bezeichnet, und der Abstand zwischen Soll-Eingangsfrequenz und Spiegelfrequenz ist durch
!10
!1 = 2!z ;
(9)
also die doppelte Zwischenfrequenz gegeben.
Um damit ein eindeutiges Zwischenfrequenzsignal zu ermöglichen, muss die Spiegelfrequenz am Eingang durch entsprechende Filterung unterdrückt werden.
Es ist damit ein Kompromiss zu nden zwischen einer einfachen Filterrealisierung am Eingang (möglichst hohe Zwischenfrequenz) und einer unproblematischen Signalverarbeitung (möglichst niedrige
Zwischenfrequenz). Gegebenenfalls können auch mehrere Mischstufen hintereinander geschaltet werden (zunächst hohe Zwischenfrequenz und am Ausgang niedrige Zwischenfrequenz).
2 Realisierung von Mischern mit nichtlinearen Kennlinien
Die Multiplikation auch bei hohen Frequenzen lässt sich durch nichtlineare Kennlinien realisieren. Beispielsweise eignen sich dazu nichtlineare Kennlinien zwischen Strom und Spannung bei Dioden und
Transistoren.
Abb. 3: Strom und Spannung bei Dioden und Transistoren.
Der Zusammenhang zwischen dem Strom
i (t ) und der Spannung u (t ) ist dabei durch
i
gegeben mit der nichtlinearen Funktion
Strom
i
instantan der Spannung
u
=
f (u )
(10)
f (u ). Zur Vereinfachung wollen wir hier annehmen, dass der
folgt und Ladungsspeichereekte vernachlässigt werden können.
2.1 Hochfrequenzgleichrichtung
Bevor wir uns dem eigentlichen Mischer zuwenden, wollen wir eine nichtlineare Kennlinie
betrachten, die nur von
einem
i
=
f (u )
harmonischen Signal
u (t ) = Ug + U^ cos(!t ):
(11)
ausgesteuert wird.
Es sei

i (t ) = f (u (t )) = IS exp
u (t )
UT
!

1
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(12)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
Abb. 4: Beispielhafter Verlauf von
Ug = 0; 6UT ).
mit dem Sperrstrom
T
IS
u (t )
i (t )
und
MI/4
bei einer Diodenkennlinie (hier mit
und der Temperaturspannung
UT
kT
e
=
UT
(
U^
=
UT
und
= 26 mV bei Raumtemperatur
u (t ) und i (t ) beispielhaft skizziert.
2
Der Strom i (t ) ist dann immer noch periodisch mit der Periodendauer =
! , so dass dann i (t ) als
= 290 K). Im Abb. 4 ist der Verlauf zwischen
Fourierreihe
geschrieben werden kann:
i (t ) =
1
+
X
m=
1
Am exp(jm!t )
(13)
mit den Fourierkozienten
Am =
1
+
Z=2
i (t ) exp( jm!t ) dt =
=2
+
Z=2
1

IS exp
=2
"
Ug + U^ cos(!t )
UT
Zur Lösung von Gl. (14) wird die modizierte Besselfunktion
Im ( x ) =
1
2
Z+

#
1 exp(
jm!t ) dt
(14)
Im (x ) der Ordnung m eingeführt:
x cos y ) cos(my ) dy;
exp(
(15)
so dass sich aus Gl. (14) ergibt:
Ug
U^
Im
UT
UT
!
Am = IS exp

A0 = IS exp
!
Ug
U^
I0
UT
UT
!
!
für
m 6= 0
(16)
für
m=0
(17)

1
In Abb. 5 sind modizierte Besselfunktionen beispielhaft dargestellt.
U UT ), ergibt sich auch für den Strom
ein nahezu harmonischer Verlauf, wobei die Verzerrungen durch die Fourierkoezienten Am mit m 2
Solange die Diodenkennlinie nur schwach ausgesteuert wird ( ^
charakterisiert werden. Gelegentlich wird auch ein Klirrfaktor eingeführt, wobei der Klirrfaktor der
Ordnung
m gegeben ist als
km =
A m
:
A1 TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
(18)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/5
Im
I0
I1
I2
I3
x
Abb. 5: Modizierte Besselfunktionen
Zur einfacheren Analyse von
mente von
x
Am
ist es zweckmäÿig, Näherungen für
einzuführen. So gilt für
x
1
Im ( x ) x
1
sich alle
Im (x ) für kleine und groÿe Argu-
:
m
x
1
m!
2
x2
I0 ( x ) 1 +
während für
Im (x ) der Ordnung m = 0 : : : 3.
2
für
m 6= 0
(19)
für
m=0
(20)
Im (x ) dem Grenzwert
Im ( x ) x
2x
p
exp( )
(21)
nähern.
Beispiel:
Als Beispiel werde die Gleichrichterschaltung in Abb. 6 betrachtet. Die Kapazität
groÿ, so dass an ihr nur die Gleichspannung
von
i (t ), der sich mit Gl. (13) zu A0
C sei sehr
Ug abfällt. Ug hängt zusammen mit dem Gleichstrom
ergibt. Damit gilt
Ug = A0 R
(22)
und damit ergibt sich mit Gl. (17)

Ug = IS R exp
woraus sich die Gleichrichtspannung
U UT
bestimmen lässt. Für ^
Ug
Ug
U
I
UT 0 UT
!
^

!
1
;
(23)
als Funktion der Hochfrequenz-Wechselspannung
U^
folgt aus Gl. (23) mit Gl. (20):
Ug =
U^2
UT


1

2+
UT
IS R
;
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(24)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/6
quadratischen Gleichrichtung
so dass man dann auch von einer
U
spricht. Für ^
UT
folgt aus
Gl. (23) mit Gl. (21):
^
Ug = U;
so dass man dann von
(25)
linearer Hochfrequenz-Gleichrichtung
spricht.
Abb. 6: Schaltung zur Hochfrequenzgleichrichtung.
2.2 Mischer mit nichtlinearer Transistorkennlinie
Wir betrachten entsprechend Abb. 3 einen Transistor, der mit einer Überlagerung aus Signal- und
Lokaloszillator-Spannung ausgesteuert wird. Es gilt damit für
u (t ):
u (t ) = us (t ) + u0 (t ):
(26)
u0 (t ) = Ug + U^0 cos(!0 t ):
(27)
Für das Lokaloszillator-Signal gilt
Weiterhin soll der Transistor durch das Eingangssignal
us (t ) nur schwach ausgesteuert werden, so dass
jus (t )j U^0:
(28)
gilt. Diese Aussteuerung ist in Abb. 7 skizziert. Es gilt
i (t ) = f (u (t )) = f (u0 (t ) + us (t )) = f (u0 (t )) + us (t )
Gl. (29) stellt die Taylor-Entwicklung von
d f (u )
Taylor-Entwicklung dargestellt ist.
du
f (u )
ju=u (t )
0
um
u0 (t )
d f (u ) du +
:::
(29)
u =u0 (t )
herum dar, wobei nur das erste Glied der
stellt die durch das Lokaloszillator-Signal gesteuer-
te zeitabhängige Steilheit des Transistors dar. Diese Steilheit ändert sich periodisch entsprechend
der Frequenz des Lokaloszillators und wird mit dem Eingangssignal multipliziert.
führt zu der gewünschten Frequenzumsetzung.
Fourierreihe darstellen:
S (t ) =
d f (u ) du Die Steilheit
1
=
u =u0 (t )
+
X
m=
1
d f (u )
( ) =
du
St
Y m exp(jm!0 t )
TU Berlin Prof. Dr.-Ing. K. Petermann
ju=u (t )
0
Diese Multiplikation
lässt sich wieder als
(30)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/7
i = f (u)
Steigung
!
df
du
"
us (t)
u
Ug
u0 (t)
Zeit t
f (u ) wird von us (t ) und u0 (t ) ausgesteuert, wobei die Kennlinie im Bereich
df
der Aussteuerung von us (t ) im Wesentlichen linear ist. Da der Parameter
durch u0 (t ) gesteuert
du
Abb. 7: Die Kennlinie
i
=
wird, spricht man auch von einer parametrischen Schaltung.
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Hochfrequenztechnik II
Beispiel:
Mischer
MI/8
Beim bipolaren Transistor gilt für den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung die
Diodenkennlinie von Gl. (6), so dass für die Ableitung
f du d
gilt. Für
IS
UT
=
u0 (t )
u0 (t )
UT
exp
!
(31)
u0 (t ) entsprechend Gl. (27) ergeben sich die Fourierkoezienten Y m
Ym =
1
+
Z=2
=2
IS
UT
zu:
Ym =
IS
UT
exp
= U S exp(j!1 t ) + c:c:] zu:
i (t )
!
exp(
U^
Ug
Im 0
UT
UT
!
exp
wieder mit der modizierten Besselfunktion
Das gesamte Spektrum des Stroms
u0 (t )
UT
jm!0 t ) dt
(32)
!
(33)
Im (x ).
gemäÿ Gl. (10) ergibt sich mit Gl. (30) und
us (t )
=
1 2[
i (t ) = f (u0 (t )) +
2
f (u0 (t ))
Der erste Term
1
+
X
1
m=
U S Y m exp(j (m!0 + !1 )t ) + U S Y m exp(j (m!0
1
!1 )t )
beinhaltet ähnlich zu Gl. (6) die Harmonischen des Lokaloszillator-Signals
m !0 , während im zweiten Term die Mischprodukte (m!0 + !1 , m!0 !1 ) erscheinen.
Wenn wir als Beispiel einen Kehrlage-Abwärtsmischer betrachten (!0 > !1 , !z = !0
!1 ),
sich das Zwischenfrequenzsignal bei !z aus Gl. (34) zu:
iZF (t ) =
wobei wir von
Y
1 =
Y 1
(34)
1
2
Y 1 U S exp(j (!0
!1 )t ) + Y 1 U S exp( j (!0
!1 ) t ) ;
ergibt
(35)
Gebrauch gemacht haben.
Das Zwischenfrequenzsignal lässt sich damit durch einen Zeiger
I ZF
darstellen, wobei
Y1
=
Y 1 US
(36)
Y 1 die Übertragung von der Signalspannung zum Zwischenfrequenzstrom beschreibt.
wird deshalb auch als
Mischsteilheit
bezeichnet.
Im obigen Beispiel haben wir die Umsetzung eines Eingangssignals bei der Frequenz
!0
!1
auf die Zwi-
!1 ) beschrieben. Wir sprechen dann von einem Grundwellenmischer.
Es lassen sich aber auch die Oberwellen von !0 ausnutzen, indem man die Eingangsfrequenz !1 auf
die Zwischenfrequenz (m !0
!1 ) umsetzt. Man spricht dann von einem Oberwellenmischer mit der
Mischsteilheit Y m . Die Ezienz eines Oberwellenmischers ist geringer als die eines Grundwellenmischers; dafür genügt aber die Realisierung eines Lokaloszillators bei einer um den Faktor m niedrigeren
schenfrequenz (
Frequenz.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/9
Abb. 8: Prinzipieller Aufbau eines Heterodyn-Empfängers.
3 Beispiele für die Realisierung von Mischern
Ein typisches Beispiel für einen Mischer ist ein Heterodyn-Empfänger, wie er in Abb. 8 dargestellt
ist.
Er besteht aus einem Vorverstärker mit einem Filter zu Unterdrückung der Spiegelfrequenz. Das Eingangssignal wird mit einem Mischer auf eine feste Zwischenfrequenz umgesetzt, die dann ein ZF-Filter
passiert, bevor es der Demodulation bzw. der weiteren Signalverarbeitung zugeführt wird. Die Frequenz
des Lokaloszillators (variabel) wird dabei so eingestellt, dass die gewünschte Eingangsfrequenz korrekt
auf die feste voreingestellte Zwischenfrequenz umgesetzt wird.
Beispiele dafür stellen Rundfunkempfänger dar, wobei in Abb. 9 beispielhaft ein
FM-Tuner
(UKW-
Empfänger) dargestellt ist. Es handelt sich dabei um eine ältere Schaltungsrealisierung (ca. 1970), die
mit einer geringen Zahl von diskreten Bauelementen die in Abb. 8 genannten Funktionen, Vorverstärker,
Spiegelfrequenzlter, Mischer, Lokaloszillator und ZF-Filter realisiert.
Wir haben dort einen FET-Vorverstärker mit eingangs- und ausgangsseitigem Filter (abstimmbar zur
Unterdrückung der jeweiligen Spiegelfrequenz). Der untere Teil der Schaltung stellt einen ColpittsOszillator dar (vgl. Abb. 17 in Abschnitt RÜ) ,und die Mischstufe wird durch einen Bipolartransistor
dargestellt, an den sich am Ausgang ein Filter bei der Zwischenfrequenz um 10,7 MHz anschlieÿt.
Neben den oben dargestellten Mischern mit Transistoren lassen sich auch Mischer mit nichtlinearen Kennlinien anderer Bauelemente realisieren. Jenseits der Grenzfrequenz von Transistoren lassen
sich beispielsweise Schottky-Dioden (vgl. Skript Hochfrequenztechnik I) einsetzen, da diese eine sehr
schnelle Steuerung des dierentiellen Widerstands ermöglichen (einsetzbar bis Frequenzen im Bereich
von 1000 GHz), wie weiter unten genauer erläutert wird.
12
Der Frequenzbereich von ca. 1100 THz (1 THz=10
Hz) ist technisch nur schwer zugänglich, wäh-
rend Mischer im optischen Frequenzbereich oberhalb von ca. 100 THz ( 0
3
m) wieder sehr einfach
mit Hilfe von Fotodioden realisiert werden können. Das Prinzip einer Mischung im optischen Frequenzbereich ist in Abb.10 skizziert.
Es (t ) (bei der optischen Frequenz !1 ) wird mit dem Feld des Lokaloszillatorsignals E0 (t ) bei der Frequenz !0 überlagert, so dass sich an der Fotodiode ein Feld
Das Feld des Eingangssignals
E (t ) = E0 (t ) + Es (t )
i t
(37)
ergibt. Der Fotostrom ( ) ist proportional zur einfallenden optischen Leistung und damit proportional
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
Abb. 9: Realisierungsbeispiel für einen FM-Tuner mit diskreten Bauelementen.
Abb. 10: Prinzip eines Mischers von zwei optischen Signalen mit einer Fotodiode.
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MI/10
Hochfrequenztechnik II
zu
Mischer
MI/11
E 2 (t ), so dass sich ergibt:
i (t ) / E 2 (t ) = E02 + Es2 + 2E0 (t )Es (t )
(38)
E0 (t )Es (t ) repräsentiert, wobei bei dieser Multiplikation die
gewünschte Zwischenfrequenz !z = j!0 !1 j entsteht. Dieses Prinzip wird in der kohärenten optischen
Der Mischterm in Gl. (38) wird durch
Nachrichtentechnik angewandt.
4 Mischer mit Schottky-Dioden
Die Schottky-Diode wird wieder durch eine Dioden-Kennlinie
i
=
f (u ) entsprechend Gl. (12) charak-
terisiert, wobei der Einuss von parasitäten Kapazitäten sehr gering ist.
Die Schottky-Diode wird nur mit einer Überlagerung von Lokaloszillator, Eingangssignal und Zwischenfrequenzsignal ausgesteuert, wobei diese drei Signale in irgendeiner Weise an die Schottky-Diode
herangeführt werden müssen. Um die im Allgemeinen recht komplizierte Analyse handhabbar zu machen, wollen wir hier als Beispiel eine ideale Spannungseinprägung voraussetzen.
An der Schottky-Diode liegt dann die Summenspannung aus der Lokaloszillator-Spannung
Eingangssignal-Spannung
us (t ) und der ZF-Signal-Spannung uZF (t ) an.
u0 (t ), der
ω0
ω1
ωz = (ω1 − ω0 )
Abb. 11: Schematische
Anordnung
eines
Mischers
mit
einer
Schottky-Diode
und
Spannungseinprägung.
Das Prinzip einer solchen Spannungseinprägung ist in Abb. 11 skizziert. Die in Abb. 11 eingezeichneten
Schwingkreise sind symbolisch so zu verstehen, dass sie für alle anderen Frequenzen als die jeweilige
Soll-Frequenz Kurzschlüsse darstellen. Wie in Abb. 7 wird die Diodenkennlinie im Wesentlichen durch
das Lokaloszillator-Signal
u0 (t ) ausgesteuert, während sie durch us (t ), uZF (t ) nur im linearen Bereich
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/12
i (t ) ergibt sich dann ähnlich wie in Gl. (29) zu
betrieben wird. Der Strom durch die Schottky-Diode
i (t ) = f (u (t )) = f [u0 (t )) + us (t ) + uZF (t )] = f (u0 (t )) + [us (t ) + uZF (t )]
wobei sich
Periode
ju (t )
df
du
0
=!0
= 2
Y m = Y m
;
(39)
u0 (t )
auassen lässt, der sich periodisch mit der
wieder wie in Gl. (20) als Fourierreihe entwickeln lässt:
g (t ) =
wobei
g (t )
als ein zeitabhängiger Leitwert
df du für alle reellen
1
f du d
=
u0 (t )
+
X
1
m=
Y m exp(jm!0 t );
(40)
g (t ) gelten muss.
Die Mischung mit der Schottky-Diode erfolgt also im Wesentlichen dadurch, dass durch Aussteuerung
der Schottky-Diode mit
u0 (t ) ein zeitabhängiger dierentieller Leitwert g (t ) entsteht.
Damit entspricht Abb. 11 der Anordnung in Abb. 12.
ZF-Kreis
ωz = (ω1 − ω0 )
Signalkreis
ω1
g (t ) (resistiver
Abb. 12: Mischung mit einem sich periodisch verändernden Leitwert
Mischer) und
Spannungseinprägung.
Aus Abb. 12 folgt
i (t ) = us (t ) + uZF (t ) g (t );
(41)
was genau Gl. (39) entspricht (ohne den für die Mischung unerheblichen Term
f [u0 (t )]). Das g (t ) in
Abb. 12 muss nicht unbedingt mit einer Schottky-Diode realisiert werden, möglich ist z. B. auch die
Steuerung des Kanalleitwerts eines FETs durch die Gate-Source-Spannung.
Für einen
Gleichlage-Abwärtsmischer (!1 > !0 , !z
us (t ) =
uZF (t ) =
und
1
2
1
2
=
!1
!0 ) führt Gl. (41) mit
U S exp(j!1 t ) + c:c:
U ZF exp(j (!1
(42)
!0 )t ) + c:c:
(43)
g (t ) gemäÿ Gl. (40) auf
i (t ) =
1
2
1
X
+
U S exp(j!1 t ) + U ZF exp(j (!1
!0 )t ) + c:c:
Gl. (44) führt auf unendlich viele Frequenzkomponenten
in Abb. 12 nur die Frequenzkomponenten bei
!1
und
!z
m=
j!1 m!0j
1
Y m exp(jm!0 t )
(44)
, wovon für den Mischvorgang
= (
!1
!0 )
interessieren, da alle anderen
Frequenzkomponenten im Rahmen des Ansatzes der Spannungseinprägung kurzgeschlossen werden.
Aus Gl. (44) folgt für die Stromkomponenten bei
i (t ) =
1
2
!1
!1
und (
!0 ) (Y
1 =
U S Y0 + U ZF Y 1 ) exp(j!1 t ) + (U ZF Y0 + U S Y 1 ) exp(j (!1
(
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Y 1 ; Y
=
Y0
reell)
!0 )t ) + c:c: ;
(45)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/13
wobei für die Ströme bei der Signalfrequenz und Zwischenfrequenz wieder Stromzeiger eingeführt
werden können:
i s (t ) =
iZF
=
1
2
1
2
I S exp(j!1 t ) + c:c: ;
I ZF exp(j (!1
(46)
!0 )t ) + c:c: ;
(47)
so dass sich aus Gl. (45) ergibt:
I S = (U S Y0 + U ZF Y 1 )
I ZF = (U ZF Y0 + U S Y 1 )
(48)
(49)
Gl. (48) und (49) lassen sich in Matrix-Schreibweise formulieren:





Y Y 1  U S 
I
 S = 0
I ZF
Y 1 Y0
U ZF
y -Parametern
Gl. (50) entspricht formal der Beschreibung mit
(50)
gemäÿ Abb. 13. Das Netzwerk ent-
sprechend Abb. 12 und 13 ist ja auch ein lineares Netzwerk, aber es ist nicht zeitinvariant, weshalb
die Zeiger
IS, US
bzw.
I ZF , U ZF
auf jeweils unterschiedliche Frequenzen bezogen sind.
I ZF
IS
(Y )
US
U ZF
Abb. 13: Mischer als lineares Umsetzungsnetzwerk.
Interessant ist nun der maximal erreichbare Konversionswirkungsgrad von der Signalfrequenz
!ZF = !1 !0 . Dazu kann die aus den y -Parametern bekannte
0
Leistungsverstärkung Gm herangezogen werden. Aus Gl. (RÜ 27) mit Gl. (RÜ 26) folgt:
der Zwischenfrequenz
G0
m
=
In Gl. (50) gilt
<(y 11)<(y 22) <(y 12y 21) +
2
y 11 = y 22 = Y0
und für reelles
q
(wie in Gl. (33)) gilt
dass aus Gl. (51) folgt:
Gm0 =
Y1
Y0
!2

v
u
u

t
1 + 1
Y1
Y0
!2

zu
maximale
jy 21j2
[2<(y )<(y )
<(y 12y 21)]2 jy 12y 21j2
11
22
Y1
!1
(51)
Y 1 = Y 1 = Y1 =
^y
= y , so
12
21
2


(52)
Für die harmonische Aussteuerung einer Diodenkennlinie folgt aus Gl. (33)
Y1
Y0
=
I1
U^0
UT
I0
U^0
UT
:
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(53)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
Die maximale Leistungsverstärkung
ein noch realistisches
U^0
UT
Gm0
MI/14
nähert sich 1 für
Y1
Y0
!1
, was für
= 10 ergibt sich beispielsweise ein
Gm0
;
U^0
UT
= 0 5 (
!1
erreicht wird. Für
3 dB), was trotz der hier
durchgeführten Näherungen (ideale Spannungseinprägung) ein realistisches Ergebnis darstellt.
Dieses maximale
Leitwert
Y
=
q
Y
Gm0
2
0
wird erreicht, wenn sowohl auf der Signal- als auch auf der ZF-Seite an den
Y12
angepasst wird.
Die Rauschzahl eines derartigen realistischen Mischers ist ähnlich wie bei einem passiven Netzwerk
F
wenn
Gm0
G10
m
;
die verfügbare Konversionsezienz des Mischers (
(54)
Gm < 1) bezeichnet.
5 Gegentaktmischer
Der Nachteil des Mischers mit Schottky-Dioden, wie wir ihn in Abschnitt 4 diskutiert haben, besteht
darin, dass neben dem gewünschten Produkt
us (t ) + uZF (t )] g (t )
[
mit
g (t ) =
df
du
ju (t )
0
in Gl. (39) mit dem Term
f (u0 (t )) noch die Harmonischen von !0 erscheinen. Zur
Vermeidung dieses Terms werden Schottky-Dioden-Mischer häug als sogenannte Gegentaktmischer aufgebaut.
Das Prinzip eines Gegentaktmischers zeigt Abb. 14.
Abb. 14: Prinzip eines Gegentaktmischers mit
uZF (t ).
u1 (t ) = u0 (t ) + us (t ) + uZF (t ) und u2 = u0 (t ) us (t )
Wir gehen dabei von zwei gleichen Schottky-Dioden aus, die jeweils mit der Spannung
u1 = u0 (t ) + us (t ) + uZF (t )
(55)
u2 = u0 (t ) us (t ) uZF (t )
(56)
und
ausgesteuert werden. Der Dierenzstrom
i (t ) = i1 (t ) i2 (t ) ergibt sich als
i (t ) = f (u1 (t )) f (u2 (t ))
= 2[us (t ) + uZF (t )]g (t )
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(57)
Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/15
g (t ) entsprechend Gl. (40), so das man dann wieder die Multiplikation wie in Gl. (41) erhält.
3 dB
Ein solcher Mischer lässt sich aufbauen mit einem
-Koppler, 180 -Hybrid oder Magisches T (vermit
180
gleiche Hochfrequenztechnik I, Abschn. HS), der z. B. als Ringkoppler (HFT I, Abschn. HS, Abb. 13)
realisiert werden kann. Ein Realisierungsbeispiel zeigt Abb. 15.
Abb. 15: Gegentaktmischer mit Ringkoppler und zwei Schottky-Dioden.
Die Kapazität
C
in Abb. 15 soll einen Tiefpass repräsentieren, der für das hochfrequente Signal und
den Lokaloszillator einen Kurzschluss und das ZF-Signal einen Leerlauf darstellt. An den SchottkyDioden liegt jeweils die Summe bzw. die Dierenz von Lokaloszillator- und Eingangssignal an, während
sich der Strom des ZF-Signals gleichzeitig auf die beiden Schottky-Dioden aufteilt.
6 Ringmischer
Ein Nachteil des oben diskutierten Gegentaktmischers besteht noch darin, dass
und damit der Gleichanteil
g (t ) immer positiv ist
Y0 von g (t ) in Gl. (40) nicht verschwindet. Die führt dazu, dass der Strom
i (t ) in Abb. 14 und 15 oder Gl. (41) immer auch Spektralanteile des Eingangssignals mit beinhaltet.
Idealerweise wäre bei g (t ) in Gl. (40) Y0 = 0 und nur Y 1 = Y 1 6= 0. Um einem solchen idealen
Verhalten näher zu kommen, verwendet man einen sogenannten Ringmischer ,
wie er in Abb. 16
schematisch dargestellt ist.
u0 (t ) > 0 werden die Dioden D2 und D4 leitend (im Idealfall Kurzschluss), während D1
sperren (im Idealfall Leerlauf ). Für u0 (t ) < 0 drehen sich die Verhältnisse um.
Für
und
D3
Dann lässt sich idealerweise schreiben:
uZF
mit der Schaltfunktion
=
us (t ) s (t )


+1
für
1
für
s (t ) = 

u0 (t ) > 0
u0 (t ) < 0
(58)
(59)
Diese Multiplikation in Gl. (58) kommt der idealen Multiplikation für einen Mischer in Gl. (3) sehr
nahe und ist auch einmal in Abb. 17 skizziert.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/16
ZF
Abb. 16: Prinzip eines Ringmischers bzw. Ringmodulators.
s(t)
uZF (t)
+1
us (t)
−1
Abb. 17: Schematische Darstellung der Multiplikation von
us (t ) mit s (t ) bei einem Ringmischer.
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/17
Das Prinzip eines Ringmischers ist nicht auf die Realisierung mit Dioden beschränkt. Eine Realisierung
mit Feldeekttransistoren führt auf den sogenannten Gilbert-Mischer tielle) Eingangssignal wird dabei zwischen den Anschlüssen RF
in Abb. 18. Das (dieren-
+
und RF
angelegt, während das
ZF-Ausgangssignal sich als dierentielles Ausgangssignal zwischen den Knoten 1 und 2 ergibt. Der
Lokaloszillator wird zwischen LO
+
und LO
angeschlossen.
–
Abb. 18: Prinzip eines Gilbert-Mischers.
Die Äquivalenz zu einem Ringmischer wird deutlich, wenn man Abb. 18 etwas umzeichnet, woraus sich
Abb. 19 ergibt.
ZwischenFrequenzAusgang
Eingangssignal
Abb. 19: Gilbert-Mischer, dargestellt in Form eines Ringes.
7 Parametrische Frequenzumsetzung mit gesteuerter Kapazität
g (t ) diskutiert. Es stellt sich hier die
Frage, ob nicht auch die Mischung mit einer steuerbaren Kapazität c (t ) möglich wäre. Auf den esten
Wir haben oben die Mischung mit einem steuerbaren Leitwert
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Hochfrequenztechnik II
Mischer
MI/18
Blick hätte eine gesteuerte Kapazität den Vorteil, dass keine Verluste entstehen.
Allgemein lässt sich eine nichtlineare Kapazität durch eine nichtlineare Beziehung zwischen der Ladung
q (t ) und der Spannung u (t ) entsprechend
q (t ) = h[u (t )]
(60)
beschreiben, woraus sich die dierentielle Kapazität
q du d
c (t ) =
(61)
u0 (t )
ergibt, wobei die nichtlineare Kapazität durch die Lokaloszillator-Spannung
c (t ) lässt sich dann wie in Gl. (40) als Fourier-Reihe schreiben:
c (t ) =
m=+
X1
m=
1
u0 (t ) ausgesteuert wird.
C m exp(jm!0 t )
(62)
C 0 = C0 und C m = C m . In Abb. 12 lässt sich dann g (t ) durch c (t ) und der Strom i (t )
durch die Ladung q (t ) ersetzen, woraus dann statt Gl. (41) für q (t ) folgt:
mit reellem
q (t ) = [us (t ) + uZF (t )]c (t )
(63)
Statt für den Strom schreiben wir jetzt für die Ladung bei dem Eingangs- bzw. Zwischenfrequenzsignal
(vgl. Gl. (46), (47))
qs (t ) =
1
qZF (t ) =
1
2
2
QS exp(j!1 t ) + c:c:]
(64)
QZF exp(j (!0
(65)
[
!1 )t ) + c:c:];
[
woraus sich dann wie in Gl. (50) in Matrix-Schreibweise ergibt:





Q
C C1  U S 
 S = 0
:
QZF
C 1 C0
U ZF
Wenn man jetzt versucht, den
zum Strom
Konversionswirkungsgrad
d q (t )
( ) =
übergehen, woraus
dt
i t
I S = j!1 QS
folgt. Hier wird das Problem eines
und
Abwärtsmischers
I ZF
(66)
zu ermitteln, muss man von der Ladung
=
j!ZF QZF
mit gesteuerter Kapazität deutlich: Für
q (t )
(67)
!ZF
!1
ergeben sich bei der Zwischenfrequenz sehr kleine Ströme (und damit auch sehr kleine Leistungen),
so dass ein Abwärtsmischer mit gesteuerter Kapazität nicht vernünftig realisiert werden kann. Anders
verhält es sich jedoch bei einem
(
parametrische Verstärkung ).
Aufwärtsmischer (!ZF
!1
); hier ist sogar eine Verstärkung möglich
Für gesteuerte Kapazitäten gibt es allgemeine Gesetzmäÿigkeiten für die Leistungsbeziehungen (ManleyRowe-Gleichungen), die hier aber nicht weiter diskutiert werden sollen.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/1
1 Analoge und digitale Signale
Modulationsverfahren werden benötigt, um ein vorhandenes Basisbandsignal s(t) über ein hochfrequentes Trägersignal zu übertragen. Dieses Signal kann vorliegen als analoges Signal s(t) mit der
Bandbreite ∆f . Wir sprechen dann auch von einem zeit- und wert-kontinuierlichem Signal. s(t) kann
aber auch vorliegen als ein wert- und zeit-diskretes Signal, wobei wir dann von einem digitalen Signal
s(t) sprechen.
1.1 Digitale Signale
Zur Gewinnung dieses digitalen Signales wird das Ursprungssignal mit einer festen Abtastrate fB abgetastet, und nur die Signalwerte zu diesen festen Abtastzeitpunkten werden übertragen (zeitdiskrete
Übertragung). Das analoge Ursprungssignal ist ohne jeglichen Verlust aus den zeitdiskreten Abtastwerten wieder gewinnbar, wenn für die Abtastrate
fB > 2∆fa
(1)
gilt (mit der Bandbreite ∆fa des analogen Ursprungssignals). Bei einem digitalen Signal werden diese
einzelnen Abtastwerte quantisiert übertragen. (wertdiskrete Übertragung), z. B. mit 2n Quantisierungsstufen, wobei n die Anzahl der „bits” pro Abtastzeitpunkt beschreibt. Die benötigte Bitrate für
das digitale Signal ist dann durch
B = n · fB > 2n · ∆fa
(2)
gegeben.
Beispiel: Wenn man von einem analogen Ursprungssignal mit ∆f = 5 MHz Bandbreite ausgeht, das
mit n = 8, also 2n = 256 Quantisierungsstufen, übertragen werden soll, benötigt man eine
Bitrate von mindestens
Mbit
Mbit
= 80
s
s
Bei z. B. einem Videosignal lässt sich die Datenrate jedoch mit entsprechender Quellenkodierung,
B >2·8·5
z. B. MPEG, erheblich reduzieren.
Wenn ein digitales Signal mit der Bitrate B als binäres NRZ-Signal (NRZ – non-return-to-zero)
übertragen werden soll, muss der Übertragungskanal die Bandbreite
∆f =
B
2
(3)
bereitstellen, wie am Beispiel von Abb. 1 deutlich wird.
Man kann das NRZ-Signal in Abb. 1 auffassen als die Übertragung von B Symbolen pro Sekunde,
wobei jedes Symbol die Information von „1 bit” beinhaltet. Pro Symbol können in höherwertigen
Modulationsverfahren auch mehr Informationen übertragen werden, z. B. m-bits (d. h. z. B. pro Symbol
2m diskrete Amplitudenwerte), so dass sich dann die Symbolrate S zu
S=
B
m
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/2
s(t)
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0 1
0
1
1
1 0 0
1
0
max. Frequenzkomponente
B
2
1
t
Abb. 1: Binäres NRZ-Signal und die darin enthaltene maximale Frequenzkomponente
B
2.
ergibt, und die erforderliche Bandbreite für dieses mehrstufige digitale Signal ist dann entsprechend zu
Gl. (3) als
∆f =
B
S
=
2
2m
(4)
gegeben.
2 Trägermodulationsverfahren
Das eben diskutierte Signal s(t) soll nun mit einer Trägerfrequenz fT (bzw. ωT = 2π · fT ) in der
Hochfrequenz-Ebene übertragen werden. Das hochfrequente modulierte Signal uM (t) kann dann geschrieben werden als:
uM (t) = ÛM (t) cos[ωT t + ϕ(t)] = <[u(t) exp(jωT t)]
(5)
mit dem komplexen (jetzt zeitabhängigen) Zeiger u(t)
u(t) = ÛM (t) exp[jϕ(t)].
(6)
Wir wollen ein reelles Eingangssignal s(t) mit |s(t)| ≤ 1 voraussetzen, wobei der Zeiger u(t) dem
Eingangssignal s(t) in geeigneter Weise folgt. s(t) kann dabei sowohl als analoges als auch als digitales
Signal vorliegen.
Wie Gl. (6) zeigt, kann man u(t) bezüglich der Amplitude, der Phase oder der Frequenz modulieren.
Wir wollen im Folgenden diese verschiedenen Modulationsarten diskutieren.
Amplitudenmodulation: Bei einer reinen Amplitudenmodulation wird in Gl. (6) nur die Amplitude
ÛM (t) moduliert und die Phase ϕ(t) bleibt konstant (z. B. ϕ(t) = 0). Der zeitabhängige Zeiger
u(t) ist dann rein reell, und es gilt
u(t) = ÛM0 [1 + m · s(t)]
(7)
mit der mittleren Amplitude ÛM0 und dem Modulationsindex m mit m ≤ 1. Durch die Bedingung
(m ≤ 1) wird sicher gestellt, dass die Amplitude immer positiv reell bleibt.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/3
Im Einzelnen sprechen wir von
s(t) analog
⇒
AM (Amplitudenmodulation)
s(t) digital
⇒
ASK (amplitude-shift keying – Amplitudenumtastung)
Phasen- und Frequenzmodulation (Winkelmodulation): Alternativ zur Amplitude lässt sich auch
die Phase oder Frequenz des Trägersignals modulieren. Die Amplitude ist dann konstant ÛM (t) =
ÛM0 , und der Zeiger
u(t) = ÛM0 exp[jϕ(t)]
(8)
beinhaltet dann die modulierte Phase ϕ(t). Bei einer Phasenmodulation gilt
ϕ(t) = ∆ϕ · s(t)
(9)
mit dem Phasenhub ∆ϕ.
Wir sprechen dann von
s(t) analog
⇒
PM (Phasenmodulation)
s(t) digital
⇒
PSK (phase-shift keying – Phasenumtastung)
Alternativ zur Phase können wir auch die Frequenz modulieren. Bei einer Frequenzmodulation
führen wir zunächst die modulierte Frequenz f (t)
f (t) =
1 dϕ
2π dt
(10)
ein, wobei f (t) dem Signal s(t) gemäß
f (t) = ∆fT · s(t)
(11)
mit dem Frequenzhub ∆fT folgt. Wir sprechen dann von
s(t) analog
⇒
FM (Frequenzmodulation)
s(t) digital
⇒
FSK (frequency-shift keying – Frequenzumtastung)
2.1 Amplitudenmodulation
Bei einem Zeiger u(t) gemäß Gl. (7) (d. h. u(t) positiv reell), folgt aus Gl. (5) für das modulierte
Signal uM (t):
uM (t) = ÛM0 [1 + m · s(t)] cos(ωT t),
(12)
d. h.
uM (t) = ÛM0 cos(ωT t) + ÛM0 · m · s(t) cos(ωT t)
|
{z
Träger
}
|
{z
Seitenbänder
(13)
}
Das modulierte Signal besteht damit aus einem Träger sowie den Seitenbändern, die die Information
s(t) beinhalten. Wenn wir die Fouriertransformierte von s(t)
s(t)
d
t S(jω)
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(14)
Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/4
einführen, ergibt sich als Foueriertransformierte von uM (t):
uM (t)
d
t Û {π[δ(ω − ω ) + δ(ω + ω )] + m [S(j(ω − ω )) + S(j(ω + ω ))]}
M0
T
T
T
T
|
{z
} |2
{z
}
Träger
(15)
Seitenbänder
mit der Dirac-Funktion δ(x).
Das Spektrum von Gl. (15) ist in Abb. 2 skizziert (für f > 0).
Träger
S(j(ω − ωT ))
fT
f =0
f =
ω
2π
2∆f
Abb. 2: Spektrum eines amplitudenmodulierten Signals (dargestellt ist nur die positive Frequenzachse).
Wenn das Ursprungssignal s(t) eine Bandbreite ∆f aufweist, benötigt man nach Abb. 2 in der
Hochfrequenz-Ebene die doppelte Bandbreite 2∆f für das modulierte Signal.
Ein weiterer Nachteil der normalen Amplitudenmodulation besteht darin, dass im Träger ein erheblicher
Leistungsanteil steckt.
Um dies zu illustrieren, nehmen wir ein harmonisches Basisbandsignal
s(t) = cos(ω1 t)
(16)
an, woraus sich ein uM (t) gemäßt Gl. (13) von
uM (t) = ÛM0 cos(ωT t) + ÛM0 m cos(ω1 t) cos(ωT t)
(17)
ergibt. Die mittlere Leistung von uM (t) lässt sich dann angeben als

2 (t) =
P ∝ uM
2
ÛM0
2


1 +
 |{z}

Träger

m2
2
|{z}




Seitenbänder
Beispiel: Wenn wir einen Mittelwellen-AM-Sender mit einer Leistung von 500 kW und m = 0, 7
annehmen, werden 400 kW im Träger und nur 100 kW in den Seitenbändern übertragen.
Die normale Amplitudenmodulation (AM) ist deshalb eigentlich unwirtschaftlich. Ein sehr hoher Leistungsanteil wird nur für die Übertragung des Trägers verwendet (ohne Informationsanteil) und die
Seitenbänder, die die eigentliche Information beinhalten, haben nur einen relativ kleinen Leistungsanteil. Weiterhin ist die benötigte Bandbreite doppelt so groß wie die Basisbandbreite.
Trotzdem wird die AM noch viel verwendet im analogen Rundfunk im Bereich der LW (Langwelle),
MW (Mittelwelle) und KW (Kurzwelle). Der Grund dafür liegt in der Verwendung sehr einfacher
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/5
Rundfunkempfänger, bei denen aus dem hochfrequenten Signal uM (t) das Basisbandsignal mit |ÛM (t)|
durch lineare Hochfrequenzgleichrichtung (vgl. Abschnitt MI) gewonnen wird.
Eine leichte Verbesserung bezüglich der übertragenen Trägerleistung lässt sich mit der dynamischen
Amplituden-Modulation (DAM) erreichen, bei der die Trägerleistung bei geringerem Modulationsindex
m herabgesetzt wird.
2.1.1 Trägerlose Amplitudenmodulation
Da der Träger keine Information überträgt, braucht er eigentlich auch nicht mit übertragen zu werden.
Statt Gl. (13) erhält man dann
uM (t) = ÛM0 · m · s(t) cos(ωT t)
(18)
einfach aus der Multiplikation von s(t) mit cos(ωT t), was sich mit einer Mischschaltung (vgl. Abschnitt
MI) einfach realisieren lässt. Das Spektrum der trägerlosen Amplitudenmodulation entspricht genau
Abb. 2 ohne Träger.
Der Nachteil der trägerlosen Amplitudenmodulation besteht darin, dass am Empfänger der Träger, also
ein Signal ∝ cos(ωT t), wieder bereitgestellt werden muss. Dieses kann geschehen mit der Übertragung
eines Träger-Restes (also Träger mit reduzierter Amplitude) und anschließender PLL (Phasenregelkreis, vgl. Abschnitt PLL).
Mit einem derart im Empfänger wieder erzeugten Träger kann entweder ein Signal entsprechend Gl.
(12) und (13) wieder erzeugt werden. Gl. (18) kann auch mit cos(ωT t) multipliziert und anschließend
tiefpassgefiltert werden, um s(t) zurückzugewinnen.
Der Nachteil der trägerlosen Amplitudenmodulation besteht darin, dass zwei Seitenbänder übertragen
werden und damit wie bei der normalen AM eine Bandbreite von 2∆f benötigt wird.
2.1.2 Einseitenbandmodulation
Da beide Seitenbänder der trägerlosen AM die gleiche Information tragen, genügt es, nur eines der
beiden Seitenbänder zu übertragen. Man spricht dann von der so genannten „Einseitenbandmodulation”
(EM bzw. SSB – single-sideband modulation).
Ein solches Einseitenband-Signal lässt sich z. B. aus einer trägerlosen AM mit anschließender Filterung
gewinnen (siehe Abb. 3).
Filter
f =0
fT
f =
ω
2π
2∆f
Abb. 3: Gewinnung eines Einseitenband-Signals aus der trägerlosen Amplitudenmodulation mit anschließender Filterung.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/6
Alternativ lässt sich ein Einseitenband-Signal auch mit einem so genannten „Quadraturmodulator”
gewinnen, wie schematisch Abb. 4 zeigt.
Abb. 4: Schematische
Anordnung
zur
Gewinnung
eines
Einseitenband-Signals
mit
Quadraturmodulator.
Diese Anordnung besteht aus zwei Multiplikatoren, die zur Multiplikation von cos(ωT t) bzw. sin(ωT t)
mit s(t) bzw. dem um 90◦ verschobenen s(t) führen: Bei den beiden Multiplikationen entstehen jeweils
zwei Seitenbänder, wobei bei der anschließenden Addition am Ausgang nur ein Seitenband übrig bleibt.
Die Herausforderung der Realisierung von Abb. 4 besteht darin, über die gesamte Bandbreite von s(t)
eine 90◦ -Verschiebung zu gewährleisten (eine 90◦ -Phasenverschiebung für alle Spektralkomponenten
von s(t)). Das so erzeugte Signal sH (t) stellt dann die „Hilbert-Transformierte” von s(t) dar.
Im Empfänger lässt sich das Basisbandsignal s(t) wieder gewinnen, indem das Einseitenband-Signal
mit cos(ωT t) multipliziert wird.
2.1.3 Restseitenbandmodulation
Zur korrekten Rückgewinnung des Signals s(t) aus einem Einseitenband-Signal muss im Empfänger das
Trägersignal mit der exakten Phase erzeugt werden. Dazu kann es zweckmäßig sein, einen Restträger
mit zu übertragen. Weiterhin ist es gerade bei sehr breitbandigen Signalen (z. B. Video-Signalen)
schwierig, entweder das Filter in Abb. 3 oder die 90◦ -Verschiebung genau so zu realisieren, dass nur
genau ein Seitenband übrig bleibt.
Es kann deshalb sinnvoll sein, neben dem oberen Seitenband auch einen Teil des unteren Seitenbands
mit zu übertragen. Man spricht dann von „Restseitenbandmodulation” (auch VSB – vestigal-sideband
modulation).
Die Restseitenbandmodulation soll am Beispiel des analogen TV-Rundfunks (aktuell noch verwendet
im Kabelfernsehen) erläutert werden.
Im Abb. 5 ist das Restseitenband-modulierte Signal dargestellt, wobei das obere Seitenband (bezüglich
des Bildträgers) vollständig erhalten ist, während das untere Seitenband durch ein Filter beschnitten
ist.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
Bildträger
a)
−1
0
1
MOD/7
Tonträger
2
4
3
5
6
MHz
f − fT
Tonträger
Bildträger
Nyquist-Flanke
b)
−1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
MHz
Tonträger
f − fT
f
c)
6
MHz
Abb. 5: Resteitenbandmodulation bei der analogen TV-Übertragung: a) Restseitenband-Signal, b) gefiltertes Restseitenband-Signal (mit Nyquist-Flanke) und c) Basisband-Signal am Mischerausgang.
Dieses Signal aus Abb. 5a) wird durch ein Filter mit der so genannten „Nyquist-Flanke” geschickt, so
dass dann das Spektrum in Abb. 5b) entsteht.
Nach nachfolgender Mischung (Multiplikation mit dem Bildträger der Frequenz fT ) ergibt sich dann
wieder das Basisband-Signal in Abb. 5c).
2.2 Phasen- und Frequenzmodulation (Winkelmodulation)
Bei einer Phasen- bzw. Frequenzmodulation ist der komplexe zeitabhängige Zeiger u(t) gemäß Gl. (8),
also u(t) = ÛM0 exp[jϕ(t)] gegeben, wobei entweder ϕ(t) oder
dϕ
dt
proportional zum Basisband-Signal
s(t) werden.
Z. B. bei einem frequenzmodulierten Signal gilt mit den Gl. (10) und (11):
dϕ
= 2π∆fT · s(t)
dt
(19)
bzw. für die Phase
ϕ(t) = 2π∆fT
Z
s(t) dt,
(20)
so dass man für das modulierte Signal
uM (t) = < u(t) exp(jωT t) = ÛM0 cos ωT · t + 2π∆fT
Z
s(t) dt
(21)
erhält. Die spektralen Eigenschaften von uM (t) lassen sich so nur schwer abschätzen, so das wir uns
im folgenden zunächst auf die Analyse mit einem harmonischen Basisband-Signal beschränken wollen.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/8
2.2.1 Winkelmodulation mit harmonischem Signal s(t)
Wir betrachten ein sinusförmiges s(t):
s(t) = sin(ω1 t),
(22)
so dass sich bei einer Phasenmodulation mit dem Phasenhub ∆ϕ ergibt:
ϕ(t) = ∆ϕ sin(ω1 t).
(23)
Diese Phasenmodulation lässt sich auch als eine Frequenzmodulation auffassen mit der Momentanfrequenz
f (t) =
1 dϕ
= ∆ϕ · f1 · cos(ω1 t),
| {z }
2π dt
(24)
∆fT
wobei
∆fT = ∆ϕ · f1
den Frequenzhub bezeichnet (f1 =
ω1
2π ).
(25)
Unter Berücksichtigung des Zusammenhangs zwischen Fre-
quenzhub und Phasenhub in Gl. (25) sind Frequenz- und Phasenmodulation praktisch äquivalent. Zur
Analyse des Spektrum eines phasen- bzw. frequenzmodulierten Signals genügt es, das Spektrum von
u(t) zu analysieren (Das Spektrum von uM (t) folgt dann durch Verschiebung um ±ωT ).
u(t) ist gegeben als
u(t) = ÛM0 exp[jϕ(t)] = ÛM0 exp[j∆ϕ sin(ω1 t)]
(26)
u(t) ist damit periodisch mit der Frequenz ω1 , so dass sich u(t) als Fourierreihe schreiben lässt:
u(t) =
+∞
X
U m exp(jmω1 t).
(27)
m=−∞
Die Fourierkoeffizienten ergeben sich dann als
U m = ÛM0 Jm (∆ϕ)
(28)
mit der Besselfunktion Jm (x), die gemäß
1
Jm (x) =
2π
Z+π
−π
exp(jx sin(y ) − jm · y ) dy
(29)
definiert und in Abb. 6 für m = 0 . . . 5 dargestellt ist. Für negative Ordnungen m gilt J−m (x) =
(−1)m Jm (x).
Gl. (27) besitzt unendlich viele Spektralkomponenten, so dass eigentlich zur Übertragung eines phasenbzw. frequenzmodulierten Signals eine unendlich große Bandbreite erforderlich ist.
Beispielsweise zeigt Abb. 7 die Spektrallinien (=U
ˆ m ) bei einer Phasenmodulation mit ∆ϕ = 5.
Bei sehr hohen Ordnungen m werden die Spektrallinien immer kleiner, so dass sehr hohe Ordnungen
vernachlässigt werden können. Eine gute Näherung besteht darin, alle Spektralkomponenten mit zu
berücksichtigen, bei denen |Jm (∆ϕ)| ≥ 0, 1 gilt, so dass sich dann die benötigte Bandbreite ∆fm zu
∆fm ≈ 2f1 (∆ϕ + 1)
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(30)
Hochfrequenztechnik II
Jm
Modulationsverfahren
MOD/9
J0
J1
J2
.
J3 J4
. .
J5
.
x
Abb. 6: Besselfunktionen Jm (x) der Ordnungen m = 0 . . . 5.
Um
ÛM0
0, 1
−0, 1
−6
−4
−2
2
4
6
m
∆fm
Abb. 7: Die Komponenten U m der Fourierreihe führen zu Spektralkomponenten von u(t) bei m · ω1
und von uM (t) bei (ωT + m · ω1 ) und (−ωT − m · ω1 ). Annahme: Phasenhub ∆ϕ = 5.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/10
ergibt, was im Beispiel von Abb. 7 (∆ϕ = 5) einem ∆fm = 12f1 entspricht, so dass dort alle Ordnungen
|m| ≤ 6 berücksichtigt werden. Bei einer Frequenzmodulation mit dem Zusammenhang zwischen
Phasen- und Frequenzhub gemäß Gl. (25) führt Gl. (30) auf
∆fm ≈ 2(f1 + ∆fT ).
(31)
Eine Frequenzmodulation ist einfach möglich mit einem spannungsgesteuerten Oszillator, und die
Demodulation kann einfach mit einer PLL (vgl. Abschnitt PLL) erfolgen.
Beispiel: FM-Rundfunk; hier gilt für die maximale Modulationsfrequenz f1 ≈ 15 kHz, der Frequenzhub ist ∆fT = 75 kHz, woraus sich eine HF-Bandbreite von ∆fm = 180 kHz ergibt.
3 Bewertung analoger Modulationsverfahren
Für die Bewertung der Modulationsverfahren ist bei gegebener Basisbandbreite ∆f einmal die benötigte Hochfrequenzbandbreite ∆fm von Interesse. Weiterhin ist von Interesse, welches Signal/RauschVerhältnis im Basisband nach der Demodulation bei einem gegebenen Signal/Rausch-Verhältnis in der
Hochfrequenz-Ebene erreicht werden kann.
SHF , WHF
!
S !!
N !HF
>
Demodulator
Abb. 8: Empfänger mit Demodulator.
SNF , WNF
!
S !!
N !NF
Dieser Zusammenhang soll mit Hilfe von Abb. 8 erläutert werden. Wir haben zunächst auf der
Hochfrequenz-Ebene eine Signalleistung SHF und eine spektrale Rauschleistungsdichte WHF vorliegen, so dass wir mit der Hochfrequenzbandbreite ∆fm auf der Hochfrequenzseite ein Signal/RauschVerhältnis von
S N =
HF
SHF
WHF · ∆fm
(32)
erhalten. Nach der Demodulation ergibt sich auf der Niederfrequenzseite
S N NF
=
SNF
,
WNF · ∆f
(33)
und man kann nun für die verschiedenen Modulationsverfahren einen Störabstands-VerbesserungsFaktor einführen, der die Signal/Rausch-Verhältnisse auf der Hochfrequenz- und Niederfrequenz-Ebene
zueinander in Beziehung setzt. Wir wollen hier einen modifizierten Verbesserungsfaktor V gemäß
V =
SNF /WNF
=
SHF /WHF
S
N NF
S
N HF
∆f
∆fm
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(34)
Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/11
einführen, der die Signalleistungen mit den jeweiligen spektralen Rauschleistungsdichten verknüpft.
Zur Analyse gehen wir vereinfachend von einem harmonischen Basisband-Signal s(t) = sin(ω1 t) aus:
Als Referenz dient die Einseitenbandmodulation, bei der trivialerweise mit V = VEM
VEM = 1
(35)
gilt, da bei der Einseitenbandmodulation das Spektrum nur verschoben wird. In diesem Sinn gibt V
gerade den Faktor an, um den sich bei gegebener Hochfrequenzleistung SHF das Signal/RauschVerhältnis nach dem Demodulator verbessert. Für die Amplitudenmodulation gilt
VAM =
m2 /2
1+
m2
2
,
(36)
und damit VAM < 1, was im Wesentlichen daran liegt, dass ein hoher Anteil der Hochfrequenzleistung
für die Übertragung des Trägers aufgebracht werden muss. Beim Vergleich mit Gl. (17) entspricht
VAM gerade dem Leistungsanteil in den Seitenbändern im Vergleich zur Gesamtleistung. Bei Phasenmodulation gilt (ohne Beweis)
∆ϕ2
.
(37)
2
Für kleine Phasenhübe ∆ϕ 1 verhält sich eine Phasenmodulation genau so wie eine AmplitudenmoVP M =
dulation mit m = ∆ϕ.
Bei einer Frequenzmodulation ist zu berücksichtigen, dass der Phasenhub ∆ϕ bei gegebenem Frequenzhub ∆fT gemäß Gl. (25) von der Modulationsfrequenz f1 abhängt. Wenn man über alle Modulationsfrequenzen innerhalb der Bandbreite ∆f mittelt, ergibt sich aus Gl. (37) mit ∆ϕ = ∆fT /f1 aus
Gl. (25)
1
VF M
1
=
∆f
Z∆f
0
1
1
df1 =
VP M (f1 )
∆f
Z∆f
0
zu
VF M
3
=
2
∆fT
∆f
2
1
df1 =
2
∆ϕ
∆f
Z∆f
0
2f12
df1
∆fT2
(38)
!2
.
(39)
Für das oben angegebene Beispiel des FM-Rundfunks ergibt sich mit ∆fT = 75 kHz und ∆f = 15 kHz
ein VF M = 37, 5 (=15,
ˆ
7 dB). Dies bedeutet bei gegebener Hochfrequenzleistung ein um den Faktor 37, 5 höheres erreichbares Signal/Rausch-Verhältnis im Basisband als bei Einseitenbandmodulation. Für diese Erhöhung des Signal/Rausch-Leistungs-Verhältnisses muss man aber mit der erhöhten
Hochfrequenzbandbreite ∆fm gemäß Gl. (31) bezahlen.
Die Erzielung des Verbessungsfaktors gemäß Gl. (37) und (39) bei Phasen- bzw. Frequenzmodulation
setzt allerdings voraus, dass das Signal/Rausch-Leistungs-Verhältnis auf der Hochfrequenzseite
S
N HF
≥ 1 ist. Man spricht dabei von der so genannten „FM-Schwelle”. Oberhalb dieser FM-Schwelle
sind sogar noch höhere Verbesserungsfaktoren als in Gl. (39) möglich, wenn die höheren Modulationsfrequenzen bei der Modulation angehoben werden und bei der Demodulation wieder abgesenkt werden
(Präemphase/Deemphase).
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/12
4 Digitale Modulationsverfahren
Auch bei den bisher diskutierten Modulationsverfahren kann das Basisband-Signal s(t) sowohl analoger als auch digitaler Natur sein. Für digitale Modulationsverfahren sind aber insbesondere PSK,
QAM (Quadratur-Amplituden-Modulation) und OFDM (orthogonal frequency-division multiplex) von
Interesse.
4.1 Phasenumtastung (PSK)
Wir gehen wieder vom modulierten Signal entsprechend Gl. (5) mit dem komplexen Zeiger u(t) aus.
Bei einer reinen Phasenumtastung bleibt die Amplitude |u(t)| konstant, und nur die Phase ändert sich,
so dass sich bei binärer PSK in der komplexen Ebene ein u(t) wie in Abb. 9 ergibt.
!(u)
−ÛM0
ÛM0
0
1
!(u)
Abb. 9: Binäre Phasenumtastung (PSK).
Der Zeiger u(t) ist dabei u(t) = ÛM0 exp(j · 0) für die „1” und u(t) = ÛM0 exp(j · π) für die „0”.
Diese binäre Phasenumtastung entspricht praktisch einer trägerlosen Amplitudenmodulation (bzw.
-umtastung), da u(t) zwischen u(t) = ÛM0 und u(t) = −ÛM0 umgestastet wird.
Es entstehen wie bei der normalen trägerlosen Amplitudenmodulation zwei Seitenbänder, die die gleiche
Information tragen. Weiterhin ist wegen der binären Modulation die Symbolrate (in Baud oder Bd)
gleich der Bitrate.
Um mehr Informationen pro Symbol zu übertragen, kann man auch pro Symbol eine Quantisierung in
mehr Phasenzustände vornehmen. Ein Beipiel dafür ist die quaternäre Phasenumtastung (QPSK) in
Abb. 10. Pro Symbol können hier vier unterschiedliche Phasen und damit 2 bit übertragen werden.
Die Bitrate wird damit doppelt so groß wie die Symbolrate.
Sowohl <[u(t)] als auch =[u(t)] besitzen jeweils zwei Zustände, mit denen sich das modulierte Signal
uM (t) in Gl. (5) schreiben lässt:
uM (t) = <[u(t) exp(jωT t)]
= <[u(t)] cos(ωT t) − =[u(t)] sin(ωT t)
(40)
Das Signal in Gl. (40) lässt sich einfach mit einem Quadraturmodulator (vgl. Abb. 4) erzeugen, wie
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/13
!(u)
01
11
!(u)
00
10
Abb. 10: Quaternäre Phasenumtastung (QPSK).
Abb. 11 zeigt. Bei der QPSK sind sowohl <[u(t)] als auch =[u(t)] binäre Signale, aus denen schließlich
das quaternäre modulierte Signal uM (t) erzeugt wird.
Abb. 11: Quadraturmodulator zur Gewinnung von QPSK- oder QAM-Signalen.
Auch bei der QPSK ist wie bei der binären PSK der Träger unterdrückt.1 Allerdings enthalten das
obere und untere Seitenband der QPSK unterschiedliche Informationen.
4.2 Quadratur-Amplitudenmodulation (QAM)
Um pro Symbol noch mehr Zustände übertragen zu können, ist es zweckmäßig, sowohl die Amplitude
als auch die Phase zu variieren, und man gelangt so beispielsweise zur Quadratur-Amplitudenmodulation
(QAM). Das Konstellationsdiagramm einer 16-QAM zeigt Abb. 12. Sowohl der <[u(t)] als auch der
=[u(t)] weisen vier Zustände auf, und das modulierte Signal kann dann wieder wie in Abb. 11 erzeugt
1
Dies gilt zumindest, wenn alle Zustände gleich wahrscheinlich sind.
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/14
werden.
!(u)
!(u)
Abb. 12: Konstellationsdiagramm einer 16-QAM (Quadratur-Amplitudenmodulation).
Bei einer 16-QAM werden pro Symbol 4 bit übertragen, so dass die Bitrate viermal so groß wie die
Symbolrate wird.
Mit zunehmender Anzahl verschiedener Zustände pro Symbol steigt zwar bei gegebener Symbolrate
(und damit gegebener Hochfrequenzbandbreite) die Bitrate an, aber auch die Anforderungen an das
S
Signal-Rauschleistungs-Verhältnis ( N
) steigen.
Modulationsverfahren
benötigtes
Tabelle 1: Erforderliches
10−4
S
N
binäre PSK
QPSK
16-QAM
64-QAM
9 dB
12 dB
19 dB
25 dB
S
N
bei unterschiedlichen Modulationsverfahren für eine Fehlerhäufigkeit von
(Meinke,Gundlach, Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Springer 1992, S. O 28).
4.3 OFDM (orthogonal frequency-division multiplex)
In der terrestrischen Funkübertragung gibt es häufig das Problem der so genannten „Mehrwegeausbreitung”, wie schematisch Abb. 13 zeigt.
Zwischen Sender und Empfänger gibt es beispielsweise einen direkten Pfad mit der Laufzeit τ und
einen weiteren Signalweg der Laufzeit τ + ∆τ , so dass sich dann eine Impulsantwort der Länge ∆τ
ergibt. Für eine eindeutige Übertragung mit geringem Symbolnebensprechen ist es dann zweckmäßig,
ein Modulationsverfahren mit einer Symboldauer TS größer als ∆τ bzw. einer Symbolrate kleiner als
1
∆τ
zu verwenden.
Um bei geringen Symbolraten trotzdem hohe Datenraten zu übertragen, wird häufig die so genannte
„orthogonal frequency-division multiplex” (OFDM)-Modulation angewandt. Dazu wird das modulierte
Signal in sehr viele (z. B. > 1000) Hochfrequenz-Subträger aufgeteilt, die dann jeder für sich mit
QPSK oder QAM geringerer Daten- bzw. Symbolrate moduliert werden.
Das modulierte Signal uM (t) lässt sich dann wieder ähnlich wie in Gl. (5) mit u(t) darstellen:
uM (t) = <[u(t) exp(jωT t)],
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(41)
Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/15
Sendeantenne
τ
τ + ∆τ
Empfangsantenne
Abb. 13: Problem der Mehrwegeausbreitung: Das Signal erreicht den Empfänger auf unterschiedlichen
Wegen und damit zu verschiedenen Zeitpunkten.
wobei sich
u(t) =
N−1
X
n=0
U n exp(j2π · n · δf · t)
(42)
aus N Subträgern der jeweiligen Frequenzen n · δf zusammensetzt. U n ist z. B. entsprechend einer
QAM kodiert und bleibt jeweils für eine Symboldauer TS =
1
δf
konstant. Das Spektrum eines solchen
OFDM-Signals ist in Abb. 14 skizziert.
δf
fT + n · δf
... ...
fT =
ωT
2π
f
fn = N · δf
Abb. 14: Schematische Darstellung eines OFDM-Spektrums.
Das gesamte Spektrum das OFDM-Signals hat eine Breite von N · δf = fn . Die Übertragung dieses
Signals u(t) erfolgt dann zeitdiskret (t = i · ∆t mit Zeitintervallen ∆t =
1
fn
=
1
N·δf
=
TS
N ).
Für t = i · ∆t stellt Gl. (42) eine diskrete Fouriertransformation zwischen U n und u(i · ∆t) dar, so dass
sich u(t) und damit das modulierte Signal uM (t) durch eine inverse FFT (fast Fourier transform) und
eine Quadratur-Amplitudenmodulation leicht gewinnen lässt, wie Abb. 15 zeigt (vgl. auch Abb. 11).
Am Empfänger können die Daten U 0 . . . U N−1 wieder durch eine Fouriertransformation gewonnen
werden.
In der obigen vereinfachten Betrachtung sind wir von einer Symbolrate von
1
TS
= δf ausgegangen.
Tatsächlich ist die praktisch übertragene Symbolrate etwas geringer, da zwischen den Symbolen noch
Schutzintervalle eingeführt werden. Für das Beispiel der Mehrwegeausbreitung in Abb. 13 sollte das
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Hochfrequenztechnik II
Modulationsverfahren
MOD/16
Abb. 15: Prinzip der Gewinnung eines OFDM-Signals.
Schutzintervall länger als ∆τ sein, um ein Übersprechen aufeinander folgender Symbole zu vermeiden.
Beispiele für OFDM-Übertragung sind z. B. DAB (digital audio broadcast), DRM (digital radio mondiale),
DVB-T (digital video broadcast-terrestrial) oder DSL (digital subscriber line).
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Hochfrequenztechnik II
Phasenregelkreise (PLL)
PLL/1
Der Zweck eines Phasenregelkreises (englisch phase–locked– loop = PLL) besteht darin, ein Oszillatorsignal zu generieren, das frequenz- und phasenrichtig mit dem Eingangssignal übereinstimmt.
Anwendungsbeispiele: PM-Demodulation, FM-Demodulation, Trägerrückgewinnung, Taktrückgewinnung bei Puls-Code-modulierten Signalen, Frequenzsynthese
1 Arbeitsprinzip
Das Prinzip eines Phasenregelkreises ist im Bild 1 dargestellt.
Abb. 1: Darstellung eines Phasenregelkreises (PLL)
Ein Phasenregelkreis besteht aus dem Phasendifferenzdetektor, dessen Ausgangssignal u3 (t) ist im wesentlichen proportional zur Phasendifferenz ϕi (t) − ϕa (t) , dem Schleifenfilter (im allgemeinen ein
Tiefpaßfilter) mit der Übertragungsfunktion F (s), (s–komplexe Frequenz s = jω + σ) und dem span
nungsgesteuerten Oszillator (VCO = voltage controlled oscillator), dessen Ausgangsfrequenz durch die
Spannung u4 (t) gesteuert wird. Ungewöhnlich ist bei einem Phasenregelkreis, daß als Eingangssignale
zeitabhängige Winkel ϕi (t), ϕa (t) vorliegen. Bei Annahme harmonischer Spannungen u1 (t), u2 (t)
sind diese zu verstehen gemäß
bzw.
u1 (t) = Û1 sin ω0 t + ϕi (t)
bzw.
u2 (t) = Û2 sin ω0 t + ϕa (t)
u1 (t) = Û1 cos ω0 t + ϕi (t)
(1)
(2)
und
u2 (t) = Û2 cos ω0 t + ϕa (t)
mit den Momentanfrequenzen (vgl. FM-Modulation)
ωi (t) = ω0 + dϕi /dt
(3)
ωa (t) = ω0 + dϕa /dt
(4)
ω0 ist dabei eine Bezugsfrequenz (z.B. eine mittlere Frequenz des VCO für u4 = 0). Die Wirkungsweise
des Phasenregelkreises ist dabei so zu verstehen, daß bei einer Phasendifferenz ϕi − ϕa = 0 ein u3 (t)
und schließlich ein u4 (t) entsteht, so daß die Frequenz ωa (t) des VCO’s und gemäß Gl.(4) auch
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Hochfrequenztechnik II
Phasenregelkreise (PLL)
PLL/2
ϕa (t) so geändert wird, bis schließlich ϕi − ϕa = 0 oder zumindest eine konstante Regelabweichung
ϕi − ϕa =const erreicht wird. Die Phasen sind zeitabhängige Größen ϕi (t), ϕa (t). Für eine Analyse
des Regelverhaltens des Phasenregelkreises ist jedoch ähnlich wie bei konventionellen Netzwerken eine
Analyse im Frequenzbereich zweckmäßig. Mit der komplexen Frequenz s = jω + σ werden deshalb im
folgenden die Laplace-Transformierten von ϕi (t), ϕa (t) gemäß φi (s), φa (s) eingeführt.
2 Multiplizierender Phasendifferenzdetektor
Während in Bild 1 die Realisierung des Schleifenfilters und des VCO’s (z.B. Ansteuerung über spannungsabhängige Kapazität in Form einer Kapazitätsdiode) geläufig ist, stellt der Phasendifferenzdetektor eine zunächst ungewöhnliche Komponente dar. Eine Möglichkeit zur Realisierung eines Phasendifferenzdetektors stellt die Verwendung eines Multiplizierers dar (auch als ”lineare” PLL bezeichnet,
da im Sinne der IC-Technologie lineare bzw. analoge IC’s verwendet werden). Mit
(5)
(6)
u1 (t) = Û1 sin ω0 t + ϕi (t)
und
u2 (t) = Û2 cos ω0 t + ϕa (t)
ergibt die Multiplikation
u1 (t)u2 (t) =
1
Û1 Û2 sin (ϕi − ϕa ) + sin (2ω0 t + ϕi + ϕa )
2
(7)
Der Signalanteil bei der doppelten Frequenz 2ω0 wird entweder durch das Schleifenfilter oder ein
separates Filter weggefiltert, so daß nur der erste Teil verbleibt und man so mit u3 (t) = K3 u1 (t)u2 (t)
einen Phasendifferenzdetektor mit
u3 (t) = Kd sin ϕi (t) − ϕa (t)
(8)
erhält, wobei die Konstante Kd gemäß
Kd =
1
K3 Û1 Û2
2
(9)
gegeben ist.
3 Linearisierte Beschreibung
Für einen idealen Phasendifferenzdetektor wäre
(10)
(11)
u3 (t) = Kd ϕi (t) − ϕa (t)
bzw. im Frequenzbereich
U 3 (s) = Kd φi (s) − φa (s)
mit der Konstanten Kd . Das mit der Phase periodische Verhalten von u1 (t), u2 (t) hat zur Folge, daß
die Phasendifferenz nur bis maximal ±π eindeutig definiert werden kann (abhängig vom Typ des Pha-
sendifferenzdetektors; bei einem multiplizierenden Phasendifferenzdetektor ist der Linearitätsbereich
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Hochfrequenztechnik II
Phasenregelkreise (PLL)
PLL/3
gemäß Gl.(8) sogar nur auf ca. ±1r ad beschränkt). Im Rahmen der linearen Analyse sollen deshalb
zunächst derart kleine Phasendifferenzen vorangesetzt werden. Im Rahmen von Bild 1 gilt weiterhin:
U 4 (s) = F (s)U 3 (s)
(12)
Für den spannungsgesteuerten Oszillator gilt in der linearen Näherung
ωa (t) = ω0 + K0 · u4 (t)
(13)
wenn die Referenzfrequenz ω0 so gewählt wird, daß ωa = ω0 für u4 = 0. Gl.(13) läßt sich mit Gl.(4)
auch schreiben als
dϕa
= K0 u4 (t)
dt
so daß sich nach Transformation in dem Frequenzbereich
s · φa (s) = K0 U 4 (s)
(14)
(15)
ergibt (Ableitung nach der Zeit entspricht der Multiplikation mit s im Frequenzbereich). Kombination
der Gl.(11),(12),(15) führt auf die Übertragungsfunktion von der Eingangsphase ϕi (t) zur Ausgangsphase ϕa (t) gemäß
φa (s)
G(s)
= H(s) =
(16)
φi (s)
1 + G(s)
mit der Schleifenverstärkung
G(s) = K0 Kd F (s)/s
(17)
Für die Stabilität gelten die normalen Netzwerkbetrachtungen, d.h. H(s) darf keine Pole in der rechten
s-Halbebene aufweisen. Da F (s) ein Tiefpaßverhalten aufweist, wird F (s) und damit auch σ(s) mit
zunehmender Frequenz ω ( mit s = jω) kleiner, so daß ϕa (t) (bzw. φa (s)) insbesondere bei kleinen
Frequenzen (kleine s) der Eingangsphase ϕi (t) (bzw. φi (s)) sehr genau folgt. Für höhere Frequenzen
wird die Regelabweichung größer und man definiert eine Grenzfrequenz ωg des Phasenregelkreises,
wenn
|G(s = jωg )| = 1
(18)
wird.
4 Statischer Phasenfehler
Wir nehmen an, die PLL sei bei konstanter Eingangsfrequenz eingerastet (d.h. ωi = ωa bzw. dϕi /dt =
dϕa /dt), die Frequenz ωi = ωa weiche aber um
∆ω0 = ωa − ω0
(19)
von der Referenzfrequenz ω0 ab. Eine statische Lösung der PLL bietet dann
u3 = Kd (ϕi − ϕa )
u4 = F (s = 0)u3
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(20)
(21)
Hochfrequenztechnik II
Phasenregelkreise (PLL)
PLL/4
∆ω0 = ωa − ω0 = K0 · u4
(22)
und gemäß Gl.(13)
Die Größe des statischen Phasenfehlers ergibt sich dann aus Gl.(21) - (22) zu
(ϕi − ϕa ) =
∆ω0
Kd K0 F (s = 0)
(23)
der genügend klein bleiben muß, damit der Phasendifferenzdetektor im linearen Bereich verbleibt (z.B.
|ϕi − ϕa | ≤ 1r ad für den multiplizierenden Phasendifferenzdetektor).
Um möglichst große Frequenzabweichungen ∆ω0 zulassen zu können (vergleiche auch weiter unten
die Diskussion über den Haltebereich), sollte F (s = 0) möglichst groß sein, weshalb Filter mit integrierendem Anteil vorteilhaft sind.
5 Schleifenfilter
Das Schleifenfilter mit der Übertragungsfunktion F (s) ist normalerweise ein Filter 1. Ordnung mit der
Übertragungsfunktion
F (s) = Kn
s + ω2
s + ω1
(24)
Für einen verschwindenden Phasenfehler gemäß Gl.(23) ist man an einem integrierenden Filter mit
ω1 → 0, d.h.
F (s) = Kn
s + ω2
s
(25)
interessiert, welches beispielsweise gemäß Bild 2
Abb. 2: Realisierungsmöglichkeit für ein integrierendes Tiefpaßfilter 1. Ordnung
als aktives Filter mit
Kn =
R2
R1
;
ω2 =
1
R2 C
(26)
realisiert werden kann. Für die Schleifenverstärkung G(s) gemäß Gl.(17) gilt mit Gl.(25)
G(s) = K (s + ω2 ) /s 2
(27)
K = Kd Kn K0
(28)
mit
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Hochfrequenztechnik II
Phasenregelkreise (PLL)
PLL/5
und für die Phasenübertragungsfunktion gemäß Gl.(16) ergibt sich eine Übertragungsfunktion 2. Ordnung
G(s)
K · s + K · ω2
H(s) =
= 2
(29)
1 + G(s)
s + K · s + K · ω2
Abb. 3: Schleifenverstärkung G(jω) und Phasenübertragungsfunktion H(jω)
(Zur Beschreibung q
der Übertragungsfunktion werden in der Literatur auch die Abkürzungen ωn =
√
Kω2 und ζ = 0.5 ωK2 verwendet). Die Grenzfrequenz ωg des Phasenregelkreises gemäß Gl.(18) mit
|G(s = jωg )| = 1 ergibt sich für ω2 < K aus Gl.(27) näherungsweise zu
ωg ≃ K
(30)
Bei derart festgelegter Grenzfrequenz ist nur noch ω2 des Filters verfügbar. Durch die Wahl von ω2
wird im wesentlichen das Über- schwingverhalten bestimmt,
wobei sich gemäß Bild 4 mit zunehmendem ω2 ein zunehmendes Über- schwingen einstellt. Auf den
ersten Blick wäre deshalb die Wahl ω2 → 0 naheliegend; bei plötzlichen Eingangsfrequenzwechseln
ergeben sich dann jedoch sehr lange Einrastzeiten (vergleiche die weiter unten folgende Diskussion des
Zielbereichs). Deshalb wird als Kompromiß eine Wahl
ω2 ≃ K/4
(31)
bevorzugt, wobei die Übertragungsfunktion H(s) dann gerade dem Fall kritischer Dämpfung entspricht.
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/6
Abb. 4: Ausgangsphase ϕa (t) für einen Einheitssprung der Eingangsphase ϕi (t)
6 Einrastprobleme
Da bei starken Frequenzänderungen am Eingang wegen ϕ =
R
∆ωdt erhebliche Phasenänderungen ent-
stehen, kann der lineare Bereich der PLL leicht verlassen werden, so daß es dann zu Einrastproblemen
kommt. Das Einrastverhalten hängt in starkem Maße von der Art des verwendeten Phasendifferenzdetektors ab, wobei die folgende Diskussion am Beispiel des unter 2. beschriebenen multiplizierenden
Phasendifferenzdetektors erfolgt.
6.1 Haltebereich
Der Haltebereich bezeichnet den Bereich, in dem die PLL langsamen Frequenzänderungen des Eingangssignals sicher folgen kann. Wenn Gl.(23) für den multiplizierenden Phasendifferenzdetektor ausgewertet wird, ergibt sich eigentlich
sin (ϕi − ϕa ) =
∆ω0
<1
Kd K0 F (s = 0)
,
(32)
so daß wegen sin (ϕi − ϕa ) < 1 auch ∆ω0 gemäß
∆ω0 < Kd K0 F (s = 0) = ∆ωH
(33)
mit ∆ωH –Haltebereich, begrenzt ist. Gl.(33) gibt dabei eine obere Grenze für den Haltebereich an,
falls der gewählte VCO überhaupt so weit aussteuerbar ist. Ansonsten ist der Haltebereich durch den
Aussteuerbereich des VCO’s gegeben.
6.2 Fangbereich
Das Eingangssignal habe für t < 0 eine Frequenz ω0 auf die der VCO eingerastet ist. Zur Zeit t = 0
werde die Eingangsfrequenz sprunghaft um ∆ω geändert. Der Fangbereich ∆ωL bezeichnet nun die
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/7
maximale Frequenzänderung ∆ω = ∆ωL , so daß die PLL innerhalb einer Periode der Differenzfrequenz
∆ω einrastet.
6.2.1 Intuitive Herleitung
Wenn am Eingang des Phasendifferenzdetektors u1 (t) und u2 (t) sich in der Frequenz um ∆ω unterscheiden, entsteht am Ausgang des multiplizierenden Phasendifferenzdetektors
u3 (t) = Kd sin (∆ωt + ψ3 )
(34)
mit einer zunächst willkürlichen Phase ψ3 . Das Filter F (s) überträgt nun u3 (t) mit s = j∆ω, so daß
sich
u4 (t) = Kd |F (j∆ω)| sin (∆ωt + ψ4 )
(35)
ergibt, womit der VCO gemäß Gl.(13) als Ausgangsfrequenz liefern würde:
ωa (t) = ω0 + ∆ωa sin (∆ωt + ψ4 )
(36)
∆ωa = K0 Kd |F (j∆ω)|
(37)
mit
Die Betrachtung ist insofern grob vereinfacht, da eine Modulation von ωa (t) sofort auch die Differenzfrequenz und damit ∆ω moduliert. Innerhalb des Fangbereichs ∆ω < ∆ωL ist ∆ωa > ∆ω, so daß die
Frequenzvariation des VCO ausreicht, um den anfänglichen Frequenzsprung ∆ω auszugleichen. Der
Fangbereich ∆ωL ist nur erreicht, wenn ∆ωa = ∆ω wird, so daß gilt:
! ∆ω
∆ωa = ∆ω =
L
(38)
∆ωL = K0 Kd |F (j∆ωL )|
(39)
und sich so ∆ωL gemäß
ergibt. Ein Vergleich mit Gl.(17), (18) zeigt, daß damit der Fangbereich
(40)
∆ωL = ωg
durch die Grenzfrequenz der PLL gegeben ist. Bild 5 skizziert grob ω2 (t) für einen Frequenzsprung
von ω1 um ∆ω = ∆ωL.
6.2.2 PLL-Antwort auf einen Frequenzsprung am Eingang
Um die Dynamik einer PLL noch besser zu verstehen, soll ωa (t) bei einem Frequenzsprung von ωi (t)
im Rahmen der linearisierten Beschreibung (Abschnitt 3) analysiert werden. Für t < 0 sei ωi = ω0
und damit (vergleiche Gl.(3)) kann
ϕi = 0
für
t<0
(41)
gesetzt werden. Für t > 0 gelte ωi (t) = ω0 + ∆ω und
dϕi
= ∆ω
dt
für
t>0
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(42)
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/8
Abb. 5: Vereinfachtes Einrastverhalten für ∆ω = ∆ωL innerhalb des Fangbereichs
und damit
ϕi = ∆ω · t
für
(43)
t>0
Die Laplace- Transformation von Gl.(43) liefert
φi (s) = ∆ω/s 2
(44)
φa (s) = φi (s)H(s)
(45)
woraus sich die VCO-Ausgangsphase
ergibt. Wir sind an der Ausgangsfrequenz ωa (t) interessiert (vgl.Gl.(4)):
ωa (t) − ω0 = dϕa /dt
,
(46)
so daß es zweckmäßig ist, die Laplacetransformierte Ωa (s) von ωa (t) − ω0 einzuführen, so daß aus
Gl.(46) folgt:
(47)
Ωa (s) = sφa (s)
(Differentiation nach t entspricht nach Laplace-Transformation Multiplikation mit s). Mit Gl.(46),
(47) gilt damit
(48)
Ωa (s) = sφi (s)H(s)
Mit H(s) gemäß Gl.(28) und ω2 = K/4 folgt dann
Ωa (s) =
∆ω · K s + K/4
∆ω Ks + Kω2
=
2
2
s s + Ks + Kω2
s
s + K/2
(49)
woraus sich nach Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt
n
ωa (t) − ω0 = ∆ω 1 − e −Kt/2 1 − Kt/2
o
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,t>0
(50)
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/9
Für den Phasenfilter gilt entsprechend:
φi (s) − φa (s) = φi (s) 1 − H(s) =
∆ω
s + K/2
2
(51)
woraus sich im Zeitbereich
∆ω
Kte −Kt/2
K
ergibt. Das Einrastverhalten gemäß Gl.(50), (52) ist in Bild 6 dargestellt.
ϕi (t) − ϕa (t) =
(52)
Abb. 6: Verlauf von ωa (t) für einen Frequenzsprung von ωi (t) zur Zeit t = 0 und zugehöriger Phasenfilter ϕi (t) − ϕa (t) für ein integrierendes PLL-Filter 1. Ordnung mit ω2 = K/4
Falls sich ∆ω gerade am Rand des Fangbereichs mit ∆ω = ∆ωL = ωg ≃ K befindet, wird der maximale
Phasenfehler (ϕi − ϕa )max = 0, 736, so daß die linearisierte Beschreibung für den Phasendifferenzdetektor noch einigermaßen gültig ist und auch der Verlauf von ω2 (t) gemäß Bild 6 recht gut der
intuitiven Darstellung in Bild 5 entspricht.
6.3 Ziehbereich
Auch für ∆ω > ∆ωL ist ein Einrasten der PLL unter Umständen bis zu ∆ω < ∆ωP < ∆ωH (∆ωP –
Zielbereich) möglich, wobei der Phasendifferenzdetektor extrem nichtlinear wird und deshalb eine Analyse schwierig wird.
Nach einem Sprung von ωi (t) um ∆ω zur Zeit t = 0 ergibt sich für ∆ω < ∆ωL schematisch Bild 7, wobei zunächst ωa (t) ähnlich wie in Gl.(36) mit ∆ω oszilliert. Da aber ∆ω = ωi − ωa ebenfalls schwankt
und durch den Tiefpaß kleinere Frequenzdifferenzen etwas bevorzugt werden, wird sich auch der Mittelwert von u4 (t) ändern, bis sich schließlich eventuell ωa (t) annähert und einrastet. Die Einrastzeit
Tp ist dabei näherungsweise durch
2
∆ω/K − 1
Tp =
(53)
ω2
gegeben und damit relativ lang. Ausführliche Darstellungen zu PLL-Einrastproblemen finden sich beispielsweise in R. Best, ’Theorie und Anwendungen des Phase- locked-loop’ oder D. H. Wolaver, ’Phaselocked loop ciremit design’, Prentice Hall, 1991.
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Hochfrequenztechnik II
Phasenregelkreise (PLL)
PLL/10
Abb. 7: Einrastvorgang innerhalb des Ziehbereichs mit ∆ωL < ∆ω < ∆ωP
6.4 Phasendifferenzdetektoren mit eindeutiger Phasen– und Frequenzdetektion
Einrastprobleme lassen sich vermeiden, wenn der Phasendifferenzdetektor bei ωi = ωa entsprechend
Gl.(10) arbeitet und für unterschiedliche ωi 6= ωa ein u3 > 0 für ωi > ωa und ein u3 < 0 für ωi < ωa
liefert. Dies ist möglich, wenn die Eingangssignale ui (t), ua (t) nicht verrauscht sind und so die Anstiegsund Abfallflanken eindeutig definiert sind. Dann lassen sich u1 (t), u2 (t) in Rechtecksignale unter
Beibehaltung der Flankenzeitpunkte überführen. Der Phasendifferenzdetektor kann dann mit digitalen
IC’s realisiert werden, wobei sich für den multiplizierenden Phasendifferenzdetektor einfach ein ExklusivOder-Gatter ergibt (allerdings auch mit den unter 6.2 geschilderten Einrastproblemen). Eine simultane
Phasen- und Frequenzdetektion wird möglich mit Hilfe eines sogenannten 3-Zustands-Detektors, der
nur durch die Anstiegsflanken von u1 (t), u2 (t) gesteuert wird. Durch die Anstiegsflanken von u1 (t),
u2 (t), dargestellt in Bild 8 durch u1 ↑ bzw. u2 ↑, werden die Ausgangssignale a und b gemäß dem
Zustandsdiagramm in Bild 9 generiert.
Durch die Anstiegsflanke von u1 wird dabei vom Zustand 1 in den Zustand 2 und von Zustand 2 in
den Zustand 3 geschaltet, während durch die Anstiegsflanke von u2 die Zustände in entgegengesetzter
Richtung geschaltet werden. Eine mögliche Schaltungsrealisierung dafür ist in Bild 8 angegeben, wobei
flankengesteuerte D-Flip-Flop’s eingesetzt werden (Bei einem D-Flip-Flop wird während der Steuerflanke das Eingangssignal an D auf den Ausgang Q übernommen, während R den Löscheingang =
Reset charakterisiert, mit dem das Flip-Flop taktunabhängig auf Q=0 gesetzt wird). Nehmen wir an,
der Phasendifferenzdetektor befinde sich im Zustand (a = 0, b = 0), dann führt die Anstiegsflanke von
u1 im oberen Flip-Flop zu Q=1 (Übernahme des Zustands des Eingangs an D) und damit zum Zustand
3 (a = 1, b = 0). Im Zustand 3 führt eine Anstiegsflanke von u2 zunächst dazu, daß kurzzeitig auch b
= 1 gesetzt wird, wobei b = 1 und a = 1 über das UND-Gatter zu Signalen an den Reset-Eingängen
führen, wodurch sowohl a = 0 als auch b = 0 werden und damit wieder der Zustand 2 erreicht wird.
Das Ausgangssignal des Phasendifferenzdetektors ergibt sich dann zu
u3 = 2πKd (< a > − < b >)
(54)
wobei das Symbol < > eine zeitliche Mittelung (Tiefpaß) beschreibt. Zur Beschreibung der Wirkungs-
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/11
Abb. 8: Realisierung eines 3-Zustands-Phasendifferenzdetektors
Abb. 9: Zustandsdiagramm des Phasendifferenzdetektors nach Bild 8
weise des Phasendifferenzdetektors seien zunächst gleiche Frequenzen ωi = ωa von u1 , u2 angenommen, wobei u1 gegenüber u2 um π/2 nacheilt ( ϕi − ϕa = −π/2 ):
Es ergibt sich somit ein < a >= 0, < b >= 0, 25 und damit gemäß Gl.(54):
(55)
u3 = −π/2Kd
Tatsächlich ergibt sich ein linearer Arbeitsbereich
u3 = Kd (ϕi − ϕa )
für
|ϕi − ϕa | < 2π
(56)
Bei unterschiedlichen Frequenzen ωi 6= ωa dominieren für ωi > ωa die Anstiegsflanken von u1 , so daß
der Phasendifferenzdetektor nur die Zustände 2 und 3 annimmt und damit wie gefürchtet u3 > 0 wird,
während für ωi < ωa nur die Zustände 1 und 2 angenommen werden und damit u3 < 0, so daß eine
sichere Phasen- und Frequenzdetektion gegeben ist und somit keine Einrastprobleme auftreten.
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/12
Abb. 10: Arbeitsweise des 3-Zustands-Phasendifferenzdetektors für ωi = ωa
7 Anwendungen
7.1 Demodulation phasenmodulierter Signale
Eine Demodulation von analog PM- oder digital PSK-modulierten Signalen ist in einfacher Weise nach
dem Phasendifferenzdetektor möglich, da
u3 = Kd (ϕi − ϕa )
(57)
unmittelbar der modulierten Signalphase ϕi (t) folgt, solange nur ϕa ≃ constant ist. Deshalb ist für
die Übertragungsfunktion
φa (s)
= H(s) ≃ 0
(58)
φi (s)
im interessierenden Frequenzbereich zu finden, d.h. die PLL- Grenzfrequenz ωg muß kleiner als die
untere Grenzfrequenz des phasenmodulierten Signals sein.
7.2 Demodulation frequenzmodulierter Signale
Die Demodulation frequenzmodulierter Signale ist in einfacher Weise möglich, wenn
φa (s)
= H(s) ≃ 1
φi (s)
(59)
ωa (t) ≃ ωi (t)
(60)
und damit
innerhalb des Modulationsfrequenzbereichs gilt. Da u4 (t) linear mit ωa (t) verknüpft ist, läßt sich dann
das demodulierte Signal mit u4 (t) gewinnen. Die PLL-Grenzfrequenz ωg muß größer sein als die obere
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Phasenregelkreise (PLL)
PLL/13
Modulationsfrequenz der FM-Modulation. Weiterhin ist sicherzustellen, daß auch bei hohen Frequenzsprüngen die PLL eingerastet bleibt, wofür ∆ωt < ∆ωL ≃ ωg (∆ωT -Frequenzhub) hinreichend ist.
Da aufgrund der endlichen Bandbreite der FM- Modulation keine abrupten Frequenzsprünge auftreten
können, kann in der Praxis ∆ωT aber durchaus ωg übersteigen.
7.3 Frequenzsynthese
Mit einer PLL sind, ausgehend von einem Referenzoszillator der Frequenz fi , Ausgangsfrequenzen m ·fi
mit programmierbarem m generierbar, siehe Bild 11.
Abb. 11: Prinzip der Frequenzsynthese mit einer PLL
Als Phasendifferenzdetektor ist ein 3-Zustandsdetektor gemäß Abbildung 8 vorzusehen, um Einrastprobleme sicher zu vermeiden.
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