Licht und Materie¨Ubung II.4

Licht und Materie Übung II.4
Besprechungstermine Gruppa A,B 03.06, Gruppe C 05.06, Gruppe D 07.06
1 Transmission durch einen supraleitenden Film (B, 35 Punkte)
In Abbildung 1c,d) sehen Sie Absolutwert T und (normierte) Phase φ/ν der komplexwertigen Transmission T eiφ durch einen 5 nm dicken TaN-Film auf Saphirsubstrat im normal- und supraleitenden
Zustand.
a) (5 P) Finden Sie die kritische Temperatur Tc und Energielücke 2∆ in meV und GHz von Al,
MgB2 , Pb und Nb. Welches optische Experiment zur Untersuchung der Energielücke würden Sie
jeweils vorschlagen? Berechnen Sie das Verhältnis von Energielücke und kritischer Temperatur,
2∆/kB Tc und vergleichen Sie mit der Vorhersage nach der BCS Theorie.
b) (5 P) Der Absolutwert der Transmission durch einen (freistehenden, dünnen und metallischen)
Film ist näherungsweise (im cgs-System)
T =
2πσ0 d
1+
c
−2
(1)
mit der Gleichstromleitfähigkeit σ0 und der Filmdicke d. Formulieren Sie diese Gleichung in
SI Einheiten und berechnen Sie die Transmission durch den hier betrachteten TaN Film mit
σ0 = 4.6 × 103 Ω−1 cm−1 und d = 5 nm. Vergleichen Sie mit den Messdaten in normalleitenden
Zustand. Warum stimmt der berechnete Wert nur für bestimmte Frequenzen? Ist die Gleichung
auf für den supraleitenden Zustand anwendbar?
c) (15 P) Schätzen Sie ab: die supraleitende Energielücke, die Streurate des TaN, 1 und 2 des
Saphirsubstrats (Dicke d =330 µm).
d) (10) Die Position der Peaks wird maßgeblich durch 1 das Substrat bestimmt. Zu niedrigen
Frequenzen hin schieben die Peakfrequenzen immer weiter auseinander vergleicht man normalund supraleitenden Zustand. Was können Sie daraus für 1 des TaN Films folgern? Welche
Abhängigkeit von der Frequenz würden Sie erwarten? (Hinweis: In der Vorlesung haben Sie
gelernt, wie σ2 von der Frequenz abhängt.)
1
Figure 1: Absolutwert (c) und Phase (d) der komplexwertigen Transmission durch einen TaN-Film
auf Saphirsubstrat im normal- und supraleitenden Zustand.
2 Zustandsdichte und Energielücke eines Supraleiters (B, 30 Punkte)
Die zentrale Gleichung der BCS Theorie für Supraleiter ist die sog. Selbstkonsistenzgleichung,
die die Temperaturabhängigkeit der Energielücke ∆ beschreibt. Eine mögliche Darstellung lautet1
(h̄ = 1)
∞ X
Tc
∆
∆ln = 2πkB T
− sin θ(ωn )
(2)
T
ωn
n=0
wobei ωn = (2n + 1)πkB T, n ∈ N die sog. Matsubara-Frequenzen sind und θ(ωn ) durch die Usadel
Gleichung zu bestimmen ist
∆ cos θ(ωn ) − ωn sin θ(ωn ) = 0
(3)
a) (20 P) Berechnen Sie ∆(T )2 . Entnehmen Sie ihrem Graphen das universelle Verhältnis ∆(T →0)/kB Tc ?
Wie tief müssen Sie ein Stück Aluminium abkühlen, um sicher zugehen, dass die Energielücke
zu 99% geöffnet ist?
b) (10 P) Zahlreiche Größen von Supraleitern können mithilfe der Usadel Gleichung hergeleitet
werden, so zum Beispiel die Zustandsdichte N als Funktion der Energie E
N = N0 < cos θ(ωn )
(4)
wobei hier ωn → −iE gilt und N0 die Zustandsdichte im normalleitenden Zustand ist. Zeichnen
Sie die Zustandsdichte und skizzieren Sie die Besetzung für verschiedene Temperaturen unterhalb
von Tc und vergleichen Sie zum normalleitenden Zustand.
1
siehe P. C. J. J. Coumou et al. Phys. Rev. B 88, 180505(R)
Um die Selbstkonsistenzgleichung zu lösen, veranschaulichen Sie sich die Usadel Gleichung und θ geometrisch
in einem Dreieck. Finden Sie so einen Ausdruck für die Green’ sche Funktion sin θ, der nur noch von ωn und ∆
abhängt. Lösen Sie dann die Selbstkonsistenzgleichung numerisch, indem Sie Tc = 1 setzen und die Summation
geeignet abbrechen.
2
2
3 Optische Leitfähigkeit eines Supraleiters (M, 30 Punkte )
In der Vorlesung haben Sie die optische Leitfähigkeit eines supraleitenden Materials unterhalb seiner
kritischen Temperatur Tc kennen gelernt, wie sie im Rahmen der BCS Theorie (mithilfe der Usadel
Gleichung) hergeleitet werden kann. In dieser Aufgabe sollen Sie zunächst die London Gleichungen
herleiten, die die erste phänomenolgische Beschreibung der Supraleitung ermöglichten und konkrete
Aussagen über σ2 (ω) erlauben. In Aufgabenteil (c) sollen Sie die Vorhersage für σ1 (ω) im Rahmen
der quantenmechanischen BCS Theorie interpretieren.
a) (5 P) Nehmen Sie zur Herleitung der London Gleichungen an, dass sich die Gesamtheit der
Ladungsträger (bei endlichen Temperaturen) in eine normalleitende Komponente nn und eine
supraleitende Komponente ns aufteilt. Berechnen Sie ausgehend von der Drude-DGL die 1.
London Gleichung für die supraleitende Komponente
∂js (ω, t)
ns e2
=
E(ω, t)
∂t
m
(5)
indem Sie eine verschwindende Dämpfung annehmen. Berechnen Sie ausgehend von diesem
Resultat die 2. London Gleichung
∇ × js (ω, t) = −
ns e2
B(ω, t)
mc
(6)
b) (10 P) Für σ2 (ω) findet man, wie Sie bereits in früheren Aufgaben gesehen haben, ein ausgeprägtes 1/ω Verhalten. Leiten Sie dieses Verhalten ausgehend von der 1. London Gleichung
her, indem Sie eine harmonische Anregung E(ω, t) annehmen und Ihr Ergebnis als ein Ohm’
sches Gesetz interpretieren.
c) (15 P) Mithilfe der quantenmechanischen BCS Theorie gilt für den Realteil der optischen
Leitfähigkeit eines Supraleiters3 (h̄ = 1)
σ1 (ω)
σ0
=
−Ω
Z g
1
ω
dE g1 (E, E + ω) tanh
Ωg −ω
Z∞
+
1
ω
ω+E
2kB T
ω+E
E
dE g1 (E, E + ω) tanh
− tanh
2kB T
2kB T
(7)
(8)
Ωg
mit Ωg ≈ 2∆(T ) der supraleitenden Energielücke und g1 der sogenannten Kohärenzfunktion
)
)
(
(
E+ω
∆
E
∆
< p
< p
g1 (E, E+ω) = < √
+< √
E 2 − ∆2
E 2 − ∆2
(E + ω)2 − ∆2
(E + ω)2 − ∆2
(9)
Betrachten Sie zunächst den Fall T = 0. Unter welchen Bedingungen liefern die Integrale einen
endlichen Beitrag zur Leitfähigkeit? Überlegen Sie sich anhand der Integrationsgrenzen und
dem Verlauf von g1 , welches Integral welchen Absorptionsmechanismus beschreibt. Zeichnen
Sie die verschiedenen Übergänge in ein Zustandsdichtediagramm ein. Zeichnen sie den Verlauf
von σ1 (ω) schematisch für T = 0 im Bereich 0 < ω < 4∆(T = 0). Welche Wechselwirkung
zwischen Ladungsträgern und Photonen führt zu Dissipation? Ergänzen Sie Ihre Zeichnung
durch den Verlauf bei T = 1/2Tc und 9/10Tc .
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siehe S. B. Nam Phys. Rev. 156, 470 (1967)
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