Slides aus Vorlesung 03

Lineare Algebra IIa
- 03.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Sven Balnojan
Klausur-Einsicht LA I:
Montag 20.02. 14-17 Uhr, A5 C015
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geschrieben werden. Wie wir sehen werden, spielt die komplexe Konjugation auch bei der
Diskussion von Längen in allgemeinen C-Vektorräumen eine Rolle.
Definition 9.5. Seien V und W Vektorräume über dem Körper C.
(1) Eine Abbildung f : V ! W heißt antilinear, falls für alle v, w 2 V und
2 C gilt
f (v + w) = f (v) + f (w) aber f ( v) = ¯ f (v) .
Beachte, dass hier im Unterschied zu linearen Abbildungen in der zweiten Gleichung
die komplexe Konjugation auftaucht! (Komplexe Konjugation ist Körper-Automorphismus!)
(2) Eine Abbildung ⌘ : V ⇥ V ! C nennt man eine Sesquilinearform, falls sie im ersten
Argument antilinear und im zweiten linear ist, falls also für alle v, v 0 , w, w0 2 V und
2 C gilt17
⌘( v, w) = ¯ ⌘(v, w) ,
⌘(v, w) = ⌘(v, w) .
⌘(v + v 0 , w) = ⌘(v, w) + ⌘(v 0 , w) ,
⌘(v, w + w0 ) = ⌘(v, w) + ⌘(v, w0 ) ,
Häufig ist in der
Literatur die Rolle
der Argumente
vertauscht!
(3) Eine Sesquilinearform auf V heißt hermitesch, falls außerdem gilt
⌘(v, w) = ⌘(w, v) für alle v, w 2 V .
Für hermitesche Formen gilt insbesondere ⌘(v, v) 2 R ⇢ C für alle v 2 V .
Beispiel 9.6. Das Standardskalarproduk auf Mat(n, 1; C) gegeben durch
n
X
➞ Analog zu symmetrischen
(z, w)Bilinearformen
=
z¯ w auf ℝ-Vektorräumen.
i
i
i=1
ist eine hermitesche Form auf Mat(n, 1; C).
9.2. Hermitesche Formen
110
110
9.2 Hermitesche Formen
9.2 Hermitesche Formen
Theorie der hermiteschen Formen
auf C-Vektorräumen
Theorie der symmetrischen Bilinearformen
auf R-Vektorräumen
analog zur
Die
Die Theorie
Theorie der
der hermiteschen
hermiteschen Formen
Formenauf
aufC-Vektorr
C-Vektorräumen
äumenverl
verläuft
äuftanalog
analogzur
zurTheorie
Theorie
der
der symmetrischen
symmetrischen Bilinearformen
Bilinearformenauf
aufR-Vektorr
R-Vektorräumen.
äumen.
Bemerkung
Bemerkung 9.7.
9.7. Sei
Sei ⌘⌘ eine
eine hermitesche
hermitescheForm
Formauf
aufeinem
einemC-Vektorraum
C-VektorraumVV. .Die
Diefolgenden
folgenden
Konzepte
Konzepte und
und Resultate
Resultateübertragen
übertragensich
sichsofort
sofortaus
ausdem
demKontext
Kontextder
dersymmetrischen
symmetrischenBilineBilinearformen
arformen in
in den
den Kontext
Kontextder
derhermiteschen
hermiteschenFormen:
Formen:
(1)
2 Vw gibt,
mit ⌘(v,
6= w)
0. 6= 0.
(1) ⌘⌘ ist
ist nicht
nicht ausgeartet,
ausgeartet,falls
fallsesesfür
fürjedes
jedesv026=Vv ein
2 Vwein
2 V gibt,
mitw)
⌘(v,
(2)
(2) Ist
Ist A
A == (v
(v11,,......,,vvnn)) eine
eine Basis
Basis von
von VV, , und
und ⌘⌘ eine
eineSesquilinearform
Sesquilinearformauf
aufVV, ,sosonennt
nennt
man
man die
die Matrix
Matrix
HHi,j :=
:=⌘(v
⌘(vi , ,vvj ))
i,j
i
j
auch
auch die
die Matrixdarstellung
Matrixdarstellungvon
von⌘⌘und
undschreibt
schreibt
HH==Mat
MatAA(⌘)
(⌘). .
Sie
Sie bestimmt
bestimmt die
dieSesquilinearform
Sesquilinearformeindeutig.
eindeutig.
Unter
UnterBasiswechsel
Basiswechselverh
verhält
ältsich
sichdie
dieMatrixform
Matrixformwegen
wegender
derSesquilinearit
Sesquilinearitätätvon
von⌘⌘jedoch
jedoch
00
etwas
etwas anders
anders als
als im
imreellen
reellenFall:
Fall:sei
seiAA eine
eineweitere
weiteregeordnetet
geordnetetBasis
Basisvon
vonVV, ,dann
danngilt
gilt
⇤⇤
0
Mat
(⌘)
=
T
0 (⌘)· ·TT, ,
MatAA0 (⌘) = T · ·Mat
MatAA0 (⌘)
wobei
wobei TT == Mat
MatAA0 0AA(id
(idVV)) die
die Basiswechselmatrix
Basiswechselmatrixist,
ist,und
unddie
diehermitesch
hermiteschtranspotranspo⇤
t
nierte
nierte Matrix
Matrix TT ⇤==T̄T̄ t definiert
definiertist
istdurch
durch
TTij⇤ij⇤:=
:=T̄T̄jiji. .
(9.1)
(9.1)
⇤
9.2. aller
Hermitesche
Formen
(T
äge hervor.)
(T ⇤ geht
gehtaus
ausTT durch
durchTransposition
Transpositionund
undkomplexer
komplexerKonjugation
Konjugation
allerEintr
Eintrage
hervor.)
110
110
9.2 Hermitesche
9.2 Hermitesche
Formen Formen
Theorie der hermiteschen Formen
Theorie der symmetrischen Bilinearformen
analog zur
auf C-Vektorräumen
auf R-Vektorräumen
Die
Theorie
der
hermiteschen
Formen
auf
C-Vektorr
äumen
verl
äuft
analog
zur Theorie
Die Theorie der hermiteschen Formen auf C-Vektorräumen verl
äuft analog
zur Theorie
dersymmetrischen
symmetrischen Bilinearformen
aufauf
R-Vektorr
äumen.
der
Bilinearformen
R-Vektorr
äumen.
Bemerkung 9.7. Sei ⌘ eine hermitesche Form auf einem C-Vektorraum V . Die folgenden
Bemerkung
9.7. Sei ⌘ eine hermitesche Form auf einem C-Vektorraum V . Die folgenden
Konzepte und Resultate übertragen sich sofort aus dem Kontext der symmetrischen BilineKonzepte
und Resultate übertragen sich sofort aus dem Kontext der symmetrischen Bilinearformen in den Kontext der hermiteschen Formen:
arformen
den Kontext
der falls
hermiteschen
(1) ⌘ istinnicht
ausgeartet,
es für jedes Formen:
0 6= v 2 V ein w 2 V gibt, mit ⌘(v, w) 6= 0.
(1)
istAnicht
falls von
es für
2 V Sesquilinearform
ein w 2 V gibt,aufmit
w) 6= 0.
(2) ⌘Ist
= (v1 ,ausgeartet,
. . . , vn ) eine Basis
V , jedes
und ⌘v eine
V ,⌘(v,
so nennt
(2) Ist
Adie
= Matrix
(v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , und ⌘ eine Sesquilinearform auf V , so nennt
man
Hi,j := ⌘(vi , vj )
man die Matrix
i,j := ⌘(vi , vj ) von ⌘ und schreibt
auch die Matrixdarstellung (oder auchH
Strukturmatrix)
auch die Matrixdarstellung von ⌘Hund
schreibt
= Mat
A (⌘) .
H = MatA (⌘) .
Sie bestimmt die Sesquilinearform eindeutig.
Unter Basiswechsel verhält sich die Matrixdarstellung wegen der Sesquilinearität von
Sie
bestimmt
Sesquilinearform
eindeutig.
⌘ jedoch
etwasdie
anders
als im reellen Fall:
sei A0 eine weitere geordnetet Basis von V ,
Unter
Basiswechsel verhält sich die Matrixform wegen der Sesquilinearität von ⌘ jedoch
dann gilt
· Matweitere
,
etwas anders als im reellenMat
Fall:
sei=AT0⇤ eine
Basis von V , dann gilt
A0 (⌘)
A0 (⌘) · T geordnetet
wobei T = MatA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix
ist, und die hermitesch transpo⇤
0 (⌘) = T · MatA0 (⌘) · T ,
Mat
nierte Matrix T ⇤ = T̄ t definiert
istAdurch
wobei T = MatA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix
ist, und die hermitesch
transpoTij⇤ := T̄ji .
(9.1)
⇤
t
nierte
Matrix
T
=
T̄
definiert ist durch
⇤
(T geht aus T durch Transposition und komplexer Konjugation aller Einträge hervor.)
(3) Ist ⌘ hermitesch, so gilt für die Matrixdarstellung
T ⇤ := T̄jiH. = MatA (⌘)
ij
(9.1)
9.2. aller
Hermitesche
Formen
(T geht aus T durch Transposition und komplexer Konjugation
Einträge hervor.)
⇤
H⇤ = H .
Unter Basiswechsel verhält sich die Matrixform wegen der Sesquilinearität von ⌘ jedoch
110 etwas anders als im reellen Fall: sei A0 eine weitere geordnetet
9.2Basis
Hermitesche
Formen
von V , dann
gilt
Theorie der hermiteschen Formen
auf C-Vektorräumen
Theorie der symmetrischen Bilinearformen
MatA0analog
(⌘) = zur
T ⇤ · MatA0 (⌘) · T , auf R-Vektorräumen
Die Theorie der hermiteschen Formen auf C-Vektorräumen verläuft analog zur Theorie
wobei T = Mat
ist, und die hermitesch transpoA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix
der symmetrischen
Bilinearformen
auf R-Vektorräumen.
nierte Matrix T ⇤ = T̄ t definiert ist durch
Bemerkung 9.7. Sei ⌘ eine hermitesche Form auf einem C-Vektorraum V . Die folgenden
Tij⇤ :=aus
T̄jidem
.
(9.1)
Konzepte und Resultate übertragen sich sofort
Kontext der symmetrischen Bilinearformen
in den Kontext der hermiteschen Formen:
⇤
aus T durch Transposition und komplexer Konjugation aller Einträge hervor.)
(1) (T
⌘ istgeht
nicht
ausgeartet, falls es für jedes v 2 V ein w 2 V gibt, mit ⌘(v, w) 6= 0.
(3) Ist ⌘ hermitesch, so gilt für die Matrixdarstellung H = MatA (⌘)
(2) Ist A = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , und ⌘ eine Sesquilinearform auf V , so nennt
man die Matrix
H⇤ = H .
Hi,j := ⌘(vi , vj )
Eine
die diese Gleichung
üllt,schreibt
nennt man auch eine hermitesche Matrix.
auchMatrix
die Matrixdarstellung
von ⌘erfund
(4) Einen Endomorphismus f 2 Hom(V, V ) nennt man adjungiert zu einem Endomorphismus g 2 Hom(V, V ), falls für alleHv,=wMat
2 VA (⌘)
gilt.
⌘(v, g(w))
= ⌘(f (v), w) .
Sie bestimmt die Sesquilinearform
eindeutig.
Unter Basiswechsel verhält sich die Matrixform wegen der Sesquilinearität von ⌘ jedoch
Matrixdarstellungen F := MatA A (f ),0 G := MatA A (g) und H := MatA (⌘) erfüllen
etwas anders als im reellen Fall: sei A eine weitere geordnetet Basis von V , dann gilt
dann die Gleichung
⇤F ⇤ · H .
H
·
G
=
MatA0 (⌘) = T · MatA0 (⌘) · T ,
(5) v, w 2 V nennt man orthogonal bzgl. ⌘, falls gilt ⌘(v, w) = 0.
wobei T = MatA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix ist, und die hermitesch transpo(6) Das orthogonale
Komplement
eines Unterraums U ✓ V ist definiert als
⇤
t
nierte Matrix T = T̄ definiert ist durch
U ? = {v 2 V | ⌘(v,⇤ u) = 0 für alle u 2 U } .
Tij := T̄ji .
(9.1)
(7) Eine
Basis {v1 , . . . , vn } von V heißt Orthogonalbasis von9.2.
V , falls
⌘(vi , vj ) = Formen
0 für
⇤
Hermitesche
(T geht aus T durch Transposition und komplexer Konjugation aller Einträge hervor.)
wobei T = MatA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix ist, und die hermitesch transpo110 nierte Matrix T ⇤ = T̄ t definiert ist durch
9.2 Hermitesche Formen
Theorie der hermiteschen Formen
auf C-Vektorräumen
⇤
Theorie der symmetrischen Bilinearformen
(9.1)
analogTij
zur:= T̄ji .
auf R-Vektorräumen
Die Theorie
der hermiteschen Formen auf C-Vektorräumen verläuft analog zur Theorie
⇤
(T geht aus TBilinearformen
durch Transposition
und komplexer
der symmetrischen
auf R-Vektorr
äumen. Konjugation aller Einträge hervor.)
(3) Ist ⌘ hermitesch, so gilt für die Matrixdarstellung H = MatA (⌘)
Bemerkung 9.7. Sei ⌘ eine hermitesche Form auf einem C-Vektorraum V . Die folgenden
⇤
H
. Kontext der symmetrischen BilineKonzepte und Resultate übertragen sich sofort =
ausHdem
arformen in den Kontext der hermiteschen Formen:
Eine Matrix die diese Gleichung erfüllt, nennt man auch eine hermitesche Matrix.
(1) ⌘ ist nicht ausgeartet, falls es für jedes v 2 V ein w 2 V gibt, mit ⌘(v, w) 6= 0.
(4) Einen Endomorphismus f 2 Hom(V, V ) nennt man adjungiert zu einem Endomor(2) Ist A = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , und ⌘ eine Sesquilinearform auf V , so nennt
phismus g 2 Hom(V, V ), falls für alle v, w 2 V gilt
man die Matrix
Hi,j :==⌘(v
vj ) w) .
⌘(v, g(w))
⌘(fi ,(v),
auch die Matrixdarstellung von ⌘ und schreibt
Matrixdarstellungen F := MatA A (f ), G := MatA A (g) und H := MatA (⌘) erfüllen
dann die Gleichung
H = MatA (⌘) .
H · G = F⇤ · H .
Sie bestimmt die Sesquilinearform eindeutig.
(5) v, w 2 V nennt man orthogonal bzgl. ⌘, falls gilt ⌘(v, w) = 0.
Unter Basiswechsel verhält sich die Matrixform wegen der Sesquilinearität von ⌘ jedoch
(6) Das orthogonale Komplement eines
0 Unterraums U ✓ V ist definiert als
etwas anders als im reellen Fall: sei A eine weitere geordnetet Basis von V , dann gilt
U ? = {v 2 V | ⌘(v, u)
⇤ = 0 für alle u 2 U } .
MatA0 (⌘) = T · MatA0 (⌘) · T ,
(7) Eine Basis {v1 , . . . , vn } von V heißt Orthogonalbasis von V , falls ⌘(vi , vj ) = 0 für
wobei T = MatA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix ist, und die hermitesch transpoalle i 6= j. Sie heißt
falls zusätzlich ⌘(vi , vi ) = 1.
⇤ Orthonormalbasis,
t
nierte Matrix T = T̄ definiert ist durch
Tij⇤ := T̄ji .
(9.1)
9.2. aller
Hermitesche
Formen
(T ⇤ geht aus T durch Transposition und komplexer Konjugation
Einträge hervor.)
110 Eine Matrix die diese Gleichung erfüllt, nennt man auch eine9.2
Hermitesche
Formen
hermitesche
Matrix.
(4) Einen
Endomorphismus
adjungiert
zu einem
EndomorTheorie
der hermiteschen
Formen f 2 Hom(V, V ) nennt man
Theorie
der symmetrischen
Bilinearformen
phismus
g 2 Hom(V, V ), falls füranalog
alle v,zur
w 2 V gilt
auf C-Vektorräumen
auf R-Vektorräumen
Die Theorie der hermiteschen Formen auf C-Vektorräumen verläuft analog zur Theorie
der symmetrischen Bilinearformen auf
R-Vektorr
⌘(v,
g(w)) =äumen.
⌘(f (v), w) .
Bemerkung
9.7. Sei ⌘ eine
auf Mat
einem
C-Vektorraum
V . Die
Matrixdarstellungen
F hermitesche
:= MatA A (fForm
), G :=
und H := Mat
erfüllen
A A (g)
A (⌘)folgenden
Konzepte
und
dann
dieResultate
Gleichungübertragen sich sofort aus dem Kontext der symmetrischen Bilinearformen in den Kontext der hermiteschen
H ·Formen:
G = F⇤ · H .
(1) ⌘ ist nicht ausgeartet, falls es für jedes v 2 V ein w 2 V gibt, mit ⌘(v, w) 6= 0.
(5) v, w 2 V nennt man orthogonal bzgl. ⌘, falls gilt ⌘(v, w) = 0.
(2) Ist A = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , und ⌘ eine Sesquilinearform auf V , so nennt
(6) Das orthogonale Komplement eines Unterraums U ✓ V ist definiert als
man die Matrix
U ? = {v 2 VH| ⌘(v,
= i0, vfür
i,j :=u)⌘(v
j ) alle u 2 U } .
Matrixdarstellung
⌘ undOrthogonalbasis
schreibt
(7) auch
Einedie
Basis
{v1 , . . . , vn } vonvon
V heißt
von V , falls ⌘(vi , vj ) = 0 für
alle i 6= j. Sie heißt Orthonormalbasis,
falls (⌘)
zus.ätzlich ⌘(vi , vi ) = 1.
H = Mat
A
Sie bestimmt die Sesquilinearform eindeutig.
Unter Basiswechsel verhält sich die Matrixform wegen der Sesquilinearität von ⌘ jedoch
etwas anders als im reellen Fall: sei A0 eine weitere geordnetet Basis von V , dann gilt
MatA0 (⌘) = T ⇤ · MatA0 (⌘) · T ,
wobei T = MatA0 A (idV ) die Basiswechselmatrix ist, und die hermitesch transponierte Matrix T ⇤ = T̄ t definiert ist durch
Tij⇤ := T̄ji .
(9.1)
9.2. aller
Hermitesche
Formen
(T ⇤ geht aus T durch Transposition und komplexer Konjugation
Einträge hervor.)
9.3. Unitäre Vektorräume
⌘ hermitesche Form auf einem C
Vektorraum
• sesquilinear (anti-linear im ersten und linear im zweiten Argument)
• ⌘(v, w) = ⌘(w, v)
) ⌘(v, v) 2 R ⇢ C
Kann positive Definitheit für hermitesche Formen definieren!
Analogon von Euklidischen Vektorräumen:
unitäre Vektorräume
9.3. Unitäre Vektorräume
Da für hermitesche Formen ⌘ auf C-Vektorräumen V für alle v 2 V ⌘(v, v) 2 R ⇢ C ist,
kann man auch für hermitesche Formen positive Definitheit definieren, und damit Theorie und Resultate Euklidischer Vektorräume in den Kontext von komplexen Vektorräumen
übertragen. Falls nichts anderes vermerkt ist, sind im folgenden alle Vektorräume komplex.
Definition 9.8.
(1) Eine hermitesche Form ⌘ auf einem C-Vektorraum V heißt positiv definit (man
schreibt ⌘ > 0), falls ⌘(v, v) > 0 für alle 0 6= v 2 V .
(2) Eine positiv definite hermitesche Form nennt man auch ein Skalarprodukt.
(3) Ein Paar (V, ⌘) bestehend aus einem endlich-dimensionalen C-Vektorraum V und einer
positiv definiten hermiteschen Form nennt man einen unitären Vektorraum.
(4) Eine hermitesche Matrix H 2 Mat(n, n; C) nennt man positiv definit (H > 0), falls sie
die Matrixdarstellung einer positiv definiten hermiteschen Form ist, d.h. falls
x⇤ · H · x > 0 für alle x 2 Mat(n, 1; C) .
Analog zu Euklidischen Vektorräumen gilt auch für unitäre Vektorräume die CauchySchwarz Ungleichung:
Satz 9.9. Sei ⌘ ein Skalarprodukt auf einem C-Vektorraum V . Dann gilt für alle u, v 2 V
|⌘(u, v)|2  ⌘(u, u) ⌘(v, v) ,
p
wobei kuk := ⌘(u, u).
bzw. |⌘(u, v)|  kuk kvk ,
Beweis. Beweis analog zum Beweis
von Satz
Zu beachten
jedoch
der Absolutbetrag
Analog
zum 8.21.
Euklidischen
Fall giltist
auch
in unitären
Vektorräumen …
in den Formeln, der notwendig ist, weil ⌘(u, v) für allgemeine u, v 2 V komplex ist.
9.3. Unitäre
Bemerkung 9.10. Da für hermitesche Formen ⌘(u, v) im Allgemeinen
nicht inVektorräume
R liegt,