fk : x → x 1

Abitur 2004
Infinitesimalrechnung II
1. Gegeben ist die Schar der Funktionen fk : x →
x2
mit der maximalen Definitionsmen1 − kx2
ge Dk und k ∈ R.
Gk bezeichnet den Graphen von fk .
a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge Dk.
Untersuchen Sie für k ≠ 0 das Verhalten von fk für x → ∞ und x → − ∞.
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
b) Zeigen Sie, dass gilt : fk'(x) =
2x
2
(1 − kx2)
.
Begründen Sie, dass alle Graphen Gk einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
c) Skizzieren Sie G−1, G0 und G1 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie
auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagrechten Asymptote von Gk
für k → − ∞ und k → 0 jeweils verändert.


e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass Gk durch den Punkt P12 verläuft.
  
Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph Gk verläuft.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit
eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 ≤ t ≤ 10 ist v(t) = 7t⋅e−0,1t.
Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden ge.
messenen Zeit.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t0 entspricht dem während der ersten t0 Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).
a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die
Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter
beträgt.
__________________________________________________________________________
Lösung
==================================================================
1. a) Definitionsmenge :
1. Fall k > 0 : Dk = R\{ −
1
;
k
1
}
k
2. Fall k < 0 : Dk = R
lim fk(x) = lim
x → ±∞
x → ±∞
x2
=
1 − kx2
lim
1
x → ±∞ 2
x
1
1
= −
k
−k
Asymptoten :
1. Fall k > 0 : y = −
2. Fall k > 0 : x = −
b) fk'(x) =
1
,x = −
k
1
(Pol) und x =
k
1
und x =
k
2x⋅(1 − kx2) − x2⋅( − 2kx)
2 2
(1 − kx )
1
(Pol)
k
1
(Pole)
k
=
2x
2
(1 − kx2)
= 0
⇔ x = 0
mit Vorzeichenwechsel der Ableitung von − nach + .
fk(0) = 0 d. h. alle Graphen Gk besitzen den Ursprung als Tiefpunkt.
c)
d) k → − ∞ : Die waagrechte Asymptote geht von oben gegen die x-Achse.
k → 0 − 0 : Die waagrechte Asymptote geht ins Unendliche.
e) 2 =
1
1−k
⇒ k =
1
2
a2
b − a2
Sei Pa; b mit a, b ≠ 0 gegeben. Dann b =
⇒
k
=
 
1 − ka2
a2b
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. a) Unbestimmtes Integral :
⌠ 7t⋅e−0,1tdt = − 70t⋅e−0,1t − ⌠ 70⋅e−0,1tdt = − 70t⋅e−0,1t − 700⋅e−0,1t + C
⌡
⌡
Bestimmtes Integral :
10
10
⌠ 7t⋅e−0,1tdt =  − 70t⋅e−0,1t − 700⋅e−0,1t =  − 700 − 700  −  − 700 ≈ 185 (m)

⌡
e
e  

0

0
b) v(10) = 70⋅e−1 =
70
e
1
70⋅e−1
⋅70⋅e−1⋅∆t = 122,5 ⇒ ∆t ≈ 9,5 m ≈ −
≈ − 2,7
2
9,5
___________________________________________________________________________