Physik für Nicht-Physikerinnen und Nicht-Physiker - Ruhr

RUHR-UNIVERSITÄT BOCHUM
FAKULTÄT FÜR PHYSIK UND ASTRONOMIE
Physik für Nicht-Physikerinnen und
Nicht-Physiker
A. Berlin
15. Mai 2014
RUHR-UNIVERSITÄT BOCHUM
Lernziele
– Die Größen Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment und Drehimpuls sind Vektoren die
senkrecht auf der Bewegungsebene stehen
– Ein rotierendes System ist immer auch ein beschleunigtes System
– Das Drehmoment ist Kraft mal effektiver Hebelarm
– Ein drehender Körper ist im Gleichgewicht wenn gilt
ähnlich zum Kraftbegriff
P~
Mi = 0;
i
– Geht die Drehachse durch den Schwerpunkt, so ist das effektive Drehmoment gleich Null
– Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße; so wie der Impuls bei der Translation
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Kreisbewegung
ebener Winkel/Bogenlänge
ebener Winkel:
– Gradmaß → Vollkreis 360°
51°
– Bogenmaß → Vollkreis 2π
Einheit [ϕ] = rad
j
ϕ=
Kreisbogenlänge
Radius
s
r
=
s
51°
j
r
Umrechnung:
Vollkreis =
b 360° =
b
→ Dreisatz:
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2π r
r
ϕ° =
= 2π
360°
2π
ϕrad
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Kreisbewegung
Winkelgeschwindigkeit
s(t2)
Ds
s(t1)
s
=
rϕ
∆s
=
r ∆ϕ
51°
Dj
r
Tangentialgeschwindigkeit
vT =
Dt = t2 - t1
Tangential- (aT ) und Winkelbeschleunigung (ω̇):
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ds
dϕ
= r
dt
dt
|{z}
ω
→ vT = r · ω
[ω] = s−1 = rad/ s
→ aT = r · ω̇
[ω̇] = s−2 = rad/ s2
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Kreisbewegung
Kennwerte der Rotation
w
ω
~ ist die Winkelgeschwindigkeit in [ω] = rad/ s und ein Vektor.
Allgemein gilt
r
~v = ω
~ × ~r
Das Vorzeichen von ω gibt die Drehrichtung an
(Drei-Finger-Regel, rechte-Hand Regel)
Umlaufzeit T: Zeit für eine Umdrehung
ϕ = 2π
ω · T = 2π
T =
2π
ω
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v
Frequenz f: Anzahl der Umdrehungen pro Zeit
f = 1/T
[f] = s−1 = Hz
→ ω = 2π f
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Beschleunigung in rotierenden Systemen
Man unterscheidet zwei Arten von Beschleunigungen
– Winkelbeschleunigung, die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit
dω
1 dvT
aT
= ω̇ =
=
dt
r dt
r
– Radialbeschleunigung
auch bei einer konstanten Winkelgeschwindigkeit wirkt
eine Beschleunigung auf den rotierenden Körper.
Radialbeschleunigung: aR = ω 2 · r =
v2T
r
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Dr
j
r(t2)
Der Vektor ~aR ist dabei immer zum Mittelpunkt der
Kreisbewegung gerichtet.
Für ∆t geht ϕ → 0 und ∆v steht senkrecht
zu v1 und zeigt somit zum Mittelpunkt.
v1
r(t1)
v2
v2
j v1
Dv
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Radialkraft
Zentripetalkraft / Zentrifugalkraft
Mit der Radialbeschleunigung ist auch eine Kraft verbunden, die ebenfalls zum Zentrum hin gerichtet ist.
Radialkraft:
FR = m aR = m ω 2 r = m
v2T
r
(Zentripetalkraft)
Für den Rotierenden existiert eine gleichgroß entgegengesetzte Kraft
→ Zentrifugalkraft
Quelle: Computerbild.de Autor: Distelfalter
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Beispiel
Abstand Stern – Planet
4
1
3
2
Helligkeit
2
3
1
4
Zeit
FG
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FR
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starre Körper
Um was geht es?
– Unter einem starren Körper versteht man einen nicht-verformbaren ausgedehnten Körper
– Entweder ist die Masse kontinuierlich über den Körper verteilt
oder in diskreten Massenpunkte (z.B. Molekül)
Anders als in der Punktmechanik
– neben der Translation ist auch eine Rotation des
Körpers möglich
– Kräfte können an verschiedenen Punkten des Körpers
angreifen
→ Unterscheidung zwischen homogene und inhomogene Körper
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Dichte
Die Dichte ist das Verhältnis zwischen Masse und Volumen eines Körpers.
Dichte: ρ =
m
V
[ρ] =
kg
m3
Siehe Ergänzungsübung D
homogene Körper
– die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt
– die Dichte ist im ganzen Körpervolumen konstant
inhomogene Körper
– ungleichmäßige Massenverteilung
– die Dichte ist nicht über das gesamte Volumen konstant
– Bsp. gezinkter Würfel, der menschliche Körper, Schweizer Käse,...
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Bewegung starrer Körper
Rotationsenergie
– Zerlegung des Körpers in infinitesimale Volumina mit
konstanter Dichte
– Für diese Massenstücke gelten nun die Überlegungen der
Punktmechanik
r
– Summierung der jeweiligen Effekte, die auf die Massenstücke
wirken, um den Gesamteffekt des starren Körpers zu erhalten
r
Dm
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Trägheitsmoment
R
Definition: Θ = r2 dm
Einheit: [Θ] = kg m2
r
Q=1/2 mr
2
Das Trägheitsmoment ist der ”Widerstand” eines starren Körpers
gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung um eine
bestimmte Achse.
2
Q=2/5 mr
Die Größe von Θ hängt ab von
– der Form des Körpers.
– der Massenverteilung.
– der Drehachse.
2
2
Q= 1/2 m (r1 +r2 )
L
→ Systems aus N Punktmassen:
Θ = m1 · d21 + m2 · d22 + ... + mN · d2N =
di ist der Abstand der Masse i zur Drehachse.
N
P
i=1
mi · d2i
2
2
Q= 1/4 m r + 1/12 m L
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Drehmoment
Das Drehmoment ist das Pendant zur der Kraft in der Translation, es beschleunigt oder bremst
Drehbewegungen.
~ = ~r × ~F
Drehmoment: M
~ = Θω̇
~
M
oder
oder als Betrag
[M] = N · m
~ = |~r| · |~F| sin (~r, ~F)
|M|
Das Drehmoment ist ein Vektor, welcher senkrecht auf ~r und ~F steht. Das Vorzeichen von M gibt
dabei die Richtung der wirkenden Kraft an. (im oder gegen den Uhrzeigersinn, Drei-Finger-Regel)
r
r
r'
F
r a
F
F
In Worten ist das Drehmoment gleich der Kraft mal effektiven Hebelarm.
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Beispiele zum Drehmoment
r
F
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Quelle: aus Telekolleg-Physik, BR
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Addition von Drehmomenten
Zwei gleichgroße und bezüglich des Drehsinns gleichgerichtete Drehmomente ergeben ein
doppelt so großes Drehmoment
F
r
F
Zwei gleichgroße aber im Drehsinn entgegengesetzt gerichtete Drehmomente heben sich auf
F
F
r
Ein Körper ist, in Bezug auf die Drehung, dann im Gleichgewicht, wenn alle
angreifende Drehmomente sich zu Null kompensieren.
P~
Mi = ~0
i
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Hebel
zweiarmiger Hebel
Die Balkenwaage oder die Spielplatzwippe sind gute Beispiele für ’zweiarmige Hebel’
Prinzip der Hebelwirkung:
Mit kleinen Kräften und langem Hebelarm → große Lasten heben
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Hebel
einarmiger Hebel
einarmiger Hebel → Beide Kräfte greifen auf der gleichen Seite des Drehpunktes an
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Schwerpunkt
1 dimensional
Der Schwerpunkt ist ein ausgezeichneter Punkt eines Körpers, aber er
muss sich nicht notwendigerweise im Körpervolumen befinden.
A
Quelle: www.tripadvisor.co.uk
Ist ein Körper im Schwerpunkt aufgehängt so kompensieren sich alle Drehmomente zu Null,
bezüglich der Schwerkraft.
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Experimente
Schwerpunkt
Bei einfachen Formen, lässt sich der Schwerpunkt aus der Geometrie leicht ableiten
Bsp. Würfel, Kugel, Scheibe
Experiment: Besenstiel
Unregelmäßige und/oder
Pinhomogene Körper kann man an verschiedenen Punkten aufhängen →
In der Ruhestellung gilt
Mi = 0.
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Experimente
Schwerpunkt
Bei einfachen Formen, lässt sich der Schwerpunkt aus der Geometrie leicht ableiten
Bsp. Würfel, Kugel, Scheibe
Experiment: Besenstiel
Unregelmäßige und/oder
Pinhomogene Körper kann man an verschiedenen Punkten aufhängen →
In der Ruhestellung gilt
Mi = 0.
So läuft ein Lot vom Aufhängepunkt direkt durch den Schwerpunkt.
Aus dem Schnittpunkt mehrerer Lote erhält man exakt die Position des Schwerpunktes.
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Drehimpuls
L
Definition: ~L = ~r × ~p = Θ~
ω
Einheit: [L] = kg
m2
s
r
mv
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Drehimpulserhaltung
Innere Kräfte können den Drehimpuls nicht ändern. Wenn keine äußeren Kräfte wirken bleibt er zeitlich
konstant, sowohl betrags- als auch richtungsmäßig.
Wenn
P~
M=0
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gilt
P~
L = const.
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Drehimpulserhaltung
Innere Kräfte können den Drehimpuls nicht ändern. Wenn keine äußeren Kräfte wirken bleibt er zeitlich
konstant, sowohl betrags- als auch richtungsmäßig.
Wenn
P~
M=0
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gilt
P~
L = const.
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Experiment
Kreisel
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Rechnung
Kreisel / Präzession
wP
L
M
M
L
FG= mg
FG
r
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Rechnung
Kreisel / Präzession
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Die Erde als Kreisel
Polarstern
(Polaris)
Wega
wP
~ 23°
Sowohl Sonne als auch Mond wirken gravitativ auf die Erde ein
und versuchen ihre Rotationsachse zu kippen.
Entlang dieser Präzession führt
die Erdachse sogenannte
Nutationsbewegungen aus.
Hauptursache → der Mond.
23,5°
Nutationsbewegung
der Erdachse
T ~ 26000 a
Die Anwesenheit des Mondes stabilisiert jedoch auch die Lage der Erde. Aufgrund seiner Nähe
wirkt er gravitativ stärker auf die Erde ein als z.B. ein Vorbeiflug des Mars. Ohne den Mond gebe
es Abweichungen von 10° bis 30° vom Neigungswinkel.
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Vergleich: Translation ↔ Rotation
Translation
Rotation
Verknüpfung
Weg: ~r
Geschw.: ~v = ~r˙
Beschl.: ~a = ~¨r
Kraft: ~F = m~a
Impuls: ~p = m~v
Energie: Ekin,trans =
Winkel: ϕ
W.-Geschw.: ω = ϕ̇
W.-Beschl.: ω̇ = ϕ̈
~ = Θω
Drehmoment: M
~˙
Drehimpuls: ~L = Θ~
ω
Rot.-Energie: Ekin,rot = 21 Θω 2
s = rϕ
v = rω
a = rω̇
~ = ~r × ~F
M
~L = ~r × ~p
~F =
d~
p
dt
1
mv2
2
~ =
M
d~
L
dt
Wir sehen, wir können die Rotation eines starren Körpers formal genauso behandeln, wie die
Translation einer Punktmasse.
Aber es muss das Trägheitsmoment Θ bezüglich der Drehachse bekannt sein.
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