Grundlagen des relationalen Modells

Grundlagen des relationalen Modells
Das relationale Modell
Verfeinerung des relationalen Schemas
Relationale Algebra
Relationenkalkül
voraus
setzen
Nachfolger
Vorgänger
Uni-Schema
MatrNr
Telefon#
4711
94725
95672
...
Name
Studenten
Semester
•Ausprägung: der aktuelle Zustand der Datenbasis
N
N
hör
en
N
M
M
Vorlesunge
n
Note
A11
SWS
R
A2k
•Einer der Schlüsselkandidaten wird als Primärschlüssel
ausgewählt
Kapitel 3
1
•Hat eine besondere Bedeutung bei der Referenzierung von
Tupeln
Grundlagen des relationalen Modells
Name
Mickey Mouse
Mini Mouse
Donald Duck
...
Seien D1, D2, ..., Dn Domänen (Wertebereiche, Mengen)
Eine Relation ist eine Teilmenge R Ž D1 x ... x Dn
Bsp.: Telefonbuch Ž string x string x integer
Ein Tupel ist jedes Element t  R von R
Telefonbuch
Straße
Main Street
Broadway
Broadway
...
Name
Schema: legt die Struktur der gespeicherten Daten fest
N
1
1
Name
5
Vorlesungen: {[VorlNr:integer, Titel: string, SWS: integer]}
MatrNr
4
Ausprägung von Professoren und
VorlNr
hören : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer]}
Professoren
1
lesen
N
PersNr
2125
2126
2127
2133
2134
2136
2137
Vorlesungen
arbeitenFür : {[AssistentenPersNr: integer, ProfPersNr: integer]}
voraussetzen : {[Vorgänger: integer, Nachfolger: integer]}
1:N-Beziehung
Initial-Entwurf
prüfen : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer, PersNr: integer,
Professoren
Name
Rang Raum
Sokrates
C4 226
Russel
C4 232
Kopernikus C3 310
Popper
C3
52
Augustinus C3 309
Curie
C4
36
Kant
C4
7
Vorlesungen : {[VorlNr, Titel, SWS]}
Professoren : {[PersNr, Name, Rang, Raum]}
lesen: {[VorlNr, PersNr]}
Note: decimal]}
Professoren
9
lesen : {[PersNr: integer, VorlNr: integer]}
arbeitenFür : {[AssistentenPersNr: integer, ProfPersNr: integer]}
PersNr
2125
2125
2125
...
2134
2136
Vorlesungen : {[VorlNr, Titel, SWS]}
Professoren : {[PersNr, Name, Rang, Raum]}
lesen: {[VorlNr, PersNr]}
Professoren
Name
Rang Raum
Sokrates
C4 226
Sokrates
C4 226
Sokrates
C4 226
...
...
...
Augustinus C3 309
Curie
C4
36
liest
5041
5049
4052
...
5022
??
prüfen : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer, PersNr: integer,
Regel
Note: decimal]}
7
Vorlesungen
...
5001
...
4052
...
...
...
VorlNr
VorlNr
M
Vorlesungen
hören
8
Gelesen
Von
2137
2125
2126
2125
2125
2126
2126
2133
2134
2137
Vorlesungen
Vorlesungen
VorlNr
Titel
SWS
5001
Grundzüge
4
5041
Ethik
4
5043 Erkenntnistheorie
3
5049
Mäeutik
2
4052
Logik
4
5052 Wissenschaftstheorie 3
5216
Bioethik
2
5259 Der Wiener Kreis
2
5022 Glaube und Wissen
2
4630
Die 3 Kritiken
4
PersNr
2125
2125
2125
...
2134
2136
Professoren
Name
Rang Raum
Sokrates
C4 226
Sokrates
C4 226
Sokrates
C4 226
...
...
...
Augustinus C3 309
Curie
C4
36
liest
5041
5049
4052
...
5022
??
VorlNr
Titel
SWS
5001
Grundzüge
4
5041
Ethik
4
5043 Erkenntnistheorie
3
5049
Mäeutik
2
4052
Logik
4
5052 Wissenschaftstheorie 3
5216
Bioethik
2
5259 Der Wiener Kreis
2
5022 Glaube und Wissen
2
4630
Die 3 Kritiken
4
Update-Anomalie: Was passiert wenn Sokrates umzieht?
Lösch-Anomalie: Was passiert wenn „Glaube und Wissen“
wegfällt?
Einfügeanomalie: Curie ist neu und liest noch keine
Vorlesungen?
( Æ Funktionale Abhängigkeiten)15
Relationale Modellierung der
Generalisierung
Fachge
biet
Assistenten
is_a
Professoren
Raum
Angestellte
PersNr
Name
Rang
Angestellte: {[PersNr, Name]}
Relationen mit gleichem Schlüssel kann man zusammenfassen
aber nur diese und keine anderen!
10
N
4
4
3
2
4
3
2
2
2
4
Vorsicht: So geht es NICHT
Verfeinerung durch Zusammenfassung
Vorlesungen : {[VorlNr, Titel, SWS, gelesenVon]}
Professoren : {[PersNr, Name, Rang, Raum]}
voraussetzen : {[Vorgänger: integer, Nachfolger: integer]}
5001
Grundzüge
5041
Ethik
5043 Erkenntnistheorie
5049
Mäeutik
4052
Logik
5052 Wissenschaftstheorie
5216
Bioethik
5259 Der Wiener Kreis
5022 Glaube und Wissen
4630
Die 3 Kritiken
lesen
R
Attribute von R
Vorsicht: So geht es NICHT:
FolgenÎAnomalien
Vorlesungen
13
1:N-Beziehung
Initial-Entwurf
hören : {[MatrNr: integer, VorlNr: integer]}
1
Vorlesungen
Titel
SWS
11
Verfeinerung des relationalen
Schemas
Schlüssel der Relationen
N
6
Vorlesung
n
R
1
n
Schlüssel von En
hören
MatrNr VorlNr
26120
5001
27550
5001
27550
4052
28106
5041
28106
5052
28106
5216
28106
5259
29120
5001
29120
5041
29120
5049
29555
5022
25403
5022
29555
5001
Assistenten: {[PersNr:integer, Name: string, Fachgebiet: string]}
Studenten
lesen : {[PersNr: integer, VorlNr: integer]}
Schlüssel von E2
Studenten
MatrNr ...
26120
...
27550
...
...
...
Studenten: {[MatrNr:integer, Name: string, Semester: integer]}
Verfeinerung des relationalen
Schemas
Ank
Ausprägung der Beziehung hören
Telefonbuch: {[Name: string, Adresse: string, Telefon#:integer]}
Beziehungen unseres BeispielSchemas
An1
...
2
1
Schlüssel von E1
Professoren: {[PersNr:integer, Name: string, Rang: string,
Raum: integer]}
2
...
...
2
En
R:{[A11 ,...., A1k , A21 ,..., A2k ,..., An1 ,...,Ank , A ,...,ARk]}
Raum
Relationale Darstellung von
Entitytypen
Telefon#
4711
94725
95672
...
R
E2
Rang
Professoren
PersNr
3
• Bei einer gegebenen Datenbank wird dann bei einer
Konsistenzprüfung überprüft, ob sie dieser Einschränkung
gehorcht.
Bsp.:
Assistenten
arbeit
enFür
Fachgebiet
• Die Festlegung eines (Primär-)Schlüssels ist eine
Designentscheidung.
Bsp.: t = („Mickey Mouse“, „Main Street“, 4711)
1
AkR
A21
lesen
prüfen
PersNr
AR1
Titel
•Schlüssel: minimale Menge von Attributen, deren Werte ein
Tupel eindeutig identifizieren
•Primärschlüssel: wird unterstrichen
A1k
1
E1
...
N
M
Relationale Darstellung von
Beziehungen
VorlNr
...
Telefonbuch
Name
Straße
Mickey Mouse
Main Street
Mini Mouse
Broadway
Donald Duck
Broadway
...
...
Professoren
12
1
lesen
N
Professoren: {[PersNr, Rang, Raum]}
Vorlesungen
14
Assistenten: {[PersNr, Fachgebiet]}
16
Relationale Modellierung
schwacher Entitytypen
Studenten
N
ableg
en
1
N
abhalt
en
M
VorlNr
Rang Raum
Name
Semester
C4
226
24002
Xenokrates
18
Russel
C4
232
25403
Jonas
12
5001
Grundzüge
4
2137
C3
310
26120
Fichte
10
5041
Ethik
4
2125
2133
Popper
C3
52
26830
Aristoxenos
8
5043
Erkenntnistheorie
3
2126
2134
Augustinus
C3
309
27550 Schopenhauer
6
5049
Mäeutik
2
2125
Carnap
3
4052
Logik
4
2125
Curie
C4
36
28106
Kant
C4
7
29120
Theophrastos
2
5052 Wissenschaftstheorie
29555
Feuerbach
2
5216
Vorgänger
Nachfolger
5001
5041
5001
5043
5001
5049
5041
5216
5043
5052
5041
5052
5052
5259
Prüfungen: {[MatrNr: integer, PrüfTeil: string, Note: integer]}
hören
Xenokrates
18
25403
Jonas
12
26120
Fichte
10
26830
Aristoxenos
8
27550 Schopenhauer
6
28106
Carnap
3
29120
Theophrastos
2
29555
Feuerbach
2
Name
Semester
26830
Aristoxenos
8
27550 Schopenhauer
5001
27550
4052
28106
5041
Name
Fachgebiet
Boss
28106
5052
3002
Platon
Ideenlehre
2125
28106
5216
3003
Aristoteles
Syllogistik
2125
28106
4630
Assistenten
PerslNr
3004
Wittgenstein
5001
3005
Rhetikus
Planetenbewegung
2127
5041
3006
Newton
Keplersche Gesetze
2127
28106
5001
2126
1
29120
5049
3007
Spinoza
Gott und Natur
2126
25403
5041
2125
2
29555
5022
27550
4630
2137
2
25403
5022
Name
2126
Vorlesungen
Semester VorlNr
Name
2125
Sokrates
C4
226
24002
Xenokrates
18
2126
Russel
C4
232
25403
Jonas
12
5001
Grundzüge
4
2137
Ethik
4
2125
Titel
SWS gelesen
Von
2127 Kopernikus
C3
310
26120
Fichte
10
5041
2133
C3
52
26830
Aristoxenos
8
5043
Erkenntnistheorie
3
Mäeutik
2
2125
Logik
4
2125
Popper
C3
309
27550 Schopenhauer
6
2136
Curie
C4
36
28106
3
4052
2137
Kant
C4
7
29120 Theophrastos
2
5052 Wissenschaftstheorie
3
2126
29555
2
5216
Bioethik
2
2126
5259
Der Wiener Kreis
2
2133
5022
Glaube und Wissen
2
2134
Feuerbach
hören
5041
MatrNr
VorlNr
5001
5043
26120
5001
5001
5049
27550
5001
5041
5216
27550
4052
5043
5052
28106
5041
5041
5052
28106
5052
PerslNr
Name
Fachgebiet
Boss
5259
28106
5216
3002
Platon
Ideenlehre
2125
4630
Die 3 Kritiken
4
MatrNr
Name
Semester
24002
Xenokrates
18
25403
Jonas
12
26120
Fichte
10
28106
5259
3003
Aristoteles
Syllogistik
2125
prüfen
29120
5001
3004
Wittgenstein
Sprachtheorie
2126
MatrNr VorlNr PersNr Note
29120
5041
3005
Rhetikus
Planetenbewegung
2127
28106
5001
2126
1
29120
5049
3006
Newton
Keplersche Gesetze
2127
25403
5041
2125
2
29555
5022
3007
Spinoza
Gott und Natur
27550
4630
2137
2
25403
5022
2126
20
Carnap
3
Theophrastos
2
29555
Feuerbach
2
12345
Waalkes
22
• Die Projektion wählt (eine oder mehrere) Spalten der Relation aus.
• Duplikate im Ergebnis werden nur einmal gelistet (aufgrund der Mengensemantik
des Relationenkalküls)
Professoren x hören
Professoren
Name
Rang
Sokrates
C4
...
...
Sokrates
C4
...
...
Kant
C4
Raum
226
...
226
...
7
21
23
Die relationalen AlgebraOperatoren
VSemester > 10 (Studenten)
Selektion
Studenten
VSemester > 10 (Studenten)
MatrNr
Name
Semester
24002 Xenokrates
18
25403
Jonas
12
MatrNr
Name
Semester
24002
Xenokrates
18
25403
Jonas
12
26120
Fichte
10
Vereinigung
Studenten
‰
=
Studenten
In der Selektion VF(R) ist das Selektionsprädikat F eine Formel, die
aufgebaut ist aus
• Attributnamen von R und Konstanten
• =, <, >, d, t, z
• den logischen Operatoren š, ›, ™
Das Ergebnis von VF(R) besteht aus allen Tupeln t  R, die F erfüllen,
wenn jedes Auftreten eines Attributes A durch den Wert t.A ersetzt wird.
MatrNr
Name
Semester
24002
Xenokrates
18
25403
Jonas
12
26120
Fichte
10
26830
Aristoxenos
8
27550 Schopenhauer
6
8
28106
Carnap
3
27550 Schopenhauer
6
29120
Theophrastos
2
28106
Carnap
3
29555
Feuerbach
2
29120
Theophrastos
2
29555
Feuerbach
2
MatrNr
Name
Semester
26830
Aristoxenos
• Relationen mit gleichem Schema können vereinigt werden.
22
24
Drei-Wege-Join
Basisausdrücke
Relation der Datenbank oder
hören
MatrNr VorlNr
26120
5001
...
...
29555
5001
...
...
29555
5001
(Studenten A hören) A Vorlesungen
konstante Relationen
Operationen
(Studenten A hören) A Vorlesungen
Selektion: Vp (E1)
MatrNr
Name
Semester
VorlNr
Titel
Kartesisches Produkt: E1 x E2
26120
Fichte
10
5001
Grundzüge
SWS gelesenVon
4
2137
Umbenennung: UV (E1), UA m B (E1)
27550
Jonas
12
5022
Glaube und Wissen
2
2134
28106
Carnap
3
4052
Wissenschftstheorie
3
2126
...
...
...
...
...
...
...
Projektion: 3S (E1)
Vereinigung: E1‰ E2
Differenz: E1- E2
• Problem: riesige Zwischenergebnisse
• Beispiel: (Professoren x hören)
25
Die relationalen AlgebraOperatoren
Kartesisches Produkt
Raum
226
...
226
...
7
27
Die relationalen AlgebraOperatoren
hören
MatrNr VorlNr
26120
5001
...
...
29555
5001
...
...
29555
5001
29
Der natürliche Verbund (Join)
Gegeben seien folgende Relationen(-Schemata)
R(A1, ..., An) und
S(B1, ..., Bm)
•R(A1,..., Am, B1,..., Bk)
Umbenennung von Relationen
Beispiel: Ermittlung indirekter Vorgänger 2. Stufe der Vorlesung
5216
•S(B1,..., Bk, C1,..., Cn)
R A S = 3A1,..., Am, R.B1,..., R.Bk, C1,..., Cn(VR.B1=S. B1
3V1. Vorgänger(VV2. Nachfolger=5216 š V1.Nachfolger = V2.Vorgänger
(UV1 (voraussetzen) x UV2 (voraussetzen)))
Umbenennung von Attributen
UVoraussetzung m Vorgänger (voraussetzen)
• Das Schema enthält alle Attribute beider Relationen.
A1
RS
A2 ... Am
31
Allgemeiner Join (Theta-Join)
Gegeben seien:
Umbenennung
Professoren x hören
Professoren
Name
Rang
Sokrates
C4
...
...
Sokrates
C4
...
...
Kant
C4
Weitere Operationen können aus diesen zusammengesetzt werden Æ
• "bessere" Operation: Join (siehe unten)
• Von Relationen mit gleichem Schema kann die Mengendifferenz gebildet werden.
PersNr
2125
...
2125
...
2137
Rang
C4
C3
Formale Definition der Algebra
6
28106
29120
3Rang(Professoren)
Die relationalen AlgebraOperatoren
2137
Assistenten
3Rang(Professoren)
Projektion
2126
2134 Augustinus
5049
Carnap
V Selektion
S Pojektion
x Kreuzprodukt
A Join (Verbund)
U Umbenennung
Mengendifferenz
y Division
‰ Vereinigung
ˆ Mengendurchschnitt
F Semi-Join (linker)
E Semi-Join (rechter)
C linker äußerer Join
D rechter äußerer Join
19
Studenten
Rang Raum MatrNr
Sprachtheorie
PersNr
PersNr
2125
...
2125
...
2137
Studenten
Studenten
MatrNr
2137
5001
27550
5259
Kartesisches Produkt
Differenz
=
4
26120
Die relationalen AlgebraOperatoren
Studenten
24002
Die 3 Kritiken
VorlNr
29120
5052
Semester
2134
MatrNr
29120
5001
Name
2133
2
Note
Vorgänger Nachfolger
MatrNr
2126
2
Glaube und Wissen
PersNr
voraussetzen
Die relationalen AlgebraOperatoren
2126
2
Der Wiener Kreis
5022
VorlNr
Professoren
18
3
Bioethik
5259
MatrNr
prüfen
Man beachte, dass in diesem Fall der (global eindeutige)
Schlüssel der Relation Prüfung nämlich MatrNr und PrüfTeil als
Fremdschlüssel in die Relationen umfassen und abhalten
übernommen werden muss.
gelesen
von
Sokrates
voraussetzen
abhalten: {[MatrNr: integer, PrüfTeil: string, PersNr: integer]}17
SWS
Kopernikus
2137
umfassen: {[MatrNr: integer, PrüfTeil: string, VorlNr: integer]}
Titel
2127
2136
PersNr
VorlNr
Die relationalen AlgebraOperatoren
Die relationale Algebra
Vorlesungen
MatrNr
2126
Professoren
Vorlesungen
Name
2125
Note
PrüfTeil
umfas
sen
M
Studenten
Professoren
PersNr
Prüfungen
N
MatrNr
Die relationale Uni-DB
B1
RAS
RˆS
B2 ...
R A T S = VT (R x S)
š...š R.Bk = S.Bk(RxS))
R AT S
R AT S
R
Bk
C1
SR
C2 ... Cn
A1
A2
S
...
An
B1
B2
...
Bm
• Die Relation enthält alle num möglichen Kombinationen der
jeweiligen Tupel der beiden Relationen.
26
28
30
32
Andere Join-Arten
Andere Join-Arten
• natürlicher Join
A
a1
a2
L
B
b1
b2
C
c1
c2
A
• äußerer Join
C
c1
c3
R
D
d1
d2
E
e1
e2
=
A
a1
Resultat
B
C
D
b1 c1 d1
L
B
b1
b2
C
c1
c2
C
C
c1
c3
L
B
b1
b2
A
a1
a2
E
e1
C
c1
c2
R
D
d1
d2
C
c1
c3
B
E
e1
e2
A
a1
a2
=
-
Resultat
B
C
D
b1
c1 d1
b2
c2
c3 d2
R
D
d1
d2
E
e1
e2
=
A
a1
a2
Resultat
B
C
D
b1 c1 d1
b2 c2
E
e1
A
a1
a2
-
L
B
b1
b2
C
c1
c2
E
C
c1
c3
Mengendurchschnitt
Als Beispielanwendung für den Mengendurchschnitt
(Operatorsymbol ˆ) betrachten wir folgende Anfrage:
Finde die PersNr aller C4-Professoren, die mindestens
eine Vorlesung halten.
Bsp.: Finde MatrNr der Studenten, die alle
vierstündigen Vorlesungen hören
E
e1
-
3PersNr(UPersNrmgelesenVon(Vorlesungen)) ˆ
3PersNr(VRang=C4(Professoren))
L := 3VorlNr(VSWS=4(Vorlesungen))
e2
L
• Semi-Join von L mit R
• linker äußerer Join
A
a1
a2
Die relationale Division
R
D
d1
d2
E
e1
e2
Resultat
A
B
C
a1 b1 c1
=
33
Mengendurchschnitt nur auf zwei Argumentrelationen mit
gleichem Schema anwendbar
Deshalb ist die Umbenennung des Attribute gelesenVon in
PersNr in der Relation Vorlesungen notwendig
Der Mengendurchschnitt zweier Relationen R ˆ S kann durch
die Mengendifferenz wie folgt ausgedrückt weden:
R ˆ S = R (R S)
hören y 3VorlNr(VSWS=4(Vorlesungen))
35
37
Definition der Division
Der relationale Tupel-kalkül
Andere Join-Arten (Forts.)
• rechter äußerer Join
A
a1
a2
L
B
b1
b2
C
c1
c2
D
C
c1
c3
R
D
d1
d2
E
e1
e2
=
A
a1
-
Resultat
B
C
D
b1 c1 d1
c3 d2
A
a1
a2
E
e1
e2
L
B
b1
b2
C
c1
c2
F
C
c1
c3
R
D
d1
d2
E
e1
e2
=
Resultat
C D
E
c1 d1 e1
34
R
M
m1
m1
m1
m2
m2
36
Sicherheit
Wer hat alle vierstündigen Vorlesungen gehört
41
Atome
s ~ R, mit s Tupelvariable und R Relationenname
s.AIt.B, mit s und t Tupelvariablen, A und B Attributnamen und
I Vergleichsperator ( , z, d, ...)
s. A I c mit c Konstante
Formeln
Alle Atome sind Formeln
Ist P Formel, so auch ™P und (P)
Sind P1 und P2 Formeln, so auch P1 š P2 , P1 › P2 und P1 Ÿ P2
Ist P(t) Formel mit freier Variable t, so auch
t  R(P(t)) und t  R(P(t))
42
y
S
V
v1
v2
=
Beispiele:
C4-Professoren
{p ~ p  Professoren š p.Rang = 'C4'}
RyS
M
m1
Studenten mit mindestens einer Vorlesung von Curie
Die Division R y S kann auch durch Differenz, Kreuzprodukt und
Projektion ausgedrückt werden.
R y S = 3(R S)(R) 3 (R S)((3 (R S)(R) x S) R)
38
{s ~s  Studenten
š h  hören(s.MatrNr=h.MatrNr
š v  Vorlesungen(h.VorlNr=v.VorlNr
š p  Professoren(p. PersNr=v.gelesenVon
š p.Name = 'Curie')))}
Sicherheit des Domänenkalküls
Ausdruckskraft
43
Der relationale Domänenkalkül
Definition des Tupelkalküls
V
v1
v2
v3
v2
v3
Sicherheit ist analog zum Tupelkakkül
zum Beispiel ist
{[p,n,r,o] ~ ™ ([p,n,r,o]  Professoren) }
nicht sicher.
Ein Ausdruck
{[x1, x2, ..., xn] ~ P(x1, x2, ..., xn)}
ist sicher, falls folgende drei Bedingungen gelten:
Einschränkung auf Anfragen mit endlichem Ergebnis.
Die folgende Beispielanfrage
{n ~ ™ (n  Professoren)}
ist nicht sicher, denn das Ergebnis ist unendlich.
Lösung durch Zusatzbedingung: Das Ergebnis des Ausdrucks
muss Teilmenge der Domäne der Formel sein.
Die Domäne einer Formel enthält
- alle in der Formel vorkommenden Konstanten
- alle Attributwerte von Relationen, die in der Formel
referenziert werden
{s ~ s  Studenten š v  Vorlesungen (v.SWS=4 Ÿ
h  hören(h.VorlNr=v.VorlNr š h.MatrNr= s.MatrNr))}
Eine Anfrage im relationalen Tupel-Kalkül hat die Form
{t ~ P(t)}
mit P(t) Formel.
t  R y S, falls für jedes ts  S ein tr  R existiert, so dass gilt:
tr.S = ts.S
tr.(R-S) = t
• Semi-Join von R mit L
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2. Für jede existenz-quantifizierte Teilformel x(P1(x)) muss
gelten, dass P1 nur für Elemente aus der Domäne von P1
erfüllbar sein kann - oder evtl. für gar keine. Mit anderen
Worten, wenn für eine Konstante c das Prädikat P1(c) erfüllt
ist, so muss c in der Domäne von P1 enthalten sein.
Beispiel: MatrNr und Namen der Prüflinge von Curie
{[m, n] ~ s ([m, n, s]  Studenten š v, p, g ([m, v, p,g]  prüfen
š a,r, b([p, a, r , b]  Professoren š a = 'Curie')))}
44
40
Die drei Sprachen
1. relationale Algebra,
2. relationaler Tupelkalkül, eingeschränkt auf sichere Ausdrücke
und
3. relationaler Domänenkalkül, eingeschränkt auf sichere
Ausdrücke
sind gleich mächtig.
1. Falls Tupel [c1, c2, ..., cn ] mit Konstante ci im Ergebnis
enthalten ist, so muss jedes ci (1 d i d n) in der Domäne von
P enthalten sein.
Ein Ausdruck des Domänenkalküls hat die Form
{[v1, v2 , ..., vn]~P (v1 ,..., vn)}
mit v1 ,..., vn Domänenvariablen und P Formel.
39
3. Für jede universal-quantifizierte Teilformel x(P1(x)) muss
gelten, dass sie dann und nur dann erfüllt ist, wenn P1(x) für
alle Werte der Domäne von P1 erfüllt ist- Mit anderen Worten,
P1(d) muss für alle d, die nicht in der Domäne von P1
enthalten sind, auf jeden Fall erfüllt sein.
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47