zur Lösung - HFT Stuttgart

SS 2012
HFT Stuttgart
Studienbereich Mathematik
Mathematische Preisaufgabe
Ein Quadrat kann zum Beispiel in 8 oder 9 kleinere Quadrate zerlegt werden
(die nicht alle gleich groß sein müssen):
Für welche anderen Zahlen ist dies ebenfalls möglich?
Lösung
Das gegebene Quadrat soll die Seitenlänge 1 besitzen.
1) Es gibt natürlich eine Lösung für n = 4:
2) Wenn eine Lösung mit n Quadraten existiert, dann gibt es auch eine mit n + 3
Quadraten. Man kann ja ein vorhandenes Quadrat durch vier neue Quadrate ersetzen,
indem man es wie in 1) unterteilt.
3) Ist n = 2m gerade (mit m ≥ 2), so kann man (analog zum angegebenen Beispiel für
n = 8) eine Zerlegung finden, die aus 2m − 1 kleinen Quadraten mit Seitenlänge 1/m
und einem großen Quadrat mit Seitenlänge 1 − 1/m besteht.
4) Mit 3) erhält man Lösungen für n = 4, 6, 8, und mit 2) ergibt sich daraus, dass
Lösungen für n = 4 und alle n ≥ 6 existieren.
Allerdings sind wir damit noch nicht fertig; wir müssen noch zeigen, dass für n = 2, 3, 5
keine Lösungen existieren.
Dazu überlegt man sich zunächst, dass in jeder Ecke des gegebenen Quadrats ein Teilquadrat liegen muss (im folgenden Ecken-Quadrat genannt). Diese Ecken-Quadrate
müssen alle verschieden sein. Daher gibt es keine Lösung für n < 4.
Es bleibt also noch der Fall n = 5 zu untersuchen. Hier muss es (zusätzlich zu den vier
Ecken-Quadraten) noch ein weiteres Quadrat geben, das entweder im Innern oder am
Rand des Ausgangsquadrats liegt. In jedem Fall gibt es drei Seiten des ursprünglichen
Quadrats, die nur von Ecken-Quadraten berührt werden. Diese Situation können wir
folgendermaßen skizzieren:
a
b
b
a
a
b
Es gibt hier also zwei Ecken-Quadrate mit Seitenlänge a und zwei mit Seitenlänge b,
wobei a + b = 1 gilt.
Wenn man diese Ecken-Quadrate vollständig einzeichnet, sieht man sofort, dass weder
entlang der vierten Seite noch im Innern Platz für ein fünftes Quadrat ist. Formal kann
man das so bestätigen:
Die Summe der Flächeninhalte der vier Ecken-Quadrate ist 2(a2 + b2 ). Damit ergibt
sich
2(a2 + b2 ) − 1 = 2(a2 + b2 ) − (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 ≥ 0 ,
also gilt 2(a2 + b2 ) ≥ 1. Damit ist kein fünftes Quadrat möglich.
Prof. Dr. J. Fischer / 20.06.2012
e-mail: [email protected]
2