Präferenzen und Nutzenfunktionen

Präferenzen und Nutzenfunktionen
10.März 2017
Präferenzen und Nutzenfunktionen
Darstellung der Präferenzen mittels Nutzenfunktion (utility function)
Eine Nutzenfunktion u(x) ordnet jedem Element x aus X eine reelle Zahl
zu, und zwar so, dass die Elemente von X gemäß den Präferenzen der
Konsumentin geordnet werden.
Definition: Die Funktion u: X → R ist eine die Präferenzrelation %
darstellende (repräsentierende) Nutzenfunktion, wenn für alle x 1 ,
x 2 ∈ X gilt:
x 1 % x 2 ⇔ u(x 1 ) ≥ u(x 2 ).
Anmerkung: Die Darstellung einer Präferenzrelation % durch eine
Nutzenfunktion u(x) ist nicht eindeutig.
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Streng monotone Transformation: Sei f : R → R eine streng monoton
wachsende Funktion, so ist v (x) = f (u(x)) eine neue Nutzenfunktion,
welche die gleichen Präferenzen wie u(x) repräsentiert.
ordinales Nutzenmaß: Invarianz gegenüber monotoner Transformation
(den Gütern werden keine Zahlen zugeordnet)
kardinales Nutzenmaß: Nicht invariant gegenüber monotoner
Transformation (den Gütern werden Zahlen zugeordnet - Jevons, Walras,
Marshall Wirtschaftswissenschaftler des 19Jhdt. welche den Nutzen als
messbar betrachteten.)
Existenz einer Nutzenfunktion erfordert eine weitere Annahme:
die Stetigkeit (continuity) der Präferenzen
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lexikographischen Präferenzrelation für den Fall X = R2+ :
x 1 % x 2 ⇔ x11 > x12 oder x11 = x12 und x21 ≥ x22
Präferenzrelation beruht auf dem gleichen Prinzip wie ein
Wörterbuch: zunächst vergleicht man nur die jeweils erste
Komponente von Konsumgüterkombinationen. Ist die Menge des
ersten Gutes gleich, dann wir die zweite Komponente betrachtet.
Die lexikographische Präferenzrelation ist vollständig, transitiv,
streng monoton und streng konvex, ABER es existiert keine
Nutzenfunktion, welche diese Präferenzrelation repräsentiert.
Problem: Indifferenzmengen bestehen nur aus einem einzigen
Konsumgüterbündel.
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Definition: Die Präferenzrelation % auf X ist stetig,
wenn für alle0 0
= x ∈ X : x % x und
x 0 ∈ X gilt, dass die obere Konturmenge
%
x
die untere Konturmenge - x 0 = x ∈ X : x 0 % x abgeschlossen sind.
Alternative Darstellung: Die Präferenzrelation % auf X ist stetig, if it is
preserved
limits. Dies bedeutet:
für jede Folge
1 under
∞
x k , x 2 k k=1 mit x 1 k % x 2 k für alle k, x 1 = limk→∞ x 1 k
und x 2 = limk→∞ x 2 k erhält man x 1 % x 2 .
Die lexikographische Präferenzrelation ist nicht
stetig.
∞
Beweisidee: Man betrachtet die Folge
x 1 k , x 2 k k=1 mit
x 1 k = (1/k, 0) und x 2 k = (0, 1).
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Satz (ohne Beweis): Die rationale Präferenzrelation % auf X sei stetig.
Dann existiert eine stetige Nutzenfunktion u(x), welche % repräsentiert.
Anmerkung: Nicht jede Nutzenfunktion, welche eine rationale, stetige
Präferenzrelation repräsentiert, ist stetig.
Differenzierbarkeit von Nutzenfunktion u(x) wird meist unterstellt.
Gegenbeispiel einer rationalen,stetigen Präferenzrelationen, welche nicht
durch eine differenzierbare Nutzenfunktion dargestellt werden kann:
Leontief Präferenzen
x 1 % x 2 ⇔ min x11 , x21 ≥ min x12 , x22
u(x1 , x2 ) = min{ax1 , x2 }, a > 0: Diese Nutzenfunktion beschreibt
perfekte Komplemente, d.h. die Güter müssen in einem fixen Verhältnis a
konsumiert werden.
u(x1 , x2 ) = ax1 + x2 , a > 0: Diese Nutzenfunktion beschreibt
perfekte Substitute, d.h. die Güter können in einem fixen Verhältnis
ausgetauscht werden.
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Leontief Prferenzen aus Mas-Colell et al. Figure 3.C.3
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Eigenschaften der Präferenzrelation ⇒ Eigenschaften der Nutzenfunktion
1
monotone Präferenzrelation ⇒ u(x 1 ) > u(x 2 ) für x 1 x 2
2
konvexe (strikt konvexe) Präferenzen ⇒ u(·) (strikt) quasikonkav
u(·) ist quasikonkav, wenn die Menge {x ∈ Rn+ : u(x) ≥ u(x 0 )} für alle x 0 konvex ist
äquivalent dazu: u(αx 0 + (1 − α)x) ≥ min{u(x 0 ), u(x)} für alle x 0 , x und alle α ∈ [0, 1]
(gilt diese Ungleichung für alle x 0 =
6 x und α ∈ (0, 1) in strikter Form, dann ist u(·) strikt quasikonkav.)
3
stetige Präferenzrelation % auf X = Rn+ ist homothetisch ⇔
Nutzenfunktion u(x) homogen vom Grad Eins ist:
u(αx) = αu(x)
für alle α > 0.
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Quasikonkavität (Chiang and Wainwright, Fundamental Methods of
Mathematical Economics)
u(αx 0 + (1 − α)x) ≥ min{u(x 0 ), u(x)} für alle x 0 , x und alle α ∈ [0, 1]
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Quasikonkavität (Chiang and Wainwright, Fundamental Methods of
Mathematical Economics)
u(·) ist quasikonkav, wenn die Menge {x ∈ Rn+ : u(x) ≥ u(x 0 )} für alle
x 0 konvex ist
u(αx 0 + (1 − α)x) ≥ min{u(x 0 ), u(x)} für alle x 0 , x und alle α ∈ [0, 1]
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Quasikonkavität (Chiang and Wainwright, Fundamental Methods of
Mathematical Economics)
S ≥ ≡ {x|f (x) ≥ k}
S ≤ ≡ {x|f (x) ≤ k}
u(·) ist quasikonkav, wenn die Menge {x ∈ Rn+ : u(x) ≥ u(x 0 )} für alle
x 0 konvex ist
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Ist die Nutzenfunktion u (x1 , x2 ) auf der konvexen Menge A ⊂ R2+
zweimal stetig differenzierbar und gilt ∇u (x) 6= 0 für x ∈ A, so ist die
Funktion u (x1 , x2 ) auf der konvexen Menge A genau dann strikt
quasikonkav, wenn die geränderte Hessesche Matrix für x ∈ A die
folgende Bedingung erfüllt:
∂2u
∂2u
∂u
(x1 , x2 )
(x1 , x2 ) ∂x 2 (x1 , x2 )
∂x1 ∂x2
∂x1
1
2
∂2u
∂
u
∂u
(x1 , x2 )
(x1 , x2 ) > 0
∂x ∂x (x1 , x2 )
2
∂x2
∂x2
2
1
∂u
∂u
(x1 , x2 )
0
∂x (x1 , x2 )
∂x2
1
2u1 u2 u12 − u12 u22 − u22 u11 > 0
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Verallgemeinerte Cobb Douglas Präferenzen:
u (x1 , x2 ) = Ax1α x2β ,
A > 0, α > 0, β > 0
Spezialfall: β = 1 − α mit 0 < α < 1
Annahme A=1 im folgenden.
Es gilt:
∂u
∂x1
α−1 β
x2
= αx1
2
2
> 0,
∂u
∂x2
α β−1
= βx1 x2
>0
3α−2 3β−2
x2
2u1 u2 u12 − u1 u22 − u2 u11 = αβ (α + β) x1
>0
Die Nutzenfunktion ist daher streng monoton und strikt quasikonkav.
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Die Indifferenzkurven
x1α x2β = ū
sind negativ geneigt und strikt konvex:
−α/β
x2 = (ū)1/β x1
wobei gilt:
α
∂x2 1/β −(α+β)/β
= − (ū)
x1
<0
∂x1 u=ū
β
∂ 2 x2 α (α + β)
1/β −(α+2β)/β
(ū)
x1
>0
=
2
∂x1 u=ū
β2
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