K i l 3 apitel 3 Bewegte Bezugssysteme - IAP TU

K i l3
Kapitel
Bewegte Bezugssysteme
1
Gegeneinander bewegte Bezugssysteme
Koordinatensystem K mit Ursprung O
Koordinatensystem K
K´ mit Ursprung O
O´
P betrachtet von K´ aus
r
r
1r 2 r
Verbindung OO´: R (t ) = a t + u t + R0
2
z´
P bbetrachtet
t ht t von K aus
z
P
y
r(t)
y0
yP
O´
R(t)
O
y´
´( )
r´(t)
y´P
x´P
x´
x0
xP
x
2
Ö Bewegungen, beobachtet aus relativ zueinander bewegten Bezugssystemen :
Koordinatensystem ruhend
Koordinatensystem bewegt, du/dt =0
z.b. waagerechter Wurf mit v0 = u
r
r
Anfangsbedingungen : v = (u ,0,0 ) ; r = (0,0, h )
Kräfte sind identisch,
identisch aber : Form der Bahn ist unterschiedlich !
3
Galilei-Transformation
die beiden Koordinatensysteme seien nicht gegeneinander beschleunigt (bzw.
erfahren die gleiche Beschleunigung) : Galilei-Transformation
r
r r
es seii : r (t ) = r '+u t
r&
r
aus:
r (t ) = v
r
r&
aus:
v (t ) = a
r
r r
r ' (t ) = r − u t
b
bzw.
:
r&
r
r& r r r
r ' (t ) = v ' = r − u = v − u
Ö
Ö
r&
r
r& r& r
v ' = a' = v − u = a
keine Relativ-Beschleunigung
zwischen den Systemen Ö du/dt = 0
r
r
aus : a ' = a
Ö
r r
F = F'
d.h. die in den beiden Systemen beobachteten Kräfte sind gleich
Anmerkung : diese Aussage gilt nur für u << c
Systeme, die sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit
(ohne Beschleunigung) bewegen, heißen Inertialsysteme
4
Beschleunigte Bezugssysteme : Scheinkräfte
Beispiel (1) : wir betrachten einen Passagier in einem startenden Flugzeug
Ö Beschleunigung des Flugzeugs durch Kraft F
y
F
x
der Passagier habe keinerlei Verbindung zur Außenwelt (Fenster geschlossen, etc.);
obwohl für den Passagier keine Kraft F erkennbar ist, wird er in den Sitz gepresst
Ö der Passagier registriert eine Scheinkraft
5
Beispiel (2) : wir betrachten Person beim freien Fall oder beim Fall mit einem Aufzug
r
a'
K´
r
a
r
a
K
(a)
(b)
(a) Brad beobachtet seinen Fall im Bezugssystem K und schließt auf eine Beschleunigung; (b)
Brad befindet sich im abgeschlossenen, fallenden Fahrstuhl und beobachtet im beschleunigten
Bezugssystem K‘; relativ zum System K‘ bemerkt Brad keine Beschleunigung Ö scheinbare
Schwerelosigkeit Ö Brad schließt auf eine Scheinkraft F, die die Gewichtskraft FG kompensiert 6
Gleichförmig gegeneinander beschleunigte Bezugssysteme
► Beschleunigung des Bezugssystems führt zur Beobachtung
einer (Schein-) Kraft beim mit-beschleunigten Beobachter
K´(t2)
K´(t1)
K´(t4)
K´(t3)
K
z´
z´
z
x´(t1)
O
O´
x
xK
x´(t2)
x´(t3)
x´
x´(t4)
1 2
x(O' (t )) = x0 + u0 t + a t
2
das Koord.sys. K‘ (blau) sei im Bezug auf das ursprüngliche Koord.sys. K (rot) in x-Richtung beschleunigt;
betrachte ein ruhendes Objekt (rotes Rechteck) in den beiden Koordinatensystemen Ö im roten System ruht
7
das Objekt; im blauen Koord.sys. bewegt sich das Objekt beschleunigt mit a vom Ursprung O‘ weg
Scheinkräfte in einem rotierenden Bezugssystem
betrachte Scheinkräfte bei der Kreisbewegung :
beschleunigte Bewegung,
Bewegung
r
da v = const, aber : v (t ) ≠ const.
(Richtungsänderung)
r
r&
a (t ) = v (t ) ≠ 0
r
2 r
Zentripetalbeschleunigung : a = −ω r
r
r
r
Zentripetalkraft : F = ma = − mω 2 r
r
v (t
()
r
a (t )
r
a (t + Δt )
r
v (t + Δt )
8
betrachte rotierende Masse an einer festen Schnur :
Ö FZP äußert sich als Spannkraft der Schnur
vom ruhenden Beobachter (von außen) betrachtet :
Masse m bewegt sich auf Kreisbahn
Ö beschleunigte Bewegung
vom mit-beschleunigten Beobachter
(sitzend auf Masse m) betrachtet :
M
Masse
m scheinbar
h i b in
i Ruhe
R h
Ö
r
∑ Fi = 0
r
ω
r
FZP
m
i
r
r
Ö FZP + FZF = 0
Der bewegte Beobachter muss die Zentrifugalkraft
als Scheinkraft einführen, weil er die Bewegung
seines
ei e Bezugssystems
Be
te nicht
i ht berücksichtigt.
be ü k i hti t
Zentrifugalkraft
9
Zentrifugalkraft & Zentripetalkraft
r
2 r
Masse m auf Kreisbahn wird mit aZP = −ω r zum Zentrum hin beschleunigt
g
Ö Masse m muss Zentripetalkraft erfahren, um auf Kreisbahn zu bleiben
2
v
FZP = − mω 2 r = −m
r
Zentripetalkraft
z.B. durch Federkraft
FZF
FZP
r
10
Ö wenn für eine tatsächlich an der Masse m wirkende Kraft (z.B. eine
Federkraft) gilt : F < mv2/r dann wird die Masse m durch die Zentrifugalkraft
nach
h außen
ße beschleunigt
be hle i t (dr/dt
(d /dt > 0); wenn
e F < mv2/r
/ , bewegt
be e t sich
i h Masse
M em
nach innen (dr/dt < 0)
Ö der Radius r der Kreisbahn stellt sich dann so ein,
ein dass gilt :
FZP = FZF
2
v
= mω 2 r = m
r
Ö erst dann ist dr/dt = 0
11
Effekt der Zentrifugalkraft bei Satellitenbahnen
p y
physikalische
Ursache der Zentripetalkraft
p
(welche Kraft hält den Satelliten an der Erde ?)
m
v
R
Ö Gravitation
RE
r
v2
mME
ˆ
rˆ
Ö FZP = − m r = − G
2
R
R
ME
r
v2
Zentrifugalkraft : FZF = m rˆ
R
Bahnradius stellt sich (bei geg. Geschwindigkeit v) so ein, dass : FZF = FZP
v2
mME
= G
Ö m
R
R2
Ö
R = G
ME
v2
d.h. R sinkt mit wachsendem v; je kleiner v, umso weiter ist die stabile Bahn des Satelliten von
der Erde entfernt; dies ist klar, denn : je kleiner v, umso kleiner ist die nach außen treibende
Zentrifugalkraft – und umso kleiner die zur Kompensation benötigte Zentripetalkraft =
12
Gravitationskraft; diese Kraft ist umso kleiner, je größer der Abstand zur Erde ist
Frage : Welche Geschwindigkeit ist in der Nähe der Erdoberfläche nötig für
eine stabile Umlaufbahn ?
FZF = FZP
v2
mME
m
= G
RE
RE2
Ö
in der Nähe der Erdoberfläche ggilt :
Ö
v2
= g
RE
Ö
v =
mME
G
=mg
2
RE
g RE
erste kosmische
k
i h
Fluchtgeschwindigkeit
d.h. für v2 > gRE gibt es stabile Satellitenbahnen
13
Anmerkung : Schwerelosigkeit im Spacelab/Raumstation
Beobachter von außen (z.B. auf dem Mond) sieht :
Bewegung des Spacelab durch Gravitation verursacht
Ö parallele Beschleunigung des Spacelab und der
Astronauten darin durch Gravitation
mit-bewegter Beobachter im Spacelab sieht :
keinerlei Kräfte, die zur Beschleunigung relativ
zum Bezugssystem des Spacelab führen
Ö Schwerelosigkeit im Spacelab
spacelab
v
R
RE
ME
Der deutsche Astronaut Hans Schlegel schwebt
i Februar
im
F b
2008 während
äh d seines
i
A f h l an
Aufenthalts
Bord der Internationalen Raumstation ISS
durch das Weltraumlabor "Columbus".
14
vergleiche : Schwerelosigkeit auf Wurfparabel/Parabelflug
Beobachter von außen sieht :
Bewegung des Flugzeugs auf Parabelflug wird durch Gravitation verursacht
Ö parallele Beschleunigung des Flugzeugs und der Passagiere durch Gravitation
mit-bewegter
i b
Beobachter
b h iim Flugzeug
l
sieht
i h :
keine Kräfte, die zur Beschleunigung relativ zum Bezugssystem des Flugzeugs führen
Ö Schwerelosigkeit im Flugzeug beim Parabelflug
„schwerelos“
(0 g)
Anflugphase
Rückkehrphase
15
Zentrifugalkraft & Gravitation
aZF,Pol
ZF Pol((r,, ω)) = 0
gPol
aZF(r, ω)
r
g
RE
geff
gÄq
aZF,Äq.(r, ω)
Konsequenzen der Zentrifugalkraft für die Gravitationsbeschleunigung g der Erde : Die Zentrifugalbeschleunigung
g g aZF wirkt zusätzlich zur Gravitationsbeschleunigung
g g g Ö Änderung
g der effektiven
Gravitation durch die Zentrifugal-Beschleunigung; an den Polen : Betrag und/oder Richtung von FG
werden nicht beeinflußt; am Äquator : FZF anti-parallel zu FG, Richtung wird nicht beeinflußt;
16
dazwischen (z.B. in Darmstadt) : Richtung und Betrag von FG werden beeinflußt
Abschätzung des Effekts der Zentrifugalkraft auf Gravitationsbeschleunigung :
2
a
Äquator
Ä
t
ZF
⎛ 2π ⎞
= ω RE = ⎜
⎟ RE
⎝ T ⎠
2
2
⎛
⎞
2π
m
6
⎟⎟ 6.37 ⋅10 m = ... = 0.034 2
= ⎜⎜
s
⎝ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s ⎠
vgl. mit Gravitationsbeschleunigung g = 9.81 m/s2
Ö der Effekt beträgt am Äquator lediglich ca.
ca +0.3
+0 3 %
in Darmstadt (g
(geograph.
g p Breite ca. 50°)) Ö a
DA
ZF
=a
Äquator
ZF
m
(
)
cos 50° = 0.025 2
s
Pol
an den Polen Ö aZF
=0
Ö die Gravitationsbeschleunigung an den Polen ist wg. der Zentrifugal-beschleunigung
(und wg. der Erdabplattung an den Polen) etwas geringer als am Äquator; zusätzlicher
Eff kt : inhomogene Dichteverteilung
Effekt
Dichte erteil ng des Erdinneren
17
Anwendung der Zentrifugalkraft : Massentrennung durch Zentrifugen
► Zentrifugalkraft ist massenabhängig (dichtenabhängig)
Ö räumliche Trennung von Materialien unterschiedlicher Dichten wird möglich
FZF = mω 2 R
ω
Ö Kraft auf Volumenelement dV :
dFZF = ρ dV ω R
2
ρ1
ρ2
ρ3
Ö für Massen verschiedener Dichten :
dFZF(1) = ρ1 dV ω 2 R
dFZF( 2 ) = ρ 2 dV ω 2 R
wenn ρ1 > ρ2 dann erfährt ρ1 größere Kraft und wird weiter nach außen gedrängt
Ö Trennung von unterschiedlichen Dichten in gemischten Materialien
18
Zentrifuge im medizinischen Labor, z.B. zur Trennung von Bestandteilen des Blutes (Blutplättchen, weiße
Blutkörperchen, rote Blutkörperchen, Blutflüssigkeit (Plasma)); im Reagenzglas sind nach Behandlung mit
19
der Zentrifuge die Blutbestandteile deutlich getrennt sichtbar
Gas-Zentrifugen zur Anreicherung von Uran-Isotopen
(Nuklear Material) durch Trennung von Gas aus 238UF6 und
(Nuklear-Material)
235UF ; das Gas wird von unten durch die Zentrifuge
6
geleitet; das schwerere Gas 238UF6 (dunkelblau im Schema
rechts) wird stärker nach außen gedrängt und kann an
geeigneter Stelle entnommen werden
20
Weitere Scheinkraft im rotierenden Bezugssystem : Coriolis-Kraft
betrachte eine ggradlinig
g rollende Kugel
g auf drehender Scheibe :
P1
P2
ω
O
Kugel startet im Ursprung mit grader, unbeschleunigter Bewegung; ohne die Drehung der Scheibe würde
d Beobachter
der
B b ht in
i der
d Mitte
Mitt nachh Δt den
d Auftreffpunkt
A ft ff
kt
P1 erwarten; wegen Drehung (auch der Blickrichtung
des Beobachters) scheint die Kugel bei P2 aufzutreffen
Ö Beobachter auf Drehtisch sieht Differenz Δs = [P2;P1]
und schließt auf Wirken einer Scheinkraft
es gilt (Drehung) :
Δs = Δϕ ⋅ r = ω Δt r
wir nennen r = Δr : Δs = ω Δt Δr
anderseits gilt (Ablenkung von der gradlinigen
Bahn durch Beschleunigung mit Scheinkraft) :
Δr
= 2ω v
Ö αc = 2ω
Δt
Coriolis- Beschleunigung
dargestellt
g
mit Richtungen :
1
2
Δs = α c (Δt )
2
r
r r
α c = −2 ω × v
r
r r
Fc = −2 m ω × v
21
Anmerkung : Richtungsbeziehungen bei der Coriolis-Kraft
offensichtlich wirkt die Coriolis
Coriolis-Beschleunigung
Beschleunigung
senkrecht zur ursprünglichen Geschwindigkeit v
und senkrecht zur Drehung/Drehachse mit ω
ω
vo
v
aC
r
r r
α c = −2 ω × v
r
r r
Fc = −2 m ω × v
ω
ω×v
v
aC
22
Anmerkung : Richtungsbeziehungen bei der Zentrifugal-Kraft
offensichtlich wirkt die Zentrifugal
Zentrifugal-Beschleunigung
Beschleunigung
senkrecht zur Drehung/Drehachse mit ω und
parallel zum Ortsvektor r; ausserdem ist die Kraft
proportional zu ω2
ω
r
r r r
α ZF = ω × r × ω
r
r r r
FZF = m ω × r × ω
r
aZF
ω
aZF
r
r×ω
23
Ein Schlitten fährt geradlinig auf einer Schiene mit konstanter Geschwindigkeit v und markiert dabei mit
einem Stift
f seine Bahn auff einer darunter rotierenden Scheibe. Die markierte Bahn erscheint ggekrümmt,,
wobei die Kurvenform von der Geschwindigkeit v, von der Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe und vom
Abstand r des Schlittens vom Zentrum M der Scheibe abhängt. Ein Beobachter auf dem Drehtisch erwartet
zunächst eine gradlinige Bewegung des Schlittens (wie sie ein Beobachter außerhalb des Drehtisches auch
sieht).
i ht) Tatsächlich
T t ä hli h aber
b misst
i t er in
i seinem
i
S t eine
System
i gekrümmte
k ü t Bahn.
B h Folglich
F l li h wirkt
i kt eine
i Beschleunigung
B hl i
auf den Schlitten. Der Beobachter muss Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen einführen, um die
Messungen in seinem rotierenden System zu erklären.
24
(links) Eine mit Streusand gefüllte Kugel hängt an einem Faden mit festem Aufhängepunkt und schwingt in
einer raumfesten x-z-Ebene unter dem Einfluss der Schwerkraft. Unter diesem Pendel befindet sich ein
Drehtisch
h h in der
d x-y-Ebene,
b
d sichh mit ω um die
der
d z-Achse
A h dreht.
d h Wenn man den
d Sand
S d aus einer kleinen
kl
Öffnung der Hohlkugel austreten lässt, zeichnet er für ω = 0 eine gerade Linie auf den Drehtisch, für ω ≠ 0
jedoch gekrümmte rosettenartige Bahnen, deren Krümmung vom Verhältnis Schwingungsdauer T1 zu
Umdrehungszeit T2 abhängt . Ein Beobachter auf dem Drehtisch erwartet zunächst eine gradlinige Bahn (wie
sie ein Beobachter außerhalb des Drehtisches auch sieht), beobachtet aber eine Krümmung der Bahnkurve.
Er kann sich dies nur durch Scheinkräfte erklären. (rechts) Auch ein Foucault‘sches Pendel beschreibt die
25
diskutierte Bahn (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Foucaultsches_Pendel)
Foucault‘sches Pendel
die Erde stellt ein rotierendes System dar Ö ein Pendel, das gradlinig schwingt,
scheint im rotierenden System der Erde eine gekrümmte Bahn zu verfolgen
(siehe vorherige Folie) Ö Beobachtung der scheinbaren Krümmung/Drehung der
Pendelebene lässt sich auf Erddrehung zurück schließen
Die Pendel-Ebene ändert sich nicht im Raum - aber der
Erdboden dreht sich darunter Ö scheinbare Drehung der
Pendel-Ebene im rotierenden Bezugssystem
Foucault‘sches Pendel an der
Univ. Köln (von oben gesehen)
26
Foucault, Masse des Original-Pendels, Foucault‘s „Labor“ im Pariser Pantheon (1851)
27
ω
Die Erde als rotierendes Bezugssystem
ω
ω
ωt
ωS
ωt
ωS
Betrachte Ebene parallel zur Oberfläche (z.B. Näherung für Hörsaal-Fläche); vektorielle Zerlegung der
Winkelgeschwindigkeit liefert Komponenten senkrecht und tangential zur Ebene; ωS beschreibt die Drehung
der Oberfläche um Achse vom Erdmittelpunkt zum Mittelpunkt der Ebene Ö verantwortlich für CoriolisKraft; ωt beschreibt die Drehung der Oberfläche um die Achse senkrecht zu ω Ö verantwortlich für
28
Zentrifugal-Kraft; am Nordpol ist ωt =0 Ö FZF = 0; am Äquator ist ωS =0 Ö FC = 0
Beispiel : Luftströmungen in der Erd-Atmosphäre
in der Erdatmosphäre sollte die Luft gradlinig von einem Hochdruck zu einem Tiefdruckgebiet
strömen; da die Erde aber ein rotierendes Bezugssystem darstellt, wirkt die Coriolis-Kraft auf die
Luftströmung Ö gekrümmte Bahnkurve, sichtbar durch Wolkenbildung um Tiefdruckgebiet
r
v
r
aC
T
Anmerkung
A
k
: Richtung
Ri ht
d Coriolis-Beschleunigung
der
C i li B hl i
(d h Drehrichtung
(d.h.
D h i ht
d Wolken)
der
W lk ) ist
i t auff SüdSüd
Halbkugel umgekehrt zur Nord-Halbkugel
29
Abschätzung des Coriolis-Effekts :
Wi d mit
Wind
it v = 20 km/h
k /h = 5 m/s
/
Ö ω Nordpol =
2π
≈106 s −1
86400 s
m
aC = 2 ω v ≈ 0.001 2
s
wir beobachten Δt = 1 min. lang:
Ö s = v Δt = ... = 300 m
Ablenkung :
Δs =
Wolkenbildung bei einem extremen Tiefdruckgebiet
(Hurrikan) auf der Nord-Halbkugel
Nord Halbkugel
1
2
aC (Δt ) = ... ≈ 2 m
2
d.h. auf einer Strecke von 300 m wird die
Luft um 2 m zur Seite abgelenkt; bei
starken Strömungen mit v > 100 km/h
k /h ist
der Effekt sehr deutlich
30
Mathematische Herleitung von Coriolis- und Zentrifugalkraft
betrachte
b
h P
Punkt
k A vom ruhenden
h d
und vom rotierenden Bezugssystem aus :
ruhendes System K :
r
r (t ) = x(t ) eˆx + y (t ) eˆ y + z (t ) eˆz
r&
Ö r (t ) = x& (t ) eˆx + y& (t ) eˆ y + z& (t ) eˆz
Anmerkung : die Einheitsvektoren liegen
fest in K und sind in K nicht zeitabhängig
r
r
ˆ
ˆ
ˆ
rotierendes System K‘ : r ' (t ) = x' (t ) e' x + y ' (t ) e' y + z ' (t ) e' z = r (t )
r&
r&
Ö r ' (t ) = x& ' (t ) eˆ' x + y& ' (t ) eˆ' y + z& ' (t ) eˆ' z = r (t )
Anmerkung : die Einheitsvektoren liegen fest in K‘ und sind in K‘ nicht zeitabhängig
31
Geschwindigkeiten, gesehen vom ruhenden System K aus, aber ausgedrückt in
den Koordinaten des Systems K‘ (z.B. Beobachter im Weltall (K) beobachtet
Luftströmung auf der Erdoberfläche (K
(K‘)) und beschreibt die Bewegung relativ zum
rotierenden Bezugssystem der Erdoberfläche) :
r
r
v (x' , y ' , z ') = x& ' (t ) eˆ' x (t ) + y& ' (t ) eˆ' y (t ) + z& ' (t ) eˆ' z (t ) Ö v '
+ x' (t ) eˆ&' x (t ) + y ' (t ) eˆ&' y (t ) + z ' (t ) eˆ&' z (t ) Ö ur
Anmerkungen : die Einheitsvektoren von K‘ sind im System K zeitabhängig (rotieren);
u ist
i die
di beschleunigte
b hl i Relativ-Geschwindigkeit
R l i G h i di k i von K und
d K‘
die Endpunkte der Vektoren ei machen eine Drehung um den Ursprung O = O
O‘
mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω; für die Geschwindigkeit der
Drehung gilt daher :
mit :
r
r dr r r
v=
=ω×r
dt
Ö
&eˆ' = ωr × eˆ'
i
i
mit : i = x,y,z
32
r
r
r
r
Ö u = x' (ω × eˆ' x ) + y ' (ω × eˆ' y ) + z ' (ω × eˆ' z )
r v
Ö u = ω × (x' eˆ' x + y ' eˆ' y + z ' eˆ' z )
Ö
r v r v r
u = ω × r'= ω × r
r
r r
r r r
damit folgt für die Geschwindigkeit : v = v '+u = v ' + ω × r
Ö Beschleunigung :
Anmerkung : ω = const.
r
r& r r&
d r r r
a = (v '+ω × r ) = v '+ω × r
dt
r&
&ˆ&' + y& ' e&ˆ&' + z& ' e&ˆ&'
mit : v ' = &x&' eˆ' x + &y&' eˆ' y + &z&' eˆ' z + x& ' e
x
y
z
r
Ö a'
r r
Ö ω × v'
Anmerkung : Herleitungen analog wie oben für v‘=dr‘/dt
33
r r r r
r
r& r r&
r
Ö Beschleunigung : a = v '+ω × r = a ' + ω × v ' + ω × v
r r r r
mit : v = v ' + ω × r
r
r r r r r r r
Ö a = a ' + ω × v '+ω × (v '+ω × r )
r r r r r r r r
= a ' + ω × v ' + ω × v ' + ω × (ω × r )
r r r r r
r
= a ' + 2 ω × v ' + ω × (ω × r )
r r r r r
r
r
aufgelöst nach a‘ : a ' = a − 2 ω × v ' − ω × (ω × r )
r r r r r
r
r
oder : a ' = a − 2 ω × v ' + ω × r × ω
Coriolis
Zentrifugal
g
34
Lorentz-Transformation & Spezielle Relativitätstheorie
vgl.
g Galilei-Transformation in ggegeneinander
g
mit konstanter Geschwindigkeit
g
bewegten Bezugssystemen (Inertialsystemen) :
r
r r
r ' (t ) = r − u t
r
r r
v' = v − u
r
r
a' = a
Anmerkung : neben Orts
Orts-Koordinaten
Koordinaten wird auch
die Zeit-Koordinate betrachtet Ö Zeit ist in beiden
Bezugssystemen gleich (und läuft damit auch
gleich schnell)
r r
Ö F = F'
t' = t
r
r r
Ö v = v'+ u
d.h. wenn die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme in der
Nähe der Lichtgeschwindigkeit
g
g
c wäre, könnte die g
gemessene
Relativgeschwindigkeit v im Prinzip (v‘ + c) > c werden
aber : experimentell
p
zeigte
g sich (Michelson
(
& Morley,
y, 1881),
),
daß die Lichtgeschwindigkeit c in allen Inertialsystemen konstant ist!
Ö die Galilei-Transformation ist bei v → c nicht mehr korrekt
35
Relativ einfaches Experiment zur Messung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit : die Messung
der Lichtgeschwindigkeit c für Licht eines Sternes, auf den die Erde sich auf ihrer Bahn um die
Sonne mit u = 30 km/s zubewegt, ergibt exakt denselben Wert wie ein halbes Jahr später, wenn
die Erde sich von ihm mit u = 30 km/s wegbewegt. Nach diesen immer wieder bestätigten
experimentellen
ll
E b
Ergebnissen
müssen
ü
wir schließen
hl ß
: Die
D Lichtgeschwindigkeit
L h
h d k
ist in allen
ll
Inertialsystemen gleich, unabhängig von deren Relativgeschwindigkeit zur Lichtquelle.
36
Gleichzeitigkeit
Wir betrachten
Wi
b t ht zweii Systeme
S t
S undd S‘ in
i denen
d
von den
d Punkten
P kt A undd B,
B bzw.
b
A undd B Lichtblitze
Li htblit gefeuert
f
t
werden. (a) Keine Relativbewegung S, S‘. Die Beobachter O und O‘ messen die Ankunftszeit der Lichtblitze
in O bzw. O und schließen daraus, ob die Ereignisse in A und B gleichzeitig stattfanden (dann kommen die
Lichtblitze auch ggleichzeitig
g in O bzw. O" an),
) oder ob die Lichtblitze zu verschiedenen Zeiten ausgesandt
g
wurden. Beide Beobachter kommen zu gleichen Ergebnissen. (b) Relativbewegung S, S‘. Wir nehmen an, dass
wieder, vom Standpunkt des Beobachters O aus gesehen, zur Zeit t = 0 gleichzeitig zwei Blitze von A und B,
bzw. A und B ausgesandt werden. Der ruhende Beobachter misst dann die Signale von A und B bzw. A‘ und B‘
i O.
in
O Während
Wäh d der
d Lichtlaufzeit
Li htl f it Δt der
d Signale
Si l von A nachh O,
O bzw,
b
von B nachh O hat
h t sich
i h aber
b O
O‘ um die
di
Strecke Δx = cΔt nach rechts bewegt. Die Signale von B bzw. B‘ kommen deshalb in O früher an als die von A
bzw. A‘. Daraus schließt O, dass das Ereignis in B bzw. B‘ früher stattgefunden hat als in A, A‘.
37
betrachte Intertialsysteme S, S‘, die sich mit Relativgeschwindigkeit vx bewegen:
Ein kurzer Lichtblitz wird zur Zeit t = t‘ =0 von O = O‘ ausgesandt. Beobachter in O
und O‘
O messen die Zeiten t,
t tt‘, bis das Licht den Raumpunkt A erreicht hat :
und :
r = ct
Ö
x2 + y2 + z 2 = c2 t 2
r' = c t'
Ö
x '2 + y '2 + z '2 = c '2 t '2
it : c = c‘
mit
38
das System S‘ (bzw. der Ursprung O‘) bewegt sich mit v
Ö
x(O' ) = v t
alle Werte von x‘ sind auf O‘ bezogen Ö Koordinate x‘ eines beliebigen Punktes im
System S
S‘,, ausgedrückt in Koordinaten des Systems S muss von (x −vt)
vt) abhängen.
abhängen
Ö Ansatz :
x' = k ( x − vt )
mit Konstante k
Obwohl die Uhren der beiden Beobachter zum selben Zeitpunkt gestartet wurden,
können durch die Relativbewegung auch die gemessenen Zeiten variieren
Ö Ansatz :
t ' = a (t − bx )
mit Konstanten a,b
Anmerkung : äquivalenter Ansatz wie für Ort x
Einsetzen der Ausdrücke für xx‘ und tt‘ in die Gleichung für rr‘ liefert :
k ( x − vt ) + y + z = c a (t − bx )
2
2
2
2
2
2
2
mit : y = y‘
y ; z = z‘
39
Umformung
ergibt :
(k
2
)
(
)
− b 2 a 2 c 2 x 2 − 2 k 2 v − ba 2 c 2 xt + y 2 + z 2
2
⎛ 2
2 v ⎞ 2 2
= ⎜⎜ a − k 2 ⎟⎟c t
c ⎠
⎝
der Ausdruck mit x,y,z,
y muss für
alle Orte und Zeiten übereinstimmen mit :
(k − b a c ) = 1
(k v − ba c ) = 0
2
2
Ö
2
x +y +z =c t
2
2
a=k =
2 2
2 2
2
⎛ 2
⎞
v
2
⎜⎜ a − k 2 ⎟⎟ = 1
c ⎠
⎝
Ö
2
2
2
1
v2
1− 2
c
v
b= 2
c
40
Einsetzen der ermittelten Konstanten a,b,k in die Ansätze für x‘und t‘ liefert :
x' =
oder mit :
Ö
γ =
x − vt
;
2
v
1− 2
c
v
t− 2 x
c
t' =
2
v
1− 2
c
v2
1− 2
c
x' = γ ( x − vt )
;
v
⎛
t' = γ ⎜t − 2
⎝ c
⎞
x⎟
⎠
Lorentz-Transformationen
41
für Relativ-Geschwindigkeiten v << c ergibt sich :
v
→ 0
c
Ö
x' →
⎛ v ⎞
γ = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
⎝ c ⎠
2
und somit :
(x − vt )
;
−1 / 2
→1
t' → t
Galilei Transformation
Galilei-Transformation
d.h. für kleine Relativgeschwindigkeiten folgt die Galilei-Transformation als Grenzfall
der Lorentz-Transformation
Lorentz Transformation
42
Konsequenzen der konstanten Lichtgeschwindigkeit : Zeit-Dilatation
betrachte eine Licht-Uhr
Licht Uhr :
Die Lichtuhr
Di
Li ht h besteht
b t ht aus zweii Spiegeln,
S i l deren
d
Abstand je eine halbe Lichtsekunde entfernt ist. Ein Licht-Puls wird am unteren
Spiegel losgeschickt. Wenn er wieder zurückkehrt ist eine Sekunde vergangen Ö
durch Zählen der Impulse
p
bei der Rückkehr hat man eine Uhr ggebaut.
h
Die Lichtuhr fährt nun in einem mit der großen Geschwindigkeit v bewegten Zug.
Sie wird einerseits beobachtet vom im Zug befindlichen bewegten Beobachter und
andrerseits vom außerhalb des Zugs befindlichen ruhenden Beobachter. Für den
Beobachter im Zug hat sich nichts geändert. Für den Beobachter außerhalb
scheint sich der Weg, den das Licht zurücklegt, geändert zu haben (siehe unten).
t=1
v
L
Lichtweg für ruhenden Beobachter :
h
L2 = h 2 + Δs 2
Δs
t=0
v
t=2
v
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph12/grundwissen/07zeitdilatation/zeitdilatation.htm
43
da die Lichtgeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen gleich ist, muss gelten :
h = c tB
; L = c tR
; Δs = v t R
mit den Zeiten tB, tR im ruhenden bzw. bewegten Bezugssystem
Ö Einsetzen in L2 = h2 + Δs2 liefert :
nach Umstellen folgt :
tR
=
tB
c t =c t +v t
2
1
2
v
1− 2
c
2
R
= γ
2
2
B
2
2
R
ZeitZeit
Dilatation
d.h. der bewegte Beobachter erfährt die Zeit um den Faktor γ modifiziert
Ö für v << c ergibt sich (wie erwartet) tB ≈ tR
für v → c ergibt sich tB << tR
(d.h. die Zeit für den bewegten Beobachter scheint stark verkürzt)
44
Beispiel : (1) Hafele/Keating-Experiment (1971)
synchronisiert man zwei Atom-Uhren, nimmt dann eine der beiden Uhren in einem schnellen
Flugzeug (Concorde) mit zu einer Erdumrundung, so stellt man fest, dass diese nachgeht um eine
kleine Zeitspanne; die bewegte Uhr geht langsamer (Zeit erscheint verkürzt)
Ö gemessene Zeitdifferenz lag in der Größenordnung von einigen 10 ns = 10-8 s
bei einer Gesamtflugdauer von einigen 10 Std. (pro Umrundung)
Ö hohe Messgenauigkeit mit Auflösung von Δt/t = 10-13 nötig !
45
Beispiel : (2) Zerfall von schnellen instabilen Elementarteilchen mit v → c
Konzept : instabile Elementarteilchen zerfallen innerhalb einer bekannten typischen
Zerfallszeit (gemessen an ruhenden Teilchen); im Bezugssystem eines schnellen,
instabilen Elementarteilchens (z.B. eines Myons) läuft die Zeit langsamer Ö weniger
Zerfallsprozesse
p
Ö die Lebensdauer des Teilchens scheint verlängert
g
Experiment : Durch die Höhenstrahlung (schnelle Protonen und Elektronen aus dem
Weltall)) werden in der oberen Erdatmosphäre
p
bei Stößen mit den Atomkernen der
Luftmoleküle Myonen erzeugt, die fast Lichtgeschwindigkeit haben
ruhende Myonen (in Ruhe) zerfallen innerhalb einer Halbwertszeit von τ = 5 µs
in ein Elektron und zwei Neutrinos :
μ → e + νe +ν µ
−
−
im Experiment wird der Zerfall von schnellen Myonen aus Höhe in der
Erdatmosphäre beobachtet; man findet eine wesentlich höhere Lebensdauer von
ca. τ ‘ = 45 µs Ö aus γ = τ‘/τ = 9 folgt die Geschwindigkeit v = 0.994 c
46
Beispiel : (3) Das Zwillings-Paradoxon
Zwilling 1 bleibt auf der Erde,
Zwilling 2 fliegt mit v = 0,8
0 8 c nach
Alpha Centauri (4 Lichtjahre) und zurück !
Reisedauer von Zwilling 1 : 10 Jahre
Reisedauer von Zwilling 2 : 6 Jahre
Ö Zwilling 2 wäre jünger als Zwilling 1
aber : aus Sicht von Zwilling 2 bewegt
sich Zwillingg 1 mit v = 0,8
, c;;
Ö Zwilling 1 wäre jünger als Zwilling 2
0 Paradoxon 0
Auflösung : Die Situation ist nicht symmetrisch (Beschleunigung bei
Bewegungsumkehr) Ö man muss die Situation aus der Sicht des zurück
47
bleibenden Zwillings 1 (ruhend) betrachten
Längenkontraktion
R
L
B
v
betrachte einen bewegten Beobachter, der an einer Strecke L vorbeifährt :
(1) wie bereits diskutiert, erscheint die Zeit für den bewegten Beobachter um
den Faktor γ verkürzt gegenüber der Zeit eines ruhenden Beobachters
(2) jede
j d Längenmessung
Lä
k
kann
zurückgeführt
ü k füh t werden
d auff eine
i Zeitmessung
Z it
z.B. die Laufzeit t eines Lichtpulses über die Länge L
(die Beobachter können z.B. messen, wie lange
g es dauert,
L=ct
bis ein Lichtpuls vom Anfang zum Endpunkt der Strecke L läuft)
Ö da die Zeit für den bewegten Beobachter um den Faktor γ verkürzt ist,
erscheint auch die gemessene Länge um den Faktor γ verkürzt
48