Felder_E2 - BFH-TI Staff

BFH / Elektrotechnik / Physik 3
A: Felder 1
Berner Fachhochschule
Technik und Informatik
Electro - und Kommunikationstechnik
PHYSIK 3
TEIL A: Felder
BFH / Elektrotechnik / Physik 3
A: Felder 2
Inhaltsverzeichnis
Seite
I.
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
Elektrisches Feld
Grundlegende Definitionen und Eigenschaften
Feld einer Ladungsverteilung
Ladung im homogenen elektrischen Feld
Nichtleiter (Dielektrikum) im elektrischen Feld, Polarisation
Leiter im elektrischen Feld, Influenz
II.
II.1
II.2
II.3
II.4
Magnetisches Feld
Feldlinien
Magnetfelder von Stromverteilungen
Kraft auf bewegte Ladung im Magnetfeld (Lorentzkraft)
Materie im Magnetfeld
Anhang
Elektrisches Feld einer geladenen Fläche
3
4
5
6
7
8
9
10
BFH / Elektrotechnik / Physik 3
A: Felder 3
Ein „Feld“ ist die Angabe einer physikalischen Grösse in Abhängigkeit von der Position im Raum, z.B.
Temperaturfeld, Strömungsfeld, Kraftfeld. Die Idee der elektrischen und magnetischen Felder geht v.a.
auf Faraday und Maxwell zurück und ist sehr nützlich als Vorstellungshilfe, ganz besonders im
Zusammenhang mit der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen.
Besonders anschaulich sind Strömungsfelder, bei denen die Stromlinien die Bewegung der
strömenden Teilchen darstellen (stationäre Strömungen). Wegen F = ma = dp / dt lassen sich aber
z.B. auch elektrische Feldlinien als Linien der Impulsströme auffassen.
I. Elektrisches Feld
I.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften
Kraftfeld: Angabe einer Kraft in Abhängigkeit von der Position im Raum.
Eine gegebene Ladungsverteilung qi erzeugt eine Feldstärke
r
r
qi ei
E=∑
4πε 0 r 2
an einem Punkt im Raum, wo die Abstände ri von den Ladungen qi gelten.
r
ei ist der Einheitsvektor vom betrachteten Punkt zur Ladung qi .
Die gesamte Feldstärke ist die Vektorsumme der durch die
einzelnen Ladungen erzeugten Einzel-Feldstärken.
Einheit der Feldstärke:
[E]=V/m
Bringt man an diesen Ort eine Testladung q , so wirkt darauf eine Kraft
F = qE
Potential: das elektrische Potential Φ einer Testladung q ist definiert durch
E pot = qΦ
wo E pot die potentielle Energie zur elektrischen Kraft ist:
_ _
E pot = - ∫ Fel dr ,
_ _
Φ = - ∫ E dr .
(Minuszeichen, da die Feldkraft angegeben ist und nicht die Kraft
zum Verschieben gegen das Feld).
Für die Komponenten von E gilt umgekehrt:
(entsprechend für y, z).
Spannung
U = ∆Φ
Ex = - (dΦ
Φ / dx)
Potentialdifferenz
Einheit von Potential und Spannung ist das Volt.
Feldlinien
charakterisieren ein Feld. Sie sind überall tangentiell an die Kraftrichtung.
Die Dichte der Feldlinien deutet die Stärke des Felds an.
Feldlinien laufen immer von positiven zu negativen Ladungen.
Äquipotentiallinien
sind die „Höhenlinien“ des Felds: sie verbinden Punkte gleichen Potentials.
(im Schwerefeld sind die Äquipotentiallinien tatsächlich Höhenlinien).
Entsprechend sind Äquipotentialflächen Flächen gleichen Potentials.
Zeigen Sie: Äquipotentiallinien sind immer senkrecht zu den Feldlinien.
.
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Feldlinien und
Äquipotentiallinien
I.2 Feld einer Ladungsverteilung: Beispiele
a) Einzelne Ladung q:
E=
q
4πε 0 r
2
, Φ=
q
4πε 0 r
b) Dipol (Dipolmoment µ = q d) in grossem Abstand r:
Φ=−
µr
4πε 0 r 3
Der Dipol besteht aus einer positiven Ladung +q und einer negativen Ladung - q im Abstand d.
r
Das Dipolmoment µ zeigt von der negativen zur positiven Ladung.
c) Zwei entgegengesetzt geladene Ebenen mit Ladungsdichte (Ladung / Fläche) σ = q / A,
im gegenseitigen Abstand d:
E = const = σ / ε 0
Φ = −E z
(z = Koordinate von einer Platte zur anderen)
(Herleitung im Anhang)
Die Flächenladung wird auch als Verschiebungsdichte D bezeichnet:
Einheit von D:
[D ] = As / m
2
r
r
D = ε0 E
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U =Ed=
Spannung zwischen den Platten:
C=
qd
ε0 A
Platten-Kondensator
q ε0 A
=
U
d
= Kapazität des Kondensators
Einheit: [ F ] = Farad = As / V
Ein örtlich überall gleiches Feld heisst „homogen“.
I.3 Ladung im homogenen elektrischen Feld
Im Oszilloskop werden Elektronen zunächst in entlang der Feldlinien
in einem elektrischen Feld beschleunigt und dann senkrecht zu den
Feldlinien in einen Ablenkkondensator eingeschossen.
(In der Realität sind die Kondensatorplatten nicht eben und das Feld
daher nicht homogen, was aber im Folgenden näherungsweise angenommen wird).
In der Fernseh- oder Monitorröhre verläuft die Beschleunigung genauso, aber die Ablenkung erfolgt
magnetisch.
Beschleunigung:
Kraft F = e E ,
Energie:
wo e = Elementarladung, E = elektrische Feldstärke.
eEs = eU = ½mv
2
U = angelegte Spannung (einige Kilovolt).
s = Beschleunigungsstrecke = Länge Kondensator
Daraus lässt sich die Geschwindigkeit des Elektrons beim Verlassen der Beschleunigungsstrecke
durch die Loch-Anode berechnen.
Technisch ist es kein Problem, sehr viel höhere Spannungen zu erzeugen (was auch bei Teilchenbeschleunigern gemacht wird). Mit der obigen Gleichung ergeben sich dann allerdings schnell einmal
Geschwindigkeiten grösser als die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c, was bekanntlich nicht möglich ist.
Der Fehler liegt im Ausdruck für die kinetische Energie, die nach der Relativitätstheorie genauer lautet:
E kin = m c
2
(γ – 1),
2
2 - 1/2
γ = (1 – v / c )
2
2
Entwickelt man diesen Ausdruck nach Taylor für kleine Werte des Quotienten x = v / c ,
so ergibt sich der klassische Ausdruck für die kinetische Energie.
Setzt man andererseits den korrekten Ausdruck in die Beschleunigungsgleichung ein, so findet man,
2
dass mit wachsender Beschleunigungsspannung zunächst v proportional zur Spannung zunimmt, aber
für grössere Geschwindigkeiten (nach Erreichen von ca. 10% von c sehr deutlich) abbiegt und gegen
eine horizontale Asymptote beim Wert c strebt.
In der Relativitätstheorie wird m als Ruhemasse bezeichnet und m γ wird als Masse eines bewegten
Körpers interpretiert. Bei hoher und noch zunehmender Energie wächst also vor allem die Masse und
nicht mehr die Geschwindigkeit des Elektrons.
Ablenkung:
Sei x die Achsrichtung des Kondensators, y die Richtung von der negativen zur positiven Platte.
Das Elektron werde mit der Geschwindigkeit v 0 in Achsrichtung in den Ablenkkondensator
eingeschossen.
Kraft:
Fx= 0
-->
vx= v0
x = v0t
Fy = eE = eU/d
eU
v y = a y t = ------ t
md
eU
2
y = ½ ------- t
md
=may
d = Abstand der Kondensatorplatten
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tan α = v y / v 0 , ausgewertet am Ende des Ablenkkondensators ( x = s, t = s / v 0), ergibt die
Flugrichtung des Elektrons beim Austritt aus dem Ablenkkondensator.
Damit lässt sich der Aufprallort auf dem Bildschirm berechnen (dessen Abstand vom Ablenkkondensator bekannt ist).
_
v0
x
α
+
y
I.4 Nichtleiter (Dielektrikum) im elektrischen Feld, Polarisation
Nichtleitendes Material wird im elektrischen Feld polarisiert: die Ladungen der Moleküle oder Atome
werden so auseinandergezogen, dass Dipole entstehen (es entstehen zwei Pole, daher „Dipol“ und der
Ausdruck „Dielektrikum“ für solche Substanzen, griechisch di = zwei).
Die Dipole schwächen das Feld um einen (materialabhängigen) Faktor ε, denn die äusseren Ladungen
(z.B. auf den Platten eines Kondensators) werden durch die Polarisationsladungen teilweise kompensiert.
Bei einem ganz mit einem Dielektrikum gefüllten Kondensator nimmt die Kapazität um den Faktor ε zu.
Bei gegebener Ladung q nimmt die Spannung um den Faktor ε ab.
C=
q εε 0 A
=
U
d
D = ε ε0 E
ε = Dielektrizitätszahl, ε ε0 = Permittivität
χ = ε – 1 = elektrische Suszeptibilität
ist ein Mass für die Polarisierbarkeit.
(Manche Autoren bezeichen ε als εr (relative Permittivität)
und das Produkt ε ε 0 als ε)
Dipole werden im elektrischen Feld gedreht, bis sie, richtig orientiert, parallel zum Feld eingestellt sind. Ein
Dipol, der im Winkel zu den Feldlinien steht, erfährt ein Drehmoment
M =µ xE
Im inhomogenen Feld wird ein Dipol in Richtung des stärkeren Felds gezogen.
I.5 Leiter im elektrischen Feld, Influenz
Da die Ladungen in Leitern frei verschiebbar sind, kann es an der Oberfläche von Leitern keine
Tangentialkräfte geben, die Feldlinien stehen immer senkrecht auf der Oberfläche von Leitern.
Aus dem selben Grund werden auch alle Ladungen an die Oberfläche des Leiters gezogen.
Das Innere von Leitern ist immer feldfrei (Faradayscher Käfig).
Bringt man einen Leiter in ein elektrisches Feld, so verschieben sich
die Ladungen sofort in der Richtung, die das Feld kompensiert.
Dieser Vorgang heisst Influenz.
(Im Gegensatz zum Nichtleiter ist das Innere des Leiters feldfrei,
die Ladungen können getrennt werden)
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II. Magnetisches Feld
II.1 Feldlinien
Magnetische Felder werden durch bewegte Ladungen (Ströme) erzeugt.
Es gibt keine „magnetische Ladungen“, nur magnetische Dipole (die Pole werden als Nord- und
Südpol bezeichnet).
Magnetische Feldlinien haben daher keinen Anfangs- und Endpunkt, sondern sind geschlossene
Linien! Die Feldlinien zeigen im Innern eines Magneten vom Süd- zum Nordpol, im Aussenraum vom
Nord- zum Südpol.
Das Magnetfeld magnetischer Materialien wird durch atomare Kreisströme bzw. die Eigendrehung der
Elektronen (Spin) erzeugt.
Lesen Sie zum Magnetfeld der Erde die Einträge z.B. bei Wikipedia und gtz-potsdam.de!
II.2 Magnetfelder von Stromverteilungen, Beispiele
a) Das Magnetfeld eines geraden, von einem Strom I durchflossenen Leiter
ist durch konzentrische Kreise um den Leiter herum gegeben; fliesst der Strom
von unten nach oben, so verlaufen die Feldlinien gegen den Uhrzeigersinn.
Für die Feldstärke H gilt im Abstand r vom Leiter:
H=
I
2π r
r
Gesetz von Ampère:
r
∫ H ⋅ ds = I
H
b) Das Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife (Radius R) ist
längs der Achse der Schleife geradlinig und hat dort im Abstand r
vom Zentrum der Schleife den Wert:
H=
IR2
2( R 2 + r 2 )1.5
H
c) Im Innern einer langen Spule (Länge ) mit N Windungen
ist das Magnetfeld homogen und parallel zur Spulenachse
mit dem Wert
H=
NI
l
Für die Berechnung der Magnetfelder wird auf den Kurs Feldtheorie verwiesen.
Die Einheit der magnetischen Feldstärke H ist Ampère / m: [ H ] = A / m
Meistens wird an der Stelle von H die magnetische Flussdichte B benutzt (heute häufig auch
magnetische Feldstärke genannt). Sie beschreibt den magnetischen Fluss pro Flächeneinheit
(magnetischer Fluss = Anzahl der Feldlinien, die eine Fläche durchdringen).
Im Vakuum gilt:
B = µ0 H
2
Die Einheit von B ist das Tesla = Vs / m = N / Am
µ0 = 4 π 10
–7
Vs / Am
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II.3 Kraft auf bewegte Ladung im Magnetfeld (Lorentzkraft)
_
_
Bewegt sich ein Körper mit der Ladung q im Magnetfeld B mit der Geschwindigkeit v, so erfährt er
eine Kraft:
F =q vxB
(Lorentzkraft)
Nach den Regeln des Vektorprodukts ist ihre Richtung aus der Dreifingerregel zu bestimmen.
Handelt es sich bei dem Körper um eine Elektron, so ist das negative Vorzeichen von q zu beachten!
Beachten Sie, dass die Kraft nur auftritt, wenn sich die Ladung bewegt, also einen Strom I = q v bildet.
Tritt ein Teilchen senkrecht zu den Feldlinien in ein Magnetfeld ein, so beschreibt es mit konstantem
Geschwindigkeitsbetrag also einen Kreis. Dessen Radius ist bestimmt aus
2
qvB=mv /r
also :
mv
r = -------- ,
qB
qB
Winkelgeschwindigkeit ω = ----m
Diese Tatsache wird im Massenspektrometer zur Massenbestimmung ausgenutzt.
2
Während die Ablenkung im Magnetfeld von mv abhängt, hängt sie im elektrischen Feld von mv ab
2
(qE = ½ m v ). Eine Kombination der beiden Felder erlaubt also eine Massenbestimmung auch bei
nicht ganz gleichmässiger Geschwindigkeitsverteilung (Selektion nach v im E-Feld, nach m im BFeld): Massenspektrometer.
Im Zyklotron und Synchrotron wird das geladene Teilchen durch Magnetfelder auf Kreisbahnen
gehalten, wo es immer wieder an einer Beschleunigungsstrecke vorbeikommt und immer mehr
beschleunigt wird. (Zyklotron: B = const, r nimmt zu; Synchrotron: r = const, B wird synchron mit der
wachsenden Geschwindigkeit hochgefahren).
Prinzip des magnetischen Massenspektrometers
doppelt fokussierender Massenspektrograph
Zyklotron
Die Lorentzkraft erlaubt auch das Verständnis des
(klassischen) Hall-Effekts.
I
B
Zeichnen Sie selbst die Verschiebung negativer
Ladungsträger ein und geben Sie die Polarisation
der entstehenden Spannung an!
Wie sähe es für positive Ladungsträger aus?
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II.4 Materie im Magnetfeld
Bringt man Materie in ein Magnetfeld, so entstehen atomare Ströme, die selber Magnetfelder
ausbilden und dadurch das äussere Magnetfeld beeinflussen.
Diese Beeinflussung wird durch einen Faktor µ beschrieben:
r
r
B = µ µ0 H
bzw. durch die magnetische Suszeptibiltät χm = µ – 1.
Je nach ihrem Verhalten im Magnetfeld teilt man Materialien in die folgenden Gruppen ein:
Diamagnetisch
µ<1
(χm < 0)
Materialien mit abgeschlossenen Elektronenschalen
(kreisförmige Bahnbewegung der Elektronen schwächt äusseres
Magnetfeld)
Paramagnetisch
µ leicht > 1
ungerade Anzahl Elektronen
–6
–3
(χm ∼10 bis 10 ) (Orientierung der unkompensierten Spins durch das äussere
Magnetfeld, nimmt mit wachsender Temperatur ∼ 1/T ab).
Ferromagnetisch
µ sehr gross
2
5
(10 bis 10 )
unaufgefüllte innere Elektronenschalen
(Magnetisierung ganzer Bereiche (Weiss’sche Bezirke), die
durch das äussere Feld ausgerichtet werden).
Oberhalb der (stoffabhängigen) Curie-Temperatur werden
Ferromagnete paramagnetisch.
Hysterese beim Magnetisieren/Entmagnetisieren.
Beispiele: Eisen, Kobalt, Gadolinium, Nickel
Ferrimagnetisch
µ gross
Ferrite, Ionenkristalle (nicht Metalle), hoher Widerstand,
deshalb vorteilhaft bei hohen Frequenzen, da keine grossen
Wirbelströme auftreten.
(Unaufgefüllte innere Elektronenschalen, Untergitter entgegengesetzter Orientierung, die sich nicht völlig gegenseitig kompensieren).
Neumagnetisierung
nouvelle magnétisation
Entmagnetisierung
démagnétisation
Remanenz
rémanence
Magnetisierung
magnétisation
B-Feld in einem Permanentmagneten
Hysterese
Koerzitivkraft
force coercitive
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Anhang: elektrisches Feld einer geladenen Fläche
2
Als Fläche sei die gesamte x-y-Ebene gewählt. Sie sei mit einer Ladungsdichte σ = q / A (As / m )
belegt.
Berechnet wird das elektrische Feld an einem Punkt im (beliebigen) Abstand z oberhalb dieser Ebene.
Nach Skizze trägt die Teilfläche dA (im Abstand r von der z-Achse) eine Feldstärke dE bei mit der
z-Komponente dEz = dE cos α.
σ dA
dE =
dE
4 πε 0 ( r 2 + z 2 )
cosα =
α
z
z +r
2
√r2+z2
z
2
Summiert man alle dA über einen Ring vom Radius r auf,
so heben sich die Komponenten senkrecht zu z gegenseitig auf und es bleiben nur die z-Komponenten übrig.
Für den ganzen Ring ist dEz = dE cos α mit der obigen
Formel für den Cosinus und der Formel für dE mit
dA = 2πr dr .
dr
r
Um den Beitrag der gesamten Ebene zu erhalten, muss
nun noch über alle möglichen r aufsummiert werden:

σ z 2π r dr
σ z
σ z
−1
r dr
=
=
Ez = ∫

2
2 3/ 2
2
2 3/ 2
2
2 1/ 2 
∫
4πε 0 (r + z )
2ε 0 (r + z )
2ε 0  (r + z ) 
∞
=
0
σz
σ
=
2ε 0 z 2ε 0
Dieses Ergebnis ist unabhängig von z, die Feldstärke ist also in allen Punkten z gleich, E ist homogen.
(Aus Symmetriegründen muss die Feldstärke auch unabhängig von x und y sein. Dies gilt, weil die
Fläche hier als unendlich gross angesetzt wurde. Für endlich grosse Platten gibt es Abweichungen
vom berechneten Ergebnis an den Rändern der Platte).
Für den Plattenkondensator kommt noch eine zweite, umgekehrt geladene Platte dazu. Dafür ergibt
sich das selbe Resultat. Da die Platten entgegengesetzt geladen sind, ist die Richtung der Feldstärke
für beide Platten die selbe. Es ergibt sich also als Endresultat:
E=
σ
q
=
ε0 ε0 A
Mit
U = E d und C = q / U findet man für die Kapazität C:
C = ε0
A
d