Aufgabenblatt 11

Thomas Ströder
Fabian Emmes
Sven Middelberg
Michael Kremer
Prof. Dr. L. Kobbelt
Lehrstuhl für Informatik 8
RWTH Aachen
Datenstrukturen und Algorithmen
Tutorium 11, KW 27, 2013
Aufgabe T11.1:
Minimale Spannbäume
Betrachten Sie den folgenden ungerichteten gewichteten Graphen G1 :
A
3
B
7
2 8
C
4
9
D
E
5
6 F
3
1
G
H
7
1. Geben Sie den minimalen Spannbaum an, den Prims Algorithmus findet, wenn wir mit
Knoten A starten und bei jeder Wahlmöglichkeit für einen Knoten jeweils den ersten
Knoten bzgl. seiner alphabetischen Sortierung wählen.
2. Beweisen Sie die folgende Aussage: Jeder zusammenhängende, ungerichtete, gewichtete
Graph G, bei dem keine zwei Kanten das gleiche Gewicht haben, hat genau einen minimalen Spannbaum (d.h. für solche Graphen ist der minimale Spannbaum eindeutig).
Aufgabe T11.2:
Dijkstra
1. Gegeben sei der folgende Graph G2 :
A
1
D
34
32
13
E
12
7
5
G
9
B
3
2
H
Seite 1 / 3
C
14
4
11
6
10
F
8
I
Ermitteln Sie mit Hilfe des Dijkstra-Algorithmus die kürzesten Wege von Startknoten A
zu allen anderen Knoten des Graphen. Verwenden Sie dazu eine Tabelle der folgenden
Form. Notieren Sie für jeden Rechenschritt den aktuell gewählten Knoten zur Verbesserung der Wege und die Länge der bis zu diesem Zeitpunkt möglichen kürzesten Wege für
jeden noch nicht abgeschlossenen Knoten (D[. . . ]). Streichen Sie Felder der Tabelle, die
nicht mehr benötigt werden, durch (dies geschieht, sobald ein Knoten als Baum-Knoten
klassifiziert wurde).
Schritt
Knoten
D[A]
D[B]
D[C]
D[D]
D[E]
D[F ]
D[G]
D[H]
D[I]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2. Arbeitet der Dijkstra Algorithmus immer korrekt, wenn man ihn auf einen Graphen mit
negativen Gewichten anwendet, der keine Zyklen mit negativem Gesamtgewicht enthält?
Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe T11.3:
Floyd-Warshall
Bestimmen Sie für den folgenden Graphen die Werte der kürzesten Pfade zwischen allen Paaren
von Knoten. Nutzen Sie hierzu den Floyd-Warshall Algorithmus. Geben Sie das Distanzarray
vor dem Aufruf, sowie nach jeder Iteration an.
Die Knotenreihenfolge sei mit A, B, C, D, E fest vorgegeben.
3
A
D
6
5
7
8
3
C
9
7
4
2
1
E
B
9
Seite 2 / 3
Aufgabe T11.4:
Maximaler Fluss
Verwenden Sie die Ford-Fulkerson-Methode, um den maximalen Fluss des folgenden Flussnetzwerkes mit den gegebenen Kapazitäten zu berechnen. Geben Sie nach jeder Flusserhöhung das
Flussnetzwerk an und kennzeichnen Sie den von Ihnen gewählten augmentierenden Pfad. Geben
Sie ebenfalls das Restnetzwerk nach der ersten, zweiten und letzten Flusserhöhung an.
3
A
D
6
13
5
s
7
8
3
C
9
17
19
7
t
4
2
1
11
E
B
9
Seite 3 / 3