Ubungsaufgaben zur zentrischen Streckung

Übungsaufgaben zur zentrischen Streckung
C′
1. Zeichnet man von Z aus einen Hilfsstrahl h und
trägt darauf mit dem Zirkel gleiche Abstände irh
gend einer festen Länge ab, so lässt sich durch
B′
Parallelverschiebung ein beliebiges ganzzahliC
5
ges Streckungsverhältnis realisieren. Die Figur
A′
B
rechts zeigt, wie dies zur Konstruktion einer
5
zentrischen Streckung mit k = 3 verwendet
3
A
werden kann. Die Vervollständigung der Figur
A′ B ′ C ′ erfolgt zum Beispiel durch Parallelverschiebung entsprechender Strecken der Originalfigur. Negative Streckungsfaktoren konstruZ
iert man durch Spiegeln der entsprechechenden
positiven Streckenverhältnisse“ an Z.
”
Führe nun selbst eine zentrische Streckung mit dem Dreieck ABC am Zentrum Z
und dem angegebenen Faktor durch.
(a) k =
8
3
C′
h
8
C
3
A′
A
Z
B
B′
(b) k =
3
7
h
7
3
C
C
′
Z
B′
B
′
A
A
7
(c) k = − 56
h
6
A′
B′
C
Z
C′
B
5
A
2. Konstruiere ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm und
c = 5 cm. Strecke dieses Dreieck vom Punkte B aus für die folgenden Streckungsverhältnisse:
(b) k = − 32
(a) k = 2
C′
C
B = B ′ = Z = B ′′
A′
A′′
A
C ′′
8
3. Bilde das unregelmässige Viereck ABCD durch eine zentrische Streckung ab. Das
Streckungszentrum ist Z. Das Streckungsverhältnis k beträgt 2.5.
D′
C′
D
C
Z
B
B′
A
A′
4. Ein Parallelogramm ABCD ist durch die Punkte A(2|2), B(5|2) und C(6|4) bestimmt. Vervollständige das Parallelogramm und bilde es von Z(3|1) aus durch
zentrische Streckung ab, wenn k = −2 ist. (1 Einheit = 1 Häuschen)
D
C
B
A
Z
B′
A′
C′
D′
9
5. Welcher Abbildung entsprechen zentrische Streckungen mit k = −1?
Einer Punktspiegelung
6. Strecke das Trapez ABCD vom Zentrum C aus mit dem Faktor k = 31 .
D
D′
C = Z = C′
A′
A
B′
B
7. Ein Parallelogramm mit a = 8 cm und ha = 3 cm wird durch zentrische Streckung
auf das Parallelogramm A′ B ′ C ′ D ′ abgebildet, dessen Flächeninhalt 54 cm2 beträgt.
Bestimme das Streckungsverhältnis.
Ein Parallelogramm mit a = 8 cm und ha = 3 cm wird durch zentrische Streckung
auf das Parallelogramm A′ B ′ C ′ D ′ abgebildet, dessen Flächeninhalt 54 cm2 beträgt.
Bestimme das Streckungsverhältnis.
Flächeninhalt der Originalfigur: A = a · ha = 24 cm2
Flächeninhalt der Bildfigur:
A′ = 54 cm2
Flächenverhältnis:
54 cm2 : 24 cm2 = 9 : 4
√ √
9 : 4 = 3 : 2 (Vergrösserung)
Streckungsverhältnis:
8. Ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 6 cm und c = 8 cm wird durch
zentrische Streckung in das Dreieck A′ B ′ C ′ abgebildet. Wie lang sind die Seiten des
Bilddreiecks für die folgenden Streckungsverhältnisse?
(b) k = − 32
(a) k = 0.4
Multipliziert man die Längen der Originalfigur mit dem Streckungsfaktor k, so erhält
man die Längen der Bildfigur. Negative Vorzeichen müssen entfernt werden.
(a) a′ = 0.4 · 5 cm = 2 cm, b′ = 0.4 · 6 cm = 2.4 cm, c′ = 0.4 · 8 cm = 3.2 cm
(b) a′ = 1.5 · 5 cm = 7.5 cm, b′ = 1.5 · 6 cm = 9 cm, c′ = 1.5 · 8 cm = 12 cm
10
9. Wie gross muss das Streckungsverhältnis k sein, wenn ein Dreieck ABC mit c =
12 cm und hc = 8 cm in ein Dreieck A′ B ′ C ′ mit dem Flächeninhalt 27 cm2 abgebildet
werden soll?
Flächeninhalt der Originalfigur: A =
1
2
· c · hc = 48 cm2
Flächeninhalt der Bildfigur:
A′ = 27 cm2
Flächenverhältnis:
27 cm2 : 48 cm2 = 9 : 16
√ √
9 : 16 = 3 : 4 (Verkleinerung)
Streckungsverhältnis:
10. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k, bildet den
Punkt P auf den Punkt P ′ ab. Konstruiere das fehlende Zentrum Z.
(b) k =
(a) k = 2
1
2
Z
P′
P′
P
P
Z
11. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k, bildet den
Punkt P auf den Punkt P ′ ab. Konstruiere das fehlende Zentrum Z.
(a) k = −1
(b) k = −2
P′
P′
Z
Z
P
P
11
12. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k, bildet den
Punkt P auf den Punkt P ′ ab. Konstruiere das fehlende Zentrum Z.
(a) k =
2
3
(b) k =
3
2
Z
P′
P′
P
P
Z
13. Die zentrische Streckung mit Zentrum Z und dem Streckungsfaktor k, bildet den
Punkt P auf den Punkt P ′ ab. Konstruiere das fehlende Zentrum Z.
(b) k = − 23
(a) k = − 32
P′
P′
Z
Z
P
P
12