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zur Aufgabensammlung GEOMETRIE 1
2009 (korrigiert 2012) Kantonsschule Rychenberg Winterthur, Fachschaft Mathematik
Autoren:
Michael Graf, Heinz Klemenz
Download:
www.geosoft.ch/buecher
Inhaltsverzeichnis
2 Geometrische Abbildungen
2.1 Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
2.2 Punktsymmetrie und Punktspiegelungen
2.3 Drehsymmetrie und Drehungen
2.4 Vermischte Aufgaben
3 Kongruenz von Figuren
3.1 Kongruenz und Kongruenzsätze
3.3 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen
3.4 Vermischte Aufgaben
2 Geometrische Abbildungen
2
2.1
Geometrische Abbildungen
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 19
2 Geometrische Abbildungen
2.1
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
1. G ist die Menge der Grossbuchstaben:
ABCDEFGHIJKLM
NOPQRSTUVWXYZ
a) Zeichne bei jedem Buchstaben alle Symmetrieachsen mit Farbe ein.
b) A ist die Menge aller Grossbuchstaben mit genau einer Symmetrieachse,
B ist die Menge aller Grossbuchstaben mit genau zwei Symmetrieachsen,
C ist die Menge aller Grossbuchstaben mit mehr als zwei Symmetrieachsen,
D ist die Menge aller Grossbuchstaben ohne Symmetrieachse.
Stelle die Mengen A, B, C und D in einem Mengendiagramm dar.
2. Hier sind alle Pentominos (Figuren aus 5 Häuschen) dargestellt:
a) Zeichne bei allen Pentominos die Symmetrieachsen ein:
b) Stelle in einem Mengendiagramm folgende Teilmengen dar:
A ist die Menge aller Pentominos mit genau einer Symmetrieachse,
B ist die Menge aller Pentominos mit genau zwei Symmetrieachsen,
C ist die Menge aller Pentominos mit mehr als zwei Symmetrieachsen.
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 19
2 Geometrische Abbildungen
2.1
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
6. Spiegle die Figuren an der Achse s: (M ist jeweils ein Streckenmittelpunkt)
a) Quadrat
b) Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck
C
D
B
M
s
M
s
B
A
C
A
c) Regelmässiges Sechseck
d) Kreissektor
s
M
s
M
7.
Zeichne die Figuren, die entsprechenden Spiegelachsen und die Spiegelbilder, wenn
a) B 0 = D
b) A0 = M
D
M
C
C
D
A
B
A
c) M10 = M2
D
B
d) B 0 = B und C 0 auf AB
M2
C
D
C
A
B
M1
A
KRW 2009
B
GEOMETRIE 1, Seite 20
2 Geometrische Abbildungen
2.1
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
8. a) Konstruiere den an s gespiegelten Streckenzug A0 B 0 C 0 D0 E 0 F 0 G0 H 0 A0 .
b) Notiere die Koordinaten der gespiegelten Punkte A0 , B 0 , C 0 , D0 , E 0 , F 0 , G0 und H 0 .
y
11
D
10
s
9
8
E
H
7
F
6
5
A
4
3
2
G
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
C
-2
B
9. a) Spiegle das Dreieck ABC zuerst an s1 und das Bilddreieck A0 B 0 C 0 dann an s2 , so dass A00 B 00 C 00
entsteht.
b) Könntest du das Dreieck A00 B 00 C 00 mit einer einzigen Geradenspiegelung aus ABC bekommen?
C
B
A
s1
s2
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 21
2 Geometrische Abbildungen
2.1
10. a) P 0 ist das Spiegelbild von P .
Gesucht ist das Urbild Q von Q0 .
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
b) R0 ist das Spiegelbild von R.
Gesucht ist das Bild g 0 von g.
P
Q'
g
R'
R
P'
11. Gesucht: Strecke GH, so dass G auf g, H auf h
und m die Mittelsenkrechte ist.
12. Gesucht: Spiegelachse(n), so dass das Bild von
P Q auf g zu liegen kommt.
g
g
Q
P
m
h
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 21
2 Geometrische Abbildungen
2.1
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
14. Konstruiere den kürzesten Weg von P nach Q,
a) der über einen Punkt X auf der x-Achse führt.
y
Q
6
5
4
P
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
b) der über einen Punkt Y auf der y-Achse führt.
y
Q
6
5
4
P
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
c) der über einen Punkt X auf der x-Achse und einen Punkt Y auf der y-Achse führt.
y
Q
6
5
4
P
3
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 21
x
2 Geometrische Abbildungen
2.1
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
15.
a) Konstruiere die vier Wege der Kugel P zur Kugel
Q nach einmaliger Reflexion an den Banden
AB, BC, CD und DA in der gleichen Figur.
b) Konstruiere den Weg von P zu Q nach Reflexion
an den Banden AB und CD.
D
D
C
C
Q
P
A
Q
B
P
A
B
c) Konstruiere den Weg von P zu Q nach Reflexion
an den Banden AB und BC.
d) Konstruiere den Weg von P zu Q nach Reflexion
an den Banden AB, BC und CD.
D
D
C
C
Q
Q
P
P
A
A
B
B
e) Konstruiere den Weg von P zu P (P trifft also wieder am Ausgangsort ein) nach Reflexion an allen
vier Banden in der Reihenfolge AB, BC, CD und DA.
D
C
P
A
KRW 2009
B
GEOMETRIE 1, Seite 22
2 Geometrische Abbildungen
2.1
Achsensymmetrie und Geradenspiegelungen
16. Denke dir ABCD als Billardtisch mit Kugeln in P und Q.
Konstruiere den Weg von P nach Q nach Reflexion an AB, BC und CD.
B
C
P
Q
D
A
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 22
2 Geometrische Abbildungen
2.2
2.2
Punktsymmetrie und Punktspiegelungen
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 23
Punktsymmetrie und Punktspiegelungen
2 Geometrische Abbildungen
2.2
Punktsymmetrie und Punktspiegelungen
1. Welche Grossbuchstaben haben zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen, welche sind punktsymmetrisch?
ABCDEFGHIJKLM
A
NB
OC
PD
QE
RF
SG
TH
UI
VJ
WK
XL
YM
Z
NOPQRSTUVWXYZ
2. Welche Pentonimos sind punktsymmetrisch? Markiere das Symmetriezentrum.
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 23
2 Geometrische Abbildungen
2.2
Punktsymmetrie und Punktspiegelungen
7. Spiegle die Figur am Punkt Z
a)
b)
Z
Z
8. Konstruiere das Bild des Sechsecks ABCDEF nach einer Spiegelung an Z.
Gib die Koordinaten der Bildpunkte an.
9
y
D
8
7
6
E
C
5
Z
4
3
F
2
B
1
A
1
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
GEOMETRIE 1, Seite 24
11
x
2 Geometrische Abbildungen
2.2
Punktsymmetrie und Punktspiegelungen
9. Konstruiere Z sowie das Bild A0 B 0 C 0 D0 nach einer Punktspiegelung an Z (alle Lösungen), wenn
a) A0 = B
b) D0 = D
D
C
A
B
c) B 0 = M
D
C
A
B
d) eine Ecke auf P zu liegen kommt
M
C
D
A
D
P
C
B
A
B
10. a) Konstruiere das Bild A0 B 0 C 0 D0 E 0 bei
einer Spiegelung von ABCDE am
Zentrum Z1 .
b) Konstruiere das Bild A00 B 00 C 00 D00 E 00
bei einer Spiegelung von A0 B 0 C 0 D0 E 0
am Zentrum Z2 .
Z2
c) Vergleiche die Fünfecke ABCDE und
A00 B 00 C 00 D00 E 00 . Was fällt auf? Wie
hätte man A00 B 00 C 00 D00 E 00 einfacher
konstruieren können?
E
C
Z1
D
A
B
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 24
2 Geometrische Abbildungen
2.3
2.3
Drehsymmetrie und Drehungen
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 26
Drehsymmetrie und Drehungen
2 Geometrische Abbildungen
2.3
Drehsymmetrie und Drehungen
1. Welche der folgenden Figuren sind achsensymmetrisch, welche punktsymmetrisch, welche drehsymmetrisch? Zeichne die Symmetrieachsen ein und gib die Drehpunkte und Drehwinkel an.
2. Drehe das ”Strichmännchen” mit Hilfe der Häuschen im Uhrzeigersinn um 90◦ um den Punkt Z.
Z
7. Drehe die Figur um Z mit Drehwinkel ϕ im Uhrzeigersinn
a) Rechteck P QRS, Z = MQR , ϕ = 90◦
b) Dreieck ABC
ϕ
S
R
C
Z
A
P
Z
Q
B
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 26
2 Geometrische Abbildungen
2.3
Drehsymmetrie und Drehungen
8. Konstruiere das Drehzentrum Z, das AB auf A0 B 0 abbildet
a)
b)
B
B = A'
A
A'
A = B'
B'
10. Drehe die Strecke AB um Z, so dass sie senkrecht zur Geraden g zu liegen kommt
a)
b)
B
B
Z
Z
A
A
g
g
11. Konstruiere jeweils alle Drehzentren Z, so dass das eine Rechteck durch eine Drehung um Z auf das
andere Rechteck abgebildet werden kann.
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 27
2 Geometrische Abbildungen
2.4
2.4
Vermischte Aufgaben
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 29
Vermischte Aufgaben
2 Geometrische Abbildungen
2.4
Vermischte Aufgaben
1.
a) Konstruiere alle Spiegelachsen s durch S, so dass
der Bildpunkt R0 von R auf g zu liegen kommt.
b) Konstruiere die Spiegelachse s, so dass der Bildpunkt P 0 auf g und die Gerade h auf sich selber
zu liegen kommt.
P
S
g
h
g
R
4.
a) Konstruiere einen Lichtstrahl, der von P nach
Reflexion an g und h nach Q gelangt.
b) Konstruiere das Bild des Winkels ϕ sowie die
Spiegelachse, wenn P 0 das Bild von P ist.
P
h
Q
P
ϕ
g
P'
8. Gesucht ist eine Strecke AB mit A auf g und B auf k derart, dass sie durch P halbiert wird.
a)
b)
k
M
k
P
P
g
KRW 2009
g
GEOMETRIE 1, Seite 29
M
2 Geometrische Abbildungen
2.4
Vermischte Aufgaben
10. Konstruiere alle Drehzentren Z, so dass das eine Rechteck durch eine Drehung um Z auf das andere
Rechteck abgebildet wird.
12. Zeichne alle Spiegelachsen ein, notiere alle Drehwinkel und gib an, ob die Figur punktsymmetrisch ist.
16. Untersuche, ob man die beiden Figuren durch eine einzige dir bekannte Abbildung zur Deckung bringen
kann. Falls es dir nicht gelingt, versuche es mit zwei bekannten Abbildungen
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 31
KRW 2009
b)
a)
Beta
Beta
Beta
a
t
e
BetaB
ateB a
Bet
22. Auf einem durchsichtigen Würfel steht auf der Vorderseite ”Beta”. Er wird nacheinander um eine Achse so gedreht, dass er jeweils auf sich selber
abgebildet wird. Schreibe das Wort entsprechend gedreht und verzerrt auf die jeweiligen Seiten.
2 Geometrische Abbildungen
2.4
GEOMETRIE 1, Seite 32
Vermischte Aufgaben
a
t
e
B
ateB
a
t
e
B
KRW 2009
b)
a)
23. Auf der Vorderseite eines durchsichtigen Würfels ist eine Figur eingraviert. Der Würfel wird nacheinander um eine Achse so gedreht, dass er jeweils
auf sich selber abgebildet wird. Konstruiere die Figur entsprechend gedreht und verzerrt auf die jeweiligen Seiten.
2 Geometrische Abbildungen
2.4
GEOMETRIE 1, Seite 32
Vermischte Aufgaben
3 Kongruenz von Figuren
3
3.1
Kongruenz von Figuren
Kongruenz und Kongruenzsätze
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 34
3 Kongruenz von Figuren
3.1
Kongruenz und Kongruenzsätze
2. Zerlege jede Figur in drei kongruente Teilfiguren.
3. Zerlege jede Figur in zwei kongruente Teilfiguren.
4. Auf wie viele Arten kannst du ein 3 × 4 – Rechteck in zwei kongruente Teile zerlegen, wenn du
a) nur den Häuschen entlang zeichnen darfst?
b) zusätzlich einzelne Häuschen diagonal halbieren darfst?
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 34
3 Kongruenz von Figuren
3.3
3.3
Dreiecks- und Viereckskonstruktionen
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 39
Dreiecks- und Viereckskonstruktionen
3 Kongruenz von Figuren
14. Skizze:
3.3
Dreiecks- und Viereckskonstruktionen
Parallelogramm ABCD, Mittelpunkt M , P auf AC,
Q auf AB.
D
Konstruktionsbericht:
P
M
Q
15. Skizze:
Gleichschenkliges Trapez ABCD (a k c), Symmetrieachse
s, P auf BD, Q auf AB.
Q
Konstruktionsbericht:
s
C
P
16. Skizze:
Rhombus ABCD, Mittelpunkt M , B und D auf g, P und
Q auf benachbarten Seiten oder Verlängerung.
Q
g
Konstruktionsbericht:
M
P
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 41
3 Kongruenz von Figuren
17. Skizze:
3.3
Dreiecks- und Viereckskonstruktionen
Parallelogramm ABCD, Mittelpunkt M , A auf a,
B auf b, C auf c, D auf d.
b
Konstruktionsbericht:
c
M
a
d
18. Skizze:
Rechteck ABCD, AB = 3 cm, Diagonalenschnittpunkt S,
A auf g, C auf k.
g
k
Konstruktionsbericht:
M
S
19. Skizze:
Gleichschenkliges Trapez ABCD (a k c), Mittellinie
m = 6 cm, D auf g, P Mitte von d, Q Mitte von c.
g
Q
Konstruktionsbericht:
P
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 41
3 Kongruenz von Figuren
3.4
3.4
Vermischte Aufgaben
KRW 2009
GEOMETRIE 1, Seite 42
Vermischte Aufgaben
3 Kongruenz von Figuren
3.4
Vermischte Aufgaben
14. a) Zerlege das Quadrat in vier kongruente Teile, so dass jede Teilfigur genau einen Punkt enthält.
Suche möglichst viele Lösungen.
KRW 2009
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GEOMETRIE 1, Seite 43
3 Kongruenz von Figuren
3.4
Vermischte Aufgaben
14. b) Zerlege das Quadrat in vier kongruente Teile, so dass jede Teilfigur genau einen Punkt enthält.
Suche möglichst viele Lösungen.
KRW 2009
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GEOMETRIE 1, Seite 43