Reihen

Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Reihen
Fakultät Grundlagen
März 2015
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Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Grundlagen: Folgen und endliche Reihen
Unendliche Reihen
Beispiele
Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
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Folie: 2
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Potenzreihen
Folgen
Reihen
Übersicht
Grundlagen: Folgen und endliche Reihen
I Folgen
I
I
Artithmetische Folgen
Geometrische Folgen
I Reihen
I
I
I
Artithmetische Reihen
Geometrische Reihen
Summenformeln für Reihen
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Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
Reihen
Folgen
I Grundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen
sind Folgen und Reihen.
I Zahlenfolge: Folge von Zahlen mit mathematischer
Gesetzmäÿigkeit, genauer:
I Eine Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle
Zahl zugeordnet wird, heiÿt Zahlenfolge oder kurz Folge. Man
schreibt
I Die
an
{a1 , a2 , a3 , a4 , . . . }.
heiÿen Glieder der Folge.
I Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 4 Glieder der Folge:
1.
2.
3.
4.
an
an
an
an
= 2n + 3
=4
= n2
= 20/n
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Folie: 4
Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
Reihen
Arithmetische Folgen
I Eine Folge, bei der die Dierenz aufeinanderfolgender Glieder
konstant ist
an+1 − an = d
arithmetische Folge
nennt man
(rekursive Darstellung).
I Dies ist äquivalent zu:
an = a1 + (n − 1)d
(d = const.)
an+1 = an + d
bzw.
(explizite Darstellung).
I Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das
10. und das 100. Glied der arithmetischen Folge:
1.
2.
3.
4.
a1
a1
a1
a5
= 2; d = 2
= 0; d = −10
= 13; d = 0
= 7 , a7 = 3 a1 =?; d =?
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Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
Reihen
Arithmetische Folgen
Aufgabe: Bei einer Abwärtsauktion wird ein Anfangspreis von
100 e alle 7 Sekunden um 80 Cent verringert. Nach welcher Zeit ist
die Auktion wieder für Sie interessant, wenn Sie höchstens 60 e
ausgeben möchten?
I Preis nach
n
Zeitschritten: 100
I Wann ist 100
− n · 0, 8
− n · 0, 8 < 60?
I Auösen nach
n: n > (100 − 60)/0, 8 = 40/0, 8 = 50
I Nach 50 Zeitschritten bzw. nach 50 mal 7 Sekunden = 350
Sek. = 5 Minuten und 50 Sek. sollten Sie wieder zur Auktion
zurückkehren.
I Bemerkung: Die Auktion dauert 100/0,8 = 125 Zeitschritte,
also 125
· 7 = 875
Sek. bzw. 14 Min. und 35 Sek.
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Potenzreihen
Folgen
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Geometrische Folgen
I Eine Folge, bei der der Quotient aufeinanderfolgender Glieder
konstant ist:
an+1 /an = q
(q =
geometrische Folge
I Somit
const) bzw.
an+1 = an · q
nennt man
(rekursive Darstellung).
{an } = {a1 , a1 q, a1 q 2 , a1 q 3 , . . .
} bzw.
an = a1 q n−1
(explizite Darstellung).
I In dieser Formel stehen vier Gröÿen:
a1 , an , q, n − 1.
I Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das
8. und das 15. Glied der geometrischen Folge:
1.
2.
3.
4.
a1
a1
a1
a3
= 1; q = 2
= −32; q = 0, 5
= 0, 7; q = 1
= 9 , a5 = 81 a1 =?;
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q =?
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Potenzreihen
Folgen
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Geometrische Folgen
I Aufgabe:
Bei einer Unfallsicherung mit Dynamisierung steigen Beiträge
und Leistung jährlich um 5%. Zu Beginn ist ein Monatsbeitrag
von 50 e zu zahlen. Wie hoch ist der Beitrag (ohne evtl.
Steueränderungen) nach 20 Jahren?
I Lösung:
a1 =
q =
a20 =
50
e
1, 05
50
· 1, 0519 = 50 · 2, 537 = 126, 35 e
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Potenzreihen
Folgen
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I Eine
Reihe
entsteht aus einer Folge durch die Summierung der
Glieder.
I Man unterscheidet endliche und unendliche Reihen.
I
endliche Reihe:
Summe von endlich vielen Gliedern einer
Zahlenfolge.
a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an =
n
X
ak = sn
k=1
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Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
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Summer aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen
I Wie viele Begegnungen gibt es in der Bundesliga (18
Mannschaften) in der Hinrunde der Spielzeit?
I
1
+ 2 + 3 + · · · + 16 + 17 =
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P17
k=1 k
Reihen
= 153
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Potenzreihen
Folgen
Reihen
Arithmetische Reihe
I Eine Reihe, die aus Gliedern einer arithmetischen Folge
gebildet wird, heiÿt arithmetische Reihe.
I Wie groÿ ist der Wert einer unendlichen arithmetischen Reihe?
I Wie lautet die Summe der ersten 50 natürlichen Zahlen?
Tipp: Folge in umgekehrter Reihenfolge drunter schreiben ...
I Herleitung der Summe über die ersten
c
+c
2c
=⇒
=1
+2
+
=n
+ n−1 +
= n+1 + n+1 +
n(n + 1)
c=
2
I Merke: 1
+ 2 + 3 + ··· + n =
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n
P
k=1
n
natürlichen Zahlen:
+n
+1
+ n + 1 = n(n + 1)
···
···
···
k=
Reihen
n(n+1)
2
Folie: 11
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Folgen
Unendliche Reihen
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Potenzreihen
Arithmetische Reihe: Summenformel
I Allgemein gilt für eine arithmetische Reihe:
n
X
ak
k=1
= a1 + · · · + an
= a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + · · · + (a1 + (n − 1)d)
= na1 + d (1 + 2 + · · · + n − 1)
|
{z
}
=:c
mit
c=
n
P
k=1
(n−1)n
2
. Also:
ak = na1 + d (n−21)n =
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n
2
· [a1 + an ]
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Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
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Geometrische Reihe
I Eine Reihe, die aus Gliedern einer geometrischen Folge gebildet
wird, heiÿt geometrische Reihe.
I Gesucht: Summenformel der geometrischen Reihe
n
P
ak = a1 + a1 q + a1 q 2 + · · · + a1 q n−1
sn =
k=1
I Trick:
sn = a1 + a1 q + · · · + a1 q n−1
−
qsn =
a1 q + · · · + a1 q n−1
sn (1 − q) = a1 − a1 q n = a1 (1 − q n )
I
+
a1 q n
q −1
sn = a1 11−q
−q = a1 q−1
I Merke: 1
n
n
+ q + q 2 + · · · + q n−1 =
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1−q n
1−q
=
q n −1
q−1
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Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
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Geometrische Reihe; Beispiel
Aufgabe:
I Es sollen 20.000 Einheiten eines Produktes hergestellt werden.
Die Kapazität beträgt zu Beginn 50 Einheiten pro Tag (5
Tage/Woche). Im Laufe der Produktion kann die Kapazität
pro Woche um etwa 10% erhöht werden. Nach wie vielen
Wochen ist der Auftrag erfüllt?
I Geometrische Reihe
I
I
a1 = 250
q = 1, 1
I Summe = 20.000
I Gesucht:
n
I Hinweis: ln(q n )
= n · ln q
I Ergebnis: 23 Wochen
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Folgen
Unendliche Reihen
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Potenzreihen
Zusammenfassung
Folge: Funktion, die nur für natürliche Zahlen deniert ist
Reihe: Summe von Folgengliedern
Folge
Reihe
Spezialfall
sn = a1 + a2 + · · · + an
arithmetische
geometrische
an = an−1 + d
an = a1 + (n − 1)d
sn = a1 + (a1 + d)
+ · · · + (a1 + (n − 1)d)
= na1 + d (n−21)n
= n2 (a1 + an )
sn = 1 + 2 + · · · + n
1)
= n(n+
2
an = an−1 q
an = a1 q n−1
sn = a1 + a1 q + a1 q 2
+ · · · + a1 q n−1
n
q n −1
= a1 11−q
−q = a1 q−1
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sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1
n
q n −1
= 11−q
− q = q−1
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Unendliche Reihen
Potenzreihen
Folgen
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Übungen
1. Berechne die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die durch 13
teilbar sind.
2. In einem Kino hat die erste Sitzreihe 10 Plätze, die zweite 12, die dritte
14 usw., d. h. jede nachfolgende Reihe hat zwei Plätze mehr als die
vorangegangene.
2.1 Wie viele Sitzplätze hat das Kino, falls 15 Sitzreihen aufgebaut sind?
2.2 Wie viele Reihen muss das Kino haben, wenn mindestens 250
Besucher Platz nden sollen?
3. Ination: Wie lange dauert es, bis sich der Preis für eine Ware bei einer
angenommenen Inationsrate von 2% p.a. verdoppelt hat? Wie lange bei
1% bzw. 3%?
4. Preissteigerung: ein Liter Benzin kostet heute 1,30 e, vor 20 Jahren
kostete er 50 Pfennig (umgerechnet 0, 5/1, 95583 = 26 Cent). Wie hoch
war die jährliche Preissteigerung beim Benzin in diesem Zeitraum?
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Unendliche Reihen
Potenzreihen
Beispiele
Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien
Beispiel: Hase und Igel
Hase ist doppelt so schnell wie der Igel. Dafür bekommt der Igel
eine Einheit Vorsprung. Der Hase läuft nach folgender Strategie: Er
merkt sich den Aufenthaltsort des Igels vor ihm und läuft dort hin.
Bis er dort ankommt ist der Igel weg. Der Hase schaut auf und
merkt sich den neuen Ort und läuft dorthin. Wieder ist der Igel bei
seiner Ankunft weg; usw. Es scheint als ob der Hase den Igel nie
einholen könnte??? Aber Trepunkt muss die Marke 2 sein!!
0
1
-
- --
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
2
+
1
64
+ ... =
∞ k
P
1
k=0
2
Unendliche Reihen ergeben sich durch die Addition von unendlich
vielen Summanden. Auch wenn alle Summanden positiv sind, kann
sich ein endlicher Wert ergeben!
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Folie: 17
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Beispiele
Unendliche Reihen
Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
Harmonische Reihe
1
+
1
2
+
1
1
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . + 16
+ 1 + ... + 1 +...
|3 {z 4} |5 6 {z 7 8} |9
{z
} |17 {z 32}
> 12
> 12
> 12
> 12
Die Anzahl der Summanden verdoppelt sich; jede Teilsumme ist
gröÿer als [Anzahl der Summanden]
...
P
k=1
1
k
×
=
[kleinster Summand]
1
!
2
−→ ∞
Verhältnisse ändern sich, wenn die Summanden alternierende
Vorzeichen haben:
1
+ 13 − 41 + 15 − 16
1−
2
∞
P
(−1)k+1 1 =
k
k=1
+
1
7
−
1
8
+
1
9
−
1
10
+
1
11
−
1
12
+
1
13
−
1
14
ln 2
Alternierende Reihen, bei denen die Absolutbeträge der
Summanden monoton gegen Null gehen, konvergieren stets.
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Folie: 18
± ...
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Beispiele
Unendliche Reihen
Geometrische Reihe, Konvergenzkriterien
Potenzreihen
Geometrische Reihe
Endlich viele Summanden:
Konvergenz für
1
|q| < 1
,da
1
+ q + q 2 + · · · + q n−1 =
qn →
+ q + q 2 + · · · + q n−1 + . . . =
0 für
∞
P
k=0
∞
P
Konvergenzuntersuchungen von
k=0
n → ∞:
qk =
ak
1−q n
1−q
1
1−q
durch Vergleich mit
gröÿeren Geometrischen Reihen. Man betrachtet:
I beim Quotientenkriterium
I beim Wurzelkriterium
Für
q<1
q=1
q=
q=
lim
lim
k→∞
k→∞
ak+1 ak p
k
|ak |
ist die Reihe absolut konvergent, für
q>1
divergent; für
liefert das Kriterium keine Aussage.
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Unendliche Reihen
Potenzreihen
Denition
∞
P
2
3
=
1 + x + x + x + ... =
x k für |x| < 1 Eine
1−x
k=0
Funktion f (x) in Form einer unendlichen Reihe mit Koezienten ak
Beispiel:
1
nennt man Potenzreihe.
2
n
f (x) = a0 +a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 ) +. . .+an (x−x0 ) +. . . =
∞
X
ak (x−x0 )k
k=0
x0
: Entwicklungspunkt; häug Spezialfall
x0 = 0
Potenzreihen konvergieren auf jeden Fall für
x = x0 .
Für welche
weiteren Werte eine Potenzreihe konvergiert ergibt sich aus dem
sogenannten Konvergenzradius
Reihe; für
|x − x0 | > r
r.
Für
|x − x0 | < r
konvergiert die
divergiert sie. Der Begri Radius kommt aus
der komplexen Zahlenebene. Potenzreihen sind auch für komplexe
Zahlen sinnvoll.
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Folie: 20
Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Konvergenzradius
Der Konvergenzradius ergibt sich am Einfachsten aus dem
Quotienten- bzw. Wurzelkriterium:
∞
P
k=0
ak (x − x0 )k
|x − x0 | > r ;
für
konvergiert für
|x − x0 | = r
|x − x0 | < r
und divergiert für
Spezialbetrachtungen.
Wenn die nachfolgenden Grenzwerte existieren, so lassen sich damit
die Konvergenzradien berechnen.
I Quotientenkriterium:
r=
lim
k→∞
ak ak+1 1
p
k
|ak |
∞
k
P
x Quot.-kriterium: ak = k + 1 → 1 für k → ∞
Beispiel:
ak+1
k
k
k=1
x = 1 divergent; x = −1 konvergent. Konvergenz für x ∈ [−1, 1)
I Wurzelkriterium:
r=
lim
k→∞
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Folie: 21
Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Arcustangens I
Berechnung von Arcustangens mittels Potenzreihen über
Integraldarstellung:
Ableitung von
y = arctan(x)
⇔
x = tan(y ) =
sin(y )
cos(y )
dx = cos(y ) · cos(y ) − (− sin(y )) sin(y ) =
1
2
2
dy
cos (y )
cos (y )
2
cos (y )
dy
1
= cos2 (y ) =
=
2
2
2
dx
cos (y ) + sin (y )
1 + tan (y ) x=tan(y )
1
=
2
1+x
Rx 1
Rx 2
4
6
arctan(x) =
1 − t + t − t + . . . dt
2 dt =
0 1+t
0
x
3
5
7
t
t
= t − 3 + 5 − t7 + . . . 0
3
5
7
2k+1
= x − x3 + x5 − x7 + . . . (−1)k x
2k + 1
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Folie: 22
Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Arcustangens II
2
2k
4
6
x
x
x
x
k
arctan(x) = x 1 −
+ 5 − 7 + . . . (−1)
3
2k + 1
2
Konvergenzbetrachtung für u = x :
2
3
k
[. . .] = 1 − u3 + u5 − u7 + . . . (−1)k u
2
k
+
1
ak 2k + 3
Quotientenkriterium; ak+1 = 2k + 1 → 1 für k → ∞
2
konvergent für x = |u| < 1
für x = ±1 ebenfalls
konvergent wegen alternierenden
Reihe
2
4
2k
x + x − . . . (−1)k x
arctan(x) = x 1 −
für |x| ≤ 1
3
5
2k + 1
π
z. B. x =
6

2k 
2 4
π
π
π


6
6
π
π
k
arctan
= 6 1 − 3 + 5 − . . . (−1) 6

6
2k + 1
Fakultät Grundlagen
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Folie: 23
Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Unendliche Reihen
Potenzreihen
Arcustangens III
MATLAB: arcustan_ber.m
Drei Summanden;Fehler: erstes weggelassenes
Glied

arctan π6 ≈ π6 1 −
2
π
6
3
4
π
+
Fakultät Grundlagen
6
5

 = 0.4836 . . . ; |R| <
≈
Reihen
7
π
6
7
0.00154
Folie: 24