Matchings - Der Satz von Padberg Rao

Definitionen
b-Matchings
Der Satz von Padberg - Rao
Matchings Der Satz von Padberg Rao
Matchings -
Der Satz von Padberg Rao
Definitionen
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Der Satz von Padberg - Rao
Matchings und allgemeine Definitionen
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Der Satz von Padberg Rao
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Der Satz von Padberg - Rao
Matchings und allgemeine Definitionen
I
Ein Matching im Graph G ist eine Menge M ⊆ E(G), so
dass jeder Knoten in G von höchstens einem e ∈ M
überdeckt wird.
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Der Satz von Padberg - Rao
Matchings und allgemeine Definitionen
I
Ein Matching im Graph G ist eine Menge M ⊆ E(G), so
dass jeder Knoten in G von höchstens einem e ∈ M
überdeckt wird.
I
Das Matching heißt perfekt, falls jeder Knoten von G von
genau einer Kante des Matchings überdeckt wird.
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Der Satz von Padberg Rao
Definitionen
b-Matchings
Der Satz von Padberg - Rao
Matchings und allgemeine Definitionen
I
Ein Matching im Graph G ist eine Menge M ⊆ E(G), so
dass jeder Knoten in G von höchstens einem e ∈ M
überdeckt wird.
I
Das Matching heißt perfekt, falls jeder Knoten von G von
genau einer Kante des Matchings überdeckt wird.
I
Für A ⊆ V(G) ist:
δ(A) := {{v,u}∈ E (G ) | v ∈ A, u ∈ V(G) \ A }
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Der Satz von Padberg Rao
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Der Satz von Padberg - Rao
Definition b-Matching
Sei G ein ungerichteter Graph mit Kantenkapazitäten
u: E(G)→ N ∪ ∞ und Zuordung b: V(G)→ N.
Ein b-Matching in (G,u) ist dann eine Funktion
f: E(G)→ Z+ , für die gilt:
1. f(e) ≤ u(e)
∀ e ∈ E(G)
P
f (e) ≤ b(v) ∀ v ∈ V(G)
2.
e∈δ(v )
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Der Satz von Padberg - Rao
Definition b-Matching
Sei G ein ungerichteter Graph mit Kantenkapazitäten
u: E(G)→ N ∪ ∞ und Zuordung b: V(G)→ N.
Ein b-Matching in (G,u) ist dann eine Funktion
f: E(G)→ Z+ , für die gilt:
1. f(e) ≤ u(e)
∀ e ∈ E(G)
P
f (e) ≤ b(v) ∀ v ∈ V(G)
2.
e∈δ(v )
Falls
P
f (e) = b(v) ∀ v ∈ V(G) heißt das b-Matching perfekt.
e∈δ(v )
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Der Satz von Padberg Rao
Definitionen
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Der Satz von Padberg - Rao
Definition b-Matching
Sei G ein ungerichteter Graph mit Kantenkapazitäten
u: E(G)→ N ∪ ∞ und Zuordung b: V(G)→ N.
Ein b-Matching in (G,u) ist dann eine Funktion
f: E(G)→ Z+ , für die gilt:
1. f(e) ≤ u(e)
∀ e ∈ E(G)
P
f (e) ≤ b(v) ∀ v ∈ V(G)
2.
e∈δ(v )
Falls
P
f (e) = b(v) ∀ v ∈ V(G) heißt das b-Matching perfekt.
e∈δ(v )
Matchings sind ein Spezialfall von b-Matchings: Setze b ≡ 1.
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Der Satz von Padberg - Rao
Das kostenminimale b-Matching Problem
Das kostenminimale b-Matching
P Problem ist die Aufgabe, ein
b-Matching zu finden, mit
c(e)f (e) ist minimal unter allen
eE (G )
b-Matchings, für gegebene Kostenfunktion c: E(G) → R.
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Der Satz von Padberg - Rao
Das kostenminimale b-Matching Problem
Das kostenminimale b-Matching
P Problem ist die Aufgabe, ein
b-Matching zu finden, mit
c(e)f (e) ist minimal unter allen
eE (G )
b-Matchings, für gegebene Kostenfunktion c: E(G) → R.
Lösen des kostensminimalen b-Matching Problems:
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Der Satz von Padberg - Rao
Das kostenminimale b-Matching Problem
Das kostenminimale b-Matching
P Problem ist die Aufgabe, ein
b-Matching zu finden, mit
c(e)f (e) ist minimal unter allen
eE (G )
b-Matchings, für gegebene Kostenfunktion c: E(G) → R.
Lösen des kostensminimalen b-Matching Problems:
Definition: Das b-Matching Polytop ist die konvexe Hülle aller
Inzidenzvektoren von b-Matchings in (G,u).
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Der Satz von Padberg - Rao
Das kostenminimale b-Matching Problem
Das kostenminimale b-Matching
P Problem ist die Aufgabe, ein
b-Matching zu finden, mit
c(e)f (e) ist minimal unter allen
eE (G )
b-Matchings, für gegebene Kostenfunktion c: E(G) → R.
Lösen des kostensminimalen b-Matching Problems:
Definition: Das b-Matching Polytop ist die konvexe Hülle aller
Inzidenzvektoren von b-Matchings in (G,u).
Falls man das b-Matching Polytop (P) kennt, genügt es zum Lösen
des ILPs ein LP zu lösen.
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Das b-Matching Polytop
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Das b-Matching Polytop
Satz: Das b-Matching Polytop (P) ist die Menge aller x ∈ R|E (G )|
mit:
1.
2.
xe ≤ u(e)
P
∀ e ∈ E(G)
xe ≤ b(v) ∀ v ∈ V(G)
e∈δ(v )
3.
P
e∈E (G [X ])
xe +
P
xe ≤
e∈F
b
1
2
(
P
b(v ) +
v ∈X
P
u(e) )c
e∈F
∀ X ⊆ V(G) und F ⊆ δ(X )
4. xe ≥ 0
∀ e ∈ E(G)
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Das Separationsproblem
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Das Separationsproblem
Definition Separationsproblem
Sei P ⊆ Rn ein Polytop. Sei x ∈ Qn gegeben.
Dann ist das Separationsproblem die Aufgabe, zu entscheiden,
ob x ∈ P und falls nicht ein y ∈ Qn zu finden,
so dass y t x < y t u ∀ u ∈ P.
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Satz von Padberg - Rao
Sei G ein ungerichteter Graph mit Kantenkapazitäten
u: E(G)→ N ∪ ∞ und Zuordung b: V(G)→ N. Dann ist das
Separationsproblem für das b-Matching Polytop polynomial lösbar.
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Der Satz von Padberg - Rao
Beweis von Padberg-Rao bzw. Konstruktion einer
verletzten Ungleichung
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Der Satz von Padberg - Rao
Beweis von Padberg-Rao bzw. Konstruktion einer
verletzten Ungleichung
Sei x ∈ R|E (G )| gegeben.
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Der Satz von Padberg - Rao
Beweis von Padberg-Rao bzw. Konstruktion einer
verletzten Ungleichung
Sei x ∈ R|E (G )| gegeben.
I
Prüfe ob xe ≥ 0 ∀ e ∈ E(G).
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Der Satz von Padberg - Rao
Beweis von Padberg-Rao bzw. Konstruktion einer
verletzten Ungleichung
Sei x ∈ R|E (G )| gegeben.
I
Prüfe ob xe ≥ 0 ∀ e ∈ E(G).
I
Prüfe ob xe ≤ u(e) ∀ e ∈ E(G).
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Der Satz von Padberg - Rao
Beweis von Padberg-Rao bzw. Konstruktion einer
verletzten Ungleichung
Sei x ∈ R|E (G )| gegeben.
I
Prüfe ob xe ≥ 0 ∀ e ∈ E(G).
I
Prüfe ob xe ≤ u(e) ∀ e ∈ E(G).
P
Prüfe ob
xe ≤ b(v) ∀ v ∈ V(G).
I
e∈δ(v )
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Falls x diese 3 Bedingungen erfüllt:
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Falls x diese 3 Bedingungen erfüllt:
1. Führe in G eine beliebige Richtung ein, d.h. orientiere jede
Kante in G.
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Falls x diese 3 Bedingungen erfüllt:
1. Führe in G eine beliebige Richtung ein, d.h. orientiere jede
Kante in G.
2. Definiere einen neuen Graph H
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Falls x diese 3 Bedingungen erfüllt:
1. Führe in G eine beliebige Richtung ein, d.h. orientiere jede
Kante in G.
2. Definiere einen neuen Graph H
3. Definiere eine Kapazitätsfunktion t: E(H) → R+
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Der Satz von Padberg - Rao
Falls x diese 3 Bedingungen erfüllt:
1. Führe in G eine beliebige Richtung ein, d.h. orientiere jede
Kante in G.
2. Definiere einen neuen Graph H
3. Definiere eine Kapazitätsfunktion t: E(H) → R+
4. Definiere eine Menge T ⊆ V(H)
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Finde T-Schnitt in H minimaler Kapazität
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Finde T-Schnitt in H minimaler Kapazität
Ist Kapazität ≥ 1 ⇒ x ∈ b-Matching Polytop.
Ist Kapazität < 1 ⇒ x ∈
6 b-Matching Polytop.
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Finde T-Schnitt in H minimaler Kapazität
Ist Kapazität ≥ 1 ⇒ x ∈ b-Matching Polytop.
Ist Kapazität < 1 ⇒ x ∈
6 b-Matching Polytop.
In diesem Fall:
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Der Satz von Padberg - Rao
Finde T-Schnitt in H minimaler Kapazität
Ist Kapazität ≥ 1 ⇒ x ∈ b-Matching Polytop.
Ist Kapazität < 1 ⇒ x ∈
6 b-Matching Polytop.
In diesem Fall:
Setzte X := W ∩ V(G) und
F := {{v,w} ∈ E(G): {v,{v,w}} ∈ δH (W)}.
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Der Satz von Padberg - Rao
Finde T-Schnitt in H minimaler Kapazität
Ist Kapazität ≥ 1 ⇒ x ∈ b-Matching Polytop.
Ist Kapazität < 1 ⇒ x ∈
6 b-Matching Polytop.
In diesem Fall:
Setzte X := W ∩ V(G) und
F := {{v,w} ∈ E(G): {v,{v,w}} ∈ δH (W)}.
Mit X und F erhält man dann eine verletzte Ungleichung:
P
e∈E (G [X ])
xe +
P
e∈F
xe >
b
1
2
(
P
b(v ) +
v ∈X
P
u(e) )
c
e∈F
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Das Separationsproblem wurde also durch das finden eines
T-Schnitts in H gelöst. Dies war möglich in O((n + m + 1)4 ).
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