Datenstrukturen

Datenstrukturen
Mariano Zelke
Sommersemester 2012
Prioritätswarteschlangen: Zusammenfassung
(a) Ein Heap mit n Prioritäten unterstützt jede der Operationen
insert, delete max, change priority und remove
in Zeit O(log2 n).
I
Für die Operationen change priority und remove muss die
Position der zu ändernden Priorität bekannt sein.
(b) build heap baut einen Heap mit n Prioritäten in Zeit O(n).
(c) heapsort sortiert n Zahlen in Zeit O(n log2 n).
Mariano Zelke
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Das Single-Source-Shortest-Path-Problem
Ein gerichteter Graph G = (V , E ) und eine Längen-Zuweisung
länge: E → R≥0 an die Kanten des Graphen ist gegeben.
Bestimme kürzeste Wege von einem ausgezeichneten Startknoten s ∈ V
zu allen Knoten von G .
I
Die Länge eines Weges ist die Summe seiner Kantengewichte.
I
Mit Hilfe der Breitensuche können wir kürzeste-Wege Probleme
lösen, falls länge(e) = 1 für jede Kante e ∈ E gilt.
Für allgemeine nicht-negative Längen brauchen wir eine
ausgeklügeltere Idee.
I
I
Mariano Zelke
Kantengewichte sind nicht-negativ: Die kürzeste, mit s verbundene
Kante (s, v ) ist ein kürzester Weg von s nach v .
Dijkstras Algorithmus setzt diese Beobachtung wiederholt ein.
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Dijkstras Algorithmus
(1) Setze S = {s} und für alle Knoten v ∈ V \ {s} setze
länge (s, v ) wenn (s, v ) ∈ E
distanz[v] =
∞
sonst.
/* distanz[v] ist die Länge des bisher festgestellten kürzesten Weges
von s nach v .
*/
(2) Solange S 6= V wiederhole
(a) wähle einen Knoten w ∈ V \ S mit kleinstem Distanz-Wert.
/* distanz[w] ist die tatsächliche Länge eines kürzesten Weges
von s nach w .
*/
(b) Füge w in S ein.
(c) Aktualisiere die Distanz-Werte der Nachfolger von w :
Setze für jeden Nachfolger u ∈ V \ S von w
distanz[u] = min(distanz[u], distanz[w]+länge(w,u));
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Datenstrukturen für Dijkstras Algorithmus
In der Vorlesung Algorithmentheorie“ wird gezeigt, dass Dijkstras
”
Algorithmus korrekt ist und das Kürzeste-Wege-Problem effizient löst.
I
I
Darstellung des Graphen G : Wir implementieren G als
Adjazenzliste, da wir dann sofortigen Zugriff auf die Nachfolger u
von w im Aktualisierungschritt (2c) haben.
Implementierung der Menge V \ S:
I
I
Knoten sind gemäß ihrem anfänglichen Distanzwert einzufügen.
Ein Knoten w mit kleinstem Distanzwert ist zu bestimmen und zu
entfernen.
Wähle einen Min-Heap, um die entsprechende
Prioritätswarteschlange zu implementieren:
I
I
Mariano Zelke
Ersetze die Funktion delete max() durch die Funktion
delete min().
(Und passe repair up und repair down entsprechend an.)
Implementiere den Aktualisierungschritt (2c) durch
change priority(wo,neue Distanz).
Woher kennen wir die Position wo?
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Minimale Spannbäume
(Link)
Sei G = (V , E ) ein ungerichteter, zusammenhängender Graph.
Jede Kante e ∈ E erhält eine positiv, reellwertige Länge länge(e)“.
”
I Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) heißt ein Spannbaum für G , falls V 0 = V
und E 0 ⊆ E .
I
Die Länge eines Spannbaums ist die Summe der Längen seiner
Kanten.
I
Ein minimaler Spannbaum ist ein Spannbaum minimaler Länge.
I
Je zwei Knoten von G bleiben auch in einem Spannbaum T
miteinander verbunden, denn ein Baum ist zusammenhängend.
Wenn wir aber irgendeine Kante aus T entfernen, dann zerstören
wir den Zusammenhang.
I
Wir suchen nach einem zusammenhängenden Teilgraph in G , der
minimale Länge hat.
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Der Algorithmus von Prim
(1) Setze S = {0}.
/* B ist stets ein Baum mit Knotenmenge S. Zu Anfang besteht B
nur aus dem Knoten 0.
*/
(2) Solange S 6= V , wiederhole:
(a) Bestimme eine kürzeste kreuzende Kante e = {u, v }.
(b) Füge e zu B hinzu.
(c) Wenn u ∈ S, dann füge v zu S hinzu. Ansonsten füge u zu S hinzu.
/* Beachte, dass wir neue kreuzende Kanten erhalten, nämlich alle
Kanten die den neu hinzugefügten Knoten als einen Endpunkt und
einen Knoten aus V \ S als den anderen Endpunkt besitzen.
*/
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Die Datenstrukturen für Prims Algorithmus
I
I
Für jeden Knoten u ∈ V \ S bestimmen wir die Länge l(u) einer
kürzesten Kante, die u mit einem Knoten in S verbindet.
Wir verwalten die Knoten in V \ S mit einer Prioritätswarteschlange
und definieren l(u) als die Priorität des Knotens u.
I
I
I
I
Initialisiere einen Min-Heap, indem jeder Nachbar u von Startknoten
0 mit Priorität länge({0, u}) einfügt wird, bzw. mit Priorität ∞,
wenn u kein Nachbar ist.
Wir bestimmen also eine kürzeste kreuzende Kante, wenn wir einen
Knoten in u ∈ V \ S mit niedrigster Priorität bestimmen.
Beachte, dass sich nur die Prioritäten der Nachbarn von u ändern.
Implementiere G durch eine Adjazenzliste, da wir stets nur auf die
Nachbarn eines Knoten zugreifen müssen.
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Kruskals Algorithmus: Die Idee
I
I
Prims Algorithmus lässt einen minimalen Spannbaum Kante für
”
Kante“ wachsen.
Kruskals Algorithmus beginnt mit einem Wald von Einzelknoten.
I
I
I
Mariano Zelke
Die Kanten werden nach aufsteigender Länge sortiert und der Reihe
nach, beginnend mit Kanten kürzester Länge verarbeitet.
Wenn die Kante e an der Reihe ist und keinen Kreis schließt, dann
wird die Kante e zum Wald hinzugefügt.
Ansonsten schließt die Kante e einen Kreis und wird verworfen.
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Kruskals Algorithmus
(1) Sortiere die Kanten gemäß aufsteigender Länge. Sei W = (V , F )
der leere Wald, also F = ∅.
(2) Solange W kein Spannbaum ist, wiederhole
(a) Nimm die gegenwärtig kürzeste Kante e und entferne sie aus der
sortierten Folge.
(b) Verwirf e, wenn e einen Kreis in W schließt.
(c) Ansonsten setze F = F ∪ {e}: e wird zum Wald W hinzugefügt.
Wir beschränken uns auf die Implementierung.
In der Vorlesung Algorithmentheorie“ wird gezeigt, dass Kruskals
”
Algorithmus korrekt ist.
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Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
Rostock
Bremen
Oldenburg
2
9
39
16
12
11
21
18
Berlin
Hannover
6
7
Dortmund
19
16
Leipzig
8
17
10
Frankfurt/M.
14
12
Karlsruhe
Mariano Zelke
Dresden
Datenstrukturen
Nürnberg
15
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
16
8
39
10
6
15
17
12
3
14
9
11
12
2
16
21
19
7
18
Rostock
Bremen
Oldenburg
Berlin
Hannover
Leipzig
Dortmund
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
München
Mariano Zelke
Datenstrukturen
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Rostock
Bremen
Oldenburg
Berlin
Hannover
Leipzig
Dortmund
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
München
Mariano Zelke
Datenstrukturen
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Rostock
Bremen
2
Oldenburg
Berlin
Hannover
Leipzig
Dortmund
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
München
Mariano Zelke
Datenstrukturen
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Mariano Zelke
Rostock
Bremen
9
Oldenburg
2
11
Berlin
Hannover
6
7
Leipzig
8
Dortmund
10
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
Datenstrukturen
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Mariano Zelke
Rostock
Bremen
9
Oldenburg
2
11
Berlin
Hannover
6
7
Leipzig
8
Dortmund
10
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
Datenstrukturen
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Mariano Zelke
Rostock
Bremen
2
9
Oldenburg
11
12
Berlin
Hannover
6
7
Leipzig
8
Dortmund
10
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
Datenstrukturen
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Mariano Zelke
Rostock
Bremen
9
Oldenburg
2
11
Berlin
Hannover
6
7
Leipzig
8
Dortmund
10
Dresden
Frankfurt/M.
Nürnberg
Karlsruhe
Datenstrukturen
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Mariano Zelke
Rostock
Bremen
2
9
Oldenburg
16
11
Berlin
Hannover
6
7
Dortmund
Leipzig
8
19
10
Frankfurt/M.
Dresden
14
12
Karlsruhe
Datenstrukturen
Nürnberg
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
2
3
6
7
8
9
10
11
12
12
14
15
16
16
17
18
19
21
39
Mariano Zelke
Rostock
Bremen
2
9
Oldenburg
16
11
Berlin
Hannover
6
7
Leipzig
8
Dortmund
10
Frankfurt/M.
Dresden
14
12
Karlsruhe
Datenstrukturen
Nürnberg
3
München
11/29
Beispiel Kruskals Algorithmus
Hamburg
Rostock
Bremen
Oldenburg
2
9
39
16
11
Berlin
Aber:
Wie stellen wir fest,
ob eine Kante
einen Kreis schließt?
Hannover
6
7
Leipzig
8
Dortmund
10
Frankfurt/M.
14
12
Karlsruhe
Mariano Zelke
Dresden
Datenstrukturen
Nürnberg
3
München
11/29
Die Union-Find Datenstruktur I
I
Wir sortieren die Kanten zum Beispiel mit Heapsort.
I
Danach müssen wir für jede Kante e = {u, v } entscheiden,
ob e einen Kreis in W schließt.
I
I
I
Die Operation find(u) bestimme die Wurzel wu des Baumes,
der u enthält.
Die Kante e schließt genau dann einen Kreis, wenn
find(u) = find(v ).
Wenn e keinen Kreis in W schließt, dann müssen wir die Bäume mit
den Wurzeln find(u) und find(v ) vereinigen. Dazu benutzen wir die
Operation union(u, v ).
Wie sollten wir den Wald W implementieren?
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Die Union-Find Datenstruktur II
Wir implementieren den Wald W durch ein Vater-Array.
I
I
Zu Anfang ist Vater[i] = i für alle Knoten i. (Wir fassen i immer
dann als eine Wurzel auf, wenn Vater[i] = i gilt.)
Wie ist find(u) zu implementieren?
I
I
I
I
Klettere den Baum von u mit Hilfe des Vater-Arrays hoch.
Die Kletter-Zeit“ ist durch die Tiefe des Baumes beschränkt.
”
Wie garantieren wir, dass die Bäume nicht zu tief werden?
Wenn wir zwei Bäume vereinigen, dann hänge die Wurzel des
kleineren Baumes unter die Wurzel des größeren Baumes!
(Achtung: hierbei wird eine Kante eingefügt, die wir möglicherweise
nicht zu W hinzufügen!)
I
I
I
Mariano Zelke
Betrachte einen beliebigen Knoten v .
Die Tiefe vergrößert sich nur dann um 1, wenn v dem kleineren
Baum angehört. Wenn die Tiefe von v um 1 anwächst, dann wird
sich der Baum von v in seiner Größe mindestens verdoppeln.
Also ist die Tiefe aller Bäume durch log2 (|V |) beschränkt.
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13/29
Die Union-Find Datenstruktur: Das Fazit
Ein Union-Schritt benötigt nur konstante Zeit, während ein Find-Schritt
höchstens logarithmische Zeit benötigt.
I
I
Mit der Union-Operation modifizieren wir den Wald!
Für Kruskals Algorithmus benötigen zwei Datenstrukturen, nämlich
I
I
die Union-Find Datenstruktur und
eine zweite Datenstruktur, die die Kanten des minimalen
Spannbaums abspeichert.
Damit hat Kruskals Algorithmus eine Laufzeit von O(|E | · log |V |)
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Kapitel 4: Das Wörterbuch
Mariano Zelke
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15/29
Der abstrakte Datentyp Wörterbuch“
”
Ein Wörterbuch für eine gegebene Menge S besteht aus den folgenden
Operationen:
I
insert(x): Füge x zu S hinzu, d.h. setze S = S ∪ {x}.
I
remove(x): Entferne x aus S, d.h. setze S = S − {x}.
I
lookup(x): Finde heraus, ob x in liegt, und wenn ja, greife
gegebenenfalls auf den Datensatz von x zu.
I
In einer Firmendatenbank werden Kundendaten in der Form
(Kundenummer, Info) abgespeichert.
Die Kundennummer stellt den Schlüssel x dar.
I
I
I
I
Mariano Zelke
insert(x): Füge den Datensatz eines neuen Kunden mit
Kundenummer x ein.
remove(x): Entferne den Datensatz des entsprechenden Kunden.
lookup(x): Greife auf den Datensatz des Kunden mit Kundennummer
x zu.
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16/29
Suchmaschinen
Suchmaschinen müssen Stichworte und Webseiten verwalten.
Insbesondere müssen zu jedem Stichwort alle relevanten Webseiten
aufgelistet werden.
I
Für jedes Stichwort s müssen die relevanten Webseiten schnell
verfügbar sein.
I
Neue Stichworte sind gegebenenfalls einzufügen
I
Unter einem Stichwort müssen neue Webseiten abgelegt und
veraltete gelöscht werden können
I
Veraltete Stichworte sind zu entfernen
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17/29
Datenstrukturen für Wörterbücher
I
Wie sollten statische Wörterbücher, also Wörterbücher die nur
lookup benutzen, implementiert werden?
I
I
Wir könnten die Menge der n gespeicherten Schlüssel zuerst
sortieren. Eine lookup-Operation gelingt dann in logarithmischer Zeit
durch binäre Suche.
Oder aber wir haben noch mehr Glück und haben eine schnell
berechenbare Namensfunktion, die für jeden Schlüssel die Position
des Schlüssels bestimmt.
Leider sind die interessanten Wörterbücher dynamisch.
I
Könnten wir Heaps benutzen? Das Einfügen gelingt mühelos, aber
schon das Suchen ist extrem mühselig. (Warum?)
Wir benötigen eine Datenstruktur, die schnell durchsuchbar und an
beliebigen Stellen modifizierbar ist.
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Binäre Suchbäume
T sei ein geordneter binärer Baum. Jeder Knoten v von T speichert ein
Paar daten(v ) = (Schlüssel(v ), Info(v )).
T heißt binärer Suchbaum, wenn T die folgenden Eigenschaften hat:
(a) Für jeden Schlüsselwert x gibt es höchstens einen Knoten v mit
Schlüssel (v ) = x.
(b) Für jeden Knoten v , jeden Knoten vlinks im linken Teilbaum von v
und jeden Knoten vrechts im rechten Teilbaum von v gilt
Schlüssel(vlinks ) < Schlüssel(v ) < Schlüssel(vrechts ).
Binäre Suchbäume unterstützen die binäre Suche!
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Operation lookup(x)
lookup(x) sucht im Binären Suchbaum folgendermaßen nach dem
Knoten mit Schlüssel x:
(1) Sei r die Wurzel des binären Suchbaums. Setze v = r .
/* Wir beginnen die Suche an der Wurzel.
*/
(2) Wenn wir am Knoten v angelangt sind, vergleichen wir
x mit Schlüssel(v ):
I
I
I
x = Schlüssel(v ): Wir haben den Schlüssel gefunden.
x < Schlüssel(v ): Wir suchen im linken Teilbaum weiter.
x > Schlüssel(v ): Diesmal muss im rechten Teilbaum
weitergesucht werden.
Lookup benötigt Zeit Θ(t), wobei t die Tiefe des Knoten ist, der den
Schlüssel x speichert.
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Die Struktur Knoten
typedef struct Knoten {
schluesseltyp schluessel; infotyp info;
//Schluesseltyp und Infotyp sind vorspezifizierte Typen,
//z.B. int oder string
Knoten *links, *rechts;
Knoten(schluesseltyp s, infotyp i, Knoten *l, Knoten *r)
{ schluessel = s; info = i; links = l; rechts = r; }
//Konstruktor.
};
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Die Klasse Binärer Suchbaum
class bsbaum{
private:
Knoten *Kopf;
public:
bsbaum( ) { Kopf = new Knoten (0,0,0,0); }
// Konstruktor
// Kopf->rechts wird stets auf die Wurzel zeigen
Knoten *lookup(schluesseltyp x);
void insert(schluesseltyp x, infotyp info);
void remove(schluesseltyp x);
void inorder( );
};
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Beispiel binärer Suchbaum
*Kopf
schluessel: 0
info: 0
*links *rechts
schluessel: 11
info: Saturn
*links *rechts
schluessel: 8
info: Erde
*links *rechts
schluessel: 3
info: Venus
*links *rechts
schluessel: 5
info: Jupiter
*links *rechts
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schluessel: 17
info: Merkur
*links *rechts
schluessel: 14
info: Mars
*links *rechts
schluessel: 12
info: Erde
*links *rechts
Datenstrukturen
schluessel: 19
info: Uranus
*links *rechts
schluessel: 15
info: Neptun
*links *rechts
23/29
Die Funktion lookup
Knoten *bsbaum::lookup (schluesseltyp x){
Knoten *Zeiger = Kopf->rechts;
while ((Zeiger != 0) && (x != Zeiger->schluessel)){
if ( x < Zeiger->schluessel )
Zeiger = Zeiger->links;
else
Zeiger = Zeiger->rechts;
}
return Zeiger;
}
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24/29
Beispiel Lookup
lookup(52)
52 > 42
42
23
57
52 < 57
12
37
53
62
52 < 53
7
28
41
49
56
61
52 > 49
10
35
44
52
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
25/29
Beispiel Lookup
19 < 42
lookup(19)
42
23
57
19 < 23
12
37
53
62
19 > 12
7
28
10
41
35
49
44
56
52
61
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
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25/29
Binäre Suchbäume: Insert
Suche zuerst nach x. Sollten wir x finden, überschreibe den alten
Info-Teil; sonst füge den Schlüssel dort ein, wo die Suche scheitert.
void bsbaum::insert (schluesseltyp x, infotyp info){
Knoten *Vater, *Zeiger;
Vater = Kopf; Zeiger = Kopf->rechts;
while ((Zeiger != 0) && (x != Zeiger->schluessel)){
Vater = Zeiger;
if (x < Zeiger->schluessel) Zeiger = Zeiger->links;
else Zeiger = Zeiger->rechts;
}
if (Zeiger == 0){
Zeiger = new Knoten (x, info, 0, 0);
if (x < Vater->schluessel) Vater->links = Zeiger;
else Vater->rechts = Zeiger;
}
else Zeiger->info = info;
}
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26/29
Beispiel Insert
52 > 42
42
insert(52,info)
23
57
52 < 57
12
37
53
62
52 < 53
7
28
41
49
56
61
52 > 49
10
35
44
Info-Teil wird
52 mit info
59
überschrieben
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
27/29
Beispiel Insert
insert(19,info)
19 < 42
42
23
57
19 < 23
12
37
53
62
19 > 12
7
19
10
28
Neuer Knoten mit
Schlüssel 19 und
info als Info-Teil
wird erzeugt
41
35
49
44
56
52
61
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
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27/29
Binäre Suchbäume: Remove
Zuerst suche den Schlüssel x. Wenn die Suche im Knoten v endet:
I
Wenn v ein Blatt ist: Entferne v .
I
Wenn v genau ein Kind w hat: Entferne v und mache den Vater
von v zum Vater von w .
Wenn v zwei Kinder hat: Ersetze v durch den kleinsten Schlüssel s
im rechten Teilbaum von v .
I
I
I
I
Mariano Zelke
Der Knoten u speichere den Schlüssel s.
u ist als linkester Knoten im rechten Teilbaum leicht zu finden.
u hat kein linkes Kind und kann damit sofort entfernt werden.
Datenstrukturen
28/29
Beispiel Remove
42
remove(56)
23
57
12
7
37
28
10
53
41
35
62
49
44
61
52
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
29/29
Beispiel Remove
42
remove(56)
23
57
12
7
37
28
10
53
41
35
62
49
44
61
52
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
29/29
Beispiel Remove
42
remove(53)
23
57
12
7
37
28
10
62
41
35
49
44
61
52
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
29/29
Beispiel Remove
42
remove(53)
23
57
12
7
37
28
10
49
41
44
35
62
52
61
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
29/29
Beispiel Remove
42
remove(23)
57
12
7
37
28
10
49
41
44
35
62
52
61
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
29/29
Beispiel Remove
42
remove(23)
28
57
12
37
7
49
41
10
44
35
62
52
61
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
29/29
Beispiel Remove
42
remove(23)
28
57
12
7
37
35
49
41
44
10
62
52
61
59
Anmerkung: In diesem Beispiel sind für jeden Knoten im binären Suchbaum nur der
Schlüssel schluessel und nicht die Information info dargestellt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen
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