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Institut für Allgemeine Wirtschaftsforschung
Abteilung Sozialpolitik: Prof. Dr. G. Schulze
Jahreskurs Mikroökonomie
Teil 2 – Sommersemester 2004
Kapitel 17
Vorlesungsfolien 27.05.2004
Nicholson, W., Microeconomic Theory, Kapitel 17
Varian, H., Intermediate Microeconomics, Kapitel 30 und 31
XVII/1
Pareto Effizienz
Eine Allokation ist Pareto effizient,
wenn es keine andere Allokation gibt, die einzelne besser stellt,
ohne mindestens einen anderen schlechter zu stellen.
Wenn also durch eine Ressourcenumverteilung einzelne besser gestellt
werden können, ohne jemanden zu benachteiligen, so pareto-dominiert
die neue Allokation die vorherige.
Per definitionem gibt kein Individuum Nutzen auf. Es findet also kein
gerechtigkeitsbasierter Vergleich zwischen Nutzenaufgabe des einen
und Nutzengewinn des anderen statt. Daher bedarf Pareto Effizienz
keiner kardinalen Nutzentheorie. Es muss lediglich feststehen, welche
Allokation für die einzelnen Individuen besser oder schlechter ist.
à Ordinale Nutzentheorie
XVII/2
Produktionseffizienz
Analog zur Pareto Effizienz können wir
Produktionseffizienz definieren:
Eine Allokation der Produktionsfaktoren ist dann effizient, wenn
durch ihre Reallokation nicht mehr von einem Gut
produziert werden kann, ohne dass von mindestens
einem anderen Gut weniger produziert werden muss.
Eine Wirtschaft produziert dann effizient, wenn sie sich auf ihrer
Transformationskurve befindet.
XVII/3
Technische Effizienz impliziert nicht Pareto-Effizienz.
Technische Effizienz ist eine notwendige, aber nicht
hinreichende Bedingung für Pareto-Effizienz:
Technische Effizienz verhindert Verschwendung, d.h. die
Volkswirtschaft produziert auf der Transformationskurve.
Es bedeutet aber noch nicht, dass das optimale Güterbündel
produziert wird. Dieses ist gegeben durch den Tangentialpunkt
aus sozialer Indifferenzkurve und Transformationskurve.
XVII/4
Effiziente Wahl der Einsatzfaktoren einer Firma
Wie in Kapitel 16 gesehen, werden die Produktionsfaktoren
effizient eingesetzt, wenn die GRTS für alle Produktionsprozesse
gleich sind.
Eine Firma produziere beide Güter X und Y mit der Hilfe von
Kapital und Arbeit, wobei die gesamte Faktorausstattung fix ist
und auf beide Produktionsprozesse aufgeteilt werden muss.
X = f ( K X , LX )
Y = g ( KY , LY ) = g ( K − K X , L − LX )
Die indizierten K und L geben jeweils Kapital bzw. Arbeit an, welche
zur Produktion der entsprechenden Güter verwendet werden.
Pareto Effizienz wird erreicht, wenn bei Konstanz eines Outputs, hier Y,
XVII/5
der andere Output, hier X, maximiert wird.
Lagrangeansatz:
l = f ( K X , LX ) + λ (Y − g ( K − K X , L − LX ))
Unsere Bedingungen erster Ordnung ergeben sich dann zu:
!
∂l
= f K + λg K = 0
∂K X
!
∂l
= f L + λg L = 0
∂LX
!
∂l
= Y − g ( K − K X , L − LX ) = 0
∂λ
Daraus ergibt sich:
fK gK
=
fL gL
XVII/6
Wie in Kapitel 11 gezeigt, entspricht die Grenzrate der technischen
Substitution dem Verhältnis der Grenzproduktivitäten der Einsatzfaktoren und wir erhalten:
GRTS X ( K durch L ) = GRTS Y ( K durch L)
Effiziente Produktion ist in den Punkten möglich, in denen sich die
Grenzraten der technischen Produktion entsprechen (siehe Grafik 16.2).
XVII/7
Grafik 16.2: Edgeworth Box und Kontraktkurve
OX OY : " Kontraktkurve", Kurve effizienter Faktorallokationen
XVII/8
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.425
Effiziente Allokation der Produktionsfaktoren auf die Firmen
Wie findet nun die Allokation der Einsatzfaktoren zwischen
den Firmen, die dasselbe Gut produzieren statt?
Bei effizienter Produktion muss das Grenzprodukt der Einsatzfaktoren in allen Firmen gleich sein. Wir erweitern unser Beispiel auf
zwei Firmen (1,2). Die Produktion von X ist ist also die Summe der
Produktion beider Firmen:
X = f1 ( K1 , L1 ) + f 2 ( K 2 , L2 )
XVII/9
Verfügbares Kapital und Arbeitskraft sind begrenzt, so dass gilt:
K1 + K 2 = K
L1 + L2 = L
Durch Auflösen und Einsetzen erhalten wir dann:
X = f1 ( K1 , L1 ) + f 2 ( K − K1 , L − L1 )
Bedingungen erster Ordnung sind:
∂X
∂f1 ∂f 2
∂f1 ∂f 2
=
+
=
−
=0
∂K1 ∂K1 ∂K1 ∂K1 ∂K 2
und
∂X ∂f1 ∂f 2 ∂f1 ∂f 2
=
+
=
−
=0
∂L1 ∂L1 ∂L1 ∂L1 ∂L2
XVII/10
∂f1
∂f 2
=
∂K1 ∂K 2
∂f1 ∂f 2
=
∂L1 ∂L2
Die Grenzprodukte der Einsatzfaktoren sind in allen Firmen gleich.
XVII/11
Durch effiziente Allokation der Einsatzfaktoren, z.B. Arbeit (L)
lassen sich also Vorteile ziehen. Bsp 17.1 veranschaulicht dies:
Hier handelt es sich um zwei Reisbauern, die mit der selben
Produktionsfunktion Reis anbauen:
q=K
0 , 25
⋅L
0 , 75
Die beiden Reisbauern verfügen über unterschiedliche Faktorausstattungen und erhalten dementsprechend andere Erträge:
K1 = 16 ⇒ q1 = 2 L
0 , 75
1
K 2 = 625 ⇒ q2 = 5L
0 , 75
2
Wir gehen weiterhin von einem fixen Arbeitsangebot von 100 aus,
welches wir gleichmäßig (50:50) an die beiden Bauern verteilen.
Der gesamte Reisertrag Q beläuft sich dann auf:
Q = q1 + q2 = 2(50) 0,75 + 5(50) 0, 75 = 131,6
XVII/12
Wie gezeigt, findet effiziente Produktion statt, wenn sich die
Grenzproduktivitäten der Einsatzfaktoren entsprechen.
∂q1  3  − 0,25 ∂q2  15  −0, 25
=   L1
=
=   L2
∂L1  2 
∂L2  4 
−4
5
L1 =   L2 = 0,0256L2
2
Die gegebene höhere Kapitalausstattung des zweiten Reisbauern sorgt
dafür, dass nahezu alle Arbeitskraft bei ihm eingesetzt wird. Der
Gesamtertrag hat sich erhöht auf:
Q = q1 + q2 = 2( 2,6) 0, 75 + 5(97,4) 0,75 = 159,1
XVII/13
Effiziente Produktionsentscheidung
Obwohl innerhalb und zwischen Firmen effizient alloziiert wird, bleibt
die Frage, welche Kombination der Outputs die Firmen produzieren
sollten. Im Zwei-Güter-Fall hätten wir die Transformationskurve
beschrieben durch
Yi = f i ( X i ) ∀i ∈ {1,2}
d.h. am Ort effizienter Produktion ist die technisch effiziente
Produktion des einen Gutes (Y) abhängig von der technisch
effizient produzierten Menge des anderen Gutes (X).
Das entsprechende Optimierungsproblem lautet dann:
Maximiere die Produktion von X für eine gegebene Menge von Y,
also Y*.
[
l = X 1 + X 2 + λ Y ∗ − f1 ( X 1 ) − f 2 ( X 2 )
]
XVII/14
dessen B.E.O. dann ergeben:
∂f1
∂f 2
=
∂X 1 ∂X 2
Die Rate der Produktionstransformation sollte also für alle Firmen
gleich sein.
Grafik 17.1 stellt den erläuterten Sachverhalt dar. Firma A ist in der
A
B
dargestellten Situation (P1 , P1 ) effizienter in der PKW Produktion
als Firma B (ihre GRT im Punkt (50,100) ist 2).
Firma B stellt LKWs effizienter her, ihre GRT in der Ausgangssituation
ist nur 1. Produziert also Firma B einen Lastwagen mehr, so muss sie
ihre PKW Produktion um einen Wagen zurückfahren. Firma A kann ihre
Lastwagenproduktion um 1 Auto verringern, ohne den Gesamtoutput an Lastwagen zu verringern und dafür zwei PKWs mehr
produzieren.
XVII/15
Durch diese Umstrukturierung hat also die Gesamtproduktion um
einen PKW zugenommen.
Diese Möglichkeit der Produktionssteigerung durch Reallokation
der Produktionsaktivitäten zwischen den beiden Firmen besteht
so lange wie die Raten der Produkttransformation nicht
ausgeglichen sind zwischen den beiden Firmen.
XVII/16
Grafik 17.1: Effiziente Produktion/Spezialisierung
XVII/17
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.461
Ricardos Theorie des komparativen Vorteils
David Ricardo gab Anlass diese Betrachtung von Firmen innerhalb
einer Gesellschaft auf den Handel zwischen den Ländern auszudehnen.
Durch die Spezialisierung einzelner Länder ließe sich der aggregierte
weltweite Output steigern.
Beispiel 17.2 wird Ricardos Ansatz aufgreifen.
XVII/18
Bsp 17.2: Ricardos Welt
Zur Vereinfachung der Analyse gehen wir von linearen
Transformationskurven aus.
Die Grenzkosten in eine Währung umgerechnet seien:
Grenzkosten in
für
Wein
Kleidung
England Portugal
8
4
2
2
Linearer Verlauf heißt konstante Grenzkosten=Durchschnittkosten.
Statten wir nur beide Länder mit den gleichen Ressourcen aus (100 Einh.),
dann gelten für England und Portugal folgende Transformationskurven:
England : 8W + 4C = 100
XVII/19
Portugal : 2W + 2C = 100
Wir erhalten dann offensichtlich unterschiedliche GRTs:
dC
GRT (England) = −
=2
dW
dC
GRT (Portugal) = −
=1
dW
Obwohl Portugal einen absoluten Kostenvorteil bei beiden Gütern hat,
können beide Länder vom Handel profitieren. Wein ist in Portugal
relativ günstiger, während England einen komparativen Vorteil bei
der Produktion von Kleidung hat.
XVII/20
Um die Gewinne der Ausnutzung dieser relativen Vorteile im
Weinanbau und in der Kleidungsproduktion zu veranschaulichen,
beginnen wir damit, dass jedes Land die Hälfte seiner Ressourcen
zur Produktion der beiden Güter aufwendet.
England:
50
W=
= 6,25
8
50
C=
= 12,5
4
Portugal:
50
W=
= 25
2
50
C=
= 25
2
XVII/21
Der gemeinsame Output der beiden Länder ließe sich erhöhen, wenn
England mehr Ressourcen für die Produktion von Kleidung, für die
es einen komparativen Vorteil hat, und weniger für den
Weinanbau aufwendet. Im Extremfall produziere England C(100)=25.
Um die Nachfrage zu befriedigen müsste Portugal dann verstärkt
Wein anbauen. Für die Resourcenaufteilung 70:30
würden 35 Einheiten Wein und 15 Einheiten Kleidung
produziert. Der weltweite Output an Wein hätte sich von 31,25 auf 35
und an Kleidung von 37,5 auf 40 erhöht.
Durch die Ausnutzung des relativen Produktionsvorteils
verbunden mit internationalem Handel lässt sich also eine Steigerung
der Wohlfahrt erreichen.
XVII/22
Technische Effizienz vs. Pareto Effizienz
Um Pareto-Effizienz des Produktionsplanes abzuleiten,
muss auch die Nachfrageseite berücksichtigt werden.
Ob die Spezialisierung eines Landes auf ein bestimmtes Gut für dieses
Land von Vorteil ist, hängt für eine geschlossene Volkswirtschaft
von den Präferenzen der Konsumenten über
die einzelnen Güter ab. Es muss gelten GRS=GRT.
Effizient in diesem Sinne ist eine Produktion also dann, wenn der
psychologische trade-off zwischen den Gütern ausgedrückt durch
die GRS gleich dem technischen trade-off
der Produktion der beiden Güter ist (GRT).
XVII/23
Dies wird in Grafik 17.2 dargestellt. Die Kurve PP stellt die
Transformationskurve dar. Es sind mehrere Indifferenzkurven dargestellt.
Effizient ist nur der Punkt E, in dem die Tangentialbedingung erfüllt ist.
Alle Punkte unterhalb der Tauschkurve sind technisch ineffizient,
alle Punkte oberhalb sind technisch nicht möglich.
(Punkt G ist technisch ineffizient, wird aber Punkt F, der technisch
effizient ist, vorgezogen. Punkt E dominiert alle anderen technisch
möglichen Punkte.)
XVII/24
Grafik 17.2: Technische Effizienz vs. Pareto Effizienz
XVII/25
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.464
Die Grafik wird oft Robinson Crusoe Wirtschaft genannt. Robinson
ist das einzige Individuum auf seiner Insel, daher gleichzeitig
Produzent und Konsument. Er maximiert seinen Nutzen U(X,Y)
für eine gegebene Transformationskurve T(X,Y)=0,
welche seine Fertigkeiten in der Produktion repräsentiert.
l = U ( X , Y ) + λ [T ( X , Y )]
B.E.O.:
∂l ∂U
∂T
=
+λ
=0
∂X ∂X
∂X
∂l ∂U
∂T
=
+λ
=0
∂Y ∂Y
∂Y
∂l
= T ( X ,Y ) = 0
∂λ
XVII/26
In bekannter Art kombinieren wir die ersten beiden Gleichungen zu:
∂U / ∂X ∂T / ∂X
=
∂U / ∂Y ∂T / ∂Y
GRS = GRT
q.e.d.
XVII/27
Bsp 17.3: Nutzen maximierende Produktion
Wir greifen unser Brot-Bier Beispiel aus Kapitel 16 wieder auf.
Unsere Transformationskurve ist:
X 2 + 4Y 2 = 100
Die Nutzenfunktion lautet:
U ( X ,Y ) = X ⋅Y
Das allgemeine Gleichgewicht lässt sich durch Lösung des folgenden
Lagrangeansatzes ermitteln:
l=
[
X ⋅ Y + λ 100 − X 2 − 4Y 2
]
XVII/28
l=
B.E.O.
X ⋅ Y + λ [100 − X
2
− 4Y
2
∂l 1  Y 
=   − 2λX = 0
∂X 2  X 
0 ,5
∂l 1  X 
=   − 8λY = 0
∂Y 2  Y 
∂l
= 100 − X 2 − 4Y 2 = 0
∂λ
]
0, 5
(1)
(2)
(3)
Teilen wir (1) durch (2) erhalten wir:
Y 1 X
=
X 4Y
also:
X 2 = 4Y 2
XVII/29
Eingesetzt in die Nebenbedingung ergeben sich die Optimalwerte für
X und Y zu:
X ∗ = 50 = 7,07
Y ∗ = 12,5 = 3,54
Der Nutzen beträgt dann:
U ( X ∗,Y ∗ ) =
X ∗ ⋅Y ∗ = 5
Vergleichen wir unser Ergebnis unter Einbeziehung
der Transformationskurve, mit demjenigen aus Kapitel 16
(allgemeines Gleichgewicht), so sehen
wir, dass sich beide gleichen. Die unsichtbare Hand des Preismechanismus hat also zu einem effizienten Gleichgewicht geführt.
XVII/30
Wettbewerbspreise und Effizienz
Pareto-Effizienz bedingt unter anderem, dass die Grenzrate der
Transformation für X und Y für alle Firmen gleich ist (s.o.).
Dieser trade-off wird bei vollkommener Konkurrenz durch das
Preisverhältnis PX PY wiedergegeben.
Dieses Preisverhältnis ist bei vollkommener Konkurrenz für alle
gleich und für jedes Wirtschaftssubjekt ein Datum.
Die Konsumenten orientieren ihr Konsumverhalten (als Ergebnis
der Nutzenmaximierung unter Nebenbedingungen), die Produzenten
ihre Produktionsentscheidung (als Ergebnis der Gewinnmaximierung unter Nebenbedingung) daran.
Ähnliche Beziehungen gelten nicht nur auf dem Gütermarkt,
sondern auch auf allen anderen Märkten
àIm Gleichgewicht bei vollkommenem Wettbewerb wird
ein Pareto-Optimum erreicht.
XVII/31
Effizienz in der Produktion
Optimalitätsbedingung:
X
Y
GRTS KL
= GRTS KL
d.h. die Grenzrate der technischen Substitution (zwischen zwei
Faktoren) muss in jedem Produktionsprozess gleich sein.
Dies wir durch vollkommene Konkurrenz auf allen Märkten
erreicht.
Kostenminimierung der Firmen impliziert, dass die GRTS gleich
dem Faktorpreisverhältnis w/v ist.
Dies gilt für jeden Output X,Y,..., so dass die GRTS für alle
Produktionsprozesse gleich sein muss.
XVII/32
X 0 = f ( K , L)
dX 0 = f L dL + f K dK = 0
K∗
dK
fL
⇒
=−
dL
fK
L∗
Isokosteng erade
C0 = w ⋅ L + v ⋅ K
C0 w
⇒K =
− ⋅L
v v
XVII/33
Zwei Firmen produzieren dasselbe Gut X
Kostenminimierung der Firmen impliziert, dass für den
Arbeitseinsatz gilt:
p X ⋅ f L1 = w
p X ⋅ f L2 = w
(Firma 1)
(Firma 2)
Da beide Firmen Preisnehmer auf Gütermarkt und Arbeitsmarkt
sind, d.h. die Preise für sie gleich sind, gilt:
f = f
1
L
2
L
Das physische Grenzprodukt der Arbeit muss für beide Firmen,
die ja dasselbe Gut herstellen, gleich sein.
XVII/34
Außerdem muss GRTXY für alle Firmen gleich sein,
1
2
GRTXY
= GRTXY
Wir haben gesehen, dass
GRTXY
GKY
pY
=
=
GK X
pX
da aber jede Firma so produziert, dass für jedes Gut
Preis=Grenzkosten, und da alle Firmen dieselben Preise
haben (je Gut), müssen sie auch dieselben Grenzkosten
und deshalb auch dieselben GRT haben.
XVII/35
Erstes Wohlfahrtstheorem:
Jedes allgemeine Gleichgewicht ist bei
vollkommener Konkurrenz Pareto optimal:
Voraussetzungen:
1) Unternehmer maximieren ihren Gewinn
à Grenzproduktivitäten der Einsatzfaktoren sind in allen
Firmen gleich und entsprechen den Faktorpreisen
X
Y
GRTSKL
= GRTSKL
; GRT i = GRT j = GRT
2) Konsumenten maximieren ihren Nutzen
à GRS für alle gleich
GRS α = GRS β = GRS γ
GRS = GRT
3) Markträumung
XVII/36
Grafik 17.3 ähnelt Grafik 16.4. Unser Interesse liegt hier allerdings
beim Preisverhältnis. Transformationskurve und Indifferenzkurve
tangieren sich, der Preisvektor hat sich ebenfalls so eingestellt.
Wir befinden uns also im allgemeinen
Gleichgewicht. Die GRS und die GRT sind für alle gleich, jeder ist
Preisnehmer, das heißt, in diesem Punkt kann niemand besser gestellt
werden à Pareto Optimalität
Drehen wir jetzt die Argumentation um und geben eine Tauschkurve
mit entsprechenden RPT sowie eine Nutzenfunktion mit entsprechenden
Indifferenzkurvenverlaufen vor, so stoßen wir auf...
Das zweite Wohlfahrtstheorem
Zu jeder Pareto Effizienten Allokation lässt sich ein Preisvektor
finden, der Konsumenten und Produzenten ins allgemeine
Gleichgewicht bringt.
XVII/37
Grafik 17.3:
XVII/38
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.468
Pareto-Effizienz sagt nichts über Gerechtigkeit aus:
A. K. Sen: „even when some people are rolling in luxury and
others are near starvation, as long as the starvers cannot be made
better off without cutting into the pleasures of the rich...
In short a society can be Pareto optimal and still
be perfectly disgusting.“
XVII/39
Tauschwirtschaft
Die Gesellschaft besteht aus zwei Individuen (Smith und Jones),
die eine Anfangsausstattung mit zwei Gütern X und Y haben.
Dies ist in der Edgeworth-Box in Grafik 17.8 dargestellt.
Nun ist die Edgeworth-Box ein Güterraum.
Produktion findet per definitionem nicht statt und es gibt nur
zwei Individuen und zwei Güter. Ihre Ursprungspunkte liegen wie in
Grafik 17.8 einander gegenüber. Die Kantenlängen der Box geben
die gesamte Menge eines Gutes innerhalb der Wirtschaft an. Beide Güter
sind voll verteilt, so dass die Anfangsausstattung von Smith und Jones
im selben Punkt liegt. Es findet keine Verschwendung statt, das heißt,
dass auch jede weitere Allokation einen gemeinsamen Punkt beschreibt.
XVII/40
In der Grafik sind mehrere Indifferenzkurven eingezeichnet. Das
Nutzenniveau von Smith und Jones hängt von ihren Anfangsausstattungen ab. Die dunkel hinterlegte Fläche bietet von A ausgehend
Raum zur Verbesserung. Pareto Verbesserung bedeutet besser zu
stellen, ohne den anderen schlechter zu stellen.
Ausgehend von einer Kombination der Anfangsaustattungen
im Punkt A können beide Individuen so tauschen, dass keiner schlechter
gestellt wird und mindestens einer besser. Die möglichen Tauschergebnisse werden durch die dunkel schattierte Linse wiedergegeben.
Effizient sind allerdings nur die Tangentialpunkte der Indifferenzkurven
von Jones und Smith, die in ihrer Summe die Kontraktkurve bilden.
Ausgehend von Punkt A sind also die Punkte auf der Kontraktkurve,
die zwischen M 1und M 2liegen, pareto-effiziente Tauschergebnisse.
XVII/41
Grafik 17.8: Edgeworth Box und Kontraktkurve
XVII/42
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.482
Grafik 17.9 zeigt nochmals wie sich Smith und Jones durch Tausch
besser stellen können. Ihre Anfangsausstattung wird wieder durch
den Punkt A beschrieben. Eingezeichnet sind jeweils für Smith und
Jones die Indifferenzkurven, die durch A laufen und die Kontraktkurve.
Wie bereits beschrieben bildet sie alle effizienten Allokationen ab und
wird durch die Tangentialpunkte der Indifferenzkurven konstruiert.
Da weder Smith noch Jones sich durch Tausch schlechter stellen wollen,
wird keiner einem Punkt außerhalb der eingezeichneten Linse aus den
Indifferenzkurven U SA und U JAzustimmen. Außerdem sind alle Punkte
außerhalb der Kontraktkurve ineffizient. Das Ergebnis des Tausches
wird also auf der Linie zwischen M 1 und M 2 liegen.
XVII/43
Das Verteilungspolitische Dilemma
Wie gezeigt, hängen die erreichbaren pareto-optimalen Punkte
von der Anfangsausstattung ab. Große Unterschiede in den
Anfangsausstattungen können mit Hilfe des Parteo-Kriteriums
nicht beseitigt werden.
XVII/44
Grafik 17.9: Einfluss der Anfangsausstattung
auf das Tauschergebnis
XVII/45
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.484
Bsp 17.5: Zwei-Personen Tauschwirtschaft
In unserer Wirtschaft betrage die gesamte Anfangsausstattung
an Softdrinks (X) und Hamburgern (Y) jeweils 1000. Smith besitze
die Nutzenfunktion,
U S ( X S , YS ) = X S2 3 ⋅ YS1 3
und Jones
U J ( X J , YJ ) = X 1J 3 ⋅ YJ2 3
Wie an den Exponenten zu sehen ist, gibt Smith den Softdrinks den
Vorzug, während Jones eher zu Hamburgern tendiert. Wir erwarten
also von einer effizienten Allokation, dass Smith mehr Softdrinks
und Jones mehr Hamburger erhält. Effizienz ist dann erreicht, wenn
wir für ein gegebenes Nutzenniveau des einen den Nutzen des
anderen maximieren. Hier halten wir den Nutzen von Smith konstant.
XVII/46
Daraus ergibt sich folgender Lagrangeansatz:
[
L = U J ( X J , YJ ) + λ U S ( X S , YS ) − U S
[
1/ 3 2 / 3
2 / 3 1/ 3
X
Y
X
= J J + λ S YS − U S
]
]
Die 1000 Softdrinks und Hamburger werden voll verteilt, das
heißt wir erfüllen folgende Gleichungen:
X J = 1000 − X S
YJ = 1000 − YS
Wir substituieren in unseren Lagrangeansatz
und eliminieren so zwei Variablen:
1/ 3
2/3
2 / 3 1/ 3
(
1000
)
(
1000
)
[
L=
− XS ⋅
− YS
+ λ X S YS − U S ]
XVII/47
L = (1000 − X S ) ⋅ (1000 − YS )
1/ 3
2/3
[
+ λ X S2 / 3YS1 / 3 − U S
]
Die ersten partiellen Ableitungen sind dann:
2/3
1/ 3
∂L
1  1000 − YS 
2λ  YS 



 = 0
=− 
+

∂X S
3  1000 − X S 
3  XS 
1/ 3
2/3
∂L
1  1000 − X S 
2λ  X S 



 = 0
=− 
+

∂YS
3  1000 − YS 
3  YS 
Wie üblich bringen wir die Terme mit Lambda auf die andere Seite
und teilen dann die erste durch die zweite partielle Ableitung:
1  1000 − YS

2  1000 − X S

 YS
 = 2

 XS



umgeformt:
 4YS
XS
= 
(1000 − X S )  1000 − YS



XVII/48
Obige Gleichung beschreibt unsere Optimalitätsbedingung, die folgende
Tabelle zeigt, welche Werte sich ergeben, wenn X Szwischen
0 und 1000 liegt.
XS
YS
US
XJ
YJ
UJ
0
0
0
1000
1000
1000
100
27
65
900
973
948
200
59
133
800
941
891
300
97
206
700
903
830
400
143
284
600
857
761
500
200
368
500
800
684
600
273
461
400
727
596
700
368
565
300
632
493
800
500
684
200
500
368
900
692
825
100
308
212
1000
1000
1000
0
0
0
XVII/49
Die Wirkung der Anfangsausstattung
Angenommen Smith starte mit 800 Softdrinks und 800 Hamburgern,
so erhalte Jones 200 und 200. Ihre Nutzen beliefen sich auf 800 bzw.
200. Halten wir Smith Nutzen konstant bei 800, so können wir Jones‘
Nutzen höchstens auf 239 steigern. Trotz Effizienzgewinnen hat sich
gezeigt, dass nach dem Kriterium der Pareto Optimalität Unterschiede
in den Anfangsausstattungen nur mäßig überbrückt werden können.
XVII/50