Komplexe Netzwerke

Ernst Moritz Arndt Universität Greifswald
24. 4. 2009
Komplexe Netzwerke
Gradverteilung der Knoten,
Skalenfreiheit, Potenzgesetz
Dr. Matthias Scholz
www.network-science.org/SS2009.html
1 Begriffe und Definitionen
1.1 Graph
Graph G=(V,E)
V ist eine endliche Menge von Knoten
E ist eine endliche Menge von Kanten
Knoten vi ∈ V ; i = 1, ..., N
verbunden durch Kanten e ∈ E
N ist die Anzahl der Knoten
1.2 Adjazenzmatrix (Nachbarschaftsmatrix)
A = N x N quadratische Matrix
aij = 1 ; falls Kante von Knoten i zum Knoten j existiert
aij = 0 ; sonst
für einen ungerichteten Graphen ist A symmetrisch: aij = aji ,
AT = A
Ein gerichteter Graph oder Digraph (directet graph) ist ein Graph, in dem alle
Kanten eine Richtung haben.
Beispiel (gerichteter

0 1
1 0
A=
0 0
1 1
Graph):

1 1
0 0

0 1
0 0
A
C
B
D
1.2.1 Gewichtete Graphen
Ein gewichteter Graph oder bewerteter Graph ist ein Graph, bei dem jeder Kante
eine Zahl zugeordnet ist.
1
- Abstandsmatrix (Distanzmatrix) D
dij ist der Abstand zwischen Knoten i und j
Beispiel: Straßennetz (Entfernung zwischen zwei Städten)
- Ähnlichkeitsmatrix (z.B.: Korrelationsmatrix) C
Beispiel: Gen-Gen-Netzwerk (Korrelation der Genexpression)
2 Gradverteilung der Knoten
(node-degree distribution)
Grad eines Knoten
Kanten.
(node-degree): Der Grad ki eines Knoten i ist die Anzahl seiner
Der Eingangsgrad (in-degree) ist die Anzahl der Kanten, die zu einem Knoten
hinführen (gerichteter Graph).
Der Eingangsgrad k in eines Knotens i lässt sich über die Summe der Spalte i in der
Adjazenzmatrix berechnen:
N
X
aji
kiin =
j=1
Der Ausgangsgrad (out-degree) ist die Anzahl der Kanten, die von einem Knoten
wegführen (gerichteter Graph). Der Ausgangsgrad k out eines Knotens i lässt sich über
die Summe der Zeile i in der Adjazenzmatrix berechnen:
kiout =
N
X
aij
j=1
Für ungerichtete Graphen ist der Eingangsgrad eines Knoten gleich dem Ausgangsgrad.
2.1 Gradverteilung
Die Verteilung der Knotengrade ist eines der wichtigsten Merkmale zur Charakterisierung von Netzwerken. Sie zeigt, wie unterschiedlich die Kanten auf die einzelnen Knoten
im Netzwerk verteilt sein können.
Reale Netzwerke zeigen in vielen Fälle eine Verteilung, die dem Potenzgesetz folgt
(Barabási and Albert, 1999), siehe Abbildung 1. Bei einigen Netzwerken ist aber eine
leichte oder auch stärkere Abweichung vom Potenzgesetz zu beobachten, bis hin zu
einer Exponentialverteilung, siehe beispielsweise Amaral et al. (2000).
In gerichteten realen Netzwerken sind der Eingangsgrad und der Ausgangsgrad
häufig sehr ähnlich verteilt.
2
Potenzgesetz (skalenfrei)
polynomieller Zusammenhang
1000
Anzahl der Knoten
80
60
40
20
0
7800
3
8000
600
400
200
0
8200
log−log Plot
0
100
Anzahl der Knoten
2
1
10
0
3.909
10
k
40
20
0
1000
2000
log−log Plot
10
2
10
1
10
0
10
3.897
10
60
3
10
10
80
0
200
log−log Plot
3
10
Anzahl der Knoten
800
Anzahl der Knoten
Anzahl der Knoten
100
typische Abweichung
100
Anzahl der Knoten
Zufallsgraph
Binomialverteilung
120
2
10
1
10
0
10
0
10
2
10
k
10
0
10
2
10
k
Abbildung 1: Gradverteilungen. Links: klassische Annahme, dass die Grade aller
Knoten um einen Durchschnittswert schwanken (→ Zufallsgraphmodell).
Mitte: typische ‘ungleiche’ Gradverteilung realer Netzwerke (→ Potenzgesetz; → Attraktivitätsmodell).
Rechts: öfters zu beobachtende Abweichung vom Potenzgesetz in Form einer leichten
oder stärkeren Abschwächung bei kleinen Graden k. Die Abweichung kann so stark sein,
dass die Gradverteilung eher der schnell abfallenden Kurve einer Exponentialverteilung
als dem Potenzgesetz entspricht.
Die Verteilungen sind jeweils mit linearen Skalen (oben) und mit logarithmischen Skalen
(unten) dargestellt.
Graphgenerierungsmodelle: Das Zufallsgraphmodell erzeugt eine Binomialverteilung
(bzw. Poissonverteilung) die sich bei großen Wahrscheinlichkeiten p der Glockenkurve
einer Gaußverteilung (Normalverteilung) annähert und bei sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten p einer Exponentialverteilung, aber nie einer polynomiellen Verteilung (Potenzgesetz). Das Attraktivitätsmodell erzeugt eine Gradverteilung die (nur) dem Potenzgesetz
folgt.
Potenzgesetz (power-law ): Das Potenzgesetz bezeichnet einen polynomiellen Zusammenhang f (x) = axb , der bei komplexen Netzwerken häufig zwischen den Graden k der
Knoten und ihrer Wahrscheinlichkeit P (k) zu beobachten ist:
P (k) ∼ k −γ
Ein Potenzgesetz ergibt sich aus exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl
3
0
−1
10
10
Exponential
0.1
Potenzgesetz
−2
10
0.09
−1
10
0.08
−3
log
lin
0.06
0.05
0.04
log
10
0.07
−4
10
−2
10
−5
10
0.03
−3
10
0.02
−6
10
0.01
−7
0
2
4
6
lin
8
10
12
10
−4
0
10
20
lin
10
0
10
1
10
log
2
10
Abbildung 2: Exponentialverteilung versus Potenzgesetz. Eine Exponentialverteilung P (k) ∼ e−λk fällt schneller ab als eine Verteilung nach dem Potenzgesetz
P (k) ∼ k −γ . Die Wahrscheinlichkeit stark vernetzter Knoten ist daher bei einer Exponentialverteilung viel geringer als beim Potenzgesetz.
(Knoten) als auch die Größe (Grad der Knoten) sich exponentiell ändert, siehe auch
Abbildung 2.
Bei einer Gradverteilung nach dem Potenzgesetz sind auch extrem stark
vernetzte Knoten nicht unwahrscheinlich.
Skalenfreie Netzwerke (scale-free networks): Für Netzwerke mit der Eigenschaft des
polynomiellen Zusammenhangs (Potenzgesetz) zwischen Wahrscheinlichkeit P (k) und
Grad k wurde von Albert-László Barabási auch die Bezeichnung ‘skalenfrei’ eingeführt.
Netzwerke mit einer Gradverteilung, die dem Potenzgesetz folgt, werden als skalenfreie Netzwerke bezeichnet.
Skalenfreiheit (Skaleninvarianz) spielt eine große Rolle in der Chaostheorie und
bedeutet, dass auf unterschiedlichen Skalen immer wieder die gleichen Charakteristiken
(Muster) auftreten (Selbstähnlichkeit).
Skalenfreiheit, Skaleninvarianz oder auch Skalenunabhängigkeit beschreibt die Eigenschaft eines Zustands, Vorgangs oder Verhältnisses, bei dem auch bei Veränderung
der Betrachtungsgrößen (Skalierung) die Charakteristik weitestgehend erhalten bleibt:
f (x) ∼ f (cx).
4
Literatur
Amaral, L.A.N., Scala, A., Barthélémy, M., Stanley, H.E. Classes of small-world networks. PNAS, 97(21):11149–11152, 2000.
Barabási, A., Albert, R. Emergence of scaling in random networks. Science, 286:509–512,
1999.
5