4.¨Ubung Diskrete Strukturen - Lehrstuhl II für Mathematik

Lehrstuhl II für Mathematik
Prof. Dr. E. Triesch
http://www.math2.rwth-aachen.de
WS 2006/07
4. Übung Diskrete Strukturen
Aufgabe 1. Sei n ∈ N. Seien A1 , A2 , . . . , An (nicht unbedingt disjunkte) Mengen. Das Prinzip
der Inklusion–Exklusion liefert:
|A1 ∪A2 ∪. . .∪An | =
X
X
|Ai |−
1≤i≤n
|Ai ∩Aj |+
1≤i<j≤n
X
|Ai ∩Aj ∩Ak |±. . .±|A1 ∩A2 ∩. . .∩An |.
1≤i<j<k≤n
Zeigen Sie für die unvollständige“ Summe:
”
X
1≤i1 ≤n
|Ai1 |−
X
X
|Ai1 ∩Ai2 |+
1≤i1 <i2 ≤n
1≤i1 <i2 <i3 ≤n
(
X
|Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3 |±. . .±
|Ai1 ∩. . .∩Aik |
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
≥ |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | , falls k ungerade,
≤ |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | , falls k gerade.
Hinweis: Zeigen Sie (etwa durch vollständige Induktion)
k
X
!
!
m
m−1
1 + (−1)
= (−1)k
.
i
k
i=1
i
Verwenden Sie die Indikatorfunktionen für verschiedene Mengen X:
ιX (x) :=
(
1 , falls x ∈ X
.
0 , falls x ∈
6 X
Beachten Sie, dass z.B. für X ⊆ Y gilt: |X| = y∈Y ιX (y). Ebenso gilt für zwei beliebige
Mengen X, Y , dass ιX∩Y (x) = ιX (x)ιY (x) für alle x. Und falls x in genau m der Mengen Ai
(i = 1, . . . , j) ist, gilt:
P
!
m
ιAi1 (x)ιAi2 (x) · · · ιAik (x) =
,
k
1≤i1 <i2 <...<ik ≤n
X
da ein Summand genau dann 1 ist, wenn die k Mengen Ai1 , Ai2 . . . , Aik eine Auswahl aus den
m Mengen ist, in denen x liegt.
Aufgabe 2.
1) Bestimmen Sie die Anzahl der natürlichen Zahlen ≤ 100, die zu 100 teilerfremd sind (d.h.
die keine Teiler außer der 1 besitzen, die 100 teilen).
2) Wie viele Zahlen aus {1, 2, . . . 100} sind nicht durch 2,3 oder 5 teilbar?
3) Wie viele natürliche Zahlen ≤ 1 Million sind weder von der Form x2 noch x3 noch x5 ?
Aufgabe 3. Zeigen Sie die folgende Darstellung der Stirlingzahlen zweiter Art mit Hilfe der
Inklusions–Exklusionsmethode:
Sn,k
k
k n
1 X
(−1)k−j
j .
=
k! j=0
j
!
Hinweis: Zählen Sie die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {1, . . . , n} nach {1, . . . , k}.
Wie sehen die nicht surjektiven aus?
Aufgabe 4. Bestimmen Sie alle sn,k (Stirlingzahlen 1. Art) und alle Sn,k (Stirlingzahlen 2.
Art) für n ≤ 7 mit Hilfe der Rekursionen
sn+1,k = sn,k−1 + nsn,k , (1 ≤ k ≤ n), sn,n = 1, s0,0 = 1, sn,0 = 0 (n ≥ 1)
und
Sn+1,k = Sn,k−1 + kSn,k , (1 ≤ k ≤ n), Sn,n = 1, S0,0 = 1, Sn,0 = 0 (n ≥ 1)
(eine Art Pascal’sches Dreieck“).
”
Aufgabe 5. Auf den n–tupeln natürlicher Zahlen (siehe Blatt 2 Aufgabe 2) sei die Relation
< definiert durch:
(x1 , . . . , xn ) < (x01 , . . . , x0n )
⇔
n
X
i=1
xi <
n
X
i=1
x0i
oder
"
n
X
i=1
xi =
n
X
i=1
x0i
∧ i := max{j|xj 6=
x0j }
⇒ xi >
x0i
#
.
Vergleichen Sie diese sogenannte grad–invers–lexikografische Ordnung“ mit der Ordnung aus
”
Blatt 2 Aufgabe 2.