Schwache Dominanz • Man kann das Dominanzkonzept leicht

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Schwache Dominanz
• Man kann das Dominanzkonzept leicht abschwächen ...
... um schärfere Prognosen zu bekommen.
• Man kann unterstellen, dass die Spieler nicht nur
... keine strikt dominierten Strategien spielen ...
... sondern auch keine schwach dominierten
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Schwache Dominanz
x
y
z
a
0,0
0,5
3,2
b
2,1
0,0
4,0
• Es gibt kein strikt dominierten Strategien!
• Aber betrachte Strategie a von SP1:
– gegen alle Strategien von SP2 ist b mindestens gleich gut wie a
– und gegen x oder z ist b sogar strikt besser als a
• Wir sagen: “a ist schwach dominiert durch b”
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Definition Sei G ein Spiel in Normalform. Eine Strategie sbi ∈ Si heisst
schwach dominiert, wenn es eine andere Strategie si ∈ Si gibt, so dass
ui(b
si, s−i) ≤ ui(si, s−i)
für alle
s−i ∈ S−i
ui(b
si, s−i) < ui(si, s−i)
für mindestens ein
(1)
s−i ∈ S−i
(2)
Bemerkung: Analog zur wiederholten Elim. strikt dominierter Strategien ...
... können wir nun schwach dominierte Strategien eliminieren
– dies führt im allgemeinen zu einer stärkeren Einschränkung der möglichen
Spielausgänge
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Wiederholte Eliminierung schwach dominierter Strategien
x
y
z
a
0,0
0,5
3,2
b
2,1
0,0
4, 0
c
–1, –1
2,0
1,3
Runde 1: a ist schwach dominiert durch b
Runde 2: y ist schwach dominert durch z
Runde 3: c ist strikt dominiert durch b
Runde 4: x ist strikt dominiert durch z
Also: (b, z) ist schwache Dominanzlösung
Beachte: Alle Strategien überleben Wdh. El. strikt dom. St.
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Schwache Dominanz und Rationalität
x
y
a
2,0
2,0
b
0,3
0,1
• b is strikt dominiert durch a,
y schwach dominiert durch x
• Also wird SP1 a spielen
– dann ist SP2 aber indifferent zwischen x und y
– er könnte also auch seine schwach dominierte Strategie spielen
• Rationalität allein impliziert also streng genommen nicht ...
... dass keine schwach dominierten Strategien gespielt werden
• Schwache Dominanz ist eher Plausibilitätskriterium
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Zweitpreisauktion
• Die Zweitpreisauktion ist ein oft verwendetes Auktionsverfahren
– z.B. eBay verwendet eine Version einer Zweitpreisauktion
• Auktionsregel:
– Das höchstes Gebot gewinnt
– Der Gewinner zahlt das zweithöchste Gebot
• Zweitpreisauktion ist schwach dominanzlösbar!
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Zweitpreisauktion
• Es gibt ein Auktionsobjekt und n Spieler (Bieter)
• Die Bewertung des Objektes von SPi sei vi > 0
• Jeder SP kann ein (nicht negatives)Gebot abgeben: Si = [0, ∞)
• Falls si > sj für alle j 6= i, dann
ui(si, s−i) = vi − max{si, . . . , si−1, si+1, . . . , sn}
Falls si > sj für ein j 6= i, dann: ui(si, s−i) = 0
Falls si = sj für ein j 6= i, dann entscheidet Los
• Bsp: n = 2, s1 = 3, s2 = 5. SP2 gewinnt und u2 = v2 − 3.
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Zweitpreisauktion
Behauptung: Bieten der eigenen Wertschätzung ist schwach dominante Strategie, d.h.:
Jede Strategie si 6= vi ist schwach dominiert durch die Strategie s∗i = vi.
Vorteil der Zweitpreisauktion: Einfach zu spielen
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KAP 3. Nash-Gleichgewicht
• Dominanz beschreibt, was rationale Spieler (nicht) tun, wenn ...
- ... sie überlegen, was Gegenspieler (nicht) tun
• i.d.S. erfasst Dominanz den Kern strategischen Denkens
- Spieler nutzen ihr Wissen über ihre Gegenspieler ...
- ... um deren Verhalten zu prognostizieren
• Man sagt: Dominanz ist ein deduktives Lösungskonzept
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• Dominanz ist allerdings ungeeignet für gute Prognosen über reale soziale
Zusammenhänge, denn:
(a) zu geringe Vorhersagekraft: viele Strategien können überleben
(b) Spieler müssen um potentiell sehr viele Ecken denken können
- eher unrealistisch
• Auswege
(a) kann man Dominanz ein wenig verfeinern (“Rationalisierbarkeit”)
(b) ersetze deduktives durch steady-state Lösungskonzept
- welche Spielausgänge sind stabil ...
- ... insofern, als rationale Spielern nicht davon abweichen wollen?
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Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen
Anna
Otto
Kaffee
Kuchen
Kaffee
0,0
1,2
Kuchen
2,1
0,0
• Keine strikt dominierten Strategien!
• Angenommen, Anna und Otto treffen sich regelmässig
- es erscheint unplausibel, dass sie immer jeweils das gleiche mitbringen
• Man würde erwarten, dass sie sich auf Dauer “irgendwie einigen” ...
- ... darauf, dass der eine Kaffee, der andere Kuchen mitbringt
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Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen
Kaffee
Kuchen
Kaffee
Kuchen
0,0
2,1
1,2
0,0
• Sie könnten sich etwa darauf absprechen, dass
– Otto Kuchen und Anna Kaffee mitbringt
• Diese Absprache ist stabil, denn
wenn beide glauben, dass der andere sich daran hält,
will keiner davon abweichen
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Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen
Kaffee
Kuchen
Kaffee
Kuchen
0,0
2,1
1,2
0,0
• Wenn Anna glaubt, Otto bringt Kuchen, dann
– bekommt sie 1, wenn sie Kaffee bringt
– aber nur 0, wenn sie Kuchen bringt
• Analoges gilt für Otto
• Also will keiner von der Absprache (Kuchen, Kaffee) abweichen
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Anna und Otto treffen sich zu Kaffee und Kuchen
Kaffee
Kuchen
Kaffee
Kuchen
0,0
2,1
1,2
0,0
• Die Absprache (Kaffee, Kaffee) ist hingegen nicht stabil!
• Otto würde zu Kuchen abweichen wollen, denn
– wenn er glaubt, Anna bringt Kaffee
– dann bekommt er 2, wenn er Kuchen bringt
– aber nur 0, wenn er Kaffee bringt
• Entsprechend würde Anna zu Kuchen abweichen wollen
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Stabile soziale Konventionen
• Eine Verhaltensregel (oder soziale Konvention) ist stabil, wenn gilt:
– gegeben alle anderen Spieler halten sich daran ...
– ... so ist es für jeden Spieler individuell optimal, sich auch daran zu
halten
• Man sagt auch: ”selbstdurchsetzend” (self-enforcing)
• Soziale Konventionen, die nicht stabil sind ...
– ... werden sich “auf Dauer” nicht etablieren
– ... denn für einige Spieler ist es lohnend, davon abzuweichen
• Als systematische Prognose sollte ein Spielausgang stabil sein
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Stabile soziale Konventionen
• Formal ist eine soziale Konvention nichts anderes als ein Strategienprofil
s = (s1, ..., sn)
– wobei si die individuelle “Regel” für Spieler i ist
• Ein Strategienprofil, das stabil (self-enforcing) ist, wird nun als
Nash-Gleichgewicht definiert
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Definition Sei G eine Normalform. Das Strategienprofil s∗ = (s∗1 , ..., s∗n)
heisst Nash-Gleichgewicht von G, wenn für alle i gilt:
ui(s∗i , s∗−i) ≥ ui(si, s∗−i)
für alle
si ∈ Si
In Worten: Für jeden Spieler i gilt:
Wenn alle anderen s∗−i spielen, habe ich keinen Anreiz,
von s∗i zu einer anderen Strategie si abzuweichen
Nash-GG ist das wichtigste Konzept der Spieltheorie
– John Nash: Nobelpreis 1994
– Biografie: Sylvia Nasar - A beautiful mind (Film mit Russell Crowe)
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Anna und Otto treffen sich
Kaffee
Kuchen
Kaffee
Kuchen
0,0
2,1
1,2
0,0
• (Kaffee, Kuchen) ist N-GG, denn
uO (Kaffee, Kuchen) = 1 > 0 = uO (Kuchen, Kuchen)
uA(Kaffee, Kuchen) = 2 > 0 = uA(Kaffee, Kaffee)
• Genauso: (Kuchen, Kaffee) ist N-GG
• BEACHTE: N-GG ist definiert als ein Strategienprofil
– das Nutzenpaar (1,2) oder (2,1) ist KEIN N-GG