Die Herleitung der Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades

Die Lösungsformel für ganzrationale Gleichungen dritten Grades
In ganzrationalen Gleichungen dritten Grades kommt die Unbekannte in der dritten Potenz vor. Man kann
sie allgemein so schreiben:
ax³bx²cxd=0
bzw. nach Division durch a in der Normalform
b
c
d
x³ x² x =0
a
a
a
Indem man x durch y−
b
ersetzt (substituiert), verschwindet der quadratische Summand:
3a

b
3a
y−

3


b
b
y−
a
3a

2


c
b
y−
a
3a


d
=0
a
b
b²
b³
b
2 b²
b³ c
bc d
y³− y²
y−
 y²−
y
 y−
 =0
a
3 a²
27 a³ a
3 a²
9 a³ a
3 a² a
y³
b²
2 b²
c
b³
b³ bc d
y−
y y−

−
 =0
3 a²
3 a²
a
27 a³ 9 a³ 3 a² a

y³

b² 2 b² c
b³
b³
bc d
−
 y−

−
 =0
3 a² 3 a² a
27 a³ 9 a³ 3 a² a
y³ 
3 ac−b²
2 b³−9 abc27 a²d
y 
= 0
3 a²
27 a³
3 ac−b²
Nun setzt man der Übersicht zuliebe p :=
und
3 a²
und kann schreiben:
2 b3−9 abc27 a²d
q :=
27 a³
y³ + py + q = 0
Zerlegt man nun y in die Summe u + v, so gewinnt man
(u+v)³ + p(u+v) + q = 0
u³ + 3u²v + 3uv² + v³ + pu + pv + q = 0
Nach leichtem Umsortieren
u³ + v³ + q + pu + pv + 3u²v + 3uv² = 0
kann man die Möglichkeit dieser Faktorisierung erkennen:
u³ + v³ + q + (p + 3uv)(u + v) = 0
Nun sind die beiden Zahlen u und v noch nicht genau bestimmt, so daß man zusätzlich die Bedingung
–p = 3uv formulieren kann. (Es ist möglich, zu allen y und p passende u und v zu finden mit u+v=y und
–p = 3uv.)
Durch –p=3uv wird der Ausdruck (p + 3uv)(u + v) Null und es bleibt
u³ + v³ + q = 0
Zusammen mit –p=3uv haben wir nun ein Gleichungssystem mit den beiden Unbekannten u und v, das mit
einigen Tricks lösbar ist. Beide Gleichungen schreiben wir so, daß u und v links alleine stehen:
u³ + v³ = –q
p
uv = −
3
Wie werden wir mit den dritten Potenzen fertig?
Da uns nicht einfällt, wie wir sie wegbekommen (schließlich sind wir auf dem Weg zu einer Lösungsformel,
haben sie aber noch nicht), passen wir einfach die zweite Gleichung an und erheben sie in die dritte Potenz:
u³ + v³ = –q
p³
u³v³ = –
27
Nun fällt uns eine Verwandtschaft mit der ersten Binomischen Formel auf. Dort tauchen auch Variablen
einzeln und als doppeltes Produkt in der Mitte auf. Allerdings müßten u³ und v³ als (u³)² = u6 und analog v6
auftreten. Quadrieren wir die erste Gleichung:
u6 +2u³v³ + v6 = q²
p³
u³v³ = –
27
Nun gäbe es die Möglichkeit, die erste Gleichung mithilfe der zweiten zu einem „Binom mit Minus“ zu
machen. Indem man nämlich das Vierfache der zweiten Gleichung von der ersten abzieht, bekommt man
dort das ausmultiplizierte „Ergebnis“ von (u³ – v³)²:
u6 +2u³v³ + v6 = q²
4 p³
–4u³v³ =
27
u6 – 2u³v³ + v6 = q² +
(u³ – v³)² = q² +

u³ – v³ = ± q²
Aha! Und was sollte das jetzt gebracht haben ?
4 p³
27
4 p³
27
4 p³
27
Nun, sehr viel, wenn man bedenkt, was man mit dieser Gleichung im Zusammenspiel mit der Gleichung
u³ + v³ = –q anstellen kann!
Addiert man sie, fällt v³ weg und wir erhalten eine Formel für u³.
Subtrahiert man sie, fällt u³ weg und wir erhalten eine Formel für v³:
Addieren:

u³ – v³ = ± q²
4 p³
27
u³ + v³ = –q
____________________
2u³ = – q ± q² 4 p³
27


−q± q²
u³ =
4 p³
27
2
Subtrahieren :

u³ – v³ = ± q²
4 p³
27
u³ + v³ = –q
____________________
4 p³
–2v³ = ± q²
+ q
27


−q± q²
v³ =
4 p³
27
2
Man kann die Nenner 2 (als Quadrat 4) in die Wurzeln ziehen sowie die 27 als 3³ auffassen und erhält damit
q
u³ = − ±
2
 
2

q
p

2
3
3
und
q
v³ = − ±
2
 

2
q
p

2
3
3
Weil u und v in den Gleichungen u+v=y und 3uv=-p gegeneinander austauschbar sind und u=v im
allgemeinen ausgeschlossen werden kann, genügt es, bei u die positive und bei v die negative Wurzel zu
betrachten. (Oder anders herum, was auf das selbe herausläuft.)
Damit erhält man wegen y = u + v die Lösungsformel für die Gleichung y³ + py + q = 0
y=
  
3
−
q

2
2

q
p

2
3
3
  
3
q
 − −
2
2

q
p

2
3
3
© Arndt Brünner, 3. 12. 2004
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/