Arbeit in Kraftfeldern

Arbeit in Kraftfeldern
~ (~
In einem Kraftfeld F
r ) ist
Z
~ (~
F
r ) d~
r
C
die vom Feld bei Bewegung eines Körprs
entlang dem Weg C geleistete Arbeit.
Achtung: Vorzeichenwechsel bzgl. vorherigen Beispielen
Konservative Kraftfelder
~ (~
Ein Kraftfeld F
r ), in dem die Arbeit entlang
geschlossener Wege verschwindet, heißt konservativ.
⇒
Für Weg C(~
r1 → ~
r2 )
(von Anfangspunkt ~
r1 bis Endpunkt ~
r2 )
r1 und ~
r2 ab, aber nicht von C.
hängt W nur von ~
I
C2
r2
C
~ d~
F
r=
Z
~ d~
F
r +
C1 (~
r1 →~
r2 )
Z
~ d~
F
r
C2 (~
r →~
r )
| 2 {zR 1 }
~ d~
=−
F
r
C2 (~r1 →~r2 )
⇒
C1
Z
~ d~
F
r=
C1 (~
r1 →~
r2 )
F
r1
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
Z
~ d~
F
r
C2 (~
r1 →~
r2 )
~ = const.,
z.B. F
alle kugelsymmetrischen
Zentralfelder
12. November 2008
Potentielle Energie
In konservativen Kraftfeldern:
Z
~ d~
W =
F
r
C1 (~
r1 →~
r2 )
= Ep(~
r1) − Ep(~
r2) = − [Ep(~
r2) − Ep(~
r1)]
• Ep = potentielle Energie; [Ep] = [W ] = N m
• Beachte Vorzeichen: Ep nimmt zu,
wenn Bewegung gegen das Kraftfeld gerichtet ist
• Wahl des Nullpunkts von Ep willkürlich
bzw. durch Konvention festgelegt.
Potentielle Energie einer Masse m im Erd-Schwerefeld:
Ep (z) = mgz (Wahl des z-Ursprungs willkürlich)
Potentielle Energie bei Dehnen einer Feder:
1
Dx2 (x-Ursprung: Gleichgewichtslage)
2
Potentielle Energie im Erd-Gravitationsfeld:
Ep (x) =
r
~
r
~ = −G mME ~
; F
|~
r|
|~
r |2 |~
r|
r2
Zr2
Z
|~
r |=r
dr
GmM
E
~ d~
r = −GmME
⇒W = F
=
r2
r
r1
r1
C
1
1
!
= Ep (r1) − Ep (r2)
−
= GmME
r2 r1
GmME
⇒ Ep (r)= −
(Nullpunkt so, dass Ep (∞) = 0)
r
d~
r = dr
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
12. November 2008
Der Energiesatz
Herleitung aus 2. Newtonschen Gesetz:
p
~ = d~
F
dt
⇒
Zt2
t1
m=const.
=
~ ~v dt = m
F
|{z}
d~
r =~v dt
⇒ Ep (t1) − Ep (t2) =
Zt2
t1
m
d~v
dt
d~v
~v dt
dt
1
1
mv(t2 )2 − mv(t1 )2
2
2
1
mv 2 = const. = Etot
2
Definition: kinetische Energie = 12 mv 2 = Ekin
⇒ Ep +
t=0, v=0
Schiefe Ebene:
p
1
2
mgh = mv ⇒ v = 2gh
2
h
t=t1 , v=v1
E
Feder:
Etot = Ep + Ekin
1
1
= Dx2 + mv 2
2
2
Wegen Ekin > 0 ist nur der
Bereich mit Etot ≥ Ep
erlaubt.
E p= Dx
2
erlaubter Bereich
E tot
(→ Schwingungen,
Abschnitt 2.4)
− x0
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
x0
x
12. November 2008
2
Berechnung der Kraft
aus der potentiellen Energie
In konservativen Kraftfeldern:
⇒ Potentielle Energie Ep ergibt sich
durch Integration aus Kraftfeld
⇒ Umkehrung? Ja:


∂Ep (~
r )/∂x
~
~ (~
~ p (~
F
r ) = − ∂Ep (~
r ) = −∇E
r)
r )/∂y  = −gradE
p (~
∂Ep (~
r )/∂z
(ohne mathematischen Beweis!)
Beispiel: Gravitationsfeld der Erde
mME
Ep (~
r ) = Ep(r) = −G
r
q
mit r = x2 + y 2 + z 2
⇒ Anwendung der Kettenregel:
∂ 1
∂r
∂Ep (r)
= −GmME
∂x
∂r r
∂x
1
x
= −GmME − 2
r
r
⇒ Genauso für y und z; insgesamt:


x/r
r
~G = −G mME y/r  = −G mME ~
F
r2
r2 r
z/r
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
12. November 2008
Leistung
Definition:
dW
Leistung = P =
;
dt
[P ] = N m/ s = J/ s = W(att)
~ und ~v :
Zusammenhang mit F
Betrachte Wegintegral über Kraft entlang Weg C,
der durch ~
r=~
r (t) gegeben ist:
Z
d
~ d~s
F
P =
dt
C
d
=
dt
Zt
t0
r ′
d
~ (t′ ) d~
F
dt
=
dt′
dt
Zt
~ (t′) ~v (t′ ) dt′
F
t0
~ · ~v
⇒P =F
Beispiel:
Maximale Beschleunigung a eines Autos mit
50 kW Motorleistung und Masse m = 103 kg
bei Geschwindigkeit v = 20 m
?
s
~ k ~v ⇒ P = F v = mav
F
P
5 · 104 kg m2 s
m
⇒a=
=
=
2.5
mv
103 · 20 s3 kg m
s2
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
12. November 2008
Kreisbahn um die Erde,
Fluchtgeschwindigkeit
Kreisbahn um die Erde:
Gravitations-Kraftfeld zeigt radial zum Erdmittelpunkt
⇒ Kreisbewegung mit konstantem ω möglich
(Umlauf von Masse m in Radius R um Erdmittelpunkt)
~G| = m|~azentr |
⇒ 2. Newtonsches Gesetz: |F
v2
mME
2
= mω R = m
⇒G
R2
R
GME
⇒R=
v2
⇒ Achtung: Andere Bahnformen (Ellipsen) möglich,
siehe 2.3
Fluchtgeschwindigkeit:
Energiebilanz im Erd-Gravitationsfeld
1
mME
+ mv 2 = const.
r
2
ME m
< 0: Bewegung beschränkt auf r ≤ G
|Etot|
≥ 0: Bewegung nach r → ∞ möglich
Etot = Ep + Ekin = −G
⇒ Etot
⇒ Etot
⇒ Grenzfall: Etot = 0
1
ME m
= mv02
REs
2
p
2GME
v0 =
= 2gRE
RE
= 11.2 km/ s
E
E tot >0
G
= Fluchtgeschw.
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
0
RE
r
E tot <0
Ep =
GM Em
r
12. November 2008
Stoßprozesse
Problemstellung:
Wechselwirkung zweier Körper miteinander,
aber nicht mit anderen Objekten
⇒ Körper lenken sich gegenseitig ab
⇒ Anfangs- und Endzustand: Abstand groß,
keine (bzw. vernachlässigbare) Wechselwirkung
→ Etot = Ekin
⇒ 3. Newtonsches Gesetz → Impulserhaltung
p’1
p1
Impulssumme:
p
~tot = p
~1 + p
~2
~ ′2
=p
~ ′1 + p
p2
Schwerpunktsystem:
p
~tot = ~
0
p’2
Elastisch oder inelastisch ?
′
⇒ Elastisch: Ekin = Ekin
– in konservativen Kraftfeldern
– wenn sich die Körper nicht berühren
und unverändert bleiben
′
>0
⇒ Inelastisch: Q = Ekin − Ekin
– Kinetische Energie wird umgewandelt
– Verformung, Schall, Wärme, . . .
2.2 Bewegungsgleichungen. . .
12. November 2008
Zentrifugalkraft
Definition:
• Körper, der in rotierendem Bezugssystem ruht,
erfährt Beschleunigung aZ = ρω 2 in Richtung zur
Drehachse (ρ = Abstand Körper–Drehachse)
• Körper übt Zentrifugalkraft mit Betrag
m aZ radial nach außen aus
Vektorschreibweise:
~Z = m ~aZ = m ω
F
~ × (~
r×ω
~)
Rotierendes Wasserglas:
• Wasseroberfläche stelt sich senkrecht zur
insgesamt wirkenden Kraft ein
~Z ! dzo(r)
|F
=
tan α =
~
dr
FG
ω2r
⇒ tan α =
g
⇒zo(r) =
Zr 2 ′
ω r
dr′ =
zo(0) +
g
o
ω2r2
zo(0) +
2g
2.3 Drehungen. . .
z
zo(r)
ω
α
α
FZ
FG Ftot
r
12. November 2008