MSG-Hausaufgaben Zirkel 9d, Serie 2

MSG-Hausaufgaben Zirkel 9d, Serie 2
Abgabe: 12.10.2016
Lucas Mann
Aufgabe 1. Löse die folgenden Aufgaben. Führe jeweils geeignete Mengen ein und bestimme die
gesuchte Anzahl mittels allgemeiner Rechenregeln von Mächtigkeiten.
(a) In einer Schulklasse befinden sich 26 Schüler. 21 von ihnen spielen ein Instrument und 7 von
ihnen besuchen die Mathe-AG. 3 der Schüler spielen weder ein Instrument noch besuchen
sie die Mathe-AG. Wie viele Schüler machen beides?
(b) 10 Personen werden gebeten, sich in zwei Räume aufzuteilen. Wie viele Möglichkeiten gibt
es dafür? Löse diese Aufgabe mittels Potenzmengen.
(c) In einer Klasse befinden sich 13 Jungen und 12 Mädchen. Ein Junge und ein Mädchen sind
ein Paar. Wie viele Möglichkeiten gibt es für dieses Paar?
Aufgabe 2. Überlege dir bei den folgenden Paaren von Mengen jeweils, welche von beiden größer
ist oder ob beide Mengen gleich groß sind.
(a) Die Menge der Wörter der deutschen Sprache, die Menge der Sätze der deutschen Sprache.
(b) Die Menge der Atome des Universums, die Menge der Primzahlen.
(c) Die Menge der Punkte in einem gegebenen Dreieck1 , die Menge der rationalen Zahlen.
Aufgabe 3. Sei A eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn wir die reellen Zahlen als Zahlengerade
zeichnen, dann belegt A einen bestimmten Teil dieser Gerade. Wir können die „Größe“ von A
durch die Länge `(A) messen. Zum Beispiel die Länge der Menge A = [1, 3] := {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3}
(die Menge der Zahlen zwischen 1 und 3) gleich 2.
Überlege dir bei den folgenden Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Begründe jeweils.2
(a) Die Menge [0, 1] (die Menge der Zahlen x mit 0 ≤ x ≤ 1) hat die Länge 1.
(b) Die Menge [−1, 1] ∪ [2, 3] hat die Länge 3.
(c) Die Länge einer einelementigen Menge ist 0.
(d) Die Länge der Vereinigung zweier Mengen ist die Summe der Längen der beiden Mengen.
(e) Die Länge einer Menge ändert sich nicht, wenn man einen Punkt aus der Menge entfernt.
1 Damit ist die Menge aller Paare (x, y) von reellen Zahlen gemeint, sodass der Punkt mit den Koordinaten x und y
innerhalb des Dreiecks liegt.
2 Da wir keine exakte Definition von „Länge“ haben, sind hier keine formalen Beweise verlangt.
1
Zusatz
Aufgabe 4 (MO 430935). Die Zielscheibe für ein Pfeilwurfspiel ist ein Kreis mit 20 gleich großen
Sektoren, auf welche die natürlichen Zahlen 1 bis 20 verteilt sind. Damit der Ärger beim Verwerfen
groß ist, ist die Differenz der Zahlen zweier benachbarter Sektoren groß.
Ermitteln Sie, wie groß die Summe der Beträge aller 20 Differenzen der Zahlen benachbarter
Sektoren maximal werden kann.
Aufgabe 5. Wir betrachten erneut die Hasen aus Aufgabe 5, Serie 1. Finde eine Strategie, mit der
die Hasen mit Sicherheit 299 (also alle bis auf einen Hasen) retten können.
Tipp: Der hinterste Hase hat sicherlich nur eine 13 -Chance zu überleben, in der gesuchten Strategie müssen also alle anderen Hasen überleben. Überlege dir, wie der hinterste Hase mit seiner Farbaussage den anderen Hasen genug Information geben kann, damit jeder seine Hutfarbe
kennt, sobald er dran ist.
2