1 Folie/Blatt - Chair 11: ALGORITHM ENGINEERING

Kap. 6.3: Traversieren von Graphen
Kap. 6.4: Elementare Graphalgorithmen
Professor Dr. Petra Mutzel
Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11
Fakultät für Informatik, TU Dortmund
19. VO
DAP2
SS
2008
Petra Mutzel
19. Juni 2008
DAP2 SS08
1
Anmeldung zur Klausur
25.07.2008 um 9:00 Uhr
•  Informatik AI/KI Bacc+Diplom: BOSS System
•  Informationstechnik Diplom: ACHTUNG: bis
20.06.08: online
•  Elektrotechnik Diplom: direkt bei uns
•  Physik Bacc/Diplom: ihr Dekanat
•  Datenanalyse und Datenmanagement / Statistik
Bacc/Diplom: ihr eigenes Prüfungsamt
•  Mathematik Bacc/Diplom: erst ab 1.7. bekannt
(wahrscheinlich BOSS System)
•  Lehramt, BaMaLa: direkt bei uns?
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2
Nachtest für Ausnahmefälle
•  Di 1. Juli 2008, 10:15 Uhr, OH14, R. 202
•  Anmeldung bis 26. Juni erforderlich via
Email an Carsten Gutwenger
•  Stoff: Alles bis inkl. Hashing (inkl.1.-10.
Übungsblatt)
•  Teilnahmevoraussetzungen:
•  Attest/Entschuldigt beim 1. oder 2. Übungstest
•  oder besondere Härtefälle anerkannt in meiner
Sprechstunde Di 24.6.08,14:15 Uhr-15:15 Uhr
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Motivation
Heute braucht es keine Motivation,
denn:
DFS
Spielereien
mit
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4
Überblick
•  Darstellung von Graphen im Rechner
•  Traversieren von Graphen:
–  Breitensuche (BFS)
–  Tiefensuche (DFS)
•  Elementare Graphalgorithmen:
–  Zusammenhangskomponenten
–  Kreise in Graphen
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Darstellung von Graphen im Rechner:
Statische Graphen
•  Im Folgenden sei V={v1,v2,…,vn}
•  1. Möglichkeit: Adjazenzlisten
•  Idee: Speichere für jeden Knoten seine
Nachbarmenge in einer Liste
•  Realisierung: z.B. Knoten in Array und
Nachbarkanten jedes Knotens als einfach
verkettete Liste
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6
Darstellung von Graphen im Rechner:
Statische Graphen
•  2. Möglichkeit: Adjazenzmatrix
•  Idee: Eine VxV Matrix enthält 0/1-Einträge für
jedes Knotenpaar {u,v}
•  Realisierung:
•  Sei M=(mi,j) eine n x n Matrix mit
mij:=1 falls (vi,vj)∈E,
und
mij:=0
sonst.
•  bei Mehrfachkanten schreibe statt 1 die Anzahl
der Kanten
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Darstellung gerichteter Graphen
Adjazenzlisten
Adjazenzmatrix
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Darstellung ungerichteter Graphen
Adjazenzlisten
Adjazenzmatrix
ist symmetrisch: nur Speicherung
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der oberen
Diskussion
HIER: ab jetzt Adjazenzlisten
für dünne Graphen vorzuziehen!
Adjazenzliste:
•  Speicherplatzverbrauch: linear: Θ(|V|+|E|)
•  Zeit für Aufbau: linear: Θ(|V|+|E|)
•  Abfrage, ob Kante (u,v) existiert: Θ(d(v))
•  Iteration über alle Nachbarn von v∈V: Θ(d(v))
Adjazenzmatrix:
•  Speicherverbrauch immer quadratisch: Θ(|V|2)
•  Zeit für Aufbau: immer quadratisch: Θ(|V|2)
•  Abfrage, ob Kante (u,v) existiert: Θ(1)
•  Iteration über alle Nachbarn von v∈V: Θ(|V|)
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Definitionen
•  Die Dichte (density) eines Graphen G ist
das Verhältnis |E| / |V|.
•  G heißt dünn, falls seine Dichte O(1) ist
•  G heißt dicht, falls seine Dichte Ω(|V|) ist.
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Darstellung von Graphen im Rechner:
Dynamische Graphen
•  Dynamisch unter den Operationen:
–  Hinzufügen neuer Knoten und Kanten
–  Entfernen von Knoten und Kanten
•  Idee: für gerichtete Graphen:
•  Inzidenzlisten: speichere ein- und ausgehende
Knoten bei v
•  Knoten in doppelt verketteter Liste (damit
Entfernen in konstanter Zeit)
•  Inzidenzlisten in doppelt verketteten Listen
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Realisierung Dynamische Graphen:
Liste für die Knoten
struct Node
var Node prev
var Node next
var Edge outHead
var Edge inHead
var int index
end struct
// Vorgänger Knotenliste
// Nachfolger in Knotenliste
// Listenanfang ausgeh. Kanten
// Listenanfang eingeh. Kanten
// fortlaufender Index
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Realisierung Dynamische Graphen:
Liste für die Kanten
struct Edge
var Edge prevOut
var Edge nextOut
var Edge prevIn
var Edge nextIn
var node source
var node target
end struct
//Vorgänger in Liste ausg. Kanten
//Nachfolger in Liste ausg. Kanten
// Vorgänger in Liste eing. Kanten
// Nachfolger in Liste eing. Kanten
// Anfangsknoten der Kante
// Endknoten der Kante
Achtung: jeder Kanteneintrag ist genau einmal in Liste enthalten
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Darstellung von Graphen im Rechner:
Dynamische Graphen
Legende
Liste der eingehenden Kanten:
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Analyse Dynamischer Graphen
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Speicherplatzverbrauch: linear: Θ(|V|+|E|)
Zeit für Aufbau: linear: Θ(|V|+|E|)
Abfrage, ob Kante (u,v) existiert: Θ(d(v))
Iteration über alle Nachbarn von v∈V: Θ(d(v))
Iteration über alle ausg. Kanten von v∈V: Θ(d-(v))
Iteration über alle eing. Kanten von v∈V: Θ(d+(v))
Einfügen eines Knotens bzw. Kante: Θ(1)
Entfernen einer Kante: Θ(1)
Entfernen eines Knotens: Θ(d(v))
Man geht davon aus, dass man jeweils Zeiger auf die Knoten
und beim Entfernen auch auf die Kanten gegeben hat 16
Kap. 6.3 Traversieren von Graphen
Traversieren: systematisches Durchwandern
von Graphen
HIER: ungerichtete Graphen
Def.: Der graphentheoretische Abstand zweier
Knoten u, v eines ungerichteten Graphen G ist die
Länge des kürzesten Weges von u nach v, falls
ein solcher existiert, sonst ∞.
Achtung: hierbei werden keine vorgegebenen
Kantenlängen bzw. Kantengewichte berücksichtigt.
Kap. 6.3.1 Breitensuche (BFS)
engl.: Breadth-first-search, BFS
Idee: besuche die Knoten nach aufsteigendem
graphentheoretischen Abstand zu einem vorher
festgelegten Startknoten.
1.  Fall: Wir sehen v zum ersten Mal (von u aus):
• 
Dann muss dist(v) um genau 1 größer sein als
dist(u).
• 
Wir können v besuchen, nachdem wir alle
bisher gesehenen Knoten besucht haben.
2.  Fall: wir haben v schon gesehen → nichts zu tun
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Breitensuche (BFS)
Methode:
(1)  Starte am Knoten u:=s. Sei Q:=∅
eine
Queue.
(2)  Für alle Knoten v∈N(u) // erforsche Knoten u
(3)  Falls wir v zum ersten Mal sehen:
(4) 
markiere v als „gesehen“
(5) 
dist(v):=dist(u)+1; merke Vorgänger;
(6) 
hänge v hinten an Q an.
(7)  Sei u der nächste Knoten in Q. Gehe zu (2)
dist(v) enthält den graphentheoretischen Abstand
von u nach v; π(v) den Vorgänger des kürz. Weges
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Beispiel für BFS
1
1
c
b
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Beispiel für BFS
1
1
2
2
c
b
e
d
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Beispiel für BFS
1
1
2
2
b
e
d
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Beispiel für BFS
1
1
2
3
2
3
e
d
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g
f
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Beispiel für BFS
1
1
2
3
2
3
d
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Beispiel für BFS
1
1
2
3
2
3
g
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Beispiel für BFS
1
1
2
2
3
3
f
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Beispiel für BFS
Breitensuche entspricht einer level-order
Traversierung in diesem BFS-Baum.
1
1
2
2
3
3
Die orangen Kanten (diejenigen Kanten (u,v), die
zum ersten Mal v besuchen) bilden einen Baum:
den BFS-Baum (oder BFS-Wald, wenn G nicht
zusammenhängend ist)
Algorithmus BFS(s)
Sei G=(V,E) ungerichteter Graph, s,u,v: Knoten
(1)  for all v∈V \ {s} do {
marked[v]:=0; dist[v]:=∞}
(2)  Q.put(s); marked[s]:=1; dist[s]:=π[s]:=0
(3)  while not Q.ISEMPTY() do {
(4)  u:=Q.GET()
(5)  for all v∈N(u)
do
{
(6)  if not
marked[v]
then
{
(7)  Q.Put(v)
(8) 
marked[v]:=1
(9) 
dist[v]:=dist[u]+1; π[v]:=u
(10) 
}
}
}
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BFS-Baum
•  Im Feld π[v] werden die Vorgänger von v gespeichert.
•  Die Kanten (π(v),v) bilden einen Baum mit Wurzel s.
•  Die Höhe des BFS-Baumes mit Startknoten s ist
eindeutig bestimmt.
•  Die Tiefe eines Blattes v entspricht dem
graphentheoretischen Abstand von v zu s
s
1
Wurzel
1
2
2
3
3
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Analyse von BFS
• 
• 
• 
• 
Initialisierung: Θ(|V|)
Die while-Schleife wird für jeden von s aus
erreichbaren Knoten genau einmal durchlaufen,
da jeder Knoten höchstens einmal in die Queue
kommt.
Die for all-Schleife durchläuft für jeden Knoten die
Liste seiner Nachbarn N(v), das ist also jeweils
Θ(d(v)) Aufwand
Gesamtaufwand: Θ(|V|)+∑ Θ(d(v))= Θ(|V|+|E|),
v∈V
da im Worst Case alle Knoten von s aus erreichbar
sein können
Problem USSSP
Unweighted Single-Source Shortest Path
(USSSP):
•  Gegeben: ungerichteter Graph G=(V,E)
•  Gesucht: kürzester Weg von s zu jedem
Knoten in G. Petra Mutzel
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Breitensuche (BFS)
Theorem: Sei G=(V,E) ein ungerichteter
Graph und s∈V.
Dann
löst
der
Algorithmus
BFS(s) das Unweighted Single-Source
Shortest Path (USSSP) für Startknoten s in
Zeit O(|V|+|E|).
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Kap. 6.3.2 Tiefensuche
Petra Mutzel
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Tiefensuche (DFS)
engl.: Depth-first-search, DFS
Idee: besuche die Knoten rekursiv: wenn v
zum ersten Mal gesehen wird, markiere ihn
als gesehen und erforsche den Graphen
von v aus weiter!
• 
• 
Im Gegensatz zu Breitensuche, wird hier der
Graph erst einmal in seiner Tiefe durchdrungen.
Bei Breitensuche werden erst alle gesehenen
Knoten bearbeitet, bevor die neuen bearbeitet
werden (Queue). Hier wir immer erst das Neue
erledigt.
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Tiefensuche DFS
Methode: DFS-VISIT(v):
•  Durchlaufe alle Nachbarn von v
•  Für jeden neu entdeckten (nicht markierten)
Knoten w:
–  Markiere w;
–  rufe DFS-VISIT(w) auf.
•  Der folgende Algorithmus DFS(G) durchwandert
alle Knoten des Graphen.
•  Im Feld π[w] wird jeweils der Vorgänger von w
(also v) gespeichert.
Petra Mutzel
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Algorithmus DFS(G)
Sei G=(V,E) ungerichteter Graph, v,w: Knoten
(1)  for all v∈V do {
marked[v]:=0; π[v]:=nil}
(2)  for all v∈V do {
(3)  if not
marked[v] then DFS-VISIT(v)
(4)  }
(5)  procedur DFS-VISIT(Node v)
(6)  marked[v]:=1
(7)  for all w∈N(v)
do
(8)  if not
marked[w]
then {
(9) 
π[w]:=v
(10) 
DFS-VISIT(w)
(11) 
} Beispiel für DFS
2
c
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Beispiel für DFS
2
3
e
c
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Beispiel für DFS
g
e
c
2
3
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Beispiel für DFS
f
g
e
c
2
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Beispiel für DFS
f
g
e
c
2
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4
5
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Beispiel für DFS
g
e
c
2
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5
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Beispiel für DFS
d
e
c
2
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Beispiel für DFS
b
d
e
c
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Beispiel für DFS
b
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e
c
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Beispiel für DFS
d
e
c
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5
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Beispiel für DFS
2
e
c
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4
5
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Beispiel für DFS
2
c
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4
5
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Beispiel für DFS
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5
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Beispiel für DFS
2
7
6
3
4
5
Die orangen Kanten (diejenigen Kanten (u,v), die
zum ersten Mal v besuchen) bilden einen Baum:
den DFS-Baum (G zusammenhängend, sonst Wald)
Sei G
zusammenhängend
DFS-Baum
DFS-Baum besteht aus
•  Baumkanten (tree edges, T-Kanten): (π(v),v)
•  Rückwärtskanten (back edges, B-Kanten): s.u.
• 
• 
DFS teilt die Kanten in T-Kanten und B-Kanten
Für jede B-Kante (u,v) gilt: Es gibt genau einen
Weg von v nach u mit T-Kanten im DFS-Baum
2
3
4
v
7
6
u 5
Sei G
zusammenhängend
DFS-Baum
• 
• 
Jeder Knoten erhält eine eindeutige DFS-Nummer.
Für die Rückwärtskanten (u,v) gilt:
DFSNUM(u) > DFSNUM(v).
• 
• 
DFS teilt die Kanten in T-Kanten und B-Kanten
Für jede B-Kante (u,v) gilt: Es gibt genau einen
Weg von v nach u mit T-Kanten im DFS-Baum
2
3
4
v
7
6
u 5
Analyse von DFS
• 
• 
• 
• 
• 
Initialisierung: Θ(|V|)
Die for-all-Schleife ohne Aufrufe von DFS-VISIT():
O(|V|).
DFS-VISIT() wird für jeden Knoten genau einmal
aufgerufen.
Jeder Aufruf von DFS-VISIT(v) (ohne Kosten der
rekursiven Aufrufe) benötigt Θ(d(v)) Zeit.
Gesamtaufwand: Θ(|V|)+∑ Θ(d(v))= Θ(|V|+|E|)
v∈V
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BFS-Baum vs. DFS-Baum
BFS-Baum
1
2
3
Höhe eindeutig
1
2
2
3
3
4
DFS-Baum
7
6
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BFS & DFS
BFS-Baum
DFS-Baum
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Kap. 6.4 Elementare
Graphenalgorithmen
Kap. 6.4.1 Komponenten eines Graphen
Zusammenhangskomponenten
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60
Definitionen (Zusammenhang)
•  G heißt zusammenhängend (connected), wenn |V|≧1
und für jedes Paar u,v von Knoten ein Weg von u
nach v in G existiert.
•  Ein Graph G´=(V´,E´) mit V´⊆ V und E´⊆ E ist ein
Untergraph (Teilgraph, subgraph) von G. Wir
schreiben G´⊆G.
•  Eine (Zusammenhangs-) Komponente (component)
von G ist ein maximaler zusammenhängender
Untergraph U von G, d.h. es gibt keinen anderen
zusammenhängenden Untergraphen U´ mit U⊆U´.
Petra Mutzel
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Komponenten eines Graphen
C1
C3
C2
C4
T-Kanten des DFS-Waldes
Petra Mutzel
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62
Bestimmen der
Zusammenhangskomponenten
Idee:
•  Beginne an einem Knoten s und bestimme alle
von s aus erreichbaren Knoten →
Komponente 1 (Markierung mit 1)
•  Beginne nun bei einem noch unmarkierten
Knoten v (marked==0) und bestimme alle von
v aus erreichbaren Knoten; markiere dabei
mit 2 → Komponente 2
•  …u.s.w. bis alle Knoten markiert sind
Petra Mutzel
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Algorithmus COMPONENTS(G)
Sei G=(V,E) ungerichteter Graph, v,w: Knoten
(1)  for all v∈V do {
marked[v]:=0}
(2)  numComps:=0
(3)  for all v∈V
do {
(4)  if not
marked[v]
then {
(5) 
numComps:=numComps+1
(6) 
DFS-COMP(v)
(7)  } }
(8)  Procedure DFS-COMP(Node v)
(9)  marked[v]:=numComps
(10)  for all w∈N(v)
do
(11) 
if not
marked[w]
then
(12) 
DFS-COMP(w)
Bestimmen der
Zusammenhangskomponenten
Theorem: Der Algorithmus COMPONENTS(G)
bestimmt die Zusammenhangskomponenten
eines Graphen G=(V,E) in Zeit Θ(|V|+|E|).
Petra Mutzel
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65
Kap. 6.4.2 Kreise in Graphen
•  Aufgabe: Gegeben ist ein ungerichteter Graph
G=(V,E). Enthält G einen Kreis?
•  Idee: mittels DFS
Petra Mutzel
DAP2 SS08
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66
Kreise und DFS
•  Lemma: Sei G ein ungerichteter Graph und F
ein beliebiger DFS-Wald für G. Dann ist G
genau dann kreisfrei, wenn G keine
Rückwärtskante (B-Kante) bezüglich F enthält.
Beweis:
•  1. Fall: F enthält keine B-Kante: dann besteht F
nur aus T-Kanten → F enthält alle Kanten aus
G → G kreisfrei
•  2. Fall: Sei (u,v) B-Kante bzgl. F → es existiert
Weg v,…,u mit T-Kanten in F → Weg mit Kante
(u,v) bildet Kreis in G.
Petra Mutzel
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Kreise und DFS
•  Methode: Erweitere DFS um Speicherung der
B-Kanten: sobald wir von v aus auf einen
markierten Knoten u treffen, haben wir eine
B-Kante gefunden, falls u nicht der direkte
Vorgänger (Elter) von v ist.
Algorithmus ISACYCLIC(G) speichert dabei alle
B-Kanten. Wenn man nur einen Kreis finden
möchte, dann kann man abbrechen, sobald
man eine B-Kante gefunden hat.
Petra Mutzel
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Algorithmus ISACYCLIC(G)
Sei G=(V,E) ungerichteter Graph
(1)  function ISACYCLIC(Graph G=(V,E)) : bool {
(2) 
B := ∅
(3) 
for all v∈V do {
marked[v]:=0; π(v):=nil }
(4) 
for all v∈V
do {
(5) 
if not
marked[v]
then
(6) 
DFS-ACYCLIC(v)
(7) 
}
(8) 
if B ≠ ∅ then return false else return true
(9)  }
Petra Mutzel
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Algorithmus ISACYCLIC(G) ff
(1)  procedure DFS-ACYCLIC(Node v) {
(2) 
marked[v] := true
(3) 
for all w ∈ N(v)
do
(4) 
if not
marked[w]
then
(5) 
π[w] := v
(6) 
DFS-ACYCLIC(w)
(7) 
else if π [v] ≠ w then
(8) 
B := B ∪ (v,w)
(9) 
}
(10)  }
Petra Mutzel
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Welche Kreise werden gefunden?
Pfad von T-Kanten +
eine B-Kante
a
c
e
f
d
g
b
Petra Mutzel
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75
75
Test auf Kreisfreihet
Theorem: Die Funktion ISACYCLIC(G) testet
einen ungerichteten Graphen G=(V,E) auf
Kreisfreiheit in Zeit Θ(|V|+|E|).
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76
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Zum Ausschneiden und Üben
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Q
a
d
e
b
f
c
g