Aufgabe 1 (ca. 10 P) Seite 1 Untersuchen Sie anhand der folgenden

Aufgabe 1 (ca. 10 P)
Untersuchen Sie anhand der folgenden Stichprobenerhebung, welchen Einfluß der Siliziumgehalt
einer Stahlsorte (Merkmal X) auf die Druckfestigkeit des Stahls (Merkmal Y ) hat.
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xi [%]
0, 2 0, 22 0, 22 0, 25 0, 28 0, 30 0, 32 0, 32 0, 34 0, 35
N
yi [ mm2 ] 540 580 540 620 560 600 660 580 600 620
Hilfsgrößen:
10
X
10
X
xi = 2, 8 ;
1
yi = 5900 ;
1
10
X
x2i = 0, 8106 ;
1
10
X
yi2 = 3494000 ;
1
10
X
xi yi = 1664.
1
1 a) Berechnen Sie aus den Hilfsgrößen die empirischen Mittelwerte x̄, ȳ, die empirischen
Streuungen s2X , s2Y und die empirische Kovarianz sXY (Formeln und Werte).
Lösung 1a:
n = 10
x̄
ȳ
x¯2
=
=
=
s2X
=
y¯2
=
s2Y
=
xy
¯
=
sXY
=
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
n
P
xi
=
1
10
· 2, 8
= 0, 28
yi
=
1
10
· 5900
= 590
x2i
=
1
10
· 0, 8106
= 0, 08106
(xi − x̄)2
= x¯2 − x̄2
1
n
P
1
n
P
1
n
P
1
n
P
=
(yi − ȳ)2
= y¯2 − ȳ 2
n
P
1
n
P
1
n
P
1
1
10
yi2
1
xi yi
= 0, 08106 − 0, 0784 = 0, 00266
· 3494000 = 349400
= 349400 − 348100
= 1300
= 166, 4 − 165, 2
= 1, 2
= 166, 4
(xi − x̄)(yi − ȳ) = xy
¯ − x̄ · ȳ
zu Aufgabe 1
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1 b) Man gebe MKQ-Schätzwerte für die Koeffizienten a, b der Regressionsgerade y = a + bx an.
Steigt oder fällt die Druckfestigkeit des Stahls im Mittel mit wachsendem Siliziumgehalt?
1 c) Man berechne den empirischen Korrelationskoeffizienten ρXY . Bewerten Sie das Ergebnis.
Lösung 1b:
b = sXY /s2X = 1, 2/0, 00266
a = ȳ − bx̄
≈ 451, 128
= 590 − b · 0, 28 ≈ 463, 684
Regressionsgerade y = a + bx
Steigung der Regressionsgeraden b > 0
⇒ Mit wachsendem Siliziumgehalt steigt die Druckfestigkeit der
Stahlsorte (im betrachteten Bereich).
Lösung 1c:
ρXY =
sXY
1, 2
≈
≈ 0, 645
sX · sY
0, 0516 · 36, 0555
⇒ Zwischen den Merkmalen X und Y besteht kein guter linearer Zusammenhang.
Aufgabe 2 (ca. 12 P)
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Ein Lebensmittelgroßhändler vereinbart mit seinem Geflügellieferanten ein mittleres Hähnchengewicht
von mindestens 1000 g. Eine Stichprobenerhebung vom Umfang n = 7 ergab einen empirischen Mittelwert
x̄ = 960, 7[g] und eine empirische Streuung s2 = (46, 5)2 [g 2 ]. Es werde angenommen, daß die Gewichte der
gelieferten Hähnchen Realisierungen einer normalverteilten Zufallsvariablen X sind.
2 a) Man gebe ein nach oben begrenztes 95%-Vertrauensintervall für ξ = EX an.
Man teste die Hypothese H0 : ξ = 1000g mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%.
Nötigenfalls gebe man die Alternative an.
Lösung 2a:
(n−1)
%
p(ξ ≤ X̄ + tP
S
P
·√ )=
n
100
(6)
ξ = EX ; t95% = 1, 943 ; s = 46, 5 ; n = 7 ; x̄ = 960, 7
46, 5
ξ ≤ 960, 7 + 1, 943 · √
7
ξ ≤ 994, 85 ist ein realisiertes, nach oben begrenztes 95% − V I für ξ.
Test:
H0 : ξ = 1000[g] = ξ0
Da ξ0 = 1000[g] nicht im 95%-VI liegt, wird H0 zugunsten H1 : ξ < ξ0 = 1000[g] verworfen.
zu Aufgabe 2
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2 b) Man führe den Test aus a) mit der höheren Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99% durch.
2 c) Man gebe ein zweiseitiges 95% - Vertrauensintervall für die Streuung σ 2 von X an.
Lösung 2b:
P = 99
(6)
t99% = 3, 143
Realisiertes VI:
46, 5
ξ ≤ 960, 7 + 3, 143 · √
7
ξ ≤ 1015, 94 ist ein realisiertes, nach oben begrenztes 99%-VI für ξ
Test: H0 : ξ = 1000[g] = ξ0
Da ξ0 = 1000[g] im 99%-VI liegt, braucht H0 mit der erhöhten Sicherheitswahrscheinlichkeit
nicht verworfen zu werden.
Lösung 2c:)
P
(n − 1)S 2
(n − 1) · S 2
2
≤
σ
≤
2
Xn−1,P
χ2n−1,Q%
%
!
=
P −Q
100
P = 97, 5 ; Q = 2, 5
χ26;97,5% = 14, 4
χ26;2,5% = 1, 24
6 · (46, 5)2
6 · (46, 5)2
≤ σ2 ≤
14, 4
1, 24
2
900, 94
≤ σ ≤ 10462, 5
ist ein realisiertes, zweiseitiges 95%-VI für die unbekannte Streuung σ 2 von X.
Aufgabe 3 ( ca. 8 P)
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Eine Angestelle verläßt an 225 Arbeitstagen eines Jahres jeweils kurz nach Dienstschluß ihr Büro.
Die Dauern Xi ; i = 1, 2, . . . , 225 ; der zusätzlichen täglichen Arbeitszeit werden als stetige,
unabhängige Zufallsvariable mit Erwartungswert E(Xi ) = 5[min] und Streuung D2 (Xi ) = 25[min2 ]
betrachtet. Mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes berechne man (näherungsweise) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Angestellte in einem Jahr insgesamt mehr als 15 h zusätzlich arbeitet.
Lösung
D2 (Xi ) = 25[min 2 ]
EXi = 5[min]
E
225
X
225
X
!
Xi =
1
D
2
225
X
EXi = 225 · 5 = 1125
1
!
Xi =
225
X
1
D2 (Xi ) = 225 · 25 = 5625
1
p
225
X
!
Xi ≥ 15 · 60 =
1
900 − 1125
Y − 1125
√
p
≥ √
5625
5625
!
= p(U ≥ −3)
wobei Y =
225
P
1
Xi . U ist näherungsweise (0; 1)-normalverteilt.
Wegen p(U ≥ −3) = p(U ≤ 3) = G(3) = 0, 99865 (G Verteilungsfunktion der (0;1)Normalverteilung).
Die Angestellte arbeitet mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99865 mehr als 15 h zusätzlich
pro Jahr.
Aufgabe 4 (ca. 10 P)
Die Funktion f : IR2 → IR mit f (x, y) =
Zufallsvariablen (X,Y).
Seite 6
1
4
−|x|−|y|
e
ist Dichte einer zweidimensionalen
4 a) Man berechne die Randdichten fX bzw. fY von X bzw. Y .
(Ergebnis: fX (x) = 21 e−|x| ; fY (y) = 12 e−|y| )
4 b) Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable?
Lösung 4a:
fX (x) =
+∞
Z
+∞
Z
f (x, y) dy =
−∞
−∞
1 −|x| −|y|
e
·e
dy =
4
+∞
Z∞
1 −|x| Z
1 −|x|
−|y|
= e
·
e
dy = e
·2·
e−y dy =
4
4
−∞
=
Analog fY (y) =
+∞
R
−∞
Ergebnis: fX (x) =
1
2
0
1 −|x|
e
· −e−y
2
h
i∞
0
=
1 −|x|
e
2
f (x, y) dx = 21 e−|y|
e−|x| ; fY (y) =
1
2
e−|y|
Lösung 4b:
fX · fY = f =
⇒ X, Y sind unabhängige Zufallsvariable.
1 −|x|−|y|
e
4
zu Aufgabe 4
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4 c) Man berechne die zweiseitige (symmetrische) P %-Grenze λP % der Zufallsvariablen X
(Skizze von fX !)
Lösung 4c:
λρ%
Z
λρ%
Z
fX (x)dx =
−λρ%
−λρ%
h
= −e−x
iλρ%
0
0
= −e−λρ% + 1 =
P
100
P
P
⇒ λρ% = − ln(1 −
)
100
100
= − ln 0, 1 = ln 10 ≈ 2, 30
⇒ e−λρ% = 1 −
z.B.: λ90%
λρ%
Z
1 −|x|
1 −x
e
dx = 2 ·
e dx
2
2