Nichtlineare Widerstände

Nichtlineare Widerstände
2.Übung am 31 März 2006
Methoden der Physik 2
SS2006
Prof. Wladyslaw Szymanski
Tobias Krieger
Elisabeth Seibold
Nathalie Tassotti
1. Bestimmung des Innenwiderstands einer
Spannungsquellen
Eine ideale Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand von Null Ohm. Der Stromfluss
einer idealen Spannungsquelle ist unabhängig vom Stromfluss Iaus zum angeschlossenen
Verbraucher.
Es zeigt sich jedoch dass reelle Spannungsquellen wie Batterien einen Innenwiderstand
RI besitzen. Dieser bildet sich bei Primärelementen hauptsächlich aus dem Zustand des
Elektrolyten (chemisch-galvanische Widerstände). Nimmt die Konzentration im Laufe
der Betriebsdauer ab, das heißt bei zunehmender Entladung, wird der Innenwiderstand
größer und der zu entnehmende maximale Spannungswert kleiner. Dieser
Innenwiderstand begrenzt auch den maximalen Kurzschlussstrom. Der Strom ergibt sich
laut ohmschen Gesetzes durch
I Kurz =
U quelle
Ri
was wiederum bedeutet, dass wenn Ri gegen Null geht, der Strom gegen Unendlich steigt.
Zum Glück passiert dass äußerst selten.
Wir können uns eine Batterie als eine Serienschaltung von idealen Spannungsquellen mit
einem Widerstand vorstellen. Wird nun die Batterie über einen geschlossen Stromkreis
durch eine Last (Verbraucher, Widerstand) belastet, so fließt ein Strom IL. Der
Lastwiderstand bekommt nicht die volle Quellenspannung geliefert, da bereits ein Teil
am Innenwiderstand der Batterie abfällt. Es ergibt sich daraus dass die Klemmspannung
an einer Spannungsquelle sich folgendermaßen zusammensetzt
U Klemme = UQuelle ! U Abfall _ Ri
Der innere Spannungsabfall UAbfall_Ri ergibt sich wieder aus dem ohmschen Gesetz
U Abfall _ Ri = I L Ri
und daraus ergibt sich das die Klemmspannung gleich
U Klemme = UQuelle ! U Abfall _ Ri = UQuelle ! I L Ri
ist. Daraus können wir folgern, dass die Klemmspannung an der eine beliebige Last liegt,
mit steigendem Strom zurückgeht. Ist der Strom sehr hoch, so bricht die Klemmspannung
zusammen.
Liegt an der Spannungsquelle keine Last an, bzw. ist der Lastwiderstand (beinahe)
unendlich hoch, so bezeichnet man die Quellspannung auch als Leerlaufspannung. Ein
gutes Voltmeter besitzt einen sehr hohen Widerstand, so dass fast kein Strom fließt. Wir
können die dann gemessene Spannung als Leerlaufspannung annehmen.
Laut der Maschenregel von Kirchhoff gilt dass in einem geschlossen Stromkreis entlang
einer Masche, die Summe der Spannungen gleich Null ist.
I last Rinnen + I last Rlast ! Uleer = 0
1.1 Versuchsaufbau
Wie wollen den Innenwiderstand einer Spannungsquelle, in unserem Fall einer Batterie,
bestimmen. Bei unserem Versuch stehen uns eine Batterie, zwei Multimeter und ein
veränderbarer Lastwiderstand zur Verfügung. Das eine Multimeter wird als Amperemeter
in Serie in den Stromkreis geschalten, das zweite Multimeter wird als Voltmeter parallel
zur Spannungsquelle und zum Lastwiderstand gehängt. Über das Amperemeter wird der
jeweilige Laststrom gemessen, das Voltmeter gibt uns die aktuelle Klemmspannung
wieder.
In einer Reihe von Messungen (25 Wertepaare) messen wir bei verschieden
Lastwiderständen die Klemmspannung und den Laststrom. Am Anfang und Ende der
Messung messen wir zusätzlich die Quellspannung. Die Batterie wird im Laufe des
Versuches belastet, wodurch die Quellspannung im Laufe der Messreihe sinkt.
Der Versuch beginnt mit dem höchsten Widerstandswert des Lastwiderstandes und wird
kontinuierlich verringert. Zu Anfang fließt ein entsprechend kleiner Strom (bei einer
hohen Klemmspannung) der bei sinkendem Widerstand entsprechend ansteigt (bei
zurückgehender Klemmspannung). Anhand der dadurch ermittelten Wertetabelle wird
der Innenwiderstand bei unterschiedlichen Belastungen ermittelt. Die Daten werden
außerdem grafisch ausgewertet.
Uq_anfang= 8,48 Volt
Uq_ende = 7,92 Volt
RL_max = 119,9 Ohm
Rl_min = < 1 Ohm
1.2 Messergebnisse - Innenwiderstand Batterie
Messung
UK[V]
I[A]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
8,39
8,37
8,36
8,34
8,33
8,31
8,29
8,27
8,23
8,21
8,20
8,18
8,16
8,10
8,04
8,01
7,96
7,91
7,83
7,69
7,50
6,78
6,30
4,61
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,23
0,26
0,27
0,30
0,33
0,40
0,51
0,65
1,29
1,69
2,09
25
4,53
2,76
Anhand der Gegenüberstellung von Klemmspannung und Strom können wir bereits
erkennen, dass sich Strom und Spannung am Schluss der Messung nicht linear ändern.
Eine grafische Auswertung weist eine entsprechende stark abfallende bzw. ansteigende
Kurve auf.
Wir gehen bei unserem Versuch davon aus, dass der verstellbare Lastwiderstand linear
vom maximalen bis zum minimalen Wert einstellbar ist.
1.3 Messauswertung
Anhand der Daten der Messreihe lässt sich mit Hilfe des ohmschen Gesetzes leicht der
Gesamtwiderstand des Stromkreises ermitteln:
Rg =
UK
Il
Es ergeben sich folgende Werte:
I[A]
RG[Ohm]
8,39
8,37
8,36
8,34
8,33
8,31
8,29
8,27
8,23
8,21
8,20
8,18
8,16
8,10
8,04
8,01
7,96
7,91
7,83
7,69
7,50
6,78
6,30
4,61
4,53
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,23
0,26
0,27
0,30
0,33
0,40
0,51
0,65
1,29
1,69
2,09
2,76
209,75
167,40
139,33
119,14
104,13
92,33
75,36
68,92
58,79
54,73
51,25
48,12
45,33
35,22
30,92
29,67
26,53
23,97
19,58
15,08
11,54
5,26
3,73
2,21
1,64
Gesamtwiderstand
250,00
200,00
Widerstand
UK[V]
150,00
100,00
50,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Messung
U-R-I
9,00
250,00
8,00
200,00
7,00
6,00
150,00
5,00
4,00
100,00
3,00
2,00
50,00
1,00
0,00
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Messung
Der Gesamtwiderstand fällt leicht exponentiell ab. Dies entspricht dem Verlauf von
Strom und Spannung.
UK[V]
I[A]
RG[Ohm]
Zur Berechnung des Innenwiderstands der Batterie nehmen wir den Mittelwert der
gemessenen Quellspannungen.
U qm =
Ua + Ue
2
daraus folgt das die mittlere Spannung
U qm =
8, 48 + 7, 92
= 8, 2V
2
ist. Wir verwenden zur Bestimmung des Innenwiderstandes die bereits oben gezeigte
Formel
U Klemme = UQuelle ! U Abfall _ Ri = UQuelle ! I L Ri
! Ri =
I[A]
Ri[Ohm]
8,39
8,37
8,36
8,34
8,33
8,31
8,29
8,27
8,23
8,21
8,20
8,18
8,16
8,10
8,04
8,01
7,96
7,91
7,83
7,69
7,50
6,78
6,30
4,61
4,53
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,23
0,26
0,27
0,30
0,33
0,40
0,51
0,65
1,29
1,69
2,09
2,76
4,75
3,40
2,67
2,00
1,63
1,22
0,82
0,58
0,21
0,07
0,00
0,12
0,22
0,43
0,62
0,70
0,80
0,88
0,92
1,00
1,08
1,10
1,12
1,72
1,33
"I l
Verlauf Innenwiderstand
5,00
4,50
4,00
Innenwiderstand Ri
UK[V]
U k " U qm
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Wir gehen bei dieser Messreihe von einem festen Uqm = 8,2 V aus. Die reelle
Quellspannung ändert sich jedoch mit jeder Messung. Der Mittelwert unseres
Innenwiderstandes beträgt Rim= 1,18 Ohm. Daraus können wir eine
Standartabweichung σ von 1,068 Ohm bestimmen.
Nehmen wir zur Berechnung des Innenwiderstands nur den letzten Wert, da hier der
kleinste Lastwiderstand (<1 Ohm) verwendet wurde, ergibt sich ein Innenwiderstand in
Höhe von Ri= 1,5 Ohm.
Wie bereits festgestellt, nimmt die Quellspannung im Verlaufe des Versuches ab.
Berücksichtigen wir diesen Rückgang (anhand einer Exponentialfunktion) zeigt sich
folgendes Bild vom Innenwiderstand.
UK[V]
I[A]
Uq[V]
Ri[Ohm]
8,39
8,37
8,36
8,34
8,33
8,31
8,29
8,27
8,23
8,21
8,20
8,18
8,16
8,10
8,04
8,01
7,96
7,91
7,83
7,69
7,50
6,78
6,30
4,61
4,53
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,11
0,12
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,23
0,26
0,27
0,30
0,33
0,40
0,51
0,65
1,29
1,69
2,09
2,76
8,48
8,48
8,47
8,47
8,46
8,44
8,42
8,40
8,38
8,36
8,34
8,32
8,30
8,28
8,25
8,23
8,20
8,17
8,13
8,10
8,07
8,03
8,00
7,96
7,92
2,25
2,12
1,87
1,84
1,68
1,50
1,22
1,12
1,09
1,01
0,88
0,82
0,76
0,76
0,82
0,82
0,79
0,78
0,76
0,80
0,87
0,97
1,00
1,60
1,23
Nehmen wir die abnehmende Quellspannung als Basis zur Berechnung des
Innenwiderstandes der Batterie ergibt sich für den Mittelwert Rim=1,18 Ohm. Die
Standartabweichung beträgt jetzt nur mehr σ = 0,46 Ohm.
1.4 Diskussion - Innenwiderstand einer Batterie
Wir sehen bei all unseren Diagrammen dass es bei Messung 24 einen deutlichen
Ausreißer nach oben gibt. Wir nehmen an, dass dieser Ausreißer aufgrund eines
schlechten Kontaktes im verstellbaren Lastwiderstand zustande kam. Dieser schlechte
Kontakt bewirkte höchstwahrscheinlich eine Überbrückung des Widerstandes wodurch
die Batterie tatsächlich kurzzeitig kurzgeschlossen war. Ideal wäre ein Vertauschen der
Messergebnisse 24 und 25.
Einen wesentlichen Einfluss auf unsere Messwerte hat sicherlich die Tatsache, dass wir
an diesem Tag die letzte Versuchsgruppe mit der gleichen Spannungsquelle waren. Diese
war am Ende des Tages schon einigermaßen belastet, wodurch keine schönen Kennlinien
erzielbar waren.
Der Kurvenverlauf unseres Innenwiderstandes liegt der Gegebenheit zugrunde, dass wir
es ja nicht mit einer idealen Spannungsquelle zu tun haben, sondern mit einer reellen
Batterie. Nimmt zu Anfang bis ca. Messung 14 der Innenwiderstand relativ schön linear
ab, steigt er dann wieder kontinuierlich an. Je entleerter die Batterie wird, desto höher
wird der Innenwiderstand. Auch haben wir einen relativ hohen Innenwiderstand von ca.
1,2 Ohm. Auch das lässt sich aufgrund des bereits verbrauchten Zustandes der Batterie
zum Zeitpunkt der Messung erklären. Der Innenwiderstand einer Batterie steigt mit dem
Ausgleich der Ladungen. Er hat keinen linearen Verlauf.
2 Bestimmung des Innenwiderstandes einer Glühlampe
Alle Formeln die wir zur Festlegen des Innenwiderstandes benötigen, wurden in
verwandter Form bereits im Kapitel 1 „Innenwiderstand von Spannungsquellen“ näher
besprochen.
Eine Glühlampe gehört bei elektrischen Bauteilen in die Gruppe der Verbraucher und
stellt einen Widerstand dar, bei dem der fließende Strom in Wärme umgewandelt wird
und über Wärmestrahlung indirekt Licht in unseren Alltag bringt. In ihr wird ein dünner
Draht aus einer Legierung von Wolfram mit Osmium vom Strom zum Weißglühen
gebracht. Damit der Draht nicht verbrennt, befindet er sich in einem Glaskolben, aus dem
die Luft mit ihrem Sauerstoff entfernt würde und der dafür mit Stickstoff, Argon oder
Krypton gefüllt ist. Da die Lichtausbeute mit zunehmender Temperatur ansteigt, hat man
den Draht zur Verminderung des Wärmeverlustes gewendelt. Auch die Füllung mit den
teuren Edelgasen dient demselben Zweck, da sie, besonders Krypton, eine sehr kleine
Wärmeleitfähigkeit besitzen.
Der Glühfaden in der Lampe setzt dem Strom einen gewissen Widerstand entgegen,
deshalb wird er auch als Widerstand bezeichnet.
Es gibt verschiedenartige Widerstände. Lineare- und Nichtlineare Widerstände. Lineare
Widerstände kennzeichnen sich dadurch, dass ihr Widerstandswert immer konstant bleibt
(temperaturunabhängig). Nichtlineare Widerstände ändern ihren Widerstandswert bei
Einfluss verschiedener physikalischer Größen.
Bei PTC (Positiver Temperatur Coeffizient) nimmt der Widerstand bei steigender
Temperatur zu. Man nennt ihn deshalb auch Kaltleiter. Je höher die Temperatur eines
Stoffes, desto heftiger bewegen sich die Moleküle. Für die Elektronen, die zur
Leitfähigkeit beitragen, ist es schwieriger durchzukommen. Zu den Kaltleitern gehören
alle Metalle, also auch der Wolframfaden aus unserer Glühlampe.
2.1 Versuchsaufbau
Eine Batterie wird in Serie mit einem verstellbaren Lastwiderstand und einer Glühlampe
geschalten. Zur Messung von Strom und Spannung kommen zwei Multimeter zum
Einsatz. Das eine ist als Voltmeter geschalten und parallel zur Spannungsquelle und
damit zur Glühlampe geschalten, dass andere dient als Amperemeter und ist in Serie in
den Stromkreis gehängt.
Die Stärke des fließenden Stromes und die anliegende Spannung werden bei verändertem
Lastwiderstand aufgezeichnet. Mit Hilfe des ohmschen Gesetzes wird der Widerstand der
Glühlampe berechnet. Dabei wird der Innenwiderstand der Batterie vernachlässigt. Der
Lastwiderstand ist am Beginn der Messung auf den höchsten Widerstandswert gestellt
und wird im Laufe der Messung kontinuierlich herab gesetzt. Wir erwarten, dass sobald
der Widerstand des Lastwiderstandes klein genug ist, der Glühfaden anfängt zu glühen.
Je wärmer die Lampe wird, desto stärker wird der Innenwiderstand ansteigen.
Uq_anfang =11,45V
Uq_ende =10,15V
Rl_max =14,7 Ohm; Rl_min =2,2 Ohm
2.2 Messwerte – Innenwiderstand einer Glühlampe
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
UK[V]
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,17
0,19
0,20
0,24
0,28
0,31
0,37
0,42
0,54
1,00
1,52
1,84
1,93
2,62
3,13
I[A]
0,46
0,49
0,56
0,61
0,67
0,71
0,76
0,82
0,91
0,95
1,02
1,12
1,16
1,13
1,39
1,46
1,55
1,65
1,79
2,14
2,51
2,73
2,80
3,23
3,53
2.3 Messauswertung
Durch laufendes herabsetzen des Lastwiderstandes steigt die Klemmspannung immer
weiter an. Gleichzeitig kann ein höherer Strom fließen. Die Glühwendel wird erwärmt
und beginnt zu leuchten. Durch den Temperaturanstieg steigt aber auch der
Widerstandswert des Fadens.
Den Innenwiderstand der Glühlampe berechnen wir mit dem ohmschen Gesetz.
UK[V]
I[A]
RG[Ohm]
0,07
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,17
0,46
0,49
0,56
0,61
0,67
0,71
0,76
0,82
0,91
0,95
1,02
0,14
0,14
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,16
0,16
0,16
0,16
0,19
0,20
0,24
0,28
0,31
0,37
0,42
0,54
1,00
1,52
1,84
1,93
2,62
1,12
1,16
1,13
1,39
1,46
1,55
1,65
1,79
2,14
2,51
2,73
2,80
3,23
0,17
0,17
0,22
0,20
0,21
0,24
0,26
0,30
0,47
0,60
0,67
0,69
0,81
3,13
3,53
0,89
Wir können schön sehen wie ab Messpunkt 19 die Widerstandskurve stark ansteigt. Ab
Punkt 21 glüht der Glühdraht. Dies entspricht unseren Erwartungen in Bezug auf die
Widerstandskurve eines Leiters mit positiven Temperaturkoeffizienten. Der Anstieg ist
nicht linear.
2.4 Diskussion – Innenwiderstand einer Glühlampe
Leider war die Batterie die wir für unsere Messung verwendeten nicht mehr die
frischeste, sonst hätten wir noch klarere Kennlinien erzeugen können. Doch auch so ist
uns eine gute Reproduktion der Theorie in Praxis gelungen.
Die Diagramme zeigen, dass es sich bei dieser Lampe um einen nichtlinearen Widerstand
handelt. Die Kurve der Funktion I = f(U) der Glühlampe lässt einen PTC - Charakter
erkennen. Wenn der Strom bei der Glühlampe steigt, dann steigt auch der Widerstand.
Die Kurve verläuft nicht linear, sondern parabelförmig.
Aufgrund der vorhergegangenen Belastung der Batterie kann diese leider keine dauernd
gleiche Quellspannung abgeben. Dies kann bei starken Belastungen zu einem, wie schon
im Kapitel 1.1 erwähnt, Zusammenbruch der Spannung bei hohen Strömen führen.
3. Fazit
Bei allen Messungen des Innenwiderstandes gibt es natürlich den Messfehler. Obwohl die
digitalen Messgeräte heutzutage sehr genau messen, gibt es einen kleinen
Rundungsfehler. Trotz der guten Kalibrierung ist es oft schwer einen spezifischen Wert
abzulesen, vor allem wenn die Anzeige in der zweiten Komastelle auf und ab springt.
Trotzdem sind wir der Meinung, dass die entstandenen Messfehler kaum Einfluss auf
unsere Ergebnisse haben.
Die von uns erarbeiteten Kurven widerspiegeln die Theorie und sind sehr anschaulich.
Auch die Ausreißer sind innerhalb der Toleranz (und bestätigen die Regel). Teilweise
sollten vielleicht die einstellbaren Widerstände ausgetauscht werden da diese schon den
ein- oder anderen Wackelkontakt haben.